三角多项式逼近与多项式逼近
函数逼近理论
函数逼近理论函数逼近是数学中研究近似计算方法的重要分支，它通过寻找一个接近所需函数的近似函数来简化复杂的计算问题。
函数逼近理论涵盖了多项式逼近、三角函数逼近、最小二乘逼近等各种方法。
本文将从数学背景、函数逼近的原理和应用领域三个方面进行讨论。
一、数学背景在了解函数逼近理论之前，我们需要回顾一些数学背景知识。
首先，我们要了解函数及其性质的概念。
函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中元素的规则，常用来描述数学、物理和工程问题。
其次，我们要熟悉多项式的性质。
多项式是由常数和变量的乘积相加而成的表达式，其具有高度的可控性和计算性能。
最后，我们需要了解一些数学分析工具，如泰勒级数展开和傅里叶级数展开等。
二、函数逼近的原理函数逼近的核心思想是通过构造一个近似函数，在一定范围内保持与所需函数的接近程度。
常用的函数逼近方法包括最小二乘逼近、插值逼近和曲线拟合等。
最小二乘逼近是一种基于最小化残差平方和的方法。
其基本思想是通过寻找一个多项式函数，使得所需函数与多项式函数的差异最小化。
这种逼近方法在实际问题中应用广泛，如信号处理、数据拟合等领域。
插值逼近是一种通过在给定数据点上构造插值多项式来逼近函数的方法。
插值多项式与原函数在数据点处相等，通过连接这些数据点构造出一个逼近函数。
插值逼近在图像处理、数值计算和计算机图形学等领域具有重要应用。
曲线拟合是一种寻找一条曲线与给定数据集最匹配的方法。
常用的曲线拟合方法包括多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。
曲线拟合方法在统计学、经济学和物理学等领域具有广泛应用。
三、函数逼近的应用领域函数逼近理论在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在数学领域，函数逼近可用于求解复杂的数学问题，如微积分、方程求解等。
在工程领域，函数逼近可用于优化算法、信号处理、图像处理等领域。
在优化算法中，函数逼近可用于近似解决无法求得精确解的优化问题。
通过构造一个逼近函数，可以减少计算量和提高计算效率，从而更好地解决实际问题。
三角多项式及其误差分析
三角多项式及其误差分析三角多项式是一类重要的函数形式，由于它具有周期性、连续性和可积性的特点，在科学与工程中有着广泛的应用。
尤其是在信号处理、波动方程求解、小波分析等领域，三角多项式是最重要的基函数之一。
本文将对三角多项式的基本形式、性质、优点和误差分析进行详细介绍。
1. 基本形式三角多项式的基本形式是根据正弦和余弦函数组成的级数形式，通常表示为：$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\ sin(nx))$其中，$a_0,a_n,b_n$均为系数。
$n$为整数。
这样的多项式成为傅里叶级数，当系数满足一定的条件时，可以表示任何周期函数。
2. 基本性质三角多项式有以下几个基本性质：（1）周期性：三角多项式是周期函数，周期为$2\pi$，即$f(x+2\pi)=f(x)$。
（2）连续性：当三角多项式级数收敛时，函数$f(x)$是连续的。
（3）可积性：在周期$[a,b]$上，三角多项式的积分与积分区间的选取无关，即$\int_a^bf(x)dx=\int_{a+2k\pi}^{b+2k\pi}f(x)dx$。
（4）正交性：当$n\neq m$时，$\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)dx=0$。
当$n=m$时，$\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(nx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(nx)dx=\pi$。
3. 优点与应用（1）方便计算：三角多项式的形式简单，系数易于计算，且快速傅里叶变换可以快速计算三角多项式的系数，从而有效地求解周期函数。
（2）适用范围广：三角多项式不仅可以表示周期函数，还可以表示一般的函数，由于具有连续性和可积性，可以应用于信号处理、噪声滤波和数据压缩等领域。
（3）多项式逼近：由于三角多项式具有正交性，可以用于多项式逼近，也就是利用最小二乘原理，求解最佳系数，从而优化函数的拟合程度。
Orlicz空间中三角多项式倒数对周期可微函数的逼近定理
Ｏｒｃ ｌｚ空间中三角多项式倒数对周期可微函数的逼近定理 ｉ
顾春 贺，吴 嘎 日迪
内蒙古师范大学 数学科学学院，呼和浩特 ０ ０ ２ １０ ２
摘要：利用 Ｏｒ ｃ ｌ ｚ空间内有关不等式技巧在 Ｏｒｉ ｉ ｌ ｚ空间内研究了用三角多项式的倒数逼近周期可微函 ｃ
数的问题． 得到了一个逼近定理及其推论．
（） ≤Ｃｓ 、
时， 存在次数不超过 礼的代数多项式 （ ， 使得 ）
） １≤ １ｆ、 一 丽ｌ ， ）
式中 仅与 Ｃ 有关， （ ， 表示 ，（） ｆ ．・ 厂 ） 的连续模． 在文献 ［ 和 ［ 中作者还举例说明了对某些函 ２ ］ ３ ］
／ Ｉ （ｄ ≤Ｃ 一， Ｊ ，， ｔ ｔ ｔ ｎ’ ｌ ） Ｊ ＝０１２
设 ｆｘ ∈ （） ［丌 丌 定义 ， 的平均 函数 ＿ ，】 （）
３ 主要 结果 及其证 明
定理 设 ｆｘ 为非负函数 ， ｆｘ 不恒为零 ， （） ２ （） 且 （） ｆｘ 以 丌为周 期， （） ｆｘ ∈ ［
关键词：逼近； 周期可微 函数； 三角多项式
中图分类号： Ｏ１ ４４ ７ ．１ 文献标识码 ：Ａ
１ 引言
有关 Ｏ ｌｚ ｒｃ 空间的概念和记号见文献 ［＿ ｉ １以 】
数
［ １表示定义在 ［ １上由 Ⅳ 函数 Ｍ（） ０】 ， ０】 ， 生成
பைடு நூலகம்
