第二单元 函数的概念与基本性质

第二单元 函数的概念与基本性质考点一 函数的概念1.(2015年浙江卷)存在函数f (x )满足:对于任意x ∈R 都有( ).A.f (sin2x )=sin xB.f (sin2x )=x 2+xC.f (x 2+1)=|x+1| D .f (x 2+2x )=|x+1|【解析】选项A 中,x 分别取0,π2,可得f (0)对应的值为0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项A 错误; 选项B 中,x 分别取0,π,可得f (0)对应的值为0,π2+π,这与函数的定义矛盾,所以选项B 错误;选项C 中,x 分别取1,-1,可得f (2)对应的值为2,0,这与函数的定义矛盾,所以选项C 错误; 选项D 中,取f (x )=√x +1,则对于任意x ∈R 都有f (x 2+2x )=√x 2+2x +1=|x+1|,所以选项D 正确.综上可知,本题选D . 【答案】D2.(2014年上海卷)设f (x )={(x -a)2,x ≤0,x +1x+a,x >0,若f (0)是f (x )的最小值,则a 的取值范围为( ). A .[-1,2] B .[-1,0] C .[1,2] D .[0,2]【解析】∵当x ≤0时,f (x )=(x-a )2,f (0)是f (x )的最小值,∴a ≥0.当x>0时,f (x )=x+1x+a ≥2+a ,当且仅当x=1时等号成立.要满足f (0)是f (x )的最小值,需2+a ≥f (0)=a 2,即a 2-a-2≤0,解得-1≤a ≤2.∴a 的取值范围为[0,2].故选D .【答案】D3.(2015年全国Ⅱ卷)设函数f (x )={1+log 2(2-x),x <1,2x -1,x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( ).A.3B.6C.9D.12【解析】∵-2<1,∴f (-2)=1+log 2(2+2)=1+log 24=1+2=3. ∵log 212>1,∴f (log 212)=2log 212−1=122=6. ∴f (-2)+f (log 212)=3+6=9.故选C .【答案】C4.(2016年江苏卷)函数y=√3−2x -x 2的定义域是 .【解析】要使函数有意义,需3-2x-x 2≥0,即x 2+2x-3≤0,得(x-1)(x+3)≤0,即-3≤x ≤1,故所求函数的定义域是[-3,1].【答案】[-3,1]考点二 函数的奇偶性5.(2014年全国Ⅰ卷)设函数f (x ),g (x )的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论中正确的是( ).A .f (x )g (x )是偶函数B .|f (x )|g (x )是奇函数C .f (x )|g (x )|是奇函数D .|f (x )g (x )|是奇函数【解析】令h 1(x )=f (x )g (x ),则h 1(-x )=f (-x )g (-x )=-f (x )g (x )=-h 1(x ),∴h 1(x )是奇函数,A 错误. 令h 2(x )=|f (x )|g (x ),则h 2(-x )=|f (-x )|g (-x )=|-f (x )|g (x )=|f (x )|g (x )=h 2(x ),∴h 2(x )是偶函数,B 错误. 令h 3(x )=f (x )|g (x )|,则h 3(-x )=f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|=-h 3(x ),∴h 3(x )是奇函数,C 正确.令h 4(x )=|f (x )g (x )|,则h 4(-x )=|f (-x )g (-x )|=|-f (x )g (x )|=|f (x )g (x )|=h 4(x ),∴h 4(x )是偶函数,D 错误. 【答案】C6.(2015年广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ).A.y=√1+x 2B.y=x+1xC.y=2x+12x D.y=x+e x【解析】A 选项中的函数的定义域为R ,因为√1+(−x)2=√1+x 2,所以该函数是偶函数.B 选项中的函数的定义域为{x|x ≠0},因为-x-1x=-(x +1x),所以该函数是奇函数.C 选项中的函数的定义域为R ,因为2-x+12-x =12x +2x,所以该函数是偶函数.D 选项中的函数的定义域为R ,因为-x+e -x=1ex -x ,所以该函数是非奇非偶函数.【答案】D7.(2017年北京卷)已知函数f (x )=3x-(13)x ,则f (x )( ).A.是奇函数,且在R 上是增函数B.是偶函数,且在R 上是增函数C.是奇函数,且在R 上是减函数D.是偶函数,且在R 上是减函数 【解析】∵函数f (x )的定义域为R ,f (-x )=3-x -(13)-x =(13)x-3x =-f (x ), ∴函数f (x )是奇函数. ∵函数y=(13)x在R 上是减函数,∴函数y=-(13)x 在R 上是增函数.又∵y=3x在R 上是增函数,∴函数f (x )=3x -(13)x在R 上是增函数.故选A . 【答案】A8.(2015年全国Ⅰ卷)若函数f (x )=x ln (x+√a +x 2)为偶函数,则a= .【解析】∵f (x )为偶函数,∴f (-x )-f (x )=0恒成立,∴-x ln (-x+√a +x 2)-x ln (x+√a +x 2)=0恒成立, ∴x ln a=0恒成立, ∴ln a=0,即a=1.【答案】1考点三 函数的单调性及其综合应用9.(2017年全国Ⅰ卷)函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f (1)=-1,则满足-1≤f (x-2)≤1的x 的取值范围是( ).A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3] 【解析】∵f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x ).∵f (1)=-1,∴f (-1)=-f (1)=1.由-1≤f (x-2)≤1,得f (1)≤f (x-2)≤f (-1).又∵f (x )在(-∞,+∞)上单调递减,∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x ≤3.故选D .【答案】D10.(2016年天津卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a-1|)>f (-√2),则a 的取值范围是 .【解析】∵f (x )是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减,f (-√2)=f (√2), ∴f (2|a-1|)>f (√2),∴2|a-1|<√2=212,∴|a -1|<12,即-12<a-1<12,即12<a<32.【答案】(12,32)11.(2017年全国Ⅲ卷)设函数f (x )={x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f (x -12)>1的x 的取值范围是 .