函数函数概念及基本性质
函数的基本概念和性质
函数的基本概念和性质
基本概念
函数是一种特殊的关系，它将一个自变量映射到一个唯一的因变量。
通常用数学式子表示为：
y = f(x)
其中，x为自变量，y为因变量，f为函数名称。
函数可以是通过公式、图表或描述定义的。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
函数的性质
函数有许多重要的性质，以下是其中几个常见的性质：
1. 一对一性：函数中的每个自变量对应唯一的因变量，即每个x值对应一个唯一的y值。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数随自变量增大或减小时的
变化趋势。
函数可以是递增的、递减的或保持不变的。
3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数关于坐标轴的对称性。
奇
函数满足条件 `f(x) = -f(-x)`，偶函数满足条件 `f(x) = f(-x)`。
4. 周期性：周期函数是具有周期性的函数，即函数在特定的自
变量变化范围内重复。
周期函数的周期是函数重复出现的最小单位。
函数的其他性质还有连续性、可导性、有界性等，它们在数学
和实际应用中起着重要的作用。
总结
通过本文对函数的基本概念和性质的介绍，我们对函数有了更
深入的理解。
函数是一种将自变量映射到因变量的关系，具有一对一性和单调性等基本性质。
此外，函数的奇偶性和周期性也是函数的重要特点。
理解函数的基本概念和性质对于数学学习和实际问题的解决非常重要。
希望本文能帮助读者更好地理解函数并应用于实际中。
函数的基本概念与性质知识点总结
函数的基本概念与性质知识点总结函数是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域。
了解函数的基本概念和性质对于理解和应用数学具有重要意义。
本文将对函数的基本概念和性质进行总结。
一、函数的基本概念函数是一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
在函数中，称第一个集合为定义域，第二个集合为值域。
用符号表示函数为：f：X→Y，其中 f 表示函数名，X 表示定义域，Y 表示值域。
1.1 定义域和值域函数的定义域是指函数输入的变量所能取到的值的集合。
值域是函数输出的变量所能取到的值的集合。
1.2 自变量和因变量在函数中，自变量是函数的输入变量，而因变量则是函数的输出变量。
1.3 函数图像函数的图像是函数在坐标平面上的表示，自变量作为 x 轴的取值，因变量作为y 轴的取值，函数图像表示了自变量和因变量之间的关系。
二、函数的性质函数具有许多重要性质，下面将对其中几个重要的性质进行介绍。
2.1 单调性函数的单调性描述了函数的增减特性。
当自变量增大时，如果函数值也增大，则函数是递增的；当自变量增大时，函数值减小，则函数是递减的。
2.2 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性。
如果函数满足 f(-x) =f(x)，则函数是偶函数；如果函数满足 f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
2.3 周期性函数的周期性意味着函数在某个特定的区间内具有重复的模式。
如果存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x + T) = f(x)，则函数具有周期性。
2.4 极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数趋于的稳定值。
极限有左极限和右极限之分。
2.5 连续性函数的连续性描述了函数图像的连贯性。
如果函数在某个区间内的每个点都存在极限，且极限与函数值相等，则函数是连续的。
三、小结函数是数学中的重要概念，理解函数的基本概念和性质对于学习和应用数学具有重要意义。
本文对函数的基本概念和性质进行了总结，包括函数的定义域和值域、自变量和因变量、函数图像等。
函数的概念与性质
函数的概念与性质函数是数学中一种重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
本文将介绍函数的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的概念函数是一个自变量和因变量之间的对应关系。
它将一个变量的值映射到另一个变量的值，通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数可以用图像、表格或公式的形式来表示。
函数的定义域是指自变量的所有可能取值的集合，值域是指函数对应的因变量的所有可能取值的集合。
一个函数可以在定义域内对每个自变量的取值，唯一地确定一个因变量的取值。
二、函数的性质1. 单调性：函数可以具有单调递增或单调递减的性质。
当自变量增大时，如果对应的因变量也增大，则函数为单调递增；当自变量增大时，如果对应的因变量减小，则函数为单调递减。
2. 奇偶性：函数可以具有奇函数或偶函数的性质。
当自变量取负值时，如果对应的因变量取相反数，则函数为奇函数；当自变量取负值时，如果对应的因变量不变，则函数为偶函数。
3. 零点：函数的零点是指使函数等于零的自变量的值。
如果函数的零点存在，可以用解方程的方法来求解。
4. 极值：函数的极值是指函数在其定义域上取得的最大值或最小值。
可以通过求导数或使用判别式的方法来确定函数的极值。
5. 逆函数：函数的逆函数是指满足条件f(f^(-1)(x)) = x和f^(-1)(f(x)) = x的函数。
逆函数可以将原函数的自变量与因变量互相转换。
6. 复合函数：复合函数是指函数嵌套在另一个函数中的情况。
例如f(g(x))表示将g(x)的结果作为自变量代入函数f中。
7. 函数图像：函数的图像是通过绘制自变量和因变量之间的对应关系得到的。
函数图像可以反映函数的性质和变化趋势。
8. 函数关系：函数的关系可以是线性的、二次的、指数的或对数的等。
不同的函数关系对应着不同的函数图像和性质。
总结：函数是数学中的重要概念，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。
函数的概念和性质如零点、极值、逆函数等对于解题和理解数学问题都具有重要的意义。
函数与图像的基本概念与性质
函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。
2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。
