第四章 因式分解
因式分解PPT课件(北师大版)
1 因式分解
用简便方法计算：
• （1） 736×95+736×5
• 解 ：736×95+736×5=736×（95ɘ
• （2）-2.67× 132-+22.657××2.16372++72×5×2.26.677+7×2.67=
• 解：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
= m(a+b+c)
左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运 算变形过程.
下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a
（2 2）24x y–8xy +1=4xy(x–y)+1
2
2
2
2
（3）a(a–b)=a –ab （4）2a –2b =2(a–b)
答：第（4）式是因式分解，其余都不是。
注意：
３．（随堂练习p94１、２）
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两 种恒等变形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式 的情势，特征是向着积化和差的情势发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整 式乘积的情势，特征是向着和差化积的情势发 展.
(2) (m+4)(m-4)= _m__2-_16 (1) 3x2-3x=_____3_x_(x-1)
(3) (y-3)2= ___y_2-_6y_+_9 (2) m2-16=___(_m__+_4_)(_m_-4)
（4） m(a+b+c) =__m__a_+_m__b_+mc
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.1《因式分解》课件
1 知识小结
1.因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形 叫做因式分解，也可称为分解因式．
2. 因式分解与整式乘法是一个互逆过程，
即：几个整式相乘 噲垐因整垐式式垐分乘解法垎垐 一个多项式
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
导引：把各选项进行整式乘法的运算，将所得的积与 x2－3xy2对照，能够与x2－3xy2相等的选项必是 正确答案．
总结
知2－讲
四个选项都是乘积的形式，可以利用因式分解 和整式乘法的互逆关系检验所得结果的正确性．
知2－讲
例3 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
因此是因式分解，D正确．
知1－练
1 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为 什么？ (1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ； (2) m2－4＝(m＋2)(m－2)； (3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1； (4) 2mR＋2mr＝2m(R＋r).
解：(2)(4)是因式分解．理由：只有(2)(4)是把一个多项 式化成几个整式的积
知1－导
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种 变形叫做因式分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)， am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，x2＋2x＋l＝(x＋1)2都 是因式分解. 因式分解也可称为分解因式.
（来自《教材》）
知1－讲
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) A．a2＋1＝a(a＋ 1 ) a B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
A．9a2＋y2
七年级数学下册第四章因式分解复习课课件
【例 1】 分解因式： (1)m2－m＝________． (2)6a2(x－y)2－3a(y－x)3＝________．
确的是
()
A． 2a(4a2－4a＋1)
B． 8a2(a－1)
C． 2a(2a－1)2
D． 2a(2a＋1)2
【解析】 原式＝2a(4a2－4a＋1)＝2a(2a－1)2．
【答案】 C
【变式 2-2】 分解因式：
(1)x3－6x2＋9x．
(2)4x3y－9xy3．
【解析】 (1)原式＝x(x2－6x＋9)＝x(x－3)2．
【解析】 (1)m2－m＝m(m－1)． (2)6a2(x－y)2－3a(y－x)3 ＝6a2(x－y)2＋3a(x－y)3 ＝3a(x－y)2[2a＋(x－y)] ＝3a(x－y)2(2a＋x－y)．
【答案】 (1)m(m－1) (2)3a(x－y)2(2a＋x－y)
【变式 1-1】 把多项式 a2－4a 分解因式，结果正确的是
(2)原式＝xy(4x2－9y2)
＝xy[(2x)2－(3y)2]
＝xy(2x＋3y)(2x－3y)．
专题三 因式分解的应用
1．利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值． 2．若几个完全平方式的和为 0，则每个完全平方式都等于
0．
【例 3】 已知 a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，求 a＋b 的值． 【解析】 ∵a2＋b2＋6a－10b＋34＝0， ∴a2＋6a＋9＋b2－10b＋25＝0， (a＋3)2＋(b－5)2＝0， ∴a＋3＝0 且 b－5＝0，∴a＝－3，b＝5， ∴a＋b＝－3＋5＝2． 【答案】 2
第四章因式分解1.2.3.4
2014年4月10日星期四9时 46分2秒
② 12 s t 8st 4st = – 4 s t2 (3s2–2t+1) 5 2 7 2 1 ③ pq p q pq 9 9 3 1 = pq (5q+7p+3) 9
3 2 3 2
最大公因数为 a的最低指数为 b的最低指数为 3 1 1
a 即：
2014年4月10日星期四9时 46分2秒
2
b a b a b
2
21
a b a b a b
2 2
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为： 两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。
尝试练习(对下列各式因式分解)： (a+3)(a–3) ① a2 – 9 = ___________________ (7+n)(7–n) ② 49 – n2 = __________________ 5(s+2t)(s–2t) ③ 5s2 – 20t2 = ________________ (10x+3y)(10x–3y) ④ 100x2 – 9y2 =_______________
2014年4月10日星期四9时 46分2秒
3、把它与公因式相乘。
11
如何准确地找到多项 式的公因式呢？
1、系数
所有项的系数的最大公因数
2、字母
应提取每一项都有的字母， 且字母的指数取最低的
3、系数与字母相乘
2014年4月10日星期四9时 46分2秒 12
例题精讲
用提取公因式法因式分解： ①9a b 15ab c = 3 ab (3a–5bc)
2 3 2011
1 2010 2011 2012 3、计算 2 2 2 3
第4章 因式分解-开放与探究：因式分解的六种常见方法习题课件
分类训练 9．分解因式：x4＋14. 【点拨】本题直接分解因式很困难，考虑到添加辅助项使其符合 公式特征，因此将原式添上 x2 与－x2 两项后，便可通过分组使 其符合平方差公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解．
浙教版 七年级下
第四章 因式分解
开放与探究(四) 因式分解的六种常见方法
习题链接
提示：点击 进入习题
1B 2C 3 见习题 4 见习题
5 见习题
6 见习题 7 见习题 8 见习题 9 见习题 10 见习题
答案显示
习题链接
提示：点击 进入习题
11 见习题 12 见习题 13 见习题 14 见习题
答案显示
分类训练 6．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．
解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)(x－3) ＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)] ＝(x＋3)(2x＋1)．
【点拨】解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后， 发现有公因式可以提取，从而将原多项式分解因式．
分类训练 7．把下列各式分解因式： (1)x(x＋4)＋4；
分类训练 13．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.
