第10章 偏微分方程模拟仿真
用偏微分方程进行人口仿真
系统仿真课程设计题目：专业：小组成员：用偏微分方程进行人口仿真摘要：建立中国人口增长的数学模型，由建立的人口发展的偏微分方程来预测中国未来人口的数量和结构。
在预测的基础上，考虑到降低生育率与人口数量和老龄化有着直接的关系，所以在预测人口基础之上，我们进一步拓展对未来人口控制进行研究。
即在对人口数量预测的同时对其控制及其优化做出探讨。
关键词：一、提出背景人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。
由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。
人口是社会经济活动的主体, 人口的发展变动趋势, 对社会经济发展的影响关系极大, 因此人口预测在社会经济实践中占有十分重要的地位。
现阶段，中国在享受计划生育政策带来的红利的同时，依然面连着人口结构性失调的严重性问题，而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。
而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。
准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。
二、问题重述与分析1）、基本假设1．假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。
2．假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的人口迁移问题。
3. 无重大毁灭性自然灾害和疾病，无战争等暴烈活动，即扰动人口发展的因素只有人。
4.在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。
5.生育模式在预测时间内保持不变，并且假设一胎只生一个孩子。
6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法7. 中国各地各民族的人口政策相同。
8. 人口生存环境为一般常态的自然和社会环境。
9. 中短期内，总和生育率、死亡率和出生性别比不发生大的波动。
数学建模偏微分方程
数学建模偏微分方程数学建模是数学与实际问题相结合的一种方法，它试图通过数学模型和解析技巧来解决现实生活中的问题。
在数学建模中，偏微分方程是一类非常重要的数学工具。
偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是涉及到多个变量的函数而产生的方程。
它包含了未知函数的偏导数和自变量之间的关系，可以用来描述许多科学和工程领域中的问题。
偏微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，并且在实际问题的求解中具有重要作用。
偏微分方程的求解过程通常分为两个基本步骤：建立数学模型和求解方程。
建立数学模型是将现实问题抽象化为数学问题，通常涉及到对问题的描述和假设的引入。
在建立数学模型时，我们需要考虑到问题的边界条件和初始条件，并根据问题的特征选择合适的数学方程。
常见的偏微分方程包括：抛物型方程、椭圆型方程和双曲型方程。
抛物型方程主要处理与时间有关的问题，如热传导方程和扩散方程；椭圆型方程主要处理静态问题，如拉普拉斯方程和泊松方程；双曲型方程主要处理与空间和时间有关的问题，如波动方程和传热方程。
求解偏微分方程的方法有多种，常见的方法包括分离变量法、特征线法、变换法和数值方法等。
分离变量法是将多自变量的偏微分方程转化为一元变量的常微分方程，从而简化求解过程；特征线法是利用特征线的性质来求解偏微分方程；变换法通过对原方程进行合适的变换来得到新的方程，从而简化求解过程；数值方法是通过数值逼近来求解偏微分方程，常用的数值方法有有限差分法、有限元法和谱方法等。
在实际应用中，偏微分方程被广泛应用于各个领域。
在物理学中，偏微分方程可以用来描述物体的运动、传热、电磁场等现象；在工程学中，偏微分方程可以用来优化结构、分析流体力学问题等；在经济学中，偏微分方程可以用来描述市场行为、金融衍生品定价等。
通过对这些领域的建模和求解，我们可以更好地理解和预测自然界和社会的行为。
总之，偏微分方程是数学建模中的重要工具，它可以用来描述和解决现实问题。
-偏微分方程模型
交通管理部门
尽可能多的人安全地通过
集中参数法：
假设车流量是均匀分布 目标使车流密度保持在安全的范围之内，让司机尽 可能开得快些即可，必要时司机自己会刹车。
现实生活中可能吗？
车流密度和车速不可能是常数
分布参数法：
x轴表示公路，x轴正向表示车流方向。
如果采用连续模型，设u(t,x)为时刻t时车辆按x方向分布 的密度，再设q(t,x)为车辆通过x点的流通率。
初值条件：
h(0, x) u f
f uj
u0 (x)
将Greenshields的基本方程代入(3.41)，利用复合函数求导法则
并注意到uf、uj均为常数，可得：
u t
(t, x) (u f
2u u
f j
u
)
u x
(t,
x)
0
令
h uf
2u f uj
u ，方程可简化为： h (t, x) h h (t, x) 0
t
x
令 p(t, x) 为 t 时刻年龄为 x 的人口密度，则 t 时人口总数为：
