人教版七年级数学上册—第3章一元一次方程单元总结
人教版七年级数学上册—第3章一元一次方程单元总结
第三章 一元一次方程知识点一 ：一元一次方程的概念1．方程的定义：含有未知数的等式.①未知数；②等式. 2．一元一次方程的定义：只．含有一个．．未知数（元），未知数的最高次数是．．．．．1．，等号两边都是整式的方程叫一元一次方程. 一元一次方程的一般形式．．．．：ax+b=0（a 、b 为常数，且a≠0，即末知数的系数一定不能为0）. 3．方程的解：使方程等号左、右两边相等的未知数的值. 4．解方程：求方程的解的过程. 例题：1. (1)下列方程中是一元一次方程的是( )A ．23x y =B ．()7561x x +=-C ．()21112x x +-= D ．12x x-= (2)下列各式中，是一元一次方程的是（ ）A. 6x y -=B. 1223x x --= C. 34x - D. 21x x += 2.（1）已知2x1-m +4=0是一元一次方程，则m= ________.（2）已知方程04)2(1||=+--a xa 是一元一次方程，则=a __________（3）若2(21)30a x bx c +--=是关于x 的一元一次方程，则一定有（ ）A. 12a =-，0b ≠，c 为任意数 B. 12a =-，b 、c 为任意数 C. 12a =-，0,0b c ≠= D. 12a =，0,0bc =≠（4）若2(1)(1)30k x k x -+++=是关于x 的一元一次方程，求k 的值3.下列说法：①等式是方程； ②x=4是方程5x+20=0的解； ③x=-4和x=6都是方程│x-1│=5的解．其中说法 正确的是___ _．（填序号）4.（1）下列方程中，解为4的方程是（ ）A. 104x x =-B. 5(2)2(27)x x +=+C.62355y y -=+ D. 50.594x x =+ （2）已知4x =-是方程231x a x +=-的解，则a 的值是 5.根据条件列出方程（1）某数的2倍，再减去1等于5 （2）某数的3倍与它的12的和等于106.（1）买4本练习本和5支铅笔一共用了4.9元，已知铅笔每支0.5元，练习本每本多少元？若设练习本每本x 元，则可列方程为（2）一辆汽车从A 地到B 地后，用去了邮箱里的汽油的25%，还剩40升，邮箱里原有汽油多少升？若设邮箱里原有汽油x 升，可列方程为知识点二：等式的基本性质等式的性质1:等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c等式的性质2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；如果a ＝b （c ≠0），那么c a ＝cb 例题：1.（1）若a b =，则下列式子正确的有（ ）①22a b -=- ②1132a b =③3344a b -=- ④5151a b -=-． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（2）如果ma mb =，那么在下列变形中，不一定成立的是（ ）A. 11ma mb +=+B. 33ma mb -=-C. 1122ma mb -=- D. a b = （3）下列变形中，正确的是()A.若ac=bc ，那么a=bB.若cbc a =，那么a=b C.a ＝b ，那么a=b D.若a 2=b 2那么a=b （4）运用等式的性质进行变形，正确的是（ ）A.如果a b =，那么a c b c +=-；B.如果a bc c=，那么a b = C.如果a b =，那么a bc c= D.如果23a a =，那么3a = 2.（1）给出下面四个方程及其变形：①48020x x +=+=变形为；②x x x +=-=-75342变形为；③253215x x ==变形为；④422x x =-=-变形为；其中变形正确的是（ ） A ．①③④ B ．①②④C ．②③④D ．①②③（2）下列各式的变形中，错误的是 （ ）A. 260x +=变形为26x =-B.312x x +=-变形为322x x +=- C. 2(4)2x --=-变形为41x -= D. 1122x +-=变形为11x -+=3.用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的; （1）如果810x +=，那么10x =- （2）如果437x x =+，那么4x - =7 （3）如果38x -=，那么x = （3）如果123x =-，那么 =-6 4.完成下列解方程： （1）1343x -= 解：两边 ，根据 得13343x --= 于是13x -=两边 ，根据 得x =（2）5234x x -=+解：两边 ，根据 ，得 =3x+6 两边 ，根据 ，得2x=两边 ，根据 ，得x= 5.根据下列变形，填写过程及理由21100.10.2x -= 解：20101012x -=（ ） 20510x -= （ ）2015x = （ ）34x = （ ）6.利用等式的性质解下列方程并检验 （1）1262x += （2）1543x --= （3）328x -=-7.当x 为何值时，式子453x -与31x +的和等于9？8.列方程并求解：一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2，个位与十位上的数字之和是10，求这个两位数（提示，设个位上的数字为x ）9.如果方程21x a x +=-的解是x=-4，求32a -的值10.等式2(2)10a x ax -++=是关于x 的一元一次方程，求这个方程的解知识点三：一元一次方程的解法（一般步骤、注意事项） 1.解方程的一般步骤：把含未知数的项归在方程的一边，把常数项归到方程的另一边，将方程化为最简的形式ax b =(0)a ≠，然后根据方程两边都除以a ，化为bx a=的形式。
七年级数学上册第三章一元一次方程知识点总结归纳完整版
