数学分析》第十二章数项级数
但 uu nn 122(2 ( ( 1)1n)n 1)an,
lnima2n
1, 6
ln im a2n1
3, 2
limun1 u nnBiblioteka ln im an不存. 在
15
例 4 判 别 下 列 级 数 的 收 敛 性 :
1
(1) ;
n1n!
n!
(2) n11n 0; 1
1
(3)
.
n1(2n1)2n
uN 2rN u 1, u N 3 rN u 2 r 2 u N 1 , ,
u N mrm 1u N 1,
而级数 rm1uN1收敛 ,
m1
uNm uu收敛 , 收敛
m1
nN1
当1时, 取 1, 使 r1,
当nN时, u n 1 rn u u n , ln im un0. 发散
13
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1 . 当 1 时 比 值 审 敛 法 失 效 ;
例
级数
1发散 ,
n1n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
14
2.条 件 是 充 分 的 ,而 非 必 要 .
例 u n22 ( n1)n2 3 nvn,
级n数 1unn 122 ( n1)n收,敛
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
(2n11)2nn12,
级数
1
n2
n1
收敛 ,
故级 n 1数 2n(21n1)收.敛
17
7.根值审敛法 (柯西判别法)：
设 un是 正 项 级 数 ,如 果 ln i m nun n1
(为数 或 ),则 1 时 级 数 收 敛 ;
1 时 级 数 发 散 ; 1 时 失 效 .
l,
则(1) 当 0l时 ,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 v n 收敛,则 u n 收敛;
n1
n1
(3) 当 l时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
8
证明 (1)由limun l v n
n
对于 l 0,
2
N, 当nN时, l l un l l
2 vn
2
即 2 lvnun3 2 lvn (nN )
反之不成立.
n1 1
1
例如：
n
1
n
2
收敛,
n 1 n 发散.
20
练习题
一、填空题: 1、 p 级 数 当 _______时 收 敛 ,当 _______时 发 散 ；
2 、 若 正 项 级 数 u n 的 后 项 与 前 项 之 比 值 的 根 等于 , n1 则 当 ________时 级 数 收 敛 ； ________时 级 数 发 散 ； ____________时 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .
1 np
1, n
则P级数发. 散
y
设p1,由图可知
1
np
n dx x n1 p
sn12 1p3 1p n 1p
y
1 xp
(p1)
112d xpx nn1d xpx
o 1 234
x
5
1
n dx 1 xp
1p11(1n1p1) 1
1 p1
即sn有界, 则P级数收. 敛
P级数 当 当pp 11时 时,,
例如 , 设级数 1,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 n
0(n ) 级数收敛.
18
思考题
设正项级数un 收敛, 能否推得un2收敛?
n1
n1
反之是否成立?
19
思考题解答
由 正 项 级 数 un收 敛 ， 可 以 推 得 un2收 敛 ,
n1
n1
lim
n
un2 un
ln imun 0
由比较审敛法知 u n 2 收敛.
(1) si1 n;
n1 n
1
(2)n13nn1 ;
解
(1)
limnsin1
n
n
lim
n
sin 1
n
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim 3 n n n 1 3n
lim n 1
1
n 3n
1,
n1
1收 3n
敛,
故原级数收敛.
11
6.比 值 审 敛 法 (达 朗 贝 尔 D’Alembert判 别 法 )：
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
6
例2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n1)
证明 1 1 , n(n1) n1
而级数 1 发散 ,
n1n1
级数
1
发散 .
n1 n(n1)
7
4.比较审敛法的极限形式:
设 un
n1
与 vn 都是正项级数,如果
n1
lim un n vn
解
(1)
u n1 ( n 1)!
un
1
1 0(n ), n1
n!
故级数 1收敛 .
n1n!
16
(2)
un1 un
(1n0n11)!1n0!n
n 1 (n ), 10
故级n数 11n0!n 发散 .
( 3 ) liu m n 1lim (2n1 )2n 1, n u n n (2n1 )(2n2)
n1
n1
且un vn(n1,2,),若 vn 收敛,则 un收敛；
n1
n1
反之，若un发散，则vn 发散.
n1
n1
证明 (1) 设 vn unvn,
n1
且 s n u 1 u 2 u n v 1 v 2 v n ,
即部分和数列有界
un收敛.
n1
3
( 2 )设 s n ( n )且 unvn,
§2 正项级数
1
正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级un中 数各项 un 均 0， 有
n1
这种级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的充要条件: s 1 s 2 s n
部分和数列{ sn }为单调增加数列.
定理 正项级 数 部收 分敛 和所 sn有 成 .界 的数
2
3.比较审敛法 设un和vn均为正项级数，
则nsn 不是有界数列
vn发散.
定理证毕.
n1
推 论 :若un收 敛 (发 散 )
n1
且 vnkn u (nN )k (n u vn),则 vn收敛(发散).
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
4
例 1 讨 论 P-级 数
121p31p41p n 1p 的 收 敛 性 .(p0)
解
设p1,
由比较审敛法的推论, 得证.
9
5 . 极 限 审 敛 法 ：
设un为 正 项 级 数 ,
n1
如果n l i m nu n l 0 (或n l i m nu n ),
则级数 un发散;
n1
如果有p1, 使得nl im npun存在,
则级数 un收敛.
n1
10
例 3 判 定 下 列 级 数 的 敛 散 性 :
设 n 1u n是 正 项 级 数 , 如 果 n l i u m u n n 1 ( 数 或 )
则 1时 级 数 收 敛 ;1时 级 数 发 散 ; 1时 失 效 .
证明 当为有限数,时对 0, N, 当nN时, 有 un1 ,
un
即 un1 (nN )
un
12
当1时, 取 1, 使 r1,
第十二章数项级数
这是不可能的.
级数发散 .
2项
2项
4项
8项
(1 1) (1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 )
2 3 4 5 6 7 8 9 10
16
(
1 2m
1
1 2m
2
1 2m1
)
每项均大于1
2m项
2
即前m 1项大于(m 1) 1 2
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
n
lim
n
an
不存在.
例 4 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ; 1
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
证明 当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 , un
即 un1 (n N )
un
当 1时, 取 1 ,
uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 , ,
则
lim
m
m
lim
n
sn
s.
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.