的 Ｏ ｌｚ ｒｃ 空间． ｖ 是 Ｍ（） ｉ Ｎ（） 的余 Ⅳ 函数． ｕ， ｖ 都满足 △ 条件， Ｍ（）Ｎ（） ２ 对于 ．∈Ｌ ０１定义范 厂 ［ ］ ，
筹 ｒ，￣ ＝２ １－ ， －
式中 ｄ 的选取使得
（） ３
． ｎ出 ／ （ － ）
Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用
本科毕业论文题目： Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用学院：班级：姓名：指导教师：职称：完成日期：年月日Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用摘要：Weierstrass逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一,该定理阐述了在预先给定的精度下,可以用多项式逼近任意给定的闭区间上的连续函数.本文第一部分用Bernstein多项式证明了Weierstrass逼近定理,从而很直观地说明了[]bC,中的函a数()xf可被函数多项式一致逼近.之后又引入切比雪夫多项式的一个多项式核来给出另外一种不同的证明方法.第二部分简单介绍了Weierstrass逼近定理在不同情形下的一些推广.最后一部分则是Weierstrass逼近定理的一些应用.关键词：Weierstrass逼近定理； Bernstein定理；切比雪夫多项式；测度收敛目录1 Weierstrass逼近定理及其证明 (3)1.1 Weierstrass逼近定理的第一种证明 (3)1.1.1 Weierstrass逼近定理的Bernstein证明 (3)1.1.2 闭区间[]ba,上的weierstrass逼近定理 (5)1.2 Weierstrass逼近定理的第二种证明 (6)2 Weierstrass逼近定理的推广 (8)2.1 Weierstrass第二定理 (8)2.2 Weierstrass-Stone定理 (9)2.3 复函数情形下的Weierstrass逼近定理 (9)2.4 非连续函数的情形 (10)3 Weierstrass逼近定理的应用 (11)3.1 复合函数的测度收敛定理 (11)3.2 Weierstrass逼近定理的逆定理 (11)在一致逼近的理论中,遇到的第一个问题是:在预先给定的精度下,能否用多项式逼近任意给定的连续函数?1985年,weierstrass 对这个问题给出了肯定回答: Weierstrass 逼近定理设()[]1,0C x f ∈ ,则存在多项式n n P x p ∈)(,使0)()(max lim 10=-≤≤∞→x p x f n x n .1 Weierstrass 逼近定理的证明1.1 Weierstrass 逼近定理的第一种证明1.1.1 Weierstrass 逼近定理的Bernstein 证明对于这个著名的定理,至今有多种不同的证明方法.下面将给出Bernstein 的证明,其精度虽不是最好的,但非常精彩.定义1 设()[]1,0C x f ∈,()x f 的第()1≥n n )个Bernstein 多项式由下式给出:kn k nk n n x x k n n k f x f B f B -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑)1();()(0.显见n n P f B ∈)(.引理1 下列恒等式成立:(1)()110=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑k n knk k x k n , (2)()()010=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑kn k nk x x k n nx k, (3)()()()x nx x x k n nx k k n k nk -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑112. 引理2 对任意给定的δ＞0 及10≤≤x ,有()2411δδn x x k n k n k x n k≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-∑,其中求和号表示对固定的x 满足不等式δ≥-x nk 的k 求和.该引理的意义在于当n 很大时,在和式()kn nk kx x k n -=∑-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01中,起主要作用的只是满足条件δ<-x nk 的那些k 值所对应的项的和,而其余的项对和的值无多大影响.证 我们从(1)知()110=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑k n knk k x k n , 因此两边同时乘以()x f 有()x f =()()kn k nk x x k n x f -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑10.对任意0>δ,我们有()()x f f B n -≤()()kn k nk x x k n x f n k f -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑10=()∑<--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f n k f ()kn k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 +()∑≥--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f n k f ()k n k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1. 