中学数学(高中)学科竞赛集锦 (13)
高中数学竞赛赛题精选(带答案)
高中数学竞赛赛题精选(带答案)高中数学竞赛是中学生竞赛中最重要的一部分，它不仅需要智力，还需要充分发挥数学能力和思维能力。
以下是一些高中数学竞赛赛题的精选和解答。
1. 设$a_n=x^n$+5的前n项和为S(n)，求S(n+1)-S(n)的值。
解：S(n+1)-S(n)=(x^n+1+5)-(x^n+5)=(x^n+1)-(x^n)=x^n(x-1)。
由于$a_n=x^n+5$，所以S(n)=a_0+a_1+...+a_n=（x^0+5）+（x^1+5）+...+（x^n+5）=（x^0+x^1+...+x^n）+5(n+1)，因此S(n+1)-S(n)=x^n(x-1)=(S(n+1)-S(n)-5(n+2))/(x^0+x^1+...+x^n)。
2. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，0≤x≤π/2，求f(x)在[0,π/4]上的最小值。
解：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，当0≤x≤π/4时，x+π/4≤π/2，sin(x+π/4)不小于0，因此f(x)的最小值由sin(x+π/4)的最小值决定。
sin(x+π/4)的最小值为-√2/2，因此f(x)的最小值为-1。
3. 已知正整数n，设P(n)是n的质因数分解中所有质因数加起来的和，Q(n)是n的数字分解中所有数位加起来的和。
给定P(n)+Q(n)=n，求最小的n。
解：P(n)的范围是2到9×log_10n之间，因此可以枚举P(n)和Q(n)，判断它们之和是否等于n。
当P(n)取到最小值2时，Q(n)的最大值为9log_10n，因此n的最小值为11。
4. 已知函数f(x)=2cos^2x-3cosx+1，x∈[0,2π]，求f(x)的最小值。
解：由于f(x)=2cos^2x-3cosx+1=2(cosx-1/2)^2-1/2，因此f(x)的最小值为-1/2，且取到最小值的x为0或2π。
5. 已知正整数n，求使得3^n的末2位是9的最小正整数n。
高中奥赛试题汇编及答案
高中奥赛试题汇编及答案一、数学奥赛试题1. 题目：证明对于任意正整数 \( n \)，\( 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + n^2 + n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
答案：我们可以使用数学归纳法来证明这个等式。
首先验证 \( n = 1 \) 时等式成立。
然后假设对于 \( n = k \) 时等式成立，即：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + k^2 + k = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} \]我们需要证明对于 \( n = k + 1 \) 时等式也成立：\[ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + \ldots + k^2 + k + (k + 1)^2 + (k + 1) \]\[ = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 + (k + 1) \]\[ = \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2 + 6(k + 1)}{6} \]\[ = \frac{(k + 1)[(2k + 1)k + 6(k + 1) + 6]}{6} \]\[ = \frac{(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} \]\[ = \frac{(k + 1)(k + 3)(2k + 3)}{6} \]这样我们就证明了对于 \( n = k + 1 \) 时等式也成立。
因此，根据数学归纳法，等式对所有正整数 \( n \) 成立。
二、物理奥赛试题1. 题目：一个质量为 \( m \) 的物体从静止开始自由下落，忽略空气阻力。
求物体下落 \( t \) 秒后的速度和位移。
答案：根据自由落体运动的公式，物体下落 \( t \) 秒后的速度\( v \) 为：\[ v = gt \]其中 \( g \) 是重力加速度，通常取 \( 9.8 \, \text{m/s}^2 \)。
高中数学竞赛试题汇总
高中数学竞赛试题汇总高中数学竞赛模拟试题一一试一、填空题（共8小题，8×7=56分）1、已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，点(x,y)与原点的距离是。
2、设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如记f1(n)=f(n)，fk+1(n)=f(fk(n))，f(123)=12+22+32=14.k=1,2,3.则f2010(2010)=。
3、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的二面角度数是。
4、在1,2.2010中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。
5、若正数a,b,c满足abc=-(b+ca+ca+b)，则ba+c的最大值是。
6、在平面直角坐标系xoy中，给定两点M(-1,2)和N(1,4)，点P在X轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是。
7、已知数列a,a1,a2.an。
满足关系式(3-an+1)(6+an)=18且a=3，则∑(i=1 to n)ai的值是。
8、函数f(x)=sinx+tanxcosx+tanxcosx+cotxsinx+cotx的最小值为。
二、解答题（共3题，14+15+15=44分）9、设数列{an}满足条件：a1=1,a2=2，且an+2=an+1+an (n=1,2,3.)，求证：对于任何正整数n，都有：na(n+1)≥1+(n/2)(an)2,3.10、已知曲线M:x2-y2=m，x>0，m为正常数．直线l与曲线M的实轴不垂直，且依次交直线y=x、曲线M、直线y=-x于A、B、C、D4个点，O为坐标原点。
1）若|AB|=|BC|=|CD|，求证：△AOD的面积为定值；2）若△BOC的面积等于△AOD面积的1/3，求证：|AB|=|BC|=|CD|。