数学分析12-2122 正项级数
级数 vn 收敛, 则级数 un 也收敛.
(iii) 若l , 则对于正数1, 存在相应的正数N,当
n > N 时, 都有
un vn
1 或 un
vn .
于是由比较原则知道, 若级数 vn 发散, 则级数
un 也发散.
例3
级数
2n
1
n
是收敛的,
因为
1
lim
n
2n 1
n
2n
lim
n
2n 2n
1
n
sin
1 n
ln
n
lim
n
1
n
1 n
o
1 n2
ln
n
lim
n
n2
o
1 n2
ln n n
0,
所以
lim
2(1
e
nsin
1 n
)
ln
n
1.
根据比较原则, 原级数收敛.
n
二、比式判别法和根式判别法
本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象
而得到的, 但在使用时只要根据级数一般项本身的
N,当 n > N 时, 有
q un1 q .
un
当 q 1时, 根据 的取法,有 q 1, 由上述不等式
的左半部分及比式判别法的 (i), 得正项级数 un
是收敛的.
若 q 1, 则有 q 1, 根据上述不等式的左半部分
及比式判别法的 (ii), 可得级数 un 是发散的.
1
2nsin 1 的敛散性.
nn
解 因为
sin 1
lim
n
n 1
1,
故可将
第十二章 数项级数
第十二章 数项级数无穷级数是数学分析理论的重要组成部分，它是表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具，在应用数学和工程科学中有重要的应用。
无穷级数的中心内容是收敛性理论，无穷级数从形式上看，是“有限多项相加”向“无限多加”的推广，但两者有实质实质性的差别。
无穷级数的关键运算是极限，从而就有了收敛和发散的问题。
本章数项级数与第十三章函数项级数，第十四章幂级数，第十五章傅里叶级数是有机的整体，数项级数是函数项级数和傅里叶级数理论的基础。
另外本章与第十一章有着密切的联系。
一、本章重难点1．本章重点：（1） 数项级数及其收敛与和的定义，柯西收敛准则，收敛级数的基本性质。
（2） 正项级数收敛性的比较原则，比式判别法与根式判别法。
（1） 绝对收敛与条件收敛的概念及其相互联系。
（2） 交错级数的莱布尼兹判别法，一般项级数的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。
2．本章难点：（1） 收敛级数和绝对收敛级数级数的性质及其证明方法。
（1） 一般项级数的判敛法。
二、本章教材处理建议：1. 通过讨论“无限多个数相加”引入数项级数1nn u∞=∑及其“和”的概念，从有限和出发，借助于数列极限的工具给出无限和的定义是很自然的。
通过级数与数列之间的联系使学生明确研究级数及其和数只不过是研究数列及其极限的一种新形式。
2. 尽管形式上无穷级数是无限和向无限和的推广，但两者有实质性的差别。
加法运算中的运算律（如，交换律、结合律、分配律）和性质都不能照搬到无穷级数中来，在学习收敛级数的性质时一定要注意这种对比。
3. 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界，这是正项级数敛散性判别法的理论基础。
在此基础上得到一些敛散性判别法：比较判别法、比式判别法、根式判别法，每种判别法都有两种形式：不等式形式与极限形式。
要求学生记住几何级数和p-级数的敛散性。
4. 无穷积分()af x dx +∞⎰与级数1n n u ∞=∑有着内在的联系，它们的敛散性判别法和性质基本上是平行的。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-数项级数(圣才出品)
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第二部分 课后习题
第 12 章 数项级数
§1 级数的收敛性
1．证明下列级数的收敛性，并求其和： （1） （2） （3） （4） （5） 证明：（1）
所以原级数收敛，且和数 （2）
1 / 26
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
也发散．
证明：假设
收敛．因 c≠0，故级数
矛盾，所以若
发散．
也发散（c≠0）．
收敛，这与题设
发散
3．设级数 与级数 都发散，试问
一定发散吗？又若 un 与 vn（n＝1，
2，…）都是非负数，则能得出什么结论？
解：(1)当 与 都发散时，
不一定发散．如
两级数均发散，但
，即
收敛．
又如，
，两级数均发散，且
所以
从而级数
由比较原则知 收敛．
．又
收敛，
6．设级数 收敛，证明 证明：因为
也收敛．
又及
收敛，故
收敛，所以由比较原则得
收敛．
7．设正项级数 收敛，证明级数
也收敛．
证明：因为
，义由已知碍 及
收敛，所以
收敛，进而由比较原则得
收敛．
8．利用级数收敛的必要条件，证明下列等式：
证明：（1）设
，考察正项级数 的收敛性，因为
发敛．
8 / 26
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
（5）因
，而级数
收敛，故级数
收敛．
（6）因
，而级数
发散，故级数
发散．
（7）因
，而级数
发散，故级数
数学分析12.3一般项级数
第十二章 数项级数2 一般项级数一、交错级数概念：若级数各项符号正负相间，即u 1-u 2+u 3-u 4+…+(-1)n+1u n +…(u n >0, n=1,2,…)，则称它为交错级数.定理12.11：(莱布尼茨判别法)若交错级数∑∞=+1n n 1n u (-1)满足：(1)数列{u n }单调递减；(2)∞n lim +→u n =0，则该级数收敛.证：交错级数的部分和数列{S n }的奇数项和偶数项分别为： S 2m-1=u 1-(u 2-u 3)-…-(u 2m-2-u 2m-1)，S 2m =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)…+(u 2m-1-u 2m ). 由条件(1)知上述两式括号内的数皆非负，从而 数列{S 2m-1}递减，数列{S 2m }递增. 又由条件(2)知0<S 2m-1-S 2m =u 2m →0 (m →∞)，从而{[S 2m ,S 2m-1]}形成一个区间套， 由区间套定理，存在唯一的一个数S ，使得∞m lim +→S 2m-1=∞m lim +→S 2m =S.∴数列{S n }收敛，即该交错级数收敛.推论：若交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，则该收敛级数的余项估计式为|R n |≤u n+1.二、绝对收敛级数及其性质概念：若级数各项绝对值所组成的级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛， 则称它为绝对收敛级数. 若级数收敛，但不绝对收敛，则称该级数为条件收敛级数.定理12.12：绝对收敛级数一定收敛.证：若级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛，由柯西收敛准则知， 对任意ε>0，总存在正数N ，使得对n>N 和任意正整数r ，有 |u n+1|+|u n+2|+…+|u n+r |<ε，∴|u n+1+u n+2+…+u n+r |<ε， ∴u 1+u 2+…+u n +…收敛. 