大学高等数学统考卷下10届期中考试附加答案
-2010高数下期中答案
彭晓华授课班 高等数学（下）期中考试试卷本次考试 90 分钟， 25 道小题，共计 4 页，总分 100 分订装（装订线内不准做 1.平面0122=-++z y x 和0322=+++z y x 之间的距离为（A ）4 （B ）2 （C ）34 （D ）32 2.曲面 3=+-xy z e z 在点（0,1,2）处的切平面方程为（A ）042=-+y x （B ）062=-+y x （C ）062=-+y x （D ）042=-+y x 3.计算dV z I ⎰⎰⎰Ω=的值，其中Ω是由22y x z +=与1=z 围成的区域。
（A ）4π （B ）0 （C ）2π（D ）π 4.将dV z y x f ⎰⎰⎰Ω++)(222化为球面坐标系下的三次积分，其中Ω是由22y x z +=与1=z 围成的区域。
（A ）⎰⎰⎰1224020sin )(rdr r r f d d φφθππ（B ）⎰⎰⎰φππφφθcos 10222020sin )(dr r r f d d（C ）⎰⎰⎰φππφφθcos 10224020sin )(dr r r f d d （D ）⎰⎰⎰φππφφθcos 0224020sin )(dr r r f d d5.已知x x x f =)2,(，且2)2,(1='x x f ，则=')2,(2x x f（A ）1 （B ）2 （C ）21 （D ）21- 6.设 D 由1,21,0,0=+=+==y x y x y x 围成，确定以下积分大小的顺序 dxdy y x I D⎰⎰+=71)( ,dxdy y x I D⎰⎰+=72)][sin(，dxdy y x I D⎰⎰+=73)][ln(（A ）132I I I << （B ）123I I I << （C ）213I I I << （D ）无法确定 7.设),(y x f 是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为8.函数 32--=yz xyz u 在点 )1,1,1( 处沿方向 k 2j 2i l ++= 的方向导数为（A ）31- （B ） 31（C ）1- （D ）19、函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪200222222在点(0,0)处：(A)连续且偏导数存在 (B)不连续且偏导数不存在(C)连续但偏导数不存在 (D) 偏导数存在但不连续10.过点M )1,1,1(且同时垂直于{}1,3,21=s 和{}2,1,32=s 的直线方程为（A ）611151--=--=-z y x （B ）710151--=-=-z y x （C ）712151--=-=-z y x （D ）711151--=--=-z y x 11.设xy y x z arcsin )1(4-+=，那么(1,1)zx∂∂=（ ）。
(整理)厦门大学年下学期高等数学期中考试卷及答案
-------------1. (10分) 求抛物线2=2y x与其上一点1(,1)2A 处的法线围成的平面图形的面积. 解：先求出抛物线2=2y x 在点1(,1)2A 处的法线方程.2=1=11()=12y y dx d y dydy =， ---------2分 所求的法线方程为11=(1)()2y x ---，即3=2y x -. ---------3分则法线与抛物线的两个交点分别为19(,1)(3)22-，， ---------2分于是所围平面图形的面积为112233-33131116[()]d =()=222263S y y y y y y -=----⎰. ---------3分 2. (10分) 半径为R (单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？解：取坐标系如图，考察区间[,+d ]x x x 所对应的 小薄层，此薄层水重为22()d R x x π-(吨)，将此层 水提高到水池外面的距离是x ，因此所作的微功为22d ()d W R x x x π=-， ---------6要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为22401()d 4R W R x x x R ππ=-=⎰(吨.米) ---------4分 3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。
现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h （千米/时）.假设减速伞厦门大学《高等数学》课程 期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A 卷）打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0⨯106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg ，着陆时的水平速度0=700v km/h ，从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机滑行的距离为x(t )，速度为v(t )。
2010级高等数学(下)期中试卷参考解答
2010级《高等数学》（下）期中试卷（考试时间 120分钟）班级 姓名 学号 成绩 一（10分）设(,,)u f x y z =有连续偏导数，()()和y y x z z x ==分别由方程0xye y -=和0z e xz -=所确定，求du dx。
二（10分）设函数()x,y f 在点(1,1)处可微，且()(,)(,),11111112,3,f f f ,x y∂∂===∂∂()()(x)f x,f x,x ϕ=，求()1d d 3=x x xϕ。
三（10分）求曲面22z x y =+垂直于直线2122x z y z +=⎧⎨+=⎩的切平面方程。
四（10分）求曲面224y x z --=和)(3122y x z +=所围闭区域Ω的体积.五（10分）求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域.六（10分）求面密度为常数μ的锥面22y x z +=（)10≤≤z ）对z 轴的转动惯量。
七（10分）求函数22222),(y x y x y x f -+=在闭区域}0,4),({22≥≤+=y y x y x D 上的最大值和最小值。
八（10分）计算积分224L xdy ydx x y -+⎰Ñ，其中L 为圆周222(1)(1)x y R R -+=≠（按逆时针方向）．九（10分）计算曲面积分⎰⎰∑++=xydxdy zydzdx xzdydz I 32，其中∑为有向曲面)10(4122≤≤--=z y x z 方向取上侧。
