最佳平方逼近多项式课件
合集下载
第3章数值分析---最佳平方逼近
它可表示为
Tn ( x) cos( n arccos x),
x 1.
（2.10）
若令 x cos ， 则 Tn ( x) cos n , 0 .
7
3.3.1
最佳平方逼近及其计算
对 f ( x) C[a, b] 及 C[a, b] 中的一个子集
span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)}
0
(1 x 2 )dx 0.426d1 0.934d 0 0.0026.
0
1
最大误差 ( x)
max
0 x 1
* 1 x 2 S1 ( x) 0.066.
14
3.3.2
用正交函数族作最佳平方逼近
设 f ( x) C[a, b], span{0 ( x), 1 ( x), , n ( x)},
就是在区间 [ , ] 上的正交函数族.
5
勒让德多项式 P59-61
P ,P 利用上述递推公式就可推出 0 ( x) 1 1 ( x) x,
2 P ( x ) ( 3 x 1) / 2, 2
3 P ( x ) ( 5 x 3 x) / 2, 3
4 P 30 x 2 3) / 8, 4 ( x) (35 x
det G(0 , 1 ,, n ) 0 ( P56)
* 于是方程组（3.3）有唯一解 ak ak
(k 0,1, , n),
* * S * ( x) a0 0 ( x ) an n ( x).
10
若取 k ( x) x k , ( x) 1, f ( x) C[0, 1], 则要在 H n
函数的插值与最佳平方逼近PPT课件
(2) 令
n
pn(x)
i0
n
fili(x)
i0
fi
n j0
xxj xi xj
ji
(5.1-8)
则易知(5.1-8)所示的pn(x)为次数不大于n的多项式，且满足
插值条件(5.1-1)
n
pn(xj) fili(xj)fj
i0
(j = 0，1，...，n)
称pn(x)为Lagrange插值多项式。
a0 a1(5)a2 (5)2 a3(5)3 35
解之得：a0 = 10，a1 = 5，a2 = – 5，a3 = 2
即有p3(x) = 10 + 5x – 5x2 +2x3
注：(1) 范德蒙矩阵的条件数很大 —— 误差大计算量大
(2) 选择适当基函数使插值多项式具有特殊形式
10
1. Lagrange插值
1 x0
1 Vn(x0,x1,...x,n)
x1
1 xn
x0n
x1n
n
i1
i1
(xi xj)
j0
xnn
(5.1-3)
8
(5.1-3)的系数行列式为范德蒙行列式：
1 x0
1 Vn(x0,x1,...x,n)
x1
1 xn
x0n
x1n
n
i1
i1
(xi xj)
j0
xnn
因为x0，x1，…，xn互异，所以Vn ≠ 0 即(5.1-3)存在唯一解，从而存在唯一的pn(x) Pn[x] 满足插 值条件(5.1-1)。
证明：取Pn[x]的一组基{1，x，x2，…，xn }，则pn(x) Pn[x] 表为
由(5.1-1)知
最佳平方逼近
正规方程组一般为病态方程组，当维数 较高时，病态严重，求解困难。 可以采取选择不同的基的方式，来改变 正规方程组的性态。 我们考虑最佳平方逼近多项式，采用正 交多项式做基函数。
2
b
a
函数f ( x)和g ( x)正交 ( f , g ) w( x) f ( x) g ( x)dx 0
a b
设次数不超过n的多项式空间为 n , 显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., x n , 则，p( x) a0 a1 x ... an x n n 是f ( x)在 n的最佳逼近元的充分必要条件为
否则，就线性无关。 区间[a,b]上c11 ( x) .... cm m ( x) 0成立 就一定有c1 ... cm 0
假定1 ( x),....m ( x)是子空间S的基， 若函数g是最佳逼近元，则
( f g , 1 ( x)) 0,( f g , 2 ( x)) 0 ...., f g , m ( x)) 0 (
w( x) C[a, b]，w( x) 0，x [a, b] 称w( x)为权函数。
连续函数空间C[a, b]，给定权函数w( x) 对于f , g C[a, b]
最佳平方逼近多项式
给定函数f ( x) C[a, b], 求次数不超过n的 多项式p( x)，使得
b
a
w( x)( f ( x) p( x)) dx min
简记为Ax=b
求解这个方程，就能得到a， ，am， .....
