第01讲 集合的概念与运算(原卷版)

第 1 讲：集合的概念与运算一、课程标准1、通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．2、.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．了解全集与空集的含义．3、.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．4、.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．二、基础知识回顾1、元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉。

2、集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A。

(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A。

(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B。

(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3、集合的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．4、集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。

(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。

A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A。

（4）∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)。

5、相关结论：(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个。

(2)不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.三、自主热身、归纳总结1、已知集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3，4,5}，则A ∩B ＝( )A ．{3}B ．{5}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5,7}2、已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( )A.{x |x ≥0}B.{x |x ≤1}C.{x |0≤x ≤1}D.{x |0<x <1}3、已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |0<x ≤4}，则A ∪B ＝( )A ．[－1,4]B ．(0,3]C ．(－1,0]∪(1,4]D ．[－1,0]∪(1,4]4、已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝________.5、已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________.6、（多选题）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B ，则下列选项正确的有( ) A ．A B B = B ．A B B = C ．()U A B =∅ D ．()U A B =∅7、（多选题）已知集合[2A =，5)，(,)B a =+∞．若A B ⊆，则实数a 的值可能是( )A ．3-B ．1C ．2D ．5四、例题选讲、变式突破考点一 集合的基本概念例1、已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪ x ＋1x －2≤0，则集合A 的子集的个数为( ) A ． 7 B ． 8 C ． 15 D ．16【变式1】若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92 B.98 C.0 D.0或98【变式2】设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【变式3】已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________． 方法总结：1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。

特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性考点2、集合间的基本关系例2、已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k π4＋π4，k ∈Z ，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π8－π4，k ∈Z ，则( ) A ．M ∩N ＝∅B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∪N ＝M例3、已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________.【变式】已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．方法总结(1)若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.考点三：集合的运算例4、若集合A ＝{x |2x 2－9x ＞0}，B ＝{y |y ≥2}，则A ∩B ＝________，(∁R A )∪B ＝________.【变式1】设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |14≤2x ≤16，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，则A ∩B 中元素的个数是________.【变式2】已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N ＝( )A ．{x |－4<x <3}B ．{x |－4<x <－2}C ．{x |－2<x <2}D ．{x |2<x <3}【变式3】已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}方法总结：集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn 图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．例5、设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R}．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．【变式】已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． 方法总结：利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．考点五：集合的新定义问题例6、.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A.1B.3C.7D.31【变式】．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的序号是________．方法总结：正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口。

五、优化提升与真题演练1、设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝________.A.⎝⎛⎭⎫－3，－32B.⎝⎛⎭⎫－3，32C.⎝⎛⎭⎫1，32D.⎝⎛⎭⎫32，32、设全集U ＝{x |x ∈N *，x <6}，集合A ＝{1，3}，B ＝{3，5}，则∁U (A ∪B )等于( )A.{1，4}B.{1，5}C.{2，5}D.{2，4}3、已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4、若全集0，1，，，则A ．B ．C ．D ．1，5、已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．6、设集合，则(A ∩C )∪B ＝（ ） A ． B ．C ．D ．7、已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝( )A.{0}B.{1}C.{1，2}D.{0，1，2}8、已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意实数对(x 1，y 1)∈M ，都存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y b\lc|\rc (a\vs4al\co1(y ＝1x ))；②M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }；③M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}；④M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}．其中是“垂直对点集”的序号是( )A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④9、（多选题）已知{A =第一象限角}，{B =锐角}，{C =小于90︒的角}，那么A 、B 、C 关系是( )2{2}A x x x =5{|1}3B x x =+<A B =20,3⎛⎫⎪⎝⎭(,2)-∞(0.)+∞2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤A B ⋂={}1,0,1-{}0,1{}1,1-{}0,1,2{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R {}2{}2,3{}1,2,3-{}1,2,3,4A ．B AC = B ．B C C = C ．B A B =D ．A B C ==10、已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________.11、.集合A ＝{x |x <0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________. 12、已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＋n ＝________. 13（2019年江苏高考）、已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =_____. 14（2018年江苏高考）、.已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么A B ⋂=________．。