平面并联机器人的运动学和动力学研究
并联机器人动力学
并联机器人动力学并联机器人随着计算机科学和控制工程学科的迅猛发展，越来越受到工业界和学术机构的关注。
并联机器人拥有许多独特的优势，例如高精度、高速度、高稳定性和高灵活性，因此在许多领域得到了广泛的应用，例如航空航天、制造业、医疗科学和军事技术。
然而，与串联机器人相比，研究并联机器人的动力学和控制技术面临着更大的挑战。
并联机器人动力学是研究并联机器人运动学和力学特征的一种学科。
对于并联机器人，由于其结构的复杂性和运动的非线性性质，其动力学分析极具挑战性。
在并联机器人的动力学分析过程中，需要建立完整的动力学模型，考虑到其复杂的构造和运动规律。
因此，并联机器人的动力学分析是一个复杂的数学问题，因此需要结合计算机科学和控制工程学科的知识和技能来进行研究。
在并联机器人的动力学分析过程中，需要考虑机器人的不同部分之间的相互作用以及外部力和力矩的影响。
对于并联机器人的动力学分析，需要对其运动学特征建立数学描述，并结合万有引力和惯性力等力学知识来建立模型。
同时，需要考虑不同部分之间的耦合和刚度，以及相对位置和方向的变化。
因此，动力学分析需要综合考虑机器人的多个参数来建立完整的模型。
在并联机器人的动力学分析中，还需要考虑机器人的控制问题。
动力学分析是控制设计的基础，在控制设计中需要考虑并联机器人的动力学参数和非线性性质。
控制设计需要在动力学分析的基础上进行模拟和仿真，以便优化控制算法和机器人的性能。
在控制设计过程中，需要设计动力学控制器、力控制器和位置控制器等多种控制器，以满足机器人的不同控制需求。
并联机器人的动力学分析是当前机器人研究的一个热点领域。
在未来，人们将进一步完善并联机器人的动力学理论，并集成先进的控制技术，以实现更高的控制精度和更高的运动速度。
随着先进计算机技术的不断发展和研究人员的不懈努力，我们相信并联机器人的动力学问题将得到更好地解决，为实现智能化制造、智能医疗和智能服务等领域打下坚实的基础。
并联机器人动力学参数识别实验报告
并联机器人动力学参数识别实验报告
摘要：
一、实验背景与意义
二、实验方法与步骤
三、实验结果与分析
四、结论与展望
正文：
一、实验背景与意义
随着科技的发展，机器人在各个领域的应用越来越广泛。
其中，并联机器人由于其独特的结构特点，具有较高的灵活性和精度，被广泛应用于工业生产、医疗康复、智能家居等领域。
然而，并联机器人的动力学参数对其运动性能和控制性能具有重要影响，如何准确识别其动力学参数成为了一个重要的研究课题。
本实验旨在通过实验方法，探讨并联机器人动力学参数的识别方法，为实际应用提供理论支持。
二、实验方法与步骤
本实验采用了以下方法与步骤：
1.搭建并联机器人模型
2.设定实验场景与参数
3.采集并联机器人的运动数据
4.分析并联机器人的动力学参数
5.验证实验结果
三、实验结果与分析
通过实验，我们得到了并联机器人的动力学参数，并对实验结果进行了详细分析。
分析结果表明，实验方法能够准确识别并联机器人的动力学参数，且具有较好的稳定性和可靠性。
四、结论与展望
本实验成功地识别了并联机器人的动力学参数，为并联机器人的运动控制和性能优化提供了重要的理论依据。
然而，本实验仍存在一定的局限性，例如实验方法的普适性有待提高。
平面冗余并联机器人正逆向运动学分析及仿真
１ 机构构型分析
平 面 二 自由度并 联 机 构 的模型 如 图 １ 所 示 ，该
机 构 的运 动 副 采 用 铰 链 连 接 ， 用 三个 伺 ห้องสมุดไป่ตู้ 直 流 电
机 作 为驱动 器 。其 中Ａ． 、Ｂ 为 转动 副 的位 置 ，Ａｉ 为 驱 动 关节 ，设 坐 标 为Ａ； （ Ｘ Ｙ ｉ ２ ） ，Ｂ 为 从动 关节 ， 设 坐 标为Ｂ ｉ （ ｘ ｉ ｌ ， Ｙ ｉ ２ ） ，Ｐ 为 末端 执行 器 ，设坐 标 为Ｐ （ ｘ， ｙ ）， ０ ｉ １ 为Ａｌ Ｂ ｉ 与ｘ 轴 的夹角 ， ０ ｉ ２ 为Ｂ ｊ Ｐ 与Ｘ 轴
的数 据 结 果与 理 想轨 迹 进 行误 差 分析 ，结 果如 图６
要建 立 复杂 的数 学模 型 ，建模 及 求解过 程 复杂 。 本 文 针 对 一 种 平 面 冗 余 并 联 机 器 人 ，采 用 计
表１ 系统参数
系 统 参 数
杆长 （ Ｌ）
Ｘ
图 １ 平 面 二 自 由度 并 联 机 器 人 结 构 图
算 机 软 件 求 解 方 法 进 行 运 动 学 求 解 。 首 先 通 过
的夹 角 ，其 中ｉ ＝ ｌ ， ２ ， ３ ，杆 的 长度 均 为Ｌ，横 截 面 长