【解析】由题意知,可对不等式分x ≤0,0<x ≤12,x>12三段讨论.当x ≤0时,原不等式为x+1+x+12>1,解得x>-14,∴-14<x ≤0.当0<x ≤12时,原不等式为2x+x+12>1,显然成立.当x>1时,原不等式为2x+2x-12>1,显然成立.2综上可知,x>-1.4【答案】(-1,+∞)4高频考点:求函数的定义域、分段函数求值、利用函数单调性解函数不等式、函数奇偶性的应用.命题特点:1.求函数的定义域一般根据限制条件,列出不等式求解,此类问题难度不大.2.分段函数的求值需根据自变量的范围确定对应的解析式,再代入运算,此类问题难度不大.3.函数的奇偶性、单调性、周期性往往综合考查.解决这类综合考查问题常利用周期性和奇偶性把所求的函数解析式转化为已知区间内的函数解析式,再利用单调性分析或求解.§2.1函数的概念及其表示一函数的概念给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,使对于集合A中的一个数x,在集合B中都存在确定的数f(x)与之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的,记作.此时,x叫作自变量,集合A叫作函数的,集合{f(x)|x∈A}叫作函数的.二函数的表示法函数的表示法:、、.三分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同,可用几个式子表示,则这种形式的函数叫作.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.与g(x)=x是同一个函数.()(1)f(x)=x2x是同一个函数.()(2)f(x)=|x|与g(x)={x,x≥0,-x,x<0(3)函数f(x)=√x2+3+1的值域是{y|y≥1}.()(4)若函数f(x)的定义域为{x|1≤x<3},则函数f(2x-1)的定义域为{x|1≤x<3}.()知识清单一、任何唯一函数f:A→B,或y=f(x),x∈A定义域值域二、解析法列表法图象法三、分段函数基础训练【解析】(1)错误,因为f(x)=x2x的定义域是{x|x≠0},而g(x)=x的定义域是R,所以它们的定义域不相同,因此它们不是同一个函数.(2)正确,因为f(x)=|x|与g(x)={x,x≥0,-x,x<0的定义域和对应法则完全相同,所以它们是同一个函数.(3)错误,因为x2≥0,所以x2+3≥3,所以函数f(x)=√x2+3+1的值域是{y|y≥√3+1}.(4)错误,因为f(x)的定义域为{x|1≤x<3},所以1≤2x-1<3,解得1≤x<2,故函数f(2x-1)的定义域为{x|1≤x<2}.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×题型一求函数的定义域【例1】(1)y=√x-12x-log2(4-x2)的定义域是().A.(-2,0)∪(1,2)B.(-2,0]∪(1,2)C.(-2,0)∪[1,2)D.[-2,0]∪[1,2](2)若函数y=f(x)的定义域是[1,20],则函数g(x)=f(x+1)x-1的定义域是.【解析】(1)要使函数有意义,必须有{x-12x≥0,x≠0,4−x2>0,∴x∈(-2,0)∪[1,2),故选C.(2)由已知函数f(x)的定义域为[1,20],可知1≤x+1≤20,解得0≤x≤19,故函数f(x+1)的定义域为[0,19].∴使函数g(x)有意义的条件是{0≤x≤19,x-1≠0,解得0≤x<1或1<x≤19.【答案】(1)C(2)[0,1)∪(1,19]【变式训练1】(1)函数f(x)=√x+3+log2(6-x)的定义域是.(2)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为().A.[-1,1]B.[1,2]C.[10,100]D.[0,lg2]【解析】(1)要使函数有意义,应满足{x+3≥0,6−x>0,解得-3≤x<6.(2)因为f(x2+1)的定义域为[-1,1],即-1≤x≤1,所以1≤x2+1≤2,所以f(x)的定义域为[1,2],所以1≤lg x≤2,即10≤x≤100,所以函数f(lg x)的定义域为[10,100].【答案】(1)[-3,6)(2)C题型二求函数的解析式【例2】(1)已知f(2x+1)=lg x,则f(x)=.(2)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f'(x)=2x+2,则f(x)的解析式为.【解析】(1)令t=2x +1(t>1),则x=2t-1,∴f(t)=lg2t-1,即f(x)=lg2x-1(x>1).(2)设f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),则f'(x )=2ax+b=2x+2,∴a=1,b=2,∴f (x )=x 2+2x+c.又∵方程f (x )=0有两个相等的实根,∴Δ=4-4c=0,得c=1.故f (x )=x 2+2x+1.【答案】(1)lg 2x -1(x>1) (2)f (x )=x 2+2x+1【变式训练2】(1)已知f (√x +1)=x+2√x ,则f (x )= .(2)已知函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f (x )=2f (1x )·√x -1,则f (x )= .【解析】(1)设√x +1=t (t ≥1),则√x =t-1,所以f (t )=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1(t ≥1),所以f (x )=x 2-1(x ≥1).(2)在f (x )=2f (1x )·√x -1中,用1x 代替x ,得f (1x )=2f (x )·1√x-1,将f (1x )=2f(x)x-1代入f (x )=2f (1x )·√x -1中,可求得f (x )=23√x +13.【答案】(1)x 2-1(x ≥1) (2)23√x +13题型三 分段函数问题【例3】(1)函数f (x )={sin(πx 2),-1<x <0,e x -1,x ≥0满足f (1)+f (a )=2,则a 的所有可能值为().A .1或-√22B .-√22C .1D .1或√22 (2)已知f (x )={(1-2a)x +3a,x <1,lnx,x ≥1的值域为R ,则a 的取值范围是 .【解析】(1)∵f (1)=e 1-1=1且f (1)+f (a )=2,∴f (a )=1.当-1<a<0时,f (a )=sin (πa 2)=1,∵0<a 2<1,∴0<πa 2<π,∴πa 2=π2⇒a=-√22;当a ≥0时,f (a )=e a-1=1⇒a=1.综上可得a=-√22或a=1,故选A .(2)要使函数f (x )的值域为R ,应满足{1−2a >0,ln1≤1−2a +3a,即{a <12,a ≥−1,∴-1≤a<12,故a 的取值范围是[-1,12).【答案】(1)A (2)[-1,12)【变式训练3】(1)已知函数f (x )={sinπx,x ≤0,f(x -1),x >0,则f (23)的值为( ).A .-12 B .-√32C .12D .√32(2)设函数f (x )={3x -b,x <1,2x ,x ≥1,若f (f (56))=4,则b= .