初中物理m为摆球的质量单摆的周期公式
初中八年级(初二)物理 摆球的质量单摆的周期公式
0.00030 0.00045 0.00064 0.00088
xຫໍສະໝຸດ xx在偏角很小的情况下：
F mg x l
令k mg l
F kx
探究单摆做简谐运动周期
对比猜想:单摆周期T可能与什么因素有关呢? 探究过程Ⅰ：定性实验、控制变量法 实验（一）：探究单摆周期T与摆球质量m的关系
11.4 单摆
一、单摆
在竖直平面内摆动
细线的质量与小球相比可以忽略
小球的直径与线的长度相比可以忽 略 与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气 等对它的阻力可以忽略
单摆是一个理想化的模型
以下摆是否是单摆？
细 绳
橡
粗
细
皮
绳
绳
筋
绕
细 绳
在
杆
上
①
②
③
④
⑤
思考： 单摆振动是不是简谐运动？
（1）振动图像 振动图像是不是正弦曲线？
对于单摆：
k=mg/l ，m为摆球的质量
单摆的周期公式： T 2 l
g
单摆周期公式
T 2 l
g
荷兰的物理学家、天文学家、 数学家惠更斯，研究单摆的现象， 发现：
单摆的振动周期跟摆长的平方
根成正比，跟重力加速度的平方根 成反比。
1629~1695
单摆周期公式的应用
1、计时器
1656年惠更斯首先将摆引入时钟成为摆钟。
（2）回复力 Ｆ＝－ＫX ?
二、单摆的回复力 M
1、受力分析:
A
B
O 单摆的平衡
位置
仔细观察下面表格：你能得到什么结论？
角度
1o 2o
sinθ
0.01754 0.03490
初三物理知识点单摆周期公式推导
三一文库（）/初中三年级〔初三物理知识点单摆周期公式推导〕公式推导M = - m * g * l * Sin x.其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，x是摆角。
我们希望得到摆角x的关于时间的函数，来描述单摆运动。
由力矩与角加速度的关系不难得到，M = J * β。
其中J = m * l^2是单摆的转动惯量，β = x''（摆角关于时间的2阶导数）是角加速度。
于是化简得到x'' * l = - g * Sin x.我们对上式适当地选择比例系数，就可以把常数l与g约去，再移项就得到化简了的运动方程x'' + Sin x = 0.第1页共5页因为单摆的运动方程（微分方程）是x'' + Sin x = 0 (1)而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是x'' + x = 0 (2)相关解释我们知道（1）式是一个非线性微分方程，而（2）式是一个线性微分方程。
所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。
不过，在x比较小时，近似地有Sin x ≈ x。
（这里取的是弧度制。
即当x -> 0时有Sin x / x = o（1）。
）因而此时（1）式就变为（2）式，单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动。
然后说一下为什么是10°。
由于Sin x ≈ x这个近似公式只在角度比较小的时候成立（这一个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。
事实上5°≈0.087266弧度，Sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一点几，是十分接近的。
在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就比它大）。
但如果换成25°，误差高达百分之三，就不宜再看成是简谐振动了。
由于正弦函数的性质，这个近似是角度越小，越精确，角度25。
单摆知识点公式总结
单摆知识点公式总结一、单摆的基本知识点1. 单摆的定义单摆是由一个质点（称为挂点）和一根长度可忽略的细绳（或轻质横杆）组成的物体。
质点可以是实心球、铁球、小木块或其他形状的物体。
2. 单摆的运动规律单摆在无外力作用下，可以做匀速圆周运动。
当摆动幅度较小时，单摆的周期与摆长的平方根成正比。
3. 单摆的周期单摆的周期T与摆长L及重力加速度g有关，满足以下公式：T = 2π√(L/g)其中，T为周期，L为摆长，g为重力加速度（约等于9.8m/s^2），π为圆周率。
4. 单摆的频率单摆的频率f与周期T成反比关系，满足以下公式：f = 1/T5. 单摆的振幅单摆的振幅是指摆动过程中的最大角度。
当振幅较小时，单摆的周期与摆长的平方根成正比。
6. 单摆的能量转化单摆在振动过程中，动能和势能不断地进行转化。
当摆动到最高点或最低点时，动能为零，势能最大。
而在摆动过程中，动能最大时，势能为零。
单摆的总能量守恒。
7. 单摆的受力分析单摆在做简谐振动时，受到重力和张力的作用。
重力作用在摆绳上，向下，张力作用在质点上，与重力方向相反。
二、相关公式1. 单摆的周期公式T = 2π√(L/g)其中，T为周期，L为摆长，g为重力加速度。
2. 单摆的频率公式f = 1/T其中，f为频率，T为周期。
3. 单摆的摆长计算公式在实际应用中，有时需要根据给定的周期或频率来计算摆长。
可以通过以上公式，将周期T或频率f代入，求解摆长L的值。
4. 单摆的振幅与周期的关系当振幅较小时，单摆的周期与摆长的平方根成正比。
这一关系可以通过实验或推导得到。
5. 单摆的能量转化公式在单摆的摆动过程中，动能和势能不断地进行转化。
可以通过动能和势能的公式进行计算，以研究能量转化的规律。
6. 单摆的受力分析公式单摆在简谐振动时，受到重力和张力的作用。
可以通过受力分析和牛顿定律，得到单摆的运动规律和力学性质。
三、单摆的应用1. 单摆的实验通过搭建单摆实验装置，可以观察和研究单摆的运动规律和特性，了解单摆的周期、频率、摆长等参数。
影响单摆周期的因素
影响单摆周期的因素
跟单摆的摆线长度和当地的重力加速度有关。
根据单摆的周期公式：T=2π√(L/g)。
其中，L为摆长，g为当地的重力加速度。
在摆角小于5°的条件下，单摆的摆长越大，当地的重力加速度越小，单摆的周期越大。
