高中数学人教A版必修向量的几何表示PPT精品课件
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人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 空间向量及其线性运算
能否用向量a,b表示?怎样表示?
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1
2
1
2
+ + +
++
1
2
+ 1 =
1
2
=
=
1
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1
2
1
2
+ + +
++
1
2
+ 1 =
1
2
=
=
1
数学人教A版(2019)必修第二册6.4.1平面几何中的向量方法(共17张ppt)
几何图形到向量 恰当的向量运算 向量到几何关系
接下我们就来学习用向量法解决平面几何中的一些问题.
返回
例析
例1.如图，DE 是ABC 的中位线. 求证：DE // BC , 且DE 1 BC .
思考(1) : 从向量的角度看2，可以通
A
D
E
过证明什么得到DE
//
1 2
BC
？
B
C
证明向量DE ，BC 满足DE 1 BC
DE
//
2 BC，且
|
DE
|
1
|
BC
|
2
DE，BC 不在一条直线上
DE // BC , 且DE 1 BC. 2
思考(3): 通过本题以及前面的经验，你能总结一下用向量 法解决几何问题的主要过程和步骤吗?
用向量法解决几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
另一方面，向量同数一样，都有自己的运算体系，通过运 算解决问题. 向量的数量积运算最终归结为几个实数的乘积， 而向量用一个字母量时，向量的线性运算几何与实数的运算类 似. 借助平面向量基本定理将向量坐标化后，向量的运算更是几 乎纯粹实数化。
因此，平面几何中的很多问题都可以用向量的方法来解决， 其基本思路是：
练习
1.非零向量 AB , AC 满足( AB AC ) BC 0 , 且 AB AC
| AB | | AC |
| AB | | AC |
1 ，则ABC 2
是(
D
).
( A) 不等边三角形
(B) 直角三角形
(C ) 底和腰不等的等腰三角形 ( D) 等边三角形
接下我们就来学习用向量法解决平面几何中的一些问题.
返回
例析
例1.如图，DE 是ABC 的中位线. 求证：DE // BC , 且DE 1 BC .
思考(1) : 从向量的角度看2，可以通
A
D
E
过证明什么得到DE
//
1 2
BC
？
B
C
证明向量DE ，BC 满足DE 1 BC
DE
//
2 BC，且
|
DE
|
1
|
BC
|
2
DE，BC 不在一条直线上
DE // BC , 且DE 1 BC. 2
思考(3): 通过本题以及前面的经验，你能总结一下用向量 法解决几何问题的主要过程和步骤吗?
用向量法解决几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
另一方面，向量同数一样，都有自己的运算体系，通过运 算解决问题. 向量的数量积运算最终归结为几个实数的乘积， 而向量用一个字母量时，向量的线性运算几何与实数的运算类 似. 借助平面向量基本定理将向量坐标化后，向量的运算更是几 乎纯粹实数化。
因此，平面几何中的很多问题都可以用向量的方法来解决， 其基本思路是：
练习
1.非零向量 AB , AC 满足( AB AC ) BC 0 , 且 AB AC
| AB | | AC |
| AB | | AC |
1 ，则ABC 2
是(
D
).
( A) 不等边三角形
(B) 直角三角形
(C ) 底和腰不等的等腰三角形 ( D) 等边三角形
人教A版高一数学必修四第二章 2.4.1向量在平面几何中的应用课件 (共12张PPT)
2.4.1 向量在平面几何中的应用
平面几何中的向量方法
向量的概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2
a
2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
例5 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条 对角线相交于M，设 AM xAC, BM yBD
则 AM xAC xAB xAD,
AM AB BM
AB yBD
D C
M
AB y( AD AB)
A
B
(1 y) AB y AD
根据平面向量基本定理知，这两个分解
式是相同的，所以
x 1 y
x y
解得
x
1 2
y
1 2
所以点M是AC、BD的中点，即两条对 角线互相平分.
