高一数学下学期抽考试卷：5月抽考题
高一数学下学期5月月考试题含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校云天化二零二零—二零二壹下学期五月月考高一年级数学试题 第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.设集合{1,2,3,4,5,6}U=，{1,3,5}Q =，那么U C Q =〔〕A.{1,3,5} B.{2,4,6}C.{1,2,4}D.U【答案】B 【解析】 【分析】根据题干和补集的概念可得到结果. 【详解】集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}Q =，根据集合的补集的概念得到U C Q ={2,4,6}.故答案为：B.【点睛】此题考察了集合的补集运算，属于根底题. 2.设向量(2,4)a =与向量(,6)b λ=一共线，那么实数λ=〔〕A.3B.4C.5D.6【答案】A 【解析】 【分析】根据向量一共线的坐标表示得到方程，进而求得参数结果. 【详解】因为向量(2,4)a=与向量(,6)b λ=一共线，故得到26=4=3.λλ⨯⇒故得到答案为：A.【点睛】这题目考察了向量一共线的坐标表示，属于根底题. 3.假设0.52a=，3log 2b=，21log 3c =，那么〔〕 A.b a c >> B.a c b >> C.a b c>>D.b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数对数函数的性质得到各个参数值的范围，进而得到大小关系. 【详解】()0.5212a =∈，,()3b log 201=∈，,21log 03c =<,故得到a b c >>. 故答案为：C.【点睛】这个题目考察了比较大小的应用，属于根底题，比较大小常用的方法有：做差和0比，做商和1比，构造函数根据函数单调性得到大小关系.4.定义在R 上的奇函数()g x 满足：当0x <时，2()log (1)g x x =-，那么((7))g g =〔〕A.2B.1C.-1D.-2【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和函数解析式得到相应的函数值即可. 【详解】根据函数的奇偶性和函数的解析式得到：()()()((7))73 2.g g g g g =--=-=故答案为：A.【点睛】这给题目考察了函数的奇偶性的应用，以及分段函数的应用，解决分段函数求值问题的策略：(1)在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法那么也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决；(3)求f (f (f (a )))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原那么。
2023-2024学年广东省广州市高一下学期5月月考数学质量检测模拟试题(含答案)
广东省广州市2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足1i2i 1i z --=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是（）A.1B.iC.i- D.1-【正确答案】A【分析】根据复数的除法与虚部的定义求解即可.【详解】()()()21i 1i2i 2i 2i 2i i 1i 1i 1i 2z ---=+=+=+=++-，故虚部为1.故选：A2.已知()1,1a = ，()2,0b = ，()2,4c =r，则下列各组向量中，不能作为平面内一组基底的是（）A.a ，b c -B.a ，b c+C.a ，2b c-D.a ，2b c+【正确答案】B【分析】根据向量的坐标运算结合基底向量的定义逐项分析判断.【详解】对于A ：()0,4b c -=-r r，则()141040⨯--⨯=-≠，可得a ，b c - 不共线，则a ，b c -可以作为一组基底，故A 正确；对于B ：()4,4b c +=r r，则14140⨯-⨯=，可得a ，b c + 共线，则a ，b c +不可以作为一组基底，故B 错误；对于C ：()22,4b c -=-r r，则()141260⨯--⨯=-≠，可得a ，2b c - 不共线，则a ，2b c -可以作为一组基底，故C 正确；对于D ：()26,4b c +=r r，则141620⨯-⨯=-≠，可得a ，2b c + 不共线，则a ，2b c +可以作为一组基底，故D 正确；故选：B.3.在ABC中，若222a b c +=，则角C 等于（）A.30︒B.60︒C.150︒D.120︒【正确答案】A【分析】根据余弦定理可得cos C 的值，即得答案．【详解】在ABC 中，222a b c +=+，可得22233cos 222a b c C ab ab +-===，由于0180C ︒<<︒，故30C =︒，故选：A ．4.已知不重合的直线l ，m 和不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A.若l α∥，//l β，则//αβB.若l α⊥，l m ⊥，则//m αC.若l α⊥，l β⊥，则//αβD.若l ⊂α，m α⊂，//l β，//m β，则//αβ【正确答案】C【分析】根据空间中的线、面关系分析判断.【详解】对于A ：若//l α，//l β，则平面α，β的位置关系有：平行、相交，故A 错误；对于B ：若l α⊥，l m ⊥，则,m α的位置关系有：//m α或m α⊂，故B 错误；对于C ：若l α⊥，l β⊥，根据线面垂直的性质可知：//αβ，故C 正确；对于D ：根据面面平行的判定定理可得：若,l m 相交，则//αβ，否则不成立，故D 错误.故选：C.5.用半径为3cm ，圆心角为23π的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为（）A.1cmB.C.D.2cm【正确答案】B【分析】设圆锥的底面半径为rcm,根据底面圆的周长即扇形的弧长求出半径r,利用勾股定理可得答案.【详解】设圆锥的底面半径为rcm ，由题意底面圆的周长即扇形的弧长，可得2πr=23,3π⨯即底面圆的半径为1，.所以圆锥的高h ==,故选B本题考查圆锥侧面展开图的应用，圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.6.在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK ，如图2所示．若在图2中23DH DA =，则在图1中EFEG=（）A.49B.481C.427D.827【正确答案】B【分析】设出正方体的边长，利用水的体积相等建立方程求解【详解】当DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等时，三棱锥D HJK -为正三棱锥，设正方体的棱长为3，则2DH DK DJ ===，所以11142223323D HJK DHJ V S DK -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，则题图1中2433V EF =⋅=，则427EF =，所以481EF EG =.故选：B7.已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 下列选项中正确的是（）A.若222a b c +>，则ABC 是锐角三角形B.若sin cos A B =，则ABC 是直角三角形C.若22tan tan a B b A =，则ABC 是等腰三角形D.若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 是等边三角形【正确答案】D【分析】根据正、余弦定理结合三角函数、三角恒等变换逐项分析判断.【详解】对于A ：若222a b c +>，则222cos 02a b c C ab+-=>，因为()0,πC ∈，可得C 为锐角，但不确定,A B 是否为锐角，所以不能确定ABC 的形状，给A 错误；对于B ：因为()0,πA ∈，则sin cos 0A B =>，可得π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭或πsin cos sin 2A B B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，可得π2A B =-或π2A B =+，故B 错误；对于C ：若22tan tan a B b A =，由正弦定理可得：22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⨯=⨯，因为(),0,πA B ∈，则sin 0,sin 0A B ≠≠，可得sin cos sin cos A A B B =，整理得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，可知ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误；对D ：因为(),,0,πA B C ∈，则()()()π,π,π,π,π,πA B B C C A -∈--∈--∈-，可得()(]()(]()(]cos 1,1,cos 1,1,cos 1,1A B B C C A -∈--∈--∈-，若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则()()()cos 1,cos 1,cos 1A B B C C A -=-=-=，可得0,0,0A B B C C A -=-=-=，即A B C ==，则ABC 是等边三角形，故D 正确；故选：D.8.有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l 米．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为0.9m l =米，则m 的值是（）A.8110B.10C.5D.【正确答案】A【分析】先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB ，再利用勾股定理求出硬管倾斜后能通过的最大长度，即可得到答案.【详解】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB.设π,02BAQ θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭,则π2ABQ θ∠=-.过A 作AC 垂直内侧墙壁于C ，B 作BD 垂直内侧墙壁于D ，则π3,,2AC BD CPA BAQ DPB ABQ θθ==∠=∠=∠=∠=-.在直角三角形ACP 中，sin sin AC CPA AP θ∠==,所以3sin sin AC AP θθ==.同理.3πcos sin 2BD BP θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭所以33π,0sin cos 2AB AP BP θθθ⎛⎫=+=+<< ⎪⎝⎭.因为333sin cos AB θθ=+≥⨯=≥sin cos θθ=且π4θ=时等号成立）.所以AB ≥.因为走廊的宽度与高度都是3米，所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为9l ===,所以810.90.9910m l ==⨯=.故选：A利用三角函数解应用题的解题思路：（1）画出符合题意的图形；（2）把有关条件在图形中标出；（3）建立三角关系式，利用三角函数求最值.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.234i i i i 0+++=B.2i 1i+>+C.若()212i z =-，则z 在复平面内对应的点位于第四象限D.已知复数z 满足2z =，则复数z 对应点的集合是以O 为圆心，以2为半径的圆【正确答案】AD【分析】根据复数的概念，运算，几何意义，判断选项.【详解】A.234i i i i i 1i 10+++=--+=，故A 正确；B.虚数不能比较大小，故B 错误；C.()212i 34i z =-=--，则z 在复平面内对应的点为()3,4--，在第三象限，故C 错误；D.根据复数模的几何意义，可知D 正确.故选：AD10.关于平面向量，下列说法正确的是（）A.若a b ∥，b c ∥，则a c∥B.若()1,2a =r ，()4,3b = ，则a 在b 方向上的投影向量是86,55⎛⎫⎪⎝⎭C.若(),2a λ= ，()1,1b λ=+- ，且a 与b的夹角为钝角，则()2,1λ∈-D.若OA OC OB OD +=+且AB AD AC AB AD AC+= ，则四边形ABCD 为菱形【正确答案】BD【分析】根据向量共线的概念判断A ；根据投影向量的概念判断B ；根据向量夹角的概念判断C ；由向量的线性运算得AB DC =，可得ABCD 是平行四边形，则AB AD AC +=，由条件结合平面向量基本定理可判断D ．