从而得到f ( x)在子空间S中的最佳平方 逼近元g ( x) a11 ( x) ..... amm ( x)
第二章最佳平方逼近.ppt
（一） 正交函数的概念
定义 给定函数 (x), x [a,b] 若 (x) 满足:
(1) (x) 0, x (a,b);
b
(2) a (x)dx 0
(3)
积分
b
a
(
x)
x
n
dx
存在,n=0,1,….
则称 ( x)为[a,b]上的权函数
b
权函数 (x) 的一种解释是物理上的密度函数,相应的 a (x)dx
当k n 1 时
Cn1
gn
,
xg
n1
/
g
n1
,
g
n1
而
xgn1
x
=g
* n
x
+Cn1gn*1
x
C0g0*(x)
故
(xgn-1,gn )=(gn ,gn )
于是有
Cn1=(gn*,gn* ) / (gn*1,gn*1)= n
当 k n 时，则有
Cn =(gn*,xgn*) / (gn*,gn*)=n
把这些结果代入（1.11）式，得到
xgn*
(
x)=
n
g* n1
(x)+n
gn*
(
x)
g* n1
(
x)
即
g* n1
(
x)=(x-n
)
gn*
(
x)-
n
gn*1(
x)
证毕。
推论 对于最高次项系数为 Ak 的正交多项式 gk (x) ,有递推
关系式
其中
g* n1
(
x)=
An1 An
(x
ˆn )gn (x)
对于离散情形若可引进阶矩阵ijik则可将式写成310从而由下列方程组所决定可以证明正规方程组的解存在而且唯一且使为最小311事实上由于线性无关从而对于任意非零向量说明此二次型正定故方程组的系数行列式大于零因此方程组的解存在而且唯一
第5章 10.最佳逼近多项式
定理： 是内积空间， 是其有限维子空间， 定理： C [a , b]是内积空间， M是其有限维子空间， f ( x ) ∈ C [a , b]，M中ϕ * ( x )是f ( x )的最佳平方逼近 函数的 ⇔ f − ϕ *与M中任一元正交
证（⇐） ∀ϕ ∈ M， ϕ − ϕ ∈ M
*
f −ϕ
2 2
⇒ P2 ( x ) = 1.013 + 0.851 x + 0.839 x
2
= ( f −ϕ, f −ϕ)
= ( f −ϕ +ϕ −ϕ, f −ϕ +ϕ −ϕ)
* * * *
= ( f − ϕ * , f − ϕ * ) + 2( f − ϕ * , ϕ * − ϕ ) + (ϕ * − ϕ , ϕ * − ϕ )
=0
= f −ϕ
* 2 2
+ ϕ −ϕ
*
2 2
≥ f −ϕ
0 1
1
{
}
1 (ϕ 0 , ϕ 1 ) = (ϕ 1 , ϕ 0 ) = ∫ xdx = 0 2 1 (ϕ 0 , f ) = ∫ e x dx = e − 1
0
(ϕ 1 , f ) = ∫ xe x dx = 1
0
1
(ϕ 2 , f ) = ∫ x 2 e x dx = e − 2
0
1
1 1 / 2 1 / 3 c1 e − 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4 c 2 = 1 1 / 3 1 / 4 1 / 5 c e − 2 3
*
ϕ 的构造求法
*
设M的基底为 span{ϕ 0 , ϕ 1 ,Lϕ n }
第三章-2-最佳平方逼近
性质 5 设 k k 0是 [a, b] 上带权 (x) 的正交多项式
族，则n(x) (n>0) 有n个单重实根，且都位于 区间[a, b] 内。
几类重要的正交多项式 Legendre 多项式 Chebyshev 多项式
第二类 Chebyshev 多项式
Laguerre 多项式 Hermite 多项式
Chebyshev 多项式
切比雪夫多项式的性质：
(1) 递推公式： Tn1 ( x ) 2 xTn ( x ) Tn1 ( x )
cos(n+1) + cos(n-1) = 2cos cosn x = cos
mn 0, 1 T ( x )T ( x ) n m (Tn , Tm ) dx π / 2, m n 0 (2) 正交性： 2 1 1 x π, mn0 n T ( x ) ( 1) Tn ( x) (3) 奇偶性： n