例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意 一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接 DP、EF，求证DP ⊥EF。
平面几何中的向量方法
向量的概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2
a
2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
例5 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条 对角线相交于M，设 AM xAC, BM yBD
则 AM xAC xAB xAD,
AM AB BM
AB yBD
D C
M
AB y( AD AB)
A
B
(1 y) AB y AD
根据平面向量基本定理知，这两个分解
式是相同的，所以
x 1 y
x y
解得
x
1 2
y
1 2
所以点M是AC、BD的中点，即两条对 角线互相平分.
例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意 一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接 DP、EF，求证DP ⊥EF。
高中数学(新人教A版)选择性必修一：空间中点、直线和平面的向量表示【精品课件】
思
概念生成
问题4 如何用向量表示一个点？
如图，在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点
P就可以用向量OP来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.
P
定原点（参照物）
O
思
除了 = 表示直线l,
问题5 如何用空间向量表示空间中的直线？
还有其他方法表示吗？
（A,B,P三点共线，还有其
所以M,A1的坐标分别为(3,2,0)，(3,0,2).因此 =(0,-2,2)
D1
z
C1
A1
直线 的方向向量为=(0,-2,2)
(2)因为y轴垂直于平面BCC1B，所以=(0,1,0)是平面
BCC1B1的一个法向量.
（1）去两点
（2）算向量
B1
O
A
x
C
M
B
y
(3)因为AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，所以
P
α
OP=xa+yb
O
点O与向量,不仅可以确定平面α,还可以具体表示出面α内
的任意一点.
这种表示在解决几何问题时有重要作用.
概念生成
进一步：
C
空间中一点和一个向量
如图，取定空间任意一点O，空间一点
P位
于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，
是否可以表示一个平面？
α A
使OP＝OA＋xAB+yAC．（三角形法则）
易错点
理解与掌握求平面的法向量的方法
复习回顾
我们上节课学习了什么知识呢？
1.空间向量运算的坐标表示
2.空间向量中平行、垂直的向量坐标之间的关系.
3.空间中两点间的距离公式和空间两向量夹角余弦值的计算公式.
人教版A版高中数学必修4：向量的几何表示_课件4
思考6：如果非零向量
uuur AB
与
uuur CD
是相反
向量，通过平移使起点A与C重合，那么
终点B与D的位置关系如何？
A
B
D
C
探究（二）：平行向量与共线向量
思考1：如果两个向量所在的直线互相平 行，那么这两个向量的方向有什么关系？
方向相同或相反
2：方向相同或相反的非零向量叫做平行 向量，向量a与b平行记作a//b，那么平行 向量所在的直线一定互相平行吗？
3：零向量0与向量a平行吗？ 规定：零向量与任一向量平行.
思考4：将向量平移，不会改变其长度和方向. 如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条
与点向O，量分a所别在作O直uuAu线r 平=a行，的OuuB直ur 线=bl，，O在uuCulr上=任c，取那一
么点A、B、C的位置关系如何？
a
b
O
c
B
7对于向量a、b、c，若a // b， b // c， 那么a // c吗？
8对于向量a、b、c，若a =b， b =c， 那么a = c吗？
理论迁移
例1 判断下列命题是否正确：
（1）若两个单位向量共线，则这两个向
量相等；
（×）
（2）不相等的两个向量一定不共线；
（× ）
（3）在四边形ABCD中，若向量与共线，
O
F
OB = DC = EO = FA
D
E
例3 如图，在△ABC中，D、E、F分
别是AB、BC、CA边上的点，已知
uuur uuur uuur uuur A D = DB, DF = BE,
求证：DuuEur
=
uuur AF
.
