信号与系统公式列表
信号与系统-公式
r 2
C1k C0
k
j
Z域 尺度变换
z ak f k F , a z a a
k m f k z
f k k m
1,2 a jb
e j
k C cos k D sin k 或A k cos k , 其中Ae
z
1
km
Pm k Pm 1k
m r m
m 1
m 1
Pk P0 1
k Pm k Pm 1k
Pa
k
k
Pk P0 1
时域积分
f
1
t F 0
F j j
不等于特征根时 等于特征单根时
t
尺度变换
f at
1 a
F j
a
F j
1,2 j
C cos t D sin t 或A cos t , 其中Ae
j
C jD
时移特性
f t t0 e
jt0
r 重共轭复根
r 1 r 2 Ar 1t cos t r 1 Ar 2t cos t r 2
t A0t r 2 cos t 0 e
频移特性
f t e
j0 t
F j 0
微分方程 激励 f t
微分方程 特征根 单实根
不同特征根所对应的齐次解 齐次解
yh t
对称性
傅里叶变换的性质
时域f t F j 频域 F jt 2 f
信号与系统 (11)
它在使用中有一些不便： 1） 不能解决信号动态范围与精度之间的矛盾； 2） 不能解决频率范围与精度之间的矛盾；
波特图采用对数坐标，解决上面的问题。而且它有利 于系统综合。
二、 对数频率特性
假设： H ( jω ) = H ( jω ) e jϕ (ω ) 。对其取对数：
G(ω) = 20log[H ( jω) ]
单位：分贝(Deci-Bel,dB)。 奈培与分贝的转换关系：1 Np = 8.686 dB
在理论分析中，一般使用 Np；在实际应用中，一般使 用 dB
用分贝表示增益，解决了信号动态范围与精度之间的 矛盾。如果在频率坐标中同样使用对数坐标，则同样可以 解决频率的范围与精度之间的矛盾。
这样一来就形成了波特图。
H ( jω)
80dB 10000
60dB 1000
40dB 100
20dB 10
01
0.001 0.01 0.1
1
-20dB
10 100 1000 10000
ω
波特图的横坐标可以用 logω ，也可以用 log f ;
在波特图的横坐标上，一般直接标注频率值；
波特图的横坐标上只能表示 ω > 0 或者 f > 0 频率下
函函
电流传输函数：
数
数
电流 I1(s) 电流 I2(s)
Ti21(s)
=
I2(s) I1(s)
电压传输函数：
电压U1(s) 电压U2 (s)
Tu
21(s)
=
U2(s) U1(s)
三、 H (s) 、 H ( p) 、 H ( jω ) 、 h(t) 之间关系
信号与系统第2章信号的复数表
kC ka jkb
| kC| e j k 0
பைடு நூலகம்
kC
|
kC
|
e
j(
)
k 0
共轭：
C* a jb
C* C e j
虚轴 j
C
kC
实轴
虚轴 j
C
实轴
C*
做复数的数乘运算时，复数的实部和虚部均要与乘数 相乘并作为新复数的实部和虚部。
换一种说法，做复数的数乘运算时，复数的模要与乘 数的绝对值相乘，作为新复数的模，而辐角的值要依 据乘数的符号确定，如乘数为非负实数，则辐角不变， 否则辐角要偏移180度。
第二章 信号的复数表示
2.1 欧拉公式
欧拉公式
欧拉公式，定义：
ejwt coswt j sinwt e jwt cos(wt) j sin(wt) coswt j sinwt (e jwt )*
注： X * 表示 X 的共轭
2.2 信号的复数表示
1、复数形式
做复数的共轭运算时，复数的实部不变而虚部取负。
换一种说法，做复数的共轭运算时，复数的模不变， 而辐角取负。
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数，C1 a1 jb1 ，C2 a2 jb2 C1 | C1 | e j1 ，C2 | C2 | e j2 复数加法： C C1 C2 (a1 a2) j(b1 b2) 复数乘法： D C1 C2 a1a2 ja1b2 jb1a2 j2b1b2 ， 复数中定义 j2 1 ，故 D (a1a2 b1b2) j(a1b2 b1a2)
信号与系统公式大全
信号与系统公式大全1.傅里叶变换公式：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dtf(t)=∫F(ω)e^(jωt)dω2.傅里叶级数公式：f(t) = a_0/2 + ∑[a_n*cos(nωt) + b_n*sin(nωt)] a_n = (2/T)∫[f(t)*cos(nωt)]dtb_n = (2/T)∫[f(t)*sin(nωt)]dt3.傅里叶变换与傅里叶级数之间的关系：F(ω)=2π∑[a_n*δ(ω-nω_0)+b_n*δ(ω+nω_0)]a_n=f(nT)/Tb_n=04.系统均方根误差公式：E = √(∫[y(t)-x(t)]^2dt)5.窄带系统的频率响应公式：H(ω)=，H(0)，*e^(jφ)φ=∠H(ω)-∠H(0)6.线性时不变系统的冲激响应公式：h(t)=L^{-1}[H(ω)]7.卷积公式：y(t)=h(t)*x(t)=∫h(τ)x(t-τ)dτ8.卷积定理：F_y(ω)=H(ω)F_x(ω)9.线性时不变系统的输入-输出关系公式：y(t)=x(t)*h(t)10.系统频率响应的幅度与相位关系：H(ω)=，H(ω)，*e^(j∠H(ω))11.奇谐信号的频谱：F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)]C_k = (2/T)∫[f(t)*sin(kωt)]dt12.偶谐信号的频谱：F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)]C_k = (2/T)∫[f(t)*cos(kωt)]dt13.系统频率响应的单位脉冲响应关系：H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt以上是信号与系统中的一些重要公式，这些公式是理解和分析信号与系统的基础。
在学习时，我们可以通过掌握这些公式，理解它们的意义和用途，以便更好地应用在实际问题中。
同时，信号与系统还涉及到很多其他的公式和定理，如采样定理、拉普拉斯变换、Z变换等，这些内容超过1200字无法一一列举。
如果对这些公式有更进一步的了解，推荐阅读相关的教材和参考资料，以便更好地理解信号与系统的知识。
信号与线性系统分析总结
