专题02 常用逻辑用语(解析版)
专题02 常用逻辑用语
考点5 命题及其关系
1．（2020新课标III 理16）关于函数()1sin sin f x x x
=+． ①()f x 的图像关于y 轴对称；②()f x 的图像关于原点对称；
③()f x 的图像关于2
x π=对称；④()f x 的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ．
【答案】②③
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误．综合可得出结论． 【详解】对于命题①，152622f π??=+= ???，152622f π??-=--=- ???，则66f f ππ????-≠ ? ?????
， ∴函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数()f x 的定义域为{}
,x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称， ()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ??-=-+=--=-+=- ?-??
， ∴函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ????-=-+=+ ? ???????- ???
， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ????+=++=+ ? ???????+ ???
，则22f x f x ππ????-=+ ? ?????， ∴函数()f x 的图象关于直线2x π
=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则
()1sin 02sin f x x x
=+<<，命题④错误，故答案为：②③． 2.（2017新课标Ⅰ）设有下面四个命题
1p ：若复数z 满足1z
∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；
3p ：若复数1z ，2z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．
其中的真命题为
A ．1p ，3p
B ．1p ，4p
C ．2p ，3p
D ．2p ，4p
【答案】B 【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），则
2211i (i)a b z a b a b -==∈++R ，得0b =，所以z ∈R ，1p 正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+∈R ，则0ab =，即0a =或0b =，不能确定z ∈R ，2p 不正确；若z ∈R ，则0b =，此时i z a b a =-=∈R ，4p 正确．选B ．
3.（2011新课标）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
12:||1[0,)3p πθ+>?∈a b 2:p ||1+>a b ?2(,]3
πθπ∈ 3:||1[0,
)3p πθ->?∈a b 4:p ||1->a b ?(,]3π
θπ∈ 其中真命题是 A ．14,p p B ．13,p p C ．23,p p D ．24,p p
【答案】A 【解析】由得， ， 。由得 ．选A ． 4.（2012新课标，理3）下面是关于复数z =21i
-+的四个命题：1p ：|z |=2；2p ：22z i =；3p ：z 的共轭复数为1i +；4p ：z 的虚部为－1；其中真命题为
A .2p ,3p
B .1p ,2p
C .2p ,4p
D .3p ,4p
【答案】C.【解析】∵z =21i
-+=1i --,∴|z
，22z i =，z 的共轭复数为1i -+，虚部为－1，故2p ，4p 是真命题，故选C.
5.（2014陕西）原命题为“若12
n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”
，关于逆命题，否命题，逆否命1a b +==>1cos 2
θ>-20,3πθ???∈???
?
1a b -==>1cos 2θ<,3πθπ???∈ ???
题真假性的判断依次如下，正确的是
A ．真，真，真
B ．假，假，真
C ．真，真，假
D ．假，假，假
【答案】A 【解析】 从原命题的真假人手，由于12
n n n a a a ++<{}1n n n a a a +?
6.（2014江西）下列叙述中正确的是
A ．若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤
B ．若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >
C ．命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥”
D ．l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ
【答案】D 【解析】 2"40"b ac -≤推不出2"0"ax bx c ++≥，因为与a 的符号不确定，所以A 不正确；当20b =时，由""a c >推不出22""ab cb >，所以B 不正确；“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有0x <”，所以C 不正确．选D ．
7.（2013陕西文）设z 是复数, 则下列命题中的假命题是
A ．若, 则z 是实数
B ．若, 则z 是虚数
C ．若z 是虚数, 则
D ．若z 是纯虚数, 则
【答案】C 【解析】．
对选项A: ,所以为真．
对选项B: ,所以为真．
对选项C: ,所以为假．
对选项D: ,所以为真．所以选C ． 8.（2012湖南）命题“若4πα=
，则tan 1α=”的逆否命题是 A ．若4π
α≠，则tan 1α≠ B ．若4π
α=，则tan 1α≠
C ．若tan 1α≠，则4π
α≠ D ．若tan 1α≠，则4π
α=
【答案】C 【解析】因为“若，则”的逆否命题为“若p ?，则q ?”，所以 “若4π
α=，则tan 1α=”的逆
否命题是 “若tan 1α≠，则4π
α≠”．
9.（2012福建）下列命题中，真命题是
20z ≥20z <20z ≥20z 22+-=?∈+=设为实数则若z b z ?=≥0,02为实数z 为纯虚数且则若z b a z ?≠=<0,0,02为纯虚数z 00,0,2 A ．00,0x x R e ? ∈ B ．2,2x x R x ?∈> C ．0a b +=的充要条件是1a b =- D ．1a >,1b >是1ab >的充分条件 【答案】D 【解析】∵,0x x R e ?∈>，故排除A ；取x =2,则2222=，故排除B ；0a b +=，取0a b ==，则不能推出1a b =-，故排除C ；应选D ． 10.（2011山东）已知,,a b c R ∈，命题“若=3，则≥3”，的否命题是 A ．若3a b c ++≠，则<3 B ．若3a b c ++=，则<3 C ．若3a b c ++≠，则≥3 D ．若≥3，则3a b c ++= 【答案】A 【解析】3a b c ++=的否定是3a b c ++≠，≥3的否定是 <3，故选A ． 11.（2011陕西）设,a b 是向量，命题“若=-a b ，则=a b ”的逆命题是 A ．若≠a b ，则≠a b B ．若=-a b ，则≠a b C ．若≠a b ，则≠a b D ．若=a b ，则=-a b 【答案】D 【解析】根据定义若“若a b =，则a b =-”． 12.(2018北京)能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】sin y x =（不答案不唯一）【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，且函数()f x 在[0,2]上不是增函数即可，如，()sin f x x =，答案不唯一． 考点6 简单逻辑联结词 1．（2020年高考全国Ⅱ卷文理16）设有下列四个命题： 1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线?l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥． 则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①41p p ∧ ②21p p ∧ ③32p p ∨? ④ 43p p ?