三自由Delta并联机器人运动学反解

· E1'
B1
X
极坐标系下，其角度与Bi 同，其X与Y的坐标类似Bi 的求法。
B2
O
B3
·E
2
·
(Lb cosi R) cosi (L cos R) sin i i b Lb sini
E3'
Pi(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)
Delta空间反解
上端的等边三角形为静平台，下端的等边三角形为 动平台，动静平台之间的每条支链主要有伺服电动机， 驱动臂(主动杆)，从动臂（四个球铰副及四根连杆构成 的平行四边形）。 B1 B3 E1 E3
E2
B2
P1
P2 P3
Return
模型简化图
三维直角坐标系以静平台上三个电机安装处围成的等边 三角形Δ B1B2B3的外切圆圆心为坐标原点O，以垂直于线 段B1B3的方向为X轴正方向，垂直于B1B2的方向为 Y轴正 方向，按照右手定则构建静态空间直角坐标系。同理， 以等边三角形 Δ P1P2P3 的外切圆圆心为坐标原点 O' ，以 垂直于线段 B1B3 的方向为 X' 轴正方向，垂直于 P1P2 的方 向为 Y' 轴正方向，按照右手定则构建动态空间直角坐标 系。设静平台上的伺服电机安装处为 Bi (i=1,2,3) ，平 行四边形的两个平行长杆等效为一个虚拟连杆，如图所 示 ， 设 等 效 的 虚 拟 连 杆 的 顶 点 为 Ei(i=1,2,3) ， Pi (i=1,2,3)，模型图如BC
b b2 4ac A A2 B 2 C 2 t 2a B C
i A A2 B 2 C 2 tan 2 B C
θ1有两组解,θ2有两组解, θ3有两组解, 所以共有8组解；
a1a2 // ɑ
同理 b3b4// ɑ
∵a3a4，b3b4都在平面ɑ上且不平行
∴ɑ//β
所知 :驱动臂长度为 Lb、从动臂长度为 La、ΔB1B2B3的外切圆半径为R，ΔP1P2P3 的 外 切 圆 半 径 为 r 、 O' 的 坐 标 为 （X,Y,Z）； 所 求 : 三 个 伺 服 电 机 的 转 动 角 度 θi （i=1,2,3），θi为第i个伺服电机驱动臂对 基座平台的夹角。
跟据求根公式可以求出 t 的值， 则θ i=2arctant Return

A 2Lb[ R r ( x cosi y sini )]
B 2Lb Z 2 2 2 2 2 2 C x y z ( R r ) Lb La 2( R r )( x cos i y sin i )
Return
Back
Return
工作过程:伺服电机驱动主动臂转动，并 带动从动臂，进而实现动平台的三维平动。
动平台只能平动，不可旋转；
动平台为等边三角形，自由度为3；
b1
a1 a2 b2 设静平台为平面ɑ，动平台为平面β。
b3
a3 a4 b4
∵a1a2// a3a4,
∴a3a4// ɑ
,A,B之间的距离为 ： (x
2 x1 )
2
( y2 y1 ) ( z2 z1)
2
2
万 能 代 换 式
θi 2tan 2 sinθ i 2 θi 1 tan 2 2 θi 1 tan 2 cosθ i 2 θi 1 tan 2 2 θi 2tan 2 tanθ i 2 θi 1 tan 2
3 3
Y
P1
X
O'
,0)T,i=1,2,3;
P2
P3
又∵O'的坐标在以O为坐标原点的坐标系下的坐
rcosi x ∴以O为原点的空间直角坐标系下，Pi的坐标为 rsini y z
标为(x,y,z)T,
Bi
Θ
Lb
Ei
Y
Ei的z坐标简单，显然为Lbsinθ i 求Ei的X坐标和Y坐标应当将 其投影到XOY坐标面内；
由已知条件从动杆长度为La，知 |PiEi|=La 根据空间中两点之间的距离公式可列得关于θi 的方程。
rcosi x (Lb cosi R) cosi E i (Lb cosi R) sin i Pi rsini y L sin z b i 由|PiEi|2=La2,两点间距离公式,万能公式得 θi 2 at +bt+c=0,其中t= tan 2
Return
Y
B1
X
在极坐标下，Bi的极坐标为
(R,Ø i）,i=1,2,3,Ø i=
2(i 1) 3 3
在空间直角坐标系下，位于坐标
O
面XOY上的点Bi的坐标为: B3
(RcosØ i,RsinØ i,0)，
2(i 1) Ø i= 3 3
B2
在极坐标下，Pi的极坐标为 （r,Ø i）,i=1,2,3;Ø i= 2(i 1) 3 3 在原点为O'的空间直角坐标系下，位于坐标面 X'O'Y'上的点Pi的坐标 为:(rcosØ i,rsinØ i, Ø i= 2(i 1)