【详解】若0b = ，虽然有a b ∥，b c ∥，但不一定有a c∥，A 错；()1,2a =r ，()4,3b = ，则a 在b方向上的投影向量是24686(,)5,55(43)a b b b b ⋅+==，B 正确；当2(2,1)3λ=-∈-时，2a b =- ，两向量方向相反，夹角为π不是钝角，C 错；若OA OC OB OD +=+，即OB OA OC OD -=- ，则AB DC = ，所以ABCD 是平行四边形，则AB AD AC +=，又||||||AB AD ACAB AD AC +=，即||||||||AC AC AB AD AC AB AD += ，则||||1||||AC AC AB AD == ，所以AB AD AC ==，所以ABCD 是菱形，D 正确．故选：BD ．11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点Q 为11B C 的中点，点N 为1DD 的中点，则下列结论正确的是（）A.CQ 与BN 为异面直线B.11CQ C D ⊥C.直线BN 与平面ABCD 所成角为30︒ D.三棱锥Q NBC -的体积为23【正确答案】AB【分析】对A ，直接观察判断即可；对B ，根据11C D ⊥平面11BCC B 判断即可；对C ，根据线面角的定义，结合直角三角形的性质求解即可；对D ，利用等体积法Q NBC N QBC V V --=求解即可.【详解】对A ，由图可得，,,C Q B 共面，且N 不在平面内，则CQ 与BN 为异面直线,故A 正确；对B ，由正方体性质可得11C D ⊥平面11BCC B ，又CQ ⊂平面11BCC B ，故11C D CQ ⊥,故B 正确；对C ，由ND ⊥平面ABCD 可得直线BN 与平面ABCD 所成角为NBD ∠，又2AB AD ==，则1BD ND ==，故tan4NBD ∠==，故30NBD ∠≠︒，故C 错误；对D ，111114·2223323Q NBC N QBC QBC V V S D C --===⨯⨯⨯⨯= ，故D 错误.故选：AB12.在锐角ABC 中，已知4,3AB AC ==，D 为边BC 上的点，BAD CAD ∠=∠，则线段AD 长的可能取值为（）A.B.C.3.3D.【正确答案】AB【分析】根据等面积公式，结合三角形是锐角三角形，求线段AD 的取值范围，即可判断选项.【详解】4,3AB AC ==，设AD x =，BC a =，BAD CAD θ∠=∠=，且AB BD AC DC =，所以47BD a =，37DC a =根据ABD ADC ABC S S S += ，得1114sin 3sin 43sin 2222x x θθθ⨯⋅+⨯⋅=⨯⨯⋅，得24cos 7x θ=，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么1222477x <<，角C 为锐角三角形，则ABC 中，2291609160a a ⎧+->⎨+->⎩，即2725a <<，ADC △中，223907a x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，229949x a <+，即2929710497x ≤+⨯=综上可知，12261477x <≤，只有AB 满足条件.故选：AB关键点点睛：本题考查解三角形中的范围问题，关键是如何应用锐角三角形这个条件，根据余弦定理和三角形面积公式，围绕锐角三角形列式，即可求解.三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.如图，A B C ''' 是斜二测画法画出的水平放置的ABC 的直观图，D ¢是B C ''的中点，且A D y ''∥轴，BC x ''∥轴，2AD ''=，2B C ''=，则ABC 的面积是________．【正确答案】4【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可.【详解】由图象知：2BC B C ''==，24''==AD A D ，AD BC ⊥，D 为BC 的中点，ABC 的面积142S BC AD =⨯⨯=.故4.14.已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为104π，则其母线长为________．【正确答案】213【分析】由圆台的体积求得圆台的高h ，作出圆台的轴截面，由勾股定理可求得结果.【详解】圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，设圆台的高为h ，则该圆台的体积为22152ππ(2626)104π33V h h =⨯++⨯⨯==，则6h =，作出圆台的轴截面如图所示，上底面圆心为M ，下底面圆心为N ，MD ＝2，NC ＝6，过D 作DE ⊥NC ，则EC ＝6－2＝4，又DE ＝h ＝6，所以圆台的母线长为22213DC DE EC =+=．故答案为.21315.已知直三棱柱111ABC A B C -的高为4，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，则该三棱柱的外接球的体积为________．【正确答案】86π【分析】首先求出ABC 外接圆的半径r ，设直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为R ，则()()22222R h r =+，即可求出R ，再根据球的体积公式计算可得.【详解】因为2AB AC ==，90BAC ∠=︒，所以222BC AB AC =+=设ABC 外接圆的半径为r ，则222sin BCr BAC==∠，又直三棱柱111ABC A B C -的高4h =，设直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为R ，则()()22222R h r =+，即()(22224R =+，解得R =，所以外接球的体积34π3R V ==.故16.已知ABC 满足()AB AC AB AC BC ⋅=+⋅ ，则cos C 的最小值为________．【正确答案】23【分析】首先化简条件，再结合数量积公式和余弦定理化简得到2223a b c +=，再结合余弦定理和基本不等式求解.【详解】由条件可知，22()()A AB A A C A C B B AC AB A C ⋅=-=-+⋅ ,设,,AB c AC b BC a ===，则22cos bc A b c =-，即22222cos 2b c b c a A bc bc -+-==，则2222222b c b c a -=+-，化简为2223a b c +=，222222222222cos 233a b c a b c c C ab a b c +-+-=≥==+，当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值是23.故23四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()()32,,1，=-= a b x .（1）若()()22a b a b +⊥- ，求实数x 的值；（2）若()()8,1,//=--+ c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.【正确答案】（1）6x =或32x =-.（2）π4θ=【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标表示列出方程，解方程即可；（2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得5x =，结合数量积的定义计算即可求解.【小问1详解】已知()()=3,2,=,1a b x - ，所以()()232,0,26,5+=+-=- a b x a b x .又因为()()22a b a b +⊥- ，所以有()()220a b a b +⋅-=r r r r ，所以()()326050x x +-+⨯=，解得6x =或32x =-.【小问2详解】因为()8,1c =-- ，所以()8,2b c x +=-- .又()//a b c + ，所以()()32280x ⨯--⨯-=，解得5x =，所以()=5,1b - .所以cos 2||||a b a b θ⋅==⋅ ，因为0πθ≤≤，所以π4θ=.18.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b，c 2sin 0b C -=.（1）求角B的大小；（2）从条件①4b a ==；条件②2,4a A π==这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积.【正确答案】（1）3B π=（2）条件①：+；条件②：332+【分析】（1）首先利用正弦定理边化角求出sin B ，再结合角的范围，即可求得.（2）选条件①：首先利用余弦定理求出2c =.选条件②:首先利用正弦定理求出b ，再结合三角函数恒等变换求出sin C ，再利用三角形面积公式即可求得.【小问1详解】解：（12sin 0bC -=2sin sin 0C B C -=．因为0,,sin 02C C π⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭，所以sin 2B =．又因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=．【小问2详解】选条件①：4b a ==；因为4b a ==，由（1）得3B π=，所以根据余弦定理得2222cos =+-⋅⋅b c a c a B ，可得24110c c --=，解得2c =+所以ABC 的面积1sin 2S c a B =⋅=，选条件②：2,4a A π==；由（1）知3B π=且4A π=，根据正弦定理得sin sin b a B A =，所以sin sin ⋅==a B b A ，因为512C A B ππ=--=，所以5sin sin sin 12464C πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，所以ABC 的面积13sin 22=⋅=S b a C ．19.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm ．（1）这种“浮球”的体积是多少3cm （结果精确到0.1)（2）要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克附：π 3.14≈．【正确答案】（1）169.6（2）3768【分析】（1）分别求出两个半球的体积1V ，和圆柱体的体积2V ，即可求出“浮球”的体积；（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.【小问1详解】该半球的直径6cm d =，所以“浮球”的圆柱筒直径也是6cm ，得半径3cm R =，所以两个半球的体积之和为3344ππ2736πcm 33球==⋅=V R ，而23ππ9218πcm 圆柱=⋅=⨯⨯=V R h ，该“浮球”的体积是336π18π54π169.6cm 球圆柱=+=+=≈V V V ；【小问2详解】上下两个半球的表面积是224π4π936πcm 球表==⨯⨯=S R ，而“浮球”的圆柱筒侧面积为22π2π3212πcm 圆柱侧==⨯⨯⨯=S Rh ，所以1个“浮球”的表面积为24436π12π48πm 1010+==S ，因此，2500个“浮球”的表面积的和为244825002500π12πm 10=⨯=S ，因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：10012π3768⨯≈（克）．20.如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B 同在水平面内的两个测点C 与D .在C 点测得塔底B 在北偏东45︒方向，然后向正东方向前进10米到达D ，测得此时塔底B 在北偏东15︒方向.（1）求点D 到塔底B 的距离BD ；（2）若在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，求铁塔高AB .【正确答案】（1）米；（2）+米.【分析】（1）利用正弦定理列方程，解方程求得BD .（2）利用正弦定理列方程，解方程求得BC ，再解直角三角形求得AB .【详解】（1）由题意可知，45BCD ∠=︒，105BDC ∠=︒，故30CBD ∠=︒在BCD △中，由正弦定理，得sin sin BD CD BCD CBD =∠∠，10sin 45sin 30BD ∴=⋅︒=︒∴点D 到塔底B 的距离BD 为米（2）在BCD △中，由正弦定理，得sin sin BC BD BDC BCD=∠∠∴()()102sin10520sin 604520sin 60cos 45cos 60sin 45sin 45BC =⋅︒=⋅︒+︒=⋅︒︒+︒︒︒204=⨯=.在Rt ABC 中，tan AB BC ACB =⨯∠==.所以，铁塔高AB 为+米.21.如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，//BC AD ，CE AD ⊥，垂足为E ，33AD BC ==， 1.EC =将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置，如图2所示，使平面1D EC ⊥平面ABCE .