由于()x f 在x 处连续,对任给0>ε,存在0>δ,使得 当δ<-x n k 时,()ε<-⎪⎭⎫⎝⎛x f n k f ,故第一个和式()∑<--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f nk f ()k n k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 ε≤()kn k x n kx x k n -<--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑1δ ε≤()kn k nk x x k n -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑10ε=.又由()x f 在[]1,0上连续,所以存在M >0,使得()()M x f n k f x f n k f ≤+⎪⎭⎫⎝⎛≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛.故由引理2,第二个和()∑≥--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f n k f ()kn k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 ≤()∑≥---⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k kn k x x n k M124δn M ≤.因此,对任何0>ε,先取0>δ,使得当δ<-x nk 时，()ε<-⎪⎭⎫⎝⎛x f n k f然后固定δ,再取n 充分大,就有()()ε2<-x f f B n .注意到我们在定理的证明中,对第一个和只用到()x f 在x 处连续,对第二个和只用到()x f 在[]1,0上有界.因此有Bernstein 定理 ：设()x f 在[]1,0上有界,则()()x f f B n n =∞→lim 在任何()x f 的连续点[]1,0∈x 成立.如果()[]1,0C x f ∈,则极限在[]1,0上一致成立.注(1)若有界函数()x f 在点x 处存在有限的二阶导数()x f ", 则()()()()()nn x x nx f x f f B n ρ+-''+=12,其中()()∞→→n n 0ρ.(2) 若()x f 在[]1,0上有连续的导数()x f ',则()x B n '一致收敛于()x f '.(3) 设()[]1,0C x f ∈,那么()()()()x ff B p p n n =∞→lim 在[]1,0上一致地成立.(4) 若()()0≥x fp ,∈x []1,0,那么，()()0≥f B p n ,∈x []1,0.(5) 若()x f 在[]1,0上是非减的,那么()f B n 在[]1,0上也是非减的. (6) 若()x f 在[]1,0上是凸的,那么()f B n 在[]1,0上也是凸的.由以上的推论可知,一个连续函数的Bernstein 多项式逼近与被逼近函数的极值和高阶导数有关,并且单调的和凸的函数分别产生单调的和凸的逼近.总之,Bernstein 多项式模拟被逼近函数的特性达到十分惊人的程度. 1.1.2 闭区间[]b a ,上的weierstrass 逼近定理 设()[]b a C x f ,∈,则存在多项式n n P x p ∈)(,使得0)()(max lim =-≤≤∞→x p x f n bx a n .证 令()a b y a x -+=,则有()()()()y a b y a f x f ϕ=-+=. 因为ab a x y --=,所以()y ϕ是定义在[]1,0上的连续函数,于是由Weierstrass 逼近定理知存在多项式()knk kycy Q ∑==,使得对于一切[]1,0∈y ,有()()()()εϕ<--+=-∑=nk kkyca b y a f y Q y 0.也就是()[]b a x a b a x c x f nk kk ,,0∈<⎪⎭⎫⎝⎛---∑=ε.1.2 Weierstrass 逼近定理的第二种证明首先引入切比雪夫多项式(Chebyshev ’s polynomials)的一个多项式核. 引理3 恒等式cos (),2,1,cos cos 211=+=∑-=-n n kn k n knn θλθθ为真,其中()()n n n 10,,-λλ 为某些常数.推论3 当[]1,0∈x 时,恒等式()(),2,1,2arccos cos 11=+=∑-=-n x x x n kn k n knn λ成立.定义2 称多项式()()x n x T n arccos cos =为n 次切比雪夫多项式.设()()()x n x T n arccos 12cos 12+=+是12+n 次切比雪夫多项式,对任意N n ∈,在[]1,1-上令()()2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+x x T x K n n n γ,其中()dx x x T n n 21112⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=γ. 如上定义的()x K n 在定理证明中将起到多项式核的作用.它具有下列性质: 性质1 ()x K n 是n 4次多项式,且是偶数.性质2 由定义显然有下面的恒等式()111=⎰-dx x K n .性质3 对于 何()1,0∈δ,及N n ∈都有()δδn dx x K n 11<⎰.证 由第一种证明可知,我们只需证明[][]1,1,-=b a 的情况即可.