•两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其 和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
总结
➢ 能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2， 在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
-2 -1 0 1 2 3 ki
总结
例2 f1(k) ={0， 2 ， 1 ， 5，0} ↑k=1
f2(k) ={0， 3 ， 4，0，6，0} ↑k=0
解:
3 ， 4， 0， 6
×—————2 ，——1 ，—5 15 ，20， 0， 30
3 ， 4， 0， 6 6 ，8， 0， 12 + ———————————— 6 ，11，19，32，6，30
总结
第二章 连续系统的时域分析
➢系统的时域求解，冲激响应，阶跃响应。
➢时域卷积： f1 (t) * f2 (t) f1 ( ) f2 (t )d
图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积 值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关
f1(-τ)
键。
f 1( τt )
2
f1(2-τ)
f1(t)、 f2(t)如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？
*
d
n f 2 (t dtn
)
t
t
t
[
f1
(
)
*
f 2 ( )]d
[
f1 ( ) d ] *
f 2 (t)
f1 (t) *[
信号与系统知识要点
《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约）,则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。
（2）离散信号思路:离散余弦信号0cos n ω(或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时,周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =; ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。
2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量： 2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率: def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑(2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号（仅在有限时间区间不为零的非周期信号）为能量信号；③还有一些非周期信号,也是非能量信号。
⎰∞∞-=t t f E d )(2def3 ① ②4、信号的基本运算1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移： 0()()f t f t t →± c) 尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意:带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度.正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。
5、阶跃函数和冲激函数 (1)单位阶跃信号00()10t u t t <⎧=⎨>⎩0t =是()u t 的跳变点。
(2）单位冲激信号定义：性质：()1()00t dt t t δδ∞-∞⎧=⎪⎨⎪=≠⎩⎰ t1）取样性 11()()(0)()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞-∞∞-∞=-=⎰⎰()()(0)()f t t f t δδ=000()()()()f t t t f t t t δδ-=-2)偶函数 ()()t t δδ=-3）尺度变换 ()1()at t aδδ=4)微积分性质 d ()()d u t t tδ= ()d ()t u t δττ-∞=⎰（3)冲激偶 ()t δ'性质： ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=-()()d (0)f t t t f δ∞-∞''=-⎰()d ()tt t t δδ-∞'=⎰()()t t δδ''-=- ()d 0t t δ∞-∞'=⎰（4）斜升函数 ()()()d tr t t t εεττ-∞==⎰（5）门函数 ()()()22G t t t τττεε=+--6、系统的特性 （重点：线性和时不变性的判断） （1）线性1）定义：若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性质。
信号与系统公式大全
t
i(t)dt
C
u(t) 1 i(t) pC
UC (t) 1 IC (t) jC
UC
(s)
1 Cs
IC
(s)
1 s
uC
(0
)
IC (s) CsUC (s) CuC (0)
电 感
u(t) L d i(t) dt
u(t) pL i(t)
UC (t) jL
IC (t)
UL(s) LsIL(s) LiL (0 )
IL
(s)
1 Ls
UL
(s)
1 s
iL
(0
)
五.连续时间系统时域分析
系统 建立微分方程 建立算子方程： D( p)y(t) N( p) f (t) 系统的特征方程： D() D( p) p 0
求特征根 零输入响应方程 D( p) yx (t) 0
泛函定义: f (t) '(t)dt [ d f (t)] f '(0) 说明：1. '(t) 量纲是 s2
dt
t 0
3. '(t) 是奇函数
2.强度 A 的单位是Vs2
筛选特性
取样特性 展缩特性
f (t) '(t t0 ) f (t0) '(t t0 ) f '(t0) (t t0 )
1 ( p a)n
b ( p a)2 b2
pa ( p a)2 b2
a (t) au(t) eatu(t) tn1 eatu(t)
(n 1)!