十（10分）设函数),(||),(y x y x y x f ϕ-=，其中),(y x ϕ连续，问： （1）),(y x ϕ应满足什么条件，才能使偏导数)0,0(x f ，)0,0(y f 存在。
（2）在上述条件下，),(y x f 在点)0,0(处是否可微？中国矿业大学2010级《高等数学》（下）期中试卷参考解答（考试时间 120分钟）一（10分）设(,,)u f x y z =有连续偏导数，()()和y y x z z x ==分别由方程0xye y -=和0z e xz -=所确定，求dudx。
高数期中考试题目及答案
高数期中考试题目及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x) / x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 定积分∫(0 to 1) (2x + 1) dx的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 微分方程dy/dx = 2x的通解为：A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x + CD. y = 2x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为______。
答案：22. 函数f(x)=e^x的n阶导数为______。
答案：e^x3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点为______。
答案：24. 函数f(x)=ln(x)的定义域为______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的一阶导数和二阶导数。
答案：一阶导数f'(x)=3x^2-6x+2；二阶导数f''(x)=6x-6。
2. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。
答案：23. 解微分方程dy/dx - 2y = e^(2x)。
答案：y = (1/3)e^(2x) + C4. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。
答案：极小值点x=2，极小值f(2)=3；极大值点x=3，极大值f(3)=4。
5. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-3x-1在区间(-1,1)内单调递增。
答案：略6. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的凹凸性。
答案：二阶导数f''(x)=6x-6，令f''(x)>0得x>1，令f''(x)<0得x<1，故函数在(-∞, 1)上凹，在(1, +∞)上凸。
高等数学(下册)期中考试题及答案
高等数学（下册）期中考试20110504一、 填空题（每小题4分，共计40分）1、已知三点 A(1,0,2)，B(2,1,-1)，C(0,2,1)，则三角形ABC 的面积为 。
2、已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是 。
3、函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件为 , 必要条件为 。
4、设方程az z y x 2222=++确定函数),(y x z z =，则全微分dz 。
5、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
6、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面面积为 。
7、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。
8、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。
9、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 若将三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 在球面坐标系下化为三次积分,则I= 。
10、设Ｌ是椭圆周1422=+y x 的正向，则曲线积分⎰+-L y x ydxxdy 224= 。
二、求解下列问题（共计14分） 1、 （7分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （1, 0，1）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数。
2、 （7分）已知函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，(,(,)).z f x y f x y =+, 求2(1,1).zx y∂∂∂三、求解下列问题（共计16分）1、（8分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。
2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dtdF 。
高等数学(下)期中考试题及答案
2010 年4月高数A （下）期中考试试题答案班 级 姓 名 学 号一、填空题（每空3分，共30分）1．设()2,z x y f x y =++-且当1y =时，23z x =+，则()f x =21x +。
2．设()222z y f x y =+-，其中()f u 可微，则z zyx x y∂∂+=∂∂2xy 。
3．设z u xy =，则()1,2,2d u =4d 4d 4ln 2d x y z ++。
4．设(),z z x y =由222x x y z yf y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定，其中f 为可微函数，则zy∂=∂'22x x x f f y y y y z ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
5．曲面222315x y z ++=在点()1,1,2-处的切平面方程是412290x y z -++-=。
6．设函数cos u xy z =，则在点()2,1,0M -处的()div grad u = 2 。
7．设曲面222236,x y z n ++=是曲面上点()1,1,1P 处指向外侧的法线向量，函数u =P 点处沿方向n的方向导数 117 。