（1）连结BE ，证明：AB ⊥平面1D BE ；（2）在棱1AD 上是否存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，若存在，直接指出点G 的位置(不必说明理由)，并求出此时三棱锥1G D EC -的体积；若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在，点G 为1AD 的中点，16.【分析】（1）通过面面垂线的性质定理，证得1D E ⊥平面ABCE ，由此证得1D E AB ⊥.利用勾股定理计算证明BE AB ⊥，从而证得AB ⊥平面1D EB .（2）通过线面平行的判定定理，判断出点G 为1AD 的中点.利用换顶点的方法，通过11G D EC C D EG V V --=，来计算出三棱锥1G D EC -的体积.【详解】(1)因为平面1D EC ⊥平面ABCE ，平面1D EC 平面ABCE EC =，11,D E EC D E ⊥⊂平面1D EC ，所以1D E ⊥平面ABCE ，又因为AB ⊂平面ABCE ，所以1D E AB⊥，又2AB BE AE ===，满足222AE AB BE =+，所以BE AB ⊥，又1BE D E E = ，所以AB ⊥平面1D EB .(2)在棱1AD 上存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，此时点G 为1AD 的中点.11G D EC C D EG V V --=，由(1)知，1D E ⊥平面ABCE ，所以1CE D E ⊥，又CE AE ⊥，所以CE ⊥平面1AED ，所以CE 为三棱锥1C D EG -的高，且1CE =，在1Rt D EA 中，11,2D E AE ==，G 为斜边1AD 的中点，所以111111212222D EG D EA S S ==⨯⨯⨯=，所以111111113326G D EC C D EG D EG V V S CE --==⋅=⨯⨯=.故，在棱1AD 上存在点G ，使得//BG 平面1D EC ，此时三棱锥1G D EC -的体积为16.本小题主要考查线面垂线的证明，考查面面垂直的性质定理的运用，考查三棱锥体积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22.已知向量()()2sin ,sin cos ,cos ,2a x x x b x m =+=-- ，函数()f x a b =⋅ ．（1）当2m =时，求()f x 的最小值；（2）是否存在实数m ，使不等式()42si 6n cos f x m x x>--+对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦恒成立，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）1-（2）存在，取值范围为(4,)+∞【分析】（1）根据已知条件及向量的数量积的坐标运算，再利用辅助角公式及二倍角的余弦公式，结合换元法及二次函数的性质即可求解；（2）根据（1）的出函数()f x ，利用换元法但注意新元的范围，结合不等式恒成立问题利用分离参数法转化为函数的最值问题，再利用对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】由题可知，因为()()2sin ,sin cos ,cos ,2a x x x b x m =+=-- ，所以π2sin cos (2)(sin cos )sin 22)sin((4)f x a b x x x x x x m m -++=+==+⋅ ππcos(2)2)sin2(4m x x +=+-+，又2ππcos(22sin (124x x -+=+-，令πsin([1,1]4x t =+∈-，当2m =时，所以22()()212(5f t t x t ϕ==--=--，对称轴1t =>，开口向上，由二次函数的单调性知，所以()t ϕ在[1,1]-上单调递减，所以当1t =时，()t ϕ取得最小值为2min ()(1)()21111t f x ϕϕ===⨯--=-.所以()f x 的最小值为1-【小问2详解】由（1）知，2sin cos (2)(sin )co (s )m f x a b x x x x -⋅+==+ ，所以()2sin cos (2)(sin cos )42sin c 6os f x x x m x x m x x =-++>--+，对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令sin cos x x p =+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，则πsin cos 4p x x x ⎛⎫=+= ⎝+⎪⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ3π,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 124x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即π14x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以1p ≤≤由sin cos x x p =+，得22sin cos 1x p x =-，则21(2)642p m p m p--+>--，整理得2(3)(2)(2)0p p mp p +-+->，所以23p mp +<，故3m p p >+在上恒成立，由对勾函数的性质知：3p p+在上单调递减，当1p =时，3p p+取到最大值4，所以4m >，故存在m ，且m 的范围为(4,)+∞.。
江苏省南京市中华中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题
2022-2023学年南京市中华中学高一下5月月考卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1.已知复数z i =+（i 是虚数单位），z 的共轭复数记作z ，则zz=（ ）2i − 2i+ C.2i − D.2i2.已知sin 4πα−，则sin 2α的值为（ ） A.2425−B.2425C.125D.125−3.已知a ，b ，c 均为单位向量，且220a b c +−=，则b c ⋅=（ ） A.38B.58C.78D.984.在正方体1111ABCD A B C D −的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60°的直线的条数为（ ） A.2B.4C.5D.65.如图，二面角l αβ−−的大小是60°，线段AB α⊂，B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.求直线AB 与平面β所成的角的正弦值.6.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为（ ） A.8B.9C.10D.77.1，O 为底面圆心，OA ，OB 为底面半径，且23AOB π∠=，M 是母线PA 的中点.则在此圆锥侧面上，从M 到B 的路径中﹐最短路径的长度为（ ）1−1+8.在锐角ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若4cos a bC b a+=，则tan tan tan tan C C A B +=（ ）A.1B.12C.4D.2二、多选题（共4小题，每题5分，共20分）9.下列关于复数z 的四个命题，真命题的为（ ） A.若1R z∈，则z R ∈ B.若2z R ∈，则z R ∈C.若1z i −=，则z 的最大值为2 D.若310z −=，则1z =10.已知a ，b ，c 分别是ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是（ ） A.若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC △是锐角三角形 B.若cos cos a A b B =，则ABC △是等腰直角三角形 C.若cos cos b C c B b +=，则ABC △是直角三角形 D.若cos cos cos a b c A B C==，则ABC △是等边三角形 11.如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，点P 是棱1CC 上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（ ）A.存在点P ，使DP ∥面11AB DB.二面角1P BB D −−的平面角为60°C.1PB PD +D.P 到平面11AB D 12.已知四边形ABCD 是等腰梯形（如图1），3AB =，1DC =，45BAD ∠=°，DE AB ⊥.将ADE △沿DE 折起，使得AE EB ⊥（如图2），连结AC ，AB ，设M 是AB 的中点.下列结论中正确的是（ ）A.BC AD ⊥B.点E 到平面AMCC.EM ∥平面ACDD.四面体ABCE 的外接球表面积为5π三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
新疆乌鲁木齐市第二十三中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
新疆乌鲁木齐市第二十三中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，E 为11C D 中点，则异面直线1AD 与CE 所成角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒2．已知树人中学高一年级总共有学生n 人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取10n 名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则n =（ ）A ．1100B ．1000C ．900D ．8003．设,αβ是两个不同的平面，m ，l 是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若,,m l αβαβ⊥∥∥，则m l ⊥B ．若,,m l l m αβ⊂⊂P ，则αβ∥C ．若,,m l l m αβ⊥⊥P ，则αβ⊥D ．若,,m l l αβαβ=I ∥∥，则//m l4．在三棱锥-P ABC 中，PA PB AC BC ====2PC AB ==，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（ ）A ．20πB ．12πC ．5πD ．4π5．如图，四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形90BAD ADC ︒∠=∠=，23AB CD =，E 为PC 上靠近点C 的三等分点，则三棱锥B CDE -与四棱锥P ABCD -的体积比为（ ）A ．19B ．15C ．16D ．136．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．点1C 、1D 到平面PMN 的距离相等B ．PN 与QM 为异面直线C ．90PNM ∠=oD ．平面PMN 截该正方体的截面为正六边形7．已知平面向量a →，b →，且满足2a a b b →→→→⋅===，若e →为平面单位向量，则a e b e →→→→⋅+⋅的最大值（ ）A ．3B ．C ．4D ．8．已知空间4个球,它们的半径分别为2, 2, 3, 3,每个球都与其他三个球外切,另有一个小球与这4个球都外切,则这个小球的半径为（ ）A ．711B ．611C ．511D ．411二、多选题9．设复数z 在复平面内对应的点为Z ，原点为O ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）A ．若()2i z ⋅+=2z z ⋅=B ．若点Z 的坐标为()3,2-，且z 是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q ∈R ）的一个根，则19p q +=C ．若复数i i 1z =+，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限D ．若复数z 满足12i 1z -+=，则z 110．设ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ）A ．若cos cos a A bB =，则ABC V 为等腰三角形B ．若60B =︒，b =ABC V 面积的最大值为C ．若AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，[)0,λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC V 的内心D ．