(名师选题)七年级数学上册第三章一元一次方程知识点总结归纳完整版单选题1、下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案：A分析：设一个球的质量为a ，一个圆柱体的质量为b ，一个正方体的质量为c ，根据天平平衡的条件可得2a =5b ，2c =3b ，再根据等式的性质得到3a =5c 即可．解：设一个球的质量为a ，一个圆柱体的质量为b ，一个正方体的质量为c ，由题意得，2a =5b ，2c =3b ，即a =52b ，c =32b ，∴3a =152b ，5c =152b ， 即3a =5c ，∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5，故选：A ．小提示：本题考查认识立体图形、等式的性质，掌握等式的性质是解决问题的前提．2、将连续奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，若将十字形框上下左右移动，可框出另外五个数，则框出的五个数之和可以是（ ）A．2020B．2022C．2023D．2025答案：D分析：先设中间的数为2x+1（x为整数），进而得到该数上方、下方、左边、右边的数分别为（2x+1）-10、（2x+1）+10、（2x+1）-2、（2x+1）+2，然后求得框出的五个数之和，即可得到答案．解：设中间的数为2x+1（x为整数），则该数上方、下方、左边、右边的数分别为（2x+1）-10、（2x+1）+10、（2x+1）-2、（2x+1）+2，∴框出的五个数之和为（2x+1）+（2x+1）-10+（2x+1）+10+（2x+1）-2+（2x+1）+2=10x+5，∵x为整数，∴10x+5是5的倍数，且个位数字为5，故选：D．小提示：本题考查了代数式的表示，属于数字的变化规律类题型，解题的关键是会用含有未知数的式子表示框出的5个数．3、小明解方程x+12−1=x−23的步骤如下：解：方程两边同乘6，得3(x+1)−1=2(x−2)①去括号，得3x+3−1=2x−2②移项，得3x−2x=−2−3+1③合并同类项，得x=−4④以上解题步骤中，开始出错的一步是（）A．①B．②C．③D．④答案：A分析：按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．解：方程两边同乘6，得3(x+1)−6=2(x−2)①∴开始出错的一步是①，故选：A．小提示：本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．4、“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（）A．依题意3×120=x−120B．依题意20x+3×120=(20+1)x+120C．该象的重量是5040斤D．每块条形石的重量是260斤答案：B分析：利用题意找出等量关系，将等量关系中的量用已知数和未知数的代数式替换即可得出结论．解：根据题意可得方程；20x+3×120=(20+1)x+120则A错误，B正确；解上面的方程得：x=240,故D错误；∴大象的重量是20×240+3×120=5160（斤）故C错误，故选：B．小提示：本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意真确列出方程是解题的关键．5、若x=2是关于x的一元一次方程ax−b=3的解，则4a−2b+1的值是（）A．7B．8C．−7D．−8答案：A分析：将x=2代入ax-b=3中，得2a-b=3，整体代入代数式即可得到答案．解：将x=2代入ax-b=3中，得2a-b=3，∴4a−2b+1=2（2a-b）+1=2×3+1=7，故选A．小提示：此题考查了方程的解，已知式子的值求代数式的值，正确理解方程的解是解题的关键．6、解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为x=a的形式，下面是解方程2x−0.30.5−x+0.40.3=1的主要过程，方程变形对应的依据错误的是（）解：原方程可化为20x−35−10x+43=1（①）去分母，得3(20x−3)−5(10x+4)=15（②）去括号，得60x−9−50x−20=15（③）移项，得60x−50x=15+9+20（④）合并同类项，得10x=44（合并同类项法则）系数化为1，得x=4.4（等式的基本性质2）A．①分数的基本性质B．②等式的基本性质2C．③乘法对加法的分配律D．④加法交换律答案：D分析：方程利用分数的基本性质化简，再利用等式的基本性质2两边乘以15去分母，去括号后利用等式的基本性质1移项，合并后将x系数化为1，即可求出解．解：原方程可化为20x−35−10x+43=1（①）去分母，得3(20x −3)−5(10x +4)=15（ ② ）去括号，得60x −9−50x −20=15（ ③ ）移项，得60x −50x =15+9+20（等式的基本性质1 ）合并同类项，得10x =44（合并同类项法则）系数化为1，得x =4.4（等式的基本性质2）．故选：D ．小提示：本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7、小明早上8点从家骑车去图书馆，计划在上午11点30分到达图书馆．出发半小时后，小明发现若原速骑行，将迟到10分钟，于是他加速继续骑行，平均每小时多骑行1千米，恰好准时到达，则小明原来的速度是（ ）A ．12千米/小时B ．17千米/小时C ．18千米/小时D ．20千米/小时答案：C分析：设原来的速度是x 千米/小时，则提高速度后为x +1千米/小时，根据出发半小时后，发现按原速行驶要迟到10分钟，将速度每小时增加1千米，恰好准时到达，分别表示路程建立方程求解即可．解：设小明原来的速度是x 千米/小时，则提高速度后为x +1千米/小时，由题意得（3.5+16）x =12x +（x +1）×（3.5−0.5），解得：x =18．答：小明原来的速度是18千米/小时．故选：C小提示：此题考查一元一次方程的实际运用，利用行程问题中的速度、时间、路程之间的等量关系是解决问题的关键．8、有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，就会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，那么在学校住宿的学生有多少人？设在学校住宿的学生有x 人，根据题意可列方程为（ ）A ．x 4+5=x−1003B ．x 4+5=x 3−100C ．x+54=x−1003D ．x 4−5=x−1003答案：A分析：根据宿舍间数一定即可列出方程．解：根据题意得：x4+5=x−1003故选：A．小提示：本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系，列出方程是解决本题的关键．9、轮船在河流中来往航行于A、B两码头之间，顺流航行全程需7小时，逆流航行全程需9小时，已知水流速度为每小时3km，求A、B两码头间的距离．若设A、B两码头间距离为x，则所列方程为（）A．x7+3=x9−3B．x7−3=x9+3C．x7+3=x9D．x7−3=x9答案：B分析：根据顺流速度减去水流速度等于逆流速度加上水流速度列出方程即可．解：设A、B两码头间距离为x，由题意得：x7−3=x9+3，故选：B．