复数与平面向量三角函数的联系习题精选
2020届二轮(理科数学) 平面向量解三角形复数 专题卷(全国通用)
单元质检六平面向量、解三角形、复数(时间:45分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题6分,共48分) 1.设复数i -21+i =a+b i(a ,b ∈R ),则a+b=( ) A.1B.2C.-1D.-22.已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则有( ) A.OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗3.若非零向量a ,b 满足a ⊥(2a+b ),且a 与b 的夹角为2π3,则|O ||O |=( )A.12B.14C.√32D.24.已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC=60°,则OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.-32a 2B.-34a 2C.34a 2D.32a 25.一艘船以每小时15 km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向,行驶4 h 后,船到达B 处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为 ( )A.15√2 kmB.30√2 kmC.45√2 kmD.60√2 km6.已知向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2cos α,√2sin α),则向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的取值范围是( ) A.[0,π4]B.[π4,5π12] C.[5π12,π2]D.[π12,5π12]7.已知|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,点C 在线段AB 上,且|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为1,则|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -t OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(t ∈R )的最小值为( ) A.√2 B.√3C.2D.√58.已知平面向量a ,b ,|a |=1,|b |=2,且a ·b =1.若e 为平面单位向量,则(a+b )·e 的最大值为( ) A.√6B.6C.√7D.7二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.设i为虚数单位,复数z=1-i的虚部是.3-i10.已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(t a+b),则实数t的值为.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值,则点P的坐标⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),OO11.已知向量OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,1),在x轴上存在一点P使OO是.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的12.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则OO最大值为.13.若向量a,b满足a=(-√3,1),(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,则|b|= .⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO 14.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=√1-O2上一个动点,则OO值范围是.三、解答题(本大题共2小题,共22分)15.(11分)在△ABC中,A=30°,BC=2√5,点D在AB边上,且∠BCD为锐角,CD=2,△BCD的面积为4.(1)求cos ∠BCD的值;(2)求边AC的长.16.(11分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,满足c cos B+(2a+b)cos C=0.(1)求角C;(2)若c=√3,求△ABC面积的最大值.单元质检六 平面向量、解三角形、复数1.A 解析∵i -21+i =-12+32i =a+b i,∴a=-12,b=32. ∴a+b=1,故选A .2.B 解析由2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选B .3.B 解析∵a ⊥(2a+b ),且a 与b 的夹角为2π3,∴a ·(2a+b )=2a 2+a ·b =2|a |2-12|a ||b |=0.又|a |≠0,|b |≠0,∴2|a |=12|b |,∴|O ||O |=14,故选B .4.D 解析如图,设OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+b )·a =a 2+a ·b =a 2+a ·a ·cos60°=a 2+12a 2=32a 2.5.B 解析如图所示,依题意有AB=15×4=60(km),∠DAC=60°,∠CBM=15°,∴∠MAB=30°,∠AMB=45°.在△AMB 中,由正弦定理,得60sin45°=OOsin30°,解得BM=30√2(km),故选B .6.D 解析由题意,得OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cos α,2+√2sin α), 所以点A 的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2.如图,当A 为直线OA 与圆的切点时,向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角分别达到最大值和最小值,故选D .7.B 解析依题意,可将点A ,B 置于圆x 2+y 2=4上;由点C 在线段AB 上,且|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为1,得原点O 到线段AB 的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -t OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=4+4t 2-2t ×22cos120°=4t 2+4t+4=4(O +12)2+3的最小值为3,因此|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -t OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√3. 8.C 解析(a+b )·e=a ·e+b ·e ≤|a ·e|+|b ·e|=|O ·O |O ||+|O ·O|O ||,其几何意义为a 在e 方向上的投影的绝对值与b 在e 方向上的投影的绝对值的和, 当e 与a+b 共线时,取得最大值,(|a ·e|+|b ·e|)max =|a+b |=√|O |2+|O |2+2O ·O =√7,则(a+b )·e 的最大值为√7,故选C . 9.-15解析∵z=1-i 3-i=(1-i)(3+i)(3-i)(3+i)=4-2i 10=25−15i,∴复数z=1-i3-i 的虚部是-15.10.-5 解析由a ⊥(t a +b )可得a ·(t a +b )=0, 所以t a 2+a ·b =0,而a 2=12+(-1)2=2,a ·b =1×6+(-1)×(-4)=10,所以有t ×2+10=0,解得t=-5. 11.(3,0) 解析设点P 坐标为(x ,0),则OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,-2),OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,-1),OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x 2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值1. 故点P 坐标为(3,0).12.92 解析以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则E (2,12).设F (x ,y ),则0≤x ≤2,0≤y ≤1, 则OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+12y ,令z=2x+12y ,当z=2x+12y 过点(2,1)时,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值92.13.√2 解析∵a =(-√3,1),∴|a |=2.∵(a +2b )⊥a ,(a +b )⊥b , ∴(a +2b )·a =0,(a +b )·b =0,即|a |2+2a ·b =0,① |b |2+a ·b =0.②由①-②×2,得|a |2=2|b |2, 则|b |=√2.14.[0,√2+1] 解析如图,画出函数y=√1-O 2的图象.这是以O (0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆.设OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ,则θ∈[0°,90°]. 当θ∈[0°,45°]时,cos(45°-θ)=|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,当θ∈[45°,90°]时,cos(θ-45°)=|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2.由于y=cos x ,x ∈R 是偶函数,所以|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2cos(θ-45°),θ∈[0°,90°].OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos θ =2√2cos(θ-45°)cos θ =2cos 2θ+2sin θcos θ =sin2θ+cos2θ+1 =√2sin(2θ+45°)+1.因为θ∈[0°,90°], 所以2θ+45°∈[45°,225°].当2θ+45°=90°,即θ=22.5°时,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值√2+1,当2θ+45°=225°,即θ=90°时,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值0, 所以OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,√2+1].15.解(1)∵BC=2√5,CD=2,S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=4,∴sin ∠BCD=2√55.∴cos ∠BCD=√55.(2)在△BCD 中,CD=2,BC=2√5,cos ∠BCD=√55,由余弦定理得,DB 2=CD 2+BC 2-2CD ·BC ·cos ∠BCD=16,即DB=4.∵DB 2+CD 2=BC 2,∴∠BCD=90°,即△ACD 为直角三角形. ∵A=30°,∴AC=2CD=4.16.解(1)由已知得,sin C cos B+(2sin A+sin B )cos C=0,则sin C cos B+sin B cos C+2sin A cos C=0,∴sin(B+C )+2sin A cos C=0,则sin A+2sin A cos C=0.∵sin A>0,∴cos C=-12. ∵C ∈(0,π),∴C=2π3.(2)由余弦定理,c 2=a 2+b 2-2ab cos C , 得3=a 2+b 2+ab ≥2ab+ab=3ab ,∴ab ≤1,当且仅当a=b=1时取等号. ∴S △ABC =12ab sin C ≤12×1×√32=√34. ∴△ABC 面积的最大值为√34.。
2020版高考数学总复习第四章三角函数、平面向量与复数同步测试卷7文(含解析)
