最新高一5月月考数学试题(火箭班)
高一数学5月月考试题1
卜人入州八九几市潮王学校西湖高级二零二零—二零二壹高一数学5月月考试题一、选择题(每一小题4分，一共40分,()()()()123f x x x x =---，集合(){}|0M x R f x =∈=，那么有〔▲〕A ．{}2.3M =B ．M=1、2、3C ．{}1,2M ∈D ．{}{}1,32,3M =2()2log f x x x =-+的定义域是〔▲〕A.(0,2]B.[0,2)C.[0,2]D.(0,2)3.假设锐角α满足sin(α+)=，那么sinα=(▲)A. B. C. D.129()4=〔▲〕 A.8116B.32C.32或者-32D.23(,1)a x =，(2,3)b =-，假设//a b ，那么实数x 的值是〔▲〕A.23-B.23C.32-D.32{}()n a n N *∈的公差为d ，前n 项和为n S ，假设10a >，0d <，39S S =，那么当n S 获得最大值时，n =〔▲〕A.4B.5C.6D.7ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45B =，30C=，1c =，那么b =〔▲〕A.22B.32C.2D.3()y f x =的定义域是R ，值域为[1,2]-，那么值域也为[1,2]-的函数是〔▲〕A.2()1y f x =+ B.(21)y f x =+ C.()y f x =- D.()y f x =10.〔▲〕二、填空题(双空题每空3分，单空题每空4分,一共7小题36分)2,0()1,0x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩，那么(1)f -=▲，(1)f =▲. 12.函数f (x )=2sin (2x +)+1，那么f (x )的最小正周期是_▲__，f (x )的最大值是__▲_.13.假设平面向量a ，b 满足2a+b=(1，6)，a+2b=(−4，9)，那么a ∙b=▲，cos<a,b>=▲.14.如图，设边长为4的正方形为第1个正方形，将其各边相邻的中点相连，得到第2个正方形，再将第2个正方形各边相邻的中点相连，得到第3个正方形，依此类推，那么第6个正方形的面积为___▲_,第1到第5个正方形的面积之和为▲.15.在△ABC 中，AB =2，AC =3，那么cosC 的取值范围是____▲____.7.〔▲〕16.设a 为实数，假设函数f (x )=2x 2−x +a 有零点，那么函数y =f [f (x )]零点的个数是▲.17.如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点(1,0)A -，(1,0)B ，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，在圆O 上按逆时针方向运动，假设点P 的速度大小是点Q 的两倍，那么在点P 运动一周的过程中，的最大值为▲. 三、解答题(5小题，一共74分,解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)18.(总分值是14分)函数13()sin cos 22f x x x =+，x R ∈.假设将函数()f x 的图像上的所有点纵坐标不变横坐标变为原来的两倍一半得到g(x)的函数图像，再将g(x)的函数图像上的所有点向左平移个单位得到h(x)的函数图像.〔Ⅰ〕求()6f π的值；〔Ⅱ〕求函数()f x 的最大值，并求出取到最大值时x 的集合；〔Ⅲ〕求函数g(x)的表达式及h()的值.19.(总分值是15分) 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且222b ac ac =+-.〔Ⅰ〕求角B 的大小；〔Ⅱ〕假设2a c ==，求ABC ∆的面积； 〔Ⅲ〕求sin sin A C +的取值范围.20.〔总分值是15分〕函数()2log f x m x t=⋅+的图像经过点()4,1A 、点()16,3B 及点(),n C S n ,其中nS 为数列{}n a 的前n 项和，*n N ∈。
高一数学下学期5月月考试题 试题
远东第一中学2021-2021学年度第二学期高一年级5月月考数学试题一、选择题：〔每一小题4分，一共40分〕1、把表示成的形式，使最小的值是〔〕A、 B、 C、 D、2、、、的大小关系为〔〕A、 B、C、D、3、,且,那么与的夹角是〔〕A、B、C、 D、4、那么以下不等式正确的选项是〔〕A、 B、C、 D、5、的三个顶点A、B、C及平面内一点P，且，那么点P与的位置关系是〔〕A、P在内部B、P在外部C、P在AB边上或者其延长线上D、P在AC边上6、假设那么〔〕A、=B、=C、=D、=7、函数为增函数的区间是〔〕A、 B、 C、D、8、函数最小值是〔〕A、 B、 C、0 D、9、函数的定义域是〔〕A．B．C． D．10、向量，且夹角为，那么向量与的夹角的余弦的值是〔〕A、 3 〔B〕 C、 D、二、填空题：〔每一小题4分，一共20分〕11、函数的值域为12、假设那么13、将函数的图像上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，那么所得到的图像的函数解析式为14、，在方向上的投影为，那么15、，向量与向量平行，那么实数k的值是远东第一中学2021-2021学年度第二学期高一年级5月月考数学答题卡一、选择题：〔每一小题4分，一共40分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：〔每一小题4分，一共20分〕11、12、13、14、15、三、解答题：〔一共40分〕17、〔8分〕，，求与的夹角18、〔10分〕函数，〔1〕化简；〔2〕求的值19、〔10分〕函数在一个周期内，当时，y取最大值2 ，其图像与x轴的相邻两个交点的间隔为.〔1〕求此函数的解析式，〔2〕求函数的值域20、〔12分〕函数。
〔1〕用“五点法〞作出函数在上的图像；〔2〕写出函数在上的单调递增区间；〔3〕当时，求函数的值域励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
厚积薄发，一鸣惊人。
关于努力学习的语录。
四川省彭州中学高一5月月考数学试题(火箭、重点班)
高一下期五月月考题数学（A ）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求的。
1.设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b 则下列式子正确的是（ ）A.ac ＞bcB.C.a 2＞b 2D.a+c ＞b+c2.如果,a b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ） A. a b = B. 1a b ⋅= C. 22||||a b = D. 22a b ≠ 3. 在等差数列{}n a 中，已知155=a ，则64a a +的值为（ ） A.60 B. 45 C.30 D. 1204若不等式的解集是,则a,b 的值为( )A. ,B. ,C.,D.,5.函数f(x)=x x 22sin cos -的最小正周期为（ ）A.4π B. 2πC. πD. 2π 6. 函数f （x ）= xx 212-的定义域为（）A ． （0，2）B ．（-∞，0）∪（2，+∞）C ．（2，+∞）D ．（0，2，+∞）7. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若2cos a B c =，则ABC ∆的形状（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形8.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位cm ）可得这个几何体的体积是（ ）A.833cm B. 433cm C.33cm D.43cm 9．已知{n a }为等比数列，下列判断正确的为（ ） A. 1201410071008++a a a a > B. 1201410071008++a a a a < C. 1201410071008++a a a a ≥ D. 1201410071008++a a a a 与无法确定 10.{a n }为等差数列，若，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n=（） A ． 11B ． 17C ． 19D ．2111. 对于使()f x M ≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值叫做函数()f x 的下确界，则1211()()2142f x x x x =+≤≤-的下确界（ ） A. 22143C. 92 D. 512. 设等差数列{}n a 满足：22223535317cos cos sin sin cos 2sin()a a a a a a a --=+，4,2k a k Z π≠∈且公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当8n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是( ) A. 3[,2]2ππ B. 3(,2)2ππ C. 7[,2]4ππ D. 7(,2)4ππ 第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为450，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 。
高一数学5月月考试题含解析
智才艺州攀枝花市创界学校上杭一中二零二零—二零二壹第二学期5月月考高一数学试卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.每一小题给出的四个选项里面，有且只有一个是正确的，请将你认为正确答案序号填涂在答题卡相应位置上〕21x >的解集是〔〕A.{}1x xB.{}|1x x >±C.{}|11x x -<<D.{1x x 或者}1x <- 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次不等式求解即可 【详解】不等式x 2>1， 移项得：x 2﹣1>0，因式分解得：〔x +1〕〔x ﹣1〕>0， 那么原不等式的解集为{x |x ＜-1或者x>1}． 应选：D ．【点睛】此题考察了一元二次不等式的解法，考察了转化的思想，是一道根底题，也是高考中常考的计算题．ABC ∆中，2a =，那么cos cos b C c B +=〔〕A.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】通过余弦定理把cos,cosC B用三边表示出来代入待求值式化简即可．【详解】b cos C＋c cos B＝b·2222a b cab+-＋c·2222c a bac+-＝222aa＝a＝2.【点睛】在边角混合出现的式子中，可用正弦定理或者余弦定理化边为角或者化角为边，然后用相应的公式化简变形．3.在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，一共灯三百八十一，请问尖头〔最少一层〕几盏灯？〞〔〕A.6B.5C.4D.3【答案】D【解析】【分析】设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果．【详解】设塔顶的1a盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7=381=71121-2a，解得13a=．应选：D．【点睛】此题考察等比数列的首项的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意等比数列的求和公式的合理运用．l 是直线，α，β是两个不同的平面〔〕A.假设l α，l β，那么αβB.假设l α，l β⊥，那么αβ⊥C.假设αβ⊥，lα⊥，那么l β D.假设αβ⊥，lα，那么l β⊥【答案】B 【解析】【分析】.【详解】对于A ．假设l∥α，l∥β，那么α∥β或者α，β相交，故A 错；对于B ．假设l∥α，l⊥β，那么由线面平行的性质定理，得过l 的平面γ∩α＝m ，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的断定定理，得α⊥β，故B 对；对于C ．假设α⊥β，l⊥α，那么l∥β或者l ⊂β，故C 错；对于D ．假设α⊥β，l∥α，假设l 平行于α，β的交线，那么l∥β，故D 错． 应选:B ． 【点睛】5.圆心和圆上任意两点可确定的平面有〔〕 A.0个 B.1个C.2个D.1个或者无数个 【答案】D 【解析】 【分析】按三点是否一共线讨论，利用平面的根本性质及推论能求出结果． 【详解】假设圆心和圆上两点一共线，那么可确定无数个平面假设圆上任意三点不一共线，∴由不一共线三点确定一个平面，得圆上任意三点可确定的平面有且只有1个． 应选：D ．【点睛】此题考察平面个数确实定，是根底题，解题时要认真审题，注意平面的根本性质及推论的合理运用．{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，那么10a =〔〕A.2ln10+B.29ln10+C.210ln10+D.11ln10+【答案】A 【解析】 【分析】由得a n +1﹣a n ＝ln 1n n ⎛+⎫⎪⎝⎭由此利用累加法能求出a n ,那么10a 可求 【详解】在数列{a n }中，a 1＝2，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++⎪⎝⎭∴a n +1﹣a n ＝ln 1n n ⎛+⎫⎪⎝⎭∴a n ＝a 1+〔a 2﹣a 1〕+〔a 3﹣a 2〕+…+〔a n ﹣a n ﹣1〕＝2+ln 2+33lnln2ln 22121n n n n ⎛⎫++=+⨯⨯⨯⎪--⎝⎭＝2+lnn ，故10a =2+ln10应选：A【点睛】此题考察数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．ABC ∆中，假设22cos 2Ab bc =+，那么ABC ∆为〔〕 A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰或者直角三角形D.直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式化简整理后表示出cos A ，再利用余弦定理表示出cos A ，整理后得到a 2+c 2＝b 2，根据勾股定理的逆定理即可判断出此三角形为直角三角形．【详解】∵22cos2A b c b += ∴1cos 1cA b+=+,∴cos A=c b，又根据余弦定理得：cos A=2222b c a bc+-，∴b 2+c 2﹣a 2＝2c 2，即a 2+c 2＝b 2， ∴△ABC 为直角三角形． 应选：D ．【点睛】此题考察了三角形形状的判断，考察二倍角的余弦公式，余弦定理，以及勾股定理的逆定理；纯熟掌握公式及定理是解此题的关键．x ，y 满足211x y+=，且不等式2220x y m m +--<有解，那么实数m 的取值范围为〔〕 A.(,2)(4,)-∞-⋃+∞ B.(,4)(2,)-∞-+∞C.(2,4)-D.(4,2)-【答案】B 【解析】 【分析】 由题222x ym m <++有解，利用根本不等式求x+2y 的最小值即可求解【详解】由题222x ym m <++有解()21422448y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当y=2,x=4等号成立那么228m m +>，解得实数m 的取值范围为(,4)(2,)-∞-+∞应选：B【点睛】此题考察根本不等式的应用，考察不等式有解问题，二次不等式解法，准确计算是关键，是根底题A 点，两个观察所分别位于C ，D 两点，ACD ∆为等边三角形，且DC =，当目的出如今B 点〔A ，B 两点位于CD 两侧〕时，测得45CDB ∠=︒，75BCD ∠=︒，那么炮兵阵地与目的的间隔约为〔〕 A.1.1km B.2.2kmC.2.9kmD.3.5km【答案】C 【解析】 【分析】由三角形内角和定理得出∠CBD ＝60°，在△BCD 中，由正弦定理得出BD ，再在△ABD 中利用余弦定理解出AB 即可． 【详解】如下列图：∠CBD ＝180°﹣∠CDB ﹣∠BCD ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，在△BCDsin 75BD ︒=故BD=2sin 75 在△ABD 中，∠ADB ＝45°+60°＝105°， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos105° ∴5232.9km ．故炮兵阵地与目的的间隔为2.9km 应选：C【点睛】此题考察解三角形的实际应用，考察正余弦定理的灵敏运用，准确运算是关键，是中档题P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，那么异面直线PA 与BE 所成角为〔〕A.90B.60C.45D.30【答案】C 【解析】 试题分析：连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，.因为E 为PC 中点，所以OE PA ，所以OEB∠即为异面直线PA与BE 所成的角．因为四棱锥CDP -AB 为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥平面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，因为2PA =，所以11OA OB OE===，．所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即面直线PA 与BE 所成的角为45应选C ．考点：直线与平面所成的角，异面直线所成的角【名师点睛】此题考察异面直线所成角，直线与平面所成的角，考察线面垂直，比较根底连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，OP ，先证明∠PAO 即为PA 与面ABCD 所成的角，即可得出结论．1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，以下结论中，正确结论的序号是____〔把所有正确结论序号都填上〕. ①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②11B D ∥平面EFG ； ③1BD ⊥平面1ACB ；④二面角1D AC D --；⑤四面体11ACB D 的体积等于312a .A.