A
人教A版高中数学必修四2. 向量的几何表示教学课件
•
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
感谢观看，欢迎指导！
• 数量只有大小，是一个代数量，可以进行 代数运算、能比较大小；
• 向量有方向，大小，双重性，不能比较大 小。
练一练
• 下列说法正确的是( D ) • A 数量可以比较大小,向量也可以比较大小 • B 方向不同的向量不能比较大小,但同向的
可以比较大小 • C 向量的大小与方向有关 • D 向量的模可以比较大小
（1）起点相同的向量；（2）模相等的向量 ；（3）相同向量；（4）长度为1的向量
A (1)(2) B(1)(4) C(2)(3) D(2)(4)
作业: 数学书P77,习题2.1 A组1,2,6题
•
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
• 例:一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到
达点B,然后改变方向向西偏北60度走了
200km,到达点C,最后又改变方向向东行驶
了100km,到达点D.
•
(1)作出向量
AB, BC,CD
•
(2)求
AD
• 针对性练习:
• 飞机从A地向北偏西15度的方向飞行 1400km到达B地,再从B地向南偏东75度的 方向飞行1400km到达C地,那么C地在A地的 什么方向?C地距离A地有多远?
•
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 复习课 第1课时 空间向量与立体几何
(
)
(12)若向量n与直线l的方向向量垂直,A∈l,P∉l,则点P到直线l的距离可以
看成是 在n上的投影向量的长度.(
)
(13)设直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为u,平面α的法向量为
n,则cos θ=|cos<u,n>|. ( × )
专题归纳 核心突破
专题一
空间向量的线性运算
提示:空间向量共线的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充
要条件是存在实数λ,使a=λb.
空间向量共面的充要条件:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b
共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
2.空间向量基本定理与空间向量的坐标表示的内容是什么?
模就越大.(
)
(3)不论λ取什么实数,λa与a一定共线.(
)
(4)若a·b=0,则a,b中至少有一个为0.( × )
(5)若 a·b=k,则
a= 或
b= .
( × )
(6)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(λ1,λ2,λ3),使
λ1a1+λ2a2+λ3a3=0.( × )
(7)已知 A,B,M,N 是空间四点,若{, , }是空间的一个基底,则
(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存
在,确定N的位置;若不存在,说明理由.
分析:(1)证明向量垂直于平面 PAD 的一个法向量即可;
(2)假设存在点 N,设出其坐标,利用 ⊥ , ⊥ ,
列方程求其坐标即可.
解:以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角
)
(12)若向量n与直线l的方向向量垂直,A∈l,P∉l,则点P到直线l的距离可以
看成是 在n上的投影向量的长度.(
)
(13)设直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为u,平面α的法向量为
n,则cos θ=|cos<u,n>|. ( × )
专题归纳 核心突破
专题一
空间向量的线性运算
提示:空间向量共线的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充
要条件是存在实数λ,使a=λb.
空间向量共面的充要条件:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b
共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
2.空间向量基本定理与空间向量的坐标表示的内容是什么?
模就越大.(
)
(3)不论λ取什么实数,λa与a一定共线.(
)
(4)若a·b=0,则a,b中至少有一个为0.( × )
(5)若 a·b=k,则
a= 或
b= .
( × )
(6)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(λ1,λ2,λ3),使
λ1a1+λ2a2+λ3a3=0.( × )
(7)已知 A,B,M,N 是空间四点,若{, , }是空间的一个基底,则
(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存
在,确定N的位置;若不存在,说明理由.
分析:(1)证明向量垂直于平面 PAD 的一个法向量即可;
(2)假设存在点 N,设出其坐标,利用 ⊥ , ⊥ ,
列方程求其坐标即可.
解:以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角
向量的概念 课件 高中数学人教A版(2019)必修第二册
①要注意0和
且|
的区别及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
|=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
②单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
③在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
牛刀小试
问题：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
定的，而向量是可以自由移动的；向量可以用有向线段表示，但并不能
说向量就是有向线段
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一
条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，
单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一
个单位圆
得正确选项.