得证！例1：证明：级数∑!n a n收敛.证：∵n1n ∞n u u lim++→=1n alim ∞n ++→=0<1,∴原级数绝对收敛.性质1：级数的重排：正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射 f:n →k(n)称为正整数列的重排，相应地对数列{u n }按映射F:u n →u k(n)所得到的数列{u k(n)}称原数列的重排；同样的，级数∑∞=1n k(n)u 也是级数∑∞=1n nu 的重排. 记v n =u k(n)，即∑∞=1n k(n)u =v 1+v 2+…+v n +….定理12.13：若级数∑n u 绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排后所得到的级数∑n v 也绝对收敛，且有相同的和数.证：不妨设∑n u 为正项级数，用S n 表示它的第n 个部分和， 记T m =v 1+v 2+…+v m 表示级数∑n v 的第m 个部分和.∵级数∑n v 是∑n u 的重排，∴对每一个v k 都等于某一ki u (1≤k ≤m).记n=max{i 1,i 2,…i m }, 则对任何m ，都存在n ，使T m ≤S n .由∞n lim +→S n =S 知，对任何正整数m 有T m ≤S, 即∑n v 收敛，其和T ≤S.又级数∑n u 也是∑n v 的重排，∴S ≤T ，推得T=S.若∑n u 为一般级数且绝对收敛，即正项级数∑n u 收敛，同理可推得 级数∑n v 收敛，∴级数∑n v 收敛. 令p n =2u u nn +，q n =2u u nn -；则当u n ≥0时，p n =u n ，q n =u n ；当u n <0时，p n =0，q n =-u n ≥0. 从而有 0≤p n ≤|u n |，0≤q n ≤|u n |，p n +q n =|u n |，p n -q n =u n . 又∑n u 收敛， ∴∑n p ,∑n q 都是正项的收敛级数，且S=∑n u =∑n p -∑n q .同理得：∑n v =∑'n p -∑'n q ，其中∑'n p ,∑'n q 分别是∑n p ,∑n q 的重排. ∴∑n v =∑'n p -∑'n q =∑n p -∑n q =S. 得证!性质2：级数的乘积：由a ∑n u =∑n au 可推得有限项和与级数的乘积：(a 1+a 2+…+a m )∑∞=1n n u =∑∑∞==1n n m1k k u a .继而可推广到无穷级数之间的乘积：设收敛级数∑n u =A, ∑nv=B.将两个级数中每一项所有可能的乘积列表如下：这些乘积u i v j按各种方法排成不同的级数，如按正方形顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v2+u2v1+u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1+…，如下表：或按对角线顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v1+u1v3+u2v2+u3v1+…，如下表：定理12.14：(柯西定理) 设绝对收敛级数∑n u=A, ∑n v=B，则由它们中每一项所有可能的乘积u i v j按任意顺序排列所得到的级数∑n w绝对收敛，且其和等于AB.证：设级数∑n w,∑n u,∑n v的部分和分别为：S n =|w 1|+|w 2|+…+|w n |,A m =|u 1|+|u 2|+…+|u m |,B m =|v 1|+|v 2|+…+|v m |. 其中w k =kkj i v u (k=1,2,…,n)，m=max{i 1,j 1,i 2,j 2,…,i n ,j n }，则必有S n ≤A m B m .∵绝对收敛级数∑n u 与∑n v 的部分和数列{A m }和{B m }都有界， ∴{S n }有界，从而级数∑n w 绝对收敛. 利用绝对收敛级数的可重排性， 将绝对收敛级数∑n w 按正方形顺序重排如下： u 1v 1+(u 1v 2+u 2v 2+u 2v 1)+(u 1v 3+u 2v 3+u 3v 3+u 3v 2+u 3v 1)+…， 把每一括号作一项，得新级数：p 1+p 2+p 3+…+p m +…收敛， 且与∑n w 和数相同，其部分和P m =A m B m . 即有∞m lim +→P m =∞m lim +→A m B m =∞m lim +→A m ∞m lim +→B m =AB. 得证！例2：证明：级数1+2r+…+(n+1)r n +…(|r|<1)绝对收敛，并求其和.证：等比级数∑∞=0n n r =1+r+r 2+…+r n +…=r-11(|r|<1)，绝对收敛. 将(∑∞=0n n r )2的所有可能的项按对角线顺序相加得：1+(r+r)+(r 2+r 2+ r 2)+…+(r n +…+r n )+… (括号内共有n+1个r n ) =1+2r+…+(n+1)r n +…=2r)-(11. ∴所求级数绝对收敛，其和为2r)-(11.二、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法引理：(分部求和公式，也称阿贝尔变换)设εi ,v i (i=1,2,…,n)为两组实数， 若令T k =v 1+v 2+…+v k (k=1,2,…,n)，则有如下分部求和公式成立：∑=n1i ii vε=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .证：以v 1=T 1, v k =(T k -T k-1) (k=2,3,…,n)分别乘以εk (k=1,2,…,n)，则∑=n1i ii vε=ε1v 1+ε2v 2+…+εn v n =ε1T 1+ε2(T 2-T 1)+…+εn (T n -T n-1)=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .推论：(阿贝尔引理)若(1)ε1, ε2,…, εn 是单调数组；(2)对任一正整数k(1≤k ≤n)有|T k |=|v 1+v 2+…+v k |≤A ，记ε=kmax {|εk |},有∑=n1k k k v ε≤3εA.证：由(1)知ε1-ε2, ε2-ε3, …, εn-1-εn 同号，于是由分部求和公式及(2)有∑=n1k k kv ε=|(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n |≤A|(ε1-ε2)+(ε2-ε3)+…+(εn-1-εn )|+A|εn |=A|(ε1-εn )|+ A|εn | ≤A(|ε1|+2|εn |)≤3εA.定理12.15：(阿贝尔判别法)若{a n }为单调有界数列，且级数∑n b 收敛, 则级数∑n n b a =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n +…收敛.证：由级数∑n b 收敛，依柯西准则，对任给正数ε, 存在正数N, 使 当n>N 时，对一切正整数p ，都有∑++=pn 1n k kb<ε.又数列{a n }单调有界，∴存在正数M ，使|a n |≤M ，根据阿贝尔引理有∑++=pn 1n k k kb a≤3εM. ∴级数∑n n b a 收敛.