第四章三角函数、平面向量与复数（七)（三角函数的图象性质、解三角形、三角形中的三角函数、三角函数模型及应用）同步测试卷时间:60分钟总分：100分一、选择题（本大题共6小题,每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)1．在△ABC中,a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若c cos A ＝b，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是钝角三角形C．一定是斜三角形D．一定是直角三角形【解析】已知c cos A＝b，利用正弦定理化简得：sin C cos A＝sin B＝sin（A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C,整理得：sin A cos C＝0，∵sin A≠0,∴cos C＝0,即C＝90°。
则△ABC为直角三角形．故选D.【答案】D2．函数f错误!＝sin错误!（ω〉0）的图象中，最小正周期为π,若将函数f错误!的图象向右平移错误!个单位，得到函数g错误!,则g错误!的解析式为（)A．g错误!＝sin错误!B．g错误!＝sin错误!C．g错误!＝sin错误!x＝sin 2xD．g（）【解析】由最小正周期为π,得ω＝2，将f错误!＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位，得g错误!＝sin 2x，选D.【答案】D3．函数f错误!＝A sin错误!(A〉0，ω〉0)的部分图象如图所示，则f错误!的单调递减区间为( )A.错误!,k∈ZB。
错误!,k∈ZC。
错误!，k∈ZD.错误!，k∈Z【解析】由图知最小值为－2，则A＝2,错误!＝错误!－错误!＝错误!,则T ＝π，所以ω＝2。
2x＋φ，过错误!点．函数为y＝2sin⎝⎛）则φ＝－错误!＋2kπ（k∈Z）．可令函数为y＝2sin错误!。
单调递减区间为错误!＋2kπ<2x－错误!<错误!＋2kπ，即为错误!＋kπ〈x〈错误!＋kπ（k∈Z)．故选D。
【答案】D4．海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛成60°的视角，从B岛望C岛成75°的视角,则B，C间的距离是( ）A．10 3 海里B。
【名师导学】2020届高三数学总复习第四章 三角函数、平面向量与复数习题精选
第四章 三角函数、平面向量与复数考点集训(十七) 第17讲 任意角的三角函数、同角公式与诱导公式1．cos(－2 010°)＝A.32 B ．－32 C.12 D ．－122.1－2sin 2cos 2等于A ．sin 2－cos 2B ．cos 2－sin 2C ．±(sin 2－cos 2)D ．sin 2＋cos 23．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是A ．2 B.2sin 1C ．2sin 1D ．sin 24．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π]内，α的取值范围是 A.⎝⎛⎭⎫π2，34π∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，34π∪⎝⎛⎭⎫5π4，32πD.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫34π，π 5．已知tan α＝3，π<α<3π2，则cos α＋sin α＝____________．6．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为______________________．7．已知函数f (x )＝sin （π－x ）cos （2π－x ）tan （－x ＋π）tan （π＋x ）sin （－π－x ）.(1)化简f (x )的表达式；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－7π2＝15，求f (α)的值．8．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin ⎝⎛⎭⎫3π2－A ·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A 的值； (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形．考点集训(十八) 第18讲 两角和与差及二倍角的三角函数1．sin 45°·cos 75°＋cos 15°cos 45°＝ A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．已知sin θ＝45，cos θ＝－35，则2θ是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17，则tan α＝A ．－34 B.34 C.43 D ．－434.cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝A ．－32 B.22 C.12 D ．15.sin 2B 1＋cos 2B －sin 2B＝－3，则tan 2B ＝______________． 6．若α∈(0，π)，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为______________．7．已知：0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin 2β的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．8．已知α，β∈(0，π)且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．考点集训(十九) 第19讲 三角恒等变换1．cos 4π8－sin 4π8＝A ．0B ．－22C ．1 D.222．已知α∈(0，π)且cos α＋sin α＝22，则cos α－sin α的值为A ．－ 2B ．－62 C. 2 D.623．已知f (x )＝1－x 1＋x，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则f (cos α)＋f (－cos α)＝____________．4．求值：tan 20°·tan 30°＋tan 30°·tan 40°＋tan 40°·tan 20°＝__1__．5．若tan θ＝12，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝____________________．6．已知α为锐角，且tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2.(1)求tan α的值；(2)求sin 2αcos α－sin αcos 2α的值．7．已知tan α＝17，tan β＝13，并且α，β均为锐角，求α＋2β的值．8．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0，x ∈R )，且以π为最小正周期．(1)求f ⎝⎛⎭⎫π2的值；(2)已知f ⎝⎛⎭⎫α2－π6＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值．考点集训(二十) 第20讲 三角函数的图象1．如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图，则该函数振幅、周期、初相分别为A ．1，π，－π3B ．1，2π，π3C ．－1，π，π3D ．1，2π，－π32．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是 A.π3 B.2π3C ．π D.4π33．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π204．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移φ个单位，得到偶函数g (x )的图象，则φ的最小正值为A.π12B.5π12C.π3D.π65．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为__________．6．如图所示的是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|∈⎝⎛⎭⎫0，π2图象的一部分，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝______.7．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．8．若函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx －12(ω>0)的图象与直线y ＝m (m 为常数)相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列．(1)求f (x )的表达式及m 的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12，得到y ＝g (x )的图象，若直线x ＝x 0是函数g (x )的图象的一条对称轴，求f (x 0)的值．考点集训(二十一) 第21讲 三角函数的性质1．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是A.π2B ．πC ．2πD ．4π2．若函数y ＝sin x ＋f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上单调递增，则函数f (x )可以是A ．1B ．cos xC ．sin xD ．－cos x3．将函数f ()x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是A ．x ＝－π12B ．x ＝π12C ．x ＝π3D ．x ＝2π34．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 A.π6 B.π4 C.π3 D.π25．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为______________．6．设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3，若对任意x ∈R ，存在x 1，x 2使f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 1－x 2|的最小值是______．7．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；②图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎡⎦⎤－π6，0上是增函数，所有正确结论的编号为________．8．设函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a .(1)写出函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，函数f (x )的最大值与最小值的和为32，求f (x )的解析式．9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．考点集训(二十二) 第22讲 解三角形1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，如果cos A cos B －sin A sin B >0，那么三边a ，b ，c 满足的关系是A ．a 2＋b 2>c 2B ．a 2＋b 2<c 2C ．a 2＋c 2<b 2D ．b 2＋c 2<a 22．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m3．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A 等于A ．45°B ．30°C ．120°D ．15°4．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝______；sin A ＝________________．5．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于______________．6．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b ＝2a sin B ，且A ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)求∠A 的度数；(2)若cos(A －C )＋cos B ＝32，a ＝6，求△ABC 的面积．