度 为ａ ，宽度为ｂ ，其 中系统 具体参 数如 表 １ 所示 。
但 由 于计 算过 程 时 间场 ，在 实 际工 程 很 难 得 到 应 用 。其 他一 些 研 究人 员 ，例 如 ，Ｐ ａ ｒ ｉ ｋ ｈ 、Ｌ ａ ｍ、宋
机 构 中 ，通 常 逆 解 相 比逆 解 更 容 易 求 得 ，逆 解 通 常通 过 闭环 矢量法 、Ｄ— Ｈ参数 法建 立机 构模 型 【 １ ｊ ，
机器人的运动学和动力学模型
机器人的运动学和动力学模型机器人的运动学和动力学是研究机器人运动和力学性质的重要内容。
运动学是研究机器人姿态、位移和速度之间关系的学科，动力学则是研究机器人运动过程中力的产生和作用的学科。
机器人的运动学和动力学模型可以帮助我们理解机器人的运动方式和受力情况，进而指导机器人的控制算法设计和路径规划。
一、机器人运动学模型机器人运动学模型是描述机器人运动方式和位置关系的数学表达。
机器人的运动状态可以用关节角度或末端执行器的位姿来表示。
机器人的运动学模型分为正运动学和逆运动学两种。
1. 正运动学模型正运动学模型是通过机器人关节角度或末端执行器的位姿来确定机器人的位置。
对于串联机器人，可以使用连续旋转和平移变换矩阵来描述机械臂的位置关系。
对于并联机器人，由于存在并联关节，正运动学模型比较复杂，通常需要使用迭代方法求解。
正运动学模型的求解可以通过以下几个步骤：(1) 坐标系建立：确定机器人的基坐标系和各个关节的局部坐标系。
(2) 运动方程描述：根据机器人的结构和连杆长度等参数，建立各个关节的运动方程。
(3) 正运动学求解：根据关节的角度输入，通过迭代计算，求解机器人的末端执行器的位姿。
正运动学模型的求解可以用于机器人路径规划和目标定位。
2. 逆运动学模型逆运动学模型是通过机器人末端执行器的位姿来确定机器人的关节角度。
逆运动学问题在机器人的路径规划和目标定位等任务中起着重要作用。
逆运动学求解的难点在于解的存在性和唯一性。
由于机器人的复杂结构，可能存在多个关节角度组合可以满足末端执行器的位姿要求。
解决逆运动学问题的方法有解析法和数值法两种。
解析法通常是通过代数或几何方法，直接求解关节角度，但是解析法只适用于简单的机器人结构和运动方式。
数值法是通过迭代计算的方式，根据当前位置不断改变关节角度，直到满足末端执行器的位姿要求。
数值法可以用于复杂的机器人结构和运动方式，但是求解时间较长。
二、机器人动力学模型机器人动力学模型是描述机器人运动时受到的力和力矩的模型。
平面并联机器人设计、分析与控制
2023-10-29
目录
• 引言 • 平面并联机器人设计 • 平面并联机器人控制 • 平面并联机器人应用案例 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
背景
随着工业4.0和智能制造的快速发展，机器人技术得到了广泛应用。平面并联 机器人作为一种具有良好运动性能和负载性能的新型机器人，在工业生产、 医疗康复等领域具有广泛的应用前景。
机器人动力学分析
动力学方程
建立机器人的动力学方程，描 述其运动状态和受力情况。
静力分析
分析机器人在静止状态下的受力 情况，确保其平衡稳定。
动力分析
分析机器人在运动状态下的受力情 况，为其提供合适的驱动力。
03
平面并联机器人控制
传统控制方法
PID控制
PID控制是最常用的传统控制方 法，通过比例、积分和微分三 个环节的组合，对机器人的位 置、速度和加速度进行控制。
预测控制
预测控制是一种基于模型预测的控制方法，通过建立机器人模型 ，预测未来的行为，并根据预测结果制定控制策略。
最优控制
最优控制是一种基于最优理论的控制方法，通过设计最优控制器 ，使得系统在满足约束条件下达到预设的性能指标。
智能控制方法
1 2 3
神经网络控制
神经网络是一种模拟人脑神经元网络结构的计 算模型，通过训练神经网络，实现对机器人的 智能控制。
05
结论与展望
研究成果总结
结构优化设计
本书针对平面并联机器人的结构特点，对其进行了优化设计，提 高了机器人的运动性能和稳定性。
控制策略研究
通过对并联机器人的控制策略进行深入研究，本书提出了一种新 的控制方法，实现了对机器人高精度、快速的控制。
并联机器人综述论文
并联机器人综述论文院系：聊城大学东昌学院机电工程系专业：机械设计制造及其自动化班级：10本二姓名：姜丽梅学号：20100020749并联机器人综述论文摘要并联机器人是一类全新的机器人,它具有刚度大、承载能力强、误差小、精度高、自重负荷比小、动力性能好、控制容易等一系列优点,在21世纪将有广阔的发展前景。