注：由阿贝尔判别法知，若级数∑n u 收敛，则下述两个级数：(1)∑p nn u (p>0)；(2)∑+1n u n 都收敛.定理12.16：(狄利克雷判别法)若数列{a n }单调递减，且∞n lim +→a n =0，又且级数∑n b 的部分和数列有界，则级数∑n n b a 收敛.例3：证明：若数列{a n }单调递减，且∞n lim +→a n =0，则级数∑sinnx a n 和∑cosnx a n 对任何x ∈(0,2π)都收敛.证：2sin 2x (21+∑=n 1k coskx )=sin 2x +2sin 2x cosx+2sin 2x cos2x+…+2sin 2xcosnx= sin 2x +(sin 23x-sin 2x )+…+[sin(n+21)x-sin(n-21)x]=sin(n+21)x. 当x ∈(0,2π)时，sin 2x ≠0, cot 2x ≠+∞.∴∑=n1k coskx =2x 2sinx 21n sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21=21sinnxcot 2x +2cosnx -21.又-21cot 2x -1≤21sinnxcot 2x +2cosnx -21≤21cot 2x ，即当x ∈(0,2π)时，∑cosnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数∑cosnx an收敛.2sin 2x (∑=n 1k sinkx -21cot 2x )=2sin 2x sinx+2sin 2x sin2x+…+2sin 2x sinnx-cos 2x= (cos 2x-cos 23x) +…+[cos(n-21)x-cos(n+21)x]-cos 2x =-cos(n+21)x. 当x ∈(0,2π)时，sin 2x ≠0, cot 2x ≠+∞.∴∑=n1k sinkx =21cot 2x -2x 2sin x 21n cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2x 2sinx 21n cos -2x cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+.又- csc 2x =2x sin 1-≤2x 2sin x 21n cos -2x cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤2x sin1=csc 2x ，即当x ∈(0,2π)时，∑sinnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数∑sinnx an收敛.注：作为例3的特例，级数∑n sinnx 和∑ncosnx对一切x ∈(0,2π)都收敛.习题1、下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：(1)∑!n sinnx ；(2)∑+-1n n )1(n；(3)∑+n1p n n (-1)；(4)∑-n 2sin )1(n ；(5)∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n 1n (-1)n ；(6)∑++1n 1)ln(n (-1)n ；(7)n n 13n 1002n )1(∑⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；(8)nn x !n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛. 解：(1)∵!n sinnx <2n 1(n>4)；又级数∑2n1收敛，∴原级数绝对收敛. (2)∵1n n)1(limn ∞n +-+→=1≠0；∴原级数发散. (3)∵当p ≤0时，n1p n ∞n n(-1)lim++→≠0；∴原级数发散；当p>1时，n1p n n(-1)+≤p n 1；又级数∑p n1(p>1)收敛，∴原级数绝对收敛. 当0<p ≤1时，令u n =n1p n1+，则n1n u u +=1n 1p n 1p 1)(n n++++=1n 1pn1)1n (n 11n++⎪⎭⎫⎝⎛+<1n 1pn 1n n 11n+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=p1)n(n 1n 11n⎪⎭⎫ ⎝⎛++，∵np ∞n n 11lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=e p>1, 1n 1∞n n lim ++→=1，∴当n 充分大时，npn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+>1n 1n +，即 p n 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+>1)n(n 1n+，从而n1n u u +<1，即u n+1<u n ，∴{u n }在n 充分大后单调减. 又∞n lim +→u n =n1p ∞n n1lim++→=0(0<p ≤1)，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛.(4)∵n2n2sin)1(limn ∞n -+→=1, 且级数∑n2发散，∴原级数不绝对收敛. 又{n2sin }单调减，且n2sin lim ∞n +→=0，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛. (5)∵级数∑n(-1)n收敛，而级数∑n1发散，∴原级数发散.(6)∵1n 1)ln(n (-1)n ++>1n 1+(n ≥2)，且∑+1n 1发散，∴原级数不绝对收敛.又{1n 1)ln(n ++}单调减且1n 1)ln(n lim ∞n +++→=0，∴原级数条件收敛. (7)记u n =n13n 1002n ⎪⎭⎫⎝⎛++，则n ∞n u lim +→=13n 1002n lim ∞n +++→=32，∴原级数绝对收敛. (8)记u n =n n x !n ⎪⎭⎫ ⎝⎛，则n 1n ∞n u u lim ++→=n∞n 1n n x lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→=|e x |， ∴当-e<x<e 时，n1n ∞n u u lim++→<1，原级数绝对收敛； 当x ≥e 或x ≤-e 时，n1n ∞n u u lim++→≥1，即当n 充分大时，|u n+1|≥|u n |>0，∴n ∞n u lim +→≠0，∴原级数发散.2、应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：(1)nn n x 1x n (-1)+⋅∑ (x>0)； (2)∑a n sinnx, x ∈(0,2π) (a>0)； (3)nnxcos )1(2n∑-, x ∈(0,π).解：(1)∵当x>0时，0<n n x 1x +<n n x x =1，且n n1n 1n x 1xx 1x ++++=1n 1n x 1x x ++++； 若0<x ≤1，则1n 1n x 1x x ++++≤1；若x>1，则1n 1n x1x x ++++>1， 即数列{n n x 1x +}单调有界. 