2 配方法的六种常见应用
九年级数学上期末提分练案第2讲一元二次方程及其解法第2课时拓展训练配方法的六种常见应用习题北师大
5．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋ c－5 ＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．
【点拨】在一个等式中求多个未知数的值时，通常将等式 通过配方变成几个非负数的和等于零的形式，然后利用“ 若几个非负数的和等于零，则每个非负数都等于零”的性 质解决问题．
解：将原式配方，得a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋ c－5 ＝0， ∴(a－3)2＋(b－4)2＋ c－5 ＝0. 易得a＝3，b＝4，c＝5. ∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2， ∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．
应用上面的解题方法，解下列方程： (1)x2＋5x＋6＝0；
解：原方程变形为(x＋2)(x＋3)＝0， ∴x1＝－2，x2＝－3. (2)x2－7x＋10＝0； 原方程变形为(x－2)(x－5)＝0， ∴x1＝2，x2＝5.
(3)x2－5x－6＝0; 解：原方程变形为(x－6)(x＋1)＝0， ∴x1＝6，x2＝－1.
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You maLeabharlann e my day!(2)若代数式－x2＋4x＋m的最大值为2，求m的值； 解：－x2＋4x＋m＝－(x2－4x＋4)＋m＋4＝－(x－2)2＋m＋4， ∴m＋4＝2，∴m＝－2.
(3)若代数式x2＋(m＋2)x＋4m－7的最小值为0，求m的值．
【点拨】代数式ax2＋bx＋c(a≠0)配方成a(x＋m)2＋n后，若 a＞0，则当x＝－m时，代数式取得最小值n；若a＜0，则 当x＝－m时，代数式取得最大值n. 解：原式的最小值为0，故原式为完全平方式， ∴ m＋2 22＝4m－7. ∴m2－12m＋32＝0.∴m＝4或m＝8.
(4)x2＋3x－4＝0. 原方程变形为(x＋4)(x－1)＝0， ∴x1＝－4，x2＝1.
配方法的应用
配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
要点诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具．
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初中数学中配方法的五种用途的详细剖析
cc518学习网精品学习资料总目录配方法是将一个式子或一个式子的某一部分化为完全平方式或几个完全平方式的和或差.许多数学题都可以通过配方法进行求解。
本文笔者将会详细剖析初中数学中配方法的五种用法。
类型一.解一元二次方程例1 用适当的方法解一元二次方程:x2-2x-143=0.分析此方程中常数项较大，使用公式法或者因式分解法解比较繁琐易错，由于二次项系数为l，并且一次项的系数是偶数，因此使用配方法比较好.类型二.求代数式的值例2 已知x-y=3,y-z=2,求x2+y2+z2-xy-yz-xz的值.分析代数式有三个未知数，而已知只给出两个方程，所以解不出x、y、z的值，可考虑用配方法及整体思想解题.类型三.分解因式例3 分解因式:x4+x2+1.分析此代数式既不能直接提取公因式，也不符合公式形式，因此无法直接分解因式.仔细观察题目发现中间项系数如果为2时，即符合完全平方公式.由此可考虑使用配方法解决.类型四.判定方程根的情况例4 已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4k-3=0，求证:无论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根.分析要判断方程根的情况，需要对一元二次方程根的判别式△的值进行讨论.类型五.求最值例5 ：某专卖店在销售过程中发现“兴乐”牌童装平均每天可售出20套，每套盈利40元，为了迎接“六一”儿童节，该店决定采取适当降价措施，扩大销售量增加盈利，减少库存.经市场调查发现，如果每套童装降价1元，那么平均每天可多售出2套，问:每套童装降价多少元时，专卖店平均每天盈利最多?每天盈利最多是多少元?分析实际生活的问题，往往可以通过建立适当的函数解析式，求函数的最值来解决.而求函数的最值是通过配方法来完成的.本题中“平均每天盈利”是“每套童装售价”的函数，故考虑用函数来解决.。
初中数学配方法公式