①④B.①③C.③④D.③⑤【答案】B 【解析】 【分析】 逐项分析即可【详解】对①，截面为如下列图的正六边形，故正确；对②11B D 与平面1ACB 相交，故错误；对③，由题1BD ⊥,AC 又1AB ⊥面11A D B ，故1BD ⊥1AB ，所以1BD ⊥平面1ACB ，正确；对④，取AC 中点O,连接11,,,,D O DO D OAC DO AC ⊥⊥故1D OD ∠为二面角的平面角，又112,,tan 22D D a DO D OD ==∴∠=，故错误 对⑤，四面体11ACB D 的体积V=1111111123314323A AB DC CBD D CAD B CAB a a V V V V V a a 正方体--------=-⨯⨯=，故错误应选：B【点睛】此题考察空间几何体的性质，线面平行与垂直的断定，考察推理与计算才能，是中档题{}n a 满足：12a =，111n na a+=-，记数列{}n a 的前n 项之积为n P .，那么2021P =〔〕A.12-B.12C.1D.-1【答案】D 【解析】根据递推公式，考虑数列的周期性，通过详细计算前几项，发现周期性并利用．【详解】12a =，111n na a +=-,得2341,1,22a a a ==-= 数列的项开场重复出现，呈现周期性，周期为3． 且31P =-，2021＝3×673+2，所以2021P =〔﹣1〕673121a a ⨯=-应选：D ．【点睛】此题考察数列的递推公式，数列的函数性质﹣﹣周期性．发现周期性并利用是此题的关键． 二.填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，请将最简答案填写上在答题卡相应位置上〕ABD 中，60A ∠=︒，3AB =，2AD =，那么sin ABD ∠=______【答案】7【解析】 【分析】由余弦定理可得BD 的值，由正弦定理可得sin∠ABD 的值．【详解】由余弦定理可得：BD ==∴由正弦定理可得：sin∠ABD AD sin DAB BD ⋅∠==【点睛】此题主要考察了余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，属于根底题．{}n a 的前n 项2nSn n =+，假设(5)n n b n a =-，那么n b 的最小值为______【解析】 【分析】先由2n S n n =+求得n a ，再利用二次函数求n b 的最小值【详解】当12,2n n n n a S S n -≥=-=，当n=1,12a =满足上式，故n a =2n,(5)n n b n a =-=()25n n -,对称轴为n=52,故n=2或者3时，n b 最小值为-12故答案为-12【点睛】此题考察由n S 求数列通项，考察数列最值，考察计算才能，是根底题，注意n 为正整数，是易错题P 的线段PA ，PB ，PC 两两垂直，P 在平面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于H ，那么垂足H 是三角形ABC 的__心【答案】垂直 【解析】 【分析】根据PA ，PB ，PC 两两垂直得线面垂直，最后由线面垂直可证明线线垂直，得垂足H 是△ABC 的垂心．从而选出答案．【详解】∵PH ⊥平面ABC 于H ， ∴PH ⊥BC ， 又PA ⊥平面PBC ， ∴PA ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PAH ，∴BC ⊥AH ，即AH 是三角形ABC 的高线， 同理，BH 、CH 也是三角形ABC 的高线，∴垂足H 是△ABC 的垂心．故答案为垂【点睛】此题主要考察了三角形五心，以及空间几何体的概念、空间想象力，线面垂直的判断，属于根底题．P ABC -，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，那么它的外接球的外表积为______. 【答案】412π 【解析】【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,4,3，那么长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径，即可求出三棱锥P ﹣ABC 外接球的外表积．【详解】∵三棱锥P ﹣ABC 中，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，4，3，那么长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径．设长方体的棱长分别为x ，y ，z ，那么x 2+y 2＝16，y 2+z 2＝16，x 2+z 2＝9，∴x 2+y 2+z 2＝412∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径为2R== ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的外表积为24142R ． 故答案为：412π． 【点睛】此题考察球内接多面体，考察学生的计算才能，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．二、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.〕 1111ABCD A B C D -.〔1〕假设1AD AA =，求异面直线1BD 和1B C 所成角的大小；〔2〕假设三个相邻侧面的对角线长分别为1，求外接球的外表积. 【答案】〔1〕2π；〔2〕3π 【解析】【分析】〔1〕连接1BC 证明1B C ⊥面11BD C 即可求解〔2〕利用长方体外接球心在体对角线中点求解即可【详解】〔1〕连接1BC ，因为1AD AA =，那么1B C ⊥1BC ，又11C D ⊥面11BCC B 故11C D ⊥1B C ，又1111C D BC C ⋂=，故1B C ⊥面11BD C ，所以1B C ⊥1BD∴异面直线1BD 和1B C 所成角的大小为2π； 〔2〕设长方体的棱长分别为a,b,c,那么222222123a b c b a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩那么2223a b c ++=，那么2R=，那么外接球的外表积为243R ππ=【点睛】此题考察异面直线的夹角，线面垂直的断定，长方体的外接球，考察空间想象才能，是根底题 〔1〕解关于x 的不等式()42f x a ≤-；〔2〕假设对任意的[1,4]x ∈，()10f x a ++≥恒成立，务实数a 的取值范围. 【答案】〔Ⅰ〕答案不唯一，详细见解析.〔Ⅱ〕4a ≤【解析】【分析】〔Ⅰ〕将原不等式化为()20x a x （）--≤，分类讨论可得不等式的解.〔Ⅱ〕假设1x =那么a R ∈；假设(]1,4x ∈，那么参变别离后可得411a x x ≤-+-在(]1,4恒成立，利用根本不等式可求411x x -+-的最小值，从而可得a 的取值范围. 【详解】〔Ⅰ〕()24f x a ≤-+即()2220x a x a -++≤，∴()20x a x （）--≤，〔ⅰ〕当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤；〔ⅱ〕当2a=时，不等式解集为{}2x x =； 〔ⅲ〕当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤，综上所述，〔ⅰ〕当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤； 〔ⅱ〕当2a=时，不等式解集为{}2； 〔ⅲ〕当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤.〔Ⅱ〕对任意的[]()1410x f x a ，，∈++≥恒成立，即()2250x a x a -+++≥恒成立，即对任意的[]1,4x ∈，()2125a x x x -≤-+恒成立.①1x =时，不等式为04≤恒成立，此时a R ∈；②当](1,4x ∈时，2254111x x a x x x -+≤=-+--，14x <≤，∴013x <-≤，∴4141x x -+≥=-， 当且仅当411x x -=-时，即12x -=，3x =时取“=〞,4a ∴≤. 综上4a ≤. 【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变别离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或者根本不等式来求.ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3cos 22cos 2A A +=. 〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设1a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围.【答案】〔1〕3A π=；〔2〕(2,3]l ∈【解析】【分析】〔1〕运用二倍角公式以及特殊角的三角函数值，即可得到A ；〔2〕运用正弦定理，求得b ，c ，再由两角差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到范围．【详解】〔1〕根据二倍角公式及题意得212cos 2cos 2A A +=，即24cos 4cos 10A A -+=， ∴2(2cos 1)0A -=，.∴1cos 2A =.又∵0A π<<，∴3A π=. 〔2〕根据正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==，得b B =，c C =. ∴11sin )l b c B C =++=++，∵3A π=，∴23B C π+=， ∴21sin sin3l B B π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦12sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∵203B π<<，∴5666B πππ<+<， ∴1sin 126B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，∴(2,3]l ∈. 【点睛】此题考察三角函数的化简和求值，考察正弦定理和二倍角公式及两角和差的正弦公式，考察正弦函数的图象和性质，考察运算才能，属于中档题．20.如图，ABC ∆1AE =，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，BD CD =，且BD CD ⊥.〔1〕求证：AE 平面BCD ；〔2〕求证：平面BDE ⊥平面CDE .【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕取BC 的中点M ，连接DM ，由平面BCD ⊥平面ABC ，得DM ⊥平面ABC ，再证AE DM 即可证明〔2〕证明CD ⊥平面BDE ，再根据面面垂直的断定定理从而进展证明．【详解】〔1〕取BC 的中点M ，连接DM ，因为BD CD =，且BD CD ⊥，2BC=. 所以1DM=，DM BC ⊥.又因为平面BCD ⊥平面ABC ， 所以DM⊥平面ABC ，又AE ⊥平面ABC ，所以AE DM 又因为AE ⊄平面BCD ，DM ⊂平面BCD ，所以AE平面BCD . 〔2〕连接AM ，由〔1〕知AE DM ， 又1AE =，1DM =，所以四边形DMAE 是平行四边形，所以DE AM .又ABC ∆是正三角形，M 为BC 的中点，∴AM BC ⊥， 因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以AM ⊥平面BCD ，所以DE ⊥平面BCD .又CD ⊂平面BCD ，所以DE CD ⊥.因为BD CD ⊥，BD DE D ⋂=，所以CD⊥平面BDE . 因为CD ⊂平面CDE ，所以平面BDE ⊥平面CDE .【点睛】此题考察了线面平行的证明，线面垂直，面面垂直的断定定理，考察空间想象和推理才能，熟记定理是关键，是一道中档题．{}n a 的前项n 和为n S ，假设对于任意的正整数n 都有23n n S a n =-.〔1〕求数列{}n a 的通项公式.〔2〕求数列13n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】〔1〕323n na =⋅-；〔2〕1(1)(1)222n n n n S n ++=-⋅+- 【解析】【分析】〔1〕利用a n +1＝S n +1﹣S n 即可得到a n +1＝2a n +3，转化为a n +1+3＝2〔a n +3〕，利用等比数列的通项公式即可得出其通项；〔2〕由123n n na n n =⋅-，利用错位相减法求{}2n n ⋅的和即可求解 【详解】〔1〕∵23nn S a n =-，∴1123(1)n n S a n ++=-+ 两式相减，得1123(1)23n nn n S S a n a n ++-=-+-+ ∴11223n n n a a a ++=--，即123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+， 即1323n n a a ++=+1123S a =-即1123a a =-，∴13a = ∴首项136a +=，公比2q .∴1623323n n n a -=⋅-=⋅- 〔2〕∵123n n na n n =⋅-， ∴()231222322(123)n n S n n =⋅+⋅+⋅++⋅-++++，()2341212223222(123)n n S n n +=⋅+⋅+⋅++⋅-++++， ()23122222(123)n n n S n n +-=++++-⋅+++++， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=-⋅+-. 【点睛】此题综合考察了递推关系求等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法〞、“分组求和〞、等差数列求和，准确计算是关键，属于中档题．22.如图，四边形ABCD 是正方形，PAB ∆与PAD ∆均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点.〔1〕求证：AF EF ⊥： 〔2〕在平面AEF 中，是否总存在与平面PAD 平行的直线？假设存在，请作出图形并说明：假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕证明AF ⊥平面PBC 即可证明〔2〕取AB ，CD 的中点G ，H ，连接FG ，GH ，FH ，得平面FGH平面PAD ，由线面平行的性质定理可求 【详解】〔1〕证明：∵F 是PB 的中点，且PA AB =，∴AF PB ⊥. ∵PAB ∆与PAD ∆均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴PA AD ⊥，PA AB ⊥. ∵AD AB A =，AD ⊂平面ABCD ，AB 平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD∵BC⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥.∵四边形ABCD 是正方形， ∴BCAB ⊥.∵PA AB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB .∵AF ⊂平面PAB ，∴BC AF ⊥. ∵PB BCB ⋂=，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AF ⊥平面PBC . ∵EF ⊂平面PBC ，.∴AF EF ⊥.AB ，CD 的中点G ，H ，连接FG ，GH ，FH ，那么平面FGH平面PAD 设AE GH M ⋂=，连接MF ，因为平面FGH 平面PAD ，那么PD ∥平面FGH ，那么PD MF那么直线MF 即为所求直线.【点睛】此题考察线面垂直的断定定理及性质，面面平行的断定及性质定理，熟记定理，准确推理是关键，是根底题。