又级数∑n(-1)n收敛，由阿贝尔判别法知原级数收敛. (2)∵当a>0时，数列{a n1}单调递减，且∞n lim +→a n 1=0， 又当x ∈(0,2π)时，∑=n1k sinkx ≤csc 2x，即∑sinnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知原级数收敛. (3)∵数列{n 1}单调递减，且∞n lim+→n1=0，又当x ∈(0,π)， ∑=n1k 2kkx cos (-1)=∑=+n1k k21cos2kx (-1)≤∑=n 1k k 2(-1)+∑=n1k k 2cos2kx (-1)≤21+∑=n1k cos2kx 21.又由2sinx ∑=n 1k cos2kx =4sin(2n+1)x-4sinx ，得∑=n1k cos2kx =2sinx4sinx -1)x 4sin(2n +≤sinx 2+2， 即对任意x ∈(0,π)，级数nx cos )1(2n ∑-有界， 根据狄利克雷判别法知原级数收敛.3、设a n >a n+1>0 (n=1,2,…)且∞n lim +→a n =0.证明：级数∑+⋯++na a a (-1)n211-n 收敛.证：由a n >a n+1>0 (n=1,2,…)且∞n lim +→a n =0知， {na a a n21+⋯++}单调减且趋于0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛.4、设p n =2u u nn +，q n =2u u nn -.证明：若∑n u 条件收敛，则级数∑n p 与∑n q 都是发散的. 证：若∑n u 条件收敛，则∑n u 发散， ∴∑n p =∑+2u u nn =∑2u n +∑2u n，发散； ∑n q =∑-2u u nn =∑2u n -∑2u n，发散.5、写出下列级数的乘积：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=1n 1-n 1-n 1n 1-n nx (-1)nx ； (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n!(-1)n!1. 解：(1)当|x|<1时，两个级数均绝对收敛，乘积按对角线一般项为：w n =k-n k-n n1k 1-k 1)xk -(n (-1)·kx +∑==xn-1∑=+n1k k-n 1)k -k(n (-1), 从而有w 2m =x2m-1∑=+2m1k k-2m 1)k -k(2m (-1)=[-2m+…+(-1)m (m 2+m)+2m+…+(-1)m-1(m 2+m)]=0； w 2m+1=x 2m∑+=++12m 1k 1k -2m 2)k -k(2m (-1)=x 2m[∑+=++12m 1k 1k -2m 1)k -k(2m (-1)+∑+=+12m 1k 1k -2m k (-1)]=-x 2m∑+=+12m 1k k-2m 1)k -k(2m (-1)+x2m∑+=+12m 1k 1k -2m k (-1)=- w 2m +x2m∑+=-12m 1k 1k k (-1)=x2m∑+=-12m 1k 1k k (-1)=x 2m(1-2+3-4+…-2m+2m+1)=(m+1) x 2m.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=1n 1-n 1-n 1n 1-n nx (-1)nx =∑∞=+0m 2m 1)x (m . (|x|<1).(2)两个级数均绝对收敛，其乘积按对角线一般项为：w 0=1, w n =k)!-(n (-1)·k!1k -n nk ∑==n!1∑=nk k -n k)!-(n k!n!(-1)=n!1)-(1n=0(n=1,2,…) ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n0n n!(-1)n!1=1.注：二项式n 次幂展开式：(1-1)n=∑=nk k -n k)!-(n k!n!(-1).6、证明级数∑∞=0n n n!a 与∑∞=0n n n!b 绝对收敛，且它们的乘积等于∑∞=+0n nn!b)(a .证：n!a 1)!(n a limn 1n ∞n +++→=1n alim ∞n ++→=0,∴∑∞=0n n n!a 绝对收敛. 同理∑∞=0n nn!b 绝对收敛. 按对角线顺序，其乘积各项为：C 0=1=!0b)(a 0+, ……,C n =k)!-(n b k!a k -n n1k k ⋅∑==n!∑=n 0k k -n k k)!-(n k!n!b a =n!b)(a n +. ∴∑∞=0n n n!a ·∑∞=0n n n!b =∑∞=+0n nn!b)(a .7、重排级数∑+-n1)1(1n ，使它成为发散级数. 解：∑+-n 1)1(1n =1-21+31-41+…+n 1)1(1n +-+…=∑∞=1k 1-2k 1-∑∞=1k 2k 1，∑∞=1k 1-2k 1∵∑∞=1k 2k 1和∑∞=1k 1-2k 1是发散的正项级数，∴存在n 1，使u 1=∑=1n 1k 1-2k 1-21>1，又∑∞+=1n k 11-2k 1发散，∴存在n 2>n 1，使u 2=∑+=21n 1n k 1-2k 1-41>21，同理存在n 3>n 2，使u 3=∑+=32n 1n k 1-2k 1-61>31,…,u i+1=∑++=1i i n 1n k 1-2k 1-1)2(i 1+>1i 1+，可得原级数的一个重排∑∞=1i i u . ∵u i >i 1,且∑i 1发散，∴∑∞=1i i u 必发散.8、证明：级数∑-n)1(]n [收敛.证：记A L ={n|[n ]=L}, L=1,2,…，显然A L 中元素n 满足L 2≤n<(L+1)2,且A L 中元素个数为2L+1. 记U L =∑∈-L A n ]n [n )1(，则有u L =∑∈-LA n Ln )1(=(-1)L V L , 其中V L =∑∈L A n n 1，则V L -V L+1=∑=+2L0s 2s L 1-∑+=++1)2(L 0s 2s)1(L 1=∑=++++2Ls 22s])1s)[(L (L 1L 2-1L 2)1(L 12+++-2L 2)1(L 12+++≥∑=+++2L0s 22L]2)1[(L 1L 2-L 2)1(L 22++=222L]2)1[(L L]2)12[(L -1)L 2(L 2+++++=2222L]2)1[(L L)2-1-L 2L -L L 2(2++-+=222L]2)1[(L 1)-3L L (2++->0(当L ≥4时). ∴当L ≥4时, { V L }是单调下降数列. 当n ∈A L 时，21)(L 1+<n 1≤2L 1， ∴21)(L 1L 2++<V L ≤2L 1L 2+，可见∞L lim +→V L =0，从而∑∞=1L L u =∑∞=1L L LV (-1)收敛. 设级数∑∞=-1n ]n [n )1(的部分和为S N ，记级数∑∞=1n n u 的部分和为U M ，则S N =∑=-N1n ]n [n )1(，U M =∑=M1n n u ，任一个S N 均被包含在某相邻两个部分和U M , U M+1之间，即有|S N -U M |≤|U M+1-U M |，由级数∑∞=1n n u 收敛，知∞M lim +→U M+1-U M =0，∴∞N lim +→S N -U M =0，即极限∞N lim +→S N =∞N lim +→U M =∑∞=1n n u 存在，∴级数∑-n)1(]n [收敛.。