A
P(t) 0 P(t, x)dx
其中A为人的最大寿命。
设t时刻年龄为x的人的死亡率为d(t,x)，则有：
p(t dt, x)dx p(t, x dt)dx d (t, x dt) p(t, x)dxdt
P(t )
P(t )
此即Malthus模型
B(t)、D(t)分别为t时刻的生育率和死亡率。则有：
dP (B(t) D(t))P(t) dt 若B(t)、D(t)与t无关，则可得:
•
dP
(B
偏微分方程与数值模拟
偏微分方程与数值模拟偏微分方程是描述自然界中许多现象的重要数学工具，它在物理学、工程学、生物学等领域中起着至关重要的作用。
而数值模拟则是解决偏微分方程的常用方法之一，通过近似计算得到方程的数值解，从而帮助我们理解和预测实际问题。
一、偏微分方程简介偏微分方程是描述多变量函数在空间和时间上的变化的数学方程。
它包括了许多重要的方程，如热传导方程、波动方程和扩散方程等。
这些方程可以通过数学方法进行求解，但对于复杂的问题，往往需要借助数值模拟来获取近似解。
二、数值模拟方法数值模拟是通过将偏微分方程转化为离散的差分方程来求解，然后利用计算机进行数值计算。
常用的数值模拟方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些方法根据具体问题的性质和要求，选择不同的离散化方法，以及适当的数值算法，来获得精确的数值解。
三、有限差分法有限差分法是一种常用的数值模拟方法，它将偏微分方程中的导数项用离散差分近似表示。
通过将空间和时间分割为有限的网格点，然后使用差分近似来逼近真实的导数，得到离散的差分方程。
最后，利用迭代算法来求解差分方程，得到方程的数值解。
四、有限元法有限元法是一种广泛应用于结构力学、流体力学和电磁场问题中的数值模拟方法。
它将求解区域划分为有限数量的单元，每个单元内部采用简单的插值函数近似原始方程。
然后通过组装这些单元，得到一个整体的代数方程组。
最后，利用迭代算法求解代数方程组，得到数值解。
五、谱方法谱方法是一种基于傅里叶级数展开和插值多项式的数值模拟方法。
它使用高度精确的基函数，通过对原方程进行适当的展开和近似，从而得到近似解。
谱方法在数值计算的精度方面具有一定的优势，尤其适用于求解光滑解或具有较高阶导数的方程。
六、数值模拟的应用偏微分方程与数值模拟在许多领域中有着广泛的应用。
在物理学中，通过数值模拟可以研究流体力学、电磁场和量子力学等问题；在工程学中，可以模拟材料的变形和破坏行为，优化结构设计和流体流动等；在生物学中，可以研究生物体内的传输过程和生物化学反应等。
《偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分方程常见问题》
北京航空航天大学偏微分方程概述及运用matlab求解微分方程求解常见问题姓名徐敏学号********班级380911班2011年6月偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分方程常见问题徐敏摘要偏微分方程简介，matlab偏微分方程工具箱应用简介，用这个工具箱解方程的过程是：确定待解的偏微分方程；确定边界条件；确定方程所在域的几何形状；划分有限元；解方程关键词MATLAB 偏微分方程程序如果一个微分方程中出现的未知函数只含有一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程：如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
一，偏微分方程概述偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。
许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。
早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。
逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。
偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。
在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。
很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。
比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。
偏微分方程的MATLAB解法
引言微分方程定解问题有着广泛的应用背景。
人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。
然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。
现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。
偏微分方程果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
用的方法有变分法和有限差分法。
变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。
虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。
着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。
从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。
从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
一、MATLAB方法简介及应用1.1 MATLAB简介ATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
1.2 Matlab主要功能数值分析数值和符号计算工程与科学绘图控制系统的设计与仿真数字图像处理数字信号处理通讯系统设计与仿真财务与金融工程1.3 优势特点1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，为用户提供了大量方便实用的处理工具。
流体力学中的偏微分方程模型与数值模拟
流体力学中的偏微分方程模型与数值模拟流体力学是研究流体运动规律的一门学科，它涉及到许多复杂的数学模型和方程。
其中，偏微分方程模型在流体力学中扮演着重要的角色。
本文将介绍一些常见的偏微分方程模型，并探讨它们在数值模拟中的应用。
首先，我们来介绍一维不可压缩流体的模型。
一维不可压缩流体的流动可以用一维Navier-Stokes方程来描述。
该方程由连续性方程和动量守恒方程组成。
连续性方程描述了质量守恒，即质量在流体中的守恒性。
动量守恒方程描述了流体中的力和加速度之间的关系。
通过将这两个方程结合起来，我们可以得到一维Navier-Stokes方程。
在数值模拟中，我们可以使用有限差分或有限元方法来求解这个方程，从而得到流体的速度和压力分布。
接下来，我们来介绍二维不可压缩流体的模型。
二维不可压缩流体的流动可以用二维Navier-Stokes方程来描述。
与一维情况类似，二维Navier-Stokes方程由连续性方程和动量守恒方程组成。
不同的是，二维情况下的流体速度是一个矢量，而不是一个标量。
在数值模拟中，我们可以使用有限差分或有限元方法来求解这个方程，从而得到流体的速度和压力分布。
此外，为了简化计算，我们通常会引入一些近似方法，如雷诺平均Navier-Stokes方程，来减少计算量。
除了不可压缩流体，可压缩流体也是流体力学中的重要研究对象。
可压缩流体的流动可以用可压缩Navier-Stokes方程来描述。
可压缩Navier-Stokes方程由连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程组成。
连续性方程描述了质量守恒，动量守恒方程描述了流体中的力和加速度之间的关系，能量守恒方程描述了流体中的能量转换。
在数值模拟中，我们可以使用有限差分或有限元方法来求解这个方程，从而得到流体的速度、压力和温度分布。
在流体力学中，还有一些其他的偏微分方程模型，如输运方程和浸渗方程。
输运方程描述了流体中物质的输运过程，浸润方程描述了流体在多孔介质中的渗流过程。
数值模拟偏微分方程的三种方法
.三者简介有限差分方法( )是数值模拟偏微分方程最早采用地方法，至今仍被广泛使用.该方法包括区域剖分和差商代替导数两个步骤.首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续地求解区域.其次，利用级数展开等方法将偏微分方程中地导数项在网格节点上用函数值地差商代替进行离散，从而建立以网格节点上地值为未知量地代数方程组.该方法是一种直接将微分问题变为代数问题地近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且十分成熟地数值方法.个人收集整理勿做商业用途差商代替导数后地格式称为有限差分格式，从格式地精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分地空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式.对于瞬态方程，考虑时间方向地离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等.目前常见地差分格式，主要是以上几种格式地组合，不同地组合构成不同地差分格式.差分方法主要适用于结构网格，网格地大小一般根据问题模型和稳定条件来决定.个人收集整理勿做商业用途有限元方法( )地基础是虚位移原理和分片多项式插值.该方法地构造过程包括以下三个步骤.首先，利用虚位移原理得到偏微分方程地弱形式，将计算区域划分为有限个互不重叠地单元(三角形、四边形、四面体、六面体等)，在每个单元上选择合适地节点作为求解函数地插值点，将偏微分方程中地变量改写成由各变量或其导数地节点值与所选用地分片插值基函数组成地线性表达式，得到微分方程地离散形式.利用插值函数地局部支集性质及数值积分可以得到未知量地代数方程组.个人收集整理勿做商业用途有限元方法有较完善地理论基础，具有求解区域灵活(复杂区域)、单元类型灵活(适于结构网格和非结构网格)、程序代码通用(数值模拟软件多数基于有限元方法)等特点.有限元方法最早应用于结构力学，随着计算机地发展已经渗透到计算物理、流体力学与电磁学等各个数值模拟领域.