2022-2023学年江苏省扬州市高一下学期5月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省扬州市高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．若复数12iz i+=(i 为虚数单位)，则z =（）.A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】D【分析】根据题意先求出z ，然后再求出模.【详解】因为12i z i +=，化简得()212122i i i z i i i ++===-，故2z i =+，所以22215z =+=故选：D2．设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题正确的是（）A ．若m n ∥，n ⊂α，则m α∥B ．若m α∥，n β∥，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，n β∥，则m n ⊥D ．若αβ⊥，m αβ= ，n m ⊥，则n α⊥【答案】C【分析】利用直线、平面的位置关系进行判断以及通过举反例进行排除.【详解】对于A ，若m n ∥，n ⊂α，则m α∥或m α⊂，故A 错误；对于B ，若m α∥，n β∥，m n ∥，则αβ∥或,αβ相交，故B 错误；对于C ，利用线面垂直的性质定理以及平行的传递性，可知C 正确；对于D ，若αβ⊥，m αβ= ，n m ⊥，当n β⊄，n 不一定垂直于α，故D 错误.故选：C.3．在ABC 中，若3AB =，4BC =，30C = ，则此三角形解的情况是（）A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定【答案】B【分析】由sin BC C AB BC <<，根据作圆法结论可得结果.【详解】sin 4sin 302BC C == ，sin BC C AB BC ∴<<，ABC ∴ 有两解.故选：B.4．设平面向量a ，b 满足12a = ，()2,5b = ，18a b ⋅= ，则b 在a 上投影向量的模为（）.A ．32B ．332C ．3D ．6【答案】A【分析】表示出b 在a上投影向量，结合已知条件12a = 即可求得答案.【详解】由题意可知：b 在a 上投影向量为18||||a b a a a a ⋅⋅=，故b 在a 上投影向量的模为113||12882a =⨯= ，故选：A5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为23的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）A ．16B ．163C ．183D ．21【答案】D【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解.【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，故()1122113363123232133222V S S S S h ⎛⎫=++=⨯++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D6．已知()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，则tan θ=（）A ．3-B ．33-C ．33D ．3【答案】A【分析】利用和差角公式展开，得到2cos 40cos cos80cos sin 80sin 0θθθ︒+︒+︒=，即可得到2cos 40cos80tan sin 80θ︒+︒=-︒，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，所以cos 40cos sin 40sin cos 40cos sin 40sin cos80cos sin80sin 0θθθθθθ︒+︒+︒-︒+︒+︒=，所以2cos 40cos cos80cos sin 80sin 0θθθ︒+︒+︒=，所以2cos 40cos80sin 80tan 0θ︒+︒+︒=，所以2cos 40cos80tan sin 80θ︒+︒=-︒()2cos 12080cos80sin 80︒-︒+︒=-︒()2cos120cos80sin120sin 80cos803sin 803sin 80sin 80︒︒+︒︒+︒︒=-=-=-︒︒.故选：A ．7．已知四边形ABCD 中，,1,32BDAC BD AB BC AC CD ⊥=====，点E 在四边形ABCD 的边上运动，则EB ED ⋅的最小值是（）A ．34B ．14-C ．34-D ．-1【答案】C【分析】由题意分析可知四边形ABCD 关于直线BD 对称，且BC CD ⊥，只需考虑点E 在边,BC CD上的运动情况即可，然后分类讨论,求出EB ED ⋅最小值.【详解】如图所示，因为AC BD ⊥，且AB BC =，所以BD 垂直且平分AC ，则ACD 为等腰三角形，又3AC CD ==，所以ACD 为等边三角形,则四边形ABCD 关于直线BD 对称，故点E 在四边形ABCD 上运动时，只需考虑点E 在边,BC CD 上的运动情况即可，因为12BDAB BC ===，3CD =，知222BC CD BD +=，即BC CD ⊥，则0CB CD ⋅=，①当点E 在边BC 上运动时，设(01)EB CB λλ=≤≤ ，则(1)EC CB λ=-，则22()(1)(1)(1)EB ED EB EC CD CB CB CB λλλλλλλλ⋅=⋅+=⋅-=-=-=- ,当12λ=时，EB ED ⋅ 最小值为1–4；②当点E 在边CD 上运动时，设(01)ED kCD k =≤≤ ,则(1)EC k CD =- ,则2()(1)EB ED EC CB ED EC ED CB ED k k CD kCD CB⋅=+⋅=⋅+⋅=-+⋅ 233k k =-，当12k =时，EB ED ⋅ 的最小值为34-；综上，EB ED ⋅ 的最小值为34-；故选：C ．【点睛】方法点睛：由题意可推得四边形ABCD 的几何性质，即要推出0CB CD ⋅=，然后要考虑E点位置，即要分类讨论，进而根据向量的线性运算表示出EB ED ⋅，结合二次函数性质即可求解.8．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos c b b A -=.若()sin cos 2A C B λ--<恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．(,22⎤-∞⎦B ．(),22-∞C ．53,3⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦D ．53,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式可得sin()sin A B B -=，推出2A B =，则π3C B =-,结合锐角三角形确定B 的范围，继而将不等式恒成立转化为12sin 2sin 2B Bλ<+恒成立，结合对勾函数的单调性，即可求得答案.【详解】由2cos c b b A -=可得sin sin 2sin cos C B B A -=，结合sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,可得sin cos sin sin cos A B B B A -=，即sin()sin A B B -=，由于在锐角ABC 中，ππ22A B -<-<，故,2A B B A B -=∴=，则ππ3C A B B =--=-,则ππππ2(0,),π3(0,),(,)2264A B C B B =∈=-∈∴∈,又sin 0A >，所以()sin cos 2A C B λ--<恒成立，即2cos()2cos 4sin sin 2C B BA Bλ+--<=恒成立，即212sin 212sin 2sin 2sin 2B B B B λ+<=+恒成立，因为ππ(,)64B ∈，故3sin 2(,1)2B ∈，令3sin 2,(,1)2t B t =∈，则函数1()2g t t t =+在3(,1)2内单调递增，故3()g 53(23)g t >=，即12sin 25sin 233B B +>，故533λ≤，故选：C【点睛】方法点睛：（1）三角等式含有边角关系式时，一般利用正弦定理转化为角或边之间的关系进行化简；（2）不等式恒成立问题一般转化为函数单调性或最值问题解决；（3）一般要注意利用基本不等式或者函数单调性比如对勾函数的单调性，求解函数最值或范围.二、多选题9．下面是关于复数202321i z =--（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（）A ．z 的虚部为i-B ．z 在复平面内对应的点在第二象限C ．z 的共轭复数为1i-+D ．若01z z -=，则0z 的最大值是21+【答案】CD【分析】利用复数的四则运算化简复数z ，利用复数的概念可判断A 选项；利用复数的几何意义可判断B 选项；利用共轭复数的定义可判断C 选项；利用复数模的三角不等式可判断D 选项.【详解】因为2023450533i i i i ⨯+===-，则()()()202321i 221i 1i 1i 1i 1i z --====-----+-+--.对于A 选项，z 的虚部为1-，A 错；对于B 选项，复数z 在复平面内对应的点在第三象限，B 错；对于C 选项，z 的共轭复数为1i -+，C 对；对于D 选项，因为01z z -=，()()22112z =-+-=，由复数模的三角不等式可得00012z z z z z z z =-+≤-+=+，当且仅当022i 22z z -=--时，等号成立，即0z 的最大值是21+，D 对.故选：CD.10．关于函数()23sin cos 3sin 1,R f x x x x x =-+∈,下列说法正确的有（）A ．()f x 的最大值为132-，最小值为132--B ．()f x 的单调递增区间为5πππ,π,Z1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 的对称中心为ππ1,,Z622k k ⎛⎫-+-∈ ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】根据三角函数恒等变换化简()f x ，结合正弦函数的性质可求得()f x D..D..A ；同理结合正弦函数的单调性、周期以及对称中心可判断B ，C ，D..【详解】由题意得()()231cos233sin cos 3sin 1sin2122x f x x x x x -=-+=-+331π1sin2cos23sin 222232x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，则()f x 最大值为132-，最小值为132--，A 正确；令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，即5ππππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈，故()f x 单调递增区间为5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，B 正确；()f x 的最小正周期为2ππ2=，C 错误；令πππ2π,Z,,Z 326k x k k x k +=∈∴=-∈，故()f x 的对称中心为ππ1,,Z 622k k ⎛⎫-+-∈ ⎪⎝⎭，D 正确，故选：ABD.11．如图，已知O 的内接四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==，下列说法正确的是（）A ．四边形ABCD 的面积为73B ．该外接圆的半径为2213C ．4BO CD ⋅=-D ．过D 作DF BC ⊥交BC 于F 点，则10DO DF ⋅=【答案】BCD【分析】A 选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出1cos 7D =-，1cos 7B =，进而求出sin ,sin B D ，利用面积公式进行求解；B 选项，在A 选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D 选项，结合A 选项和C 选项中的结论，先求出∠DOF 的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.【详解】对于A ，连接AC ，在ACD 中，21616cos 32AC D +-=，2436cos 24AC B +-=，由于πB D +=，所以cos cos 0B D +=，故22324003224AC AC --+=，解得22567AC =，所以1cos 7D =-，1cos 7B =，所以143sin sin 1497B D ==-=，故1143243sin 262277ABC S AB BC B =⋅=⨯⨯⨯=，1143323sin 442277ADC S AD DC D =⋅=⨯⨯⨯=，故四边形ABCD 的面积为2433238377+=，故A错误；对于B ，设外接圆半径为R ，则25642172sin 3437AC R B ===，故该外接圆的直径为4213，半径为2213，故B 正确；对于C ，连接BD ，过点O 作OG ⊥CD 于点F ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，则由垂径定理得：122CG CD ==，由于πA C +=，所以cos cos 0A C +=，即22416163601648BD BD +-+-+=，解得27BD =，所以1cos 2C =，所以π3C =，且1cos 632CE BC C =⋅=⨯=，所以321EF =-= ，即BO 在向量CD 上的投影长为1，且EG 与CD反向，故4BO CD EG CD ⋅=-⋅=-，故C 正确；对于D ，由C 选项可知：π3C =，故3sin 604232DF CD =⋅︒=⨯= ，且30CDF ∠=︒，因为AD CD =，由对称性可知：DO 为∠ADC 的平分线，故1302ODF ADC ∠=∠-︒，由A 选项可知：1cos 7ADC ∠=-，显然12ADC ∠为锐角，故11cos 21cos 227ADC ADC +∠∠==，1327sin 1277ADC ∠=-=，所以1cos cos 302ODF ADC ⎛⎫∠=∠-︒ ⎪⎝⎭1157cos cos 30sin sin 302214ADC ADC =∠⋅︒+∠⋅︒=，所以22157cos 2334101DO DF DO ODF DF ∠=⨯⨯=⋅=⋅ ，故D 正确.故选：BCD12．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，沿AE ､AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B ､C ､D 三点重合于点S ，得到四面体S AEF -（如图2）.下列结论正确的是（）A ．平面AEF ⊥平面SAFB ．四面体S AEF -的体积为13C ．二面角A EF S --正切值为2D ．顶点S 在底面AEF 上的射影为AEF △的垂心【答案】BD【分析】（１）作辅助线，证SNO ∠为平面SAF 与平面AEF 的二面角的平面角，显然SNO ∠为锐角，从而判断A 选项．（２）先证SO ⊥平面AEF ，从而得到锥体的高，计算出所需长度，算出体积即可．（３）证SMA ∠为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角，计算SMA ∠的正切值．（４）先证O 为S 在平面AEF 上的射影，由于AM EF ⊥，只需证OE AF ⊥，OF AE ⊥即可．【详解】如图，作EF 的中点M ，连结AM 、SM ，过S 作AM 的垂线交AM 于点O ，连结SO ，过O 作AF 的垂线交AF 于点N ，连结SN由题知AE =AF =5，所以AM EF ⊥，SE =SF =1，所以SM EF ⊥，SMA ∴∠为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角又SM AM M ⋂=EF ∴⊥平面ASM ，SO ⊂平面ASM ，EF ∴⊥SO ，作法知SO AM ^，AM EF M = ，SO ∴⊥平面AEF ，所以SO 为锥体的高．所以O 为S 在平面AEF 上的射影.AF ⊂平面AEF ，所以SO AF ⊥，由作法知ON AF ⊥，SO NO O⋂=AF ∴⊥平面SON ，SN ⊂平面SON ，SN AF∴⊥SNO ∴∠为平面SAF 与平面AEF 的二面角的平面角，显然SNO ∠为锐角，故A 错．由题知AS SE AS SF AS SEF SE SF S ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭平面，SM SEF ⊂平面，AS SM∴⊥又AS ＝２，1222EM EF ==，SE ＝１，2223222SM AM AE EM ∴==-=，22223322AS SM SO AM ⨯⨯===，四面体S −AEF 的体积为1132133233AEFV S SO =⨯=⨯⨯= ，故B 正确．在直角三角形ASM 中：2tan 2222AS SMA SM ∠===故C 不正确．因为2226OM SM SO =-=，423AO AM OM =-=，2253OE OM EM =+=所以2224cos 25OE OF EF EOF OE OF +-∠==-⋅，22210cos 210OE OA AE EOA OE OA +-∠==-⋅()cos cos OE AF OE OF OA OE OF EOF OE OA EOA⋅=⋅-=∠-∠554542103353310⎛⎫⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭44099=-+=OE AF ∴⊥，由对称性知OF AE ⊥，又AM EF⊥故D 正确．故选：BD ．三、填空题13．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为π3，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为．【答案】6π【分析】根据扇形弧长与底面半径关系得π2π13l =⨯，解出弧长，最后利用侧面积公式即可.【详解】设圆锥的母线为l ,则π2π13l =⨯,所以6l =,则圆锥的侧面积为π6πrl =.故答案为：6π.14．已知tan 2θ=，则1sin 2cos 2θθ+的值是．【答案】5【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化简，在将tan 2θ=代入即可.【详解】因为tan 2θ=，所以2211sin 2cos 22sin cos cos sin θθθθθθ=++-2222cos sin 2sin cos cos sin θθθθθθ+=+-221tan 2tan 1tan θθθ+=+-221252212+==⨯+-，故答案为：5.15．已知函数()21,02log ,2x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨⎪≥⎩，且关于x 的方程()f x t =有且仅有一个实数根，那实数t 的取值范围为．【答案】[)1,2【分析】利用数形结合的方法，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，观察图象即可得到结果.【详解】作出()y f x =的图象，如下图所示：∵关于x 的方程()f x t =有且仅有一个实数根，∴函数()y f x =的图象与y t =有且只有一个交点，由图可知12t ≤<，则实数t 的取值范围是[)1,2.故答案为：[)1,2.四、双空题16．已知锐角ABC 的内角A B C 、、所对的边分别a b c 、、，角π=3A ．若AM 是CAB ∠的平分线，交BC 于M ，且=2AM ，则+3AC AB 的最小值为；若ABC 的外接圆的圆心是O ，半径是1，则()OA AB AC ⋅+ 的取值范围是．【答案】8343+53,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.【分析】(1)由已知利用ABC CAM BAM S S S =+△△△，可得1132b c +=，然后利用“1”的代换，基本不等式即可得出结果.(2)根据锐角三角形的角度范围，表示出()OA AB AC ⋅+ π=cos 223B ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，进而得出结果.【详解】(1)由AM 是CAB ∠的平分线，得=30CAM BAM ∠=∠︒，又ABC CAM BAM S S S =+Q △△△，即1π1π1πsin 2sin 2sin 232626bc b c =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，化简得1132b c +=，()211233=+33433c b AC AB b c b c b c b c ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23834+2+433c b b c ⎛⎫≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当3c b b c =，即22333c =+，2323b =+时，取等号．