（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。
对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。
（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。
3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。
（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。
二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。
2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。
（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像具有周期性。
（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。
三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。
函数的基本概念和性质
函数的基本概念和性质函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。
它可以描述两个集合之间的某种对应关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
本文将介绍函数的基本概念、性质以及一些常见的函数类型。
一、函数的基本概念函数是一种数学上的关系，其定义如下：定义1：设A、B是两个非空集合，若存在一个规则F，使得对于A中的任意元素x，都有唯一的元素y在B中与之对应，即F(x)=y，那么规则F就是从A到B的一个函数。
其中，A称为函数的定义域，B 称为函数的值域。
例如，考虑定义在实数集上的一个函数f(x)=x^2，其中定义域为实数集，值域为非负实数集。
对于定义域中的任意实数x，都有唯一的非负实数y与之对应，即对于任意的x∈R，都有f(x)=x^2≥0。
二、函数的性质函数具有一些重要的性质，如下所述：1. 定义域和值域：函数的定义域指的是该函数的自变量可取值的范围，值域则是函数的因变量的所有可能取值。
函数的定义域和值域通常由函数表达式的性质决定。
2. 单射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为单射函数。
换句话说，如果函数的两个不同的自变量不能映射到同一个因变量，那么该函数就是单射函数。
3. 满射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为满射函数。
换句话说，如果函数的所有因变量都能找到至少一个自变量与之对应，那么该函数就是满射函数。
4. 双射：如果一个函数既是单射又是满射，那么该函数被称为双射函数。
换句话说，对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，并且函数的定义域和值域有相同的基数。
三、常见的函数类型函数的类型根据定义域和值域的不同可以分为多种形式，常见的函数类型包括：1. 实函数：定义域和值域都是实数集的函数称为实函数。
例如，f(x)=sin(x)就是一个实函数，其定义域和值域都是实数集。
函数的概念与基本性质
函数的概念与基本性质函数是数学中的一个重要概念，它在数学和其他领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的概念以及其基本性质，包括定义域、值域、对应关系、单调性等。
一、函数的概念函数是两个集合之间的一种特殊关系，一般表示为 f(x)，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。
函数的定义域是指所有可能的自变量的集合，而值域则是函数在定义域内可以取得的所有因变量的值的集合。
函数在定义域内的每个自变量都对应一个唯一的因变量。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。
定义域决定了函数的有效输入范围，而值域则表示函数可能的输出范围。
在函数中，定义域和值域可以是有限的集合，也可以是无限的区间。
2. 对应关系：函数的一个重要性质是具有确定的对应关系。
即在定义域内的每个自变量都对应唯一的因变量。
这种一一对应的关系使得函数具有明确的输入和输出。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数随自变量变化时的趋势。
如果函数在定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2 满足 x1 < x2，则有 f(x1) <f(x2)，则称该函数是单调递增的。
反之，如果 f(x1) > f(x2)，则称该函数是单调递减的。
4. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于原点对称的性质。
如果对于定义域内的任意自变量 x，有 f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。
而如果有 f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数。
5. 周期性：函数的周期性表示在一定范围内，函数的图像会随着自变量的周期性变化而重复出现。
如果存在一个正数 T，使得对于定义域内的任意自变量 x，有 f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期 T。
三、函数的应用函数的概念和性质在数学和其他领域中都有广泛的应用。
在数学中，函数被用于解决各种数学问题，包括方程求解、函数图像绘制和曲线分析等。
在物理、经济学和工程学等应用领域，函数被用于建立模型和描述现象，帮助我们理解和解释自然界中的规律。
高一函数概念及基本性质
∵x=2时 即
∴函数 的值域为{y|y1且y }
4．换元法
例4．求函数 的值域
解：设 则t 0x=1
代入得
∵t 0∴y 4
1.3.1函数的单调性与最大（小）值
【知识要点】
⒈增函数与减函数
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
⑴若当 < 时，都有f( )<f( ),则说f(x)在这个区间上是增函数；
其中表示同一个函数的是____________________.