∨? a b c ++222a b c ++222a b c ++222a b c ++222a b c ++222a b c ++222a b c ++222a b c ++ 【答案】①③④ 【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假．再利用复合命题的真假可得出结论． 【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理3l 与2l 的交点B 也在平面α内，∴AB α?，即3l α?，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ?平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题． 综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ?∨为真命题，34p p ?∨?为真命题．故答案为：①③④． 2.（2019全国Ⅰ文11）记不等式组6,20 x y x y +??-≥?表示的平面区域为D .命题 :(,),29p x y D x y ?∈+；命题:(,),212q x y D x y ?∈+.下面给出了四个命题 ①p q ∨ ②p q ?∨ ③p q ∧? ④p q ?∧? 这四个命题中，所有真命题的编号是 ①③ B ．①② C ．②③ D ．③④ 【答案】A ．【解析 】作出不等式组620 x y x y +??-?的平面区域如图阴影部分所示. 由图可知，命题():,,29p x y D x y ?∈+；是真命题，则p ?假命题； 命题():,,212q x y D x y ?∈+是假命题，则￢q 真命题； 所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有： p q ∨真； p q ?∨假；●p q ∧?真；?p q ?∧?假； 故答案 ●正确．故选A ． 3.（2017山东）已知命题p ：0x ?>，ln(1)0x +>；命题q ：若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ?∧ C ．p q ? ∧ D ．p q ??∧ 【答案】B 【解析】0x ?>，11+>x ，所以ln(1)0x +>，所以p 为真命题；若0a b >>，则22a b >，若0b a <<，则0a b <-<-，所以22a b <，所以q 为假命题．所以p q ? ∧为真命题．选B ． 4.（2017山东）已知命题p ：0x ?>，ln(1)0x +>；命题q ：若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ?∧ C ．p q ?∧ D ．p q ??∧ 【答案】B 【解析】0x ?>，11+>x ，所以ln(1)0x +>，所以p 为真命题；若0a b >>，则22a b >，若0b a <<，则0a b <-<-，所以22a b <，所以q 为假命题．所以p q ? ∧为真命题．选B ． 5.（2014湖南）已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >．在命题① ② ③ ④中，真命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 【答案】C 【解析】由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①为假命题，②为真命题，③q ?为真命题，则为真命题，④p ?为假命题，则为假命题，所以选C ． 6.（2013湖北）在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”． 7.(2012山东)设命题p ：函数的最小正周期为；命题q ：函数的图象关于直线对 称.则下列判断正确的是 A ．p 为真 B ．为假 C ．为假 D ．为真 p q ∧p q ∨()p q ∧?()p q ?∨p q ∧p q ∨()p q ∧?()p q ?∨p q ()()p q ?∨?()p q ∨?()()p q ?∧?p q ∨sin 2y x =2 πcos y x =2x π=q ?p q ∧p q ∨ C 【解析】∵命题p 为假,命题q 也为假,∴为假 ，故选C ． 考点7 全称量词与特称量词 1.（2015新课标）设命题p ：n N ?∈，22n n >，则p ? 为 A ．2,2n n N n ?∈> B ．2,2n n N n ?∈≤ C ．2,2n n N n ?∈≤ D ．2,2n n N n ?∈= 【答案】C 【解析】命题p 是一个特称命题，其否定是全称命题． 2.（2014新课标卷1，理9）9不等式组124 x y x y +≥??-≤?的解集记为D .有下面四个命题： 1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ?∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-. 其中真命题是 A .2p ，3P B .1p ，4p C .1p ，2p D .1p ，3P 【答案】C 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：20x y +=，平 移0l ，由图可知，当直线：2x y z +=过()2,1A -时，min 220z =-+=， ∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C. 3.（2014福建）命题“[)3 0,.0x x x ?∈+∞+≥”的否定是 A ．()30,.0x x x ?∈+∞+< B ．()3 ,0.0x x x ?∈-∞+≥ C ．[)30000,.0x x x ?∈+∞+< D ．[)3 0000,.0x x x ?∈+∞+≥ 【答案】C 【解析】 把量词“?”改为“?”，把结论否定，故选C 4.（2013重庆）命题“对任意，都有”的否定为 A ．对任意，都有 B ．不存在，都有 C ．存在，使得 D ．存在，使得 【答案】D 【解析】否定为：存在0x R ∈，使得200x <，故选D ． 5．（2013四川）设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题p ：,2x A x B ?∈∈，则 A ．p ?：,2x A x B ?∈? B ．p ?：2x A x B ???， C ．p ?：2x A x B ??∈， D ．p ? ：2x A x B ?∈?， 【答案】C 【解析】由命题的否定易知选C ． 6.（2012湖北）命题“，”的否定是 p q ∧x R ∈20x ≥x R ∈20x A ．， B ．， C ．， D ．， 【答案】D 【解析】存在性命题的否定为“?”改为“?”，后面结论加以否定，故为300,R x C Q x Q ?∈?． 7.（2012湖北）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 【答案】B 【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”，故选B ． 8.（2011安徽）命题“所有能被2整聊的整数都是偶数”的否定．． 是 A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的整数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数都是偶数 D ．存在一个能被2整除的数都不是偶数 【答案】D 【解析】 根据定义容易知D 正确． 考点8 充分条件与必要条件 1．（2020年高考浙江卷6）已知空间中不过同一点的三条直线,,m n l ，则“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件． 【详解】解法一：由条件可知当,,m n l 在同一平面，则三条直线不一定两两相交，由可能两条直线平行，或三条直线平行，反过来，当空间中不过同一点的三条直线,,m n l 两两相交，如图， 三个不同的交点确定一个平面，则,,m n l 在同一平面，∴“,,m n l ”在同一平面是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件，故选B ． 0x ??R Q 30x ∈Q 0x ?∈R Q 30x ?Q x ??R Q 3x ∈Q x ?∈R Q 3x ? Q 解法二：依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线， 当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交． 当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ?=?=?