初中数学配方法公式及其应用一、常规配方法公式常规配方法是指将一个数平方根分解成两个数的平方根，即: a2 = b2 + c2其中，a、b、c 分别为不等式两侧的数值。
常规配方法的公式如下:若 a > b > c，则 a2 = b2 + c2 = (b + c)2 - 2bc若 a < b < c，则 a2 = b2 + c2 = (b - c)2 + 2bc若 a = b = c，则 a2 = b2 + c2 = 2bc二、逆配方法公式逆配方法是指将一个数开方分解成两个数的开方，即:x = √c2 + √d2其中，x 为不等式两侧的数值，c、d 分别为不等式两侧的数值。
逆配方法的公式如下:若 c > d，则 x = √(c2 + d2) = √cd + √cd = 2√cd若 c < d，则 x = √(c2 + d2) = √cd - √cd = -2√cd若 c = d，则 x = √(c2 + d2) = √cd = 0三、配方法的应用配方法在初中数学中是非常重要的一部分，可以用于解决求平方根和开方的问题。
以下是一些配方法的应用案例:1. 求解方程√x2 + √y2 = 2。
解：将方程两边同时平方，得到 x2 + y2 = 4。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
2. 求解方程 (√x + √y)2 = 4x + 4y。
解：将方程两边同时平方，得到 (x + y)2 = 16x + 16y。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
3. 求解方程 (√x - √y)2 = 4x - 4y。
解：将方程两边同时平方，得到 (x - y)2 = 16x - 16y。
此时，可以将 x、y 的值代入方程，解出 x、y 的值。
配方法是初中数学中非常重要的一个知识点，可以用于解决很多数学问题。
通过本文的介绍，我们可以了解到常规配方法和逆配方法两种公式，以及它们的应用。
配方法及其应用(题目)
配方法及其应用(题目)配方法及其应用一、配方法配方法是恒等变形的重要手段，也是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。
它是对数学式子进行一种定向变形的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时需要使用配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
二、基本配方配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²。
将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab；a+ab+b=(a+b)-ab=(a-b)+3ab=(a+3b)/2+(b+3a)/2；a²+b²+c²+ab+bc+ca=[(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²]。
三、应用实例1.求字母的值已知a，b满足a+2b-2ab-2b+1=0，求a+2b的值。
分析：可将含a,b的方程化为两个非负数和为0的形式，从而求出两个未知数的值。
解：a+2b-2ab-2b+1=0，整理得到(a-b)+(b-1)=0.因为(a-b)≥0，(b-1)≥0，所以a-b=0，b-1=0.解得a=1，b=1，因此a+2b=3.变式练：1.已知x²y²+x²+4xy+13=6x，求x和y的值。
解：将方程变形为(x²+4x+4)(y²+1)=25，整理得到(x+2)²(y²+1)=25.因为x，y为实数，所以(x+2)²和(y²+1)都是非负数，所以(x+2)²=1或25，(y²+1)=1或25.当(x+2)²=1时，解得x=-3或-1；当(x+2)²=25时，解得x=-7或3.将x的四个解代入原方程，可得y的四个解为-3，-1，1/2，3/2.因此，方程的解为(-3,-3)，(-1,-1)，(3/2,-1/2)，(1/2,3/2)。
二次函数的配方法
二次函数的配方法二次函数也被称为二次方程，是一个常见的函数类型，在数学中有重要的应用。
二次函数的通用形式可以表示为y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c是实数常数，a不等于零。
配方法是一种用于求解二次方程的工具，它可以将一个二次方程转化成一个可以因式分解的形式。
通过配方法，我们可以找到二次方程的根。
下面将详细介绍二次函数的配方法。
步骤一：确定二次项系数a和常数项c在配方法中，我们需要确定二次项系数a和常数项c的值。
在已知二次函数的形式y = ax^2 + bx + c时，a和c的值可以直接读取出来。
例如，对于二次函数y=2x^2+3x+1，其中a=2，c=1步骤二：计算配方项配方法的关键在于计算配方项，配方项用于将二次项系数a转化成一个完全平方的形式。