首先将()x f 连续开拓到[]2,2-上.例如,我们令()x f =()()()[)[](].,,2,11,11,2,,,11∈-∈--∈⎪⎩⎪⎨⎧-x x x f x f f 显然,()x f 在[]2,2-上一致连续.对任意N n ∈,当∈x []1,1-时,以n K 为核构造函数 ()()dtx t K t f x P n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰-33122. (1)由于n K是n 4次多项式,故()()knk n kn x t x t K ∑==⎪⎭⎫⎝⎛-403λ.所以()()()()kn k k n kx dtx t t f μλ=⎰-22,其中()n k μ是常数,故而()x P n 是一个n 4次的多项式.令3x t -=η，(1)就变为()()()ηηηd K x f x P n xx n ⎰---+=32323 (2)由性质2,可得()()=-x P x f n ()()()()⎰⎰----+-3232113xx n n d K x f d K x f ηηηηη=()()[]()ηηηδδd K x f x f n⎰-+-333+()()ηηδδd K x f n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰--1331()()ηηηδδd K x f n xx 3323332+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎰⎰----≤()()⎰-+-333δδηx f x f ()ηηd K n +()()ηηδδd K x f n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰--1331+()()ηηηδδd K x f n xx 3323332+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰----. 将上式中最后所得三个积分依次记为32,1,I I I .由于()x f 在[]2,2-上一致连续,故对任意0>ε,存在0>δ.当[]2,2,,2121-∈<-x x x x δ时必有()()ε<-21x f x f , (3)所以()εηηεδδ<≤⎰-d K I n 331.设[]()x f M x 2,2max -∈=,那么()δηηδn M d K MI n 62132<≤⎰.()ηηδδd K M I n xx⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎰⎰----3233323()δηηδδn M d K M n61331<⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎰⎰--.所以()()δεn M x P x f n 12+<-.因此,对任意0>ε,先取定δ,使(3)成立,然后固定δ,再取n 充分大就有()()ε2<-x P x f n .2 Weierstrass 逼近定理的推广 2.1 Weierstrass 第二定理Weierstrass 逼近定理说明了可以用多项式来逼近[]b a ,上的连续函数,Weierstrass 第二定理将给出关于三角多项式和周期连续函数的一个相应的结论.设()π2C x f ∈,对任意0>ε,存在三角多项式()x T ,使得对于一切实数x ,都有()()ε<-x f x T .其中π2C 表示()∞∞-,上以π2为周期的连续函数集合.也就是说,任何具有周期π2的连续函数都能用三角多项式一致地逼近. 注:通常把这个定理和Weierstrass 逼近定理分别称作Weierstrass 第二定理和Weierstrass 第一定理.我们可以通过以下几个引理证得这个定理,这里不做详细证明.见参考文献[1].引理1 若()πϕ2C x ∈,则对于任何a ,等式()()dx x dx x a a⎰⎰=+ππϕϕ202都成立.引理2 对任何N n ∈有下面的恒等式()2!!2!!12cos 202ππn n tdt n -=⎰.引理3 对于一切实数,一致地有 ()()x f x V n n =∞→lim .其中()π2C x f ∈,()()()dt x t t f n n x V nn 2cos21!!12!!22--=⎰-πππ.要想由此推得Weierstrass 第二定理,只须证明()x V n 是一个三角多项式即可.为此,我们需要下列引理.定义1 若0>+n n b a ,则称三角多项式()()∑=++=nk k kn kx b kx aA x T 1sin cos 的阶为n.引理 4 两个三角多项式的乘积仍为一个三角多项式,且其阶等于两因子阶之和.引理5若三角多项式()x T 为一偶函数,即()()x T x T =-,则 它可以表示成()∑=+=nk k kx a A x T 1cos 的形式,即式中不含倍角的正弦.2.2 Weierstrass-Stone 定理设E 是某个度量空间中的任意子集,它至少包含两个不同的元素,并且在E 上成立有限覆盖定理.设定义在E 上的实函数系(){}x p 组成一个线性空间,且构成一个环Y ,这个环包含常数,且对于E 中任意两个不同的元素1x ,2x ,在环Y 中存在函数()x p ,使()()21x p x p ≠,于是对于E 上定义的任意一个实连续函数()x f ,对于任给0>ε,在Y 上存在元素()x p ,使得有()()E x x p x f ∈<-,ε.利用Stone 定理可以得到很多有用的逼近定理,例如下面的有理函数逼近定理设()()∞∞-∈,C x f ,则任给0>ε,存在有理函数()Ω∈x R , 使()()ε<-x R x f ,∞<<∞-x .