=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C l αα∈?∈?，根据公理1可知，直线BC 即l α?，∴,,m n l 在同一平面． 综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件．故选B ． 2．（2020年高考天津卷2）设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件，故选A ． 3．（2020年高考上海卷16）命题:p 若存在a R ∈且0a ≠，对任意的x R ∈，均有()()()f x a f x f a +<+恒成立，已知命题1:q ()f x 单调递减，且()0f x >恒成立；命题2:q ()f x 单调递减，存在00x <使得0()0f x =，则下列说法正确的是（ ） A ． 12,q q 都是 p 的充分条件 B ．只有1q 是p 的充分条件 C ． 只有2q 是 p 的充分条件 D ． 12,q q 都不是p 的充分条件 【答案】A 【解析】1:q 当0a >，()0f a >，因为函数()f x 单调递减，所以()()()()f x a f x f x f a +<<+，即()()()f x a f x f a +<+，存在0a >，当满足命题1q 时，使命题p 成立， 2:q 当00a x =<时，()0f a = ，因为函数()f x 单调递增，所以()()()()f x a f x f x f a +<=+，即()()()f x a f x f a +<+，存在0a <，当满足命题2q 时，命题p 成立， 综上可知命题1q 、2q 都是命题p 的充分条件，故选A ． 4．（2020年高考北京卷9） 已知αβ∈R ,，则“存在k ∈Z ，使得π(1)k k αβ=+-”是“βαsin sin =”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵(1)k k απβ=+-，且sin y x =周期为2π，∴当k 为偶数时，α与β终边相同， ∴sin sin αβ=一定成立， 当k 为奇数时，则k απβ=-，∴sin sin αβ=成立，充分条件成立． 反之，当sin sin αβ=时，α与β终边相同，或α与β终边关于y 轴对称，∴必要条件也成立，故选C ． 5.（2019全国Ⅱ理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】对于A ，α内有无数条直线与β平行，则α与β相交或βα∥，排除； 对于B ，α内有两条相交直线与β平行，则βα∥； 对于C ，α，β平行于同一条直线，则α与β相交或βα∥，排除； 对于D ，α，β垂直于同一平面，则α与β相交或βα∥，排除．故选B ． 6.（2014新课标2）函数()f x 在0=x x 处导数存在，若()00p f x '=：，0:q x x =是()f x 的极值点，则 A ．p 是q 的充分必要条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】C 【解析】设3()f x x =，(0)0f '=，但是()f x 是单调增函数，在0x =处不存在极值，故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题，故选C ． 7.（2019天津理3）设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】【解析】 由250x x -<，可得05x <<，由11x -<，得02x <<， 因为05x <<不能推出02x <<， 但02x <<可以推出05x <<， 所以05x <<是02x <<的必要不充分条件， 即05x <<是11x -<的必要不充分条件，故选B ． 8.（2019北京文6） 设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 若0b =，则()cos f x x =是偶函数；反之，若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，即()()cos sin cos sin cos sin x b x x b x x b x -+-=-=+，即sin 0b x =对x ?成立， 可得0b =，故“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件.故选C. 9.（2019北京理7）设点A ,B ,C 不共线，则“与的夹角是锐角”是“AB AC BC +>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 AC BC AB AC AB AC +>?+>- 220AB AC AB AC AB AC ?+>-??>? “AB 与AC 的夹角为锐角”. 所以“AB 与AC 的夹角为锐角AB AC BC +>的充要条件．故选C ． 10.（2019浙江5）若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析 】 因为a ＞0，b ＞0，若a +b ≤4，则4a b +，则4ab ，即44a b ab +?. 反之，若4ab ，取1a =，4b =，则44ab =，但5a b +=，即4ab 推不出a +b ≤4，所以a +b ≤4是4ab 的充分不必要条件.故选A ． 11.(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵33-=+a b a b ，∴22(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-?+=a a b b 2296+?+a a b b ，又||||1==a b ，∴0?=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ． 12.(2018上海)已知a R ∈，则“1a >”是“11a <”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】由1>a 可得 11a ，推不出1>a 一定成立；所以“1a >”是“11a <”的充分非必要条件．故选A ． 13.（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >” 是“465+2S S S >”的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >， 可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ． 14.（2017天津）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2 θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由ππ||1212θ- <，得06πθ<<，所以1sin 2θ<，反之令0θ=，有1sin 2θ< 成立，不满足ππ||1212θ-<，所以“ππ||1212θ-<”是“1sin 2 θ<”的充分而不必要条件．选A ． 15.（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0? A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0?=<> cos ,0<> 因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=m n ，所以cos ,0<> 16．（2016年北京）设,a b 是向量，则“||=||a b ”是“||||+=-a b a b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】取0-≠a =b ，则||||0=≠a b ，|||0|0+==a b ，|||2|0-=≠a b a ， 所以||||+≠-a b a b ，故由||||=a b 推不出||||+=-a b a b ．由||||+=-a b a b ， 得22||||+=-a b a b ，整理得0?=a b ，所以⊥a b ，不一定能得出||||=a b ， 故由||||+=-a b a b 推不出||||=a b ，故“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的既不充分也不必要条件，故选D ． 17．（2016年山东）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若直线,a b 相交，设交点为P ，则,P a P b ∈∈，又,a b αβ??，所以 ,P P αβ∈∈，故,αβ相交．