配方项可以通过以下公式计算得到：配方项=(一次项系数的一半)^2一次项系数是指二次项系数b的一半。
例如，如果b=3，则一次项系数为1.5例如，在二次函数y=2x^2+3x+1中，一次项系数为1.5，那么配方项为1.5^2=2.25步骤三：将配方项加入二次函数将计算得到的配方项加入二次函数中，形成一个新的表达式。
例如，在二次函数y=2x^2+3x+1中，配方项为2.25、将其加入二次函数得到新的表达式y=2x^2+3x+2.25步骤四：将新的二次函数转化成完全平方形式通过将新的二次函数转化成一个完全平方的形式，即(x+p)^2，其中p是一个实数常数。
为了将新的二次函数转化成完全平方形式，我们可以以配方项为线索。
将配方项开平方，得到一个实数。
例如，在新的二次函数y=2x^2+3x+2.25中，配方项为2.25、将它开平方得到1.5步骤五：完成配方法将新的二次函数转化成完全平方形式后，配方项的系数前面应该是1、所以我们需要将二次函数除以a的值，这将产生一个常数p。
例如，在新的二次函数y=2x^2+3x+2.25中，a的值为2、将二次函数除以2，得到y=(x+1.5)^2于是，我们成功地将二次函数转化成一个完全平方的形式。
配方法的概念
配方法的概念摘要：1.配方法的概念介绍2.配方法的应用场景3.配方法的优点与局限性4.配方法与其他方法的对比5.配方法在我国的发展现状与展望正文：配方法，作为一种重要的数学方法，广泛应用于各个领域。
本文将从配方法的概念、应用场景、优点与局限性、与其他方法的对比以及在我国的发展现状与展望五个方面进行全面阐述。
一、配方法的概念介绍配方法，又称为配方，是一种将复杂数学问题通过构造适当的代数式进行求解的方法。
它源于古代数学家对代数式的研究，逐渐发展成为一种重要的数学方法。
配方法的基本思想是将待求解的数学问题转化为一个或多个已知数学问题的求解，从而达到简化问题的目的。
二、配方法的应用场景配方法的应用场景非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.解一元二次方程：利用配方法，可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而简化求解过程。
2.求函数的极值：通过配方法，可以将函数转化为一个关于某变量的二次函数，进而求出其极值。
3.求解几何问题：在几何问题中，配方法可以帮助我们将问题转化为已知条件的求解，如求解直角三角形、平行四边形等问题。
4.求解物理问题：在物理学中，配方法可以帮助我们将复杂的物理问题转化为易于求解的数学模型，如求解牛顿第二定律、电磁学等问题。
三、配方法的优点与局限性1.优点：（1）简化了问题求解过程，降低了问题的难度。
（2）适用于多种数学、物理、几何等领域的问题。
（3）具有一定的普适性和广泛性。
2.局限性：（1）对于复杂的问题，配方法可能无法直接求解。
（2）配方法的应用范围有限，不是所有问题都适用于配方法。
四、配方法与其他方法的对比配方法作为一种数学方法，其优点在于简化了问题的求解过程，但同时也存在一定的局限性。
与其他方法相比，如代数法、几何法、数值法等，配方法在某些问题上具有优势，但在其他问题上可能不如其他方法高效。
因此，在实际应用中，我们需要根据问题的具体情况选择合适的方法。
五、配方法在我国的发展现状与展望配方法在我国的发展历史悠久，早在古代数学著作中就有相关记载。
配方法的六种常见应用(专题)
第2讲：配方法的六种常见应用--专题一【基础知识】用配方法解一元二次方程的一般步骤是：化二次项系数为1，把方程化为的形式；把常数项移到方程右边即方程两边同时加上，整理得到 ；当时，，当时，原方程 。
类型一：配方法在证明一元二次方程中的应用求证：无论m 取何值，关于x 的方程072)54(22=-++-x x m m 都是一元二次方程。
练1. 已知关于x 的一元二次方程02)2(2=-++-m x m x ．（1）求证：无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若方程的两实数根之积等于1192-+m m ，求6+m 的值．类型二：配方法在解方程中的应用阅读下面材料：把方程0342=+-x x 写成034442=+-+-x x 。
则01)2(2=--x 。
因式分解，得0)12)(12(=--+-x x ，即0)3)(1(=--x x发现：-（1+3）= -4 , 1 × 3 = 3结论：方程0)(2=++-pq x q p x 可变形为0)()(=-•-q x p x20x mx n ++=2m 24m n =-204m n -≥(2m x +=204m n -<应用上面的方法，解下列方程：（1）0652=-+x x （2）01072=+-x x（3）0652=--x x （4）0432=-+x x练2. 用配方法解下列方程：（1）982=+x x （2）015122=-+x x（3）2532=-x x （4）04412=--x x类型三：配方法在求二次三项式的待定系数中的应用已知关于x 的二次三项式1)2(2+--x k x 是完全平方式，求k 的值。