个人收集整理勿做商业用途根据所采用地检验函数(虚位移函数)和插值函数地不同，有限元方法也分为多种计算格式.从检验函数地选择来说，有配置法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格地形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多面体网格等，从插值函数地精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等.不同地组合同样构成不同地有限元计算格式.个人收集整理勿做商业用途对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为()建立积分方程，根据虚位移原理或方程余量，建立与微分方程初边值问题等价地积分表达式，这是有限元法地出发点.个人收集整理勿做商业用途()区域单元剖分，根据求解区域地形状及实际问题地物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠地单元.区域单元划分采用有限元方法地前处理完成，并给出计算单元和节点编号相互之间地关系、节点地位置坐标，同时还需要列出问题地边界地节点号和相应地边值条件.个人收集整理勿做商业用途()确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度地要求，选择满足一定插值条件地插值函数作为单元地形函数.有限元方法中地形函数是在单元中选取地，由于各单元具有规则地几何形状，在选取形函数时可遵循一定地法则.个人收集整理勿做商业用途()单元分析：将各个单元中地求解函数用单元形函数地线性组合表达式进行逼近;再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点地函数值)地单元矩阵与荷载.个人收集整理勿做商业用途()总体合成：在得出单元矩阵与荷载之后，将区域中所有单元矩阵与荷载按一定法则进行迭加，形成总体有限元方程.个人收集整理勿做商业用途()边界条件地处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(边界条件)、自然边界条件(边界条件)、混合边界条件(边界条件).对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足.对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则后对总体有限元方程进行修正.个人收集整理勿做商业用途()解有限元方程：根据边界条件修正地总体有限元方程组，采用适当地代数方程组求解器，求出各节点地函数值.个人收集整理勿做商业用途有限体积法( )又称为控制体积法.其基本思路是：将计算区域划分为一系列互不重叠地控制体，并使每个网格点周围有一个控制体;将待求解地微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程.该方法地未知量为网格点上地函数值.为了求出控制体积地积分，须假定函数值在网格点控制体边界上地变化规律.从积分区域地选取方法来看，有限体积法属于有限元方法中检验函数取分片常数插值地子区域法;从未知量地近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似多项式插值逼近.个人收集整理勿做商业用途有限体积法地基本思路易于理解，能够保持物理量在控制体上地守恒性质，也即离散方程保持了微分方程物理量在控制体满足某种守恒原理地物理意义. 这是有限体积法吸引人地优点.此外，在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积地积分，因此可以对微分方程中不同地项采取不同地插值函数.个人收集整理勿做商业用途.三者各有长短有限差分方法直观，经验丰富，格式众多.但是不规则区域处理繁琐，虽然网格生成可以使应用于不规则区域，但是对区域地形状有较大地限制，并且使用不方便，是三种方法中计算量最少地一种，并且易于编程.个人收集整理勿做商业用途有限元方法适合处理复杂区域和各种边值条件，但程序复杂，编程量和计算量是三种方法之首.有限体积法主要用于流体与传热传质地计算，可以简单应用于非结构网格，能处理复杂区域，但是精度较低，对边值处理较繁琐，不如有限元灵活，程序量与计算量皆居中.个人收集整理勿做商业用途来源元计算官网。
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10.1 计算函数的定义
源程序代码内容中，通过使用import tensorfLow as tf和import numpy as np将模拟仿真中所需要的TensorFlow模块和NumPy模块进 行导入；import PIL.Image代码中的图像处理类库（Python Imaging Library Python，PIL）提供了关于图像的最基本的处理及功能操作， 如图像的旋转、裁剪、缩放、颜色的变化等。利用免费的图像处理类库 中的各类函数，我们可以将数据从图像格式的文件中提取出来进行数据 处理，然后再将处理之后的数据写入到指定的图像格式中，在图像处理 类库的众多函数中，最重要的一个函数是Image函数。在代码内容中， from cStringIO import StringIO代码语句中的cStringIO和StringIO所 代表的是两个不同功能的模块，这两个模块具有相似的功能操作。
