最佳平方逼近多项式
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最佳平方逼近多项式
（2） f g 2 f 2 g 2 ，又称三角不等式； 2 2 2 2 （3） f g 2 f g 2 2( f 2 g 2 ) ，又称平 行四边形定律。
2.两类特殊的函数族
正交：若 f ( x), g ( x) C[a, b], ( x)为[a,b]上的权 函数且满足 b ( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx 0 a 则称 f ( x) 与 g ( x)在[a,b]上带权正交。 正交函数族：若函数族 0 ( x),1 ( x), , n ( x), 满足关系 b jk 0, ( j , k ) ( x) j ( x)k ( x)dx a
d1 ( f , x) x 1 x 3 dx 0.5883
0
Matlab 求定积分（int函数）
d 0= (2*2^(1/2))/5 - (6*ellipticF(asin(1/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)^(1/2)), -(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))*(-1/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2))/5 + (6*(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)*(2/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((- 1/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((1/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*ellipticF(asin((2/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)), -(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))*(-1/(2*(- 1/2 + (3^(1/2)*i)/2)*(1/2 + (3^(1/2)*i)/2)))^(1/2))/5
最佳平方逼近算例
相应的正规方程组为
(ϕ 0 , ϕ 0 ) (ϕ 0 , ϕ1 ) (ϕ 0 , ϕ 2 ) a 0 ( f , ϕ 0 ) (ϕ1 , ϕ 0 ) (ϕ1 , ϕ1 ) (ϕ1 , ϕ 2 ) a1 = ( f , ϕ1 ) (ϕ , ϕ ) (ϕ , ϕ ) (ϕ , ϕ ) a ( f , ϕ ) 2 2 1 2 2 2 2 0
0
1
可解出 b = −1 , c = ，正规方程组为
* c0 (ϕ0 , ϕ0 )
1 6
c (ϕ1 , ϕ1 )
* 1
= (ϕ0 , f ) = (ϕ1 , f )
* c2 (ϕ 2 , ϕ 2 ) = (ϕ2 , f )
计算可得
1 1 ， (ϕ 2 , ϕ 2 ) = 180 12 3−e 7e − 19 ， ( f , ϕ2 ) = ( f , ϕ 0 ) = e − 1 ， ( f , ϕ1 ) = 2 6 (ϕ 0 , ϕ 0 ) = 1 ， (ϕ1 , ϕ1 ) =
ϕ * ( x) = a 0ϕ 0 ( x) + a1ϕ 1 ( x) + a 2ϕ 2 ( x) = 0.83918 x 2 + 0.85113x + 1.01299
平方逼近误差为 δ ( x) 2 = f − p2 2 = f 2 − ∑ ai ( f ,ϕi ) ≈ 2.783545 × 10− 5 .