小提示：此题考查一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．10、已知一项工程，甲单独完成需要5天，乙单独完成需要10天，现先由甲单独做2天，然后再安排乙与甲合作完成剩下的部分，则完成这项工程共耗时( )A．1天B．2天C．3天D．4天答案：D分析：设完成这项工程共耗时x天，则甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根据总工作量＝甲完成的工作量+乙完成的工作量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．解：设完成这项工程共耗时x天，则甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根据题意得：x5+x−210=1，解得：x＝4．即完成这项工程共耗时4天．故选：D小提示：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．填空题11、已知A=2x−5，B=3x+3，若A比B大7，则x的值为________．答案：－15分析：根据“A比B大7”列出方程，进而求解即可．解：根据题意可得：A=B+7，由此可得出关于x的方程2x−5=3x+3+7，移项，得：2x−3x=3+7+5，合并同类项，得：−x=15，系数化为1，得：x=−15，所以答案是：－15．小提示：此题考查了一元一次方程的简单应用，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键．12、当x=________时，整式3x−1与2x+1互为相反数；答案：0分析：利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．解：∵代数式3x−1与2x +1互为相反数，∴3x−1+2x +1=0，解得x=0.所以答案是：0.小提示：此题考查了解一元一次方程，以及相反数，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．13、在0，1，2，3中，_______是方程2x–1=–5x+6的解．答案：1分析：根据解一元一次方程的方法移项合并，把x系数化为1，即可求出解．解：2x–1=–5x+6移项，得2x+5x=1+6，合并同类项，得7x=7，系数化为1，得x=1，所以答案是：1．小提示：本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．14、若x|m|﹣10＝2是关于x的一元一次方程，则m的值是 _____．答案：±1分析：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．解：根据题意，有|m|=1，∴m=±1，所以答案是：±1．小提示：本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．15、已知5x2−5x−3=7，利用等式的基本性质，x2−x的值为___________．答案：2分析：首先根据等式的性质1，两边同时＋3得5x2−5x=10，再根据等式的性质2，两边同时除以5即可得到答案．解：5x2−5x−3=7，根据等式的性质1，两边同时＋3得：5x2−5x−3+3=7+3，即：5x2−5x=10，根据等式的性质2，两边同时除以5得：5x2−5x5=105，∴x2−x=2，故填：2．小提示：此题主要考查了等式的性质，关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．解答题16、粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%．（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．答案：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆．分析：（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%，列出式子即可求出答案；（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程，求解即可．解：（1）依题意得：50×(1-50%)=25（万元）（2）设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260-x）辆,依题意得：50×(260−x)+25x=9000解得：x=160答：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆．小提示：本题考查了一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是找到数量关系，列出方程．17、解下列方程：（1）x−1=1−x；（2）2x+13+1=x+32．答案：（1）x=1；（2）x=1分析：（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得；（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤解方程即可得．解：（1）x−1=1−x，移项，得x+x=1+1，合并同类项，得2x=2，系数化为1，得x=1；（2）2x+13+1=x+32，方程两边同乘以6去分母，得2(2x+1)+6=3(x+3)，去括号，得4x+2+6=3x+9，移项，得4x−3x=9−2−6，合并同类项，得x=1．小提示：本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．18、阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．根据以上材料解决下列问题：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．答案：(1)x=2或x=−23(2)x=-2或x=0分析：先去绝对值转化成一元一次方程求解．（1）解：根据绝对值的意义得：3x-2=4或3x-2=-4．解得：x=2或x=−23；（2）由绝对值的意义得：x-2=3x+2或x-2+3x+2=0．解得：x=-2或x=0．小提示：本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键．。
人教版七年级上册数学第三章一元一次方程知识点总结归纳