(2)π2π=33A B C +=，Q ，∴()()2=22OA AB AC OA OB OC OA OA OB OA OC OA ⋅+⋅+-=⋅+⋅-uur uuu r uuu r uur uuu r uuu r uur uur uuu r uur uuu r uur =cos cos 2=cos 2cos 22AOB AOC C B ∠+∠-+-2π=cos 2cos 223B B ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭13=cos 2sin 2222B B --π=cos 223B ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，ABC 是锐角三角形，π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，2π4π,2+62333πππB B ∴<<<<π11cos 232B ⎛⎫∴-≤+<- ⎪⎝⎭，()532OA AB AC ⎡⎫∴⋅+∈--⎪⎢⎣⎭,uur uuu r uuu r ．故答案为：8343+；53,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.五、解答题17．已知复数2121im z =-，()()22i 312i z m =+-+，R m ∈，i 为虚数单位．(1)若12z z +是纯虚数，求实数m 的值；(2)若120z z +>，求12z z ⋅的值．【答案】(1)1m =(2)2012i-【分析】（1）根据复数的运算法则求出12z z +，根据复数的概念列式可求出m ；（2）根据120z z +>求出2m =，再根据复数的乘法法则求出结果即可.【详解】（1）22212(1i)i (1i)(1i)m z m m +==+⋅-+，()2236i z m m =-+-⋅，所以()2212236i z z m m m m +=+-++-，因为12z z +是纯虚数，所以2223060m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩，得1m =.（2）由（1）知，()2212236i z z m m m m +=+-++-，因为120z z +>，所以2223060m m m m ⎧+->⎨+-=⎩，得2m =，所以144i z =+，214i z =-，所以12(44i)(14i)z z ⋅=+-2012i =-.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AC ，11AC 的中点，5AB BC ==，12AC AA ==．(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求点D 到平面ABE 的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)63【分析】（1）通过证明AC DB ⊥，AC DE ⊥，得证AC ⊥平面BDE ．（2）由D ABE E ABD V V --=，利用体积法求点D 到平面ABE 的距离．【详解】（1）证明：∵AB BC =，D ，E 分别为AC ，11AC 的中点，∴AC DB ⊥，且1//DE AA ，又1AA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴AC DE ⊥，又AC DB ⊥，且DE DB D ⋂=，,DE DB ⊂平面BDE ，∴AC ⊥平面BDE ．（2）∵AC DB ⊥，5AB =，22AC AD ==，∴222AB BD AD -==，∴2222BE DE BD =+=，225AE DE AD =+=，11212ABD S =⨯⨯=△．在ABE 中，5AB AE ==，22BE =，∴BE 边上的高为()()22523-=．∴122362ABE S =⨯⨯=△．设点D 到平面ABE 的距离为d ，根据D ABE E ABD V V --=，得1161233d ⨯⨯=⨯⨯，解得63d =，所以点D 到平面ABE 的距离为63．19．在ABC 中，2CA =，3AB =，2π3BAC ∠=，D 为BC 的三等分点（靠近C 点）．(1)求AD BC ⋅ 的值；(2)若点P 满足CP CA λ= ，求PB PC ⋅ 的最小值，并求此时的λ．【答案】(1)23(2)4916-【分析】（1）将AD BC ⋅ 化为AB 和AC 表示，利用AB 和AC 的长度和夹角计算可得结果；（2）用AB 、AC 表示PB PC ⋅ ，求出PB PC ⋅ 关于λ的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果.【详解】（1）因为D 为BC 的三等分点（靠近C 点），所以11()33CD CB AB AC ==- ，所以1133AD AC CD AC AB AC =+=+- 1233AB AC =+ ，所以AD BC ⋅ 12()()33AB AC AC AB =+⋅- 22121||||333AB AC AB AC =-+-⋅ 1212π9432cos 3333=-⨯+⨯-⨯⨯⨯23=.（2）因为CP CA λ= ，所以PC AC λ= ，因为PB PC CB PC AB AC =+=+- (1)AB AC λ=+- ，所以PB PC ⋅ (1)AB AC AC λλ⎡⎤=+-⋅⎣⎦2(1)||AB AC AC λλλ=⋅+- 22π||||cos (1)||3AB AC AC λλλ=+- 34(1)λλλ=-+-247λλ=-27494()816λ=--，所以当78λ=时，PB PC ⋅ 取得最小值4916-.20．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 1sin tan A A B=+.(1)若A B =，求C ；(2)求sin sin 2cos a B b A b B+的取值范围.【答案】(1)2π3C =(2)()0,1【分析】（1）先由题给条件求得A B =π6=，进而求得2π3C =；（2）先利用正弦定理和题给条件求得π22A B =-和π04B <<，再构造函数122,12y t t t =-<<，求得此函数值域即为sin sin 2cos a B b A b B+的取值范围【详解】（1）由A B =，cos 1sin tan A A B=+可得cos 1sin tan A A A=+，则()2cos 1sin sin A A A =+整理得22sin sin 10A A +-=，解之得1sin 2A =或sin 1=-A 又π02A <<，则π6A =，则π6B =，则2π3C =（2）A ，B 为ABC 的内角，则1sin 0A +>则由cos 1sin tan A AB =+，可得cos 0tan A B>，则A B 、均为锐角222cos sin 1tan cos π222tan tan 1sin 42(sin cos )1tan 222A A A A AB A A A A --⎛⎫====- ⎪+⎝⎭++又πππ0,02424A B <<<-<，则π42A B =-，π04B <<则π22A B =-，则πsin sin 2cos 22A B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭则2sin sin 2sin 2cos 22cos 112cos 2cos 2cos 2cos cos cos a B b A b A b B B B b B b B b B B B+-====-令cos t B =π04B ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则212t <<又1()2f t t t =-在2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，2()02f =，(1)1f =可得1021t t <-<，则12cos cos B B-的取值范围为()0,1，则sin sin 2cos a B b A b B+的取值范围为()0,121．如图所示，在平行四边形ABCD 中，283AB BC ==，π3DAB ∠=，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻折为A DE ' ，若F 为线段A C '的中点．在ADE V 翻折过程中，(1)求证：//BF 平面A DE ¢；(2)若二面角60A DE C '--=︒，求A C '与面A ED '所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)31010【分析】（1）取CD 的中点G ，通过证平面//A DE '平面BFG ，可得//BF 面A DE '.（2）利用二面角的平面角的定义先找出二面角A DE C '--的平面角即为A OG ∠'，再利用面面垂直的性质定理找到平面A DE '的垂线，从而作出A C '与面A ED '所成的角，计算可得答案.【详解】（1）证明：取CD 的中点G ，连接FG BG ，，F 为线段A C '的中点，//GF A D ∴'，FG ⊄ 平面A DE '，A D '⊂平面A DE '，//GF ∴平面A DE '，又//DG BE ，DG BE =，∴四边形BEDG 为平行四边形，则//.BG DE BG ⊄平面A DE '，DE ⊂平面A DE '，可得//BG 平面A DE '，又BG GF G = ，BG ，GF ⊂平面BFG ，可得平面//A DE '平面BFG ，BF ⊂平面BFG ，则//BF 面A DE '.（2）取DC 中点G ，DE 中点O ，连接OG ，A O '，A G '，由283AB BC ==，3DAB π∠=，E 为边AB 的中点，得43AE AD ==，所以ADE V 为等边三角形，从而43DE =，60EDC ︒∠=，又43DG =，O 为DE 的中点所以OG DE ⊥，又A DE '是等边三角形，所以A O DE '⊥，所以A OG ∠'为二面角A DE C '--的平面角，所以60A OG ︒∠'=，过点E 作//EM OA '，过A '作//A M OE '交于M ，连接CM ，A DE ' △是等边三角形，所以可求得6A O '=，23OE =，所以6EM =，23A M '=，DE A O ⊥' ，DE OG ⊥，//OG CE ，//EM A O '，所以DE EM ⊥，DE EC ⊥，又EC EM E = ，EC ，EM ⊂面EMC ，所以DE ⊥面EMC ，又//A M DE '，所以A M '⊥面EMC ，A M '⊂ 平面A DE '，所以面A DE '⊥面EMC ，由6ME =，在CBE △中易求得12CE =，又60MEC A OG ︒∠=∠'=，所以MC EM ⊥，63MC =，面A DE ' 面EMC EM =，MC ⊂面EMC ，所以MC ⊥面A DE '，所以MA C ∠'为A C '与平面A DE '所成的角，在Rt A MC ' 中可求得230A C '=，所以63310sin 10230MA C ∠'==，A C ∴'与面A ED '所成角的正弦值为310.1022．已知向量()3cos ,cos a x x ωω=- ，()()sin ,cos 0b x x =< ωωω，若函数()12f x a b =⋅+r r 的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递增区间：(2)若关于x 的方程25π2π5ππ22330123126a f x f x f x f x a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦有实数解，求a 的取值范围.【答案】(1)()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (2)1a ≥或372a +≤-【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出函数的周期，得到ω，然后求解函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数()f x 的单调递增区间；（2）化简方程为：()()22sin2cos22sin2cos2330a x x x x a +---+=，令[]π2sin 21,14t x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，原方程化为()2222330a t t a ---+=，整理22230at t a +--=，等价于22230at t a +--=在[]1,1-有解，利用参变量分离法可知212132t a t -=-在[]1,1-上有解，利用双勾函数的单调性可求得实数a 取值范围.【详解】（1）解：因为()3cos ,cos a x x ωω=- ，()()sin ,cos 0b x x =< ωωω，()21131π3sin cos cos sin 2cos 2sin 222226f x a b x x x x x x ⎛⎫=⋅+=-+=-=- ⎪⎝⎭ωωωωωω，因为0ω<且函数()f x 的最小正周期为π，则2πππ2T ===-ωω，解得1ω=-，所以，()ππsin 2sin 266f x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()ππ3π2π22π262k x k k +≤+≤+∈Z 可得()π2πππ63k x k k +≤≤+∈Z ，所以，函数()f x 的单调递增区间为()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）解：()5π5ππsin 2sin 2πsin 212126f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2π2ππ3πsin 2sin 2cos 23362f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππππsin 2sin 2cos 26662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，方程25π2π5ππ22330123126a f x f x f x f x a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即方程()()22sin2cos22sin2cos2330a x x x x a +---+=，因为π04x ≤≤，则πππ2444x -≤-≤，设[]πsin 2cos 22sin 21,14t x x x ⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭，()()22sin 2cos 2sin 2cos 22x x x x ++-= ，()22sin 2cos 22x x t ∴+=-，原方程化为()2222330a t t a ---+=，整理22230at t a +--=，方程等价于在22230at t a +--=在[]1,1-有解，设()2223g t at t a =+--，当0a =时，方程为230t -=得[]31,12t =∉-，故0a ≠；当0a ≠时，()221230a t t -+-=在[]1,1-上有解212132t a t -⇔=-在[]1,1-上有解，问题转化为求函数()2211132t y x t-=-≤≤-上的值域，设32u t =-，则23t u =-，[]1,5u ∈，()232117622u y u u u --⎛⎫=⋅=+- ⎪⎝⎭，设()7h u u u =+，任取1u 、[]21,5u ∈且12u u <，则()()()1212121212171717766222h u h u u u u u u u u u ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()()12121212121277122u u u u u u u u u u u u ---⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦，当1217u u ≤<<时，120u u -<，1207u u <<，则()()12h u h u >，当1275u u <<≤时，120u u -<，127u u >，则()()12h u h u <，所以，函数()h u 在)1,7⎡⎣上单调递减，在(7,5⎤⎦上单调递增，所以，y 的取值范围是73,1⎡⎤-⎣⎦，212132t a t -⇔=-在[]1,1-上有实数解173,11a a ⎡⎤⇔∈-⇔≥⎣⎦或372a +≤-.。
重庆市2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题含答案