例：求函数 f ( x) = e x 在[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平 ，小数点后保留 5 位. 方逼近误差 δ 2 2
解： （解法 1）
2
使用 Legendre 正交多项式
第二章最佳平方逼近
第二章 最佳平方逼近为了便于计算和分析，常常需要用一个简单的函数()x ϕ来近似代替给定的函数()f x ，这类问题称为函数逼近问题。
插值问题以及Taylor 展开问题都属于这类问题。
本章介绍另一种函数逼近问题，即最佳平方逼近。
最佳平方逼近问题的提法是：设()f x 是[],a b 上的连续函数，n H 是所有次数不超过n 的多项式的集合，在n H 中求()n P x *逼近()f x ，使()()()()()1/2222infnb n naP x H f Px f x P x dx f Pρ**∈⎡⎤-=-=-⎣⎦⎰此时称()n P x *为()f x 在[],a b 上的最佳平方逼近多项式。
我们将要研究()n P x *是否存在？是否唯一？如何求得()n P x *？首先介绍正交多项式及其性质。
§1、正交多项式正交多项式是函数逼近的重要工具，在数值积分中也有广泛的应用。
1.1正交函数系的概念定义1 设()x ρ定义在[],a b 上（有限或无限），如果满足条件：（1）()[]0,,x x a b ρ≥∈； （2）()()0,1,bnax x dx n ρ=⎰存在；（3）对非负连续函数()f x ，若()()0ba f x x dx ρ=⎰，则在[],a b 上一定有()0f x ≡那么称()x ρ是区间[],a b 上的权函数。
简称为权函数。
权函数()x ρ的一种解释是物理上的密度函数，相应的()bax dx ρ⎰表示总质量。
当()x ρ=常数时，表示质量分布是均匀的。
下面引进内积定义。
定义2 给定()[]()(),,,,f x g x C a b x ρ∈是[],a b 上的权函数，称 ()()(),()ba f g x f x g x dx ρ=⎰ ()1.1为函数()f x 与()g x 在[],a b 上的内积。
内积具有下列简单性质： ()f g g f （1）、（，）=，；()()()1212,)(,00.f g f g R f f g f g f g f f f ααα∈++≠>（2）、（，）=，；（3）、 （，）=（4）、 当时，， 此外，还有如下Cauchy-Schwarz 不等式()()()2,,,.f g f f g g ≤⋅ ()1.2我们知道，一个向量的长度的几何概念，对于函数空间及逼近有许多自然的应用。
最佳平方逼近
正规方程组一般为病态方程组，当维数 较高时，病态严重，求解困难。 可以采取选择不同的基的方式，来改变 正规方程组的性态。 我们考虑最佳平方逼近多项式，采用正 交多项式做基函数。
2
b
a
函数f ( x)和g ( x)正交 ( f , g ) w( x) f ( x) g ( x)dx 0
a b
设次数不超过n的多项式空间为 n , 显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., x n , 则，p( x) a0 a1 x ... an x n n 是f ( x)在 n的最佳逼近元的充分必要条件为
否则，就线性无关。 区间[a,b]上c11 ( x) .... cm m ( x) 0成立 就一定有c1 ... cm 0
假定1 ( x),....m ( x)是子空间S的基， 若函数g是最佳逼近元，则
( f g , 1 ( x)) 0,( f g , 2 ( x)) 0 ...., f g , m ( x)) 0 (
w( x) C[a, b]，w( x) 0，x [a, b] 称w( x)为权函数。
连续函数空间C[a, b]，给定权函数w( x) 对于f , g C[a, b]
最佳平方逼近多项式
给定函数f ( x) C[a, b], 求次数不超过n的 多项式p( x)，使得
b
a
w( x)( f ( x) p( x)) dx min
简记为Ax=b
求解这个方程，就能得到a， ，am， .....
从而得到f ( x)在子空间S中的最佳平方 逼近元g ( x) a11 ( x) ..... amm ( x)
第5章 10.最佳逼近多项式
定理： 是内积空间， 是其有限维子空间， 定理： C [a , b]是内积空间， M是其有限维子空间， f ( x ) ∈ C [a , b]，M中ϕ * ( x )是f ( x )的最佳平方逼近 函数的 ⇔ f − ϕ *与M中任一元正交
证（⇐） ∀ϕ ∈ M， ϕ − ϕ ∈ M
*
f −ϕ
2 2
⇒ P2 ( x ) = 1.013 + 0.851 x + 0.839 x
2
= ( f −ϕ, f −ϕ)
= ( f −ϕ +ϕ −ϕ, f −ϕ +ϕ −ϕ)
* * * *
= ( f − ϕ * , f − ϕ * ) + 2( f − ϕ * , ϕ * − ϕ ) + (ϕ * − ϕ , ϕ * − ϕ )
=0
= f −ϕ
* 2 2
+ ϕ −ϕ
*
2 2