7．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．考点集训(二十三) 第23讲 三角形中的三角函数1．在△ABC 中，已知a 2＋b 2＝c 2－2ab ，则∠C ＝ A ．30° B ．45° C ．150° D ．135°2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，那么△ABC 的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形3．△ABC 各角的对应边分别为a ，b ，c ，满足b a ＋c ＋ca ＋b≥1，则角A 的取值范围是A.⎝⎛⎦⎤0，π3B.⎝⎛⎦⎤0，π6C.⎣⎡⎭⎫π3，πD.⎣⎡⎭⎫π6，π 4．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D ．2∶15．在锐角△ABC 中，b ＝2，B ＝π3，sin 2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的面积为______________．6．如图，D 是直角三角形斜边BC 上一点，AB ＝AD ，记∠CAD ＝α，∠ABC ＝β.(1)求证：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC ＝3DC ，求β的值．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且满足cos 2A －cos 2B ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6－A cos ⎝⎛⎭⎫π6＋A . (1)求角B 的值；(2)若b ＝3且b ≤a ，求a －12c 的取值范围．8．已知函数f (x )＝2sin x cos 2φ2＋cos x sin φ－sin x (0<φ<π)在x ＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C .考点集训(二十四) 第24讲 平面向量的概念与其线性运算1．平面向量a ，b 共线的充要条件是 A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a ＋λ2b ＝02．已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P 是线段MN 上的一点，且PN →＝－2PM →，则P 点的坐标是A ．(－14，－16)B ．(22，－11)C ．(6，1)D ．(2，4)3．已知△ABC ，D 是BC 边上的一点，AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，|AB →|＝2，|AC →|＝4，若记AB →＝a ，AC →＝b ，则用a ，b 表示BD →所得的结果为A.12a －12bB.13a －13b C ．－13a ＋13b D.12a ＋13b4．在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→ |＝|OB 2→ |＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP → |<12，则|OA →|的取值范围是A.⎝⎛⎦⎤0，52B.⎝⎛⎦⎤52，72C.⎝⎛⎦⎤52，2D.⎝⎛⎦⎤72，2 5．已知i ，j 是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量i ＋j 的模等于________．6．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝__2__．7．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为__5__．8．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP →＝OA →＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．考点集训(二十五) 第25讲 平面向量的基本定理和向量的坐标运算1．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为 A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 2．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝A ．－92B ．0C ．3 D.1533．已知向量a ＝(1，－m )，b ＝(m 2，m )，则向量a ＋b 所在的直线可能为 A ．x 轴B ．第一、三象限的角平分线C ．y 轴D ．第二、四象限的角平分线4．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－15．若平面向量a ，b 满足|a ＋b|＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝__________． 6．已知向量集合M ＝{a|a ＝(1，2)＋λ1(3，4)，λ1∈R }，N ＝{b|b ＝(－2，－2)＋λ2(4，5)，λ2∈R }，则M ∩N ＝________．7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2，1)，A (1，0)，B (cos θ，t )．(1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；(2)若a ⊥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋⎝⎛⎭⎫t 42的最小值．8．若定义向量v关于向量u的函数为v＝f(u)，其对应法则是：若向量u＝(x，y)，则向量v＝(y，2y－x)．(1)设a＝(1，1)，b＝(1，0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；(2)求f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标；(3)证明：对任意向量a，b及常数m，n，恒有f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b)成立．考点集训(二十六) 第26讲 平面向量的数量积及应用1．已知a ＝(1，－3)，b ＝(4，6)，c ＝(2，3)，则a·(b·c )等于 A ．(26，－78) B ．(－28，－42) C ．－52 D ．－782．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a ＋b|＝|a －2b |，则β－α＝A.π2 B ．－π2 C.π4 D ．－π43．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为 A ．－2 3 B ．2 3 C ．4 3 D ．6 34．已知|a|＝1，|b|＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为 A.π2 B.π3 C.π4 D.π65．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b方向上的投影为____________．6．若平面向量a ，b 满足|2a －b|≤3，则a·b 的最小值是______________．7．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1, 则AB 的长为____________．8．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1，2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b |，0＜θ＜π，求θ的值．9．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．考点集训(二十七) 第27讲 平面向量的应用1．已知a ，b 为非零向量，则“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设向量a ＝(3sin θ＋cos θ＋1，1)，b ＝(1，1)，θ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，m 是向量a 在向量b 方向上的投影，则|m |的最大值是A.322B ．4C ．2 2D ．33．直线x ＋3y －23＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →＝ A ．4 B ．3 C ．2 D ．－24．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________________．5．在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则BA →·BC →|BC →|＝________________．6．已知在平面直角坐标系中，O (0，0)，M (1，1)，N (0，1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1，0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为__3__．7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .若AB →·AC →＝CA →·CB →＝k (k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若k ＝2，求b 的值．8．已知A ，B ，C 是直线l 上的不同三点，O 是l 外一点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋1OB →＋(ln x －y )OC →，记y ＝f (x )．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．考点集训(二十八) 第28讲 复数1．若z ＝(1＋i)i(i 为虚数单位)，则z 的虚部是 A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点为 A ．A B ．B C ．C D ．D 3.（1＋i ）3（1－i ）2＝ A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i4．若M ＝{x |x ＝i n ，n ∈Z }，N ＝{x |1x＞－1}(其中i 为虚数单位)，则M ∩(∁R N )＝A ．{－1，1}B ．{－1}C ．{－1，0}D ．{1}5．若i 为虚数单位，已知a ＋b i ＝2＋i1－i(a ，b ∈R )，则点(a ，b )与圆x 2＋y 2＝2的关系为A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定6．已知复数(1－2i)i(其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点M 在直线y ＝mx ＋n 上，其中mn >0，且m ，n ∈R ，则1m ＋1n的最小值为A ．3＋2 2B ．3＋ 2C ．3－2 2D ．3－ 27．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝____________．8．i 为虚数单位，当复数m (m －1)＋m i 为纯虚数时，实数m 的值为__1__．9．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i x i 2x ＋i ，则y ＝__－2__．10．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第__四__象限，复数z 对应点的轨迹是__________．第四章 三角函数、平面向量与复数第17讲 任意角的三角函数、同角公式与诱导公式【考点集训】1．B 2.A 3.B 4.B5．－1＋32 6.－43或－4337．【解析】(1)f (x )＝sin x ·cos x ·（－tan x ）tan x ·[－sin （π＋x ）]＝－sin x ·cos x sin x＝－cos x .(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又α是第三象限角．∴cos α＝－1－sin 2α＝－265.