其中Ω表示分子的次数不大于分母次数的全体实系数有理函数()x R 空间. 2.3复函数情形下的Weierstrass 逼近定理定理1 ()[]b a C x f ,∈∀，存在有理（或复有理）系数多项式序列(){}P x p n ⊂， 使得()()x f x p n n =∞→lim .引理1 度量空间[]()d b a C X ,,=中点列(){}x f n 收敛于()x f 当且仅当函数列(){}x f n 在[]b a ,上一致收敛于函数()x f .证 []()d b a C X ,,=中点列{}n f 收敛于()x f .当且仅当()[]()()0max lim ,lim ,=-=∈∞→∞→x f x f f f d n b a x n n n等价于(){}x f n 在[]b a ,上一致收敛于函数()x f . 由定理1和引理1即可证得如下定理:定理2 ()[]b a C x f ,∈∀，存在有理（或复有理）系数多项式序列(){}P x p n ⊂，使得(){}x p n 在[]b a ,上一致收敛于()x f . 2.4 非连续函数的情形定理1 如果一个函数()x f 与一个连续函数()x g 在闭区间[]b a ,上几乎处处相等（即除了一个零测集A 外都相等）,那么0>∀ε,都存在多项式()x p ,使不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max成立.证 函数()x f 与连续函数()x g 在[]b a ,上几乎处处相等,因此对0>∀ε,有[]()()[]()()[]()()εεε<-≤-=-∈x g x p x g x p x f x p b a x Ab a x Ab a x ,\,\,max maxmax.由此可以看出,是否存在多项式()x p 逼近定义在闭区间上的函数()x f ,只要衡量函数()x f 是否能与一个连续函数()x g 几乎处处相等,即使函数()x f 是处处不连续的,也有上面定理的结论.利用这个定理可以解释下面两个例子.例1:().20,02,1,1≤<≤≤-⎩⎨⎧-=x x x f显然,函数()x f 是除了零点以外其它各点都连续的分段函数,几乎处处连续但不连续,我们不能找到一个多项式使不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max 成立,只能找到一个分段多项式满足不等式,这个多项式恰恰是这个函数本身.例2:()[].\2,1,,0,1Q x Q x x f ∈∈⎩⎨⎧=其中Q 是定义[]2,1在上的有理数集.显然函数()x f 是处处不连续的,但取()0p =x ,不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max 成立.3 Weierstrass 逼近定理的应用 3.1 复合函数的测度收敛定理设()x g 在R 上连续函数,若在可测集E 上几乎处处一致有界可测函数列(){}x f n 测度收敛于()x f ,则在E 上可测函数列()(){}x f g n 测度收敛于()()x f g . 3.2 Weierstrass 逼近定理的逆定理Weierstrass 逼近定理从正面阐述了连续函数可以用多项式来逼近的重要性质,反之,如果一个定义在闭区间上的函数能用多项式逼近,则该函数必然是连续函数.定理 在实数范围内,对定义在闭区间[]b a ,上的函数()x f ,如果满足对0>∀ε,都存在这样的多项式()x p ,使不等式[]()()ε<-∈x f x p b a x ,max 成立,那么函数()x f 必然是连续函数.由此,我们得到如下结论,这可以作为Weierstrass 逼近定理的补充或充要条件.结论1 ()[]b a C x f ,∈的充分必要条件是:对0>∀ε,都存在一个多项式()x p 使不等式[]()()ε<-∈x f x p b a x ,max 成立.结论2 函数()x f 是连续函数或是与一个连续函数几乎处处相等的函数的充分必 要条件是:对0>∀ε,都存在一个多项式()x p 使不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max成立.这里A 为零测度集.例1: 设函数()x f 定义在闭区间[]b a ,上，且在该区间上与一个连续函数()x f 几乎处处相等,则()0=⎰dx x f x ban, 2,1,0=n成立的充分必要条件是()0=x f 在[]b a ,上几乎处处成立.证 充分性显然,只需证明必要性.由条件有()()x g x f =,([])A b a x \,∈,其中A 是[]b a ,上的零测度集.所以0=()()[]()dx x f x dx x f x dx x f x AnAb a n ban ⎰⎰⎰+=\,=()[]()dxx g x dx x g x AnAb a n⎰⎰+\,=()dx x g x ban ⎰因此由注释①可得()0=x g ,[]b a x ,∈注意当[]A b a x \,∈时, ()()x g x f =,所以()0=x f ,[]A b a x \,∈.证毕. 注释：①设函数()[]b a C x f ,∈.则()0=⎰dx x f x ban, 2,1,0=n成立的充分必要条件是: ()0=x f ,[]b a x ,∈. ②设E 为有界集,当E m E m **=时,称E 为可测的.其中外测度mG E m EG ⊃*=inf ,内测度mF E m EF ⊂*=sup .③设()x f n 是可测集E 上的可测函数列,()x f 是E 上的可测函数.如果对每个0>ε, 有()0lim =≥-∞→εf fmEnn ,则称序列()x f n 测度收敛于()x f .参考文献：[1]莫国端，刘开第．函数逼近论方法[M]．北京：科学出版社，2004：11-44．[2]艾斯卡尔·阿布力米提．Weierstrass 逼近定理的一个应用 [J]．