反之，若,αβ相交，则,a b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A ． 18．（2016年天津）设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ， 2120n n a a -+<”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意得，111(0)n n a a q a -=>，222121211n n n n a a a q a q ---+=+= 221(1)n a q q -+，若0q <，因为1q +得符号不定，所以无法判断212n n a a -+的符号； 反之，若2120n n a a -+<，即2(1)1(1)0n a q q -+<，可得10q <-<， 故“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的必要不充分条件，故选C. 19（2015安徽）设p ：12x <<，q ：21x >，则p 是q 成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，解得，易知，能推出，但不能推出，故是成立的充 分不必要条件，选A ． 20．（2015重庆）“1x >”是“12 log (2)0x +<”的 A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】12 log (2)0211x x x +?>-，因此选B ． 21．（2015天津）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解不等式|2|1x 可得，13x ，解不等式220x x 可得，2x 或1x ，所以“21x -< ”是“220x x +-> ”的充分而不必要条件． 22.（2015北京）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α?．“m β∥”是“αβ∥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α?．若“m β”，则平面、αβ 可能相交也可能平行，不能推出αβ∥，反过来若αβ∥，m α，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要 而不充分条件． 23．（2015陕西）“sin cos αα=”是“cos20α=”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要 0:22x q >0x >p q q p p q 【答案】A 【解析】因为，所以或，因为 “”“”，但“”“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A ． 24.（2014广东）在中，角A ，B ，C 所对应的边分别为则“”是“”的 A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件 【答案】A 【解析】由正弦定理sin sin a b A B =，故“”?“”． 25（2014浙江）已知是虚数单位，,则“”是“”的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 【答案】.A 【解析】 当1a b ==时，22()(1)2a bi i i +=+=，反之，若，则有1a b ==- 或1a b ==，因此选A ． 26.（2013安徽）“0a ≤”是“函数在区间内单调递增”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当a =0 时，，∴在区间内单调递增；当时， 中一个根，另一个根为，由图象可知在区间 内单调递增；∴是“函数在区间内单调递增”的充分条件，相反，当 在区间内单调递增，∴或，即；是“函数在区间内单调递增”的必要条件，故前者是后者的充分必要条件．所以选C ． 27．（2013北京）“?π=”是“曲线()sin 2y x ?=+过坐标原点的” A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当?π=时，sin 2y x =-过原点；()sin 2y x ?=+过原点，则,,0,,?ππ=???-???等无数个值．选A ． 28.（2013浙江）已知函数，则“是奇函数”是的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 22cos 2cos sin 0ααα=-=sin cos αα=sin cos αα=-sin cos αα=?cos20α=sin cos αα=?/cos20α=sin cos αα=cos20α=AB C ?,,,c b a b a ≤B A sin sin ≤b a ≤B A sin sin ≤i R b a ∈,1==b a i bi a 2)(2=+i bi a 2)(2 =+()=(-1)f x ax x (0,+)∞()f x x =()f x ()0,+∞0a <()1f x a x x a ??=- ???10a <0()f x ()0,+∞"0"a ≤()=(-1)f x ax x (0,+)∞()1f x a x x a ??=- ?? ?(0,+)∞0a =10a <0a ≤"0"a ≤()=(-1)f x ax x (0,+)∞),0,0)(cos( )(R A x A x f ∈>>+=?ω?ω)(x f 2π?= C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2 +k π，k ∈Z ，所以选项B 正确． 29．（2012安徽）设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 【答案】A 【解析】①,,,b m m b αβαββ⊥⊥?=?,b a b a αα?⊥??⊥ ②如果//a m ；∵b m ⊥，一定有a b ⊥但不能保证b α⊥，既不能推出αβ⊥ 30.（2012北京）设,a b ∈R ，“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】0a =时i a b +不一定是纯虚数， 但i a b +是纯虚数0a =一定成立，故“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的必要而不充分条件． 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲集合 答案部分 1. A 【解析】A={x||x|<2}=(—2,2) , B={—2,0,1,2} ,??? ^^{0,1}，故选 A . 2 2 2. B 【解析】因为 A={xx —X —2;>0}，所以 e R A={x|x —X —2 < 0} ={x| —1W x < 2}，故选 B ? 由题意知， A={x|x —1 > 0}，则 APIB ={1,2}.故选 C . 因为 B ={x X> 1}，所以 e R B ={x | X <1}，因为 A ={x O c X < 2}, 因为 U ={1,2,3,4,5} , A ={1,3}，所以 ejA= {2 , 4, 5}.故选 C . 6. A 【解析】通解 由 X 2 +y 2 < 3知，-73 < X <73, - J 3 < y <73. 又 x € Z , y 忘 Z ，所以 x€{-1,O,1} , y€{-1,O,1}, 所以A 中元素的个数为C i c ； =9，故选A . 优解 根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图, 易知在圆X 2 +y 2 =3中有9个整点，即为集合 A 的元素个数，故选 A . 7. A 【解析】??? B ={x| X CO} , ? A PI B = {x | X c 0}，选 A . & C 【解析】??? 1壬 B ,??? 12 —4" + m =0 ,即卩 m = 3,??? B ={1,3}.选 C . 2 2 3. C 【解析】 4. B 【解析】 所以AI (命 B)={x|0 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版复习寄语: - T 一■ 鲁甸县文屏镇中学高三第一轮复习资料 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1 :集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幕函数） 必修2 :立体几何初步、平面解析几何初步。