【解析】(1)由函数的解析式可得f (23)=f (23-1)=f (-13)=sin [π·(-13)]=-√32,故选B .(2)f (56)=3×56-b=52-b ,若52-b<1,即b>32,则3×(52-b)-b=152-4b=4,解得b=78,不满足条件,舍去;若52-b ≥1,即b ≤32,则252-b =4,解得b=12,满足条件.【答案】(1)B (2)12方法一 分类讨论思想的应用分类讨论思想在函数中应用广泛,如求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后通过分类讨论求解.【突破训练1】已知函数f (x )={2x ,x >0,x +1,x ≤0,若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值为( ).A .-3B .-1C .1D .3【解析】当a>0时,由f (a )+f (1)=0得2a+2=0,故不存在实数a 满足条件;当a ≤0时,由f (a )+f (1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件.故选A .【答案】A方法二 待定系数法的应用若已知函数类型求解析式,可用待定系数法求解,先设出f (x ),然后利用题目中的已知条件,列出关于待定系数的方程组,进而求出待定的系数.【突破训练2】若二次函数g (x )满足g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,则g (x )的解析式为( ).A .g (x )=2x 2-3x B .g (x )=3x 2-2x C .g (x )=3x 2+2xD .g (x )=-3x 2-2x【解析】设g (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),∵g (1)=1,g (-1)=5,且g (x )的图象过原点,∴{a +b +c =1,a -b +c =5,c =0,解得{a =3,b =−2,c =0,∴g (x )=3x 2-2x ,故选B .【答案】B1.(2017广西南宁质检)下图中可作为函数y=f (x )的图象的是( ).【解析】选项D 是“多对一”,而选项A 、B 、C 均为“一对多”,由函数的定义知选D . 【答案】D2.(2014年江西卷)已知函数f (x )=5|x|,g (x )=ax 2-x (a ∈R ).若f (g (1))=1,则a=( ).A.1B.2C.3D.-1 【解析】∵g (x )=ax 2-x ,∴g (1)=a-1.∵f (x )=5|x|,∴f (g (1))=f (a-1)=5|a-1|=1, ∴|a -1|=0,∴a=1.【答案】A3.(2017山东淄博月考)函数f (x )=√2−xlnx 的定义域是( ).A .(0,2)B .(0,1)∪(1,2)C .(0,2]D .(0,1)∪(1,2]【解析】要使函数有意义,则有{2−x ≥0,x >0,lnx ≠0,即{x ≤2,x >0,x ≠1,所以0<x ≤2且x ≠1,所以函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1,2],故选D . 【答案】D4.(2017安徽黄山质检)已知f (x )是一次函数,且f (f (x ))=x+2,则f (x )=( ).A .x+1B .2x-1C .-x+1D .x+1或-x-1【解析】设f (x )=kx+b (k ≠0),则由f (f (x ))=x+2,可得k (kx+b )+b=x+2,即k 2x+kb+b=x+2,∴k 2=1,kb+b=2,解得k=1,b=1,则f (x )=x+1.故选A .【答案】A5.(2016河南八市高三质检)已知函数f (x )={x 2-x,x ≥0,g(x),x <0是奇函数,则g (f (-2))的值为( ).A .0B .2C .-2D .-4【解析】因为函数f (x )={x 2-x,x ≥0,g(x),x <0是奇函数,所以f (-2)=-f (2)=-(4-2)=-2,所以g (f (-2))=g (-2)=f (-2)=-f (2)=-2,故选C .【答案】C6.(2017江西金溪高三上期中)设函数f (x )={1+log 6x,x ≥4,f(x 2),x <4,则f (3)+f (4)=.【解析】f (3)=f (9)=1+log 69,f (4)=1+log 64, 故f (3)+f (4)=1+log 69+1+log 64=2+log 6(9×4)=4. 【答案】47.(2017徐州沛县高三上第一次质检)函数y=lg (3x+1)+12−x 的定义域是 .【解析】由题意可得{3x +1>0,2−x ≠0,解得x>-13且x ≠2,故函数y=lg (3x+1)+12−x 的定义域是{x |x >−13且x ≠2}.【答案】{x |x >−13且x ≠2}8.(2017山东青岛一中检测)奇函数f (x )在(0,+∞)上的表达式为f (x )=x+√x ,则在(-∞,0)上f (x )的表达式为f (x )= .【解析】设x<0,则-x>0,∴f (-x )=-x+√-x .又∵f (x )为奇函数,∴f (x )=-f (-x )=x-√-x ,即当x ∈(-∞,0)时,f (x )=x-√-x .【答案】x-√-x9.(2017山东省烟台市高三上期中)设函数f (x )={12x -1(x ≥0),1x(x <0),若f (a )>a ,则实数a 的取值范围是 .【解析】当a ≥0时,f (a )=12a-1>a ,解得a<-2,无解; 当a<0时,f (a )=1a >a ,解得a<-1或a>1(舍去).综上可得,a<-1. 【答案】(-∞,-1)10.(2017四川遂宁零诊)设函数f (x )=√x -1,则f (x 2)+f (4x )的定义域为( ).A .[12,4]B .[2,4]C .(1,+∞)D .[12,2]【解析】函数f (x )=√x -1的定义域为[1,+∞),则{x2≥1,4x≥1,解得2≤x ≤4,故所求函数的定义域为[2,4]. 【答案】B11.(2017湖北武汉四月调考)已知函数f (x )满足f (1x )+1xf (-x )=2x (x ≠0),则f (-2)=( ).A .-72B .92C .72D .-92【解析】已知函数f (x )满足f (1x )+1x f (-x )=2x (x ≠0),令x=2,可得f (12)+12f (-2)=4; ①令x=-12,可得f (-2)-2f (12)=-1. ②联立①②可得f (-2)=72.【答案】C12.(2017山东烟台高三上期中)已知函数f (x )=lg (1-x )的值域为(-∞,0),则函数f (x )的定义域为( ).A .[0,+∞)B .(0,1)C .[-9,+∞)D .[-9,1)【解析】∵函数f (x )=lg (1-x )的值域为(-∞,0),∴lg (1-x )<0,∴0<1-x<1,解得0<x<1,则函数f (x )的定义域为(0,1). 【答案】B13.(2017河北衡水武邑中学高三上二调)已知函数f (x )={sin πx3,x <1,-log 2x,x ≥1,且f (a )=-3,则f (6-a )等于( ).A .12 B .-12 C .√32 D .