本文根据掌握的大量并联机器人文献，对非对称3平动3ＵＰＵ并联机器人在运动学、动力学、机构性能分析等方面的主要研究成果、进展进行了阐述，同时阐述了非对称3平动3ＵＰＵ并联机器人在国内外的发展状况以及并联机器人构型设计原则关键词平动 3自由度并联机器人一、课题国内外现状及研究的主要成果少自由度并联机器人由于其驱动元件少、造价低、结构紧凑而有较高的实用价值，更具有较好的应用前景，因此少自由度的并联机器人的设计理论的研究和应用领域的拓展成为并联机器人的研究热点之一。
研究少自由度并联机构最早的学者应属澳大利亚著名机构学教授 Hunt ,在1983年,他就列举了平面并联机构、空间三自由度3-rps并联机构，但对四，五自由度并联机构未作详细阐述。
在Hunt之后,不断有学者提出新的少自由度并联机构机型。
在少自由度并联机构机型的研究中,三维平移并联机构得到广泛的重视。
clavel提出了一种可实现纯平运动三自由度Delta 并联机器人,在Delta机构的支链中采用平行四边形机构约束动平台的3个转动自由度。
Tsai提出的Delta机构完全采用回转副，并通过转轴的偏移扩大了Delta机构的工作空间。
在 Tricept并联机床上采用的构型是由 Neumann发明的一种具有3个可控位置自由度的并联机构，该机构的突出特点是带有导向装置,采用3个内副驱动支链并由导向装置约束动平台。
Tsai 通过自由度分析提取支链的运动学特征,系统研究了并联机构的综合问题,特别研究了一类实现三自由度平动的并联机构。
Rasim Alizade于2004年提出基于平台类型和联接平台的形式和类型进行分类的一种并联机构的结构综合和分类的新方法和公式,并综合出具有单平台和多平台的纯并联和串并联复联机构.我国燕山大学的黄真教授及其团队除了研制出解耦微型6维力传感器和微动机械，设计出一种新的高精度的机构方案外,还率先对少自由度并联机器人的基础理静刚度和精度.上海交大的高峰教授2002年运用复合副的概念来组合已知自由度数和自由度类型的支链,通过支链输出杆特殊的Plucker坐标来综合2-自由度的机器人。
并联机器人的运动学分析
并联机器人的运动学分析一、引言机器人技术作为现代工业生产的重要组成部分，已经在汽车制造、电子设备组装、医疗器械等领域发挥着重要作用。
而在机器人技术中，并联机器人以其独特的结构和运动方式备受关注。
本文将对并联机器人的运动学进行深入分析，探讨其工作原理及应用前景。
二、并联机器人的运动学模型并联机器人由多个执行机构组成，这些执行机构通过联接杆件与运动基座相连，使机器人具有多自由度运动能力。
为了对并联机器人的运动学进行建模，我们需要确定每个执行机构的运动关系。
其中，分析最为常用的是基于四杆机构的并联机器人。
1. 四杆机构的运动学模型四杆机构是一种由两个连杆和两个摇杆组成的机构，通过这些部件的相对运动实现机构的运动。
在并联机器人中，常见的四杆机构包括平行型、等长型等。
以平行型四杆机构为例，我们可以将其简化为平面结构，并通过设定适当的坐标系进行建模。
在平行型四杆机构中，设两个连杆为L1和L2，两个摇杆为L3和L4。
定义坐标系，以机构的连杆转轴为原点，建立运动坐标系OXYZ。
假设L3的转角为θ3，L4的转角为θ4，连杆L1和L2的长度分别为L1和L2，则可以通过几何关系得到机构的运动学方程。
2. 并联机器人的运动学模型并联机器人由多个四杆机构组成，各个四杆机构之间通过杆件连接，使得整个机器人能够实现更复杂的运动。
以三自由度的并联机器人为例，每个四杆机构的连杆长度、摇杆转角都有一定的自由度限制。
通过对每个四杆机构的运动学模型进行分析，可以得到整个并联机器人的运动学方程。
三、并联机器人的动力学分析除了运动学分析，动力学分析也是对并联机器人进行研究的重要方向。
动力学分析包括对并联机器人在运动过程中的力矩、加速度等动力学参数的研究，是实现机器人精确控制和安全运行的基础。
1. 动力学模型的建立在并联机器人的动力学分析中，我们通常采用拉格朗日方法建立动力学数学模型。
通过拉格朗日方程可以建立机器人运动学和动力学之间的联系，从而实现对机器人运动过程中各个关节力矩的估算。
串联和并联机器人运动学与动力学分析
串联和并联机器人运动学与动力学分析串联和并联机器人是工业自动化领域中常见的机器人结构形式。
它们在不同的应用场合中有着各自的优势和适用性，因此对它们的运动学和动力学进行深入分析具有重要意义。
本文将从运动学和动力学两个方面对串联和并联机器人进行分析，并对它们的特点和应用进行了介绍。