【点拨】这里巧妙地把－5 拆成 4－9.“凑”成(x2－4x＋4)和 (y2－6y＋9)两个整体，从而运用公式法分解因式．
解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9) ＝(x－2)2－(y－3)2 ＝(x＋y－5)(x－y＋1)．
分类训练
解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.
4.4 第四章 因式分解 回顾与思考
课题：第四章回顾与思考授课人：市中区徐利华课型：复习课授课时间：2014年5月5日，星期一，第1、2 节课教学目标：1．使学生进一步了解分解因式的意义及因式分解的常用方法；2．提高学生因式分解的基本运算技能；3.通过因式分解的综合练习,进一步培养学生的观察、分析问题的能力．教学重点：会用提公因式法、公式法进行因式分解．教学难点：本章知识的综合性应用．教法学法：本节课以学生活动为主，引入竞争机制，创造一种学生积极参与的学习环境．我通过设置“主动展示—归纳总结—例题解析—拓展应用”四个递进的活动，来引导学生展示知识结构图、归纳本章知识体系、总结分解因式的一般步骤、理解分解彻底的含义，并在教学中充分利用学生的想法和语言，帮助学生形成分解因式的基本技能和基本能力，体验成功的快乐，使学生更加投入的学习．课前准备：学生课前准备：梳理本章相关知识；教师课前准备：多媒体课件.教学过程：一、梳理知识形成体系师：同学们，第四章内容我们学习完了，昨天我已经请大家梳理本章知识进行并试着画出本章的知识结构图，这节课我们就来对本章知识进行总结.【教师板书课题：4.4 回顾与思考】【实物投影】由学生主动展示所画的知识结构图并投影.（师生共同评价，结合学生的知识结构图，师生在黑板上逐步绘制本章知识结构图．）mn mn n m 1892722-+-【设计意图】学生通过绘制本章知识结构图，将本章的主要知识点串联起来，形成体系.这样既能培养学生归纳整理的能力，又能促进学生相互学习，完善知识结构.让学生主动展示，一方面能让学生以自己喜欢的方式展示所学知识，另一方面也能体现出对学生个性发展的尊重.二、典型例题解析考点1：对分解因式概念的理解例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（ ）. A. B. C.D. 【设计意图】题目简单，要求学生抢答，通过例题引导学生说出每一选择支错和对的理由，加深学生对因式分解概念的认识.考点2：利用提公因式法分解因式 例2.把下列各式分解因式 (1) (2) 考点3：利用公式法分解因式 例3. 把下列各式分解因式 (1) (2) (3)(4) 【设计意图】两道例题由学生独立完成，并且进行分组比赛，目的有三个，一是加强学生对因式分解的)11(1))(()21(4414)3(4322222xx x y x y x y x x x x y y y y -=--+=--=+---=--23)1(2)1(4-+-b b b 22)()(n m n m --+4932++x x abb a 8)2(2+-25)(10)(2++-+y x y x基本技能训练；二是增强学生在分解因式过程中运用整体思想进行运算，三是创造一个积极的学习气氛． 注意事项：前五题学生应该完成得较好，最后一题，可能有的学生处理时显得有些茫然，教师在讲解时，应引导学生先化简整理，再考虑用公式或其它方法进行因式分解. 跟踪练习：把下列各式分解因式（1）（a 2+4）2–16a 2（2） 【设计意图】连续两次使用公式法进行分解因式.当多项式形式上是二项式时，应考虑用平方差公式，当多项式形式上是三项式时，应考虑用完全平方公式. 考点4：综合运用多种方法分解因式 例4.把下列各式分解因式 （1） （2） （3） （4）师：同学们仔细观察，例4和例2、例3有没有区别？生：有，例2和例3适用解题方法比较单一，不是提公因式法，就是公式法，而例4好像是综合运用. 师：观察的非常仔细.以后大家做分解因式时，应先观察是否有公因式，若有，则先提公因式，若没有，则考虑公式法，另外还要注意分解是否彻底. 生：（学生尝试独自完成例题4） 师：（集体讲评，规范解题过程的书写）师：从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢? 生：分解因式的一般步骤为（1）先观察，若多项式各项有公因式,则先提取公因式；（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式； （3）每一个多项式都要分解彻底. 师：(追问)你是怎么理解分解彻底的？ 