-√32 【解析】∵f (x )={sinπx3,x <1,-log 2x,x ≥1,且f (a )=-3,∴当a<1时,f (a )=sin aπ3=-3,不成立;当a ≥1时,f (a )=-log 2a=-3,解得a=8.∴f (6-a )=f (-2)=sin (-2π3)=-√32.【答案】D14.(2017铁岭市协作体第一次联考)设函数f (x )={ln(−x),x <0,-lnx,x >0,若f (m )>f (-m ),则实数m 的取值范围是 .【解析】已知函数f (x )={ln(−x),x <0,-lnx,x >0,当m>0时,f (m )>f (-m ),即为-ln m>ln m ,则ln m<0,解得0<m<1;当m<0时,f (m )>f (-m ),即为ln (-m )>-ln (-m ),则ln (-m )>0,解得m<-1. 综上可得,m<-1或0<m<1.【答案】(-∞,-1)∪(0,1)§2.2函数的单调性与最值一函数的单调性一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.二函数的单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是或,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫作y=f(x)的单调区间.三函数的最值设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有;(2)存在x0∈I,使得.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大(小)值.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若定义在R上的函数f(x),有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数.()(2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则该函数的单调递增区间是[1,+∞).()的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).()(3)函数y=1x(4)所有的单调函数都有最值.()已知函数f(x)=2,x∈[2,6],则f(x)的最大值为,最小值为.x-1知识清单一、f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)二、增函数减函数区间D三、(1)f(x)≤M(或f(x)≥M)(2)f(x0)=M基础训练1.【解析】(1)错误,不符合函数单调性的定义.(2)错误,函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,只能说明[1,+∞)属于单调递增区间.(3)错误,有多个单调区间的情况,只能用“,”隔开或写成“和”,不能写成并集、“或”的形式.(4)错误,如函数y=x就没有最值.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×2.【解析】函数f (x )=2x -1在区间[2,6]上单调递减,所以f (x )max =f (2)=22−1=2,f (x )min =f (6)=26−1=25.【答案】2 25题型一 函数单调性的证明【例1】已知函数f (x )=√x 2+1-ax ,其中a>0.证明:当a ≥1时,f (x )在区间[0,+∞)上为减函数. 【解析】任取x 1,x 2∈[0,+∞),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=√x 12+1-ax 1-√x 22+1+ax 2 =√x 12+1-√x 22+1-a (x 1-x 2)=1222x 1+1+x 2+1-a (x 1-x 2)=(x 1-x 2)(12√x 1+1+√x 2+1a).∵0≤x 1<√x 12+1,0<x 2<√x 22+1,∴0<x 1+x 2√x 1+1+√x 2+1<1.又∵a ≥1,∴f (x 1)-f (x 2)>0,∴f (x )在区间[0,+∞)上为减函数.【变式训练1】已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x1)=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.x2(1)求f(1)的值;(2)证明:f(x)为减函数.【解析】(1)令x1=x2>0,则f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则x1>1.x2)<0,即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),∵当x>1时,f(x)<0,∴f(x1x2∴函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.题型二确定函数的单调区间(x2-4)的单调递增区间是().【例2】(1)函数f(x)=lo g12A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)(2)函数y=-x2+2|x|+3的单调递增区间为.【解析】(1)因为y=lo g1t(t>0)在定义域上是减函数,所以要求原函数的单调递增区间,即求函数t=x2-42的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2).(2)由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.画出该函数的图象,如图.由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3在(-∞,-1]和[0,1]上是增函数.【答案】(1)D(2)(-∞,-1]和[0,1]【变式训练2】函数f (x )=√x 2-2x -3的单调递增区间为 .【解析】由x 2-2x-3≥0,解得x ≤-1或x ≥3,故该函数的单调递增区间为[3,+∞).【答案】[3,+∞)题型三 单调性的应用【例3】(1)已知函数f (x )的图象关于直线x=1对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,设a=f (-12),b=f (2),c=f (e ),则a ,b ,c 的大小关系为( ).A .c>a>bB .c>b>aC .a>c>bD .b>a>c(2)设定义在(0,+∞)上的增函数f (x )对任意的x ∈(0,+∞)都有f (f (x )-log 3x )=4,则不等式f (a 2+2a )>4的解集为( ).A .{a|a<-3或a>1}B .{a|a>1}C .{a|-3<a<1}D .{a|a<-3}【解析】(1)因为f (x )的图象关于直线x=1对称,所以f (-12)=f (52).由x 2>x 1>1,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,知f (x )在(1,+∞)上单调递减.因为1<2<52<e ,所以f (2)>f (52)>f (e ),所以b>a>c.