广东自考线性规划

表1 甲、乙两原料营养成份含量及最低需要量
营养成分
甲原料x 1
乙原料x 2
（营养成分单位/原料 （营养成分单位/原料
配合饲料的最 低含量
单位）
单位）
钙
1
1
10
蛋白质
3
1
15
热量
1
6
15
设配合饲料中，用甲x1单位，用乙x2单位，则 配合饲料的原料成本函数，即决策的目标函 数为Z=10x1+20x2。考虑三种营养含量限制条 件后，可得这一问题的线性规划模型如下：
ns.t.aij x bi (i 1,2,3m)j 1
x j 0 , j 1,2,3,, n
四、线性规划问题的标准形式
结构： 目标函数统一成求最小值；约束条件归
结为一组线性方程组和非负性限制。 注意点：
目标函数是求最大值,要化为求最小值； 约束条件是不等式，要化为等式和非负性 限制。
标准形式：
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
n
s.t.
aij x j bi (i 1,2,3, m)
j 1
x j 0 , j 1,2,3,, n
若使用向量和矩阵记号，则标准形式可写为： 此标准形式也称为LP。
min z cx
s.t.Ax b
x0
其中：C=(c1,c2,……cn)
(1)
a21x1+a22x2+…+a2nxn≤ b2
(2)
…
…
am1x1+am2x2+…+amnxn ≤ bm
(m)
x1 ，x2 ，…xn≥0
其简缩形式为
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
n
s.t.
aij x j bi (i 1,2,3m)
j 1
x j 0 , j 1,2,3,, n
常见的线性规划问题
■资源利用问题 ■运输问题 ■合理下料问题 ■经济配料问题 ■布局问题 ■分配问题 ■证券投资与组合问题
例题1（经济配料问题）
某饲料公司用甲、乙两种原料配制饲料，甲乙两种原料 的营养成份及配合饲料中所含各营养成份最低量由表1 给出。已知单位甲、乙原料的价格分别为10元和20元， 求满足营养需要的饲料最小成本配方。
一、线性规划问题的三要素
1.决策变量 ——问题需要求解的未知量。 它是通过模型计算来确定的决策因素。
2.目标函数——目标的数学表达式。目标 函数是求变量的线性函数的极大值和极 小值这样一个极值问题。
3.约束条件——实现目标的制约因素。它 包括：生产资源的限制（客观约束条 件）、生产数量、质量要求的限制（主 观约束条件）、特定技术要求和非负限 制。
第一章 线性规划问题
线性规划是运筹学的一个大分支—数学规划 的组成部分。
数学规划分为静态规划和动态规划； 静态规划又分为线性规划和非线性规划。 静态数学规划一般来说是研究一个n元实函 数（称为目标函数）在一组等式或不等式约束 条件下的极值问题。如果目标函数和约束条件 都是线性的，则称为线性规划；否则，称之为 非线性规划。
二、线性规划问题的基本结构
Min Z=10x1+20x2 s.t. x1+x2≥10
3x1+x2≥15 x1+6x2≥15
x1≥0 , x2≥0
目标函数 约束条件 非负限制
三、线性规划模型的一般形式（极大值型）
Max Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn
a11x1+a12x2+…+a1nxn≤ b1
线性规划模型的一般形式（极小值型）
Min Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn
a11x1+a12x2+…+a1nxn ≥ b1
(1)
a21x1+a22x2+…+a2nxn ≥ b2
(2)
…
…
am1x1+am2x2+…+amnxn ≥ bm
(m)
x1 ，x2 ，…xn≥0
其简缩形式为
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
一根9米的棒材截断的方案如下表：
根数 方案
1 2 3 4 5 6 7 8
3.3米 2 1 1 1 0 0 0 0
2.5米 0 2 1 0 3 2 1 0
1.7米 1 0 1 3 0 2 3 5
废料 0.7 0.7 1.5 0.6 1.5 0.6 1.4 0.5
设按八种方案下料的9米棒各x1、x2 、x3、 x4 、x5 、 x6、 x7 、x8根
x1
x2
X
xn
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
b1
b2
b
bm
0是n维零向量，即
0
0
0
0
x 0,则x j 0, j (1,2,3n)
五、线性规划模型的建立
步骤： 1、确定决策变量。 2、确定目标函数。 3、确定约束条件。 4、变量取值限制。
设种玉米，大豆和地瓜的数量分别为x1、x2 和x3公顷，根据问题建立线性规划问题模型如下：
Max Z=200 x1+150 x2+100 x3
x1+x2+x3≤12
(1)
6x1+6x2+2x3≤48
(2)
36x1+24x2+18x3≤360 (3)
x1≥0，x2≥0，x3≥0
[例3]某农户有耕地20公顷，可采用甲乙 两种种植方式。甲种植方式每公顷需投 资280 元，每公顷投工6个，可获收入 1000 元 ， 乙 方 式 每 公 顷 需 投 资 150 元 ， 劳动15个工日，可获收入1200元，该户 共有可用资金4200元、240个劳动工日。 问如何安排甲乙两种方式的生产，可使 总收入最大?
Min Z=10x1+20x2 x1+x2≥10 3x1+x2≥15 x1+6x2≥15
x1≥0 , x2≥0
例题2（资源利用问题）
某农户计划用12公顷耕地生产玉米，大豆和地 瓜，可投入48个劳动日，资金360元。生产玉米1 公顷，需6个劳动日，资金36元，可获净收入20 元；生产1公顷大豆，需6个劳动日，资金24元， 可获净收入150元；生产1公顷地瓜需2个劳动 日，资金18元，可获净收入1200元，问怎样安排 才能使总的净收入最高。
解：设甲方式种x1公顷，乙方式种x2公顷， 总收入为Z，则有：
Max Z=1000x1+1200x2 280x1+150x2≤4200 6x1+15x2≤240 x1+x2≤20 x1≥0,x2≥0
例题4、（合理下料问题）
某工厂生产过程中分别需要长度为3.3米、 2.5米、1.7米的同种棒料毛坯200根、100 根、300根。现有的原料为9米长棒材，问 如何下料可使废料最少？