性质1 性质2
n ( x)
为首一 n 次多项式。 [a, b] 上带权 (x) 的正交多
是 k k 0
项式族，且
H n span 0 ,1,...,n
性质 3 正交。
n ( x) 与所有次数不高于n-1次的多项式
正交多项式性质
性质 4
此 k k 0 满足如下三项递推公式：
数值分析及计算软件
第三章
函数逼近与计算
3.3 最 佳 平 方 逼 近 及正交多项式
最佳平方逼近问题：
若存在 Pn* ( x )H n , 使得
|| f ( x) Pn ( x) ||2 inf || f ( x) Pn ( x) ||2 ,
分析06-平方逼近 数值分析 教学课件 ppt-西南交通大学
b
k 1
于是： ( x) k ( x)Q k 1 ( x)dx ( x) k ( x)[ b j j ( x)]dx
，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积分也要用到
正交多项式。
定义6.3 如果函数系{0(x), 1(x),…, m(x),…}满足:
b
0 j k
(j,k) a(x )j(x )k(x )d x A k 0 j k (j,k 0 ,1 ,2 )
则称此函数为区间[a, b]上关于权函数(x) 的正
问题：如何求二
(1,1)
1 x2dx 1 ,
0
3
1
( f ,0 )
cosxdx 0
0
次、三次最佳平 方逼近多项式，
(
f
,1
)
1
0
x
cos
xdx
1
1
0
xd
sin
x
1
x
s
in
x
1
0
sin
xdx可) ：（1）如上，
1 2
cosx
1
0
1 2
(1 1)
2 2
H = {1,x,x2}
即取2(x) = x2
证明：（用反证法设） 0， 假1， ，n是线性相关,即的存在不全为
零的实c数 0,c1, ,cn使得：
c00(x)c11(x) cnn(x) 0
x[a,b]
不妨设 ci 0，以(x)i(x)乘以上式后，在[a区 ,b]上 间积分得：
c0(0,i)c1(1,i) cn(n,i) ci(i,i) 0 因为(i,i) 0，故ci 0，导出矛盾，所0，以, (x) a0 a11(x),
最佳平方逼近
逼近元g(x) a11(x) ..... amm(x)
(1,1) (2,1) L
A
(1,2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1)
(m
,2
)
L
(m
,
m
)
称为函数1(x)，.....，m (x)的Gram矩阵，
A显然是对称矩阵。
若1(x)，.....，m (x)线性无关，则它们
0
3
(ex ,1) 2 ex 1dx e2 1 0
(ex , x) 2 ex xdx e2 1 0
法方程组为
2a0
2a0
2a1 8 3 a1
e2 1 e2 1
a0=0.1945 , a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
a0 (1,1) a1(x,1) ... an (xn ,1) ( f ,1)
a0 (1, x) a1(x, x) ... an (xn , x) ( f , x)
a0 (1, xn ) a1(x, xn ) ... an (xn , xn ) ( f , xn )
求解法方程组，得到a0，a1，...，an
(1,1) (2,1) L
A
(1,2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1)
(m
,2
)
L
(m
,
m
)
称为函数1(x)，.....，m (x)的Gram矩阵，
A显然是对称矩阵。
若1(x)，.....，m (x)线性无关，则它们
0
3
(ex ,1) 2 ex 1dx e2 1 0
(ex , x) 2 ex xdx e2 1 0
法方程组为
2a0
2a0
2a1 8 3 a1
e2 1 e2 1
a0=0.1945 , a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