8．若交换积分次序，则()1320d ,d y y f x y x -=⎰()()()21133201d ,d d ,d x x x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰。
9．设L 为封闭曲线22143x y +=，其周长为a ，则()22234d L x y s ++=⎰ 14a 。
10. 设()()222d 23d 3d z xy x x x y y =+++，则z =233x y x y C +++。
二、(10分 ) 设()2ln ,,z f x y x y f =-具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂。
解：()''''1212'2""""111122122'"""1111222ln ,2,ln 221ln 2ln 2.z z xf y f f yf x y yf z x x y f f y f yf x y y y y x y x f f y y f yf y y y ∂∂=+=-∂∂⎡⎤∂=++-+-⎢⎥∂∂⎣⎦⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭三、（10分）计算()2d x y z S ∑++⎰⎰, 其中∑是球面2222R z y x =++中满足0,0x y ≥≥及0z ≥的那部分曲面块，R 为正数。
09-10(下)期中考试题解答
的最近点、最远点及最近距
解：因为是椭球面，所以最近点、最远点的切面平行于已知平面. 故切面之 n = (4 x,2 y,2 z ) // ( 2, 1,−1) ⇒
4x 2 y 2z = = ,2 x 2 + y 2 + z 2 = 1 2 1 −1
1 1 1 1 1 1 ⇒ ( x, y, z ) = ( , ,− )或(− ， − ，) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 | 2x + y − z − 6 | 4 , ∵ d (( , ,− ),已知平面) = = 2 2 2 6 22 + 1 + 1 1 1 1 | 2x + y − z − 6 | 8 , d ((− ， − ， ),已知平面) = = 2 2 2 6 22 + 1 + 1 1 1 1 1 1 1 4 ∴ 最近点( , ,− ), 最远点(− ， − ， ), 最近距离 . 2 2 2 2 2 2 6
（B）连续；
（C）偏导数存在；
（D）可微。
2．二元函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 处两个偏导数 f x′ ( x 0 , y 0 ), f y′ ( x 0 , y 0 ) 存在，是 f ( x, y ) 在该
点连续的（ ） 。 （A） 充分条件而非必要条件； （C）充分必要条件； （B）必要条件而非充分条件； （D）既非充分条件又非必要条件。
( α ≤ t ≤ β ) 是一连接 A(α ) 、 B ( β ) 两点的有向光滑曲线段，其中
） 。
始点为 B ( β ) ，终点为 A(α ) ，则 ∫ f ( x， y )dx = （
L
(A) (C)
答案
∫ α f [ϕ (t )， ψ (t )]dt ； ∫ α f [ϕ (t )， ψ (t )]ϕ ′(t )dt ；
高等数学(下)期中考试题及答案
f ( x, y ) d x + ∫ d y ∫ y 2 f ( x, y ) d x ．
0 2
v
2
2
二、记 x − y = u ， ln x = v ，则 x = e ， y = e − u ，代入右端，得
f (u , v ) =
即
u u −2 v e ， v
x x −2 y e ． y ∂f 1 + x x −2 y ∂f x(1 + 2 y ) x−2 y = e ， =− e ． y y2 ∂x ∂y
五、设 F ( x, y, z ) = xyz + λ ( x + y + z − 5r ) ，令
3 2 2 2 2
Fx = yz 3 + 2λ x = 0 , Fy = xz 3 + 2λ y = 0 , Fz = 3 xyz 2 + 2λ z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 ,
x +1 y − 3 z = = 相交 1 1 2
参考答案
一、
⎡ ⎤ 2x 2y 1． d z |(1,2) = ⎢ dx+ d y⎥ 2 2 2 2 1+ x + y ⎣1 + x + y ⎦ 1 2 = dx+ d y． 3 3
2 2
3 2 a ．因此 4
M = ∫∫∫ z d V = ∫∫ d x d y ∫
Ω
D
a2 − x2 − y 2 a− a2 − x2 − y2
zdz =
1 [ 2a a 2 − x 2 − y 2 − a 2 ] d x d y ∫∫ 2 D
a 5 1 2π d θ ∫ 2 [ 2 a a 2 − ρ 2 − a 2 ] ρ d ρ = πa 4 ． ∫ 0 2 0 24 G G 2 八、(1) τ = 1,−2t ,3t ， n = (0 , 3 , 2 ) ． G G 令 τ ⋅ n = 0 ，得 t1 = 0 ， t 2 = 1 ，即 G G τ 1 = (1 , 0 , 0 ) ， τ 2 = (1 , − 2 , 3 ) ．
2010-2011 第二学期 高等数学 期中考试 答案
中国矿业大学徐海学院2010－2011学年第二学期《高等数学》（理工类）期中试卷答案一、 填空题（每小题3分，共27分）．1. }1,0,0|),{(2≠>≥-x x y x y x2. 43.)2,1(-4. 320y y y '''-+=5.(1,0)2(2)dz edx e dy =++6.22400y x z ⎧-+=⎨=⎩7. 2220y z x +-=8. 2360x y z -++=或(1)2(1)3(1)0x y z +--++= 9. 4二、计算下列偏导数或导数1、已知arctan()z xy =，而x y e =，求d z d x. 解：d z d x =z z dy x y dx ∂∂+∂∂221()1()xy x e xy xy =+++2(1)1()y x xy +=+2、设函数z z x y =(,)由方程e z xy z+=+1所确定，求x z ∂∂，z y ∂∂，∂∂∂2zx y.