一、串联机器人的运动学和动力学分析1. 串联机器人的运动学分析串联机器人是由多个运动副依次连接而成的，每个运动副只能提供一个自由度。
其运动学分析主要包括碰撞检测、正解和逆解三个方面。
（1）碰撞检测：串联机器人在进行路径规划时，需要考虑各个运动副之间的碰撞问题。
通过对关节位置和机构结构进行综合分析，可以有效避免机器人在工作过程中发生碰撞。
（2）正解：正解是指已知各关节的角度和长度，求解末端执行器的位姿和运动学参数。
常见的求解方法包括解析法和数值法。
解析法适用于关节均为旋转副或平动副的情况，而数值法则对于复杂的几何结构有较好的适应性。
（3）逆解：逆解是指已知末端执行器的位姿和运动学参数，求解各关节的角度和长度。
逆解问题通常较为困难，需要借助优化算法或数值方法进行求解。
2. 串联机器人的动力学分析串联机器人的动力学分析主要研究机器人工作时所受到的力、力矩和加速度等动力学特性，以及与机器人运动相关的惯性、摩擦和补偿等因素。
其目的是分析机器人的动态响应和控制系统的设计。
（1）力学模型：通过建立机器人的力学模型，可以描述机器人在工作过程中的动力学特性。
常用的建模方法包括拉格朗日方程法、牛顿欧拉法等。
（2）动力学参数辨识：通过实验或仿真，获取机器人动力学参数的数值，包括质量、惯性矩阵、摩擦矩阵等。
这些参数对于后续的控制系统设计和性能优化非常关键。
（3）动力学控制：基于建立的动力学模型和参数，设计合适的控制算法实现对机器人的动力学控制。
其中，常用的控制方法包括PD控制、模型预测控制等。
二、并联机器人的运动学和动力学分析1. 并联机器人的运动学分析并联机器人是由多个执行机构同时作用于末端执行器，具有较高的刚度和负载能力。
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平面2自由度并联机器人的运动学和动力学研究林协源1刘冠峰1（1.广东工业大学广州）摘要：本文面向高速高精LED电子封装设备设计了一种高速高精2自由度平面并联机构（2-PPa并联机器人）。
该机构由一个动平台和两个对称分布的完全相同的支链组成，每个支链中都有一个移动副(驱动关节)和一个由平面平行四边形组成的特殊转动动副。
首先推导出该机器人的运动学模型包括正反解；其次结合焊线机实际工艺要求提出多项机构性能指标对该机构的几何参数进行多目标优化；然后基于Euler-Lagrange 方程建立该机器人的动力学方程，最后通过算例分析两个移动副在动平台按照一定轨迹运动时其速度、加速度和驱动力的变化规律。
这些为接下来研究该机器人的动态性能和系统解耦控制等都具有重要意义。
关键词：2自由度平面并联机器人运动学动力学Kinematic and Dynamic Analysis of a PlanarTwo-degree-freedom Parallel ManipulatorLIN Xieyuan1LIU Guanfeng1（1.Guangdong University of Technology Guangzhou ）Abstract：In this paper，a type of planar 2-DOF parallel manipulator is proposed for uses in design of high- speed and high-accuracy LED packaging machines. The manipulator consists of a moving platform and two identical subchains. Each subchain is made of a prismatic joint (actuator) and a parallelogram with four passive revolute joints. We first derive the kinematic model of the manipulator. Then, we determine the optimal geometric parameters of the manipulator by solving a multi-goal optimization problem based on performance indices. We compute the dynamic equation use Euler-Lagrange formulation and use it