若O 是ABC V 内的一点，满足340OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则:1:8AOC ABC S S =△△11．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=o ，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45o ，则（ ）A ．该圆锥的体积为3πB．该圆锥的侧面积为C．AC D ．PAC △的面积为2三、填空题12．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2c o s c o s c B b C a +=，若2B C A +=，则ABC V 外接圆半径为.13．已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为.14．在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==．将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的体积为．四、解答题15．已知3a =r ，4b =r ，且a r 与b r 的夹角为120︒．(1)求b r 在a r 上的投影向量；(2)若()()2a b ka b +⊥-r r r r ，求实数k 的值； (3)求向量b r 与向量a b +r r 夹角的余弦值．16．在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是1AA ，11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1//A E 平面1C BD ；（Ⅱ）若1DC BD ⊥，1AC BC ==，12AA =．（ⅰ）求二面角1B DC C --的正切值；（ⅱ）求直线1A E 到平面1C BD 的距离．17．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足22cos 0+-=c b a B ．(1)求角A ；(2)若D 为BC 上一点，且2AB =，1AC =，90BAD ∠=︒，求CAD V 的面积；(3)若a =32BA AC ⋅=u u u r u u u r ，AD 是ABC V 中线，求AD 的长． 18．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形1111D C B A 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面1111D C B A ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．(1)求证：11AC 与AC 共面，11B D 与BD 共面；(2)求证：平面11A ACC ⊥平面11B BDD ；(3)求二面角1A BB C --的余弦值．19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P 处的离散曲率为()1223111Φ12πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -=-∠+∠++∠+∠L ，其中i Q（1i =，2，…，k ，3k ≥）为多面体Γ的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体Γ的所有以P 为公共点的面．(1)求四棱锥S ABCD -在各个顶点处的离散曲率的和；(2)如图，现已知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1AA AB =， ①若四面体1A ABD 在点1A 处的离散曲率为712，证明：1AC ⊥平面1A BD ； ②若直四棱柱1111ABCD A B C D -在顶点A 处的离散曲率为13，求直线1BC 与平面1ACC 所成角的正弦值．。
高一(下)5月月考数学试卷
高一（下）5月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．不等式﹣x2﹣2x+3≥0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤3} B．{x|x≥3或x≤﹣1} C．{x|﹣3≤x≤1} D．{x|x≤﹣3或x ≥1}2．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b33．已知，，若，则=（）A．B．1 C．D．4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2 C．2 D．5．在等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a5a6a7=（）A．3 B．C．±3D．以上皆非6．已知：在△ABC中，，则此三角形为（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形7．如图，已知=a， =b， =3，用，表示，则=（）A． + B．+C．+D．+8．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时n的值为（）A．8 B．9 C．10 D．169．已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=（）A ．﹣4B ．4C ．﹣2D ．210．一艘轮船从A 出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C ．如果下次航行直接从A 出发到C ，此船航行的方向和路程（海里）分别为（ ）A ．北偏东80°，20（+）B ．北偏东65°，20（+2）C ．北偏东65°，20（+）D ．北偏东80°，20（+2）11．已知，，点C 满足，且∠AOC=60°，则等于（ ）A ．B ．1C ．D ．12．数列{a n }满足a n+1+（﹣1）n a n =2n ﹣1，则{a n }的前60项和为（ ）A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．单位圆上三点A ，B ，C 满足++=0，则向量，的夹角为 ．14．设{a n }为递减等比数列，a 1+a 2=11，a 1•a 2=10则lga 1+lga 2+…+lga 10= ．15．若函数()()lg 101x f x ax =++是偶函数，()42x xb g x -=是奇函数，则a b +的值是 ．16．已知x ，y ∈R +且3x+y=4，若不等式xy ≤（x+3y ）•a 对任意x ，y ∈R +恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三.解答题（本大题共6个小题，共70分）17．设向量，的夹角为60°且||=||=1，如果，，．（1）证明：A 、B 、D 三点共线．（2）试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量与向量垂直．18．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点1(,)(2)n n S a n -≥在函数34y x =+的图象上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若22log 7n n a b +=，且12n n n b c += ，其中n *∈N ，求数列{}n c 的前前n 项和n T ．19．已知递增的等差数列{a n }，首项a 1=2，S n 为其前n 项和，且2S 1，2S 2，3S 3成等比数列． （I ）求{a n }的通项公式；（II ）设，若数列{b n }的前n 项和为T n ，且（m 为正整数）恒成立，求m 的最小值．20．△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知边c=2，且asinA ﹣asinB=2sinC ﹣bsinB ．（1）若sinC+sin （B ﹣A ）=sin2A ，求△ABC 的面积；（2）记AB 边的中点为M ，求|CM|的最大值，并说明理由．21．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x ≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．22．已知公差为d（d＞1）的等差数列{a n}和公比为q（q＞1）的等比数列{b n}，满足集合{a3，a4，a5}∪{b3，b4，b5}={1，2，3，4，5}（1）求通项a n，b n；（2）求数列{a n b n}的前n项和S n；（3）若恰有4个正整数n使不等式成立，求正整数p的值．。
江苏省高一下学期5月月考数学试题(解析版)
高一下5月月考卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1. 已知复数（是虚数单位），的共轭复数记作，则（ ）z i =iz z z z=A.B.C. D.2i-2i 2i -2i【答案】A 【解析】【分析】利用复数的模长公式、共轭复数的定义可求得复数. zz【详解】，则，，因此，. z i =+ 2z ==z i =-12z i z =-故选：A. 2. 已知,则的值为( ) sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2αA. B.C.D. 2425-2425125125-【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式，以及二倍角公式，即得解. sin 2cos[2(4παα=-212sin (4πα=--【详解】由诱导公式：，sin 2sin[2()+cos[2(424πππααα=-=-再由二倍角公式： 2cos[2()]12sin (44ππαα-=--=2425故选：B【点睛】本题考查了诱导公式，二倍角公式综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.3. 已知，，均为单位向量，且，则（ ） abc220a b c +-=b c ⋅=A.B.C.D.38587898【答案】C 【解析】【详解】由题意知：，则22c b a -=222448c b b c a +-⋅= 即，得：.881b c -⋅=78b c ⋅= 故选:C .4. 在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，与直线异面且夹角成的直线的1111ABCD A B C D -1A B 60 条数为（ ） A. B. C. D.2456【答案】B 【解析】【分析】结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把符合题意的异面直线列出来即可求解. 【详解】在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，1111ABCD A B C D -连接，，则是等边三角形，可得，11AC 1BC 11A BC V 111160C A B C BA ∠=∠=因为，所以与夹角成且异面，11//AC AC AC 1A B 60 因为，所以与夹角成且异面， 11//AD BC 1AD 1A B 60 同理可得，与夹角成且异面，11D B 1B C 1A B 60 所以与直线异面且夹角成的直线有：，，， 共条， 1A B 60 1AD AC 11D B 1B C 4故选：B ．5. 如图，二面角的大小是，线段．，与所成的角为．直线与l αβ--60︒AB α⊂B l ∈AB l 30︒AB 平面所成的角的正弦值是（ ）βA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】过点作平面的垂线，垂足为，在内过作的垂线．垂足为连接，由三垂线定A βC βC l D AD 理可知，故为二面角的平面角为，在即可得到答案； AD l ⊥ADC ∠l αβ--60︒ABC 【详解】解：过点作平面的垂线，垂足为，在内过作的垂线．垂足为连接， A βC βC l D AD 由三垂线定理可知，故为二面角的平面角为 AD l ⊥ADC ∠l αβ--60︒又由已知，30ABD ∠=︒连接，则为与平面所成的角， CB ABC ∠AB β设，则，，2AD =AC =1CD =4sin 30ADAB ==︒直线与平面所成的角的正弦值． ∴AB βsin AC ABC AB∠==故选：．A6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ，∠ABC 的平分线交AC 于点120ABC ∠=︒D ，且BD ＝1，则 的最小值为（ ） 4a c +A. 8 B. 9C. 10D. 7【答案】B【解析】【分析】根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即111a c +=4a c +11(4)(a c a c++可求得答案.