必修3 :算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5 :解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、 函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做 过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列：系列1 :由2个模块组成。 选修1 —1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1 —2 :统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2 :由3个模块组成。 空间向量与立体几何。选修2—2:导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3 :计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3 :由6个专题组成。 选修3—1 :数学史选讲。 选修3—2 :信息安全与密码。 选修3—3 :球面上的几何。 选修3—4 :对称与群。 选修3—5 :欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6 :三等分角与数域扩充。 系列4 :由10个专题组成。 选修4—1 :几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。 选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6 :初等数论初步。 选修4—7 :优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10 :开关电路与布尔代数。 2.重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量, 圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： 高中数学 课间辅导----常用逻辑用语 1．设5 :(1,)2 p x ?∈使函数22()log (22)g x tx x =+-有意义，若p ?为假命题，则t 的取值范围为_____________. 2．“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的 条件．（填“充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要”） 3．设实数1a >，1b >，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的 条件．（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空） 4．命题:p x R ?∈，()f x m ≥，则命题p 的否定p ?是 ． 5．下列命题中为真命题的是 ． ①命题“?x∈R，x 2+2＞0”的否定； ②“若x 2+y 2=0，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题； ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题． 6．已知命题p ：|x ﹣1|＜2和命题q ：﹣1＜x ＜m+1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围 ． 7．命题“?x∈R，x 2+x+1≤0”的否定是 ． 8．命题“0,21x x ?>>”的否定 ． 9．已知命题:p 对任意的[]21,2,0x x a ∈-≥，命题:q 存在2,220x R x ax a ∈++-=，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 10．设p ：3||>-a x ，q ：0)12)(1(≥-+x x ，若p ?是q 的充分不必充要条件，则实数a 的取值范围是 ． 11．已知命题p ：“0>?x ，有12≥x 成立”，则p ?为_______. 12．给出下列五个命题: ①函数()ln 2f x x x =-+在区间()1,e 上存在零点； ②若()0'0f x =，则函数()y f x =在0x x =处取得极值； ③命题“2,0x R x x ?∈->” 的否定是“2,0x R x x ?∈->”； ④“12x <<” 是“21x >成立”的充分不必要条件 ⑤若函数()2y f x =+是偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线2x =对称； 其中正确命题的序号是 （请填上所有正确命题的序号） 13．给出下列命题： ①半径为2，圆心角的弧度数为 12的扇形面积为12 ； ②在ABC ?中，A B <的充要条件是sin sin A B <； ③在ABC ?中，若4AB = ，AC =3B π= ，则ABC ?为钝角三角形； 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A 版 复习寄语： 鲁甸县文屏镇中学高三第一轮复习资料 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： 衡水名师原创理科数学专题卷 专题一 集合与常用逻辑用语 考点01：集合及其相关运算(1-7题，13题，17,18题)； 考点02：命题及其关系、充分条件与必要条件（8—11题，14,15题，19题）； 考点03：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（12题，16题，20-22题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．【2017课标1，理1】 考点01 易 已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则（ ） A ． B ． C ． D ． 2．【2017课标II ，理】 考点01 易 设集合， 。若 ，则 （ ） A. B. C. D. 3．【2017课标3，理1】 考点01 易 已知集合A= {} 22(,)1x y x y +=│ ，B= {}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 4．【来源】2016-2017学年吉林乾安县七中期中 考点01易 集合 ，且 ，则 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0 5．【来源】2016-2017学年湖北鄂东南联盟学校期中 考点01 中难 若，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6．【2017福建三明5月质检】 考点01 中难 已知集合 ， ，若 ，则实数的取值 范围是（） A. B. C. D. 7.【来源】2017届浙江温州中学高三模拟考考点01 难 已知集合，若实数，满足：对任意的，都有，则称是集合的“和谐实数对”，则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（） A． B． C． D． 8．【来源】2016-2017学年湖北黄石三中期中考点02 易 命题“若x2<1，则－1 集合与常用逻辑用语专题复习 一、选择题 1 ．设全集{}{}{}3,2,1,0,2,1,0,3,2,1,0,1,2==--=N M U ,则N M C U )(= （ ） A ．{}2,1,0 B ．{}3,12--， C ．{}3,0 D ．{}3 2．命题“2 ,20x R x x ?∈-=”的否定是 ( ) A.2,20x R x x ?∈-= B. 2,20x R x x ?∈-≠ C.2,20x R x x ?∈-≠ D. 2,20x R x x ?∈-> 3 ．设集合2 {|560},{|57}A x x x B x x =--<=≤≤,则A B = （ ） A ．[5,7] B ．[5,6) C ．[5,6] D ．(6,7] 4 ．设集合{ } |24x A x =≤,集合 B 为函数lg(1)y x =-的定义域,则A B = （ ） A ．()1,2 B ．[]1,2 C ．[1,2) D ．(1,2] 5．已知命题p:若(x-1)(x-2)≠0,则x≠1且x≠2;命题q:存在实数x o ,使2o x <0.下列选项中为真命题的是 A.?p B.?p ∨q C.?p ∧p D.q 6 ．设全集R U =,集合M ={|1x x >或1x <-},{}|02N x x =<<,则()U N M =e （ ） A ．{}|21x x -≤< B ．