(2)设f (b )=4,则对任意的x ∈(0,+∞),有f (x )-log 3x=b 恒成立,再将x=b ,f (b )=4代入前式,得log 3b+b=4,可求得b=3,则f (x )=3+log 3x ,f (3)=4.又f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,所以f (a 2+2a )>4的解集为不等式a 2+2a>3的解集,即为{a|a<-3或a>1},故选A .【答案】(1)D (2)A【变式训练3】已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则关于x 的不等式f (2x-1)<f (13)的解集是 .【解析】由题意知{2x -1≥0,2x -1<13,解得12≤x<23. 【答案】[12,23)题型四 求函数的最值(值域)【例4】已知函数f (x )=2x-ax 的定义域为(0,1](a 为实数).(1)当a=1时,求函数y=f (x )的值域;(2)求函数y=f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值,并求出当函数f (x )取得最值时x 的值. 【解析】(1)当a=1时,f (x )=2x-1x,任取1≥x 1>x 2>0,则f (x 1)-f (x 2)=2(x 1-x 2)-(1x 1-1x 2)=(x 1-x 2)(2+1x1x 2). ∵1≥x 1>x 2>0,∴x 1-x 2>0,x 1x 2>0.∴f (x 1)>f (x 2),∴f (x )在(0,1]上单调递增,无最小值,当x=1时,f (x )取得最大值1, 当x →0,且x>0时,f (0)→-∞,∴f (x )的值域为(-∞,1].(2)若a ≥0,则y=f (x )在(0,1]上单调递增,无最小值,当x=1时,f (x )取得最大值2-a.若a<0,则f (x )=2x+-a x ,当√-a 2≥1,即a ∈(-∞,-2]时,y=f (x )在(0,1]上单调递减,无最大值,当x=1时,f (x )取得最小值2-a ;当√-a 2<1,即a ∈(-2,0)时,y=f (x )在(0,√-a 2]上单调递减,在[√-a 2,1]上单调递增,因此,f (x )无最大值,当x=√-a2时,f (x )取得最小值2√-2a .【变式训练4】函数f (x )={1x,x≥1,-x 2+2,x <1的最大值为 .【解析】当x ≥1时,函数f (x )=1x为减函数,所以f (x )在x=1处取得最大值,最大值为f (1)=1;当x<1时,易知函数f (x )=-x 2+2在x=0处取得最大值,最大值为f (0)=2.故函数f (x )的最大值为2.【答案】2方法一 巧用化归转化思想解题(1)在利用定义法证明抽象函数的单调性时,应根据所给抽象关系式的特点,对x 1或x 2进行适当变形,进而比较出f (x 1)与f (x 2)的大小.(2)求解含“f ”的不等式问题时,应先利用已知条件将不等式转化为f (x 1)>f (x 2)的形式,然后根据其单调性脱掉“f ”,转化为关于x 1与x 2的不等式问题求解.【突破训练1】 已知定义在R 上的函数f (x )满足:①f (x+y )=f (x )+f (y )+1;②当x>0时,f (x )>-1.(1)求f (0)的值,并证明f (x )在R 上是增函数; (2)若f (1)=1,解关于x 的不等式f (x 2+2x )+f (1-x )>4. 【解析】(1)令x=y=0,得f (0)=-1.在R 上任取x 1>x 2,则x 1-x 2>0,即f (x 1-x 2)>-1.又f (x 1)=f ((x 1-x 2)+x 2)=f (x 1-x 2)+f (x 2)+1>f (x 2), 所以f (x )在R 上是增函数. (2)由f (1)=1,得f (2)=3,f (3)=5.由f (x 2+2x )+f (1-x )>4,得f (x 2+x+1)>f (3).又函数f (x )在R 上是增函数,故x 2+x+1>3,解得x<-2或x>1,故原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.方法二 分类讨论思想在研究函数单调性中的应用使用函数的单调性求参数范围时,常常需要讨论,把要研究的问题根据题目的特点和要求,转化成若干个小问题来解决,即先按不同情况分类,然后逐一解决.【突破训练2】若函数f (x )=ax 2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a 的取值范围是 .【解析】当a=0时,f (x )=2x-3,它在定义域R 上是单调递增的,故f (x )在(-∞,4)上单调递增; 当a ≠0时,二次函数f (x )图象的对称轴为直线x=-1a,因为f (x )在(-∞,4)上单调递增,所以a<0,且-1a ≥4,解得-14≤a<0.综上所述,实数a 的取值范围是[-14,0].【答案】[-14,0]1.(遵义四中2018届月考)下列函数中,在定义域内单调且是奇函数的是( ).A .y=1xB .y=|ln x|C .y=ln |x|D .y=√x 33【解析】A 选项中的函数在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数,但在定义域内不单调;B 选项中的函数是非奇非偶函数;C 选项中的函数是偶函数;D 选项满足题意.【答案】D2.(2017长春质检)已知函数f (x )=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a 的取值范围是( ).A .(-∞,1]B .(-∞,-1]C .[-1,+∞)D .[1,+∞)【解析】因为函数f (x )在(-∞,-1)上是单调函数,所以-a ≥-1,解得a ≤1. 【答案】A3.(山东临沂一中2018届第二次月考)定义新运算“⊕”:当a ≥b 时,a ⊕b=a 2;当a<b 时,a ⊕b=b 2.函数f (x )=(1⊕x )x-12(2⊕x )在区间[-2,2]上的最大值为( ).A .-1B .1C .6D .12【解析】由已知得,当-2≤x ≤1时,f (x )=x-2;当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2.∵f (x )=x-2,f (x )=x 3-2在定义域内都为增函数, ∴在区间[-2,2]上,f (x )的最大值为f (2)=23-2=6.【答案】C4.(2017衡水调研)已知函数f (x )={x 2+2x,x ≥0,x 2-2x,x <0.若f (-a )+f (a )≤2f (1),则a 的取值范围是( ).A .[-1,0)B .[0,1]C .[-1,1]D .[-2,2]【解析】由题意知函数f (x )是偶函数,所以f (-a )=f (a ),故原不等式等价于f (a )≤f (1),即f (|a|)≤f (1),而函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,故|a|≤1,解得-1≤a ≤1.【答案】C5.(2017湖南师大附中高三月考)已知f (x )={a x ,x >1,(4−a 2)x +2,x ≤1是定义在R 上的增函数,则实数a 的取值范围是( ).A .