∴f (α)＝－cos α＝265.8．【解析】(1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴(sin A ＋cos A )2＝125，即1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝(－cos A )(－sin A ) ＝sin A cos A ＝－1225.(2)∵sin A cos A ＝－1225<0且0<A <π，∴A 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．第18讲 两角和与差及二倍角的三角函数【考点集训】1．C 2.C 3.A 4.C 5.34 6.1或－17187．【解析】(1)解法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos βcos π4＋sin βsin π4＝22cos β＋22sin β＝13，∴cos β＋sin β＝23， ∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79.解法二：sin 2β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2， ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－35×13＋45×223＝82－315.8．【解析】tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171－12×⎝⎛⎭⎫－17＝13<1，∴0<α<π4.tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34<1，∴0<2α<π4，tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝⎛⎭⎫－171＋34×⎝⎛⎭⎫－17＝1，∵0<β<π，∴－π<－β<0， ∴－π<2α－β<π4，∴2α－β＝－3π4.第19讲 三角恒等变换【考点集训】1．D 2.B 3.2sin α4.15.72106．【解析】(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2，1＋tan α＝2－2tan α， 所以tan α＝13.(2)sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin αcos 2α＝sin α（2cos 2α－1）cos 2α＝sin αcos 2αcos 2α＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110，又α为锐角，所以sin α＝1010，所以sin 2αcos α－sin αcos 2α＝1010.7．【解析】∵tan α＝17<1，tan β＝13<1，且α，β均为锐角，∴0<α<π4，0<β<π4，∴0<α＋2β<3π4.又tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝34，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝17＋341－17×34＝1.∴α＋2β＝π4.8．【解析】(1)∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－2sin π3＝－ 3.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6＝2sin α＝1013，sin α＝513，∴cos α＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝17226.第20讲 三角函数的图象【考点集训】1．A 2.A 3.C 4.A 5.(3，2) 6.37．【解析】(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.8．【解析】(1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.由题意可知其周期为π，故ω＝1， 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，m ＝±1.(2)将f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π12，得到g (x )＝sin 2x .又由对称性知，2x 0＝k π＋π2，k ∈Z .于是f (x 0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2－π6.当k 为偶数时，f (x 0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2－π6＝sin π3＝32，当k 为奇数时，f (x 0)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π2－π6＝－sin π3＝－32.第21讲 三角函数的性质【考点集训】1．B 2.D 3.D 4.A 5.326.27.②④ 8．【解析】(1)f (x )＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＋a＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋12，∴T ＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． 故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． (2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1. 由题意知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，原函数的最大值与最小值的和为⎝⎛⎭⎫1＋a ＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋12＝32， ∴a ＝0，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12. 9．【解析】f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x . g (x )＝2sin 2x 2＝1－cos x . (1)由f (α)＝335得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15. (2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ， 即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z . 故使f (x )≥g (x ) 成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }． 第22讲 解三角形【考点集训】1．B 2.A 3.A 4.21585.332 6．【解析】(1)∵3b ＝2a sin B ，∴由正弦定理知：3sin B ＝2sin A sin B .∵B 是三角形内角，∴sin B ＞0，从而有sin A ＝32. ∵A ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴∠A ＝π3.(2)将B ＝π－(A ＋C )代入cos(A －C )＋cos B ＝32得： cos(A －C )－cos(A ＋C )＝32， 利用两角和与差的余弦公式展开得：sin A sin C ＝34， ∴sin C ＝12，∠C ＝30°， 由正弦定理得c ＝23，∴△ABC 的面积为6 3. 7．【解析】(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得P A 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74. 故P A ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理，得3sin 150°＝sin αsin （30°－α）， 化简得3cos α＝4sin α.所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34. 8．【解析】(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72. 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，可得 sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A 2＝2sin C ， 化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C .由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9， 从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.第23讲 三角形中的三角函数【考点集训】1．D 2.C 3.A 4.D 5. 36．【解析】(1)证明：因为α＝π2－∠BAD ＝π2－(π－2β)＝2β－π2，所以sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β－π2＝－cos 2β， 即sin α＋cos 2β＝0.(2)在△ADC 中，由正弦定理，得DC sin α＝AC sin （π－β），即DC sin α＝3DC sin β.所以sin β＝3sin α. 由(1)，sin α＝－cos 2β. 所以sin β＝－3cos 2β＝－3(1－2sin 2β)，即23sin 2β－sin β－3＝0.解得sin β＝32或sin β＝－33. 又因为0<β<π2，所以sin β＝32.从而β＝π3. 7．【解析】(1)由已知cos 2A －cos 2B ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6－A cos ⎝⎛⎭⎫π6＋A ， 得2sin 2B －2sin 2A ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2A －14sin 2A ， 化简得sin B ＝32， 故B ＝π3或2π3. (2)∵b ≤a ，∴B ＝π3， 由正弦定理a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝332＝2，得a ＝2sin A ，c ＝2sin C ， 故a －12c ＝2sin A －sin C ＝2sin A －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32sin A －32cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6. ∵b ≤a ，∴π3≤A <2π3，π6≤A －π6<π2， ∴a －12c ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6∈⎣⎡⎭⎫32，3. 8．【解析】(1)f (x )＝2sin x 1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x ＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)．因为f (x )在x ＝π处取最小值．所以sin(π＋φ)＝－1，故sin φ＝1.又0<φ<π，所以φ＝π2. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x . 因为f (A )＝cos A ＝32，且A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6. 由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝22. 又b >a ，所以B ＝π4或B ＝3π4. 当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12， 当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12. 综上所述，C ＝7π12或C ＝π12. 第24讲 平面向量的概念与其线性运算【考点集训】1．D 2.D 3.C 4.D 5.2 6.2 7.5 8.