平面并联机器人的运动学和动力学研究

平面2自由度并联机器人的运动学

和动力学研究

林协源1刘冠峰1

（1.广东工业大学广州）

摘要：本文面向高速高精LED电子封装设备设计了一种高速高精2自由度平面并联机构（2-PPa并联机器人）。该机构由一个动平台和两个对称分布的完全相同的支链组成，每个支链中都有一个移动副(驱动关节)和一个由平面平行四边形组成的特殊转动动副。首先推导出该机器人的运动学模型包括正反解；其次结合焊线机实际工艺要求提出多项机构性能指标对该机构的几何参数进行多目标优化；然后基于Euler-Lagrange 方程建立该机器人的动力学方程，最后通过算例分析两个移动副在动平台按照一定轨迹运动时其速度、加速度和驱动力的变化规律。这些为接下来研究该机器人的动态性能和系统解耦控制等都具有重要意义。

关键词：2自由度平面并联机器人运动学动力学

Kinematic and Dynamic Analysis of a Planar

Two-degree-freedom Parallel Manipulator

LIN Xieyuan1LIU Guanfeng1

（1.Guangdong University of Technology Guangzhou ）

Abstract：In this paper，a type of planar 2-DOF parallel manipulator is proposed for uses in design of high- speed and high-accuracy LED packaging machines. The manipulator consists of a moving platform and two identical subchains. Each subchain is made of a prismatic joint (actuator) and a parallelogram with four passive revolute joints. We first derive the kinematic model of the manipulator. Then, we determine the optimal geometric parameters of the manipulator by solving a multi-goal optimization problem based on performance indices. We compute the dynamic equation use Euler-Lagrange formulation and use it to analyze the relationship between velocity, acceleration and driving torque of joints. This analysis is important for further study of the dynamic performance and the decoupling control methods for the manipulator.

Key words:2-DOF Planar parallel manipulator Kinematics Dynamics

0 前言

在电子、包装和食品等轻工业场合中，机器人只需要3到4个自由度即可满足使用要求。串联机器人由于自身具有较大的质量和惯性，很难应用到需要高速高负载能力的场合。并联机器人很好的弥补了串联机器人这方面的不足。所以，近年来少自由度并联机器人的研究相当热门。其中3自由度并联机器人的研究已是相当深入[1-4]。在Z方向只需要较小的操作位移时，末端搭载一个1或2自由度的串联机构的2自由度并联机器人相对应3或4自由度的并联机器人会显得更加经济适用。

清华大学曽提出过两种平面2-DOF并联机器人：一种是PRRRP（P表示移动副，R 表示转动副）并联机器人，其中两移动副运动方向平行，且机器人的末端姿态是可变的[5]；一种是2-PPa（Pa表示平行四边形机构）并联机器人，同样，该机器人的移动副运动方向也平行，不过其末端姿态不可变[6]。文章[6]中的并联机器人最后应用在了立式机床上。同样的2-PPa并联机器人，上海交通大学将其应用在高速高精度的场合

#。移动副运动方向平行的机器人在移动副移动的方向上有很好的运动性能，但在平面内的垂直移动副运动方向的方向上其运动性能便差了些，通常是通过增加两移动副间的距离来改善。

为了弥补两移动副平行的2-PPa 并联机器人在某一方向上相对较差的运动性能的不足，本文提出了一种两移动副运动方向正交的2-PPa 并联机器人，如图1所示。图中的正方形表示末端动平台，边长为2a ；两个长方形表示移动副（即滑块），分别用q 1和q 2表示；圆圈表示转动副；连接滑块和动平台的是两平行连杆，长为l 。图中的ωi ,μi 分别为连杆和电机驱动的单位方向矢量。

Y

X

q u 11

q u 22

r

2a lw 1

lw 2

图1 平面2-DOF 并联机器人实际构型

本文将从以下几方面展开：推导出该机器人的运动学模型，并确定机器人的结构尺寸；基于Euler-Lagrange 方程建立该机器人的动力学方程；最后通过仿真观察动平台按照一定轨迹和速度曲线运动时，两个滑块的速度、加速度和受到的作用的变化情况。

1 运动学分析与参数确定

1.1 运动学分析

（1）求机器人的反解。根据图1，可得封闭矢量关系:

i i i i au lw u q -+=r

等式两边取摸，可得：

l au q i i =+--r

由上式，可得其位置逆解方程如下：

⎪⎩⎪⎨⎧-±=-±=2

22221y Q x Q x

l y

l （1）

其中a -q Q i i =，对于图1中，“±”号取“+”号。

（2）求机器人的正解。根据（1）式，可解得其运动学正解如下：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨

⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-=1421y 1421x 22212122221221Q Q l Q Q Q Q l Q Q （2） ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++=1421y 1421x 22

212

1222

21221Q Q l Q Q Q Q l Q Q （3）

由于压力角和实际工作的原因，取式（3）为其正解。

（3）求机器人的Jacobian 矩阵。根据式（3）分别对Q1和Q2求偏导，可得其Jacobian 矩阵： ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++++=212

122

21Q MQ 1MQ N -MQ N -Q MQ 121J （4） 式

中

1

Q Q ·4N 2

2

2

12-+=

l ，

2

22212

22)

Q Q (N 4N 41N M +=+=l l ）（。 1.2 机构参数优化设计 （1）机构性能指标 首先是局部条件系数（local conditioning index LCI ），其取值范围为[0,1]。当动平台在某位置LCI 为1时表示机器人在该位置的位形各向同性，灵巧性最好和控制精度最高[7, 8]。根据LCI 的定义max min //1σσκ=，