7求下列函数的定义域：
； ；
； ；
；
8.已知 求 的值.
2.2函数的表示法
【重要知识点】
函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.
⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
2、如下图可作为函数 的图像的是( )
（A）（B）（C）（D）
3、若 ，则 ___________（）
A、2 B、4 C、 D、10
4、下列各组函数是同一函数的是（）
① 与 ；② 与 ；③ 与 ；④ 与 。
A、①②B、①③C、③④D、①④
5、设 ，若 ，则 。
6.给出下列的三组函数:
1Y= 与 ;② 与 ;③ 与 ;
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
2.函数的最大（小）值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x I，都有f( x) M（f( x) M）
（2）存在 ，使得f( )=M
那么我们称M是函数y=f(x)的最大值（最小值）
函数的基本概念和性质
函数的基本概念和性质函数在数学里是一种非常重要的数学对象，被广泛应用于各个领域。
它具有一些基本的概念和性质，下面将介绍它们。
一、函数的基本概念函数是一种对应关系，它将一个集合的每个元素都映射到另一个集合的唯一元素上。
一般来说，设A和B是两个非空集合，如果对于A中的每个元素a都有唯一确定的元素b与之对应，那么我们就说存在一个从A到B的函数。
通常用f表示这个函数，可以写作f：A→B。
其中，A称为函数的定义域，B称为函数的值域。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是定义函数的两个重要方面。
函数的定义域指的是所有输入的可能值，而值域则是所有可能的输出值。
2. 单射、满射和双射：函数的性质可以根据其映射关系来分类。
如果一个函数每个不同的输入值都有不同的输出值，那么它是一个单射函数，也被称为一一对应函数。
如果一个函数的值域与其值域相等，即每个值域中的元素都有对应的定义域元素，那么它是一个满射函数。
而如果一个函数既是单射又是满射，那么它被称为双射函数，也叫做一一映射函数。
3. 复合函数：复合函数是指由一个函数作为另一个函数的输入而得到的函数。
假设有两个函数f：A→B和g：B→C，那么它们的复合函数是指另一个函数h：A→C，其中 h(x) = g(f(x))。
4. 反函数：有些函数存在反函数，反函数是指与原函数的映射关系相反的另一个函数。
如果一个函数f：A→B存在反函数，那么它的反函数可以表示为f^(-1)：B→A。
5. 奇偶函数：如果一个函数f(-x) = f(x)对于任意x成立，那么它被称为偶函数。
如果一个函数f(-x) = -f(x)对于任意x成立，那么它被称为奇函数。
有些函数既不是奇函数也不是偶函数，这类函数被称为既非奇也非偶的函数。
6. 周期函数：如果一个函数f(x + T) = f(x)对于任意x成立，其中T是一个常数，那么函数f是一个周期函数，周期为T。
7. 上下界和最值：函数的上下界是指函数在定义域上能够取到的最大值和最小值。
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集合0集合的概念我们把所要研究的事物全体称为集合，构成集合的事物称为元素，集合一般用大写字母A、B C……表示，元素一般用小写字母a、b、c……表示。
如果元素二是集合A中的元素，记二三上，否则记厘三上。
有限集：只有有限个元素的集合。
无限集：有无穷多个元素的集合。
空集：不含有任何元素的集合叫空集，记常。