数学分析数项级数
第十二章数项级数教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具； 2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的； 3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。
教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。
教学时数：18学时§ 1级数的收敛性一.概念：1. 级数：级数，无穷级数；通项（一般项，第K项）,前T项部分和等概念（与中学的有关概念联系）.级数常简记为「2. 级数的敛散性与和：介绍从有限和入手，引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本，定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数、厂的敛散性.（这是一个重要例题！）H-0» 1 一胪1解，时，.•. 级数收敛；tS lp 1,一时，/, -■■■.级数发散；弋1时，I ■ —■,丨^ 一■亠.，级数发散；■J -时,■-...-;, 级数发散.w 1综上，几何级数当且仅当「I 一时收敛，且和为■（注意■•从0开to 1-?始）.® 1例2讨论级数％'的敛散性.E如门解（利用拆项求和的方法）例3 讨论级数的敛散性.x_i 2”k1 2 3 起-1 月解以^ ,■■■ ' ' I .= 二T ：,—：・•因此，该级数收敛.y 9« 例4 讨论级数 弋 ° 的敛散性. t?5»-3解 _ ' 一 「-一 > -'. ，_ 一- J ,/ ■ ■,.级数发散.-3 5 53. 级数与数列的关系：对应部分和数列｛ ；｝,收敛=｛ ：｝收敛；对每个数列｛门｝,对应级数匸；，.，—,对该级数,有二二“. 于是，数列｛ 6｝收敛H 级数»- '、；、-三】收敛.»-2可见，级数与数列是同一问题的两种不同形式 .4. 级数与无穷积分的关系： 地 u vM-tl对每个级数，定义函数/ ' ；： - ■ l ■■- ■ ■-'匕-：.「，…，易见有 工叭二“妙.即级数可化为无穷积分.J TZ I 1综上所述，级数和无穷积分可以互化，它们有平行的理论和结果.可以用 其中的一个研究另一个. 二.级数收敛的充要条件一一Cauchy 准则：把部分和数列｛二｝收敛的Cauchy 准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy 准则.Th （ Cauchy 准则）、一「收敛=■ ■■ ■-■ 和"：；N,= 由该定理可见，去掉或添加上或改变（包括交换次序）级数的有限项，不 会影响级数的敛散性.但在收敛时，级数的和将改变.去掉前：项的级 数表为或\‘"：.其中r .无穷积分可化为级数…十口十2汽，尸2412"相 _系（级数收敛的必要条件）收敛=•「...r 1 1曙1例5证明.级数收敛.证显然满足收敛的必要条件.令丿，-1 ,则当< 1 2时有, ,二 1 / 召 1 11」应用Cauchy准则时，应设法把式| |不失真地放大成只含巴而不含尹JU1的式子，令其小于三，确定巴.» 1例6 判断级数的敛散性.幺卷（验证•・：一'. 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件）2 1例7 （一一一但级数发散的例）证明调和级数发散.证法一（用Cauchy准则的否定进行验证）三.收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质 1 ■■；：收敛，二一Const = 21.! ■''.收敛且有' ,•' * b= <工叭性质2 和收敛，=丄| 收敛，且有一'、二'二…性质3若级数二■- ’收敛,则任意加括号后所得级数也收敛，且和不变.§ 2 正项级数一. 正项级数判敛的一般原则：1. 正项级数：■',/;任意加括号不影响敛散性.2.基本定理:Th 1设飞''.则级数二、收敛= ■H - - r •且当' 发散时有二一‘，.•….1 •（证）3.正项级数判敛的比较原则：Th 2设二飞和\ 是两个正项级数,且H —先时有，.；、.,则I > V. 收敛，= 收敛；，> V「发散，=二，发散.（ii >是i >的逆否命题）3 1例1 考查级数的敛散性.幺宀沙1沪 1 2解有2 K1-K + l yr例2 设」■ —「..判断级数的敛散性•抵™-i a推论1 （比较原则的极限形式）设和是两个正项级数且一，则i > 「：「•+：；时,二和工,共敛散；i > —时，工•：收敛，-二，收敛；iii > -时,工,发散,= 丄‘，发散•（证）二.正项级数判敛法：1 .检比法：亦称为D' alembert判别法•用几何级数作为比较对象，有下列所谓检比法•Th 3设二'为正项级数，且“：及 > ：'.'. '厂时i>若•，- 收敛；■以+1-：,-二'发散•证i >不妨设J：时就有.:成立，有依次相乘，，即\ •由一',得二/收敛，=收敛•ii > 可见卜.往后递增,=」..亍「，推论（检比法的极限形式）设. 为正项级数，且.贝U i >孑< 1,=二・\ 收敛；i > i > 1或一？二-：：，=二「•发散.（证）例4判断级数2^ 2_5 +2_5_8 +亠2 5鮎（2 + 辿—1［）丄1 I7? 15 9 …1'5'?-<1+_4^-1））…的敛散性.•,=卫u1和4科4收敛.例5讨论级数»严a > .的敛散性.解因此,当：二〕〔时，匸I -；「时,、-■；工=■-时，级数成为发散2. 检根法（Cauchy判别法）:也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4设二「.：为正项级数,且"：及：:,当匕•几时，i > 若 << ■'1,=收敛；i > 若 <.<,-1,=工叫发散.（证）推论（检根法的极限形式）设/耳为正项级数，且.则1< 1,='■收敛；「-,=发散. （证）⑹ 工以心二充分大时,有J ■.：.例5研究级数的敛散性•21，收敛.3.积分判别法：设在区间［.「.；上函数「：.'且\ .则正项级数二…与积证 对一 •】「，.- 一且■/⑹ i 应 < f(n-V ). n =2,3,■■-乞m ）空f 了（Q 乂 ＜工血=工＜（伺，・ K-2 沪 2H-1例6讨论下列级数的敛散性：一. 直接比较判敛：对正项级数，用直接比较法判敛时乙〉0 ,抑 2 0 ,二一?— ■此+A a 对—.，有 i .：'■. | ■ ■:I-'-...;特别地,有..「时,有■. I ':Th 5,常用下列不等式: 1例1判断级数-一 的敛散性.令屮■+sffi a （3M a +5）乍一时，，（或■ 1）.设数列 有界•证明 刃； < 十8. 设• -.例4 设■,-且数列 -'■：有正下界.证明级数 [•理1.设「’.：；’「 ■- ■,—-…」. 例 5「'.若' ，则二；-'.；又 \「n 2 n—科一n-+co .