(1,+∞)B .[4,8)C .(4,8)D .(1,8)【解析】由已知可得{a >1,4−a2>0,a ≥(4−a2)+2,解得4≤a<8.【答案】B6.(2017郑州模拟)设函数f (x )={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g (x )=x 2f (x-1),则函数g (x )的单调递减区间是 .【解析】由题意知函数g (x )={x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1,其图象是如图所示的实线部分,由图象可得g (x )的单调递减区间是[0,1).【答案】[0,1)7.(山东临沭一中2018届月考)对于任意实数a ,b ,定义min {a ,b }={a,a ≤b,b,a >b.设函数f (x )=-x+3,g (x )=log 2x ,则函数h (x )=min {f (x ),g (x )}的最大值是 .【解析】依题意,h (x )={log 2x,0<x ≤2,-x +3,x >2.当0<x ≤2时,h (x )=log 2x 是增函数, 当x>2时,h (x )=3-x 是减函数,∴h (x )在x=2时取得最大值,最大值是h (2)=1.【答案】18.(2017石家庄调研)函数f (x )=(13)x -log 2(x+2)在[-1,1]上的最大值为 .【解析】因为y=(13)x 在R 上单调递减,y=log 2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f (x )在[-1,1]上单调递减,故f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.【答案】39.(河北馆陶一中2018届月考)函数y=f (x )的图象关于直线x=1对称,且在[1,+∞)上单调递减,f (0)=0,则f (x+1)>0的解集为 .【解析】由f (x )的图象关于直线x=1对称,f (0)=0,可得f (2)=f (0)=0.当x+1≥1,即x ≥0时,f (x+1)>0,即为f (x+1)>f (2), 由f (x )在[1,+∞)上单调递减,可得x+1<2,解得x<1, 即有0≤x<1. ①当x+1<1,即x<0时,f (x+1)>0,即为f (x+1)>f (0), 由f (x )在(-∞,1)上单调递增,可得x+1>0,解得x>-1, 即有-1<x<0. ②由①②可得所求不等式的解集为{x|-1<x<1}. 【答案】{x|-1<x<1}10.(遵义四中2018届月考)已知函数f (x )={(a -2)x,x ≥2,(12)x -1,x <2满足对任意实数x 1,x 2且x 1≠x 2,都有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<0成立,则实数a 的取值范围为( ).A .(-∞,2)B .(-∞,138] C .(-∞,138) D .[138,2) 【解析】由f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<0(x 1≠x 2)得f (x )为减函数,所以{a -2<0,2(a -2)≤(12)2-1,解得a ≤138,故选B .【答案】B11.(巢湖市2018届第一次月考)若函数y=x 2-3x-4的定义域为[0,m ],值域为[-254,-4],则m 的取值范围是( ).A .(0,4]B .[32,4] C .[32,3] D .[32,+∞)【解析】y=x 2-3x-4=(x -32)2-254,所以定义域必须包括该函数图象顶点的横坐标.当y=-4时,解得x=0或x=3,故m 的取值范围为[32,3].【答案】C12.(2017枣阳第一中学模拟)已知函数f (x )=e x -1,g (x )=-x 2+4x-3,若存在实数a ,b ,使得f (a )=g (b ),则实数b 的取值范围为( ).A .[0,3]B .(1,3)C .[2-√2,2+√2]D .(2-√2,2+√2)【解析】由题意可知f (x )=e x-1>-1,g (x )=-x 2+4x-3=-(x-2)2+1≤1.若存在实数a ,b ,使得f (a )=g (b ),则g (b )∈(-1,1],所以-b 2+4b-3>-1,即b 2-4b+2<0,解得2-√2<b<2+√2,所以实数b 的取值范围为(2-√2,2+√2). 【答案】D13.(2017郑州质检)若函数f (x )=a x(a>0,a ≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数g (x )=(1-4m )√x 在[0,+∞)上是增函数,则a=( ).A .4B .2C .12D .14【解析】当a>1时,f (x )=a x 是增函数,有a 2=4,a -1=m ,解得a=2,m=12,此时g (x )=-√x 在[0,+∞)上是减函数,不合题意.当0<a<1时,f (x )=a x是减函数,有a -1=4,a 2=m ,解得a=14,m=116,此时g (x )=34√x 在[0,+∞)上是增函数.故a=14.【答案】D14.(2017年山东潍坊模拟)设函数f (x )={-x 2+4x,x ≤4,log 2x,x >4,若函数y=f (x )在区间(a ,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是 .【解析】作出函数f (x )的图象如图所示,由图象可知f (x )在(a ,a+1)上单调递增,需满足a+1≤2或a ≥4,即a ≤1或a ≥4.【答案】(-∞,1]∪[4,+∞)15.(甘肃天水一中2018届月考)已知函数f(x)=[x]+|sinπx2|,x∈[-1,1],其中[x]表示不超过x的最大整数,例如[-3.5]=-4,[2.1]=2.(1)试判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)求函数f(x)的值域.【解析】(1)∵f(-1)=-1+1=0,f(1)=1+1=2,∴f(-1)≠f(1)且f(-1)≠-f(1),故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)f(x)=[x]+|sinπx2|={-1-sinπx2,-1≤x<0,sinπx2,0≤x<1,2,x=1,当x∈[-1,0)时,f(0)<f(x)≤f(-1),即-1<f(x)≤0;当x∈[0,1)时,f(0)≤f(x)<f(1),即0≤f(x)<1;当x=1时,f(x)=2.综上可得,函数f(x)的值域为(-1,1)∪{2}.§2.3函数的奇偶性与周期性一函数的奇偶性1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)就叫作偶函数.偶函数的图象关于y轴对称.2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)就叫作奇函数.奇函数的图象关于原点对称.二 函数的周期性1.周期函数:对于函数y=f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有 ,那么就称函数y=f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期.2.