生：分解彻底，就是不能再分. 师：（追问）怎么评价不能再分？生：对分解后的每一个因式进行衡量，直到不能提公因式、运用公式为止. 师：说的精彩，大家以后要按这个标准分解因式.44222yx y x --xx 43-)1()1(2)1(2222-+-+-y y x y x )1(4)(2-+-+b a b axz z y x 449222++-【设计意图】进一步巩固因式分解的方法，提升因式分解的技能.在讲评中，注意让学生明确因式分解的基本步骤与应注意的问题，第四题是对因式分解较高要求，只是提供给学有余力的学生. 考点5：运用分解因式进行计算和求值 例5.利用分解因式计算（1）20112-2011×4024＋20102（2）3.14×5.52-3.14×4.52（3）已知x +y =1，求222121y xy x ++的值． 【设计意图】通过运用因式分解进行简便计算，解决实际问题，进一步让学生体会因式分解的价值，进一步感受因式分解的必要性，提高运用因式分解解决问题的能力.三、拓展应用师：本章的五个考点我们已复习完，大家通过例题解析和跟踪练习对本章知识进行了归纳和总结，不知同学们是否真正掌握？下面我们来做一组练习： 1.当x 取何值时，x 2+2x +1取得最小值？2.当k 取何值时，100 x 2-kxy +49y 2是一个完全平方式？ 3.计算 【设计意图】通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求．第1题主要考察学生对完全平方式的掌握，中等程度以上的学生都应该能解答；但第2题有两种情况需要考虑，部分学生被负号所迷惑只写了一个答案.第3题主要考察学生利用因式分解进行简便运算.四、师生交流，归纳小结师：本节课我们复习了分解因式五个考点，巩固了分解因式的两种方法，并总结分解因式的一般步骤，理解了分解彻底含义．相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写在导学案上．我掌握了分解因式的方法： ； 我总结了分解因式的一般步骤： ；我理解了分解彻底的含义： ； 我还懂得了： ． 学生写完后，全班交流各自的收获和心得．教师及时点评，鼓励．【设计意图】课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识，写下来更能加深印象．).11)...(1011)(911)...(411)(311)(211(222222n ------五、达标检测，反馈新知出示达标题目限时10分钟练习 A 组（必做题）：1. 把代数式29xy x -分解因式，结果正确的是（ ） Ａ．2(9)x y -Ｂ．2(3)x y +Ｃ．(3)(3)x y y +-Ｄ．(9)(9)x y y +-、2. 将整式29x -分解因式的结果是（ ） A ．2(3)x -B ．(3)(3)x x +-C ．2(9)x -D ．(9)(9)x x +-3. 分解因式：2(3)(3)x x +-+=___________． 4因式分解： 2(2)(3)4x x x +++-= . 5. 当k = 时，100x 2–kxy +49y 2是一个完全平方式； B 组（选做题）：6. 把a 4－2a 2b 2＋b 4分解因式，结果是（ ）A 、a 2(a 2－2b 2)＋b 4B 、(a 2－b 2)2C 、(a －b )4D 、(a ＋b )2(a －b )27. 把代数式 322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+ C ．2(3)x x y - D ．23()x x y - 8. 先分解因式，然后计算求值：（a 2+b 2－2ab ）－6（a －b ）+9，其中a =10000，b =9999。
八年级数学下册数学第四章因式分解同步串讲课件
【例1】下列各题中，从左式到右式的变形，哪
些是分解因式?哪些不是分解因式?为什么? (1)ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2； (2)ｘ2－3ｘ＋2＝(ｘ－1)(ｘ－2)； (3)(ｘ＋2)(ｘ－1)＝ｘ2＋ｘ－2； (4)ｘ(ｘ＋2)＝ｘ2＋2ｘ； (5)ｘ2－ｙ2＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)； (6)ｍ2＋ｍ－4＝(ｍ＋3)(ｍ－2)＋2.
二．因式分解与整式乘法的关系
1. 示例：
两个互 逆的过 程——
分解因式
（a+b）（a-b） 整式乘法
结合：a2-b2
2.