新疆教育学院学报，1999，15 (45)：53-54．[3]Parlett B N.The QR algorithm[J]．Computing in Science & Engineering ，2000，2(1):38-42． [4]Powell M J D ．Approximation theory and methods[M].New York:Cambridge University Press ，1981．[5]刘洋，李宏．关于Weierstrass 逼近定理的几点注记[J]．数学实践与认识，2009，39(2)：208-210．[6]郝玉斌．关于Weierstrass 一致逼近定理的证明[J]．黑龙江大学自然科学学报，1985，3． [7]沈燮昌．Weierstrass 逼近定理及其应用[J]．曲阜师范大学学报，1989，15(2)．Proof and Extension on Weierstrass Approximation TheoremAbstract :The weierstrass approximation theorem is one of the important theorems in functional approximation theories. This theorem expounds that, the precision can be given in advance ,continuous function defined any given on the closed interval can be approximated by a polynomial. At the first part, the article uses the bernstein polynomials to prove the weierstrass approximation theorem. Thus it directly expresses the fanction f(x) in C[a,b]could be approximated uniformly by polynomials.In addition, the article can offer another different proof by chebyshev’s polynomials. At the second part, there are some generalized theorems in different places. And some applications of the weierstrass approximation theorem is given finally.Key words : W eierstrass approximation theorem; Bernstein theorem; Chebyshev’s polynomials; convergence in measure.。
函数近似与逼近理论教案
函数近似与逼近理论教案一、简介函数近似与逼近是数学中的重要概念和方法。
它涉及到函数的逼近问题，旨在通过一系列逼近函数来接近原函数。
本教案将介绍函数近似与逼近的基本理论和方法，并通过案例演示实际应用。
二、函数近似的基本概念1. 函数逼近的概念函数逼近是指通过一系列逼近函数来接近原函数的过程。
原函数可以是已知函数或未知函数，逼近函数可以是多项式、三角函数等。
2. 最小二乘逼近最小二乘逼近是一种常见的函数逼近方法，通过调整逼近函数的参数，使得逼近函数与原函数的残差的平方和最小。
三、函数逼近的方法和技巧1. 查表法查表法是一种简单而实用的函数逼近方法，通过查找已知函数表格中的数值，来逼近原函数的值。
2. 插值法插值法是一种通过已知函数值来逼近未知函数值的方法，常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
3. 最小二乘逼近法最小二乘逼近法通过调整逼近函数的参数来最小化残差的平方和，常用的最小二乘逼近方法有多项式逼近和三角多项式逼近。
四、函数近似与逼近的应用案例1. 信号处理函数近似与逼近在信号处理中有广泛的应用，例如通过逼近函数对信号进行去噪、平滑和压缩等处理。
2. 数据拟合函数逼近可以用于数据拟合，通过逼近函数来拟合离散数据点，从而得到拟合曲线或曲面。
3. 图像处理在图像处理中，函数逼近可以用于图像的重建、去噪、边缘检测等方面，提高图像质量和处理效果。
五、教学过程安排1. 理论讲解首先，介绍函数近似与逼近的基本概念和方法，讲解最小二乘逼近等常见的函数逼近方法。
2. 案例演示通过具体的案例，演示函数逼近在信号处理、数据拟合和图像处理等方面的应用。
3. 实践操作提供适当的实践操作，让学生亲自操作并体验函数近似与逼近的方法，加深理解和掌握。
4. 总结讨论对教学内容进行总结，并引导学生进行讨论，思考函数逼近在其他领域的应用和潜力。
六、教学资源和参考文献1. 教学资源提供函数近似与逼近的相关教材、课件和案例资料等，供学生参考和学习。
函数逼近使用多项式和三角函数逼近函数
函数逼近使用多项式和三角函数逼近函数函数逼近是数学中一个重要的概念，它允许我们使用简单的数学模型来近似更加复杂的函数。
在函数逼近中，多项式和三角函数是两种常见的逼近方法。
本文将介绍多项式和三角函数逼近函数的相关概念和应用。
一、多项式逼近函数多项式逼近是将给定的函数用多项式函数来近似的过程。
多项式逼近可通过拉格朗日插值法、牛顿插值法以及最小二乘法等方法实现。
这些方法都是通过在给定的区间内找到合适的多项式函数，使其与待逼近函数之间的误差最小化。
在拉格朗日插值法中，我们通过在给定的数据点上构造拉格朗日多项式，来逼近待求函数。
拉格朗日插值法的优点在于其简单易理解，但是在处理大规模数据时，计算量较大。