【详解】由题意得 ， 111sin120sin 60sin60222ac a c =+ 即 ，得，ac a c =+111a c+=得 ， 114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥5459=+=当且仅当，即时，取等号， 4c aa c=23c a ==故选：B ．7. 如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O 为底面圆心，OA ，OB 为底面半径，且∠AOB =2,3πM 是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M 到B 的路径中，最短路径的长度为（ ）A.B.-1C.D.+1【答案】A 【解析】【分析】画出圆锥侧面展开图，求得，再求出，即可利用余弦定理求解.AB APB ∠【详解】如图为圆锥的侧面展开图，, 22133AB ππ=⨯=，则，2PA == 3AB APB PAπ∠==在中，，PMB △1,2PM PB ==则，22221221cos33MB π=+-⨯⨯⨯=M 到B 的路径中，最短路径的长.MB ∴=故选：A.8. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，若，则ABC A B C a b c 4cos a b C b a +=tan tan tan tan C C A B+=（ ）A. B.C. D.11242【答案】D 【解析】 【分析】利用正、余弦定理角化边，运用同角三角函数关系切化弦，化简解出即可 【详解】锐角中，ABC ， 4cos b aC a b+= 由余弦定理可得， 2222242a b a b c ab ab++-=⨯化简得：， 2222a b c +=又tan tan sin cos sin cos tan tan cos sin cos sin C C C A C BA B C A C B +=+ sin sin cos cos sin cos sin sin C B A B A C A B+= 22sin sin sin cos cos C c A B C ab c ==⋅． 22222222222c ab c ab a b c c c=⋅==+--故选：D9. 下列关于复数的四个命题，真命题的为（ ） z A. 若，则 B. 若，则 1R z∈z R ∈2z ∈R z R ∈C. 若，则的最大值为 D. 若，则1z i -=z 2310z -=1z =【答案】AC 【解析】【分析】利用复数的运算可判断AB 选项的正误，利用复数模长的三角不等式可判断C 选项的正误，解方程，可判断D 选项的正误.310z -=【详解】对于A 选项，设，则，(),z a bi a b R =+∈220a b +>，，则，从而， ()()222211a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b -===-++-++1R z∈ 0b =z R ∈A 选项正确；对于B 选项，取，则，但，B 选项错误；z i =21z R =-∈z R ∉对于C 选项，由复数模的三角不等式可得，C 选项正确； ()2z z i i z i i =-+≤-+=对于D 选项，由，可得或，()()321110z z z z -=-++=1z =210z z ++=由，则，解得或，22131024z z z ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭221324z ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12z =-12z =-+D 选项错误. 故选：AC.10. 已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（ ）a b c ABC A B C A. 若，则是锐角三角形 tan tan tan 0A B C ++>ABC B. 若，则是等腰直角三角形 cos cos a A b B =ABC C. 若，则是直角三角形 cos cos b C c B b +=ABC D. 若，则是等边三角形 cos cos cos a b cA B C==ABC 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，化简得，然后即可判断选项A 正确 0tanA tanB tanC tanAtanBtanC ++=>对于B ，通过倍角公式，化简为，然后即可判断选项B 错误22sin A sin B =对于C,通过和差公式和诱导公式即可化简出，，然后即可判断选项C 错误sin sinB A =对于D ，利用正弦定理，把化简为，即可判断选项D 正确 cos cos cos a b cA B C==tanA tanB tanC ==【详解】对于A ，，()(1)tanA tanB tan A B tanAtanB +=+- ()(1)tanA tanB tanC tan A B tanAtanB tanC++=+-+∴，()10tanC tanAtanB tanC tanAtanBtanC =--+=>又由A ，B ，C 是的内角，故内角都是锐角，故A 正确ABC ∆对于B ，若，则，则，则cos cos a A b B =sinAcosA sinBcosB =22sinAcosA sinBcosB =，则或，是等腰三角形或直角三角形,故B 错误22sin A sin B =A B =90A B ︒+=ABC ∆对于C,，，即，则cos cos b C c B b +=sinB =cos sin()sin sinBcosC sinC B B C A +=+=A B =是等腰三角形，故C 不正确ABC 对于D ，若，则，则， cos cos cos a b c A B C ==sin sin sin cos cos cos A B CA B C==tanA tanB tanC ==，即是等边三角形，故D 正确A B C ==ABC 故选：AD【点睛】本题考查倍角公式、和差公式以及正弦定理的使用，属于简单题11. 如图，正方体的棱长为1，点P 是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法1111ABCD A B C D -1CC 不正确的是（ ）A. 存在点P ，使面 //DP 11AB DB. 二面角的平面角为60° 1P BB D --C. 1PB PD +D. P 到平面11AB D 【答案】BD【分析】当与点重合时， 面，A 正确，二面角的平面角为，P 1C DP 11AB D 1P BB D --45CBD ∠=︒B 错误， ，C 正确，当与点重合时，P 到平面D 错误，得到答11D PB PD B '≥+P C 11AB D 案.【详解】当与点重合时，，平面，不在面故面，P 1C 1DP AB ∥1AB ⊂11AB D DP 11AB D DP 11AB D A 正确；二面角即二面角，平面角为，B 错误； 1P BBD --1C BB D --45CBD ∠=︒如图所示：共线时等号成立，C 正确；111PB PD PB B PD D '++'=≥=1,,D P B '，得到平面，故，同理可得平面，设1111D B AC ⊥1111D B C C ⊥11D B ⊥11A C C 111D B AC ⊥1A C ⊥11D BA 交平面于，1AC 11D B AH 则，当与点重合时，P到平面的距离11cos AC AH AC ACA AC AC =⋅=⋅==P C 11AB D D 错误. 故选：BD.12. 已知四边形ABCD 是等腰梯形（如图1），AB ＝3，DC ＝1，∠BAD ＝45°，DE ⊥AB .将△ADE 沿DE 折起，使得AE ⊥EB （如图2），连结AC ，AB ，设M 是AB 的中点.下列结论中正确的是（ ）B. 点E 到平面AMC 的距离为C. EM ∥平面ACDD. 四面体ABCE 的外接球表面积为5π 【答案】BD 【解析】【分析】对选项A ，在图1中，过作，连接，易证平面，假设，C CF EB ⊥CE BC ⊥AEC BC AD ⊥得到平面，与已知条件矛盾，故A 错误；对选项B ，设点到平面的距离为，根据BC⊥AED E AMC h 求解即可；对选项C ，假设平面，从而得到平面平面，与已A BCE E ABC V V --=//EM ACD //AEB ACD 知条件矛盾，故C 错误；对选项D ，连接，易得为四面体的外接球的球心，再计算外接球MC M ABCE 表面积即可。
安徽省六安市独山中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷
安徽省六安市独山中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷一、单选题1．已知等边三角形ABC V ，则AB 与BC的夹角为（）A ．120︒B ．60︒C ．30︒D ．60-︒2．若18045,k k Z α=⋅+∈ ，则α的终边在（）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限3．已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 4αβ-=，则cos()αβ+的值为（）A ．516-B ．516C ．2732-D ．27324．一台“傻瓜”计算器只会做以下运算：1减去输入的数并将得到的差取倒数，然后将输出的结果再次输入这台“傻瓜”计算器，如此不断地的进行下去．若第一次输入的是2cos α，则第2022次输出的是（）A ．2tan α-B ．2cot α-C ．2cos αD ．21sin α5．下列命题：①若a b = ，则a b =；②若a b = ，b c =，则a c = ；③a b =的充要条件是a b = 且//a b r r ；④若//a b r r ，//b c，则//a c r r ；⑤若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．56．函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则（）A ．()23x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()223x f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．()26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．已知,αβ为锐角，4cos 5α=，()1 tan 3αβ－=-，则cos β的值为()A ．50B C ．－1010D ．508．已知()()tan 2tan tan αβαβ+=+，且tan tan 0αβ+≠，()3cos 5αβ-=，则()cos 22αβ+=（）A ．725-B ．725C ．2325-D ．2325二、多选题9．已知角α的终边在第一象限，那么角3α的终边可能在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星（5个顶点构成正五边形）是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，12PT AT =，则（）A ．0AP SE RQ ++=B ．QC SD QD RS +=+C ．512AT += D ．CQ TP=11．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,2π内恰有4个零点，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在()0,2π内有两处取到最小值B ．()f x 在()0,2π内有3处取到最大值C ．11763ω<≤D ．()f x 在0,11π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增三、填空题12．若平面向量a ，b 满足6a = ，4b = ，a 与b 的夹角为60︒，则()a ab ⋅-=．13．已知sin cos 2θθ+=，则1tan tan θθ+=．14．若7sin 714πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 14πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．四、解答题15．（1）若3π2π2α<<，化简：()sin πα⎫⎪⎪-⋅⎪⎪⎝⎭；（2）若πcos 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭22π7πcos cos 36αα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．16．已知()sin()cos f x x a x ϕ=++，其中π||2ϕ<．(1)若π222f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求ϕ的值；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求()f x 的单调递增区间．条件①：π3a ϕ=-；条件②：π1,6a ϕ=-=．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17．已知22sin(3)cos(5)()3cos sin 22f παπααππαα-+=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）化简()f α，并求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若tan 3α=，求()f α的值；（3）若12()25f α=，(0,)απ∈，求sin cos αα-的值.18．已知函数()1πcos 223⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x (1)填写下表，并用“五点法”画出()f x 在[]0,π上的图象；π23x +π37π3x 0π()f x (2)将()y f x =的图象向下平移1个单位，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移π4个单位后，得到()g x 的图象，求()g x 的对称中心．19．已知函数()πsin cos 4f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期；(2)若5π122414f θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos θ的值.。