3. 4.ຫໍສະໝຸດ 乘法：积化和差（体现在“乘”上）； 因式分解：和差化积（体现在“分解”上）。 二者是一个互逆的过程，可以互相验算印证 乘法是一种运算；因式分解是为了达到目的 进行的一种变形，是解决问题的工具。
；
. ； ； .
形如a2+2ab+b2与a2–2ab+b2 的式子称为完全平方式．
注意：完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式
一．利用平方差公式因式分解
1. 2. 3. 公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 特征：左边是两项式，两项符号相反，能写 成平方差的形式。 文字语言：两数平方的差，等于这两数和与 差的乘积。
8a 2c+ 2b c - 4a 3b3 + 6 a2 b - 2ab
- 2x2 –12xy2 +8xy3
第三单元：公式法
填空：
（1）(a+b)(a–b） = ；
（2）(a+b)2=
（3）(a–b)2 = 根据上面式子填空： （1）a2–b2= （2）a2–2ab+b2 = （3）a2+2ab+b2 =
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了完全平方公式的推导、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对完全平方公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式（教案）
一、教学内容
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3节，主要围绕完全平方公式展开教学。本节课内容如下：
1.探索完全平方公式的推导过程，掌握完全平方公式：（a±b）^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
2.学会运用完全平方公式分解因式，解决实际问题。
其次，对于完全平方公式的应用，我发现学生们在解决具体问题时，有时会忽略符号的判断。在讲解过程中，我特别强调了“同号得正，异号得负”的规律，并通过大量练习帮助学生加深记忆。但在实际操作中，仍有个别学生会出现错误。为此，我考虑在今后的教学中，增加一些关于符号判断的专项训练，以提高学生们的准确率。
此外，在学生小组讨论环节，我发现学生们能够积极参与，主动提出自己的观点和想法。但在讨论过程中，部分学生可能会偏离主题，讨论一些与完全平方公式无关的内容。为了提高讨论效率，我计划在今后的教学中，明确讨论主题，并在讨论过程中适时引导，确保学生们围绕主题展开讨论。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式的推导和运用这两个重点。对于难点部分，如符号判断，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与完全平方公式相关的实际问题。
第四章 因式分解 单元测试(含答案)
单元测试(四) 因式分解(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分)1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )A ．(3－x )(3＋x )＝9－x 2B ．m 4－n 4＝(m 2＋n 2)(m ＋n )(m －n )C ．(y ＋1)(y －3)＝－(3－y )(y ＋1)D ．4yz －2y 2z ＋z ＝2y (2z －yz )＋z2．下列多项式中，能用公式法因式分解的是( )A ．x 2－xyB ．x 2＋xyC ．x 2－y 2D ．x 2＋y 23．下列多项式中，含有因式(y ＋1)的多项式是( )A ．y 2－2xy －3x 2B ．(y ＋1)2－(y －1)2C ．(y ＋1)2－(y 2－1)D ．(y ＋1)2＋2(y ＋1)＋14．下列多项式中不能用平方差公式分解的是( )A ．－a 2＋b 2B ．－x 2－y 2C ．49x 2y 2－z 2D ．16m 4－25n 2p 25．下列各式因式分解正确的是( )A ．－a 2＋ab －ac ＝－a (a ＋b －c )B ．9xyz －6x 2y 2＝3xyz (3－2xy )C ．3a 2x －6bx ＋3x ＝3x (a 2－2b )D .12xy 2＋12x 2y ＝12xy (x ＋y ) 6．多项式x 3－4x 2y ＋4xy 2因式分解的结果是( )A ．x 3－4xy (x －y )B ．x (x －2y )2C ．x (4xy －4y 2－x 2)D ．x (x 2－4xy ＋4y 2)7．一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是( )A ．4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2B ．x 3－x ＝x (x 2－1)C ．x 2y －xy 2＝xy (x －y )D ．x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )8．若x 2＋ax －24＝(x ＋2)(x －12)，则a 的值为( )A ．±10B ．－10C ．14D ．－149．多项式4x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，则加上的单项式不可以是( )A ．4xB ．－4xC ．4x 4D ．－4x 410．观察下列各式：①2a ＋b 和a ＋b ；②5m (a －b )和－a ＋b ；③3(a ＋b )和－a ＋b ；④2x 2＋2y 2和x 2＋y 2.其中有公因式的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④11．若x －y ＝5，xy ＝6，则x 2y －xy 2的值为( )A ．(a 2－1)(a 2＋1)B ．(a ＋1)2(a －1)2C ．(a －1)(a ＋1)(a 2＋1)D ．(a －1)(a ＋1)313．八年级(1)班实行高效课堂教学，四人为一组，每做对一道题得0.5分，“奋斗组”的四个同学做了四道因式分解题，甲：x 2－4x ＋4＝(x －2)2，乙：x 2－9＝(x －3)2，丙：2x 3－8x ＝2x (x 2－4)，丁：(x ＋1)2－2(x ＋1)＋1＝x 2，则“奋斗组”得( )A ．0.5分B ．1分C ．1.5分D ．2分14．对于任何整数m ，多项式(4m ＋5)2－9都能( )A ．被8整除B ．被m 整除C ．被(m －1)整除D ．被(2m －1)整除15．