臼集合的表示方法列举法：如乂■仙上心町,召-卩2和・・」5描述法：如八㈤只* 1 = —w旳，U< ,曲旳0子集如果集合A中的元素都是B的元素，称A是B的子集（或称A包含于B）,记A u召或月二）卫如:0并集:集合A 与集合B 的元素放在一起构成的集合，称为 A 与B 的并集。
记」•_」三，即HUE = (x | re 卫或工匡5)如：一一 .......... 「一二…-丄 …一…—.NS ■叶 2C x < 4,xs K)O 交集：记集合A 与集合B 的公共元素构成的集合，称为 A 与B 的交集，记 卫门/即丿门月：｛和工乞卫且工€月｝ZnF-(J-- < x< 0,ie2?)则：2绝对值与绝对值不等式几何意义：点T 到原点的距离。
如:Y CUE 幻月珂*2—*忒刃?x> 0 x< 0几何意义：点芒到点*的距离。
性质：1) •、 ■A |20?3)十 UI4)设a>0 , 环|3}・{兀卜说""}区间与邻域*+y|“|+恫6)- _ 「7)例1 :解下列不等式x -4| < 40 <〔―分 < 4^r-j|2 H~ H2… -,3)匕十4| > 15)解.1)- -上.、.--二 _ 4 =〕_ ?.■ _LE2) •.：:-；；3) 卞一一"-或 F _ 丄：_ [ — - - _ 二或二 一二4)(^ - 2| < 2fCl < x < 4 "2=(工产25)G >0< 0J A <0或1■'......... 称为以-<■、/为端点的开区间，1■■ 称为以空、勺为端点的闭区间，(>團1-1（迟切二<耐也劝氷仍?以上为有限区间(a,+«) ■ ｛彳齐> a) [说严8)- ｛处 > a)?以上为无穷区间I'd（咼-戈心+ §）・｛咔-心|< 5占■> 6 x0上砧占加7 %斗_ .、称为0点的°邻域，0为对称中心，为半径。
（心Y冷血询■｛朮5-讣羽》Q）称为抵点的去心占邻域。
函数的定义设有两个变量 T 与》，当变量在实数某范围任取一值时，变量 》按确定的规则有 确定的值与之对应， 那么称°是工的函数，记-叫自变量，丁叫因变量，卞的 取值范围称为函数的 定义域，记'■'。
对'1 "■ ' - '称为函数-'：=：在点"的函数值，所有函数值的集合称为 值域。
记’「。
说明：（1） 定义中的记号 「I 表示自变量与因变量的对应法则。
（2） 函数的两要素：定义域与对应法则。
厂"与表示同一函数；»引讨与表示同一函数；八1y -- -------兀十1与» 7 1表示不同的函数；冷‘与—表示不同函数（3）单值函数与多值函数对于函数」」 '，如果对自变量 芒的一个取值，函数；'只有一个数值与 之对应，则称函数"―•是单值函数；如果对自变量"的一个取值，函数“7 Mb開1-3(2) 有两个或更多个数值与之对应，则称函数"-厂匸）是多值函数；如：I -、 是单值函数J ■' 1是多值函数。
（4）定义域实际问题中建立的函数关系，其定义域要根据实际问题来确定，而用数学式 表达的函数，当不表示任何实际意义时，其定义域由 函数表达式来确定。
定义域求法（i ） 分母不能为零；（ii ） 偶次根号内部分不能小于零； （iii ）对数函数中，真数部分要大于零；（iv ）反三角函数■ ■■ "-中要"：。
例2求下列函数的定义域解：（ 1）疋义域为：[T 厂DuLlRuClf®)定义域为：（2，3]y = ---- y 十点十云1） -'2)y = arc sin】十以工-2）3)4）lnO + 23-X(3)定义域为：1' ■■p-? >0 L + 2 >0 => J A>-2(4)〔所以定义域为：'■''■-例3已知■■■ ■■ 的定义域为•’，，求’r亠L 的定义域解-:工巴「［二J - 丁-■'j」的定义域为(0, 1)例4设齐，求，⑴，心)J0)1 丁1例5设满足-，求■ 1 -解设据討陶厂，则y ■ x, =才，即/M = 2'例6已知丨回I求畑解令工•: + -,贝「［- - ■,f(u) = (u _1尸+3(w-l) + 5 = 3 +3 ../(X)" n函数的表示方法公式法，表格法，图示法。