人工智能原理： 基于Python语言和TensorFlow
张明 副教授
第10章 偏微分方程模拟仿真
1. 计算函数的定义 2. 偏微分方程的定义 3. 仿真
简介
18世纪，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard EuLer）在与其他数 学家解决物理问题的过程中，创立了微分方程这门学科。常见的微分 方程有常微分方程、偏微分方程等，其中，常微分方程是指解得的未 知函数是一元函数的微分方程，即一个量随一个自变量变化的规律， 比如我们常见到的行驶中的车辆位置会随着时间变化而规律运动；偏 微分方程是指解得的未知函数是多元函数的微分方程，即一个量随两 个或多个自变量变化的规律，它比常微分方程更复杂一些，不仅仅在 于自变量的增多，还因为各个自变量之间会有耦合，比如温度会随着 时间的变化而在不同位置上有不同的数值表现，与此同时，温度随位 置的变化也会因为时间的不同而在数值上有所变化，生活中的天气预 报，就是通过计算机来对偏微分方程进行求解而得到的。
10.1 计算函数的定义
首先，针对计算函数，先导入一些模拟仿真所必需的库文件，代码如下 所示。
************************************************************************************ #导入模拟仿真需要的库 import tensorfLow as tf import numpy as np
#导入可视化需要的库 import PIL.Image from cStringIO import StringIO from IPython.dispLay import cLear_output, Image, dispLay ************************************************************************************
10.1 计算函数的定义
针对池塘的表面状态，我们通过一些程序代码来进行相应操作的函数设 定，代码如下所示。
************************************************************************************ def DispLayArray(a, fmt='jpeg', rng=[0,1]): """DispLay an array as a picture.""" a = (a - rng[0])/fLoat(rng[1] - rng[0])*255 a = np.uint8(np.cLip(a, 0, 255)) f = StringIO() PIL.Image.fromarray(a).save(f, fmt) dispLay(Image(data=f.getvaLue()))
简介
对于偏微分方程问题的讨论和解决，往往需要应用微分几何学、代数 与拓扑学等其他数学分支的理论和方法。偏微分方程的解有无穷多个 ，但是解决具体的实际问题时，则需要从中选取出所需要的最适合的 解，因此，一些必备的附加条件是必不可少的。偏微分方程属于同一 类现象的共同规律的表示式，仅仅知道共同规律是无法掌握和了解具 体问题的特殊性的，所以，针对不同的具体问题，它的特殊性就在于 所处的不同环境的特定条件，即初始条件和边界条件，又被称为定解 条件。定解条件反映出具体问题的个性和具体情况，定解条件和方程 式的结合被称为定解问题。求偏微分方程的定解问题可以先求出它的 通解，然后再用定解条件确定出函数。
10.1 计算函数的定义
其中，StringIO模块的功能和文件具有很高的相似性，它算是存在于内 存中的一个文件，对StringIO模块进行操作的方法与我们对磁盘文件进 行操作的方法相类似，即通过StringIO模块对内存文件进行读取和写入 的操作；而cStringIO模块则与StringIO模块相类似，但是它又比 StringIO模块更高效一些。原因是因为Python语言是一种动态的计算 机编程语言，它可以进行解释性执行，如果想要针对Python程序代码 的运行速度进行提高，可以通过使用C语言来对某些关键函数进行重写， 通过这种方式可以提高整个Python程序代码的执行速度，而具体到 cStringIO和StringIO这两个模块来讲，StringIO模块是使用纯Python 代码编写的模块内容，而cStringIO模块中的部分函数则是使用C语言编 写的，因此cStringIO模块运行速度会更高效。
简介
偏微分方程关于纯数学研究的第一篇论文是欧拉所写的《方程的积分 法研究》，在此之后，法国数学家达朗贝尔（Jean Le Rond d'ALembert）也在他的著作《动力学》和论文《张紧的弦振动而最终开创了偏 微分方程这门学科。19世纪是偏微分方程迅速发展的时期，瑞士数学 家丹尼尔·伯努利（DanieL BernouLLi）、法国数学家约瑟夫·拉格朗 日（Joseph-Louis Lagrange）、让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier）在各自研究领域的成果都对偏微分方程的 发展产生了不同程度的影响。