≥ f −ϕ
0 1
1
{
}
1 (ϕ 0 , ϕ 1 ) = (ϕ 1 , ϕ 0 ) = ∫ xdx = 0 2 1 (ϕ 0 , f ) = ∫ e x dx = e − 1
0
(ϕ 1 , f ) = ∫ xe x dx = 1
0
1
(ϕ 2 , f ) = ∫ x 2 e x dx = e − 2
0
1
1 1 / 2 1 / 3 c1 e − 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4 c 2 = 1 1 / 3 1 / 4 1 / 5 c e − 2 3
*
ϕ 的构造求法
*
设M的基底为 span{ϕ 0 , ϕ 1 ,Lϕ n }
第三章-2-最佳平方逼近
性质 5 设 k k 0是 [a, b] 上带权 (x) 的正交多项式
族，则n(x) (n>0) 有n个单重实根，且都位于 区间[a, b] 内。
几类重要的正交多项式 Legendre 多项式 Chebyshev 多项式
第二类 Chebyshev 多项式
Laguerre 多项式 Hermite 多项式
Chebyshev 多项式
切比雪夫多项式的性质：
(1) 递推公式： Tn1 ( x ) 2 xTn ( x ) Tn1 ( x )
cos(n+1) + cos(n-1) = 2cos cosn x = cos
mn 0, 1 T ( x )T ( x ) n m (Tn , Tm ) dx π / 2, m n 0 (2) 正交性： 2 1 1 x π, mn0 n T ( x ) ( 1) Tn ( x) (3) 奇偶性： n
性质1 性质2
n ( x)
为首一 n 次多项式。 [a, b] 上带权 (x) 的正交多
是 k k 0
项式族，且
H n span 0 ,1,...,n
性质 3 正交。
n ( x) 与所有次数不高于n-1次的多项式
正交多项式性质
性质 4
此 k k 0 满足如下三项递推公式：
数值分析及计算软件
第三章
函数逼近与计算
3.3 最 佳 平 方 逼 近 及正交多项式
最佳平方逼近问题：
若存在 Pn* ( x )H n , 使得
|| f ( x) Pn ( x) ||2 inf || f ( x) Pn ( x) ||2 ,
最佳平方逼近
逼近元g(x) a11(x) ..... amm(x)
(1,1) (2,1) L
A
(1,2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1)
(m
,2
)
L
(m
,
m
)
称为函数1(x)，.....，m (x)的Gram矩阵，
A显然是对称矩阵。
若1(x)，.....，m (x)线性无关，则它们
0
3
(ex ,1) 2 ex 1dx e2 1 0
(ex , x) 2 ex xdx e2 1 0
法方程组为
2a0
2a0
2a1 8 3 a1
e2 1 e2 1
a0=0.1945 , a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
a0 (1,1) a1(x,1) ... an (xn ,1) ( f ,1)
a0 (1, x) a1(x, x) ... an (xn , x) ( f , x)
a0 (1, xn ) a1(x, xn ) ... an (xn , xn ) ( f , xn )
求解法方程组，得到a0，a1，...，an
(1,1) (2,1) L
A
(1,2
)
(2,2 )
L
L
LL
(1,m ) (2,m ) L
(m,1)
(m
,2
)
L
(m
,
m
)
称为函数1(x)，.....，m (x)的Gram矩阵，
A显然是对称矩阵。
若1(x)，.....，m (x)线性无关，则它们
0
3
(ex ,1) 2 ex 1dx e2 1 0
(ex , x) 2 ex xdx e2 1 0
法方程组为
2a0
2a0
2a1 8 3 a1
e2 1 e2 1
a0=0.1945 , a1=3.0000
最佳平方逼近一次多项式为 0.1945+3.0000x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
b w(x) f (x) g(x)2 dx a
函数f (x)和g(x)正交
b
( f , g) a w(x) f (x)g(x)dx 0
设次数不超过n的多项式空间为n ,显然 是C[a, b]的一个子空间，
n的基为1, x,..., xn ,则，p(x) a0 a1x ... anxn n 是f (x)在n的最佳逼近元的充分必要条件为
a0 (1,1) a1(x,1) ... an (xn ,1) ( f ,1)
a0 (1, x) a1(x, x) ... an (xn , x) ( f , x)
a0 (1, xn ) a1(x, xn ) ... an (xn , xn ) ( f , xn )
求解法方程组，得到a0，a1，...，an
第二章最佳平方逼近.ppt
,
g
* n
),
n
(
gn*
,
g
* n
)
/(
g* n1
,
g* n1
).