【解析】依题意，由OP →＝OA →＋λa ＋λb ，得OP →－OA →＝λ(a ＋b )，即AP →＝λ(AB →＋AC →)．如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，对角线交于O ，则AP →＝λAD →，∴A ，P ，D 三点共线， 即P 点的轨迹是AD 所在的直线，由图可知P 点轨迹必过△ABC 边BC 的中点．第25讲 平面向量的基本定理和向量的坐标运算【考点集训】1．A 2.C 3.A 4.C5．(－1，1)或(－3，1) 6.{(－2，－2)}7．【解析】(1)∵AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)．(2)由a ⊥AB →可知t ＝2－2cos θ，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋（cos θ－1）24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝⎛⎭⎫cos 2θ－65cos θ＋14 ＝54⎝⎛⎭⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15. 8．【解析】(1)∵a ＝(1，1)，∴f (a )＝(1，2×1－1)＝(1，1)， 又∵b ＝(1，0)，∴f (b )＝(0，2×0－1)＝(0，－1)．(2)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y ，2y －x )＝(p ，q )，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p 2y －x ＝q ，求得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p －q y ＝p ，则c ＝(2p －q ，p )． (3)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)．则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，所以f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2，2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，又mf (a )＋nf (b )＝m (a 2，2a 2－a 1)＋n (b 2，2b 2－b 1)＝(ma 2，2ma 2－ma 1)＋(nb 2，2nb 2－nb 1)＝(ma 2＋nb 2，2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)＝f (m a ＋n b )．第26讲 平面向量的数量积及应用【考点集训】1．A 2.A 3.B 4.B 5.52 6.－98 7.128．【解析】(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a|＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22. 又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4， 所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2或θ＝3π4. 9．【解析】(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a|2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝⎛⎭⎫14＋34＝0，故a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b|＝|a －3b|，两边平方得3|a|2＋23a·b ＋|b|2＝|a|2－23a·b ＋3|b|2，所以2(|a|2－|b|2)＋43a·b ＝0，而|a|＝|b|，所以a·b ＝0，则⎝⎛⎭⎫－12×cos α＋32×sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0， ∴α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ， 又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.第27讲 平面向量的应用【考点集训】1．B 2.C 3.C 4.12 5.126.3 7．【解析】(1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，CA →·CB →＝ba cos C ，∴bc cos A ＝ab cos C ，根据正弦定理，得sin C cos A ＝sin A cos C ，即sin A cos C －cos A sin C ＝0，sin(A －C )＝0，∴∠A ＝∠C ，即a ＝c .则△ABC 为等腰三角形．(2)由(1)知a ＝c ，由余弦定理，得AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 22. AB →·AC →＝k ＝2，即b 22＝2，解得b ＝2. 8．【解析】(1)∵OA →＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋1OB →＋(ln x －y )OC →，且A ，B ，C 是直线l 上的不同三点， ∴⎝⎛⎭⎫32x 2＋1＋(ln x －y )＝1，∴y ＝32x 2＋ln x . (2)∵f (x )＝32x 2＋ln x ， ∴f ′(x )＝3x ＋1x ＝3x 2＋1x. ∵y ＝32x 2＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，而f ′(x )＝3x 2＋1x在(0，＋∞)上恒为正， ∴y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 即y ＝f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． 第28讲 复 数【考点集训】1．A 2.B 3.D 4.B 5.A 6.A 7.22 8.1 9.－2 10.四 一条射线。
练习(3)《平面向量,复数,三角函数》测试题
练习(3)《平面向量,复数,三角函数》测
试题
三角函数是数学中的重要内容，在很多领域有着广泛的应用。
三角函数具有许多特殊的性质，可以用来解决各种复杂的数学问题，比如解决几何问题，计算面积，测量角度和距离等等。
三角函数的最基本概念是三角形，可以用来描述任意一个角的大小以及角的关系。
三角函数可以用来计算某一角的正弦，余弦和正切值，这些值可以用来解决很多数学问题。
三角函数还可以用来计算复数。
复数是数学中一种特殊的数，它由实部和虚部组成。
复数可以用三角函数的参数值求解，可以用来解决很多复杂的数学问题。
平面向量是数学中的一种重要的概念，它可以描述不同的二维空间内的点的距离，方向和大小。
它是一种矢量，可以用来描述一个点到另一个点的距离和方向。
可以将平面向量与三角函数结合起来，用来计算空间中两个点之间的距离，方向和大小。
总的来说，三角函数，复数，平面向量都是数学中的重要概念，它们可以用来解决复杂的数学问题，如几何，计算面积，测量角度，计算复数和距离等等。
有了三角函数，复数和平面向量的认识和应用，我们就可以完成许多复杂的数学任务。
高三数学专题训练三：三角 复数 平面向量
高三数学专题训练三：三角 复数 平面向量一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在后面的表格中）（10×5=50）1．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f = ）A ．126ωϕπ==， B ．123ωϕπ==， C ．26ωϕπ==，D ．23ωϕπ==，2．复数21ia bi i+=+-，则点(),a b 在（ ） A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3．对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ） A ．若=0a b ，则0a =或0b =B ．若λ0a =，则0λ=或=0aC ．若22=a b ，则=a b 或-a =b D ．若a b =a c ，则b =c4．设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数5．设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中mλα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值X 围是（ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]6．向量()()()()22,,,,1,1,2,2a x y b x yc d ====，若1a c b d •=•=，则这样的向量a有A ．1个，B ．2个，C ．多于2个，D ．不存在。
7．若0是ABC 所在平面内的一点，且满足()()00000B C C A +•-=，则ABC 一定是A ．等边三角形，B ．斜三角形，C ．等腰直角三角形，D ．直角三角形。
2020版高考数学总复习第四章三角函数、平面向量与复数第31讲复数练习文(含解析)
第31讲复数夯实基础【p71】【学习目标】1．理解复数的有关概念，以及复数相等的充要条件．2．了解复数的代数形式的表示方法,能进行复数的代数形式的四则运算．3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义．【基础检测】1．设i为虚数单位,则(1＋i)4＝( )A．－4 B．4 C．－4i D．4i【解析】(1＋i）4＝（2i)2＝－4,选A.【答案】A2．已知复数z＝错误!(i为虚数单位），则z的虚部为( )A．－1 B．0 C．1 D．i【解析】因为z＝错误!＝错误!＝错误!，故虚部为1.故选C。
【答案】C3．已知复数z＝x＋yi(x,y∈R)，若1＋i＝x＋(y－1）i，则|z|＝（) A．2 B。
错误!C。
错误!D．5【解析】由复数相等的充分必要条件有:错误!即错误!则z＝1＋2i，｜z|＝错误!＝错误!。
故选C.【答案】C4．已知i是虚数单位，复数错误!是z的共轭复数，复数z＝错误!＋3i－1，则下面说法正确的是( )A．z在复平面内对应的点落在第四象限B。
错误!＝2＋2iC。
错误!的虚部为1D.错误!＝2【解析】复数z＝错误!＋3i－1＝错误!＋3i－1＝－i－1＋3i－1＝－2＋2i，则z在复平面内对应的点（－2，2)落在第二象限，错误!＝－2－2i，错误!＝错误!＝错误!＝－1＋i,其虚部为1，错误!＝错误!。
因此只有C正确．故选C。
【答案】C【知识要点】1．复数的概念（1)复数：我们把集合C＝{a＋b i｜a，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫作__复数__,其中i叫作__虚数单位__，全体复数所构成的集合C叫作__复数集__．（2)复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i（a，b∈R）．这一表示形式叫作复数的__代数形式__，其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部．(3）复数的相等：复数z1＝a＋b i与z2＝c＋d i相等的充要条件是__a＝c且b＝d__，即a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d.(4）复数的分类：对于复数a＋b i，当且仅当__b＝0__时，它是实数；当且仅当__a＝b＝0__时,它是实数0;当b≠0时,叫作__虚数__；当a＝0且b≠0时,叫作__纯虚数__．2．复数的几何意义(1）复平面：如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a ＋b i可用点Z(a,b）表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴．显然，实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数．（2）复数与点:复数集C 和复平面内所有点所成的集合是一一对应的,即错误!Ｋ，这是复数的一种几何意义．（3)复数与向量：复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应），即复数z＝a＋b i←错误!平面向量错误!＝（a,b)，这是复数的另一种几何意义（如图所示）．即有：（4)复数的模：向量错误!的模r叫作复数z＝a＋b i的__模__,记作|z｜或|a＋b i|.