江苏省南京市高一下学期5月月考数学试题(解析版)
高一下五月月考卷一､选择题（共8小题，每题5分，共40分）1. 若（－1＋i ）z ＝3＋i ，则|z |＝（ ）A. B. 8C.D. 5【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘、除法运算求出，结合复数的几何意义计算即可. 2i z =-+【详解】由题意知，， ()()(3i)1i 3i 12i 1i 1i (1i)z +--+===---+-+--所以z ==故选：C2. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且A B C ''' ABC D ¢B C ''A D y '''∥轴，轴，，，那么（ ）B C x '''∥2A D ''=2B C ''=A. 的长度大于的长度B. 的面积为2 AD AC A B C '''C. 的面积为4D. ABC π4ABC ∠=【答案】C 【解析】【分析】结合斜二测画法的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意是的中点，且轴，轴，，， D ¢B C ''A D y '''∥B C x '''∥2A D ''=2B C ''=三角形中，， A D C '''π4A D C '''=∠三角形中，，，，ADC π2ADC ∠=24''==AD A D 1CD =AC ==，所以A 选项错误.AD AC <，C 选项正确.12442ABC S =⨯⨯=，B 选项错误.1π221sin 24A B C S '''⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ 由于，所以三角形不是等腰直角三角形，所以D 选项错误. π,1,4,2ADB BD AD BD AD ∠===≠ABC 故选：C3. 已知两个非零向量，的夹角为，且，则（ ）a b 60︒(2)a a b ⊥-2ab a b+=- A. 3 B.C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，结合数量积的运算律可推得.进而根据数量积的运算律求出ab =，即可得出答案.2a b += b a =【详解】由已知可得，即， (2)0a a b ⋅-=2222cos 600a a b a a b -⋅=-︒= 所以，.a b =所以，2a b +=，a b a -==所以，.2a ba b +=-故选：B.4. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）,αβ,l mA. 若，则 ,,l m αβαβ⊥⊂⊂l m ⊥B. 若，则 ,l l αβ⊥⊥//αβC. 若，则,m βαβ⊥⊥//m αD. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则 //αβl αm β//l m 【答案】B 【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，若，则与可能平行，所以A 选项错误. ,,l m αβαβ⊥⊂⊂l m B 选项，两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行，所以B 选项正确. C 选项，若，则可能含于，所以C 选项错误.,m βαβ⊥⊥m αD 选项，若，且与所成的角和与所成的角相等，则可能与异面或相交， //αβl αm βl m 故选：B5. 如图，是圆柱的轴截面，，点在底面圆周上，且是的中点，则异面直线ABCD 32AB AD =E AB AE 与所成角的正切值为（ ）BDA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】连接，取中点为，中点为，记中点为，连接，，，BE AD M BE F AB O OM OF MF AF，根据题意，得到为异面直线与所成的角或所成角的补角，设，由题中条件，∠MOF AE BD 3AD =求出，，，求出异面直线与所成角的余弦值，进而可求出正切值.OM OF MF AE BD【详解】连接，取中点为，中点为，记中点为， BE AD M BE F AB O 连接，，，，OM OF MF AF则且，且， //OM BD 12OM BD =//OF AE 12OF AE =则为异面直线与所成的角或所成角的补角，∠MOF AE BD 因为是圆柱的轴截面，所以四边形为矩形，且底面； ABCD ABCD AD ⊥设，由得，则3AD =32AB AD =2AB =BD ==因为点在底面圆周上，且是的中点，则为等腰直角三角形，E AB AEB △所以，因此，BE AE AB ===AF ===则MF ===又，12OM BD ==12OF AE ==设异面直线与所成的角为，AE BD θ则，cos cos θ=∠=则， sin θ==因此tan θ====故选：A.【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，根据异面直线的概念求解即可，属于常考题型.6. 羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶璃所围成圆的直径是8cm ，底部所围成圆的直径是，据此可估算球托之外羽毛球所在曲面的展开图的圆心角为（ ）6cm 2cmA.B.C.D.2π33π4π2π3【答案】C 【解析】【分析】由已知得出圆台的半径以及母线长，将圆台还原为圆锥，根据相似关系得出.进而根据圆锥4x =的侧面展开图，即可求出答案.【详解】由已知可得，圆台的母线长为8，下底面圆的半径为1，上底面圆的半径为3， 将圆台补成圆锥，如图1所示：则羽毛所在曲面的面积为大､小圆锥的侧面积之差， 设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为， x 8x +由相似得，解得. 286x x =+4x =将该圆锥展开得到扇形如图2则小圆锥的半径，的长为， 4OA = AB 2π12π⨯=所以估算球托之外羽毛所在的曲面展开图圆心角为. 2ππ42α==故选：C.7. 将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点x απ3，则的值为（ ）3,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由已知可得，根据角的范围，可知.然后根据三角函数的定义得出角的45y =±α45y =π3α+三角函数值.进而根据诱导公式，以及两角差的余弦公式，即可得出答案.【详解】由已知可得，解得.22315y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭45y =±因为锐角，则，所以.0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭45y =根据三角函数的定义可得，，， π3cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以. πππsin cos cos 233ααα⎛⎫⎛⎫+==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin 3333αα⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.8. 已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且ABC ,,A B C ,,,a b c ABC S ，若，则的取值范围是（ ）()22sin 2bc B S -⋅=a kc =kA. B. C. D.()1,2()0,3()1,3()0,2【答案】A 【解析】【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由2cos c a c B =-2B C =为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范ABC ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭111cos 0,2222a c B k c -⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭k 围.【详解】因为，所以， 1sin 2S ac B =()22sin 2sin b c B S ac B -⋅==即，22b c ac -=所以， 2222cos ac c a c ac B +=+-整理得：， 22cos ac a ac B =-因为，0a >所以，2cos c a c B =-由正弦定理得：， sin sin 2sin cos C A C B =-因为， ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+所以， ()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =-=-因为为锐角三角形， ABC 所以为锐角，B C -所以，即，C B C =-2B C =由，解得：，π0,2π0,22ππ0,22B B C B A B ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--∈⎪ ⎪⎝⎭⎩ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为， a kc =所以， 111cos 0,2222a c B k c -⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭解得：， ()1,2k ∈故选：A【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.二､多选题（共4小题，每题5分，共20分）9. 已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）A. 若复数满足，则复数对应的点在以z |i |z -=z (1,0)B. 若复数满足，则复数 z ||28i z z +=+158i z =-+C. 若复数，满足，则1z 2z 12||||z z =1122z z z z ⋅=⋅D. 若复数，满足，则1z 2z 12||||z z =2212z z =【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，结合复数的几何意义，即可求解， 对于B ，结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解，对于C ，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解， 对于D ，合特殊值法，即可求解．【详解】解：对于A ，复数满足，则复数对应的点在以为半径的圆z |i |z -=z (0,1)上，故A 错误，对于B ，令，，，i z a b =+aR b ∈，||28i +=+ z z ，即，解得，∴||i 28i +=+=+z z a b 28a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩158a b =-⎧⎨=⎩，故B 正确，158i ∴=-+z 对于C ，，，2111||z z z ⋅=2222||z z z ⋅=，12||||z z = 则，故C 正确，∴1122z z z z ⋅=⋅对于D ，令，，满足，但，故D 错误．11z =2i z =12||||z z =2212z z ≠故选：BC ．10. 