人教版七年级上册数学第三章一元一次方程知识点总结归纳本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March一元一次方程一、解一元一次方程【知识概述】1．方程的概念（1）含有未知数的等式叫做方程。
方程的特征是：它含有未知数，同时又是—个等式。
（2）方程与等式有什么联系和区别：方程一定是等式，但等式不一定是方程。
用等号连接的两个式子，叫做等式。
2.一元一次方程的概念只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。
3.方程的解的概念能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。
一元方程的解又叫根。
4. 主要性质（1）等式的性质等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。
5．解一元一次方程的步骤：1）：去分母，去括号。
去分母：在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。
去分母时不要漏乘不含分母的项。
当分母中含有小数时，先将小数化成整数。
去括号：先去大括号，在去中括号，最后小括号。
括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。
2）：移项方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这个法则叫做移项。
移项的根据是等式的性质。
注意：移项时一定要变号，不变号不能移项。
通过移项，含未知数的项与常数项分别列与方程的左右两边。
3）：合并同类项把两个能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变。
4）：系数化为1 是指方程中未知数的系数化为1，他的理论依据是等式的性质。
二、实际问题与一元一次方程1、列方程解应用题的方法（1）综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程，这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。
（2）分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，进而列出方程，这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。
七年级上册数学人教版第三章 一元一次方程知识点梳理
第三章一元一次方程1. 方程1.1. 方程：含有未知数的等式叫做方程1.2. 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解1.3. 解方程：求方程解的过程叫做解方程1.4. 一元一次方程1.4.1. 定义1.4.1.1. 只含有1个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是等式，这样的方程叫做一元一次方程．1.4.2. 解法1.4.2.1. 解一元一次方程的一般步骤： (1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘． (2) 去括号：注意括号前的系数与符号． (3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程右边，移项时注意要改变符号． (4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b (a ≠ 0) 的形式． (5) 系数化为1：方程两边同除以 x 的系数，得 x＝m的形式.2. 等式的性质2.1. 等式的性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等．如果 a＝b，那么 a±c＝ b±c.2.2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等．如果 a＝b，那么 ac＝bc；如果 a = b (c ≠ 0)，那么 a/c＝ b/c ．3. 实际问题与一元一次方程3.1. 解题步骤（重点：等量关系）3.1.1. 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x. 列：根据题意寻找等量关系列方程．解：解方程．验：检验方程的解是否符合题意．答：写出答案 (包括单位)．3.2. 常见的几种方程类型及等量关系3.2.1. （1）行程问题中基本量之间关系：3.2.1.1. 路程＝速度×时间．①相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；②追及问题：甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程；③流水行船问题： v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．3.2.2. (2) 工程问题中基本量之间的关系：3.2.2.1. ①工作量 = 工作效率×工作时间；②合作的工作效率 = 工作效率之和；③工作总量 = 各部分工作量之和 = 合作的工作效率×工作时间；④在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看作 1.3.2.3. (3) 销售问题中基本量之间的关系：3.2.3.1. ①商品利润 = 商品售价－商品进价。
人教版七年级数学上学期 第三章《一元一次方程》全章小结精品课件
情景探究
某家工厂有A型和B型两种机器生产同样的一种产品. 已知5台A型机器生产 一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器生产一天的产品装满11箱后 还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品，每个箱子装产品 数固定，求每箱装多少个产品？
5. 对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM
的长度，将较短线段的长度定义为点 M 到线段 AB 的绝对距离. 若线段 AM 和 BM 的长度相等，
将线段 AM 或 BM 的长度定义为点 M 到线段 AB 的绝对距离.
（1）当数轴上原点为O，点A表示的数为-1，点B表示的数为5时，
3.下列解方程变形正确的是 ③ .
①由 x 1 1 x ，得 2x 1 3 3x .
3
2
②由 4x 1 y 4 ，得 12x 15 5y 4 .
