信号与系统的公式汇总分类

称
值
s→∞
值
z→∞
z→∞
帕 斯
∫ ∫ E = ∞ | f (t) |2dt = 1 ∞ | F ( jω) |2 dω
−∞
2π −∞
帕
终
f (∞) = lim sF (s), s = 0 在收敛域
s→0
终
f (∞) = lim(z −1)F (z) （右边信号） 斯
瓦
值
值
z→1
瓦
内
尔
尔
∑ ∫ ∞ | f (k) |2 = 1 | F (e jθ ) |2 dθ
域 f (k + 1) ↔ zF (z) − zf (0)
积
时
微
f ′′(t) ↔ s 2 F (s) − sy(0− ) − y′(0− )
差
f (k + 2) ↔ z2F (z) − z2 f (0) − zf (1)
时
域
分 f ′(t) f (n) (t) ↔ jωF( jω) ( jω)n F ( jω)
1 n! s 2 s n+1
1
1
s +α (s +α)2
kε (k) akε (k)
z (z −1) 2
z z−a
(k + 1)akε (k) kak −1ε (k)
cos(βt)ε (t) sin(βt)ε (t) cosh(βt)ε (t) sinh(βt)ε (t) e−αt cos(βt)ε (t) e−αt sin(βt)ε (t)
s s2 +β 2
β s2 +β 2
s s2 −β 2
β s2 −β 2
s+α (s +α)2 + β 2
β (s +α)2 + β 2
eαkε (k)
e jβkε (k) ak − (−a)k ε (k)
2a k(k − 1) ε (k)
2 ak − bk ε (k)
a−b cos(βk)ε (k)
域
域
域
域
卷
f1(t) * f2 (t) ↔ F1( jω)F2 ( jω)
f1(t) * f2 (t) ↔ F1(s)F2 (s)
卷
卷
f1(t) * f2(t) ↔ F1(z)F2(z) 卷
f1(k) * f2 (k) ↔ F1(e jθ )F2 (e jθ )
积
积
积
积
频
频
域
1
卷
f1(t) f2 (t) ↔ 2π F1( jω) * F2 ( jω)
时
时
时
时
移
f (t ± t0 ) ↔ e± jωt0 F ( jω)
移
f (t ± t0 ) ↔ e ±st0 F (s)
f (k ± m) ↔ z ±m F(z) （双边）
移
移
f (k ± m) ↔ e± jθmF (e jθ )
频
频
频
频
移
e± jω0t f (t) ↔ F ( j(ω ∓ ω0 ))
k =−∞
2π 2π
信号与系统公式性质一览表
连续傅里叶变换对
∫ F ( jω ) = ∞ f (t)e− jωt dt −∞
函数 f (t)
傅里叶变换 F ( jω)
δ (t) 1
1 2πδ (ω)
δ ′(t) δ (n) (t)
jω ( jω)nBiblioteka ε (t)tε (t)
e−αtε (t) te−αtε (t),α > 0 cos(ω 0t ) sin(ω 0t ) 1 t |t|
3 离散 Z 变换(单边)
∞
∑ F (z) = f (k)z −k
k=0
∫ f (k) = 1 F (z)z k−1dz, k ≥ 0
2πj L
4 离散傅里叶变换
∞
∑ F (e jθ ) = f (k )e− jθk
k =−∞
∫ f (k) = 1 F (e jθ )e jθk dθ
2π 2π
线
线
线
1 + πδ (ω)
jω
jπδ
′(ω)
−
1 ω2
1
1
α + jω (α + jω) 2
π [δ (ω + ω0 ) + δ (ω − ω0 )] jπ [δ (ω + ω0 ) − δ (ω − ω0 )]
− jπ sgn(ω)
2 −
ω2
e ± jω0t
2πδ (ω ∓ ω0 )
e−αt cos(βt)ε (t) e−αt sin(βt)ε (t)
频 域
微
分
分
微
dF(e jθ ) kf (k) ↔ j
dθ
分
时 域
∫t f (x)dx, f (−∞) = 0 ↔ F ( jω) + πF (0)δ (ω)
−∞
jω
时 域
积
积
∫t
f (x)dx ↔
F (s) +
f (−1) (0− )
−∞
s
s
部 分 求
分
分
和
∑ f (k) *ε (k) =
k
f (i) ↔
t tn
j2πδ ′(ω) 2π ( j)nδ (n) (ω)
sgn(t)
2
jω
⎪⎩⎪⎨⎧e−−eααtt,,tt><00, (α > 0)
− j 2ω α2 +ω2
f
(t)
=
⎪⎪⎧cos( πτ ⎨ ⎪⎪⎩0,| t |>
t),
τ 2
|
t
|<
τ 2
πτ ⋅
cos(ωτ ) 2
2 (π )2 − (ωτ )2
z z − eα
z z − e jβ
z z2 − a2
z (z − 1)3
z (z − a)(z − b)
z(z − cos β ) z 2 − 2z cos β + 1
kak ε (k)
k 2akε (k) ak + (−a)k ε (k)
2a (k + 1)k ε (k )
2 ak +1 − bk +1 ε (k)
⎞ ⎟
=
2
sin⎜⎛ ωτ
⎞ ⎟
⎝2⎠ ω ⎝2⎠
b0 α
− ( b0 α
− b1 )e −αt ε (t)
1 [βt − sin(βt)]ε (t) β3
1 2β
3
[1
−
βt
)]sin(βt
)ε
(t
)
1 t sin(βt)ε (t) 2β 1 [sin(βt) + βt cos(βt)]ε (t) 2β
分
微
域
f (k) − f (k −1) ↔ (1− e jθ )F (e jθ )
差
分
分
频 域
tf (t) (− jt)n f (t) ↔ j dF ( jω) dω
d n F ( jω) dω n
S域 微
tf (t) (−t)n f (t) ↔ − F ′(s)
d nF(s) ds n
Z域 微
kf (k) ↔ −z dF (z) dz
移
e±s0t f (t) ↔ F (s ∓ s0 )
e± jω0k f (k) ↔ F (e∓ jω0 z) （尺度变换）
移
移
e± jkθ0 f (k ) ↔ F (e j(θ ∓θ0 ) )
尺 度
f (at + b) ↔
1
e
j
b a
ω
F
(
j
ω
)
|a|
a
尺
尺
度
f (at + b) ↔
1
e
b a
s
F
(
b2s2 + b1s + b0 (s + α)(s + β )(s + γ )
W
sin(Wt )
Sa(Wt) =
π
πt
f∆
(t )
=
⎪⎪⎧1 − ⎨ ⎪⎪⎩0,|
z2 (z − a)2
z (z − a)2
az (z − a)2
az 2 + a 2 z (z − a)3
z2 z2 −a2
z2 (z −1)3
z2 (z − a)(z − b)
z sin β z 2 − 2z cos β + 1
z 2 sin θ + z sin(β −θ ) z 2 − 2z cos β +1
t
s
Z域
积
∫ f (k)
k+m
↔
zm
∞ z
ηFm(η+1)dη
分
f (0) = lim F (z) , f (1) = lim [zF(z) − zf (0)]
z→∞
z→∞
对
F ( jt) ↔ 2πf (−ω)
初
f (0+ ) = lim sF(s), F (s) 为真分式 初
f (M ) = lim z M F (z) （右边信号）, f (M + 1) = lim [z M +1F (z) − zf (M )
a k ε (k), k > 0 k
ln⎜⎛
z
⎞ ⎟
⎝z−a⎠
ak ε (k) k!
a
ez