证明 由于 xgn*(x) 是 n 1 次多项式，因此可由 g0*(x), g1*(x),
,
g* n1
(x)
线性表出，即存在C0,C1, , 使 Cn1
xgn (x)=C0g0(x)+C1g1(x)+ +Cn+1gn+1(x) (1.11)
是 n 2 次多项式，由正交多项式的定义有
b a
(x)gn*
(x)
gn* (x) (x x1)2
dx
0
另一方面却有
b a
(
x)
g
* n
(
x)
(
g
* n
(
x)
x x1)2
dx
b
(
x)(
g
* n
(
x)
)
2
dx
0
a
x x1
二、最佳平方逼近问题
最佳平方逼近问题的提法是：设 f x是 a,b 上的连续函数，
H5(x)=32 x5-160 x3+120x
是在区间 (,)上带权ex2的n次正交多项式,且有正交关系式:
e
x2
H
m
(
x)
H
k
(x)dx
0, k 2n n!
m
,k
m
（二）、 正交多项式的性质
设
gk
(x)
是在
[a,b]上带权正交的多项式序列，其中
g n
(x)
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2 s
2 s a
则称 s ( x ) 是 f ( x ) 在子集C[a,b]中的最佳平方
逼近函数，其中 k 是一组线性无关函数族，函
数 s ( x ) a 00 ( x ) a 11 ( x ) L a nn ( x ) 。
A
10
3.函数的最佳平方逼近
对函数s*(x)的求解：等价于求以下多元函数
A
8
2.两类特殊的函数族
线性无关函数族：若函数族 k(x)(k0,1 ,2,)
中的任何有限个 k 线性无关，则称 k 为线性
无关函数族。
充要条件：0(x),1(x),,n1(x)在[a,b]上线性无关
的充要条件是它的Gramer行列式 G n1 0，其中
(0,0) (0,1) L (0,n1)
最佳平方逼近多项式
A
1
§5.2 最佳平方逼近多项式
本节内容
1.内积空间 2.两类特殊的函数族 3.函数的最佳平方逼近 4.举例 5.MATLAB程序实现
A
2
1.内积空间
权函数：考虑到 f ( x )在区间[a,b]上各点的函数 值比重不同,常引进加权形式的定义，设在区 间[a,b]上的非负函数 ( x ) 满足条件：
Gn1G(0,1,L,n1)
(1,0)
M
(1,1) L (1,n1)
M
M
(n1,0) (n1,1) L (n1,n1)
A
9
3.函数的最佳平方逼近
最佳平方逼近函数：对于 f(x)C[a,b]及C [ a , b ]中的
一个子集 S pan{ 0,1,L,n},若存在 s(x)
使下式成立:
f s2 in ff s(x )2 in fb(x )[f(x ) s(x )]2 d x
满足关系
(j,k)a b(x)j(x)k(x)dx 0 A ,k0,jj k k
则称 ( x ) 是[a,b]上带权 ( x ) 的正交函数族；
若 A k 1，则称为标准正交函数族。
A
7
2.两类特殊的函数族
可以证明，三角函数族 1 ,co sx,sinx,co s2x,sin2x,L 满足上述条件，是在[ , ] 上的正交函数族。
A
12
3.函数的最佳平方逼近
由于0,1,,n线性无关，故其系数矩阵H的
行列式非奇异，即 G (0,1,,n)0，该法方程有
唯一解为
a ka k * (k0 ,1 ,2 ,L,n)
则最佳平方逼近函数为
s * (x ) a 0 *0 (x ) a 1 *1 (x ) a n *n (x )
令f(x)s*(x)，则平方误差
线性无关：若函数 0(x) ,1(x),,n 1(x)在区间[a,b]