5
3
③由 y 1 y 3y 1 y，得 3y 3 2y 3y 1 6y .
23 6
④由 x 2 3x 2 1，得 （2x 2）3x 2 4 .
2
4
-4 .
练习巩固
4. 解方程：3x 1 1 2x 3 .
7
3
x 67 23
5. 父亲和女儿现在的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候， 女儿的年龄是父亲现在年龄的 1，求女儿现在的年龄.
3
解：设女儿现在的年龄是x岁. 依题意有 x 1（91 x）91 x 2x .
七年级数学上册第三章一元一次方程知识点总结归纳
七年级数学上册第三章一元一次方程知识点总结归纳单选题1、已知x=y，字母m为任意有理数，下列等式不一定成立的是（）A．x+m=y+m B．x−m=y−m C．mx=my D．x1+m =y1+m答案：D解析：根据等式的基本性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、等式两边同时加上m，依据等式的基本性质1，∴所得等式成立；B、等式两边同时加上﹣m，依据等式的基本性质1，∴所得等式成立；C、等式两边同时乘以m，依据等式的基本性质2，∴所得等式成立；D、等式两边同时除以1＋m，而1＋m有可能为0，则所得等式无意义，∴此等式不一定成立．故选：D．小提示：本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．2、若x=1是方程3−m+x=6x的解，则关于y的方程m(y−3)−2=m(2y−5)的解是（）A．y=−10B．y=3C．y=43D．y=4答案：B解析：根据x=1为已知方程的解，将x=1代入方程求出m的值，代入所求方程即可求出y的值．将x=1代入已知方程得：3﹣m+1=6，解得：m=-2．所求方程化为-2（y﹣3）﹣2=-2(2y﹣5)，解得：y=3．故选B．小提示：本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．3、若x=1是方程3−m+x=6x的解，则关于y的方程m(y−3)−2=m(2y−5)的解是（）A．y=−10B．y=3C．y=4D．y=43答案：B解析：根据x=1为已知方程的解，将x=1代入方程求出m的值，代入所求方程即可求出y的值．将x=1代入已知方程得：3﹣m+1=6，解得：m=-2．所求方程化为-2（y﹣3）﹣2=-2(2y﹣5)，解得：y=3．故选B．小提示：本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．4、某件商品先按成本价加价50%后标价，再以九折出售，售价为135元，若设这件商品的成本价是x元，根据题意，可得到的方程是（）A．(1+50%)x×90%=135B．(1+50%)x×90%=135−xC．(1+50%x)×90%=135D．(1+50%x)×90%=135−x答案：A解析：设这件商品的成本价为x元，售价=标价×90%，据此列方程．解：标价为x(1+50%)，九折出售的价格为(1+50%)x×90%，可列方程为(1+50%)x×90%=135．故选：A．小提示：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．5、一货轮往返于上、下游两个码头，逆流而上38个小时，顺流而下需用32个小时，若水流速度为8千米/时，则下列求两码头距离x的方程正确的是（）A．x−832=x+838B．x32−8=x38+8C．x32−x38=82D．2x32+38=12(x32+x38)答案：B解析：根据题意分别表示出顺流和逆流时船的速度，然后列方程即可．解：∵逆流而上38个小时，∴逆流时船本身的速度可以表示为x38千米/时，∵顺流而下需用32个小时，∴顺流时船本身的速度可以表示为x32千米/时，∵静水的速度是不变的，∴可列方程为x32−8=x38+8．故选：B．小提示：此题考查了一元一次方程中的航行问题，解题的关键是根据题意分析出顺流和逆流时船的速度．6、下列式子中，是方程的是（）A．x−1≠0B．3x−2C．2+3=5D．3x=6答案：D解析：根据方程的定义，对选项逐个判断即可．解：A．不是等式，故不是方程，选项不符合题意；B．是多项式，不是等式，故不是方程，选项不符合题意；C．不含未知数，故不是方程，选项不符合题意；D．是含有未知数的等式，故是方程，选项符合题意；故选D．小提示：此题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，掌握方程的定义是解题的关键．7、《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少?”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是( ).A．x+2x+4x=34 685B．x+2x+3x=34 685C ．x +2x +2x =34 685D ．x +12x +14x =34 685答案：A解析：设他第一天读x 个字，根据题意列出方程解答即可．解：设他第一天读x 个字，根据题意可得：x ＋2x ＋4x ＝34685，故选A ．小提示：此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．8、下列方程中，解是x =2的方程是（ ）A ．3x=x+3B ．-x+3=0C ．5x-2=8D ．2x=6答案：C解析：根据一元一次方程的解的概念解答即可.A 、由原方程，得2x=3，即x=1.5；故本选项错误；B 、由原方程移项，得x=3；故本选项错误；C 、由原方程移项、合并同类项，5x=10，解得x=2；故本选项正确；D 、两边同时除以2，得x=3；故本选项正确．故选C ．小提示：本题考查了一元一次方程的解的定义，方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．填空题9、若a，b为常数，无论k为何值时，关于x的一元一次方程(b+1)x=12−4ka，它的解总是1，则a，b的值分别是_______．答案：a=0,b=11解析：将方程的解代入原方程，并化简．因为无论k为何值，它的解总是1，即可列出{4a=011−b=0，解出a和b即可．把x=1代入方程得b+1=12−4ka，化简得4ka=11−b，∵k的值为全体实数，∴4a=0，且11−b=0，∴a=0，b=11．小提示：本题考查一元一次方程的解．理解方程的解的定义“能够使方程左右两边相等的未知数的值”是解答本题的关键．10、当a=__________时，方程ax−13+x+a2=1解是x=1？答案：1解析：将x=1代入方程，再解一元一次方程即可．由题意，将x=1代入得：a−13+1+a2=1两边同乘以6得2(a−1)+3(1+a)=6去括号得2a−2+3+3a=6移项、合并同类项得5a=5系数化为1得a=1所以答案是：1．