设二■.,〔..若级数二和二.，收敛，则级数 工q 收敛.设*, ■. ■, ■.证明⑴ 二;；■,〈5,=二、• ；⑵和\?-： 之一或两者均发散时,•'*二仍可能收敛；⑶ 心!<宀，二；1 ■,- Zi\.⑴ 心充分大时，）■.,.解 解例3证证证例6 例7证例2判断级数二，1的敛散性,其中-:. 「时,_/a;- --■-发散.:」：时,有」； 收敛;⑵取「“7 -'.n⑶八十• I.二.利用同阶或等价无穷小判敛例8判断下列级数的敛散性⑴D';⑵y ⑶;⑷；⑸_ .JS-4 ~M-1例9判断下列级数的敛散性原理：常用判定级数收敛的方法证明I. 门或I' '.例10 证明例11证明辄岁+器+…+ l^-j-0 -例12设比\ | 「一；.若收敛,... .M—证对V^>0, 3K t Y k >K,由收敛，有「:：，.匕-| ■ .■< -:.£ --, 即：―工—二;（上十1加軌+■丈％\ +叽+―十肚汁十"第H即-「一' ■''.于是,；:匸时总有匚丄亠、—. 此即i .. .§ 3 一般项级数一.交错级数：交错级数,Leibniz型级数二.绝对收敛级数及其性质：1. 绝对收敛和条件收敛：以Leibniz级数为例，先说明收敛「：绝对收敛. Th 2 （绝对收敛与收敛的关系）二.，「，二收敛•证（用Cauchy准则）.利用级数判敛求极限：<1一般项级数判敛时，先应判其是否绝对收敛.例2判断例1中的级数绝对或条件收敛性.2. 绝对收敛级数可重排性：⑴ 同号项级数：对级数 \人，令” 2 I 0,如£0. H 2 [ 0, >0.则有i > 丄和工\均为正项级数,且有〉.| J和'-f —；ii > 、|一「' ,心=匕.⑵同号项级数的性质：Th 3 i >若丄. ：十'：：,贝U *十⑺，工° fii >若条件收敛,则工飞——,工.证i > 由'. | I 和'-| . , i > 成立.ii > 反设不真,即；.《和—中至少有一个收敛,不妨设[/,：+“.由“=讥-叫，5 =入一“以及二.：+门和二、收敛,—二.：十匸.而7 -r ,= '丄: +,==,与二、条件收敛矛盾.三.级数乘积简介：1. 级数乘积：级数乘积,C auchy积.[1] P20—21.2 .级数乘积的Cauchy定理：四.型如的级数判敛法：Th （Abel判别法）设i >级数二一，收敛，ii > 数列单调有界. 则级数•八「宀收敛.证（用Cauchy收敛准则,利用Abel引理估计尾项）设二",由二收敛,与对V J?）0?3N, N时，对悝已N ,有■..・•.■■- 「.于是当.X时对V有1立扛 “（|如|坨|% | ）＜ 3后.由Cauchy 收敛准则,= 二［收敛.2.Dirichlet 判别法：Th 8（ Dirichlet ）设i ＞级数 '二、的部分和有界，ii ＞数列二］单调趋于零.则级数二―收敛. 证 设厂、则 「.",二对「.，有iU \1：川.不妨设 0 ,= 对L :•.「•.此时就有5＞点£辺（|蘇+訂+2任+』|〕＜6沁.由Cauchy 收敛准则，二，.收敛.取一；、\0 ,二一,Ii",由Dirichlet 判别法，得交错级数 工卜〕'咯 收敛.可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法.事实上,由数列 单调有界, — ，［收敛，设、一；1 一「.考虑级数 ^2- - ：-■,1“\\ ,①-㊁单调趋于零，止有界，= 级数 I... - 收敛，又级数收敛,=级数二匕m “收敛.和匸_：r 对：r3 . xl L 2 2丿（菲 + _）工_亦［些一丄）k -sinf n 斗丄）k ,例4设4 \0.证明级数 收敛. 证1 , sinC^ + -^x.「二：|.丄： 时 ，：;::.一产 I, == ' ........... 、' '2 2仙 可见|:：时,级数、.；■：；.的部分和有界.由Dirichlet 判别法推得级数\: 收敛.同理可得级数数:| --收敛.例3若J-.；： — '上一■:.交错级数是否必收敛M-1未必.考查交错级数 ,11111 12吩3 W片那这是交错级数，有〔.但该级数发散.因为否则应有级数,在Leibniz 判别法中,条件6单调是不可少的.判断级数 1111-- -------- ~~--- 十 ---- — ------ 1 -- +V2-1 75 + 1 ^3-1 石+1的敛散性.解 从首项开始，顺次把两项括在一起，注意到级数' =,= 所论级数发散.*_W判断级数的敛散性.,= 所论级数绝对收敛,故收敛.（用D-判法亦可）.O 〉0〕的绝对及条件收敛性.「.时为Leibniz 型级数, 时，绝对收敛.条件收敛；由该例可见■ t ■ ——I. — =―+ VII丽-1 丽+1注意到 收敛.而例5 设级数二-■...收敛.证明级数 % 收敛..■- -.由 Abel 或 Dirichlet 判法,.收敛.例6 .工=门,判断级数、'… 从的敛散性.、 =-,现证级数川攵敛：因一让时不1 | siti 7 | '又一 \ J,由Dirichlet 判法,—级数、一 收敛. 故本题所论级数发散.例7 判断级数的绝对收敛性.卄r . t> r /口 「〃匸人,Isiii wxL sin 1 1 cos 2nx 解 由Dirichlet 判法,得级数收敛但占 |H2n2n仿例6讨论，知本题所论级数条件收敛.例8 设级数、「 J …绝对收敛，、飞收敛.证明级数 二si 收敛.证先证数列收敛.事实上, 工 I J ： 「•： 1 I r 收敛 J ；；.收敛.i-1令二、】：，则数列二.收敛，故有界.设 』丨・•」，于是由Abel 变换, 有冷」”Jt-i■: - 」/ : - f '；1八 、_. .\ . ■:., （或 _ !■: : .1■. ■. ■■.i-li-2i-L数列二.和 V 攵敛,= 数列收敛,三部分和数列匚「收敛.而 工| 二人■-.，：三 工」：-：一收敛.又址■丿1 - cos2>ix2w1 匚曲2竝工例9 设数列：收敛,级数三：二一…收敛M-F\ ...收敛•S科证 注意到:，—、-,,=it-im-；-S. ■■■ - ■- ■■: L- ― r 「收敛JUOJtU证法二 £(-1)叫£2 ,逊％厂…+耳\ 0,(烈例10设一匚\ 证明级数厂」M-1a 、++ ■ • ■ + 口证法一 由g \ :,\〔,此，所论级数是Leibniz 型级数,故收敛• -收敛•因Dirichlet 判法, 工收敛.证明级数f ：、：.由。
高等数学第12章第12章D12_1常数项级数
1 11 (2 其和为 .2 lim S n , 这说明原级数收敛) , 3 4 4 n n 1 n 3n 2n
目录
上页
下页
返回
结束
(3)
Sn 1 Sn 2
1 3 5 2n 1 1 3 5 2n 1 2 3 n 2 3 4 n 1 2 2 2 2 2 2 2 2
3Байду номын сангаас
3 3 3
故丢弃部分总长
l丢 1 22 3 3
9 9 3 22 23 2n1 3 4 3 3 3n 1 1 1 2 ( 2 )2 ( 2 )3 ( 2 )n1 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3
0 1 2 1
n n n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为
不趋于0,因此这个级数发散.