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x 4－■＝(x 2＋4)(x ＋2)(x －▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )A ．8，1B ．16，2C ．24，3D ．64，8二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)16．因式分解：x 3－2x 2y ＝_____________________．17．(巴彦淖尔中考)因式分解：－2xy 2＋8x ＝__________________________．18．多项式x 2＋mx ＋5因式分解得(x ＋5)(x ＋n )，则m ＝ ，n ＝ ．19．若二次三项式x 2－kx ＋9是一个完全平方式，则k 的值是 ．20．若x ＋y ＝2，则代数式14x 2＋12xy ＋14y 2＝ ．三、解答题(本大题共7小题，共80分)21．(8分)因式分解：(1)－9x 3y 2－6x 2y 2＋3xy ； (2)4x 2－25y 2.22．(8分)因式分解：(1)3m 2n －12mn ＋12n . (2)(a ＋b )3－4(a ＋b )．23．(10分)对于任意整数n ，(n ＋11)2－n 2是否能被11整除，为什么？24．(12分)不解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x －3y ＝1，求7y (x －3y )2－2(3y －x )3的值．25．(12分)商贸大楼共有四层，第一层有商品(a ＋b )2种，第二层有商品a (a ＋b )种，第三层有商品b (a ＋b )种，第四层有商品(b ＋a )2种，若a ＋b ＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？26．(14分)阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)．②∴c2＝a2＋b2.③∴△ABC为直角三角形．问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号；(2)写出该步正确的写法；(3)本题正确的结论应是_________________________________________________________．27．(16分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”．(1)28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是“神秘数”吗？为什么？参考答案一、选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分)1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是(B )A ．(3－x )(3＋x )＝9－x 2B ．m 4－n 4＝(m 2＋n 2)(m ＋n )(m －n )C ．(y ＋1)(y －3)＝－(3－y )(y ＋1)D ．4yz －2y 2z ＋z ＝2y (2z －yz )＋z2．下列多项式中，能用公式法因式分解的是(C )A ．x 2－xyB ．x 2＋xyC ．x 2－y 2D ．x 2＋y 23．下列多项式中，含有因式(y ＋1)的多项式是(C )A ．y 2－2xy －3x 2B ．(y ＋1)2－(y －1)2C ．(y ＋1)2－(y 2－1)D ．(y ＋1)2＋2(y ＋1)＋14．下列多项式中不能用平方差公式分解的是(B )A ．－a 2＋b 2B ．－x 2－y 2C ．49x 2y 2－z 2D ．16m 4－25n 2p 25．下列各式因式分解正确的是(D )A ．－a 2＋ab －ac ＝－a (a ＋b －c )B ．9xyz －6x 2y 2＝3xyz (3－2xy )C ．3a 2x －6bx ＋3x ＝3x (a 2－2b )D .12xy 2＋12x 2y ＝12xy (x ＋y ) 6．多项式x 3－4x 2y ＋4xy 2因式分解的结果是(B )A ．x 3－4xy (x －y )B ．x (x －2y )2C ．x (4xy －4y 2－x 2)D ．x (x 2－4xy ＋4y 2)7．一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是(B )A ．4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2B ．x 3－x ＝x (x 2－1)C ．x 2y －xy 2＝xy (x －y )D ．x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )8．若x 2＋ax －24＝(x ＋2)(x －12)，则a 的值为(B )A ．±10B ．－10C ．14D ．－149．多项式4x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，则加上的单项式不可以是(D )A ．4xB ．－4xC ．4x 4D ．－4x 410．观察下列各式：①2a ＋b 和a ＋b ；②5m (a －b )和－a ＋b ；③3(a ＋b )和－a ＋b ；④2x 2＋2y 2和x 2＋y 2.其中有公因式的是(D )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④11．若x －y ＝5，xy ＝6，则x 2y －xy 2的值为(A )A ．30B ．35C ．1D ．以上都不对4C ．(a －1)(a ＋1)(a 2＋1)D ．(a －1)(a ＋1)313．八年级(1)班实行高效课堂教学，四人为一组，每做对一道题得0.5分，“奋斗组”的四个同学做了四道因式分解题，甲：x 2－4x ＋4＝(x －2)2，乙：x 2－9＝(x －3)2，丙：2x 3－8x ＝2x (x 2－4)，丁：(x ＋1)2－2(x ＋1)＋1＝x 2，则“奋斗组”得(B )A ．0.5分B ．1分C ．1.5分D ．2分14．对于任何整数m ，多项式(4m ＋5)2－9都能(A )A ．被8整除B ．被m 整除C ．被(m －1)整除D ．被(2m －1)整除15．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x 4－■＝(x 2＋4)(x ＋2)(x －▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是(B )A ．8，1B ．16，2C ．24，3D ．64，8二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)16．