最小正周期:如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 的正数,那么这个 就叫作f (x )的最小正周期.☞ 左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( ) (2)若函数y=f (x+a )是偶函数,则函数y=f (x )的图象关于直线x=a 对称. ( ) (3)若函数y=f (x+b )是奇函数,则函数y=f (x )的图象关于点(b ,0)对称. ( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( )设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )={-4x 2+2,−1≤x <0,x,0≤x <1,则f (1.5)= .如果f (x )=ax 2+bx 是定义在[a-1,2a ]上的偶函数,那么a+b 的值是 .知识清单一、1.f (-x )=f (x ) 2.f (-x )=-f (x ) 二、1.f (x+T )=f (x ) 2.最小 最小正数 基础训练1.【解析】(1)错误.偶函数的图象不一定过原点,正确,如y=x 2+1;奇函数的图象一定过原点,错误,如y=1x. (2)正确,因为y=f (x+a )是偶函数,所以f (-x+a )=f (x+a ),所以函数y=f (x )的图象关于直线x=a 对称. (3)正确,因为y=f (x+b )是奇函数,所以f (-x+b )+f (x+b )=0,所以函数y=f (x )的图象关于点(b ,0)对称.(4)正确,若函数具有奇偶性,则其定义域必关于原点对称,反之不成立. 【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)√2.【解析】∵函数f (x )的周期是2,∴f (1.5)=f (-0.5)=-4×(-0.5)2+2=1. 【答案】13.【解析】因为f (x )=ax 2+bx 在[a-1,2a ]上是偶函数, 所以{b =0,a -1+2a =0,解得{b =0,a =13,所以a+b=13.【答案】13题型一 函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性.①f (x )=x lg (x+√x 2+1);②f (x )=(1-x )√1+x1−x ;③f (x )={x 2+2x +3,x <0,-x 2+2x -3,x >0;④f (x )=√4−x 2|x+3|−3.【解析】①∵√x 2+1>|x|≥0,∴函数f (x )的定义域为R ,关于原点对称. 又∵f (-x )=-x lg (-x+√x 2+1)=x lg (√x 2+1+x )=f (x ),∴f (x )是偶函数.②当且仅当1+x1−x ≥0时函数有意义,∴-1≤x<1.∵定义域不关于原点对称,∴函数f (x )是非奇非偶函数. ③函数f (x )的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0},关于原点对称.当x<0时,-x>0,∴f (-x )=-(-x )2+2(-x )-3=-(x 2+2x+3)=-f (x );当x>0时,-x<0,∴f (-x )=(-x )2+2(-x )+3=-(-x 2+2x-3)=-f (x ).综上可知,f (-x )=-f (x ),故函数f (x )是奇函数.④由题意知{4−x 2≥0,|x +3|≠3,∴-2≤x ≤2且x ≠0,∴该函数的定义域关于原点对称.∴f (x )=√4−x 2x+3−3=√4−x 2x.又∵f (-x )=√4−x 2-x=-f (x ),∴函数f (x )是奇函数.【变式训练1】判断函数f (x )=√3−x 2+√x 2-3的奇偶性.【解析】由{3−x 2≥0,x 2-3≥0,得x 2=3,∴x=±√3,即函数f (x )的定义域为{-√3,√3},从而f (x )=√3−x 2+√x 2-3=0. 因此f (-x )=-f (x )且f (-x )=f (x ),∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.题型二 函数周期性的应用【例2】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,g (x )是定义在R 上的奇函数,且g (x )=f (x-1),则f (2017)+f (2019)的值为( ).A .-1B .1C .0D .无法计算 【解析】由题意得g (-x )=f (-x-1),∵f (x )是定义在R 上的偶函数,g (x )是定义在R 上的奇函数, ∴g (-x )=-g (x ),f (-x )=f (x ), ∴f (x-1)=-f (x+1),∴f (x )=-f (x+2),∴f (x )=f (x+4),∴f(x)的周期为4.∴f(2017)=f(1),f(2019)=f(3)=f(-1).又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0,∴f(2017)+f(2019)=0.【答案】Cf x+T=f x T.【变式训练2】已知f(x)是定义在R上且最小正周期为2的周期函数,当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)在[0,6]上的图象与x轴的交点个数为().A.6B.7C.8D.9【解析】函数y=f(x)的图象与x轴的交点即为y=f(x)的零点,先在[0,2)上讨论,令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0,解得x=0或x=1(x=-1舍去).又函数f(x)在R上是以2为周期的周期函数,所以当x=2,x=4,x=6或x=3,x=5时也有f(x)=0,即在[0,6]上f(x)的图象与x轴的交点个数为7.【答案】B题型三函数性质的综合应用【例3】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在[0,2]上是增函数,则().A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)【解析】因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上是增函数,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11),故选D.【答案】D【变式训练3】已知函数f (x )在定义域[2-a ,3]上是偶函数,且在[0,3]上单调递减,若f (-m 2-a5)>f (-m 2+2m-2),则m 的取值范围是 .【解析】因为函数f (x )在定义域[2-a ,3]上是偶函数,所以2-a+3=0,所以a=5. 所以f (-m 2-1)>f (-m 2+2m-2),即f (m 2+1)>f (m 2-2m+2).又函数f (x )在[0,3]上单调递减,而m 2+1>0,m 2-2m+2=(m-1)2+1>0,所以由f (m 2+1)>f (m 2-2m+2)得{m 2+1≤3,m 2-2m +2≤3,m 2+1<m 2-2m +2,解得1-√2≤m<12.