eat sin(bt)u(t) eat cos(bt)u(t)
信号与系统ppt
3t) 3 (t
3) dt
0
(6)(t 3 2t 2 3) (t 2) (23 2 22 3) (t 2) 19 (t 2)
(7)e4t (2 2t) e4t 1 (t 1) 1 e4(-1) (t 1) 1 e4 (t 1)
2
2
2
(8)e2t u(t) (t 1) e2(-1)u(1) (t 1) 0 (t 1) 0
表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型。
④ 冲激信号的作用：A. 表示其他任意信号
B. 表示信号间断点的导数
二、奇异信号
2. 冲激信号
(4) 冲激信号的极限模型
f (t) 1
g (t) 1
2
t
t
h (t) 2
t
1/
(t) lim f (t) lim g (t) lim h (t)
(t
π )dt 4
(2)23e5t (t 1)dt
(3)46e2t (t 8)dt (4)et (2 2t)dt
(5)22(t 2
3t) ( t
3
1)dt
(6)(t 3 2t 2 3) (t 2)
(7)e4t (2 2t) (8)e2t u(t) (t 1)
1. 在冲激信号的抽样特性中，其积分区间不一定 都是（，+），但只要积分区间不包括冲
激信号(tt0)的t=t0时刻，则积分结果必为零。
2.对于(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信 号的展缩特性将其化为(t+b/a) /|a|形式后，
方可利用冲激信号的抽样特性与筛选特性。
二、奇异信号
3. 斜坡信号
定义：
r(t
)
t 0
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2
n! ( a j )
n 1
E Sa
2
e
sin(t )u(t )
( s )2 2
s ( s )2 2
e t cos( t )u (t )
表3 名称 时域 f ( t )
傅里叶变换的主要性质 名称 时域 f ( t )
频域 F ( )
表1
f (t )
常见信号的傅里叶变换
F ( ) 傅里叶变换
表 2 常见信号的单边拉普拉斯变换
f (t ) ， t 0 F ( s ) L[ f ( t )]
(t )
1
A2 ( )
(t )
u(t )
1
1 s 1 s
直流信号 A
u (t )
( )
2 j 1 a j
1 1 0 F ( s ) f ( )d s s
尺度变换
f ( at )
1 s F ( ) ， a0 a a
s 域微分
定理
tf (t )
Hale Waihona Puke d F ( s) ， ds
s 域频移
特性
e
s0t
f (t ) F ( s s0 )
s 域积分
定理
f (t ) s F ( )d t f (0 ) lim f ( t ) lim sF ( s )
t 0 s
时域微分 定理
d f (t ) sF ( s ) f (0 ) dt
初值终值 定理
f ( ) lim f (t ) lim sF ( s)
t s0
( ) ( )
X ( ) X
频域微分
( jt ) f (t )
dF ( ) d
对称性 尺度变换
F (t ) 2 f ( )
时域卷积 频域卷积
f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( ) F2 ( )
f ( at )
1 F ( ),a 0 a a
1 j
n
e t u ( t )
sgn( t )
t u ( t ), n 正整数
sin( t ) u ( t ) cos( t ) u ( t )
t
n! s
2 n 1
e at u (t ) t ne at u (t )
E[u (t )u (t )] 2 2
s 2
f1 (t ) f 2 (t )
t
1 F1 ( )F2 ( ) 2
时移特性
f (t t0 )F ( )e-jt0 ， f (t )e j0t F ( 0 )
时域积分
f ( ) d F (0) ( )
1 F ( ) j
频移特性
频域积分
f (0) (t ) j
频域 F ( )
F ( ) f (t )e jt dt ，
定义
f (t ) 1 jt F ( )e d 2
时域微分
df (t ) j F ( ) dt
对实信号有： 奇偶虚实
H ( ) H ( ) , R ( ) R ( ),
f (t ) F ( ) d t
表 4 单边拉普拉斯变换的基本性质 名称 时移性 时域 f ( t )
频域 F ( s )
名称 时域积分 定理
t
时域 f ( t )
f ( )d
频域 F ( s )
f (t t0 )u(t t0 )F ( s )e st0 ， t0 0