小提示：本题考查了方程的解、解一元一次方程，掌握方程的解法是解题关键．11、关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x-2＝0如果是一元一次方程，则其解为_____．答案：x＝2或x=−2或x=-3．解析：利用一元一次方程的定义判断即可．解：∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，（1）当2m﹣1＝1，即m＝1，即x﹣2＝0解得：x＝2，（2）当m=0时，−x−2＝0，解得：x=−2（3）当2m-1=0，即m=12时，方程为12−12x−2=0解得：x=-3，故答案为x=2或x=-2或x=-3．小提示：此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．12、明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意：有一群人分银子，如果每人分七两银子，那么剩余四两；如果每人分九两银子，那么还差八两．请问所分的银子共有________两．（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）答案：46解析：可设有x人，根据有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，根据所分的银子的总两数相等可列出方程，求解即可．解：设有x人，依题意有7x+4=9x−8，解得x=6，故7x+4=42+4=46，即所分的银子共有46两，所以答案是：46．小提示：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目中所分的银子的总两数相等的等量关系列出方程，再求解．13、如果5x n−2=3是一元一次方程，那么n=________．答案：3解析：若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可得出关于n的方程，继而可求出n的值．解：根据题意，得n-2=1，解得n=3．所以答案是：3．小提示：本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1．解答题14、某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题：(1)求小明原计划购买文具袋多少个？(2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？答案：（1）小明原计划购买文具袋17个；（2）小明购买了钢笔20支，签字笔30支．解析：(1)设未知数后可以根据等量关系“实际购买文具袋(比原计划多1个)的花费×0.85=原计划购买文具袋的花费-17”列方程求解；（2）设未知数后可以根据等量关系“钢笔和签字笔的总价×0.8（或80%）=272”列方程求解．解：（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了(x+1)个，由题意得：10(x+1)×0.85=10x−17．解得：x=17；答：小明原计划购买文具袋17个；（2）设小明购买了钢笔y支，则购买签字笔(50−y)支，由题意得：[8y+6(50−y)]×80%=272，解得：y=20，则：50−y=30．答：小明购买了钢笔20支，签字笔30支．小提示：本题考查一元一次方程的应用，根据题目中的等量关系设未知数列方程求解是解题关键．15、如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板，一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块小正方形以及另两块长方形的纸板，恰好拼成一个大正方形，求大正方形的面积.答案：大正方形的面积是36cm2解析：设小正方形的边长为x，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积．设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为4＋（5−x）cm或（x＋1＋2）cm，根据题意得：4＋（5−x）＝（x＋1＋2），解得：x＝3，∴4＋（5−x）＝6，∴大正方形的面积为36cm2．答：大正方形的面积为36cm2．小提示：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长．11。
七年级《第三章 一元一次方程》知识点总结
第三章一元一次方程3.1 从算式到方程3.1.1 一元一次方程含有未知数的等式叫做方程.方程都只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.解方程是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程.3.1.2 等式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.等式的性质2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.【说明】1.一般情况，将含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边.2.从左边移到右边，或从右边移到左边，移动的那一项的符号要改变.3.合并同类项同整式合并同类项一样，将未知数x的系数相加，作为合并后的项的系数，x照写不变.常数项的合并，按照有理数的基本运算进行合并.3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母去括号：（同整式中的去括号）去分母：分子分母同时乘以分母的最小公倍数，通过约分，将含有分母的方程转化成为不含分母的方程.【说明】1.所选的乘数是所有的分母的最小公倍数.（用短除法找最小公分母）2.用最小公倍数去乘方程两边时，不要漏掉等号两边不含字母的“项”.3.去掉分母时，分数线也同时去掉，分子上的多项式要用括号括起来．4.解方程的类型：①简易方程；②有括号的方程；③有分母的括号；④含参方程；⑤含绝对值的方程；⑥比例式方程.3.4 实际问题与一元一次方程分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.列方程解应用题的一般步骤：①认真审题，弄清题意（注意单位是否统一）.②根据问题设出未知数.(一般是问什么，设什么，也可以间接设未知数)③找出题中的等量关系，列方程.④解方程.⑤检验：一是检验是否是方程的解；二是检验是否符合实际问题.⑥写答语.常见问题的等量关系：行程问题： 距离=速度·时间 时间距离速度= 速度距离时间=； 工程问题： 工作量=工作效率·工作时间 工时工作量工效= 工效工作量工时=；顺水逆水问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2商品利润问题：售价=定价×10几折， %100⨯-=成本成本售价利润率；利润问题常用等量关系： 售价-进价=利润配套问题：两个量之间满足某种倍数关系分配问题：分配总量保持不变。