练3. 已知关于x 的二次三项式x2+（k+1）x+k2-2k+1是完全平方式，求k 的值．类型四：配方法在求二次三项式的最大（小）值中的应用我们可以利用配方法求一些多项式的最值。
如：2)1(2)12(32222++=+++=++x x x x x ，当x=-1时322++x x 有最小值2； 再如：1)1(1)12(22222---=-+--=-+-x x x x x ，当x = 1时，222-+-x x 有最大值-1。
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∵(x＋1)2≥0，
∴(x＋1)2＋4>0，∴A>B.
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应用
5 配方法在求多个未知数的值中的应用
8．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2－ 6a－8b－10c＋50＝0.
(1)求a，b，c的值；
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解：(1)由a2＋b2＋c2－6a－8b－10c＋50＝0， 得(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0. ∵(a－3)2≥0，(b－4)2≥0，(c－5)2≥0，
∴a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5.
(2)判断△ABC的形状．
∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
应用
6 配方法在比较两个二次三项式大小中的应用
9．设A＝2x2－4x－1，B＝x2－6x－6，试比较A与B的
大小． 解：A－B＝2x2－4x－1－x2＋6x＋6
第21章 一元二次方程
双休创新练(一)
方法技巧训练2 配方法的六种常见应用
1
2
3 6 9
4
7
5
8
应用
1 配方法在解方程中的应用
1．解方程：x2－2x－2 019＝0. 解：xห้องสมุดไป่ตู้－2x－2 019＝0，
(x－1)2－2 020＝0，
(x－1)2＝2 020，
∴x1＝1＋ 2
505 ，x2＝1－2 505 .
1 3 ( x )2 , 2 4 1 ( x )2 0 2 1 3 ( x ) 2 0 2 4 3 4
故结论成立． 当 x＝
1 2
时，－x2－x－1有最大值
.
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应用
4 配方法在求二次三项式的最大(小)值中的应用
7．试证明关于x的方程(a+－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0， 无论a为何值，该方程都是一元二次方程． 证明：∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4≠0. ∴无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
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应用
2 配方法在求二次三项式中的待定系数的应用
2．若代数式16x2＋kxy＋4y2是完全平方式，则k
的值为( D ) A． 8 B．16 C．－16 D．±16 3返回 3．已知4x2＋12x＋m2是完全平方式，则m＝± ___ ．
4．已知关于x的二次三项式x2＋(k＋1)x＋k2－2k＋1是 完全平方式，求k的值． 解：由题意，得k＋1＝±2(k－1)． ∴ k＝ 3或 k＝
1 3
.
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应用
3 配方法在求二次三项式的最大(小)值中的应用
5．求多项式2x2－4x＋7的最小值． 解：原式＝2(x2－2x)＋7 ＝2[(x－1)2－1]＋7 ＝2(x－1)2＋5. ∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5. ∴2x2－4x＋7的最小值是5.
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6．利用配方法证明：无论x取何值，代数式－x2－x－ 1的值总是负数，并求出它的最大值．