a0 (1,1) a1(x,1) ... an (xn ,1) ( f ,1)
a0 (1, x) a1(x, x) ... an (xn , x) ( f , x)
a0 (1, xn ) a1(x, xn ) ... an (xn , xn ) ( f , xn )
求解法方程组，得到a0，a1，...，an
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最佳平方逼近多项式
学习交流PPT
1
§5.2 最佳平方逼近多项式
• 本节内容
1.内积空间 2.两类特殊的函数族 3.函数的最佳平方逼近 4.举例 5.MATLAB程序实现
学习交流PPT
2
1.内积空间
权函数：考虑到 f ( x )在区间[a,b]上各点的函数
值比重不同,常引进加权形式的定义，设在区
间[a,b]上的非负函数 ( x ) 满足条件：
学习交流PPT
4
1.内积空间
内积空间：满足内积定义的函数空间称为内积 空间。如在连续函数空间C [ a , b ] 上定义了内积 就形成了一个内积空间。
向量的模：在n维欧氏空间R n 中，内积就是两
向量的数量积，即 n (x, y)xTy xkyk k1
向量的模（范数)的定义为：
n
1
f (x,x)( 2
n
aj(k,j)(f,k)0(k0,1,L,n)
j0
n
即
(k,j)aj (f,k) (k0,1,L,n)
j0
学习交流PPT
11
3.函数的最佳平方逼近
n
(k,j)aj (f,k) (k0,1,L,n)
j0
上式是关于a0,a1,L ,an的线性方程组，称
为法方程。用矩阵形式可表示为
(0,0) (1,0)
M
(0,1) L (1,1) L
M
(0,n1)a0 (f,0) (1,n1) a1(f,1)
M M M
(n1,0) (n1,1) L (n1,n1)an (f,n)
简记为Ha d。其中 a(a0,a1,L,an)T,
d ( d 0 ,d 1 ,L ,d n ) T ,d k ( f,k )( k 0 ,1 ,2 ,L ,n )
线性无关：若函数 0(x) ,1(x),,n 1(x)在区间[a,b]
上连续，如果
a 0 0 ( x ) a 1 1 ( x ) a 2 2 ( x ) a n 1 n 1 ( x ) 0
当且仅当 a0a1Lan10时成立，则称
0(x) ,1(x),,n 1(x)在[a,b]上是线性无关的。
b
I(a 0,a 1,,a n)a
n
(x) [aj j(x)f(x)]2dx
j 0
的最小值。令 I 0(k0,1,L,n), 则
ak
a I k 2 a b( x ) [j n 0 a j j( x ) f( x ) ]k ( x ) d x 0( k 0 ,1 ,L ,n )
引入内积定义，可得
满足关系
(j,k)a b(x)j(x)k(x)dx 0 A ,k0,jj k k
则称 ( x ) 是[a,b]上带权 ( x ) 的正交函数族；
若 A k 1，则称为标准正交函数族。
学习交流PPT
7
2.两类特殊的函数族
可以证明，三角函数族 1 ,cosx,sinx,cos2x,sin2x,L 满足上述条件，是在[ , ] 上的正交函数族。
学习交流PPT
8
2.两类特殊的函数族
线性无关函数族：若函数族 k(x)(k0,1 ,2,)
中的任何有限个 k 线性无关，则称 k 为线性
无关函数族。
充要条件：0(x),1(x),,n1(x)在[a,b]上线性无关
的充要条件是它的Gramer行列式 Gn1 0，其中
(0,0) (0,1) L (0,n1)
1）ab|x|n(x)(n0,1,L)存在；
2）对非负的连续函数 g
(x)
，若
bg(x)(x)dx0, a
则在[a,b]上，g(x) 0，即 ( x ) 不恒为0。
就称 ( x )为[a,b]上的权函数。它的物理意 义可以解释为密度函数。
学习交流PPT
3
1.内积空间
内积：设 f(x ),g (x ) C [a ,b ],(x )是[a,b]上的权
令f(x)s*(x)，则平方误差
2
2
2
2
行四边形定律。
学习交流PPT
6
2.两类特殊的函数族
正交：若 f(x ),g (x ) C [a ,b ],(x )为[a,b]上的权