【精选】人教版七年级上册数学第三章《一元一次方程》知识点+典型例题
【精选】人教版七年级上册数学第三章《一元一次方程》知识点+典型例题知识点、概念总结1.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。
2.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0)。
3.条件：一元一次方程必须同时满足4个条件：(1)它是等式;(2)分母中不含有未知数;(3)未知数最高次项为1;(4)含未知数的项的系数不为0.4.等式的性质：等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。
等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)，等式仍然成立。
等式的性质三：等式两边同时乘方(或开方)，等式仍然成立。
解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立。
5.合并同类项(1)依据：乘法分配律(2)把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项;常数计算后合并成一项(3)合并时次数不变，只是系数相加减。
6.移项(1)含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。
(2)依据：等式的性质(3)把方程一边某项移到另一边时，一定要变号。
7.一元一次方程解法的一般步骤：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
一般解法：(1)去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数;(2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号;(记住如括号外有减号的话一定要变号)(3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边;移项要变号(4)合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式;(5)系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a.8.同解方程如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。
9.方程的同解原理：(1)方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。
(2)方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。
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第三章 一元一次方程知识点一 ：一元一次方程的概念1．方程的定义：含有未知数的等式.①未知数；②等式. 2．一元一次方程的定义：只．含有一个．．未知数（元），未知数的最高次数是．．．．．1．，等号两边都是整式的方程叫一元一次方程. 一元一次方程的一般形式．．．．：ax+b=0（a 、b 为常数，且a≠0，即末知数的系数一定不能为0）. 3．方程的解：使方程等号左、右两边相等的未知数的值. 4．解方程：求方程的解的过程. 例题：1. (1)下列方程中是一元一次方程的是( )A ．23x y =B ．()7561x x +=-C ．()21112x x +-= D ．12x x-= (2)下列各式中，是一元一次方程的是（ ）A. 6x y -=B. 1223x x --= C. 34x - D. 21x x += 2.（1）已知2x1-m +4=0是一元一次方程，则m= ________.（2）已知方程04)2(1||=+--a xa 是一元一次方程，则=a __________（3）若2(21)30a x bx c +--=是关于x 的一元一次方程，则一定有（ ）A. 12a =-，0b ≠，c 为任意数 B. 12a =-，b 、c 为任意数 C. 12a =-，0,0b c ≠= D. 12a =，0,0bc =≠（4）若2(1)(1)30k x k x -+++=是关于x 的一元一次方程，求k 的值3.下列说法：①等式是方程； ②x=4是方程5x+20=0的解； ③x=-4和x=6都是方程│x-1│=5的解．其中说法 正确的是___ _．（填序号）4.（1）下列方程中，解为4的方程是（ ）A. 104x x =-B. 5(2)2(27)x x +=+C.62355y y -=+ D. 50.594x x =+ （2）已知4x =-是方程231x a x +=-的解，则a 的值是 5.根据条件列出方程（1）某数的2倍，再减去1等于5 （2）某数的3倍与它的12的和等于106.（1）买4本练习本和5支铅笔一共用了4.9元，已知铅笔每支0.5元，练习本每本多少元？若设练习本每本x 元，则可列方程为（2）一辆汽车从A 地到B 地后，用去了邮箱里的汽油的25%，还剩40升，邮箱里原有汽油多少升？若设邮箱里原有汽油x 升，可列方程为知识点二：等式的基本性质等式的性质1:等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c等式的性质2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；如果a ＝b （c ≠0），那么c a ＝cb 例题：1.（1）若a b =，则下列式子正确的有（ ）①22a b -=- ②1132a b =③3344a b -=- ④5151a b -=-． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（2）如果ma mb =，那么在下列变形中，不一定成立的是（ ）A. 11ma mb +=+B. 33ma mb -=-C. 1122ma mb -=- D. a b = （3）下列变形中，正确的是()A.若ac=bc ，那么a=bB.若cbc a =，那么a=b C.a ＝b ，那么a=b D.