高2025届2022-2023学年（下）5月名校联考数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．复数()i 3i z =+在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量()1,1a =- ，()2,1b = ，()2,c λ= ．若()2c a b +∥，则λ=（）A ．12-B ．0C ．12D ．83．已知3sin 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，且α为第三象限角，则tan α=（）A ．B ．3C ．2D 4．金字塔一直被认为是古埃及的象征，然而，玛雅文明也有类似建筑，玛雅金字塔是仅次于埃及金字塔的著名建筑．玛雅金字塔由巨石堆成，其下方近似为正四棱台，顶端是祭神的神殿，其形状近似为正四棱柱．整座金字塔的高度为29m ，金字塔的塔基（正四棱台的下底面）的周长为220m ，塔台（正四棱台的上底面）的周长为52m ，神殿底面边长为9m ，高为6m ，则该玛雅金字塔的体积为（）A ．374920m3B ．30455m 3C ．37217m 3D ．45439.5m 35．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a x =，6c =，60A =︒，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围为（）A ．(⎤⎦B ．()C ．()3,6D ．()+∞6．已知一个正六棱锥的所有顶点都在一个球的表面上，六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，则球的表面积为（）A ．43πB ．83πC ．163πD ．4π7．若sin 2204πθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则tan tan 44ππθθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．－2B ．1C ．2D ．48．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知3B π=，8a =，cos cos 6b A a B +=，点O 是ABC △的外心，若BO xBA yBC =+，则x y +=（）A ．712B ．2336C ．2536D ．2936二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年四川省成都市高一下学期5月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年四川省成都市高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．已知第二象限角α的终边与单位圆交于3,5P m ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin2α=（）A ．1225-B ．2425-C ．1225D ．2425【答案】B【分析】由三角函数的定义可求出sin α，进而可求出cos α，sin2α.【详解】因为角α的终边与单位圆交于3,5P m ⎛⎫⎪⎝⎭，所以3sin 5α=，又角α是第二象限角，所以cos 0α<，所以24cos 1sin 5αα=--=-，所以24sin22sin cos 25ααα==-，故选：B.2．已知复数i3iz =-（i 是虚数单位）的共轭复数是z ，则z z -的虚部是（）A ．35iB ．35C ．25D ．25-【答案】B【分析】先根据复数除法运算化简z ，进而可得z ，相减即可得出答案.【详解】因为i i(3i)13i 13i 3i (3i)(3i)101010z +-+====-+--+所以13i 1010z =--所以13133i (i)=i 101010105z z -=-+---所以z z -的虚部为35故选：B3．已知向量a ，b 满足2a = ，3b = ，1a b ⋅= ，则b 在a 上的投影向量为（）A ．14a-B ．19a- C ．14aD ．19a【答案】C【分析】先求出向量a ，b夹角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可.【详解】设向量a ，b的夹角为θ，因为2,3,1a b a b ==⋅=，所以cos 23cos 1a b a b θθ==⨯=⋅⨯，所以1cos 6θ=，所以b 在a上的投影向量为：11cos 3cos 32624a a a b a aθθ⋅=⋅==⨯⋅.故选：C.4．下图是利用斜二测画法画出的ABO 的直观图，已知A B y '''∥轴，4O B ''=，且ABO 的面积为16，过A '作A C O B ''''⊥，垂足为点C '，则A C ''的长为（）A ．22B ．2C ．162D ．1【答案】A【分析】利用面积公式求出原ABO 的高AB ，进而求出A B ''，然后在直角三角形A B C '''中求解即可【详解】由题可知，在ABO 中，2ABO π∠=，因为ABO 的面积为16，4O B OB ''==，所以1162AB OB ⋅=，8AB =，4A B ''=，因为4A B C π'''∠=，A C x '''⊥轴于点C '，所以2sin 42242A C AB π''''=⋅=⨯=，故选：A.5．瑞士数学家欧拉发现的欧拉公式：()i e cos isin θθθθ=+∈R ，其中i 为虚数单位，e 是自然对数的底数．公式非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，被兴为“数学中的天桥”．下列说法正确的是（）A ．i e 10x +=B ．313i 122⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭C ．iπe 3i+的模长为12D ．i i e e sin 2x xx -+=【答案】C【分析】根据欧拉公式，结合复数的四则运算及模长公式逐一判断各选项.【详解】对于A ，由i e cos isin θθθ=+，得i e 1cos isin 1x x x +=++不一定为0，故A 错误；对于B ，322131313131331i i i i i i 1222222222224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-++=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，iπe cosπisinπ131i 443i3i3i+==-=-++++，所以iπe 3i +的模长为22311442⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，()()i i cos isin cos isin e e cos 22x x x x x x x -++-+-+==，故D 错误.故选：C.6．如图所示，边长为2的正ABC ，以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径在点A 的另一侧作半圆弧 BC，点P 在圆弧上运动，则AB AP ⋅的取值范围为（）A ．2,23⎡⎤⎣⎦B ．[]2,5C ．[]2,4D ．4,33⎡⎤⎣⎦【答案】B【分析】根据给定条件，可得AP AO OP =+，求出,OP AB 的夹角范围，再利用向量数量积的定义、运算律求解作答.【详解】过点O 作//OD AB 交半圆弧于点D ，连接,AO OP ，如图，而ABC 是正三角形，则π3BOD ∠=，令,OP AB 夹角为θ，当点P 在弧BD 上时，0π3θ≤≤，当点P 在弧CD 上时，2π03θ≤≤，于是1cos 12θ-≤≤，显然π3,1,6AO OP OAB ==∠=，AP AO OP =+，所以π()||||cos ||||cos 6AB AP AB AO OP AB AO AB OP AB AO AB OP θ⋅=⋅+=⋅+⋅=+32321cos 32cos [2,5]2θθ=⨯⨯+⨯⨯=+∈.故选：B7．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23sin 2cos32B B +=，cos cos sin sin 6sin B C A B b c C+=，则ABC 的外接圆的面积为（）A ．12πB ．16πC ．24πD ．64π【答案】B【分析】根据二倍角公式将23sin 2cos32B B +=化简得到π3B =，利用余弦定理和正弦定理将cos cos sin sin 6sin B C A Bb c C+=化简可得43b =，进而求出结果.【详解】因为23sin 2cos32BB +=，所以1cos 3sin 232B B ++⋅=，所以3sin cos 2B B +=，即πsin 16B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,πB ∈，所以ππ7π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ62B +=，所以π3B =.因为cos cos sin sin 6sin B C A Bb c C+=，由余弦定理得222222sin sin 226sin a c b a b c A B bac cab C+-+-+=，即sin sin 6sin a A B bc C=，又3B π=，所以3sin 2B =，所以3sin 12sin a A bcC =，由正弦定理得312a abc c=，所以43b =.设ABC 的外接圆的半径为R ，所以28sin bR B==，解得4R =，所以ABC 的外接圆的面积为2π16πR =.故选：B.8．已知函数()π2sin 03y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象与函数()π2sin 06y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围是（）A ．2π,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．π,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．π0,4⎛⎫⎪⎝⎭D ．2π0,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】画出两函数图象，求出A 的纵坐标为2，利用钝角三角形得到不等关系，求出答案.【详解】作出函数()π2sin 03y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()π2sin 06y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象，如图所示．由图可知2πAC ω=．取AC 的中点D ，连接BD ，则BD AC ⊥．因为ABC 是钝角三角形，所以π4ABD ∠>，则tan 1AD ABD BD ∠=>，即AD BD >．由ππ2sin 2sin 36x x ωω⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π2ππ3π6x x k ωω-++=+，k ∈Z ，即7ππ12x k ω=+，k ∈Z ，则π7ππ2sin 2sin π23123y x k ω⎛⎫⎛⎫=-=+-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即A 的纵坐标为2，故22BD =．因为AD BD >，所以π22ω>，所以2π4ω<．故选：D二、多选题9．以钝角三角形的某条边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体可以是（）A ．两个圆锥拼接而成的组合体B ．一个圆台C ．一个圆锥D ．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥【答案】AD【分析】考虑以钝角三角形的最长边还是较短边为轴旋转，判断得到的几何体形状，可确定A,D ，排除B,C.【详解】以钝角三角形的最长边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体是两个同底圆锥拼接而成的组合体，所以A 正确；以钝角三角形的较短边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体都是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥，所以D 正确；同时排除B,C ；10．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，M 为线段AD 上的动点，若BM BE BD λμ=+，则λμ+的值可以是（）A ．32B ．12C ．1D ．2【答案】ACD【分析】设AM k AD =，其中01k ≤≤，利用平面向量的线性运算可得出()21k k λμ⎧=-⎨=⎩，求出λμ+的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】因为M 在线段AD 上，设AM k AD =，其中01k ≤≤，则()BM BA k BD BA -=- ，所以，()1BM k BA k BD =-+，因为E 为BA 的中点，则2BA BE =，所以，()21BM k BE k BD =-+ ，又因为BM BE BD λμ=+ 且BE、BD 不共线，则()21k kλμ⎧=-⎨=⎩，所以，()[]2121,2k k k λμ+=-+=-∈，故ACD 选项满足条件.故选：ACD.11．函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图象上各点的横坐标缩短为原来的23，纵坐标不变，得到的函数在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图象向右平移2π个单位，则所得函数是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最小值为32+【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据函数坐标得伸缩、平移与解析式之间得联系求出变换后的解析式即可判断出B 、C ，将定义域代入函数中解得值域即可判断出D.【详解】7π2π6π42T T =-⇒=，2π16π3ω==，由图可知2A =，将点()2π,2代入解析式得()2π2πππ2π2sin 23326f ϕϕϕ⎛⎫=+=⇒+=⇒=-⎪⎝⎭，所以()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，A 正确；()f x 图象上各点的横坐标缩短为原来的23得()12sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所得函数增区间为()12π4π224π4πZ 226233k x k k x k k πππππ-+≤-≤+⇒-+≤≤+∈，B 错误；()f x 的图象向右平移2π个单位得()1ππ1π2sin 2sin 32633x f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，C 错误；()3π32sin 326f x a f x a π⎛⎫⎛⎫+≥⇒-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分离参数可得π32sin 6a x ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭，,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ,626x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，π32sin 31,326x ⎛⎫⎡⎤--∈-+ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以a 的最小值为32+，D 正确.故选：AD12．已知ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()32sin sin 3sin sin c a B C b B a A -=-，则下列选项正确的是（）A ．cos cos A C 的取值范围是13,24⎛⎫⎪⎝⎭B ．若D 是AC 边上的一点，且2CD DA = ，2BD =，则ABC 的面积的最大值为332C ．若三角形是锐角三角形，则c a 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．若三角形是锐角三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为33【答案】BC【分析】利用正弦定理及余弦定理求出角B ，利用三角恒等变换公式化简cos cos A C 求出值域判断A ，利用向量线性运算及数量积的运算律解得224124999c a ac =++，使用基本不等式即可求出面积最大值判断B ，利用正弦定理及三角恒等变换得3122tan c a A=+，求出函数值域即可判断C ，由三角形面积公式寻找a ，c 关系，再利用基本不等式判断D.【详解】因为()()32sin sin 3sin sin c a B C b B a A -=-，所以()()2232sin 3c a B c b a -=-，所以()22232sin +-=a c b ac B ，所以32cos 2sin ac B ac B ⋅=，即tan 3B =，又(0,π)B ∈，所以π3B =，23111cos cos cos cos()sin cos cos sin(2)322264A C A A A A A A ππ=-+=-=--，因为2π(0,)3A ∈，所以ππ7π2(,)666A -∈-，所以1sin(2)(,1]62A π-∈-，所以11cos cos (,]24A C ∈-，故A 错误；因为2CD DA =，所以2133BD BA BC =+ ，所以222221441()33999BD BA BC BA BA BC BC =+=+⋅+，又2BD =，所以22224124122429999993c a ac c a ac ac =++≥⨯+=，即6ac ≤，当且仅当224199c a =即2a c =时，等号成立，所以1π333sin 2342ABC S ac ac =⨯=≤，即ABC 的面积的最大值为332，故B 正确；3sin()sin 132sin sin 2tan A c C a A A Aπ+===+，因为π022ππ032A C A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，所以ππ62A <<，所以π3tan tan 63A >=，所以3320tan 2A <<，所以3112(,2)2tan 2c a A =+∈，故C 正确；由题意得：ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线以及面积公式得1π1π1πsin sin sin 232626ac a c ⨯=⨯+⨯，化简得3ac a c =+，所以113a c+=，所以31134344(4)()(41)(52)33333a c a ca c a c a c c a c a+=+⨯+=+++≥+⨯=，当且仅当1134a ca c ca ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即323a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号，此时2233132cos 3234222b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，而222c a b =+，所以π2C =，与三角形是锐角三角形矛盾，所以等号不成立,故D 错误；故选：BC三、填空题13．已知向量()()3,2,,1a b λ=-= ，若222||||||a b a b +=+，则λ=__________．