函数且满足
(f,g)b(x)f(x)g(x)dx0 a
则称 f ( x )与g ( x )在[a,b]上带权正交。
正交函数族：若函数族 0 (x ),1 (x ),, n(x ),
学习交流PPT
12
3.函数的最佳平方逼近
由于0,1,,n线性无关，故其系数矩阵H的
行列式非奇异，即 G (0,1,,n)0，该法方程有
唯一解为
a ka k * (k0 ,1 ,2 ,L,n)
则最佳平方逼近函数为
s * (x ) a 0 *0 (x ) a 1 *1 (x ) a n *n (x )
Gn1G(0,1,L,n1)
(1,0)
M
(1,1) L (1,n1)
M
M
(n1,0) (n1,1) L (n1,n1)
学习交流PPT
9
3.函数的最佳平方逼近
最佳平方逼近函数：对于 f(x)C[a,b]及C [ a , b ]中的
一个子集 S pan{0,1,L,n},若存在 s(x)
使下式成立:
f s2 in ff s(x )2 in fb(x )[f(x ) s(x )]2 d x
2 s
2 s a
则称 s ( x ) 是 f ( x ) 在子集C[a,b]中的最佳平方
逼近函数，其中 k 是一组线性无关函数族，函
数 s ( x ) a 00 ( x ) a 11 ( x ) L a nn ( x ) 。
学习交流PPT
10
3.函数的最佳平方逼近
对函数s*(x)的求解：等价于求以下多元函数
fk2)2
k1
学习交流PPT
5
1.内积空间
欧式范数：若 f(x)C[a,b],则量
f (f,f) bf2(x)dx
2
a
称为f ( x )的欧式范数。
对任何 f,gC[a,b],有以下结论：
（1）(f,g)f
2
g2，又称柯西-施瓦茨不等式；
（2）fg f g，又称三角不等式；
2
2
2
（3）f g2f g2 2 (f 2g2 )，又称平
函数，则称积(分f,g)ab(x)f(x)g(x)dx
为函数 f ( x )与g ( x )在[a,b]上的内积,有下列性质：
1）(f,g)(g,f); 2）(C f,g)C (f,g),C为常数; 3）(f1 f2 ,g ) (f1 ,g ) (f2 ,g ); 4）( f , f ) 0, 当且仅当f 0 时，(f , f )0。
学习交流PPT
1
§5.2 最佳平方逼近多项式
• 本节内容
1.内积空间 2.两类特殊的函数族 3.函数的最佳平方逼近 4.举例 5.MATLAB程序实现
学习交流PPT
2
1.内积空间
权函数：考虑到 f ( x )在区间[a,b]上各点的函数
值比重不同,常引进加权形式的定义，设在区
间[a,b]上的非负函数 ( x ) 满足条件：
学习交流PPT
4
1.内积空间
内积空间：满足内积定义的函数空间称为内积 空间。如在连续函数空间C [ a , b ] 上定义了内积 就形成了一个内积空间。
向量的模：在n维欧氏空间R n 中，内积就是两
向量的数量积，即 n (x, y)xTy xkyk k1
向量的模（范数)的定义为：
n
1
f (x,x)( 2
n
aj(k,j)(f,k)0(k0,1,L,n)
j0
n
即
(k,j)aj (f,k) (k0,1,L,n)
j0
学习交流PPT
11
3.函数的最佳平方逼近
n
(k,j)aj (f,k) (k0,1,L,n)
j0
上式是关于a0,a1,L ,an的线性方程组，称
为法方程。用矩阵形式可表示为
(0,0) (1,0)
M
(0,1) L (1,1) L
M
(0,n1)a0 (f,0) (1,n1) a1(f,1)
M M M
(n1,0) (n1,1) L (n1,n1)an (f,n)
简记为Ha d。其中 a(a0,a1,L,an)T,
d ( d 0 ,d 1 ,L ,d n ) T ,d k ( f,k )( k 0 ,1 ,2 ,L ,n )
线性无关：若函数 0(x) ,1(x),,n 1(x)在区间[a,b]
上连续，如果
a 0 0 ( x ) a 1 1 ( x ) a 2 2 ( x ) a n 1 n 1 ( x ) 0
当且仅当 a0a1Lan10时成立，则称