若a 2=b 2那么a=b （4）运用等式的性质进行变形，正确的是（ ）A.如果a b =，那么a c b c +=-；B.如果a bc c=，那么a b = C.如果a b =，那么a bc c= D.如果23a a =，那么3a = 2.（1）给出下面四个方程及其变形：①48020x x +=+=变形为；②x x x +=-=-75342变形为；③253215x x ==变形为；④422x x =-=-变形为；其中变形正确的是（ ） A ．①③④ B ．①②④C ．②③④D ．①②③（2）下列各式的变形中，错误的是 （ ）A. 260x +=变形为26x =-B.312x x +=-变形为322x x +=- C. 2(4)2x --=-变形为41x -= D. 1122x +-=变形为11x -+=3.用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的; （1）如果810x +=，那么10x =- （2）如果437x x =+，那么4x - =7 （3）如果38x -=，那么x = （3）如果123x =-，那么 =-6 4.完成下列解方程： （1）1343x -= 解：两边 ，根据 得13343x --= 于是13x -=两边 ，根据 得x =（2）5234x x -=+解：两边 ，根据 ，得 =3x+6 两边 ，根据 ，得2x=两边 ，根据 ，得x= 5.根据下列变形，填写过程及理由21100.10.2x -= 解：20101012x -=（ ） 20510x -= （ ）2015x = （ ）34x = （ ）6.利用等式的性质解下列方程并检验 （1）1262x += （2）1543x --= （3）328x -=-7.当x 为何值时，式子453x -与31x +的和等于9？8.列方程并求解：一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2，个位与十位上的数字之和是10，求这个两位数（提示，设个位上的数字为x ）9.如果方程21x a x +=-的解是x=-4，求32a -的值10.等式2(2)10a x ax -++=是关于x 的一元一次方程，求这个方程的解知识点三：一元一次方程的解法（一般步骤、注意事项） 1.解方程的一般步骤：把含未知数的项归在方程的一边，把常数项归到方程的另一边，将方程化为最简的形式ax b =(0)a ≠，然后根据方程两边都除以a ，化为bx a=的形式。
（一赶二除） 2.具体步骤去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。
★去分母:在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）★去括号: 去括号法则（可先分配再去括号）★移项: 把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边（右边） ★合并同类项：字母和其指数不变，前面的系数相加。
★系数化成1：在方程两边同时除以未知数的系数（方程两边同时乘以未知数系数的倒数） 3.注意：▲去分母时，不要漏乘不含分母的项；分子是一个整体，含有多项式时应该加上括号。
▲去括号时，不要漏乘括号里的项；不要弄错符号。
▲移项时，要变号，不要丢项。
▲ 合并同类项时，字母和其指数不变，前面的系数相加。
例题：1.下列方程变形中，正确的是（ ）A.方程1223+=-x x ，移项，得;2123+-=-x xB.方程()1523--=-x x ，去括号，得;1523--=-x xC.方程2332=t ，未知数系数化为1，得;1=x D.方程15.02.01=--x x 化成.63=x2.（1）如果方程 533x a +=-的解是6x =-，那么a=______．（2）已知关于x 的方程432x m -=的解是x m =，则m 的值是（3）若x=-6是方程2186x m -=的解，则20082009m m +=3.如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a=（ ）A.103 B. 310 C. -103 D.- 310 4.当a= 时，关于x 方程22146x x a+--=的解是05.若方程9314x kx -=+有正整数解，则k 的整数值为6.（1）若23x +与1(1)2x +的值相等，则x= （2）若73x -与1(1)3x -互为相反数，则x=7.当x=-1时，363ax x +-的值是2，那么当1x =时，这个代数式的值是 8.解下列方程（1）23(21)16(1)x x x +-=-+ (2)32)]4(212[+=--+x x x(3) 341125x x -+-= (4)21101211364x x x -++-=- (5) 31225233x x ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(6) 432.50.20.05x x ---=（7）4(21)3(52)3(2)x x x --+=- （8）12323x x x ---=-（9）0.10.2130.020.5x x -+-=知识点四：应用题列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）（一）行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间S=vt（2）基本类型有①相遇问题；②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。
并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
例：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ (此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
)（二）行船问题流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。
流水问题有如下两个基本公式：顺水速度=船速+水速（V顺=V静+V水）逆水速度=船速-水速（V顺=V静-V水）例：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
（多解释）例：一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？（四）和差倍分问题（生产、做工等各类问题）1. 和、差、倍、分问题：（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。