因此，牛顿插值法应运而生，它通过使用差商来构造逼近多项式，计算效率更高。
另一种常用的多项式逼近方法是最小二乘法。
最小二乘法通过将待逼近函数的残差平方和最小化来找到最佳的逼近多项式。
最小二乘法的优点在于能够处理一些非线性问题，并且具有较好的稳定性和数值精度。
二、三角函数逼近函数三角函数逼近是使用正弦函数和余弦函数来近似给定函数的过程。
正弦函数和余弦函数是周期性函数，具有良好的周期性特征，因此在一定范围内可以较好地逼近一些周期性函数。
在三角函数逼近中，我们通常使用傅里叶级数来表示待逼近函数。
傅里叶级数是将函数表示为一系列正弦函数和余弦函数的线性组合。
通过调整不同频率的正弦函数和余弦函数的系数，可以逐渐逼近待求函数。
三、多项式逼近与三角函数逼近的比较多项式逼近和三角函数逼近都是函数逼近的有效方法，但适用于不同的函数类型和问题。
在选择逼近方法时，需要根据问题的特点和需求做出明智的选择。
多项式逼近适用于大多数常见的函数类型，不受函数的周期性特征限制。
它可以逼近非周期性函数以及周期性函数，对于一些不规则的散点数据，多项式逼近也有很好的表现。
三角函数逼近更适用于一些周期性函数的逼近问题。
正弦函数和余弦函数作为周期性函数，可以很好地逼近一些展现出明显周期性特征的函数。
数值计算三角多项式逼近matlab实现
数值计算三角多项式逼近matlab实现数值计算三角多项式逼近matlab实现1. 介绍数值计算在工程学、物理学、计算机科学等领域中扮演着重要角色，而三角多项式逼近则是其中的一种重要技术。
在这篇文章中，我们将探讨数值计算中的三角多项式逼近，并以matlab实现为例进行详细讲解。
2. 三角多项式逼近的基本概念三角多项式是对一个周期函数进行周期延拓，再用傅里叶级数展开而成的一种多项式。
而三角多项式逼近则是利用这种三角多项式来逼近给定的函数。
在实际问题中，我们往往会遇到一些复杂的函数，而通过三角多项式逼近，我们可以用更简单的形式来近似表示这些函数。
3. 三角多项式逼近的深度探讨在数值计算中，三角多项式逼近是一种常见的逼近方法，它有着广泛的应用。
比如在信号处理中，我们可以利用三角多项式逼近来对信号进行分析和处理；在图像处理中，三角多项式逼近也可以用来对图像进行压缩和重建。
在实际问题中，我们可以利用三角多项式逼近来解决一些复杂的数值计算问题，比如对函数的逼近、插值和拟合等。
4. 三角多项式逼近的matlab实现在matlab中，我们可以使用内置的函数或自定义函数来实现三角多项式逼近。
其中，利用fft（快速傅里叶变换）算法可以方便地实现对给定函数的三角多项式逼近。
利用matlab的向量化运算和矩阵运算，我们可以高效地编写三角多项式逼近的代码，并得到准确的逼近结果。
matlab还提供了丰富的图形化界面和绘图函数，我们可以直观地观察逼近效果并进行结果分析。
5. 个人观点与总结通过对三角多项式逼近的深入探讨和matlab实现的详细讲解，我们对这一数值计算技术有了更深入的理解。
三角多项式逼近作为一种重要的逼近方法，在实际问题中具有广泛的应用价值，而matlab作为强大的数值计算工具，则为我们提供了方便高效的实现途径。
我个人认为，掌握三角多项式逼近的原理和实现方法，对于提高数值计算的效率和精度有着重要的意义。
希望本文能够对读者有所帮助，引发更多关于三角多项式逼近的讨论和思考。
函数逼近的几种算法及其应用
函数逼近的几种算法及其应用函数逼近是数值计算中的一种重要技术，用于在给定的函数空间中找到与目标函数最相近的函数。
函数逼近算法可以在不知道目标函数解析表达式的情况下，通过对给定数据进行处理来逼近目标函数的结果。
这篇文章将介绍几种常见的函数逼近算法及其应用。
1.多项式逼近：多项式逼近是一种利用多项式函数逼近目标函数的方法。
多项式逼近算法有很多种，常见的有最小二乘法、拉格朗日插值法和牛顿插值法等。
多项式逼近广泛应用于数据拟合、信号处理和图像处理等领域。
最小二乘法是一种通过最小化实际观测值与多项式模型之间的差异来确定多项式系数的方法。
最小二乘法可以用于拟合非线性和线性函数。
拉格朗日插值法和牛顿插值法是通过插值多项式来逼近目标函数的方法，可以用于填充缺失数据或者生成曲线过程中的中间点。
2.三角函数逼近：三角函数逼近是一种利用三角函数来逼近目标函数的方法。
三角函数逼近算法有傅里叶级数逼近和小波变换等。
傅里叶级数逼近是一种利用三角函数的线性组合来逼近目标函数的方法。
这种方法广泛应用于信号处理、图像处理和数学建模等领域。
小波变换是一种通过特定的基函数来逼近目标函数的方法。
小波变换可以用于信号去噪、图像压缩和模式识别等应用。
3.插值逼近：插值逼近是一种通过已知数据点在给定区间内的函数值来确定目标函数的方法。
常见的插值逼近方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和差值多项式法等。
插值逼近广泛应用于任何需要通过已知数据点来逼近目标函数的领域。
在实际应用中，函数逼近常用于数据分析和模型构建。
例如，在金融领域，函数逼近可以用于确定股票价格走势的模型和预测。
在工程领域，函数逼近可以用于建立复杂系统的模型和优化控制。
在计算机图形学领域，函数逼近可以用于生成真实感图像和动画。
总结起来，函数逼近是一种重要的数值计算技术，有多种算法可供选择。
多项式逼近、三角函数逼近和插值逼近是常见的函数逼近算法。
函数逼近广泛应用于数据分析、模型构建和优化控制等领域，对于解决实际问题具有重要作用。
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闭区间上连续函数的Weierstrass 三角多项式逼近与多项式逼近
一、按下面的步骤探索闭区间上连续函数的Weierstrass 三角多项式逼近
1、三角多项式函数 形如
()01
()cos sin 2n
n k k k A T x A kx B kx ==++∑，
的函数称为以2π为周期的三角多项式函数；