特别地，若b＝0,则z＝a＋b i＝a是__实数__，它的模为｜a|（即a的绝对值）．显然，｜z｜＝｜a＋b i|＝r＝__错误!__（r≥0，r∈R)．3．复数的加减法及其几何意义(1)复数的加法①法则:设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么z1＋z2＝(a ＋b i）＋(c＋d i)＝__(a＋c)＋（b＋d)i__,显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数．②运算律：∀z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，（z1＋z2)＋z3＝z1＋（z2＋z3）．③几何意义：设错误!，错误!分别与复数a＋b i，c＋d i对应,则有错误!＝(a，b)，错误!＝（c，d），由平面向量的坐标运算，有错误!＋错误!＝（a ＋c，b＋d),即错误!＋错误!是与复数（a＋c）＋(b＋d）i对应的向量，故复数的加法可以按照向量的加法来进行,这是复数加法的几何意义．（2)复数的减法①法则:(a＋b i)－（c＋d i）＝__（a－c）＋(b－d）i__，显然，两个复数的差是一个确定的复数．②减法的几何意义：复数的减法满足向量的三角形法则，如图所示，错误!－错误!＝__（a－c，b－d)__,即向量错误!－错误!与复数__(a－c)＋（b－d）i__对应．(3)对于复数z而言，｜z－(a＋b i)|＝r（r>0)（其中a∈R，b∈R）表示复平面内复数z对应的点的轨迹为以（a，b)为圆心，r为半径的圆．4．复数的乘除法(1）复数的乘法①法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数,那么它们的积（a ＋b i）(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝__（ac－bd)＋（bc＋ad)i__．由此可见，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．显然,两个复数的积仍是一个确定的复数．②运算律：∀z1，z2，z3∈C，有：z1·z2＝z2·z1，（z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3),z1·（z2＋z3）＝z1·z2＋z1·z3.③i的运算律：特别地，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1,其中n∈N.（2）共轭复数①定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数（实数的共轭复数是它本身）．如a＋b i与a－b i互为__共轭复数__．复数z的共轭复数常记为z。
高考数学二轮复习专题二三角函数平面向量与复数第3讲平面向量与复数专题强化训练114
第3讲 平面向量与复数专题强化训练1．(·绍兴诸暨高考二模)已知复数z 满足z (1＋i)＝2i ，则z 的共轭复数z －等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B.由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，则z 的共轭复数z －＝1－i.故选B.2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( )A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 解析：选B.因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B. 3．(·嘉兴一中高考模拟)复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，则复数|zi |＝( )A.253B.2C.553D.5解析：选D.复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，所以z ·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z ＝10－5i ，可得z ＝2－i.则复数|zi |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－i （2－i ）－i·i ＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝12＋22＝ 5.故选D.4.在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则DE →·BF →＝( ) A ．－52B ．32C ．－4D ．－2解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．所以DE→＝(2，－1)，BF →＝(－1，2)，所以DE→·BF →＝－4.5．(·台州市书生中学检测)已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x 、y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( )A.23 B.33C.23D.13解析：选A.设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO →＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →.又因为x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23.故选A.6．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－tBC→|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1 C ．⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA→－tBC →|≥|AC →|，得BA →2－2tBA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.7．称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )解析：选B.由于d (a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．8．(·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b b ，a ＜b，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝( )A.255B.223C.1D.52解析：选A.如图，设OA→＝a ，OB ＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)，因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1. 又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤45，1. 所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，25. 所以|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252＝255.故选A. 9．(·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为( )A ．43＋37B ．47＋33C ．(43＋37)2D ．(47＋33)2解析：选D.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2 ＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ， 因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°， 设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7，所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332，设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332， 所以h ＝3217，因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上， 所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217. 所以S △ABC 的最大值为12×7×⎝⎛⎭⎪⎪⎫4＋3217＝27＋332，所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2最大值为4⎝⎛⎭⎪⎪⎫27＋3322＝(47＋33)2.故选D.10．(·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，23π B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2π3，5π6 C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫2π3，π D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，1，不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA→＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ，且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角，即OB→与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2π3，5π6. 11．(·杭州市高考二模)已知复数z ＝1＋a ii (a ∈R )的实部为1，则a ＝________，|z |＝________．解析：因为z ＝1＋a i i ＝（1＋a i ）（－i ）－i 2＝a －i 的实部为1， 所以a ＝1，则z ＝1－i ，|z |＝ 2. 答案：1212．(·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2，所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cosθ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3.a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2.答案：2 π313．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令sin α＋2sin β＝m ，②①2＋②2得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，故a·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案：1214．(·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC→＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB→·CD →的取值范围是________．解析：由AC→＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB→·CD →＝(MB →－MA →)(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB→·MC →－MA →·MD →， 设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC→，MB→＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB→·CD →取到最小值－2. 答案：2 [－2，0)15．(·嘉兴一中高考适应性考试)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO→|的最小值为________．解析：在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，函数f (m )的最小值为32.