单摆周期公式
单摆是一种理想的物理模型，它由理想化的摆球和摆线组成。
摆线由质量不计、不可伸缩的细线提供；摆球密度较大，而且球的半径比摆线的长度小得多，这样才可以将摆球看做质点，由摆线和摆球构成单摆。
在满足偏角小于10°的条件下，单摆的周期为T=2π√(L/g)。
从公式中可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关．从受力角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，加速度越大，在相等时间内走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长l和重力加速度g有关．在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9.8m/s²，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。
什么是单摆的周期
单摆从某一状态开始运动,第一次回到原状态的时间,一般是从平衡位置开始计时,这里所说的状态是指速度,加速度,恢复力都相同的状态.周期公式为T=2π*√L/g.。
单摆周期公式的推导
单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。
对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。
因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。
把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。
对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。
这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。
二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。
当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。
让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。
在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。
当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。
因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。
1.3-1.4单摆及其周期
L
3、测周期： 把单摆从平衡位臵拉开一个角度（＜5o）放开它 用秒表测量单摆的周期。
秒表的读数
59
28 57 26 55 24 53 22 51 20 49 18 47 16
13 12 11 10 9 8 14 0
0
1
31 2
2
3 4 5
33 4 35 6 37 812 45 14 43
1.4 探究单摆的振动周期
单摆振动的周期与哪些因素有关呢？ 一、实验方法: 控制变量法 单摆的周期
猜想？
振幅
质量
摆长
重力加速度
演示1：周期与振幅无关
单摆振动周期与振幅无关，这就是单摆的等时性
单摆振动的等时性是意大利物理学家伽利略首先发现的。
演示2：探究单摆周期与摆球的质量的关系
周期与摆球的质量无关
实验： 研究用单摆测重力加速度
一、实验原理
l T 2 单摆做简谐运动时，其周期为： g
l g 4 2 得 T 只要测出单摆的摆长L和振动周期T，就可以求出当地的重力 加速度g的值， 二、实验器材 1、单摆组 2、米尺 3、游标卡尺 4、秒表（停表）
2
三、实验步骤 1、做单摆：取约1米长的线绳栓位小钢球， 然后固定在桌边的铁架台上。 × 2、测摆长： 摆长为L +r (1)用米尺量出悬线长 L，准确到毫米 (2)用游标卡尺测摆球直径 算出半径r，也准确到毫米 0 0 5 1 1 0
2分7.6秒
秒表的读数 1分51.4秒
59 0
14 13 12 11 10 9 8 7 6
31 2
1 2 3 4 5
28
57 26 55 24 53 22
0
33 4 35 6 37 8
单摆的周期
实验猜想
单摆的周期与M 有关。 单摆的周期与 球有关。 单摆的周期与振幅 有关 单摆的周期与振幅A有关。 振幅 有关。 单摆的周期与摆长 有关 单摆的周期与摆长L有关。 摆长 有关。 单摆的周期与它所处的地理位置有关。 单摆的周期与它所处的地理位置有关。 它所处的地理位置有关
解决方法
控制变量法
实验录像演示一
控制变量法控制变量法他发现单摆的周期t和摆长l的二次方根成正比和重力加速度g的二次方根成反比跟振幅和摆球的质量无荷兰物理学家惠更斯曾经对单摆进行过详尽的研究
一步一个脚印， 一步一个脚印，
回顾
单摆： 单摆：
1、摆线不可伸 摆线不可伸 长 2、摆线质量可 、 以忽略不计 3、小球的半径 、 可以忽略不计
解决方法
控制变量法
实验录像演示二
两单摆周 期一样
初步结论： 初步结论： 单摆周期与 振幅A无关 振幅 无关 振幅A不等， 相等，摆长L相等 振幅 不等，M球相等，摆长 相等 不等
实验猜想
单摆的周期与M 有关。 单摆的周期与 球有关。 单摆的周期与振幅 有关 单摆的周期与振幅A有关。 振幅 有关。 单摆的周期与摆长 有关 单摆的周期与摆长L有关。 摆长 有关。 单摆的周期与它所处的地理位置有关。 单摆的周期与它所处的地理位置有关。 它所处的地理位置有关
学以致用
请利用本节课所学知识， 请利用本节课所学知识，设计一个方 测量校园内旗杆的高度。 案，测量校园内旗杆的高度。
提示： 提示：在升旗的绳下端系一小而 重的物体，测其摆动时的周期。 重的物体，测其摆动时的周期。
小结
实验探究
单摆的周期公式
学以致用
单摆的摆动： 单摆的摆动：
当偏角很小 ( )的情况 的情况 下，单摆做 <50 简谐运动。 简谐运动。
单摆的等效摆长、等效重力加速度、等效模型问题.