测验
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改
变方向沿东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达
D点．
(1)作出向量AB，BC，CD ；
(2)求AD 的模．
(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量
（速度为10海里/小时）．如果只是给出指令：
“由A地航行15 海里”，小船能否到达B地？
• 如果不指明“向东南方向”航行，小船不一定到达B地
• 给出指令：“向东南方向航行”呢？
• 方向和距离缺一不可
新知探究
（1）向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量，
在物理中被称为“矢量”，
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
且|
的区别及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
|=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
②单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
③在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
牛刀小试
问题：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
定的，而向量是可以自由移动的；向量可以用有向线段表示，但并不能
说向量就是有向线段
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一
条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，
单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一
个单位圆
得正确选项.
测验
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改
变方向沿东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达
D点．
(1)作出向量AB，BC，CD ；
(2)求AD 的模．
(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量
（速度为10海里/小时）．如果只是给出指令：
“由A地航行15 海里”，小船能否到达B地？
• 如果不指明“向东南方向”航行，小船不一定到达B地
• 给出指令：“向东南方向航行”呢？
• 方向和距离缺一不可
新知探究
（1）向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量，
在物理中被称为“矢量”，
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
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数量只有大小，是一个代数量，可以进 行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，因为方向性所以不 能比较大小。
实数与数轴上的点一一对应
由于实数与数轴上的点一一对应，所以实数常常 用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而且不同的点 表示不同的数。
-1 0 1 2 3
向量，我们常用带箭头的线段来表示
长短表示向 量大小
例2：AB与 BA是否同一向量？ 答：不是同一向量。
例1.如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置， 在图中分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并 求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1km）.
【变式练习】
判断正误
(1)零向量的方向是任意的.
(√)
(2)若 a 0,则a 0.
(X)
(3)单位向量的模都相等.
不可。 2.向量的表示
①用一个小写字母表示向量，如 a，b 等；
②用有向线段表示向量，以A为起点,B为终点
的向量记为，AB （注意起点写在前面、终点写在
后面）
3．向量的模:向量 AB的大小，称作向量的模。
注：向量是不能比较大小的，但向量的模可以比较大小。
4．零向量
长度为0的向量叫做零向量，记作 0 。 注：① AB 的长度（或称模），记作 AB 0 = 0；
B（终点）
箭头表示向量 方向
A（起点） AB
我们把带有方向的线段叫：有向线段
B（终点）
A（起点）
有向线段的三个要素：起点、方向、长度。 终点唯一确定
1、向量的几何表示：用有向线段表示。
向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或 称模），记作|AB|。
向量的表示方法
字母法：
（1）小写英文字母上面加箭号表
②零向量的方向是任意的。
5．单位向量 长度等于１个单位的向量，叫做单位向量。 6.平行向量和相等向量。
向量相等 平行向量一定是相等向量吗?
C
向量平行
例3．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中 与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB
变式：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
课堂小结
平面向量的基本概念 1.向量：既有大小、又有方向的量叫做向量。 注：向量有两个要素：大小和方向，二者缺一
各向量的终点与直线l之间有什么关系？
• 例2、在梯形中找到平行向量（共线向量）.
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？ （2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：a = b
D
C
规定：0 = 0
A
b
BA
a
B
.
D
o
相等向量一定是平行向量吗?
示，如
a
，读作向量a
.
a
（2） 两个大写英文字母上面加箭号表
示，如 AB ，表示由A到B的向量，A为向 量的起点，B为向量的终点，读作向量AB .
A AB B
【即时训练】
“向量就是有向线段，有向线段就是向量.”的说 法对吗？
不对，①向量只有大小和方向两个要素；与起点 无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是 相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三 个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不同的有向线段.
(√)
(4)单位向量都相等.
(x)
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
如：
a
平行向量又叫做共线向量
b c
记作 a ∥b
∥c
平行向量就是共线向 量，这是因为任一组
平行向量都可移到同
. 规定：0与任一向量平行。
C
o
A
一直线上.
l B
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的 一点O ，这时它们是不是平行向量？
• 现实世界中有各种各样的量，
• 如年龄、身高、体重、力、速度、面积、 体积、温度等，在数学上，为了正确理
• 解、区分这些量，我们引进向量的概念.