分段函数：在不同区间上用不同的解析式表示的函数如:/«-r< 0^2 0—1, 恳<0符号函数：1-firi—X2A + 1,Q < 忑冬 1x a - 6 盂，1 < r 4(2 J™—;(3)0 V 加< 1 时，/(Ax)-/(0)解（i ）定义域为：1 一-(3) -"".■ -12 -^-2,M2x 〉2/(0) = 丁讨* =°畑■〔宀6胡口 ■今?例8将函数-：''：l ： I写成分段函数的形式。
A >0...v i：则/[g(l)] l tA >1 时，/[g(r)] 的表达式为匚-■!. ’：。
函数的简单性质O.单调性设丿、「在忆；内有定义,如果对于且有■ -11■ ■---,则称-■ ■在「内单调增加；如果有「r -1 -■，则称-’」在•…―内单调减少。
单调增加、单调减少统称单调。
如果■-■■在整个定义域内单调，称为单调函数。
如：」’在‘单调减，在-丄■•单调增，所以不是单调函数。
都是单调函数。
图1-Ho.有界性设丿在区间 ''有定义，如果存在数厂一，使对于一切 1 - -L'，有成立，则称=在区间.亠二有上界，二-是J -J'-在区间-I 的一个上界。
如果存在数r;，使对于一切丄二-二，有■-二，则称在区间i:—■ 有下界，’〜是「；二在区间. '的一个下界。
设-■'■ -' ■'在区间 ''有定义，如果存在正数Ef，使对于一切n小，有伍訓'"成立，则称了E在区间3）有界，否则称在Q）为无界。
如果在它的整个定义域内有界，称-为有界函数。
如：厂—誥在区间［1 , 2］有界，在（0, 1）无界，它不是有界函数。
是有界函数，因为对一切2有竝1 ■+壬是有界函数。
显然，函数-V,在区间有界的充分必要条件是：它在区间既有上界又有下界。
Q.奇偶性设」-■1的定义域关于原点对称，如果对定义域中任何x，有-/W1称-'为偶函数，如果有-■1--，称为奇函数。
偶函数的图形关于T轴对称，奇函数的图形关于原点对称胃1-12例 10 判断下列函数的奇偶性(3) P = k 十1| (旳丿・欣“ J1心)(5) -'所以是奇函数;'J f （亠盂）=|_A CO£ 是偶函数； '（3）是非奇非偶函数;厝劝也十E ）二In （一沪E 严+时）（工 + Jl +:+■-/(町所以是奇函数；（5 ）是偶函数奇函数X 奇函数为 偶函数，奇函数X 偶函数为 奇函数，偶函数X 偶函数为 偶函数。
例 11 设」在・ ..................... 内有定义,F （希（-机G （力■_/（＞） 4/（_町，则F0）为奇函数，。
⑶为偶函数,(1)y = Ncos —(2)■—。
O.周期性对函数；-;■,如果存在正数 -，使对于定义域中的-有J - - -■1■ ■', 称-为周期函数，使此式成立的最小正数T，称为最小正周期。
女口：」亠…"---- 是周期为二丁的周期函数，厂姑厂阪讨是周期为盼勺周期函数。
如果■- ：1是以T为最小正周期的函数，则'；的最小正周期为如：」I. ) -II 的最小正周期是-。
O 、反函数给定函数」，如果变量 L 在值域内每取定一值时， V 在定义域内有一值与 之对应，则得到一个定义域为 -的值域，•丁为自变量，-为因变量的函数’'■ -1：， 称其为」決的反函数，记：习惯上用二作自变量，匸作因变量，所以「 v 的反函数记作y = /-1W=V (x) 图形特点： 」-’「的图形与其反函数 • 1 '■■■的图形关于直线J •'对称。
圈 1-15 例12 求下列函数的反函数(1) >-3^ + 2（ 2）厂诃#2=2耳(3)宀(4)；，= '-(5)"Z,所以反函数为（i）（2）'二」:,所以反函数为■'(3)（4）力七厂，，尹7（1■刃，才‘总，"1爲总所以反函数为兀J5）（5）/（祷士矶QT-蛊，所以反函数为 1 ■人。