to analyze the relationship between velocity, acceleration and driving torque of joints. This analysis is important for further study of the dynamic performance and the decoupling control methods for the manipulator.Key words:2-DOF Planar parallel manipulator Kinematics Dynamics0 前言在电子、包装和食品等轻工业场合中，机器人只需要3到4个自由度即可满足使用要求。
串联机器人由于自身具有较大的质量和惯性，很难应用到需要高速高负载能力的场合。
并联机器人很好的弥补了串联机器人这方面的不足。
所以，近年来少自由度并联机器人的研究相当热门。
其中3自由度并联机器人的研究已是相当深入[1-4]。
在Z方向只需要较小的操作位移时，末端搭载一个1或2自由度的串联机构的2自由度并联机器人相对应3或4自由度的并联机器人会显得更加经济适用。
清华大学曽提出过两种平面2-DOF并联机器人：一种是PRRRP（P表示移动副，R 表示转动副）并联机器人，其中两移动副运动方向平行，且机器人的末端姿态是可变的[5]；一种是2-PPa（Pa表示平行四边形机构）并联机器人，同样，该机器人的移动副运动方向也平行，不过其末端姿态不可变[6]。
文章[6]中的并联机器人最后应用在了立式机床上。
同样的2-PPa并联机器人，上海交通大学将其应用在高速高精度的场合#。
移动副运动方向平行的机器人在移动副移动的方向上有很好的运动性能，但在平面内的垂直移动副运动方向的方向上其运动性能便差了些，通常是通过增加两移动副间的距离来改善。
为了弥补两移动副平行的2-PPa 并联机器人在某一方向上相对较差的运动性能的不足，本文提出了一种两移动副运动方向正交的2-PPa 并联机器人，如图1所示。
图中的正方形表示末端动平台，边长为2a ；两个长方形表示移动副（即滑块），分别用q 1和q 2表示；圆圈表示转动副；连接滑块和动平台的是两平行连杆，长为l 。
图中的ωi ,μi 分别为连杆和电机驱动的单位方向矢量。
YXq u 11q u 22r2a lw 1lw 2图1 平面2-DOF 并联机器人实际构型本文将从以下几方面展开：推导出该机器人的运动学模型，并确定机器人的结构尺寸；基于Euler-Lagrange 方程建立该机器人的动力学方程；最后通过仿真观察动平台按照一定轨迹和速度曲线运动时，两个滑块的速度、加速度和受到的作用的变化情况。
1 运动学分析与参数确定1.1 运动学分析（1）求机器人的反解。
根据图1，可得封闭矢量关系:i i i i au lw u q -+=r等式两边取摸，可得：l au q i i =+--r由上式，可得其位置逆解方程如下：⎪⎩⎪⎨⎧-±=-±=222221y Q x Q xl yl （1）其中a -q Q i i =，对于图1中，“±”号取“+”号。
（2）求机器人的正解。
根据（1）式，可解得其运动学正解如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1421y 1421x 22212122221221Q Q l Q Q Q Q l Q Q （2） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=1421y 1421x 22212122221221Q Q l Q Q Q Q l Q Q （3）由于压力角和实际工作的原因，取式（3）为其正解。
（3）求机器人的Jacobian 矩阵。
根据式（3）分别对Q1和Q2求偏导，可得其Jacobian 矩阵： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=21212221Q MQ 1MQ N -MQ N -Q MQ 121J （4） 式中1Q Q ·4N 22212-+=l ，22221222)Q Q (N 4N 41N M +=+=l l ）（。
1.2 机构参数优化设计 （1）机构性能指标 首先是局部条件系数（local conditioning index LCI ），其取值范围为[0,1]。
当动平台在某位置LCI 为1时表示机器人在该位置的位形各向同性，灵巧性最好和控制精度最高[7, 8]。