{}|01x x <≤ C ．{}|11x x -≤≤ D ．{}|1x x < 7．已知全集U =R ,集合{}{}|0,|1A x x B x x =<=≤-,则()U A B ?=e （ ） A ．{} |0x x < B ．{}|10x x -<≤ C ．{} |1x x >- D ．{}|10x x -<< 8．已知集合A= {}{}|1,|12,x x B x x >=-<<则(C R A) B= （ ） A ．{}|1x x >- B ．{}|11x x -<≤ C ．{}|12x x -<< D ．{}|12x x << 9． “1010a b >”是“lg lg a b >”的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 10 ．已知全集{0,1,2,3,4},{1,2,3},{2,4},() U U A B C A B ===集合则为 （ ） A ．? B ．{4} C ．{0,2,4} D ．{1,3} 11．已知集合M={y|y=sinx, x∈R},N={0,1,2}, 则M N= （ ） A ．{-1,0,1) B ．[0,1] C ．{0,1} D ．{0,1,2} 12．已知集合{}{}1,0,1,0,1,2M N =-=,则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为 （ ） 专题02 常用逻辑用语 考点5 命题及其关系 1．（2020新课标III 理16）关于函数()1sin sin f x x x =+． ①()f x 的图像关于y 轴对称；②()f x 的图像关于原点对称； ③()f x 的图像关于2 x π=对称；④()f x 的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ． 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误．综合可得出结论． 【详解】对于命题①，152622f π??=+= ???，152622f π??-=--=- ???，则66f f ππ????-≠ ? ????? ， ∴函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数()f x 的定义域为{} ,x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称， ()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ??-=-+=--=-+=- ?-?? ， ∴函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ????-=-+=+ ? ???????- ??? ， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ????+=++=+ ? ???????+ ??? ，则22f x f x ππ????-=+ ? ?????， ∴函数()f x 的图象关于直线2x π =对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则 ()1sin 02sin f x x x =+<<，命题④错误，故答案为：②③． 2.（2017新课标Ⅰ）设有下面四个命题 §1.2命题及其关系、充分条件与必要条件 1．命题的概念 (1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题． (2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________． (3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________． (4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________． (5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么______________就叫做原命题的逆命题；________________就叫做原命题的否命题；________________就叫做原命题的逆否命题．2．四种命题间的相互关系 (1)四种命题间的相互关系图(请你补全) (2)真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________． 3．充分条件和必要条件 (1)如果p?q，则称p是q的________，q是p的_________． (2)如果________，且________，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的__________，记作________． (3)如果p?q，但q p，那么称p是q的______________条件． (4)如果________，但________，那么称p是q的必要不充分条件． (5)如果________，且________，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 自查自纠： 1．(1)判断真假判断为真判断为假 (2)互逆命题(3)互否命题(4)互为逆否命题 (5)若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p 2．(1) (2)①相同②没有关系 3．(1)充分条件必要条件 (2)p?q q?p充要条件p?q (3)充分不必要 (4)p q q?p(5)p q q p 专题01集合与常用逻辑用语 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2 |42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 【答案】C 【解析】由题意得2 |42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<， 则{|22}M N x x =-<0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 【答案】A 【解析】由题意得，2 {560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >，{10}{1|}|B x x x x =-<=<，则 {|1}(,1)A B x x =<=-∞I ． 故选A ． 【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 【答案】A 【解析】∵2 1,x ≤∴11x -≤≤，∴{} 11B x x =-≤≤， 又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =-I . 故选A ． 【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 常用逻辑用语 1、【2019年高考天津文数】设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2、【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 4、【2019年高考北京文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5、【2018年高考浙江】已知平面α，直线m ，n 满足m ?α，n ?α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6、【2018年高考天津文数】设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7、【2018年高考北京文数】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 8、【2018年高考江苏数】 设是首项为，公差为d 的等差数列， 是首项为，公比为q 的等比数 列． （1）设 ，若 对 均成立，求d 的取值范围； 专题一 集合与常用逻辑用语第二讲 常用逻辑用语 一、选择题 1． (2018 浙江 ) 已知平面 ，直线 m ， n 满足 m ， n ，则“ m ∥ n ”是“ m ∥ ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2． (2018 北京 )设 a ， b ， c ， d 是非零实数，则 “ad bc ”是 “ ， b ， c ， d 成等比数列 ”的 a A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3． (2018 天津 ) 设 x R ，则“ x 3 8 ”是“ |x | 2 ” 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4． (2018 上海 ) 已知 a R ，则“ a 1 1 ”的（ ） 1”是“ a A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 5．