11、已知α、β是方程4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=2x-t的定义域为[α,β]。
求证：2α+1<2β+1.Ⅰ）求函数g(t)=max{f(x)}-min{f(x)};Ⅱ）证明：对于u1,u2,u3∈(0,π)，若sinu1+sinu2+sinu3=1/2，则1113+g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)<6.二试考试时间：150分钟总分：200分）一、（本题50分）如图，O1和O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E,F,G,H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
中学数学(高中)学科竞赛集锦 (24)
2019-12-26群日记
〖供题一：河南洛阳张海涛〗
已知0a >，0b >，21a b +=，则22
4221a b a b +++的最小值为（）（注：除了权方没有好方法了？）
浙江宁波简洁：
浙江金华周江波
胡不归
〖供题二：江西九江陶智（群题征解）〗
〖供题三：浙江宁波于楠〗
〖供题四：江西九江陶智〗（昨天的折线距离再补一个解析）
浙江宁波王国勇（换元或平移坐标系）
〖供题五：浙江台州方敏〗
浙江东阳郭扬文：
供题六：浙江温州卢宇
解题人：江苏苏州崔锋
文献提供
供题7：广东东莞彭曦
此题延伸：
供题人自答：
横空出世惊为天人无数人膜拜叹服的解答——浙江温州林熙皓
居然还有后续：
供题8：浙江省杭州市颜米司
解题人1：浙江杭州罗彪
解题人2：浙江义乌李耀华
解题人3：浙江兰溪张昊
供题9：山西运城王丽
解题人：浙江兰溪张昊
供题10：浙江衢州颜志荣
解题人1：浙江绍兴高飞
解题人2：浙江绍兴赵灿
供题11：浙江杭州李磊
解题人：浙江义乌鲁明明
供题12：福建漳州林晓峰
江西九江陶智提问：
与此题计算量差不多解几题还有没有？（浙江考题范围内）
供题13：浙江绍兴李宇轩
折线距离的题型补充：。
高中数学竞赛中平面几何涉及的定理
1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
高中的数学竞赛试题及答案
高中的数学竞赛试题及答案高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 0.333...（无限循环）D. 1/32. 如果函数f(x) = 2x^2 - 5x + 3在x = 2时取得最小值，那么f(2)的值是多少？A. -1B. 1C. 3D. 53. 已知等差数列的前三项分别为3, 8, 13，求第10项的值。
A. 43B. 48C. 53D. 584. 若sinx = 1/2，求cosx的值（假设x在第一象限）。
A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2二、填空题（每题4分，共12分）5. 计算(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) / (x - 1)的商式和余数。
商式为：________余数为：______6. 已知复数z = 3 + 4i，求其共轭复数。
共轭复数为：______7. 一个圆的半径为5，求其内接正六边形的边长。
边长为：______三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 总是能被30整除。
9. 已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其导数g'(x)，并找出g(x)的极值点。
10. 解不等式：|x + 2| + |x - 3| > 4。
四、证明题（每题10分，共10分）11. 证明：对于任意实数a和b，(a^2 + b^2)(1/a^2 + 1/b^2) ≥ 2。
五、附加题（每题15分，共15分）12. 一个圆的半径为r，圆内接正n边形的边长为s。
证明：s =2r*sin(π/n)。
高中数学竞赛试题答案一、选择题1. A（π是无理数）2. B（f(2) = 4 - 10 + 3 = -3，但题目要求最小值，故应为B）3. C（公差d = 13 - 8 = 5，第10项a_10 = 3 + 9*5 = 53）4. A（根据勾股定理，cosx = √3/2）二、填空题5. 商式为：2x^2 - x - 5，余数为：-36. 共轭复数为：3 - 4i7. 边长为：10三、解答题8. 证明略。
创新数学大赛高中试题
创新数学大赛高中试题在数学的海洋中，创新是推动知识前行的风帆。
今年的高中创新数学大赛，旨在激发学生们对数学的热爱和探索精神。
以下是一些精心设计的试题，它们不仅考验学生的数学基础，更挑战他们的创新思维和解决问题的能力。
试题一：几何图形的变换在平面直角坐标系中，给定一个由四个点A(1,2), B(3,4), C(5,1), D(2,0)组成的四边形ABCD。
现在需要通过旋转和平移操作，将这个四边形变换到一个新的位置，使得它的对角线相交于坐标系的原点。
请给出具体的旋转角度和平移向量。
试题二：函数的极限探索考虑函数f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)。
当x趋近于1时，求f(x)的极限。
并证明你的结论。
试题三：概率与统计在一个班级中，有50名学生，他们的成绩分布如下：20名学生成绩在60-69分之间，15名学生成绩在70-79分之间，10名学生成绩在80-89分之间，5名学生成绩在90-99分之间。
假设成绩分布是均匀的，计算这个班级的平均成绩和标准差。
试题四：数列与级数给定一个数列：a1 = 2, a2 = 3, a3 = 5, ...，其中an = an-1 + an-2（对于n > 2）。
求这个数列的第20项。
试题五：组合数学问题在一个有100个座位的电影院里，有10个不同的电影可供选择。
如果每个座位可以独立选择播放的电影，不考虑座位是否被占用，计算总共有多少种不同的电影播放组合。
试题六：线性代数与矩阵给定一个3x3的矩阵A：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0\end{{bmatrix} } \]求矩阵A的特征值和对应的特征向量。
试题七：拓扑学初步考虑一个平面上的简单闭曲线，它将平面划分为内部和外部两个区域。
如果在这个曲线上添加一个点，使得这个点与曲线上的其他点不重合，这个新的图形能否将平面划分为三个区域？请给出你的解释。
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