【答案】23【分析】化简222||||||a b a b +=+ ，然后由数量积的坐标表示可解.【详解】因为22222|||2|||a b a b a b a b +=++⋅=+ 所以0a b ⋅=，又()()3,2,,1a b λ=-=，所以320λ-=，即23λ=故答案为：2314．已知32i -是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，则实数p q +=_____________.【答案】34；【分析】32i -是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，则32i --也是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，再利用根与系数的关系即可得出．【详解】解：32i - 是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，32i ∴--也是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，32(32)2p i i ∴-+--=-，(32)(32)2qi i ---=，解得8p =，26q =．34p q ∴+=．故答案为：34．【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系、复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若π3A =，224sin 2C b a a +=，则tan C =_____________.【答案】33-【分析】由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得出答案.【详解】由正弦定理可得：1cos sin 2sin 4sin 2CB A A -+=⋅，因为π3A =，所以3sin 2A =，所以()sin 331cos B C +=⋅-，πsin 333cos 3C C ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，31cos sin 3cos 22C C C +=-，所以331cos sin 22C C =-，则tan 33C =-.故答案为：33-.16．直线l 过ABC 的重心G （三条中线的交点），与边AB 、AC 交于点,P Q ，且AP AB λ=uuu r uuu r ，AQ AC μ=，直线l 将ABC 分成两部分，分别为APQ △和四边形PQCB ，其对应的面积依次记为1S 和2S ，则21S S 的最大值为__________．【答案】54/1.25【分析】作辅助线构建相似三角形，结合重心的性质，梯形中位线推出,λμ满足的关系，然后利用基本不等式求解.【详解】由AP AB λ=uuu r uuu r ，AQ AC μ= 可知，,11AP AQ PB QC λμλμ==--，连接AG 并延长交BC 于D ，过B 作BE //AD ，过C 作CF //AD ，分别交PQ 的延长线于,E F 如图所示.根据重心的性质可知，2AG GD =，不妨设2,1AG GD ==.由BE //AG ，容易得到APG 和三角形BPE 相似，于是1222BE PB BE BE AG AP λλλλ--=⇔=⇔=；由CF //AG ，容易得到AQG 和三角形CQF △相似，于是1222CF CQ CF CF AG QA μμμμ--=⇔=⇔=.由DG 是梯形BEFC 的中位线可得222211223BE CF DG λμλμλμ--+=⇔+=⇔+=.根据三角形的面积公式：1211sin 121sin 2ABC APQAB AC BACS S S S S AP AQ BAC λμ⋅⋅∠+===⋅⋅∠ .根据基本不等式111132λμλμ+=≥⋅，即1λ9μ4£，当23λμ==时取得等号.故121194S S S λμ+=≤，即2154S S ≤，21S S 最大值为54.故答案为：54四、解答题17．在（1）3sin 242cos αα=；（2）3sin 32α=．两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的横线处，并解答问题．已知α，β均为锐角，()tan 2αβ+=-，且满足__________．(1)求tan β的值；(2)求()sin αβ-的值．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)tan 2β=(2)69【分析】（1）选①或②，根据正弦二倍角公式，求得sin ,cos αα，得出tan α，再根据两角差的正切求得结果；（2）根据两角差的正弦公式求得结果.【详解】（1）若选①：因为3sin 242cos αα=，所以6sin cos 42cos ααα=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0α≠，所以2221sin ,cos 1sin 33ααα==-=，则sin tan 22cos ααα==，所以()()()()tan tan 222tan tan 21tan tan 1222αβαβαβααβα+---=+-===⎡⎤⎣⎦+++-⋅．若选②：因为3sin32α=，所以231sin,cos 12sin 2323ααα==-=因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以222sin 1cos 3αα=-=．则sin tan 22cos ααα==，所以()()()()tan tan 222tan tan 21tan tan 1222αβαβαβααβα+---=+-===⎡⎤⎣⎦+++-⋅.（2）因为2122cos ,sin 1cos 33ααα==-=，且tan 2β=，β为锐角，故63sin ,cos 33ββ==，所以()223166sin sin cos cos sin 33339αβαβαβ-=-=⨯-⨯=．18．已知平面向量,,a b c满足，||1,||2,(R)a b c ta b t ===+∈ ．(1)若,a b 不共线，且2a b -与c 共线，求t 的值；(2)若c 的最小值为3，求向量,a b的夹角大小．【答案】(1)12t =-(2)π3或2π3【分析】（1）由共线向量定理即可求解；（2）由向量的模、夹角、数量积之间的关系即可求解.【详解】（1）因为,a b 不共线，且2a b - 与c 共线，所以存在实数λ，使得()2c a b λ=-，即()2c ta b a b λ=+=- ，因此12t λλ=⎧⎨=-⎩，解得12t =-．（2）设,a b 夹角为θ，由c ta b =+得22222222||()24cos 4(2cos )44cos c ta b t a ta b b t t t θθθ=+=+⋅+=+⋅+=++- ，故当2cos t θ=-时，2||c r有最小值244cos θ-，由題意244cos 3θ-=，解得1cos 2θ=±，又[]0,πθ∈，所以π3θ=或2π319．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2sin cos sin 223cos a A B b A a C +=．(1)求角C 的大小；(2)若23c =，ABC ∠与BAC ∠的平分线交于点I ，求ABI △周长的最大值．【答案】(1)π3C =(2)423+．【分析】（1）用正弦定理结合三角函数诱导公式求得结果；（2）设ABI θ∠=，则π3BAI θ∠=-，由正弦定理得,BI AI ,将ABI △的周长表示成关于θ的三角函数，化简求其最大值.【详解】（1）由正弦定理得：2sin sin cos 2sin sin cos 23sin cos A A B B A A A C +=，因为sin 0A ≠，所以2sin cos 2sin cos 23cos A B B A C +=，所以()sin 3cos A B C +=，即sin 3cos C C =，所以()tan 3,0,πC C =∈，故π3C =．（2）由（1）知，π3C =，有2π3ABC BAC ∠+∠=，而BAC ∠与ABC ∠的平分线交于点I ，即有π3ABI BAI ∠+∠=，于是2π3AIB ∠=，设ABI θ∠=，则π3BAI θ∠=-，且π0θ3<<，在ABI △中，由正弦定理得，2342ππsin sin sin sin 33BI AI AB AIB θθ====∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以π4sin ,4sin 3BI AI θθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以ABI △的周长为π31234sin 4sin 234cos sin 4sin 322θθθθθ⎛⎫⎛⎫+-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2323cos 2sin 4sin 233θθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由π0θ3<<，得ππ2π333θ<+<，则当ππ32θ+=，即π6θ=时，ABI △的周长取得最大值423+，所以ABI △周长的最大值为423+．20．目前，中国已经建成全球最大的5G 网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到5G 基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G 基站AB ，已知基站高AB =50m ，该同学眼高1.5m （眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C 处（眼睛所在位置）测得基站底部B 的仰为37°，测得基站顶端A 的仰角为45°.(1)求出山高BE （结果保留整数）；(2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C 处（眼睛所在位置）到基站AB 所在直线的距离CD =x m ，且记在C 处观测基站底部B 的仰角为α，观测基站顶端A 的仰角为β.试问当x 多大时，观测基站的视角∠ACB 最大？参考数据:sin 80.14,sin 370.6,sin 450.7,sin1270.8≈≈=≈ .【答案】(1)151.5m BE =(2)1003m x =，∠ACB 最大【分析】（1）在ABC 中，利用正弦定理求出BC ，再在Rt BCD 中，求出BD 即可；（2）易得π02ACB βα∠=<-<，分别在在Rt BCD 和在Rt ACD △中，求出tan ,tan αβ，再根据两角和的正切公式结合基本不等式求出tan ACB ∠取得最大值时，x 的值，再根据正切函数的单调性即可得解.【详解】（1）由题意可知，37,45,8,45BCD ACD ACB A ∠=︒∠=︒∠=︒=︒，在ABC 中，sin sin AB BCACB A=∠，所以25022500.14BC ⨯=≈，在Rt BCD 中，sin 2500.6150BD BC BCD =⋅∠≈⨯=，所以出山高150 1.5151.5m BE =+=；（2）由题意知,ACD BCD βα∠=∠=，且π02αβ<<<，则π02βα<-<，在Rt BCD 中，150tan BD CD x α==，在Rt ACD △中，200tan AD CD xβ==，则()200150tan tan tan tan 2001501tan tan 1x x ACB x xβαβαβα--∠=-==++⋅25050503300003000012300002x x x x x x==≤=++⋅，当且仅当30000x x=，即1003x =时，取等号，所以tan ACB ∠取得最大值时，1003x =，又因为π02ACB <∠<，所以此时ACB ∠最大，所以当1003m x =时，ACB ∠最大.21．已知函数()2ππ3sin 2sin 1326x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为π2，0ω>．(1)求()f x 的解析式和单调递增区间；(2)将函数()f x 的图像向右平移π6个単位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，若方程()43g x =在π4π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为，12,,,n x x x ⋅⋅⋅，若1231222n n m x x x x x -=+++⋅⋅⋅++，试求n 与m 的值．【答案】(1)()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调递增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z (2)n 为5，m 为19π3．【分析】（1）根据题意，先由降幂公式与辅助角公式化简，然后再由函数周期即可求得ω，从而得到其解析式，再由正弦型函数的单调区间即可得到结果；（2）根据题意，先由函数的图像变换得到函数()g x 的解析式，然后结合图像求得方程()43g x =的根，分别得到,m n .【详解】（1）函数()2ππ3sin 2sin1326x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭πππ3sin cos 2sin 336x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为函数()f x 图像的相邻两对称轴间的距离为π2，所以πT =，可得2ω=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其单调递增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）将函数()f x 的图像向右平移π6个单位长度，可得π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再把横坐标缩小为原来的12，得到函数()π2sin 46g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，由方程()43g x =，即()π42sin 463g x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即π2sin 463x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为π4π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ31π4,626x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，设π46x θ=-，其中π31π,26θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2sin 3θ=，结合正弦函数sin y θ=的图像，可得方程2sin 3θ=在区间π31π,26θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有5个解，即5n =，其中θθ+=123π，θθ+=235π，347πθθ+=，459πθθ+=，即12ππ443π66x x -+-=，解得125π6x x +=；23ππ445π66x x -+-=，解得234π3x x +=，即34ππ447π66x x -+-=，解得3411π6x x +=；45ππ449π66x x -+-=，解得457π3x x +=.所以123451223344519π2223m x x x x x x x x x x x x x =++++=+++++++=．所以n 为5，m 为19π3．【点睛】本题综合性较强，考查了三角函数的图像变换以及性质，还有三角恒等变换；第二问的关键在于先得到函数()g x 的解析式，然后再解方程即可.22．如图，A ，B 是单位圆上的相异两定点（O 为圆心），π02AOB θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，点C 为单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M （点M 异于点O B 、），记AOB 的面积为S ．(1)记()2f S OA AB θ=+⋅uur uur，求()f θ的取值范围；(2)若60θ=︒，（i ）求CA CB ⋅的取值范围；（ii ）设(01)OM tOB t =<<，记()g t ACAM =uuur uuu r ，求()g t 的最小值．【答案】(1)()(0,21f θ⎤∈-⎦(2)（i ）()0,3CA CB ⋅∈；（ii ）min ()233g t =-【分析】（1）根据题意，建立平面直角坐标系，转化为平面向量的坐标运算，再结合正弦型函数的值域，即可得到结果；（2）（i ）由平面向量的坐标运算，结合三角函数的值域即可得到结果；（ii ）根据题意，设(01)AM AC λλ=<<，结合平面向量的线性运算，再由基本不等式即可得到结果.【详解】（1）建立如图所示直角坐标系，则()1,0A ，()cos ,sin B θθ=()()()122sin 1,0cos 1,sin 2f S OA AB θθθθ=+⋅=⨯+⋅- πsin cos 12sin 1,042πθθθθ⎛⎫=+-=+-<<⎪⎝⎭因为ππ3π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π2sin ,142θ⎛⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以()(0,21f θ⎤∈-⎦（2）（i ）设()π,,π,cos ,sin 3AOC C αααα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭则()131cos ,sin cos ,sin 22CA CB αααα⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()131cos cos sin sin 22αααα⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3333πsin cos 3sin 22223ααα⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭因为π2π4π,333α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π33sin ,322α⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()0,3CA CB ⋅∈ （ii ）设(01)AM AC λλ=<<，则()()1OM OA AM OA AC OA OC OA OA OCλλλλ=+=+=+-=-+故()11,t tOB OA OC OC OB OA λλλλλ-=-+=-因为1OA OB OC ===，则221OC t OB OA λλλ--=，所以222222(1)1π2cos 31t t OB OA OA OB λλλλλλ--+-⨯⨯= ，即()2222221(1)112t t λλλλλ--=+-⨯，解得212t t t λ-+=-故()2132323322t t g t t t tλ-+===-+-≥---，当且仅当322t t-=-，即23t =-时，min ()233g t =-．。