因式分解：x 3－2x 2y ＝x 2(x －2y )．17．(巴彦淖尔中考)因式分解：－2xy 2＋8x ＝－2x (y ＋2)(y －2)．18．多项式x 2＋mx ＋5因式分解得(x ＋5)(x ＋n )，则m ＝6，n ＝1．19．若二次三项式x 2－kx ＋9是一个完全平方式，则k 的值是±6．20．若x ＋y ＝2，则代数式14x 2＋12xy ＋14y 2＝1．三、解答题(本大题共7小题，共80分)21．(8分)因式分解：(1)－9x 3y 2－6x 2y 2＋3xy ； (2)4x 2－25y 2.解：原式＝－3xy (3x 2y ＋2xy －1). 解：原式＝(2x ＋5y )(2x －5y )．22．(8分)因式分解：(1)3m 2n －12mn ＋12n . (2)(a ＋b )3－4(a ＋b )．解：原式＝3n (m 2－4m ＋4)＝3n (m －2)2. 解：原式＝(a ＋b )[(a ＋b )2－4]＝(a ＋b )(a ＋b ＋2)(a ＋b －2)．23．(10分)对于任意整数n ，(n ＋11)2－n 2是否能被11整除，为什么？∴对于任意整数n ，(n ＋11)2－n 2能被11整除．24．(12分)不解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x －3y ＝1，求7y (x －3y )2－2(3y －x )3的值． 解：原式＝(x －3y )2[7y ＋2(x －3y )]＝(x －3y )2(2x ＋y )．∵⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x －3y ＝1， ∴原式＝12×6＝6.25．(12分)商贸大楼共有四层，第一层有商品(a ＋b )2种，第二层有商品a (a ＋b )种，第三层有商品b (a ＋b )种，第四层有商品(b ＋a )2种，若a ＋b ＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？解：(a ＋b )2＋a (a ＋b )＋b (a ＋b )＋(b ＋a )2＝2(a ＋b )2＋(a ＋b )(a ＋b )＝2(a ＋b )2＋(a ＋b )2＝3(a ＋b )2.因为a ＋b ＝10，所以3(a ＋b )2＝300.答：这座商贸大楼共有商品300种．26．(14分)阅读下列解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．解：∵a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，①∴c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)．②∴c 2＝a 2＋b 2.③∴△ABC 为直角三角形．问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号③；(2)写出该步正确的写法；(3)本题正确的结论应是△ABC 为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．解：正确的写法为c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)．移项，得c 2(a 2－b 2)－(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝0.因式分解，得(a 2－b 2)[c 2－(a 2＋b 2)]＝0.则当a 2－b 2＝0时，a ＝b ；当a 2－b 2≠0时，a 2＋b 2＝c 2.27．(16分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”．(1)28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是“神秘数”吗？为什么？解：(1)因为28＝4×7＝82－62，2 012＝4×503＝5042－5022，所以28和2 012是“神秘数”．(2)(2k＋2)2－(2k)2＝4(2k＋1)，因此由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数．(3)由(2)知“神秘数”可表示为4的倍数但一定不是8的倍数．因为两个连续奇数为2k＋1和2k－1，则(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k，所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”．。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解单元说课稿
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将按照以下步骤逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
1.从简单的实例出发，让学生直观感受因式分解的意义和作用。
2.通过动画或图示，展示因式分解的过程，帮助学生形成直观印象。
3.逐步介绍提公因式法、公式法、十字相乘法等基本方法，结合具体例题进行讲解。
3.互动讨论法：在课堂上组织小组讨论，让学生在交流中学习，这种方法能够促进学生之间的思维碰撞，提高学生的合作能力和沟通能力。
选择这些方法的理论依据是，它们能够满足学生的个性化需求，发挥学生的主体性，同时也能够促进教师与学生之间的有效互动。
（二）媒体资源
我将使用以下教具、多媒体资源或技术工具来辅助教学：
（三）互动方式
为了促进学生的参与和合作，我计划以下互动方式：
1.提问与回答：在讲解过程中，我会提问学生，鼓励他们回答问题，以此检验他们的理解和掌握程度。
2.小组讨论：在课堂练习环节，我会让学生分组讨论，共同解决问题，然后分享解题方法和答案。
3.角色扮演：在讲解某些复杂概念时，我会让学生扮演不同的角色，模拟因式分解的过程，以加深理解。
4.引导学生通过小组讨论或独立思考，发现并总结因式分解的规律和技巧。
5.强调因式分解在实际问题中的应用，让学生理解其重要性和实用性。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.设计不同难度的练习题，包括基础题、提高题和挑战题，满足不同层次学生的需求。
2.组织小组竞赛，让学生在合作中巩固知识，提高解题速度和准确率。
2.邀请学生分享他们在学习过程中的心得体会和解决问题的策略。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章 因式分解 1.经历将一个多项式分解成几个整式乘积的形式的过程,体会因式分解的意义,发展运算能力. 2.能用提公因式法和公式法分解因式.