上连续，如果
a 0 0 ( x ) a 1 1 ( x ) a 2 2 ( x ) a n 1 n 1 ( x ) 0
当且仅当 a0a1Lan10时成立，则称
0(x),1(x),,n 1(x)在[a,b]上是线性无关的。
2
2
2
2
行四边形定ห้องสมุดไป่ตู้。
A
6
2.两类特殊的函数族
正交：若 f(x ),g (x ) C [a ,b ],(x )为[a,b]上的权
函数且满足
则称 f ( x )与(gf,( xg))在[a ab ,b(x ])上f(带x)g 权(x正)dx 交。0
正交函数族：若函数族 0 (x ),1 (x ),, n(x ),
1）ab|x|n(x)(n0,1,L)存在；
2）对非负的连续函数
g
(x)
，若
bg(x)(x)dx0, a
则在[a,b]上，g(x) 0，即 ( x ) 不恒为0。
就称 ( x )为[a,b]上的权函数。它的物理意 义可以解释为密度函数。
A
3
1.内积空间
内积：设 f(x ),g (x ) C [a ,b ],(x )是[a,b]上的权
n
aj(k,j)(f,k)0(k0,1,L,n)
j0
n
即
(k,j)aj (f,k) (k0,1,L,n)
j0
A
11
3.函数的最佳平方逼近
n
(k,j)aj (f,k) (k0,1,L,n)
j0
上式是关于a0,a1,L ,an的线性方程组，称
为法方程。用矩阵形式可表示为
(0,0) (1,0)
M
(0,1) L (1,1) L
M
(0,n1)a0 (f,0) (1,n1) a1(f,1)
M M M
(n1,0) (n1,1) L (n1,n1)an (f,n)
简记为Ha d。其中 a(a0,a1,L,an)T,
d ( d 0 ,d 1 ,L ,d n ) T ,d k ( f,k )( k 0 ,1 ,2 ,L ,n )
n 2 2 (f s * ,f s * ) (f,f) (s * ,f)f2 2 a k * (k ,f) k 0
A
13
3.函数的最佳平方逼近
A
4
1.内积空间
内积空间：满足内积定义的函数空间称为内积 空间。如在连续函数空间C [ a , b ] 上定义了内积 就形成了一个内积空间。
向量的模：在n维欧氏空间R n 中，内积就是两
向量的数量积，即
n
(x,y)xTy xkyk k1
向量的模（范数)的定义为：
n
1
f (x,x)( 2
fk2)2
k1
A
5
1.内积空间
欧式范数：若 f(x)C[a,b],则量
f (f,f) bf2(x)dx
2
a
称为f ( x )的欧式范数。
对任何 f,gC[a,b],有以下结论：
（1）(f,g)f
2
g 2
，又称柯西-施瓦茨不等式；
（2）fg f g，又称三角不等式；
2
2
2
（3）f g2f g2 2 (f 2 g2 )，又称平
函数，则称积(分f,g)b(x)f(x)g(x)dx a
为函数 f ( x )与g ( x )在[a,b]上的内积,有下列性质：
1）(f,g)(g,f); 2）(C f,g)C (f,g),C为常数; 3）(f1 f2 ,g ) (f1 ,g ) (f2 ,g ); 4）( f , f ) 0, 当且仅当f 0 时，(f , f )0。
b
I(a 0,a 1,,a n)a
n
(x) [aj
j(x)f(x)]2dx
j 0
的最小值。令 I 0(k0,1,L,n), 则
ak
a I k 2 a b( x ) [j n 0 a j j( x ) f( x ) ]k ( x ) d x 0( k 0 ,1 ,L ,n )
引入内积定义，可得