河北省高一下学期5月月考数学试题(解析版)
高一年级5月月考数学试题一、单选题（每题5分，共12题）1. 已知向量，，则（ ）()1,2a =r ()0,1b = a b -=A. B.C.D.()1,3()3,1()1,1()1,1--【答案】C 【解析】【分析】由向量减法的坐标运算求解．【详解】由题设，．(1,2)(0,1)(1,1)a b -=-=故选：C ．2. 已知向量，，且，则（ ）()1,2a =- ()21,1b m =- a b ⊥2a b += A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】A 【解析】【分析】由，可得，求出的值，从而可求出的坐标，进而可求出a b ⊥1220m -+=m 2a b + 2a b +【详解】解：因为向量，，且，()1,2a =- ()21,1b m =- a b ⊥所以，解得， 1220m -+=32m =所以，()2,1b =r所以，2(1,2)2(2,1)(3,4)a b +=-+=所以，25a b +== 故选：A3. 若单位向量，满足，则与的夹角为（ ）a b ()2a b a -⊥ a b A.B.C.D.6π3π2ππ【答案】B 【解析】【分析】先求出，然后用夹角公式求解.12a b ⋅= 【详解】由，得，()2a b a -⊥()20a b a -⋅=r r r所以，所以， 12a b ⋅= 1cos ,2||||a b a b a b ⋅==⋅又，所以.[],0,a b π∈,3a b π=r r 故选：B.4. 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（）A. B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】方法一：还原原图形，再求出面积；方法二：先求出直观图的面积，再根据直观图和原图形的面积比进行求解【详解】方法一：如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，其中，1OB O B ''==，故面积为.2OAO A ''==OAOB ⋅=方法二：直观图的面积为，原图的面积与直观图的面积之比为， 111⨯=故原图的面积为1=故选：A5. 在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为1111ABCD A B C D -M ABCD 1A D 1B M （ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】A 【解析】【分析】如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线1B C MC MB 1CB M ∠1A D 所成角大小.1B M 【详解】设正方体的棱长为，连接，，，2a 1B C MC MB 因为，故或其补角为直线与直线所成角. 11//B C A D 1CB M ∠1A D 1B M而，，，1B C =MC =1B M ===故，所以，22211B C B M CM =+1MB CM ⊥所以为锐角，故， 1cos CB M ∠==1CB M ∠130CB M ∠=︒故选：A.6. 在中，角所对的边分别为．若，则ABC A A B C ，，a b c ，，1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-ABC A 为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理，化简得，进而对进行分类讨论，分为①sin cos sin cos 0A C B C -=cos C ；②两种情况进行求解，即可得到答案.cos 0C =cos 0C ≠【详解】，利用正弦定理，可得， 1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-，1111sin sin sin sin sin tan sin tan C A C B B A A B -=-，11cos cos sin sin sin sin sin sin A BC A C B B A--=，sin sin sin cos sin cos B A C A C B -=-，sin()sin()sin cos sin cos A C B C C A C B +-+=-，sin cos sin cos 0A C B C -=①时，有等式成立，此时；cos 0C =2C π=②时，有，因为，所以，.cos 0C≠sin sin A B =0,0A B ππ<<<<A B =故为等腰或直角三角形. ABC A 故选：D7. 如图，△ABC 是简易遮阳棚，A ，B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角应为（ ）A. 75°B. 60°C. 50°D. 45°【答案】C 【解析】【分析】作出遮阳棚ABC 与地面所成二面的平面角，再借助正弦定理推理、计算作答. 【详解】过C 作平面于E ，连DE 并延长交AB 于O ，连CO ，如图，CE ⊥ABD依题意，，而，，则平面，又平面，有⊥DO AB CE AB ⊥CE DO E ⋂=AB ⊥COD CO ⊂COD ，CO AB ⊥因此，是遮阳棚ABC 与地面所成二面的平面角，令，而， COD ∠COD α∠=40CDO ∠= 由于AB 长一定，要使遮阴影面ABD 面积最大，当且仅当最长，DO在中，长是定值，由正弦定理得：，当且仅当COD △CO sin(40)sin 40sin 40CO COOD α+=≤，即取“=”， sin(40)1α+= 50α= 所以遮阳棚ABC 与地面所成的角应为. 50 故选：C8. 锐角中，已知，则取值范围是（ ）ABC ∆3a A π==223b c bc ++A. B.C.D.(]5,15(]7,15(]7,11(]11,15【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理得：，再由正弦定理得：，则223b c bc +=+2sin ,2sin b B c C ==4sin sin bc B C =，利用三角形内角和定理和三角函数的恒等变换，转化为求三角函数的值域，求出范围即可得到结果. bc 【详解】，由余弦定理得：，即，3a A π==∴2222cos a b c bc A =+-223b c bc +=+由正弦定理得：，， 2sin sin sin a b cA B C===2sin ,2sin b B c C ∴==，4sin sin 4sin sin 2sin 2136bc B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴==+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由得：，， 022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩62B ππ<<52,666B πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 1sin 21,2326B bc π⎛⎫∴<-≤∴<≤ ⎪⎝⎭.(]2234311,15b c bc bc ∴++=+∈故选：D【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，三角函数的性质，解题的关键是将边化角转化为三角函数的值域求解.二、多选题（每题选全得5分，错选不得分，漏选得2分）9. 已知a ，，，，则下列说法正确的是（ ）b ∈R ()1i 32i a b --=-()1i a bz -=+A. z 的虚部是B.2i 2z =C. D. z 对应的点在第二象限2i z =-【答案】BC 【解析】【分析】根据复数相等的定义，结合复数虚部定义、复数模的定义、共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征逐一判断即可.【详解】由复数相等可得解得所以，3,12,b a -=⎧⎨-=-⎩1,3,a b =-⎧⎨=-⎩2(1i)(1i)2i a bz -=+=+=对于A ，的虚部是2，故A 错误； z 对于B ，，故B 正确； |||2i |2z ==对于C ，，故C 正确；2i z =-对于D ，对应的点在虚轴上，故D 错误. z 故选：BC10. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，）.a b2a b ==a b +=A.B. 与的夹角为2a b ⋅=-a bπ3C.D. 在上的投影向量为a b a b -<+ a b - b 12b r 【答案】BC 【解析】【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B ，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】，,2a b ==a b += ,解得,故A 错误22212||2424a b a a b b a b =+=+⋅+=+⋅+2⋅= a b ,，·cos ,2a b a b a b ⋅== 1cos ,2a b a b a b ⋅==由于，与的夹角为，故B 正确, ()0π，，a b ∈a ∴r bπ3故C 正确2a b a b -====<+=在上的投影向量为，故D 错误, a b - b()21··22b a b b a b b b b b b b b b⋅-⋅-==-=-故选：BC11. 设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） m n αβA. 若，，则 B. 若，，则//m α//n α//m n m α⊥n α⊥//m n C. 若，，则 D. 若，，，则//m αm β⊂//αβm α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A ：若，，则或与相交或与异面，故选项A 错误； //m α//n α//m n m n m n 对B ：若，，则，故选项B 正确；m α⊥n α⊥//m n 对C ：若，，则或与相交，故选项C 正确； //m αm β⊂//αβαβ对D ：若，，，则，故选项D 正确. m α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥故选：BD.12. 如图所示，在三棱锥中，，且，为线段V ABC -AB BC =90VAB VAC ABC ∠=∠=∠=︒P VC 的中点.则（ ）A. 与垂直 PB ACB. 与平行PB VA C. 点到点，，，的距离相等P A B C V D. 与平面，与平面所成的角可能相等 VB ABC PB ABC 【答案】AC 【解析】 【分析】由题设可证底面，作中点，由中位线定理可证，易证，再由为VA ⊥ABC AC H //PH VA PB AC ⊥H 外心得到三点距离相等，为外心，可证点到点，，，的距Rt ABC A P ,,A B C P Rt VAC △P A B C V离相等；结合正切定义可证与平面，与平面所成的角不相等 VB ABC PB ABC 【详解】过点作，垂足为，连接，可得为的中点.P PH AC ⊥H BH H AC 因为，所以，所以平面，所以，从而A 正确； AB BC =BH AC ⊥AC ⊥PBH AC PB ⊥由条件可知，而与有交点，因而与不平行，B 错误； //PH VA PH PB PB VA 点是的外心，所以到，，的距离相等，P Rt VAC △P V A C 根据条件可知平面，从而平面，又因为是的外心，所以点到VA ⊥ABC PH ⊥ABC H Rt ABC △P A ，，的距离相等，所以点到，，，四点的距离都相等，C 正确； B C P A B C V 与平面所成的角即，与平面所成的角即，，VB ABC VBA ∠PB ABC PBH ∠tan VAVBA AB∠=，所以两个角不可能相等，D 错误.tan tan PH PBH VBA BH ∠===<∠故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查锥体基本性质的应用，线线垂直的证明，两直线平行的判断，锥体外接球球心的判断，线面角大小的判断，综合性强，需掌握以下方法： （1）能利用线面垂直的性质和判定定理证明线线垂直；（2）要证两直线不平行只需证明两直线或对应的平行直线相交即可；（3）寻找锥体外接球球心关键在于先寻找底面三角形外接圆圆心，在垂直于底面外接圆圆心的线段上，再寻找跟顶点与底面任意一顶点相等的点.三、填空题（13、14五分，第一空2分，第二个空3分） 1516、13. 已知，若向量与共线，则____________．(1,),(3,1)a b λ== a b 2a = 【答案】## 109119【解析】【分析】首先根据向量共线的坐标表示得到方程，求出，再根据向量数量积的坐标运算计算可得； λ【详解】解：因为且，所以，解得， (1,),(3,1)a b λ==//a b r r113λ⨯=13λ=所以，所以; 11,3a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 222110139a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭故答案为：10914. 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长度都是2，则它的外接球的体积是___________. 【答案】 【解析】【分析】将此三棱锥放入正方体中，即转化为正方体的外接球的问题，而正方体的体对角线即为相应的外接球的球直径，进而可以求得体积.【详解】因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且侧棱均为， 2所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球， 求出正方体的对角线的长为，2所以球的直径是.343π⨯=故答案为：.15. 在中，，D 是AC 中点，，试用表示为___________，若ABC A ,CA a CB b == 2CB BE = ,a bDE ，则的最大值为____________AB DE ⊥ACB ∠【答案】 ①. ②.3122b a - 6π【解析】【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由DE{},a b ,A B D E 可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．AB DE ⊥2234b a b a +=⋅法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点E (0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y AB DE ⊥A 的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，(1,0)M -2r =22(1)4x y ++=当且仅当与相切时，最大，即求出． CA M A C ∠【详解】方法一：，，31=22DE CE CD b a -=- ,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-=，当且仅当2234b a a b +=⋅223cos 4a b b a ACB a b a b ⋅+⇒∠==≥ a = 而，所以．0πACB <∠<(0,]6ACB π∠∈故答案为：；．3122b a - 6π方法二：如图所示，建立坐标系：，，(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y 3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=--，所以点的轨迹是以为圆心，以23(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+= 22(1)4x y ⇒++=A (1,0)M -为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 2r =CA M A C ∠21sin ,426r C C CM π===∠=故答案为：；．3122b a - 6π16. 已知是虚数单位.若为实数，则___________，的最小值为,, a b R i ∈(2)(1)z a i bi =-+ab =||z ___________. 【答案】 ①. 2②. 4【解析】【分析】由题设条件计算出复数z ,再由复数是实数的条件即可得ab 值；计算出|z |，配方即可得解. 【详解】，则，而，所以，即2；,a b R ∈(2)(2)z a b ab i =++-z R ∈20-=ab ab =，，当且仅当a =2b ，即2z a b =+|||2|4z a b =+===≥a =2，b =1时取“=”，所以的最小值为4.||z 故答案为：2；4四、解答题（17题10分，其它五题每题12分）17. 已知△的内角，，的对边分别为，，，若．ABC A B C a b c sin cos a C A =（1）求角．A（2）若，求△的面积．a =2c =ABC【答案】（1）；（23A π=【解析】【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而求角． sin A A =A （2）由余弦定理得求b ，再利用三角形面积公式求△的面积．