（ 2017 天津）设 x R ，则“ 2 x 0 ”是“ | x 1| 1”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．（ 2017 山东）已知命题 p ： x R , x 2 x 1≥ 0 ；命题 q ：若 a 2 b 2 ，则 a b ．下列命题为真命题的是 A ． p q B ． p q C ． p q D ． p q 7．（ 2017 北京）设 m , n 为非零向量，则 “存在负数 ，使得 m n ”是“m n 0 ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．（ 2017 浙江）已知等差数列 a n 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，则“ d 0 ” 是“ S 4 +S 6 2S 5 ”的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．（ 2016 年山东） 已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α，b 内，则“直线 a 和直线 b 相交 ”是“平面 和平面 相交 ”的 专题一 集合与常用逻辑用语 第二讲 常用逻辑用语 2019年 1.（2019全国Ⅱ理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 2.（2019北京理7）设点A ,B ,C 不共线，则“与的夹角是锐角”是“AB AC BC +>uu u r uuu r uu u r ” 的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3.（2019天津理3）设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2010-2018年 一、选择题 1．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．(2018天津)设x ∈R ，则“11||22 x -<”是“31x <”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(2018上海)已知a R ∈，则“1a >”是“11a <”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 4．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α?，n α?，则“m ∥n ”是“m ∥α” 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．（2017新课标Ⅰ）设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数1z ，2z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ． 其中的真命题为 A ．1p ，3p B ．1p ，4p C ．2p ，3p D ．2p ，4p 6．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >” 是“465+2S S S >”的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．（2017天津）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2 θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．（2017山东）已知命题p ：0x ?>，ln(1)0x +>；命题q ：若a b >，则22 a b >，下 列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ?∧ C ．p q ?∧ D ．p q ??∧ 9．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0? 数学·专题一 第1页（共4页） 数学·专题一 第2页（共4页） 《正确小卷》2020总复习质检卷 专题一 集合与常用逻辑用语 【满分：100分】 （测试内容包括：集合的概念及运算，充分条件与必要条件，全称量词与存在量词.） 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 设全集R =U ，集合{21012}=??A ，，，，，{|1}=B x x ，则图中阴影部分所表示的集合为 （ ） A .{1}2， B .{}101?，， C .210{}??， ， D .{2101}??， ，， 2. 已知集合{213}=?A ，，，集合2{3}=B m ，.若?B A ，则实数m 的取值集合为 （ ） A .{1} B .3 C .{1}1?， D .{33}?， 3. 命题“0?>x ，使23>x x ”的否定是 （ ） A .0?>x ，使2 3x x B .0?>x ，使23x x C .0?x ，使23x x D .0?x ，使23x x 4. 设U 为全集，A B ，是两个集合，则“=?U A B ”是“?A B ”的 （ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 5. 已知集合{()|1}R ==+∈A x y y x x ，，，集合2{()|}R ==∈B x y y x x ，，，则集合A B 的子集个数为 （ ） A .1 B .2 C .3 D .4 6. 南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面 积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12V V ， ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为12S S ，，则“12V V ，相等”是“12S S ，总相等”的 （ ） A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 7. “不等式20?+>x x m 在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是 （ ） A .1 4 >m B .01< 2020年高考文科数学专题一集合与常用逻辑用语 集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确． 关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的． §1－1 集合 【知识要点】 1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性． 2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示． 3．两类不同的关系： (1)从属关系——元素与集合间的关系； (2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)． 4．集合的三种运算：交集、并集、补集． 【复习要求】 1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系． 3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算． 4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等． 【例题分析】 例1 给出下列六个关系： (1)0∈N*(2)0?{－1，1} (3)?∈{0} (4)??{0} (5){0}∈{0，1} (6){0}?{0} 其中正确的关系是______． 【答案】(2)(4)(6) 【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作?；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集． 2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a 不是集合A的元素，记作：a?A． 