解：zx x ze yz yz e +==+1,)1( (),e z xz x ez y y z+==+113222)1()1()1(1z zz z y zze xye e e z ye e y x z +-+=+-+=∂∂∂ 或 设1),,(--+=xy z e z y x F z,x F y =-,y F x =-1z z F e =+1x x z z F y z F e =-=+，1y y zz F xz F e=-=+ 22231(1)(1)(1)z zz zy z z e ye z z e xye x y e e +-∂+-==∂∂++ 3、设2(,)z f xy x y =+，(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y∂∂∂∂∂.解：''12zyf f x∂=+∂ 2'"''''''111122122(2)2z f y xf yf xf yf x y∂=++++∂∂ 三、计算题1、求过点()4,2,0且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程. 解：已知两平面的法向量为1(1,0,2),n = 2(0,1,3),n =-则所求直线的方向向量12,,s n s n ⊥⊥12102013i j ks n n =⨯=-(2,3,1),=-则所求直线的方程为024231x y z ---==-。
级(下)期中考试试卷(11学分)解答
第 1 页/共 6 页华东理工大学2023年年–2023年年学年第二学期 《高等数学（下）11学分》课程期中考试试卷 2023年年.4 开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时光 120 分钟考生姓名： 学号： 年级 任课教师一．填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）： 1、微分方程222'y x e yx y -=的通解为 。
答：C e xe e xx y +-=22412122、微分方程0''9)4(=+y y 的通解为 。
答：x C x C x C C y 3sin 3cos 4321+++=3、函数 z x yu )(= 对变量x 的偏导数 =x u 。
答：12)(--=z x x yx yz u4、设 ))arctan(,,(xyz e y xze f u z y +=，其中f 关于所有变量有一阶延续偏导数， 则=∂∂yu。
答：3222211f zy x xz f f xze y u y +++=∂∂ 5、设函数z z x y =(,)由方程 ),(yzxz f z = 所决定，其中f 关于所有变量有一阶延续偏导数，则∂∂zy= 。
答：21222yf f xy y zf ---6、设1)(-=⋅⨯c b a，则=+⨯+⋅)]()[(c b b a b 。
答： 17、函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(处最大的方向导数等于 。
答：228、微分方程 0'2''=+y xy 的通解=y 。
答： 21C xC y +-= 9、设平面π过直线⎩⎨⎧=+-=++04,05:z x z y x L 则原点到平面π距离d 的范围是 。
答： ]22,0[10、设),(y x z z =由方程2xyz e z =所决定，则=dz 。
答： dy xyze xz dx xyz e yz dz z z 2222-+-=11、求一个最低阶的常系数线性齐次微分方程，使得x 和x x cos sin +都是它的特解，则该常系数线性齐次微分方程为 。
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大学高等数学统考卷下,10届,期中考试附加答案
三、（本题8分）求函数在圆域上的最大值与最小值.解：先求圆内部的驻点得驻点，---------2’
再求圆周上的有约束极值，令则若则必有矛盾，若则必有或
--------------------------------------5’由于从而要求的最大值为4，最小值为---------------------------------------------------1’四、（本题8分）求锥面被柱面割下部分的曲面面积..解:-------------------------2’=---------------6’五、（本题8分）计算解:原式
--------------------2’------------------------------------4’--------------------------------------------------------2’六、（本题8分）计算曲面积分，其中为半球面的上侧.补面,取上侧
------------1’--------------1’------------------------------------3’-------------------------------------------3’七、（本题7分）计算曲线积分,其中表示包含点在内的简单闭曲线，沿逆时针方向.解:-----------------2’,,逆时针
----------3’----------------------------------------------------------------------2’八、（本题7分）求如下初值问题的解.解:由于方程不显含,故令,则,从而,方程化为,-----------------2’即两端积分得.---------------3’代入初始条件可
知,.于是,,即两端积分并代入初始条件,则无论右端为正号,还是负号,其结果均为
------------------2’十一、（非化工类做）（本题7分）将函数展开成余弦级数.解由于，-----------------2’--------------2’所以-------------3十二、（非化工类做）（本题6分）求幂级数的收敛半径和收敛域.解:收敛半径3----------------------4’收敛域(-3,3)-------------------------2’十、（化工类做）（本题6分）计算二重积分,其中是圆
域：.---------------------1’--------------3’------------------------------2’十一、（化工类做）（本题7分）求由方程组所确定的及的导数及.解：由已知十二、（化工类做）（本题6分）求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向的值不变解：---------2’，----------------2’在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；
-----------------1’沿与梯度垂直的那个方向，即方向的值不变---------------1’
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