江苏省太湖高级中学2020—2021学年高三上学期第一次月考数学试卷(pdf版含答案)

江苏省太湖高级中学 2020—2021 学年高三上学期第一次月考
数学试卷
2020．10
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） ⎧ x + 2 ⎫
{ y = ln(x +1)}，则( R A) B ＝ > 0 ，B ＝ x 1．设集合A ＝ ⎨x ⎬ x -1 ⎩ A ．(﹣1，1)
⎭
B ．(1，2)
C ．(﹣1，1]
D ．(1，2]
3π
， 3x + 4 = 0 的两根，且α ，β ∈( π 2．已知tan α ，tan β 是方程 x 2
+ 3 的值为 )，则α ＋ β
2
2
4π 3
7π 3 4π 7π 5π
3
A ．
B ．
C ．
或
D ．
3 3
1 3．在实数范围内，使得不等式 > 1 成立的一个充分不必要条件是
x
1 2
A ．x ＞0
B ．x ＜1
C ．0＜x ＜1
D ．0＜x ＜
ln 2 ln 3 ln 5 4．若a =
， b = ， c = ，则 2 A ．a ＜b ＜c
3 5
B ．c ＜a ＜b
C ．c ＜b ＜a
D ．b ＜a ＜c
5．设 f (x ) = x 3
+ lg(x + x 2
+1) ，则对任意实数 a 、b ，“a ＋b ≥0”是“ f (a ) + f (b ) ≥ 0 ” 的
A ．充分不必要条件 C ．充要条件
B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
6．设 x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋xy ＝8，则 2x ＋y 的最小值是 3 -1
D ． 4 5 - 5
B ． 4 3
C ． 4 A ．4
x > 1
⎧ln x , 7．已知函数 f (x ) = ⎪
， g (x ) = ax ，则方程 g (x ) = f (x ) 恰有两个不同的实根 ⎨ 1 x +1, x ≤ 1 ⎪⎩ 4
时，实数 a 的取值范围是 1
1 1 1 1 A ．(0， )
B ．[ ， )
C ．(0， ]
D ．( ，e)
e
4 e
4
4
8．已知方程 x 2
+ bx + c = 0 ，在(0，2)上有两个不同的解，则c 2
+ 2(b + 2)c 的取值范围是
2
3 B ．(0， )
4
D ．(0， 2 )
A ．(0， )
C ．(0，1)
2
二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分．在每小题给出的四个选项 中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．设函数 f (x ) = sin 2x + cos 2x ，则下列结论正确的是 π
A ． f (x ) 的最小正周期为2π
B ． y = f (x ) 的图像关于直线 x = 对称
8
D ． y = f (x ) 的图像关于点( ，0)对称
8
7π C ． f (x ) 的最大值为 2 10．下列命题中正确的是 A ． ∃x ∈(0， +∞ )， 2x
> 3x
B ． ∃x ∈(0，1)， log 2 x < log 3 x
1 1 1 C ． ∀x ∈(0， +∞ )， ( )
> log x 2
1
D ． ∀x ∈(0， )， ( ) <
log x 3
2
1
x x 3
3
11．已知 f (x ) 是定义域为 R 的函数，满足 f (x ) = f (x - 4) ， f (x + 2) = f (2 - x ) ，当 0≤
x ≤2 时， f (x ) = x 2
- x ，则下列说法正确的是 A ．函数 f (x ) 是偶函数 B ．函数 f (x ) 的最小正周期为 4
1
2
C ．当 0≤x ≤4 时，函数 f (x ) 的最小值为-
D ．方程 f (x ) = log 3 x 有 10 个根
12. 若 a ，b 为正实数，则 a ＞b 的充要条件为
1 1 A. >
D ． a - b < e a
- e
b
B ． ln a > ln b
C ． a ln a < b ln b a b
三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上）
13．若sin α = 1 ，则cos 2α ＝
．
3
14．已知不等式 xy ≤ ax 2
+ 2y 2
，对任意 x ∈[1，2]，y ∈[4，5]恒成立，则实数 a 的取值范围
是
．
⎧-x 2 + ax , x ≤ 1 15．已知函数 f (x ) = ⎨ ，若∃x 1 ，x 2 ∈R ，x 1 ≠ x 2 ，使得 f (x 1 ) = f (x 2 ) 成立，
⎩ax -1, x > 1
则实数 a 的取值范围是
．
16．若 f (x ) = m ln x - x 3
+ 3
x 2
- 4x + 4 在(2， +∞ )上单调递减，则实数 m 取值范围是 2
．
四、解答题（本大题共6 小题，共计70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10 分）
已知集合A＝{x
范围．
x2 +ax +1 = 0，x ∈R}，B＝{1，2}，且A B＝A，求实数a 的取值
18．（本小题满分12 分）
如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A，B 两点，若α∈(
7π
，π)，β=
π
，且点A 的坐标为(﹣1，m)．
12 12
（1）若tan2α＝-
4
，求实数m 的值；
3
（2）若tan∠AOB＝-
3
，若sin2α的值．
4
19．（本小题满分12 分）
已知函数f (x) = log
1-ax
，a 常数．
1
2
2x -1
（1）若a＝﹣2，求证f (x) 为奇函数，并指出f (x) 的单调区间；
（2）若对于x ∈[
3
，
5
]，不等式log
2 2
数m 的取值范围．
(2x +1) -m > (
1
)x - log
4
(2x -1) 恒成立，求实
1
2
2
20．（本小题满分 12 分）
2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在 2020 年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促 k
销费用 m 万元(m ≥0)满足 x = 4 -
(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售 m +1
量只能是 2 万件．已知生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产一万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（此处每件产品年平 8 +16x 均成本按
元来计算）．
x
（1） 将 2020 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数； （2） 该厂家 2020 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 y = f (x ) ，若在定义域内存在 x 0 ，使得 f (-x 0 ) = - f (x 0 ) 成立，则称 x 0 为函数的局部对称点．
（1）证明：函数 f (x ) = 2x
-1在区间[﹣1，2]内必有局部对称点； （2）若函数 f (x ) = 4x
- m ⋅ 2
x +1
+ m 2 - 3 在R 上有局部对称点，求实数 m 的取值范围．
22．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x ) = e x
- 1
x 2
+ ax +1，a ∈R ．
2
（1）若 f (x ) 为 R 上的增函数，求 a 的取值范围；
（2）若 a ＞0， x 1 ≠ x 2 ，且 f (x 1 ) + f (x 2 ) = 4 ，证明： f (x 1 + x 2 ) < 2 ．
参考答案
5．C
11．ABD
1．C
9．BCD
13．
7
9
17．
2．A 3．D
10．BD
4．B 6．D 7．B
12．BD
8．C
14．a≥﹣6 15．a＜2 16．m≤20 18．
19．
20．
21．
22．。