形如
01()cos ()sin ()2n n k k k A k k T x a A x a B x a b a b a b a πππ=⎛⎫⎛⎫
-=+-+- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
∑，
的函数称为以2()b a -为周期的三角多项式函数。
2、傅里叶级数的一致收敛性
设()f x 是以2π为周期的连续函数（或()f x 是[,]ππ-上的连续函数，且()()f f ππ-=），且在[,]ππ-上按段光滑，则()f x 的傅里叶级数
()01
cos sin 2n n n a a nx b nx ∞
=++∑， 在(,)-∞+∞（或[,]ππ-）上一致收敛于()f x ，其中，
01
()d a f x x π
π
π-
=
⎰，1
()cos d n a f x nx x π
π
π-
=
⎰，1
()sin d n b f x nx x π
π
π-
=
⎰，
（1,2,n =L ）。
提示：首先，导出()f x 与()f x '的傅里叶系数的如下关系：记0A ，n A ，n B （1,2,n =L ）为()f x '的傅里叶系数，则注意到()()f f ππ-=可得，
[]01
1
1
()d ()
()()0A f x x f x f f π
ππ
π
πππ
π
π
--
'==
=
--=⎰，
()1
1()cos d ()cos ()sin d n n A f x nx x f x nx n f x nx x nb π
ππ
ππ
ππ
π--
-⎡⎤'==
+=⎢
⎥⎣⎦⎰⎰， ()1
1()sin d ()sin ()cos d n n B f x nx x f x nx n f x nx x na π
ππππ
ππ
π--
-⎡⎤'=
=-=-⎢
⎥⎣⎦⎰⎰。
其次，注意到，
2
2111()2n n n b A A n n
=
≤+，22111()2n n n
a B B n n =-≤+， 以及贝塞尔不等式
()2222011()d 2n n n A A B f x x πππ
∞
-=⎡⎤'++≤⎢⎥⎣⎦∑⎰， 推出
()1
n
n n a
b ∞
=+∑收敛。
最后，利用傅里叶级数的收敛定理和优级数判别法可得，()f x 的傅里叶级数
()01
cos sin 2n n n a a nx b nx ∞
=++∑， 在(,)-∞+∞上一致收敛于()f x 。
3、以2π为周期的连续函数的三角多项式逼近
设()f x 是以2π为周期的连续函数，则对任意0ε>，存在以2π为周期的三角多项式函数
()n T x ，使得，对任意(,)x ∈-∞+∞，有
()()n f x T x ε-<。
提示：由周期函数的特点，只须在[,]ππ-探索上述结论；
首先，注意到()f x 在[,]ππ-上连续，可得()f x 在[,]ππ-上一致连续，且
()()f f ππ-=，
从而导出：对任意0ε>，存在[,]ππ-上连续的折线函数L()x ，使得，
1
()L()2
f x x ε-<，且L()L()ππ-=；
其次，利用傅里叶级数的一致收敛性，导出：存在三角多项式
()01
()cos sin 2n
n k k k A T x A kx B kx ==++∑，
使得，对一切[,]x ππ∈-，
1
()L()2
n T x x ε-<。
综上所述，
()()()()()()n n f x T x f x L x L x T x ε-≤-+-<。
4、[0,]π上连续函数的三角多项式逼近
设()f x 是[0,]π上的连续函数，则对任意0ε>，存在以2π为周期的三角多项式函数()n T x ，使得，对任意[0,]x π∈，有
()()n f x T x ε-<。
提示：先将函数()f x 延拓成[,]ππ-上的连续的偶函数；再将()f x 延拓成以2π为周期的连续的偶函数；最后，利用2的结论。
5、闭区间上连续函数的三角多项式逼近
设()f x 是[,]a b 上的连续函数，则对任意0ε>，存在以2()b a -为周期的三角多项式函数
()n T x a b a π⎛⎫- ⎪-⎝⎭
， 使得，对任意[,]x a b ∈，有
()()n f x T x a b a πε⎛⎫--< ⎪-⎝⎭。
提示：首先，令b a
x a t π
-=+
，可得 ()()()b a
f x f a t F t π
∆
-=+
=
是[0,]π的连续函数；
然后，利用3的结论。
二、利用“一”中得到的结论探索闭区间上连续函数的多项式逼近
设()f x 是[,]a b 上的连续函数，则对任意0ε>，存在多项式函数()n P x ，使得，对任意
[,]x a b ∈，有
()()n f x P x ε-<。
提示：首先，利用“一”中第4步的结论推出，对任意0ε>，存在三角多项式函数
()m T x a b a π⎛⎫- ⎪-⎝⎭
， 使得，对任意[,]x a b ∈，有
1
()()2
m f x T x a b a πε⎛⎫--< ⎪-⎝⎭；
其次，对()m T x a b a π⎛⎫
-
⎪-⎝⎭
用泰勒定理，并注意到幂级数的内闭一致收敛性：
“()m T x a b a π⎛⎫
-
⎪-⎝⎭在0x =处的泰勒级数0
n n n a x ∞=∑在[,]a b 上一致收敛” （注意：易见，()m T x a b a π⎛⎫
-
⎪-⎝⎭在0x =处的泰勒级数0
n n n a x ∞=∑的收敛半径为+∞，因此，它的收敛域为(,)-∞+∞）
推出任意0ε>，存在多项式函数0
()n
k
n k k P x a x
==
∑，使得，对任意[,]x a b ∈，有
1()()2m n T x a P x b a πε⎛⎫
--< ⎪-⎝⎭
；
最后，综合上面的结论即可。
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