所以函数f (m )＝|CA →－mCB →|＝CA→2＋m 2CB →2－2mCA →·CB → ＝1＋m 2－2m cos ∠ACB ≥32，化为4m 2－8m cos ∠ACB ＋1≥0恒成立．当且仅当m ＝8cos ∠ACB8＝cos ∠ACB 时等号成立，代入得到cos ∠ACB ＝－12，所以∠ACB ＝2π3.所以|CO→|2＝x 2CA →2＋y 2CB →2＋2xy CA →·CB →＝x 2＋y 2＋2xy ×cos 2π3＝x 2＋(1－x )2－x (1－x )＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋14，当且仅当x ＝12＝y 时，|CO →|2取得最小值14，所以|CO →|的最小值为12.答案：1216．在△OAB 中，已知|OB→|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°，若OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2，则OA →在OP →上的投影的取值范围是________．解析：由OP→＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2，则OA →·OP →＝OA →·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－λ2OB →＝λOA →2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－λ2OA →·OB →，又|OB→|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°，所以由余弦定理求得|OA→|＝1，所以OA →·OP →＝λ＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－λ2×1×2×22＝1＋λ2，|OP→|＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－λ2OB →2＝λ2|OA →|2＋2λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－λ2OA →·OB →＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－λ22|OB →|2＝λ22＋2，故OA →在OP →上的投影OA →·OP →|OP →|＝1＋λ2λ22＋2＝22·λ＋2λ2＋4 (*)．当λ＜－2时，(*)式＝－22·（λ＋2）2λ2＋4 ＝－221＋4λλ2＋4＝－221＋4λ＋4λ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，0； 当λ≥－2时，(*)式可化为22（λ＋2）2λ2＋4；①λ＝0，上式＝22；②－2≤λ＜0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，22； ③λ＞0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤22，1. 综上，OA →在OP →上的投影的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－22，1.答案：⎝⎛⎦⎥⎥⎤－22，1 17．已知OA →，OB →是非零不共线的向量，设OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，定义点集P ＝⎩⎨⎧K ⎪⎪⎪KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC →|KA →|，⎭⎬⎫KC →≠0，当K 1，K 2∈P 时，若对于任意的r ≥3，不等式|K 1K 2→|≤c |AB →|恒成立，则实数c 的最小值为________．解析：由OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，可得A ，B ，C 三点共线，由KB →·KC →|KB→|＝KA →·KC →|KA→|，可得|KC→|cos ∠AKC ＝|KC →|cos ∠BKC ，即有∠AKC ＝∠BKC ，则KC 为∠AKB 的角平分线． 由角平分线的性质定理可知|KA ||KB |＝|AC ||BC |＝r ，以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 上某一点为原点建立直角坐标系，设点K (x ，y )，A (－a ，0)，B (b ，0)，所以（x ＋a ）2＋y 2（x －b ）2＋y 2＝r 2，化简得(1－r 2)x 2＋(1－r 2)y 2＋(2a ＋2br 2)x ＋(a 2－b 2r 2)＝0. 由方程知K 的轨迹是圆心在AB 上的圆，当|K 1K 2|为直径时最大，方便计算，令K 1K 2与AB 共线，如图，由|K 1A |＝r |K 1B |，可得|K 1B |＝|AB |r ＋1，由|K 2A |＝r |K 2B |，可得|K 2B |＝|AB |r －1，可得|K 1K 2|＝|AB |r ＋1＋|AB |r －1＝2r r 2－1|AB |＝2r －1r|AB |，而易知r －1r ≥3－13＝83，即有|K 1K 2|≤34|AB |，即|K 1K 2||AB |≤34，即c ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|K 1K 2||AB |max ＝34， 故c 的最小值为34.答案：3418．在△ABC 中，已知C ＝π6，向量p ＝(sin A ，2)，q ＝(2，cosB )，且p ⊥q .(1)求角A 的值；(2)若BC→＝2BD →，AD ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为p ⊥q ，所以p ·q ＝0⇒p ·q ＝2sin A ＋2cos B ＝0，又C ＝π6，所以sin A ＋cos B ＝sin A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5π6－A ＝0， 化简得tan A ＝33，A ∈(0，π)，所以A ＝π6.(2)因为BC→＝2BD →，所以D 为BC 边的中点，设|BD→|＝x ，|BC →|＝2x ， 由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝2x ，B ＝2π3， 在△ABD 中，由余弦定理，得|AD →|2＝|BA →|2＋|BD →|2－2|BA →|·|BD →|·cos 2π3＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x ·cos 2π3＝7，所以x ＝1，所以AB ＝BC ＝2，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.19．已知m ＝(2sin x ，sin x －cos x )，n ＝(3cos x ，sin x ＋cos x )，记函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最大值以及取得最大值时x 的取值集合； (2)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (C )＝2，c ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意，得f (x )＝m ·n ＝23sin x cos x ＋sin 2x －cos 2x ＝3sin 2x －(cos 2 x －sin 2 x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6，所以f (x )max ＝2； 当f (x )取最大值时，即sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝1，此时2x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，所以x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝k π＋π3，k ∈Z .(2)由f (C )＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2C －π6＝1，又0＜C ＜π， 即－π6＜2C －π6＜11π6，所以2C －π6＝π2，解得C ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得3＝a 2＋b 2－ab ≥ab ，即ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时，取等号，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤334，所以△ABC 面积的最大值为334.。
高考数学第四章三角函数、平面向量与复数第30讲平面向量应用练习文
第30讲 平面向量应用夯实基础 【p 69】【学习目标】平面向量在平面几何、解析几何、三角函数、数列等方面的综合应用．【基础检测】1．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3，4)，B (5，2)，C (－1，－4)，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【解析】∵AB →＝(2，－2)，CB →＝(6，6)，∴AB →·CB →＝12－12＝0，∴AB →⊥CB →，又|AB →|≠|CB →|，∴△ABC 为直角三角形．【答案】B2．河中水流自西向东以每小时10 km 的速度流动，小船自南岸A 点出发，想要沿直线驶向正北岸的B 点，并使它的实际速度达到每小时10 3 km ，该小船行驶的方向和静水速度分别为( )A ．西偏北30°，速度为20 km/hB ．北偏西30°，速度为20 km/hC ．西偏北30°，速度为20 3 km/hD ．北偏西30°，速度为20 3 km/h【解析】由题意得v 静水＝102＋（103）2＝20，方向为北偏西30°，选B.【答案】B3．已知函数f (x )＝Asin (πx ＋φ)的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)＝________．【解析】(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)＝(BD →＋BE →)·BC →＝2BC →·BC →＝2|BC →|2，显然|BC →|的长度为半个周期，周期T ＝2ππ＝2，∴|BC →|＝1，所求值为2. 【答案】24．已知点A (3，3)，O 为坐标原点，设点P (x ，y )，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y>0，x －y ＋2>0，2x －y<0，则向量OP →在向量OA →方向上的投影的取值范围是____________.【解析】如图所示，作出P 的可行域△OMN，设z ＝x ＋y ，由直线y ＝－x ＋z 过点M (2，4)时z max ＝6，当过点N (－2，0)时z min ＝－2，即x ＋y∈(－2，6)，向量OP →在向量OA →方向上的投影为：|OP →|cos 〈OP →，OA →〉＝|OP →|×OP →·OA →|OP →||OA →|＝3（x ＋y ）32＝x ＋y 2∈(－2，32)．【答案】()－2，32【知识要点】1．向量应用的常用结论(1)两个向量垂直的充要条件． 向量表示：a ⊥b ⇔__a ·b ＝0__．坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔__x 1x 2＋y 1y 2＝0__．(2)两个向量平行的充要条件．向量表示：若a ∥b ，且b ≠0，则__∃λ∈R ，使a ＝λb __；坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔__x 1y 2－x 2y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2.__ (3)夹角公式：cos θ＝__a·b |a||b|__(0°≤θ≤180°)． (4)模长公式：|a |＝a 2＝x 2＋y 2.(5)数量积性质：|a·b |≤|a |·|b |. 2．向量应用的分类概述(1)应用平面向量解决函数与不等式的问题，是以函数和不等式为背景的一种向量描述．它需要掌握向量的概念及基本运算，并能根据题设条件构造合适的向量，利用向量的“数”“形”两重性解决问题．(2)平面向量与三角函数的整合，仍然是以三角题型为背景的一种向量描述. 它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体．