【答案】[1−√2,12)方法一 整体代换思想在函数解题中的应用整体代换思想是指将问题或者问题的一部分看成一个整体,或者将一些相关量看作整体,从整体入手,简化解题过程.【突破训练1】已知函数f (x )=2|x|+1+x 3+22|x|+1的最大值为M ,最小值为m ,则M+m 等于( ).A .0B .2C .4D .8【解析】f (x )=2|x|+1+x 3+22|x|+1=2+x 32|x|+1,设g (x )=x 32|x|+1,∵g (-x )=-g (x ),∴g (x )为奇函数, ∴g (x )max +g (x )min =0.∵M=f (x )max =2+g (x )max ,m=f (x )min =2+g (x )min , ∴M+m=2+g (x )max +2+g (x )min =4.【答案】C方法二 化归转化思想在函数性质中的应用【突破训练2】设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在[-1,1]上,f (x )={ax +1,−1≤x <0,bx+2x+1,0≤x ≤1,其中a ,b ∈R .若f (12)=f (32),则a+3b 的值为 .【解析】因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数, 所以f (32)=f (-12)且f (-1)=f (1).故f (12)=f (-12),从而12b+212+1=-12a+1,即3a+2b=-2. ① 由f (-1)=f (1),得-a+1=b+22,即b=-2a. ②由①②,得a=2,b=-4,从而a+3b=-10. 【答案】-101.(2017辽宁育才高三月考)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( ).A .y=x 3B .y=|x|+1C .y=-x 2+1 D .y=2-|x|【解析】选项A 中的函数是奇函数,选项C ,D 中的函数在(0,+∞)上是减函数,故选B . 【答案】B2.(2017江西广昌一中期中)设f (x )-x 2=g (x )(x ∈R ),若函数f (x )为偶函数,则g (x )的解析式可以为( ).A .g (x )=x 3B .g (x )=cos xC .g (x )=1+xD .g (x )=x e x【解析】由f (x )-x 2=g (x ),x ∈R ,得f (x )=g (x )+x 2,当g (x )=cos x时,f (x )=cos x+x 2,f (-x )=cos (-x )+(-x )2=cos x+x 2=f (x ),且定义域为R ,故f (x )为偶函数.【答案】B3.(2017山东曲阜师大附中高三月考)偶函数y=f (x )在(-∞,-1]上是增函数,则下列不等式成立的是( ).A .f (-1)>f (√33) B .f (√2)>f (-√2)C .f (4)>f (3)D .f (-√2)>f (√3)【解析】已知f (x )是偶函数,则f (-x )=f (x ).f (x )在(-∞,-1]上是增函数.对于A ,f (√33)=f (-√33),∵-√33>-1,∴f (-1)与f (√33)的大小关系不确定;对于B ,f (x )是偶函数,即f (-x )=f (x ),f (√2)=f (-√2); 对于C ,f (4)=f (-4),f (3)=f (-3),∵-4<-3,∴f (4)<f (3); 对于D ,f (√3)=f (-√3),∵-√3<-√2<-1,∴f (-√2)>f (√3). 【答案】D4.(山东潍坊四中2018届月考)设常数a>0,函数f (x )=2x +a2x -a为奇函数,则a 的值为( ).A .1B .-1C .4D .3 【解析】∵函数f (x )=2x +a2x -a为奇函数, ∴f (-x )+f (x )=0,即2-x +a 2-x -a +2x +a2x -a=0, 化简得(1+a ·2x)(2x-a )+(1-a ·2x)(2x+a )=0, 故2·2x(1-a 2)=0,解得a=1或a=-1.∵a>0,∴a=1.经检验,当a=1时,函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),符合题意. 【答案】A5.(2017湖北襄阳高三期中联考)设函数f (x )=ln (2+x )+ln (2-x ),则f (x )( ).A .是奇函数,且在(0,2)上是增函数B .是奇函数,且在(0,2)上是减函数C .是偶函数,且在(0,2)上是增函数D .是偶函数,且在(0,2)上是减函数【解析】因为f(-x)=ln(2-x)+ln(2+x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.又f(x)=ln(2+x)+ln(2-x)=ln[(2+x)(2-x)]=ln(4-x2),所以f(x)在(0,2)上是减函数.故选D.【答案】D6.(2017陕西西安一模)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为().A.2B.1C.-1D.-2【解析】∵f(x+1)为偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),∴f(-x)=f(x+2).又∵y=f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=f(x+2),且f(0)=0,∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴y=f(x)的周期为4.∴f(4)+f(5)=f(0)+f(1)=0+2=2.【答案】A7.(2017江苏泰州高三月考)已知函数f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2-3a sinπx2,且f(3)=6,则a=.【解析】因为f(3)=6⇒f(-3)=-6,所以f(-3)=9-3a sin(-3π2)=-6⇒a=5.【答案】58.(2017合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)={x(1-x),0≤x≤1, sinπx,1<x≤2,则f(294)+f(416)=.【解析】因为函数f(x)是周期为4的奇函数,所以f(294)+f(416)=f(-34)+f(-76)=-f(34)-f(76)=-316+sinπ6=516.【答案】5169.(2017重庆模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若f(a)≥f(2),则实数a 的取值范围是.【解析】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,∴函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.∵f(a)≥f(2),即f(|a|)≥f(2),∴|a|≥2,解得a≥2或a≤-2.∴实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).【答案】(-∞,-2]∪[2,+∞)。