3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A?B或B?A． 如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A． 4．子集的性质： ①任何集合都是它本身的子集：A?A； ②空集是任何集合的子集：??A； 提示：空集是任何非空集合的真子集． ③传递性：如果A?B，B?C，则A?C；如果A B，B C，则A C． 例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B． 【答案】A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}． 【解析】根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图， 图1－1 于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7． 故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}． 【评析】1、明确集合之间的运算 对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B． 对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B． 如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U 中的补集．记作U A． 2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而 第一章 集合与常用逻辑用语 专题2常用逻辑用语（理科） 【三年高考】 1. 【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2 θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-时11,ln(1)x x +>+有意义，知p 是真命题，由 222221,21;12,(1)(2)>>->--<-可知q 是假命题，即?,p q 均是真命题，故选B. 3．【2017北京，理13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________． 【答案】-1，-2，-3（答案不唯一） 【解析】()123,1233->->--+-=->-相矛盾，所以验证是假命题. 4．【2016高考浙江理数】命题“*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ） A ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ?∈?∈，R N ，使得2 n x < 【答案】D 【解析】?的否定是?，?的否定是?，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 5．【2016高考山东理数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ） 专题一 集合与常用逻辑用语 考点01：集合及其相关运算(1-7题，13题，17,18题)； 考点02：命题及其关系、充分条件与必要条件（8—11题，14,15题，19题）； 考点03：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（12题，16题，20-22题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题 1.已知集合{}|1,A x x =<{}|31,x B x =<则( ) A. {}|0A B x x ?=< B. A B R ?= C. {}|1A B x x ?=> D. A B ?=? 2.已知{}{}2320,20||,A x x x B x ax =-+==-=若A B B ?=,则实数a 的值为 ( ) A.0或1或2 B.1或2 C.0 D.0或1 3.已知集合()(){}(){},|,,|1A x y y f x B x y x ====,则A B ?中元素的个数为( ) A.必有1个 B. 1个或2个 C.至多1个 D.可能2个以上 4.已知集合{{},1,,A B m A B A ==?=,则m = ( ) A. 0 B. 0或3? C. 1 D. 0或1或3? 5.若{}2|,x x a a R ≤∈??=?,则a 的取值围是( ) A. [)0,+∞ B. ()0,+∞ C. (],0-∞ D. (),0-∞ 6.已知集合{{}|,|A x y B x x a ===≥,若A B A ?=,则实数a 的取值围是 ( ) A. (,3)-∞- B. (,3]-∞- C. (],0-∞ D. [)3,+∞ 7.已知集合(){}22,|1M x y x y =+≤,若实数λ,μ满足:对任意的(,)x y M ∈,都有(),x y M λμ∈,则称(),λμ是集合M 的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是( ) A. (){},|4λμλμ+= B. (){}22,|4λμλμ+= C. (){}2,|44λμλμ-= D. (){}2 2,|4λμλμ-= 8.命题“若a b >则55a b ->-”的逆否命题是( ) A.若a b <则55a b -<- B.若55a b -<-则a b > C.若a b <则55a b -≤- D.若55a b -≤-则a b ≤ 9.设0a >且1a ≠,则“log 1a b >”是“b a >”的( ) A.必要不充分条件 B.充要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件 10.圆221x y +=与直线3y kx =-有公共点的充分不必要条件是( ) A. k ≤-或k ≥ B. k ≤- C. 2k ≥ D. k ≤-或2k > 11.“()2?4x k k Z π π=+∈”是“tan 1x =”成立的( ) 专题12 常用逻辑用语 一、充分性和必要性 （1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ?， （2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ?，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件 2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假 3、两个条件之间可能的充分必要关系： （1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件 （2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件 （3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ?，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价 （4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件 4、运用集合作为工具 由P ? Q 可得到：x P x Q ∈?∈，且x Q ∈推不出x P ∈，所以“x P ∈”是“x Q ∈”充分不必要 条件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个集合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下： ① P ? Q ：p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件 ② P Q ?：p 是q 的充分条件 ③ P Q =：p 是q 的充要条件 二、恒成立问题 参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为D ，()f x 为函数；a 为参数， ()g a 为其表达式） （1）若()f x 的值域为[],m M专题一集合与常用逻辑用语第一讲集合答案部分
《专题一常用逻辑用语》知识点归纳
高中数学专题练习常用逻辑用语
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【试卷】专题1 集合与常用逻辑用语
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