(3)平面向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标运算，将向量问题转化为坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．(4)平面向量在平面几何中的应用，是以平面几何中的基本图形(三角形、平行四边形、菱形等)为背景，重点考查平面向量的线性运算(三角形法则，平行四边形法则)和几何图形的基本性质．(5)平面向量在物理力学等实际问题中的应用，是以实际问题为背景，考查学科知识的综合及向量的方法．典 例 剖 析 【p 70】考点1 用向量解决平面几何问题例1(1)P 为四边形ABCD 所在平面上一点，PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝AB →＋CD →，则P 为( )A ．四边形ABCD 对角线交点B ．AC 的中点C ．BD 的中点D ．CD 边上一点【解析】∵AB →＝AP →＋PB →，CD →＝CP →＋PD →，PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝AB →＋CD →，∴PA →＋PC →＝AP →＋CP →，∴PA →＋PC →＝0.∴点P 为线段AC 的中点．故选B .【答案】B(2)在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________(填“重心”“垂心”“内心”“外心”)．【解析】∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴OB →·(OA →－OC →)＝0，∴OB →·CA →＝0，∴OB⊥CA，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线．同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心．【答案】垂心【小结】利用向量知识解决平面几何问题的一般方法，即所谓的“三部曲”：(1)建立起平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、平分等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．考点2 用向量解决解析几何问题例2(1)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM→＝0，则y x＝______． 【解析】∵OM →·CM →＝0，∴OM⊥CM，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k|1＋k2＝3，得k ＝±3，即y x ＝± 3. 【答案】± 3(2)已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线．当k<0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为______________．【解析】∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →，∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0，解得k ＝－2或k ＝11.由k<0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.【答案】2x ＋y －3＝0【小结】向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，用a⊥b ⇔a ·b ＝0；a∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题． 考点3 向量的综合应用例3(1)已知向量a ＝(6，－4)，b ＝(0，2)，OC →＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数y ＝sin π12x 的图象上，则实数λ的值是__________． 【解析】由题意可得OC →＝(6，－4)＋λ(0，2)＝(6，－4＋2λ)，则点C 的坐标为C (6，－4＋2λ)，结合函数的解析式有：－4＋2λ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×6，解得：λ＝52. 【答案】52(2)已知在平面直角坐标系中，O (0，0)，M (1，1)，N (0，1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1，0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________．【解析】∵OP →＝(x ，y )，OM →＝(1，1)，ON →＝(0，1)，OQ →＝(2，3)，∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，OQ →·OP →＝2x ＋3y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1的条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识得，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.【答案】3【小结】利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．【能力提升】例4已知抛物线y 2＝2px (p>0)的准线方程是：x ＝－12. (1)求抛物线方程；(2)设直线y ＝k ()x －2与抛物线相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，证明以MN 为直径的圆过O 点．【解析】(1)由题意p ＝1，则抛物线方程为y 2＝2x.(2)联立⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k ()x －2得y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y k ＋2，即y 2－2k y －4＝0， 令M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2，∴y 1y 2＝－4，x 1x 2＝14y 21y 22＝4， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝14y 21y 22＋y 1y 2＝4－4＝0， ∴OM →⊥ON →，∴以MN 为直径的圆过O 点．方 法 总 结 【p 70】1．用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题．如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等．总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用；如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题．3．几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合．(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补．(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积a·b ＝0，尽量用坐标运算．走 进 高 考 【p 70】1．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．【解析】因为AB →·CD →＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝45°.设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－3.又B (5，0)，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －5），y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 【答案】3。
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复数与平面向量、三角函数的联系 习题精选（三）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列命题中，正确的是
A.任何两个复数都不能比较它们的大小
B.复数的模都是正实数
C.模相等且方向相同的向量，不管它们的起点在哪里，都是相等的向量
D.复数集C 与复平面内所有向量组成的集合一一对应 2.复数z =（a 2
－2a +3）－(a 2
－a +2
1
)i (a ∈R )在复平面内对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
3.若(x －2)+yi 和3+i 是共轭复数，则实数x 、y 的值是 A.x =3且y =3
B.x =5且y =1
C.x =5且y =－1
D.x =－1且y =1
4.下面四个式子中，正确的是 A.3i >2i
B.|3+2i |>|－4－i |
C.|2－i |>2
D.i 2
>－i
5.已知z 1=x +yi ,z 2=－x －yi (x ,y ∈R ).若z 1=z 2，则z 1在复平面上的对应点一定位于 A.虚轴上 B.虚轴的负半轴上 C.实轴上
D.坐标原点
6.设z 1，z 2∈C ,且z 1z 2≠0,A =z 1z 2+z 2z 1,B =z 1z 1+z 2z 2,则A 与B 之间 A.不能比较大小
B.A ≤B
C.A ≥B
D.A =B
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.设复数z 满足关系式z +|z |=2+i ,则z =___________.
8.如果复数z =3+ai 满足条件|z －2|<2，则实数a 的取值范围为___________. 9.满足条件{x |x 2
+1=0,x ∈R }M {m ||log 3m +4i |=5,m >0}的所有集合M 的个数是______
个.
10.若|z －2|=11，|z －3|=4，则复数z =___________. 11.|1+i |+|(1+i )2
|+…+|(1+i )n
|的值是___________. 三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 12.已知f (z )=|1+z |－z ,且f (－z i )=10+3i ,求（1）z ；（2）
2
3
-+z z 的模. 13.已知z 1，z 2∈C ,且|z 1|=1.求证：|1+z 1z 2|=|z 1+z 2|.
14.已知|z |=1，设u =(2+3i )z +(2－3i )z ,(1)证明：u ∈R ;(2)求u 的值域.
参考答案
一、1.C 2.D 3.C 4.C 5.A 6.B 二、7.
3
4 +i 8.－3<a <3 9. 3 10.±7i 11.［(2)n
－1］(2+2) 三、12.解：（1）由题意得 |1+(－z i )|－(i z -)=10+3i |1+(－z i )|－zi =10+3i 设z =x +yi ,则
|1－(x －yi )i |－(x +yi )i =10+3i |1－xi －y |－xi +y =10+3i
22)1(x y +-+y －xi =10+3i
∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-3
10)1(22x y x y
∴⎪⎩⎪⎨⎧-==++-3
109)1(2x y y ∴⎩
⎨
⎧=-=53
y x ∴z =－3+5i
(2)
22
2
1125335323=
=+-=-+-++-=-+i i i i z z . 13.证明：∵|z 1|=1，∴z 1z 1=|z 1|2
=1
∴|1+z 1z 2|=|z 1·z 1+z 1z 2|=|z 1|·|z 1+z 2|=|z 1+z 2|.
14.解：（1）∵u =z i z i )32()32(-++
=(2－3i )z +(2+3i )z =u ∴u ∈R
(2)设z =x +yi ,则
u =(2+3i )(x +yi )+(2－3i )(x －yi )=2(2x －3y )
∵|z |=1,∴x 2
+y 2
=1 ∴(4x )2
+16y 2=16 ∵4x =u +6y ∴(u +6y )2
+16y 2
=16 ∴52y 2
+12uy +u 2
－16=0
Δ=(12u )2
－4×52×(u 2
－16)≥0
u 2≤4×13
－213≤u ≤213。