【即时训练】
下列不是向量的是（① ④ ⑥⑦ ⑧） ① 质量; ② 速度; ③位移; ④温度; ⑤加速度; ⑥路程; ⑦ 密度;⑧功.
数量与向量的区别：
3 两个特殊的向量
0与0的区别
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的
单位向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单 位向量.
注：单位向温度”是否向量？ 答：不是，因为零上零下也只是大小之分。
向量有方向，大小，因为方向性所以不 能比较大小。
实数与数轴上的点一一对应
由于实数与数轴上的点一一对应，所以实数常常 用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而且不同的点 表示不同的数。
-1 0 1 2 3
向量，我们常用带箭头的线段来表示
长短表示向 量大小
例2：AB与 BA是否同一向量？ 答：不是同一向量。
例1.如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置， 在图中分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并 求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1km）.
【变式练习】
判断正误
(1)零向量的方向是任意的.
(√)
(2)若 a 0,则a 0.
(X)
(3)单位向量的模都相等.
不可。 2.向量的表示
①用一个小写字母表示向量，如 a，b 等；
②用有向线段表示向量，以A为起点,B为终点
的向量记为，AB （注意起点写在前面、终点写在
后面）
3．向量的模:向量 AB的大小，称作向量的模。
注：向量是不能比较大小的，但向量的模可以比较大小。
4．零向量
长度为0的向量叫做零向量，记作 0 。 注：① AB 的长度（或称模），记作 AB 0 = 0；
B（终点）
箭头表示向量 方向
A（起点） AB
我们把带有方向的线段叫：有向线段
B（终点）
A（起点）
有向线段的三个要素：起点、方向、长度。 终点唯一确定
1、向量的几何表示：用有向线段表示。
向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或 称模），记作|AB|。
向量的表示方法
字母法：
（1）小写英文字母上面加箭号表
②零向量的方向是任意的。
5．单位向量 长度等于１个单位的向量，叫做单位向量。 6.平行向量和相等向量。
向量相等 平行向量一定是相等向量吗?
C
向量平行
例3．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中 与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB
变式：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
课堂小结
平面向量的基本概念 1.向量：既有大小、又有方向的量叫做向量。 注：向量有两个要素：大小和方向，二者缺一
各向量的终点与直线l之间有什么关系？
• 例2、在梯形中找到平行向量（共线向量）.
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？ （2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：a = b
D
C
规定：0 = 0
A
b
BA
a
B
.
D
o
相等向量一定是平行向量吗?
示，如
a
，读作向量a
.
a
（2） 两个大写英文字母上面加箭号表
示，如 AB ，表示由A到B的向量，A为向 量的起点，B为向量的终点，读作向量AB .
A AB B
【即时训练】
“向量就是有向线段，有向线段就是向量.”的说 法对吗？
不对，①向量只有大小和方向两个要素；与起点 无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是 相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三 个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不同的有向线段.
(√)
(4)单位向量都相等.
(x)
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
如：
a
平行向量又叫做共线向量
b c
记作 a ∥b
∥c
平行向量就是共线向 量，这是因为任一组
平行向量都可移到同
. 规定：0与任一向量平行。
C
o
A
一直线上.
l B
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的 一点O ，这时它们是不是平行向量？
• 现实世界中有各种各样的量，
• 如年龄、身高、体重、力、速度、面积、 体积、温度等，在数学上，为了正确理
• 解、区分这些量，我们引进向量的概念.
【即时训练】
下列不是向量的是（① ④ ⑥⑦ ⑧） ① 质量; ② 速度; ③位移; ④温度; ⑤加速度; ⑥路程; ⑦ 密度;⑧功.
数量与向量的区别：
3 两个特殊的向量
0与0的区别
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的
单位向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单 位向量.
注：单位向温度”是否向量？ 答：不是，因为零上零下也只是大小之分。