认识整式乘法与因式分解的关系,体会数学知识之间的相互联系. 1.进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理地思考及语言表达能力. 2.养成认真勤奋、严谨求实的科学态度.
因式分解是整式的一种重要的恒等变形,它和整式乘法运算有着密切的联系,是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础.学生已有的因数分解、整式乘法运算的学习经验是本章学习的基础. 本章在知识与技能方面主要解决两个问题:什么是因式分解?怎样进行因式分解?对于第二个问题,只学习提公因式法与公式法(平方差公式与完全平方公式)这两种方法.本章教科书尽可能帮助学生从几何角度理解代数的含义,发展学生的类比思想以及从特殊到一般的思考问题的方法,帮助学生体会数学知识之间的联系.为此,教科书通过设计因数分解的例子让学生体会因数分解的必要性,继而用字母表示数体现一般化;通过类比因数分解体会因式分解的意义和因式分解的方法,体会数学知识之间的相互联系;通过经历借助拼图解释整式变形的过程,体会几何直观的作用;通过分析因式分解与整式乘法之间的互逆过程,学习因式分解的方法,提高学生对知识间联系的认识. 具体地,本章设计了3节内容. 第1节“因式分解”,先利用993-99的例子突出与因数分解的类比,体会因式分解的必要性,然后用几何图形的拼图解释因式分解,在了解因式分解概念的基础上,体会因式分解与整式乘法的关系. 第2节“提公因式法”,它的依据是乘法分配律或者单项式乘多项式的法则.对于学生来说,难点是怎样在多项式的各项中发现公因式,为此,教科书让学生从简单的多项式ab+bc的各项中发现相同因式入手,由浅入深地体会如何寻找公因式,并以例题示范的形式学习用提公因式法进行因式分解及其注意事项,形成基本技能. 第3节“公式法”,其关键是熟悉平方差公式、完全平方公式的式子及其特点.学生初学时的一个难点是如何根据一个多项式的形式与特点选择运用恰当的公式.为此,教科书将这两个公式编成两课时,分开教学. 需要说明的是,根据《标准》的要求,本章教科书介绍了最基本的因式分解的方法:提公因式法和公式法(平方差公式、完全平方公式).教学中应把握好这一要求,不要刻意提高要求、增加难度,另外,教科书通过设置恰当的、有一定梯度的题目,关注了学生知识技能的掌握和不同层次学生的需求.
【重点】 1.探索分解因式的方法. 2.会用提公因式法把多项式分解因式. 3.会用公式法把多项式分解因式. 【难点】
1.因式分解的概念的理解. 2.确定多项式的公因式. 3.确定合适的方法分解因式.
1.要引导学生多角度理解因式分解的意义. (1)类比因数分解理解因式分解.通过类比数式993-99的分解过程,帮助学生认识多项式a3-a的分解. (2)通过拼图帮助理解因式分解.通过拼图前后图形的面积不变,可以形象地解释多项式x2+2x+1变形为(x+1)2的合理性,以直观形象的方式,促进学生对因式分解的理解.教师要引导学生用自己的语言说明变形过程. (3)对比整式乘法加深理解因式分解.通过对整式乘法运算与因式分解的对比,充分感受两者之间互为逆过程的关系. 2.要注重发展学生的观察、发现、归纳、概括等能力. 对于因式分解概念的教学,要让学生通过观察、对比整式乘法运算与因式分解,归纳概括出整式乘法运算与因式分解互为逆过程的关系.在学生经历探索因式分解方法的过程中,更要注重发展学生的观察、发现、归纳、概括等能力.探索因式分解的方法,事实上是对整式乘法运算的再认识.在教学中,教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础,给学生提供丰富的问题情境,留有充分探索与交流的时间和空间,让他们经历从整式乘法运算到因式分解的转换过程,并能用符号合理地表示出因式分解的方法. 3.要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解,培养学生逆向思考问题的习惯. 因式分解与整式乘法之间具有互为逆过程的关系.在因式分解概念的教学中,要重视运用这种关系进一步加深对因式分解的理解,在探索因式分解的方法的过程中,教师要坚持运用这种关系更好地促进学生领会提公因式法分解因式与乘法分配律或单项式乘多项式之间的联系,领会因式分解的公式法与乘法公式之间的联系,进一步巩固“因式分解的结论是否正确可用整式乘法或乘法公式来检验”,从而培养学生的逆向思维. 4.保证基本的运算技能,避免复杂的题型训练. 运用提公因式法和公式法分解因式是学习本章内容的一个重要目标.由于因式分解在后面学习分式、解一元二次方程等内容中还可以继续巩固,因此教学中要依据教科书的要求,适当地分阶段进行必要的训练,使学生在具备基本运算技能的同时,能够明白每一步的算理.教学中要避免过于烦琐的运算,不要过分追求题目的数量和难度.另外,本章只要求在有理数范围内因式分解,教学要遵循《标准》和教科书的要求.