根据LCI 的定义max min //1σσκ=，其中max min σσ和分别表示J 的最小和最大奇异值。
图2 l=121、a=80和工作空间为100*100关于原点中心对称时时，工作空间内各点灵巧度分布图由上图可知，动平台在规定的工作空间里，在越靠近y=-x 的直线的区域，机器人的灵巧性和控制精度等越好；反之，越差。
其次是全局条件系数（global conditioning index GCI ），是将LCI 推广到整个工作空间内，可衡量机器人在整个工作空间内的灵巧性和控制精度等[9, 10]。
可根据下式：⎰⎰=WWdW dW /1κη其中W 表示机器人的工作空间；max min //1σσκ=。
最后是全局速度系数(global velocity index GVI)，其值越大越好。
由机器人的速度模型可得：∙∙∙∙=p p r r J J TTT 其中∙p 为单位输入速度。
故，由上式可得：()i λmax V max =和()i m λmin V in =，其中i λ为矩阵J J T 的特征值。
将最大和最小输出速度定义为局部速度系数（local velocity index LVI ），在这基础上，通过下式定义全局速度指数（global velocity index GVI ）⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰⎰⎰dWdW V dWdW V W W W W //min V max V m in m ax ηη 其中W 为机器人的工作空间。
（2）根据动平台的需求确定机构参数范围。
根据动平台的实际运动需求，给定动平台的工作空间为关于图1中原点中心对称的边长2a 的正方形所围面积，即X 和Y 方向的范围都是[-a,a]。
取工作空间为正方形，可由局部条件系数的说明中看出。
由式（3）可得：01422212≥-+Q Q l根据机器人结构的对称性，可得：l 2Q imax ≤ （5）将式（7）代入式（1），再结合机器人机构的对称性，可得：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤---≤≤--l l l l ）（）（）（）（12y 1212x 12 （3）优化机器人机构参数优化方程与约束条件如下所示：19.08.0200)12/(x 10060..)60log()100log(/min 321in V max 321=++≥≥≤≤-≤≤-⨯--⨯-⨯=ηηηηηηηηm l a t s a a a l f目标函数中，第一项是为了得到机器人较好的结构比例，而后两项是为了避免动平台的取值太过接近边界。
有关l 的约束是为了确保机器人的工作空间在x 和y 方向上都包含[-50,50]，同时避免杆长过长。
8.0≥η和9.0in V ≥m η是为了让机器人在整个工作空间内尽可能满足高速高精的性能要求。
21ηη、和3η为加权系数，在此分别去为0.3、0.4和0.3。
解上述方程可知其取整后的最优解为：f =-1.0251，此时l =160mm ，a =85mm 。
如下图所示。
图3 a 、l 与f 的关系图1.3 机器人模型根据给定的尺寸，设计机器人如下图所示。
图4 机器人示意图2 动力学由于该机器人是在平面内工作，可以不考虑重力因素，故其关节空间Euler-Lagrange 动力学方程为：τ=+∙∙∙∙q q q C q q D ),()(其中矩阵()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211d q D d d d 表示机器人的惯性矩阵，可通过计算整个机器人的动能获得；矩阵),(∙q q C 表示离心力和哥氏力矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∙∙∙∙∙∙∙∙22221122221211122221112122111111q c q c qc q c q c q c q c q c ，其中c ijk （i ，j ，k =1,2）是第一类Christoffelsymbols [11]，可通过下式计算得到，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂=k ij j ki i kj ijk q d q d q d 21c ； 向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21τττ表示滑块受到的作用力。