2230b b --=ABC【详解】（1）由正弦定理，，又，sin sin cos A C C A =sin 0C ≠，即，由，得. sin A A ∴=tan A =(0,)A π∈3A π=（2）由余弦定理知：，2222cos a b c bc A =+-∴，解得，2230b b --=3b =1sin 2ABC S bc A ∴==A 18. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，-P ABC D E ，AB PB ，EB EA =PA AC ⊥．求证：平面．PC BC ⊥BC ⊥PAC【答案】证明见解析.【解析】【分析】由题可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，然PA AB ⊥PA ⊥ABC PA BC ⊥后利用线面垂直的判定定理即得.【详解】∵在中，D 是AB 的中点，，AEB △EB EA =∴,ED AB ⊥∵E 是PB 的中点，D 是AB 的中点，∴，ED PA ∥∴，PA AB ⊥又，，平面，平面， PA AC ⊥AB ACA ⋂=AB ⊂ABC AC ⊂ABC ∴平面，PA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，PA BC ⊥又，，平面，平面，PC BC ⊥PA PC P = PA ⊂PAC PC⊂PAC ∴平面． BC ⊥PAC 19. 如图所示，在四棱锥中，平面PAD ，，E 是PD 的中点． P ABCD -//BC 12BC AD =（1）求证：；//BC AD （2）线段AD 上是否存在点N ，使平面平面PAB ，若不存在请说明理由：若存在给出证明．//CEN 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，当点是的中点时满足题意. 证明见解析解.N AD 【解析】【分析】（1）由线面平行性质定理可以得证；（2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 分别证得平面和平N AD //CEN PAB //EN PAB //CN 面，由面面平行判定定理可证得结论.PAB 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，所以//BC PAD BC ⊂ABCD PAD ⋂ABCD AD =；//BC AD （2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 下面给出证明：N AD //CEN PAB 因为、分别是、的中点，所以，E N PD AD //EN PA 又平面，平面，所以平面.EN ⊄PAB PA ⊂PAB //EN PAB 由（1）知，，又是的中点，，所以，所以四边形是平//BC AN N AD 12BC AD =BC AN =ABCN 行四边形，从而，//CN BA 又平面，平面，所以平面.CN ⊄PAB BA ⊂PAB //CN PAB 又因为，所以，平面平面 CN EN N = //CEN PAB【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是证明平面.//CN PAB20. 某海域的东西方向上分别有，两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发A B D 出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，B 点北偏西，这时位于点南偏西且与相D A 45 75 B 45 B 距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时.80C 35（1）求点到点的距离；B D BD （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.C D D 【答案】（1）海里；（2）小时502【解析】【分析】（1）根据已知条件求出，在中利用正弦定理即可求解；ADB ∠ABD △（2）求出，在中由余弦定理求出，再根据速度即可得所需要的的时间.CBD ∠BCD △CD 【详解】（1）由题意知：，，，AB =907515DBA ∠=-= 904545DAB ∠=-= 所以，1804515120ADB ∠=--= 在中，由正弦定理可得：即， ABD△sin sin BD AB DAB ADB =∠∠sin 45BD = 所以海里，50BD ===（2）在中，，，，BCD △180754560CBD ∠=--= 80BC =50BD =由余弦定理可得：2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠， 1640025002805049002=+-⨯⨯⨯=所以海里，70CD =所以需要的时间为小时， 70235=所以点到点的距离海里，救援船到达点需要的时间为小时.B D 50BD =D 221. 如图，在正三棱柱中，分别为，的中点.ABC A B C '''-22,,AC AA E F ='=BC A C ''（1）证明：平面.EF A ABB A ''（2）求直线与平面所成角的正切值.EF ACC A ''【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）依据线面平行判定定理去证明平面；EF A ABB A ''（2）先作出直线与平面所成角，再求其正切值即可解决.EF ACC A ''【小问1详解】如图，取的中点，连接.A B ''M ,FM BM 为的中点，，且. F A C ''MF B C ∴''∥12MF B C =''，且，，且， BE B C ''∥ 12BE B C =''MF BE ∴∥MF BE =四边形是平行四边形，.∴BEFM EF BM ∴∥平面，平面平面.BM ⊂ ABB A ''EF ⊄,//ABB A EF '∴'ABB A ''【小问2详解】取的中点的中点，连接.AC ,N CN D ,,,BN DE DF NF 平面平面，平面平面，ABC ⊥ACC A ''ABC ⋂,ACC A AC BN AC ''=⊥平面.BN ∴⊥ACC A ''平面，//,DE BN DE ∴⊥ ACC A ''直线与平面所成的角为.∴EF ACC A ''DFE ∠， 12DE BN DF ====tan DE DFE DF ∠∴==22. 在中，角，，的对边分别为，，，． ABC A A B C a b c 22sin1sin 2B C A +=+（1）求； A ∠（2）再从条件①、条件②这两组条件中选择一组作为已知，使存在且唯一确定，求． ABC A c 条件①：，；2a =3b =条件②：；cos B ab ==【答案】（1）4A π=（2）1c =【解析】【分析】（1）根据已知条件代入二倍角的余弦公式，化简可得，即可求解；tan 1A =（2）若选条件①：根据余弦定理得到，则，无解；250c -+=182020∆=-=-<c 若选条件②：根据，，得到，又根据正弦定理得到，解得cos B =0B π<<1sin 3B=a =a ，后代入正弦定理即可求解．b 【小问1详解】解：因为，所以， 22sin 1sin 2B C A +=+()1cos 1sin B C A -+=+所以，则， 1cos 1sin A A +=+sin tan 1cos A A A ==又，；0A π<<4A π∴=【小问2详解】 若选条件①：因为， 222cos 2b c a A bc +-=222326c c+-=所以，则，250c -+=182020∆=-=-<故无解；c 若选条件②：因为，又，所以， cos B =0B π<<1sin3B =由正弦定理得：，sin sin a b A B =13b =所以，又，，a =ab =3a=b =因为，()1sin sin sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+==所以. sin 1sin a C c A ===+。
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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据诱导公式，化简即可得到余弦值。
详解：因为，所以所以选A点睛：本题考查了利用三角函数诱导公式对三角函数式进行简单的化简求值。
在应用公式时，“奇变偶不变，符号看象限”是化简求值的基本原则。
2. 下列各数中，最大的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先把不同的进制都转化为十进制，再统一比较大小。
详解：A、B、C、D、29所以比较大小，可知最大所以选C点睛：解决本题的关键是掌握把不同的进制转化为十进制的方法，属于简单题目。
3. 某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01，02，03，…，50进行编号，然后从随机数表第9行第11列开始向右读，则选出的第7个个体是（）（注：表为随机数表的第8行和第9行）A. 02B. 13C. 42D. 44 【答案】A【解析】依题意，选取数据依次为，故为.4. 在棱长为2的正方体中任取一点，则满足的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】以为直径作球，球在正方体内部的区域体积为，正方体的体积为，所以由几何概型得，，故选A ．5. 设函数，下列四个结论正确的是（ ） ①是奇函数；②的图象关于直线对称；③当时，；④当时，单调递增.A. ①③B. ②④C. ③④D. ②③ 【答案】D 【解析】分析：根据的定义域不同，分成四个区间，在各区间内画出函数的图像，即可判定是否正确。
详解：因为，所以画出函数图像如下由图可知，的图像关于y轴对称，是偶函数，所以①错；的图象关于直线对称，所以②正确；在上的值域为，所以③正确；在时，没有单调性，所以④错。
综上，所以选D点睛：本题考查了三角函数、分段函数图像的画法，利用函数图像分析解决问题的能力。
把三角函数利用辅助角公式，化成一个角的三角函数，根据定义域画出图像，综合性强，属于中档题。
6. 若数列满足，则这个数列的通项公式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据递推数列的性质，可以得到，两式相减，即可得到的表达式；此时要注意首项是否符合通项公式。
详解：因为所以两式相减，得，且当n=1时，在原式中，首项二者不相等，所以所以选D点睛：本题主要考查了利用递推公式求数列通项公式的方法。
在两式相减过程中，注意利用递推式求出的首项与通项公式的首项是否相等。
若相等，则通项公式即可；若不相等，则需写成分段函数的形式。
7. 在中，若，，为边的三等分点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴∴∵,为的三等分点∴故选B.8. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设等差数列为，，则，且，解得：，选D.9. 为了研究椭圆面积公式，某学习小组制定了下列的几何概型模型，如图，已知矩形的长、宽分别为，以矩形的中心为中心制作的内切椭圆如图中阴影部分所示，为保证试验的准确性，经过了10次试验，若10次试验在矩形中共随机撒入了5000颗豆子，落在阴影部分的豆子是3925颗，那么估计椭圆的面积的公式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：落在阴影部分的概率为，所以椭圆面积为考点：几何概型10. 在中，，则是（）A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】分析：利用同角三角函数关系式，把正切函数化成正余弦函数。
然后用倍角公式化简，得到角A和角B的关系。
详解：，因为所以，所以所以，所以或所以选D11. 已知函数均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：根据最小正周期π和时函数取得最小值两个条件，分别求出和的值，根据单调性判断大小。
详解：因为，所以因为当时，函数取得最小值，所以，所以所以所以且，且在上单调递减，所以综上，所以选A点睛：本题综合考查了三角函数解析式、三角函数最值、三角函数的单调性，利用三角函数的对称性和单调性判断函数值的大小关系，属于中档题。
12. 在中，分别是角的对边，且满足.若，则的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】分析：利用正弦定理，把中的边化成角，即，求出的值，根据向量的数量积运算，即可求出ac的值。
详解：因为所以，化简得所以因为，所以即所以所以选D点睛：本题综合考查了利用正弦定理、向量的数量积运算求值。
正弦定理实现边角转化中是三角函数变形的重点，是求边、求角的重要方法，属于简单题。
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，的模是方程的正根，，且，则与的夹角为_______.【答案】.【解析】分析：根据一元二次方程，求得正根为，即，根据向量的运算可化为，代入即可求得与的夹角。
详解：，所以，所以因为，所以，代入即可求得，所以夹角点睛：本题主要考查了一元二次方程解法、向量数量积的运算和化简求值，属于简单题。
14. 已知满足，若是递增数列，则实数的取值范围是_______. 【答案】.【解析】,是递增数列,所以>0,所以，所以<n+2,所以<3故答案为点睛：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，利用是递增数列，则恒成立，采用变量分离即得解.15. 执行如图所示的程序框图，输入，则输出______.【答案】.考点：程序框图．16. 在中，若，，则的最大值为______.【答案】.【解析】分析：利用余弦定理，求出，再利用正弦定理表示出。
将角都化成B，利用正弦的差角公式与辅助角公式化简即可求出最大值。
详解：由余弦定理，所以所以，所以，所以根据正弦定理可得，所以，所以最大值为点睛：本题综合考查了正余弦定理的应用，利用边角关系、辅助角公式化简三角函数式，注意化简过程中的计算，知识点综合性强，属于难题。
三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间.【答案】(1).(2).【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期.因为点在函数图像上，所以.又即.又点在函数图像上，所以，故函数f（x）的解析式为（Ⅱ）由得的单调递增区间是【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图像上求出，从而求出f（x）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及的单调性求得18. 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外其余完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为. （1）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足”的概率；（2）所有的可能结果共有种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．试题解析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的有、、共计3个故“抽取的卡片上的数字满足”的概率为（2）所有的可能结果共有种满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的有、、共计三个故“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率为所以“抽取的卡片上的数字、、不完全相同”的概率为考点：独立事件的概率．【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．视频19. 某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计平均收益率；（2）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下与的对应数据：据此计算出的回归方程为.（i）求参数的估计值；（ii）若把回归方程当作与的线性关系，用（1）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益.【答案】(1).(2)（i）；（ii）当元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获利为万元. 【解析】试题分析：（1）先根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率求概率,再根据组中值与对应区间概率乘积的和为平均数可得平均收益率,（2）（i）根据回归方程过点,先根据数据求平均值,再代入回归方程求参数的估计值；（ii）先根据收入等于销量与每份保单的保费乘积得一个一元二次函数,根据二次函数对称轴确定函数最值.试题解析：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，平均收益率为.（Ⅱ）（i）所以（ii）设每份保单的保费为元，则销量为，则保费收入为万元，当元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获利为万元.20. 已知数列中，且.（1）证明：数列为等差数列；（2）若，求的取值的集合.【答案】(1)证明见解析.(2).【解析】分析：根据，构造数列，利用为常数证明为等差数列；利用是等差数列，可求出数列的通项公式，利用通项公式解不等式组。
详解∴，∴设，则，∴数列是首项为2，公差为1的等差数列.由（1）知，∴易知在上为单调递增函数，，∴的取值集合为.点睛：本题主要考查构造数列解决问题的方法。
通过构造数列证明等差等比数列是常见的证明方法；通过已构造的数列求原数列的通项公式或求和也是常见题目，要注意条件和结论结合应用。
21. 在平面直角坐标系中，，， (O是坐标原点)，其中。
（1）求B点坐标；（2）求四边形OABC在第一象限部分面积 .【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）利用向量的加法运算，表示出，再根据OABC为矩形的特征，表示出B 点坐标。
（2）讨论当t取不同值时（也就是B点坐标在第一象限或第二象限），四边形OABC落在第一象限内的面积。
当点B在第一象限时，落在第一象限内的部分为直角梯形，可用整个面积减去第二象限面积的方法求得；当B在第二象限时，落在第一象限内的部分为直角三角形，可以直接求得。