1 因式分解 1课时 2 提公因式法 2课时 3 公式法 2课时 回顾与思考 1课时
1 因式分解 1.使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念. 2.认识因式分解与整式乘法的关系——互逆关系(即相反变形),并能运用这种关系寻求因式分解的方法.
1.通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,并用所学到的数学知识解决问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识. 2.通过对因式分解与整式乘法的观察与比较,学习代数式的变形和转化,培养学生分析问题的能力与综合应用能力.
培养学生接受矛盾的对立统一观点,独立思考、勇于探索的精神和实事求是的科学态度. 【重点】 因式分解的概念. 【难点】 理解因式分解与整式乘法的关系,并运用它们之间的关系寻求因式分解的方法.
【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 复习有关整式乘法的知识.
导入一: 【问题】 简便运算. (1)736×95+736×5; (2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67. [设计意图] 观察实例,分析两个问题的共同属性:解决问题的关键是把一个数式化成几个数的积的形
式,此时学生对因式分解还相当陌生,但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉.这一步的目的是设计问题情境,复习相关知识点与计算,引入新课,让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法,运用类比很自然地过渡到因式分解的概念上,从而为因式分解的理解和掌握打下基础. 导入二:
【问题】 (1)993-99能被99整除吗?为了回答这个问题,你该怎样做?把你的想法与同学交流. 因为993-99=99×992-99×1=99(992-1), 所以993-99能被99整除. (2)993-99能被100整除吗?为了回答这个问题,你该怎样做?把你的想法与同学交流. 小明是这样做的: 993-99=99×992-99×1 =99(992-1) =99×9800 =99×98×100, 所以993-99能被100整除. [设计意图] 以一连串的知识性问题引入,在学生已有的知识基础上,先让学生解决一些具体的数的运
算问题,通过简便运算把一个式子化成几个数的乘积的形式,并且问题的设置由浅入深,逐步让学生体会因数分解的过程和意义.这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大作用,体现了知识螺旋上升的特点.
一、因式分解的概念 思路一 [过渡语] (针对导入二)前面问题中解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.如果我们将数字换成字母,上述结论仍然成立吗? 用a表示任意一个常数,则: a3-a=a·a2-a·1
=a·(a2-1) =a·(a+1)(a-1) =(a-1)·a·(a+1). (1)你能理解吗?你能与同伴交流每一步是怎么变形的吗? (2)这样变形是为了达到什么样的目的? 像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式. [设计意图] 从知识性的问题过渡到思考性的问题,巧妙设问:“如果我们将数字换成字母,上述结论仍
然成立吗?”引发学生联想到用字母表示数的方法,得出a3-a=(a-1)·a·(a+1),这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃,是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识,是对学生思维能力水平的一次提高,同时很自然地从因数分解过渡到因式分解,初步树立起学生对因式分解概念的直观认识. 思路二
[过渡语] 前面我们研究了数字的情况,下面我们看教材第92页做一做,关于字母的情况. 观察下面的拼图过程,写出相应的关系式.
解答:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c). (2)x2+2x+1=(x+1)2. 像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式. [设计意图] 以拼图前后面积不变的方式,加深学生对因式分解的理解,形象地说明因式分解是整式的
恒等变形,对学生的思维发展具有实际价值.学生通过观察,给出填空的答案,可能有不同的形式,只要合理就都应给予鼓励.要注意的是,这里拼图前后的数量关系主要指向面积,教师要适当引导. 二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们学习了什么是因式分解,我们通过下面的几个例题来看看同学们理解得怎么样. (教材做一做)计算下列各式: (1)3x(x-1)= ; (2)m(a+b-1)= ; (3)(m+4)(m-4)= ; (4)(y-3)2= . 根据上面的算式进行因式分解: (1)3x2-3x=( )( ); (2)ma+mb-m=( )( ); (3)m2-16=( )( ); (4)y2-6y+9=( )( ). 思考:因式分解与整式乘法有什么关系?举例说明. [设计意图] 通过两组练习,类比两种不同的运算,进一步让学生体会什么是因式分解,以及因式分解与
整式乘法之间的互逆关系,这个时候,因式分解的概念已基本在学生头脑中确立.由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解,发展学生的逆向思维. [知识拓展] 对于因式分解应注意以下几点:(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整
式的乘积的形式;(3)要分解到不能分解为止.
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解,因式分解也可称为分解因式. 2.因式分解与整式乘法是互逆过程. 3.因式分解要注意以下几点: (1)分解的对象必须是多项式; (2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式; (3)要分解到不能分解为止.
1.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是 ( ) A.x2-x-2=x(x-1)-2 B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.x2-4=(x+2)(x-2)