已知向量，在向量上的投影向量为，则（ ）()4,3a =r a b()2,4c =rA.a b c b ⋅=⋅B. 与方向相同的单位向量为或 b⎛ ⎝C. 的最小值为0()b b a ⋅-D.的最小值为a b -r r【答案】ABD 【解析】【分析】根据已知条件可知，设，利用数量积的坐标表示可判断A ；由的坐标//b c ()2,4b c λλλ== b可求与方向相同的单位向量可判断B ，利用数量积的坐标运算求的最小值可判断C ；计算b()b b a ⋅- 的最小值，进而可得的最小值可判断D ，进而可得正确选项.2a b -r r a b -r r 【详解】由投影向量的定义可知：，可知，设cos ,b c a a b b=⋅//b c ()2,4b c λλλ== 对于A ：，，所以，423420a b λλλ⋅=⨯+⨯= 224420c b λλλ⋅=⨯+⨯= a b c b ⋅=⋅故选项A 正确；对于B ：由于方向相同的单位向量为b ==b 即或故选项B 正确；))2,42,4bb λλ==⎛ ⎝对于C ：因为，所以()24,43b a λλ-=--()()()22122444*********b b a λλλλλλλ⎛⎫⋅-=-+-=-=-- ⎪⎝⎭r r r 所以当时，的最小值为，故选项C 不正确；12λ=()b b a ⋅- 5-对于D ：因为()42,34a b λλ-=-- ()()22224234204025a b λλλλ--+=-=-+ ，所以当时，的最小值为D 正确，()22015λ=-+1λ=a b -r r故选：ABD.11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） ()h x =A. 在上单调递增()h x π[0,3B. 的图象的一条对称轴方程为 ()h x π2x =C. 的最小正周期为 ()h x π2D. 的最大值为()h x 342【答案】BCD 【解析】【分析】计算与的值判断A ；计算判断B ；计算判断C ；化函数为π(6h π()3h (π)()h x h x --π()2h x +，再求出最大值判断D 作答.()h x =【详解】函数， ()h x =对于A ，当时，，则在上不单调，A 错误； π[0,3x ∈ππ()(63h h ==()h x π[0,3对于B ，， (π)()0h x h x --=-=于是的图象的一条对称轴方程为，B 正确； ()h x π2x =对于C ，， π()()2h x f x +==+=显然不存在比小的正常数，使得恒成立，于是的最小正周期为，C 正确； π2a ()()h a x h x +=()h x π2对于D ，，()h x ==令，则函数在上单调递增，当时，，|sin 2|[0,1]t x =∈y =[0,1]1t =34max 2y ==所以当，即时，取得最大值.|sin 2|1x =ππ(Z)42k x k =+∈()h x 342故选：BCD12. 如图，在边长为2的正方形 中，E ，F 分别是 的中点，D 是EF 的中点，将123SG G G 1223G G G G , 分别沿SE ，SF 折起，使 两点重合于G ，下列说法正确的是（ ）13SG E SG F ， 13,G GA. 若把 沿着EF 继续折起， 与G 恰好重合2G EF 2G B.SG EF ⊥C. 四面体S GEF -D. 点G 在面SEF 上的射影为△SEF 的重心【答案】ABC【解析】【分析】根据，可说明 与G 恰好重合，判断A ;根据线面垂直的性质定理可22GE GF G E G F ===2G 判断B ;将四面体 补成长方体，可求得其外接球半径，进而求得外接球体积，判断C ;根据线面S GEF -垂直证明线线垂直，说明点G 在面SEF 上的射影为三角形的高的交点，判断D .【详解】对于A ，因为，故把沿着继续折起，与恰好重合，22GE GF G E G F ===2G EF EF 2G G 正确；A 对于B ,因为,D 是EF 的中点，故;GE GF =GD EF ⊥又，故平面GEF,,,SG GE SG GF GE GF G ⊥⊥= SG ⊥而平面GEF,故,又平面SGD ,EF ⊂SG EF ⊥,,SG GD G SG GD =⊂ 所以平面，平面,所以正确；EF ⊥SDG SG ⊂SDG ,B SG EF ⊥对于，由翻折的性质可知，两两垂直，C ,,GE GF GS 将其补成相邻三条棱长为1,1,2的长方体，则长方体外接球和四面体外接球相同，其体对角线长，所以长方体外接球的半径为， l ==R =故外接球的体积为，故正确； 34π3V =⋅=C 对于D ，因为两两互相垂直，故平面GEF ,则,,,GE GF GS SG ⊥SG EF ⊥设P 为点G 在平面SEF 上的射影，连接EP,SP ,则 ,GP EF ⊥而平面SGP ,故平面SGP, 平面SGP,,,SG GP G SG GP =⊂ EF ⊥SP ⊂故，同理可证,即点P 为三角形高线的交点，EF SP ⊥SF EP ⊥SEF 所以点在平面上的射影为的垂心，故D 错误，G SEF SEF 综上，正确答案为ABC ，故选：ABC三､填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 如图，二面角等于，A 、是棱l 上两点，BD 、AC 分别在半平面、内，，l αβ--120︒B αβAC l ⊥，且，则CD 的长等于________.BD l ⊥2AB AC BD ===【答案】4【解析】【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知，,120BD AC =︒ ∴，cos ,22cos1202BD AC BD AC BD AC ⋅==⨯⨯︒=- 由，，得，，又， AC l ⊥BD l ⊥0AC BA ⋅= 0BD BA ⋅= DC DB BA AC =++∴()22222222DC DB BA ACDB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++⋅+⋅+⋅ ， ()2222222122216BD AC =++-⋅=-⨯-= 所以，即.4DC = 4CD =故答案为：4.14. 已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为,a b 3πc (2)()0c a c b -⋅-= ||c _________．【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义，结合平面向量数量积不等式进行求解即可, 【详解】，2(2)()0(2)20c a c b c c a b a b -⋅-=⇒⋅++⋅= -因为均为单位向量，且夹角为， ,a b 3π所以有， 221(2)2110(2)12c c a b c a b c ⋅++⨯⨯⨯=⇒⋅+=+ -， (2)2c a b c a ⋅+≤⋅即，(2)c a b ⋅+≤ 2(2)1c a b c ⋅+=+所以有， 21c c +≤≤≤因此， ||c15. 如图，直三棱柱的上､下底面为等腰直角三角形，，，111ABC A B C -AB AC ==90BAC ∠=︒侧棱长为4，为线段上的动点，则当二面角的正切值为4时，三棱锥的外P 11A B A BC P --11A A C P -接球的体积为__________.【答案】【解析】【分析】根据已知条件，作，交于，过作，连接，即可得出1//PM AA AB M M MN BC ⊥PC 二面角的平面角，进而根据已知得出的位置.根据三棱锥的性质，将三棱锥补为长PNM ∠A BC P --P 方体，求出长方体的体对角线的长，即可得出半径，根据体积公式，即可得出答案. 【详解】如图作，交于，则，过作，连接. 1//PM AA AB M 14PM AA ==M MNBC ⊥,PC PN 因为平面，所以平面，1AA ⊥ABC PM ⊥ABC 则二面角的平面角.PNM ∠A BC P --因为，二面角的正切值为4，A BC P --所以， 4PM MN=所以，，1MN =MB =所以，AM =1A P =可把三棱锥补成棱长为4的长方体，11A A C P -则三棱锥的外接球的半径为11A A C P -R ==所以，三棱锥的外接球的体积为. 11A A C P -34π3=故答案为：.16. 在中，若，，则的周长的最大值为ABC ∆3AC =11112sin tan sin tan B B A A+=++ABC __________.【答案】6+6+【解析】【分析】根据已知切化弦，整理可得.由正弦定理角化边，整sin sin sin (12cos 2sin )A C B A A +=++理可得.然后即可根据角的范围得出答案. π314a c A ⎡⎤⎛⎫+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【详解】由可得， 11112sin tan sin tan B B A A +=++1cos 1cos 2sin sin sin sin B A B B A A+=++两边同乘得，.sin sin A B sin sin cos sin sin cos 2sin sin A A B B B A A B +=++两边同加得，， sin cos B A sin sin cos sin cos sin 2sin cos 2sin sin A A B B A B B A A B ++=++即.sin sin()sin 2sin cos 2sin sin A A B B B A A B ++=++又，sin()sin(π)sin A B C C +=-=则.sin sin sin (12cos 2sin )A C B A A +=++设角，，对应的边分别为，，，且，A B C a b c 3b =由正弦定理角化边可得.π(12cos 2sin )314a c b A A A ⎡⎤⎛⎫+=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以，时，取得最大值，此时周长最大值为π4A =a c +3+336++=+故答案为：6+四､解答题（共6小题，共70分）17.已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，ABC ∆A B C a b c (,)m a b = (sin ,n B = ，.sin )A (2,2)p b a =-- （1）若，求证：为等腰三角形；//m n ABC ∆（2）若，边长，角，求的面积. m p ⊥ 2c =π3C =ABC ∆【答案】（1）见解析（2【解析】【详解】⑴因为，所以，即,其中是的外接圆半径，所以sin sin a A b B =··22a ba b R R =R ABC ∆，所以为等腰三角形.a b =ABC ∆⑵因为，所以.m p ⊥ ()()220a b b a -+-=由余弦定理可知，，即()22243a b ab a b ab =+-=+-()2340ab ab --=解方程得：（舍去） 4ab =1ab =-所以. 11sin 4sin 223S ab C π==⨯⨯= 18. 如图，三棱柱中，E 为中点，F 为中点．111ABC A B C -1BC 1AA（1）求证：平面ABC ；EF ∥（2）若平面，求证：平面ABC ．1EF BB AC ⊥⊥，11ABB A 1BB ⊥【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】【分析】（1）取BC 中点M ，连接AM ，EM ，证明四边形EFAM 为平行四边形，可得，再根EF AM ∥据线面平行的判定定理即可得证；（2）易得，根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证.1BB AM ⊥1BB AC ⊥【小问1详解】证明：取BC 中点M ，连接AM ，EM ，因为中，E 为中点，M 为BC 中点，1BCC 1BC 所以且， 112EM CC =1EM CC ∥三棱柱中，且，111ABC A B C -11AA CC =11AA CC ∥因为F 为中点，1AA 所以且，ME AF =ME AF ∥所以四边形EFAM 为平行四边形，所以，EF AM ∥又因为平面ABC ，平面ABC ，AM ⊂EF ⊄所以平面ABC ； EF ∥【小问2详解】证明：因为，由（1）知，所以，1EF BB ⊥EF AM ∥1BB AM ⊥因为平面平面，所以，AC ⊥111,ABB A BB ⊂11ABB A 1BB AC ⊥又因为，平面ABC ，AM AC A = ,AM AC ⊂所以平面ABC ．1BB ⊥19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段P ABCD -ABCD PD ⊥,ABCD PD AD =M 上的动点，为线段的中点.PC N BC（1）若为线段的中点，证明：平面平面； M PC PBC⊥MND （2）若平面，试确定点的位置，并说明理由.PA MND M 【答案】（1）证明见解析（2）点为线段的三等分点，且靠近点处，理由见解析M PC C 【解析】【分析】（1）根据题意结合线面垂直的性质、判定定理可证平面，进而证明结果；（2）利DM⊥PBC 用线面平行的性质定理理解分析．