2017-2018概率论与数理统计期末试题(A)答案

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中国矿业大学(北京) 2017-2018 学年 第1 学期

《概率论与数理统计》试卷（ A 卷）答案和评分标准

一、填空题（每小题3分，共30分）

1、设,A B 为两个事件，()0.4,()0.8,()0.5P A P B P AB ===，则

(|)

P B A =____0.75__________ 2、设随机变量X 在(3,3)-上服从均匀分布，关于t 的方程24420t Xt X +++=有实根的概率为______

2

1

_________ 3、设随机变量X 的概率密度函数为)(x f X ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数

为=)(y f Y _____⎪⎩

⎪⎨⎧+∞

<<⎪⎭⎫ ⎝⎛其他,00,1

3ln y y y f X ___________

4、如果随机变量X 在)10,0(上服从均匀分布，现在对X 进行4次独立重复观测，至少有3次观测值大于5的概率为____

5

16

__________ 5、设随机变量X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，且[(1)(2)]1E X X --=，则

λ=______1_________

6、设随机变量,X Y 相互独立，且都服从参数2θ=的指数分布，则

{max{,}2}P X Y ≤=_____12(1)e --_________

7、设随机变量X 的方差为2.5，由切比雪夫不等式估计概率

{|()|7.5P X E X -≥≤_

___2

45

_______ 8、设总体2

~(,)X N μσ，12,,

,n X X X 是该总体X 的一个样本，1

211()n i i i c X X -+=-∑为

2σ的无偏估计，则c =_______

)

1(21

-n ___________

9、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129,,

X X X 和

129,,

,Y Y Y 分别来自正态总体X 和Y 的简单随机样本，则统计

量

Y

服从____)9(t ________分布

10、设总体),(~2σμN X ，抽取容量16n =的样本n x x x ,,,21 ，经计算得均值

,2.5=x 样本标准方差2=s ,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为

_____)266.6,134.4(____________

二、(10分)设工厂A 和工厂B 的产品次品率分别为1%和2%．现从A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品属于工厂A 生产的概率．

解：设事件A 表示产品来自工厂A ，事件B 表示产品来自工厂B ，事件C 表示抽取到的产品是次品，则

%1)|(=A C P ，%2)|(=B C P ，%60)(=A P ，%40)(=B P 5分

从而7

3

%2%40%1%60%1%60)|()()|()()|()()|(=∙+∙∙=+=B C P B P A C P A P A C P A P C A P 5分

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三、(12分)学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时．它的概率

密度函数为

2

1,0()20,

cx x x f x ⎧+≤≤⎪

=⎨⎪⎩其他

（1）确定常数c ；（2）写出X 的分布函数；（3）试求出在20分钟以内完成一道

作业的概率．

解：（1）由概率密度函数的性质

()1

220

1

1()248

c f x dx cx x dx +∞

-∞

==+=

+⎰

⎰ 解得21c = 4分

（2）由2

121,0()20,

x x x f x ⎧+≤≤

⎪=⎨⎪⎩其他，则

()223

0001

()()217022

1

12

x

x

x x F x f t dt t t dt x x x -∞

⎧

<⎪

⎪⎪==+=+

≤≤⎨⎪⎪

>

⎪⎩

⎰

⎰ 4分 （3）1

117

()()3354

P X F ≤==

4分 四、(10分)设,X Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度函数分别是

1,01

()0,X x f x ≤≤⎧=⎨

⎩其他 ,0()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其他 求随机变量Z X Y =+的概率密度函数．

解：由卷积公式

()()()X Y X Y f z f x f z x dx +∞

+-∞

=-⎰

3分

易知仅当010x z x ≤≤⎧⎨

->⎩ 即 01

x x z

≤≤⎧⎨<⎩

时被积函数不为零 2分

()01

()00,0()011z

z x X Y z x z f z e dx z e dx z --+--⎧

<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎩⎰⎰ 3分

即0,

0()101(1)1z

X Y z z f z e

z e e z -+-<⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩

2分 五、(10分)设(Y X ,)具有概率密度为26,01,01

(,),0,xy x y f x y ⎧<<<<=⎨

⎩其它 （1）求边缘概率密度(),()X Y f x f y ，并判断,X Y 是否独立； （2） 求条件概率密度)(y x f Y

X

．

解：（1）1

206201

()(,)0X xy dy x x f x f x y dy +∞-∞

⎧=<<⎪==⎨⎪⎩

⎰⎰其他

1

2206301

()(,)0Y xy dx y y f y f x y dx +∞-∞

⎧=<<⎪==⎨

⎪⎩

⎰⎰其他 显然，(,)()()X Y f x y f x f y =，所以,X Y 相互独立 6分

（2）当10<

⎧<<==取其他值x x x y f y x f y x f Y Y X ,01

0,2)(),()( 4分