目录 上页 下页 返回 结束
注意: lim u n 0 并非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
性质2. 设有两个收敛级数
S
n 1
un ,
n 1
vn
则级数
n 1
( un vn )也收敛, 其和为 S .
k 1
证: 令 S n
n
u k , n vk ,
k 1
n
n
则
n ( u k vk )
k 1
S ( n )
这说明级数
n 1
( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
一般项级数
u3v3
L
L
L
L
L
L
L
L
L
对L 角线顺序L
L
u1v1 u1v2 u2v1 u1v3 u2v2 u3v1 L . (15)
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
定理12.14（柯西定理）
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
若级数un,vn都绝对收敛，则对(13)中 uiv j
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
由此可以立刻推广到收敛级数 un 与有限项和的乘
n1
积,即
m
(a1 a2 L am ) un
akun ,
n1
n1 k 1
那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质?
设有收敛级数
un u1 u2 L un L A,
S2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) L (u2m1 u2m ). 由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的,
从而数列S2 m 1是递减的，而数列S2 m 是递增的.
又由条件(ii)知道
0 S2m1 S2m u2m 0 (m ), 从而{ [S2m, S2m-1] }是一个区间套. 由区间套定理, 存
u1 u2 L un L
(6)
收敛, 则称原级数(5)为绝对收敛级数.
定理12.12
绝对收敛的级数是收敛的.
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
第十二章 数项级数82页
2n
n12n;
n1
( 1 )n 11 1 1 1( 1 )n 1;
n 1
co n sco 1sco 2 sco n s.
n 1
例2. 下列各式均为函数项级数
( 1 )n 1xn 1 1 x x2 ( 1 )n 1xn 1 , xR.
n 1
anxna0a 1xa2x2anxn ,| x |1.
1
1 2n1
而 ln i m Snln i m 1 212n111 2
故
1
n1(2n1)(2n1)
12，即该级数收敛.
1
例5. 证明调和级数 n 1 n 是发散的.
证 调和级数的部分和有：
S1 1，
S2
S21
1 1， 2
S 4 S 2 2 1 1 2 1 31 4 1 1 2 1 2 1 2 2 ，
n 1
n 1
且 cun cun.
n1
n1
n
证 u n 的部分和为 S n u k，
n 1
k 1
cu n 的部分和为
n 1
n
n
Sn cuk c uk cSn,
k1
k1
故 ln i m Sn ln i m cn Scln i m Sn
从而 cun cun 同时收敛或同时发散.
3. 收敛级数的余项
收敛级数 u n 的和S与其部分和Sn的差SSn n 1
称为收敛级数的余项，记为
Rn SSn um mn1
显然
lim
n
Rn
0.
二、级数收敛的柯西准则
定理12.1：级数 u n 收敛的充分必要条件是
n1
0 , N 0 , 当 m > N , 对 于 任 意 的 正 整 数 p 都 有
数学分析之数项级数
推 论 如 果 加 括 弧 后 所 成 的 级 数 发 散 ,则 原 来 级 数 也 发 散 .
性质4 （级数收敛的必要条件）
当 n无限,它 增的 大u 一 时 n趋般 于 ,即 项 零
级数收敛 ln im un 0.
证 s un 则 u nsn sn 1, n1 ln i u m nln i s m nln i s m n 1 ss0.
当q1时, ln i m qnln i m sn
如果q 1时
收敛 发散
当q1时, snn a 级数发散 当q1时,级a 数 a a a 变 为
ln im sn不存在 级数发散
综上 aqn
当q 1 时,收敛;
n0
当q 1 时,发散.
例2 讨论数项级数
11 1
(* )
1223 n (n 1 )
1 1 1 . m mp m
因此, 对 任 意 0,可 取 N1, 当m>N及任意正
整数 p,由上式可得 u m 1u m 2 u m pm 1,
依 级 数 收 敛 的 柯 西 准 则 , 知 级 数 n 1 2收敛.
1
注 级数 n 1 n ( n 1 ) 的收敛性已由例2的证明过程所
( c u n d v n ) cu n dv n . 根据级数收敛的柯西准则, 级数 un 的收敛与否与
级数前面有限项的取值无关.从而可得到以下定理. 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变 级数的敛散性.
性质3 若级数 un收敛,则 un也收敛
n1
nk1
(k1).且其逆亦真.
Chapt 12 数项级数
级数是数学分析三大组成部分之一， 是逼近理论的基础，是研究函数、进行近 似计算的一种有用的工具. 级数理论的主要 内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.