【小问1详解】因为底面为正方形，，所以.ABCD PD AD =,PD CD BC CD =⊥因为为线段中点，所以在平面中，. M PC PCD DM PC ⊥因为底面底面，所以. PD ⊥,ABCD BC⊂ ABCD PD BC ⊥又平面平面，,,BC CD PD CD D PD ⊥⋂=⊂,PCD CD ⊂PCD 所以平面.BC ⊥PCD 因为平面，所以. DM⊂PCD BC DM ⊥又平面平面，,,DM PC PC BC C PC ⊥⋂=⊂,PBC BC ⊂PBC 所以平面. DM⊥PBC 因为平面，所以平面平面.DM ⊂MND PBC ⊥MND 【小问2详解】如图，连接，交于点，连接.AC DN O OM 因为在正方形中，为线段中点，ABCD N BC ，所以，即. AD BC ∥12CO CN AO AD ==2AO CO =因为平面平面，平面平面，PA ,MND PA ⊂PAC PAC MND OM =所以， PA OM ∥所以，即， 12CM CO MP OA ==12CM MP =所以点为线段的三等分点，且靠近点处.M PC C20. 在中，已知．ABC 3AB AC BA BC ⋅=⋅ （1）求证：；tan 3tan B A =（2）若，求A 的值． cos C =【答案】（1）见解析；（2）． 4π【解析】【分析】【详解】试题解析：(1)∵,∴, 3AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u r u u u rcos =3cos AB AC A BA BC B即.cos =3cos AC A BC B 由正弦定理,得,∴. =sin sin AC BC B Asin cos =3sin cos B A A B 又∵,∴.∴即. 0A B π<+<cos 0,cos 0>>A B sin sin =3cos cos B A B A⋅tan 3tan B A =(2)∵,∴.∴. cos 0C <C <πsin C =tan 2C =∴,即.∴. ()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦()tan 2A B +=-tan tan 21tan tan A B A B+=-- 由 (1) ,得,解得. 24tan 213tan A A =--1tan =1 tan =3A A -，∵,∴.∴.cos 0A >tan =1A =4A π考点：（1）向量的数量积的定义与正弦定理；（2）已知三角函数值，求角.21. 如图，我市有一条从正南方向通过市中心后向北偏东的方向的公路，现要修建一条地OA O 60︒OB 铁，在､上各设一站，，地铁线在部分为直线段，现要求市中心到的距离为L OA OB A B AB O AB .6km（1）若，求，之间的距离；10km OA =O B （2）求，之间距离最小值.A B【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）过作于点，根据勾股定理求得，进而得出，O OE AB ⊥E 8AE =4cos 5OAE ∠=.根据两角差的正弦公式得出.由正弦定理，即可得出答案； 3sin 5OAE ∠=sin OBE ∠=（2）设，，根据已知表示出，得出.AOE α∠=0120α︒<<︒,AE BE 6tan 6tan(120)AB αα=+︒-化简即可得出，然后根据的范围，即可得出最大值时的取值，代入即可11sin(230)24AB α=-︒-αα得出答案.【小问1详解】 过作于点，如图所示：O OE AB ⊥E市中心到的距离为，即.O AB 6km 6OE =因为，所以， 10OA=8AE ==所以，. 4cos 5OAE ∠=3sin 5OAE ∠=又，60OBE OAE ∠=︒-∠则sin sin(60)OBE OAE ∠=︒-∠sin 60cos cos 60sin OAE OAE =︒∠-︒∠=在中，由正弦定理得， AOB sin sin OA OB OBE OAE =∠∠35OB =解得，OB =故，. O B 【小问2详解】由已知可得，，120AOB ∠=︒设，，则，， AOE α∠=0120α︒<<︒6tan AE α=6tan(120)BE α=︒-所以，6tan 6tan(120)AB αα=+︒-[]6tan1201tan tan(120)αα=︒-︒-sin sin(120)1cos cos(120)αααα⎡⎤︒-=--⋅⎢⎥︒-⎣⎦.cos120cos cos(120)αα︒=-=︒-又， cos cos(120)αα︒-cos (cos120cos sin120sin )ααα=︒+︒11sin(230)24α=-︒-，0120α︒<<︒所以，，30230210α︒︒-︒<-<所以，当时，的最大值为， 60α=︒11cos cos(120)sin(230)24ααα︒-=-︒-111244-=所以，，AB 14=故，之间距离最小值为.A B 22.如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正ABCDE ACD ⊥ABC BE ⊥ABC ABC ACD 三角形，，.4AC =BE =（1）在线段上是否存在点F ，使得平面?说明理由；AC BF ∥ADE （2）求平面与平面所成的锐二面角的正切值.CDE ABC 【答案】（1）存在，理由见解析（2 【解析】【分析】（1）记中点为M ，连结，根据线面平行的判定定理即可得出结论；AC DM （2）连结，过点B 作的垂线，连结，作出平面与平面所成的二面角的平面角，CG CG EH CDE ABC 解三角形，即可求得答案.【小问1详解】记中点为M ，连结，为正三角形，,AC DM ACD 4AC =则，且DM AC ⊥DM =因为平面平面 ，平面平面，平面ACD , ACD ⊥ABC ACD ABC AC =DM⊂所以平面，又因为平面，DM ⊥ABC BE ⊥ABC 所以.DM BE ∥延长交于点G ，则为平面与平面的交线，,MB DE AG ADE ABC因为，故，所以B 为的中点，BE =2DM BE =MG 取中点F ，连结，则，因为平面 ，平面， AM BF BF AG ∥AG ⊂ADE BF ⊄ADE 所以平面.BF ∥ADE 即线段上存在点F ，当时，平面. AC 14AF AC = BF ∥ADE 【小问2详解】连结，则为平面与平面的交线，CG CG CDE ABC 在平面内，过点B 作的垂线，垂足为H .ABC CG 连结，因为平面，平面，故,EH BE ⊥ABC CG ⊂ABC BE CG ⊥平面，故平面，,,BE BH B BE BH =⊂ BEH CG ⊥BEH 平面，故,EH ⊂BEH CG EH ⊥则为平面与平面所成的二面角的平面角.BHE ∠CDE ABC为正三角形，，故,ABC 4AC =BM =BG BM ==且,30,150MBC GBC ∠=∴∠=故在中，， GBC 2222cos 121624(52GC BG BC BG BC GBC =+-⋅∠=+-⨯⨯=故，而， CG =1sin1502BGC S BC BG =⨯⨯=故,又因为 2BGC BH CG S == 12BE DM ==所以， tan BE BHE BH ∠==即平面与平面. CDE ABC。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学下学期抽考试卷：5月抽考题【】记得有一句话是这么说的：数学是一门描写数字之间关系的科学，是我们前进的阶梯。
关于高中学生的我们，数学在生活中，考试科目里更是尤为重要，因此小编在此为您公布了文章：高一数学下学期月考试题：5月月考题期望此文能给您带来关心。
本文题目：高一数学下学期月考试题：5月月考题
(时刻:90分钟,满分:100分)
一、选择题：(本大题共有12个小题，每小题3分，共36分.)
1.已知△ABC中，AB=6，A=30，B=120，则△ABC的面积为( )
A.9
B.18
C.9
D.18
2.已知△ABC中，a∶b∶c=1∶∶2，则A∶B∶C等于( )
A.1∶2∶3
B.2∶3∶1
C.1∶3∶2
D.3∶1∶2
3.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范畴是( )
A. B. C. D.
4.在△ABC中，若c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0，则C等于( )
A.90
B.120
C.60
D.120或60
5.在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为( )
A.79
B.69
C.5
D.-5
6.凸多边形各内角度数成等差数列，最小角为120，公差为5，则边数n等于( )
A.16
B.9
C.16或9
D.12
7.在等差数列中，=24，则此数列的前13项之和等于( )
A.13
B.26
C.52
D.156
8.已知关于x的方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|=( )
A. B. C. D.1
9.等差数列中，，则前10项的和等于( )
A、720
B、257
C、255
D、不确定
10.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则那个数列共有( )
A、10项
B、11项
C、12项
D、13项
11.已知等差数列满足，则有( )
A、B、C、D、
12.首项为-24的等差数列，从第10项开始为正，则公差的取值范畴是
A. B. C. 3
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB=4，C=45，则R=_______ _.
14.如图，，内的点到角的两边的距离分别为5和2，则的长为__ ________.
15.已知等差数列{an},a1=29,S10=S20,求那个数列的前n项和的最大值
16.等差数列{an}中，若a9+a10=a，a29+a30=b，则a99+a100=
高一数学下学期月考试题：5月月考题
一.选择题(每小题3分,共36分)
题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.__________14、_________15、___________16、_________
三.解答题(共48分)
17.a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC=12 ，bc=48，b-c=2，求a.
18.在△ABC中，C=60，BC=a，AC=b，a+b=16.
(1)试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式.
(2)当a等于多少时，S有最大值?并求出那个最大值.
19.在△ABC中，cos2 ，c=5，求△ABC的内切圆半径.
20.已知数列{an}为首项a1 0，公差为d 0的等差数列，求Sn= 。
21. {an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{ }的前n项和，求Tn.
数学答案
一.选择题(每小题3分,共36分)
题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A D D D B B A C D C D
二、填空题(每小题4分，共16分)
13、2 14、2 15、225 16、b_ a
17.解：由S△ABC= bcsinA，得
12 = 48sinA
sinA=
A=60或A=120
a2=b2+c2-2bccosA
=(b-c)2+2bc(1-cosA)
=4+248(1-cosA)
当A=60时，a2=52，a=2
当A=120时，a2=148，a=2
18.解：(1)∵a+b=16，b=16-a
S= absinC
= a(16-a)sin60
= (16a-a2)
=- (a-8)2+16 (0
(2)由(1)知，当a=8时，S有最大值16 .
19.解：∵c=5，，b=4
又cos2
cosA=
又cosA=
b2+c2-a2=2b2
a2+b2=c2
△ABC是以角C为直角的三角形.
a= =3
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟专门貌，属句有夙性，说字惊老师。
”因此看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一样学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
现在体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。
△ABC的内切圆半径r= (b+a-c)=1.
要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，确实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。
在运用观看法组织活动时，我着眼观看于观看对象的选择，着力于观看过程的指导，着重于幼儿观看能力和语言表达能力的提高。
20.
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
事实上“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，专门是汉代以后，关于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
Sn=。