0(x) ,1(x),,n 1(x)在[a,b]上是线性无关的。
b
I(a 0,a 1,,a n)a
n
(x) [aj j(x)f(x)]2dx
j 0
的最小值。令 I 0(k0,1,L,n), 则
ak
a I k 2 a b( x ) [j n 0 a j j( x ) f( x ) ]k ( x ) d x 0( k 0 ,1 ,L ,n )
引入内积定义，可得
满足关系
(j,k)a b(x)j(x)k(x)dx 0 A ,k0,jj k k
则称 ( x ) 是[a,b]上带权 ( x ) 的正交函数族；
若 A k 1，则称为标准正交函数族。
学习交流PPT
7
2.两类特殊的函数族
可以证明，三角函数族 1 ,cosx,sinx,cos2x,sin2x,L 满足上述条件，是在[ , ] 上的正交函数族。
学习交流PPT
8
2.两类特殊的函数族
线性无关函数族：若函数族 k(x)(k0,1 ,2,)
中的任何有限个 k 线性无关，则称 k 为线性
无关函数族。
充要条件：0(x),1(x),,n1(x)在[a,b]上线性无关
的充要条件是它的Gramer行列式 Gn1 0，其中
(0,0) (0,1) L (0,n1)
1）ab|x|n(x)(n0,1,L)存在；
2）对非负的连续函数 g
(x)
，若
bg(x)(x)dx0, a
则在[a,b]上，g(x) 0，即 ( x ) 不恒为0。
就称 ( x )为[a,b]上的权函数。它的物理意 义可以解释为密度函数。
学习交流PPT
3
1.内积空间
内积：设 f(x ),g (x ) C [a ,b ],(x )是[a,b]上的权
令f(x)s*(x)，则平方误差
2
2
2
2
行四边形定律。
学习交流PPT
6
2.两类特殊的函数族
正交：若 f(x ),g (x ) C [a ,b ],(x )为[a,b]上的权
函数且满足
(f,g)b(x)f(x)g(x)dx0 a
则称 f ( x )与g ( x )在[a,b]上带权正交。
正交函数族：若函数族 0 (x ),1 (x ),, n(x ),
学习交流PPT
12
3.函数的最佳平方逼近
由于0,1,,n线性无关，故其系数矩阵H的
行列式非奇异，即 G (0,1,,n)0，该法方程有
唯一解为
a ka k * (k0 ,1 ,2 ,L,n)
则最佳平方逼近函数为
s * (x ) a 0 *0 (x ) a 1 *1 (x ) a n *n (x )
Gn1G(0,1,L,n1)
(1,0)
M
(1,1) L (1,n1)
M
M
(n1,0) (n1,1) L (n1,n1)
学习交流PPT
9
3.函数的最佳平方逼近
最佳平方逼近函数：对于 f(x)C[a,b]及C [ a , b ]中的
一个子集 S pan{0,1,L,n},若存在 s(x)
使下式成立:
f s2 in ff s(x )2 in fb(x )[f(x ) s(x )]2 d x
2 s
2 s a
则称 s ( x ) 是 f ( x ) 在子集C[a,b]中的最佳平方
逼近函数，其中 k 是一组线性无关函数族，函
数 s ( x ) a 00 ( x ) a 11 ( x ) L a nn ( x ) 。
学习交流PPT
10
3.函数的最佳平方逼近
对函数s*(x)的求解：等价于求以下多元函数
fk2)2
k1
学习交流PPT
5
1.内积空间
欧式范数：若 f(x)C[a,b],则量
f (f,f) bf2(x)dx
2
a
称为f ( x )的欧式范数。
对任何 f,gC[a,b],有以下结论：
（1）(f,g)f
2
g2，又称柯西-施瓦茨不等式；
（2）fg f g，又称三角不等式；
2
2
2
（3）f g2f g2 2 (f 2g2 )，又称平
函数，则称积(分f,g)ab(x)f(x)g(x)dx
为函数 f ( x )与g ( x )在[a,b]上的内积,有下列性质：
1）(f,g)(g,f); 2）(C f,g)C (f,g),C为常数; 3）(f1 f2 ,g ) (f1 ,g ) (f2 ,g ); 4）( f , f ) 0, 当且仅当f 0 时，(f , f )0。