②等效重力加速度 1、g由单摆所处的空间位置决定，在地球 表面上纬度不同，g不同，距地球表面的 高度不同，g不同.
2、摆球除受重力和拉力外还受其他力， 但其他力只沿半径方向，而沿振动方向无 分力，这种情况下单摆的周期不变。
如图有一带电量为＋q的小球，用长 为 L的绝缘细线悬挂在匀强电场E中， 匀强电场方向与重力方向相同，当小 球小角度摆动时，求摆动周期。（小 球半径为r，重力加速度为g）
②等效重力加速度
例. 如图，一小球用长为L的细线系于与水平面 成 角的光滑斜面内，小球呈平衡状态。若使细 线偏离平衡位置，其偏角小于5o，然后将小球由 静止释放，则小球到达最低点所需的时间为多少？
0
L T 2 g sin
等效重力加速度
一单摆的悬点处有一带正电q小球，悬挂的 小球也带正电q，摆长为L，小球半径可忽略， 求单摆做小角度摆动时的周期
A
o’
模型等效
如图所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点， C到A距离远小于R，两质点B和C都由静止开始 释放，问哪一个小球先到A点？
讨论：要使两球在A点相遇，可使B球上 移，问此时B球高度h为多少？
不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加速度的取 值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量的比值(g=T/m)。
A θ B
0
L
C
L
一摆长为L的单摆,在悬点正下方5L/9处有 一钉子,则这个单摆的周期是:
可知:
L
T L g源自4L 9g 练习. 如图所示，摆长为L的单摆，原来的周期 为T。现在在悬点O的正下方A点固定一颗钉子， OA=L/3，令单摆由平衡位置向左摆动时以A为 悬点作简谐振动，则这个摆完成一次全振动所 需的时间是 。
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二、单摆的回复力 M
1、受力分析:ຫໍສະໝຸດ ABO 单摆的平衡
位置
仔细观察下面表格：你能得到什么结论？
角度
1o 2o
sinθ
0.01754 0.03490
θ弧度值
0.01754 0.03491
θ弧度值与sinθ的差值 0.00000 0.00001
3o 0.05234
0.05236
对于单摆：
k=mg/l ，m为摆球的质量
单摆的周期公式： T 2 l
g
单摆周期公式
T 2 l
g
荷兰的物理学家、天文学家、 数学家惠更斯，研究单摆的现象， 发现：
单摆的振动周期跟摆长的平方
根成正比，跟重力加速度的平方根 成反比。
1629~1695
单摆周期公式的应用
1、计时器
1656年惠更斯首先将摆引入时钟成为摆钟。
0.00002
4o 0.06976
0.06981
0.00006
5o 0.08716
0.08727
0.00011
6o 0.10453
0.10472
0.00019
7o 0.12187 8o 0.13917 9o 0.15700 10o 0.17444
0.12217 0.13863 0.15636 0.17356
例题1
周期为2s的单摆叫做秒摆，秒摆的摆长是多少？
解：根据单摆的周期公式：T 2 l
g
l
g
4 2
T
2
≈0.993m
可得，
小结:在近似计算时，g≈π2
单摆周期公式的应用
2、测重力加速度 g 4 2 l T2
例题2
用摆长为24.8cm的单摆测定某地的重力加 速度，测得完成 120次全振动所用时间为 120s，求该地重力加速度。
结论： A、无关 B、有关 实验（二）：探究单摆周期T与振幅的关系
结论： A、无关 B、有关 单摆的等时性 实验（三）：探究单摆周期T与摆长l的关系
结论：A、无关 B、有关
探究单摆做简谐运动周期
探究过程Ⅱ：理论定量推导 简谐运动周期公式 T 2 m
k
对于弹簧振子：
k为弹簧的劲度系数， m为小球的质量
0.00030 0.00045 0.00064 0.00088
x
x
x
在偏角很小的情况下：
F mg x l
令k mg l
F kx
探究单摆做简谐运动周期
对比猜想:单摆周期T可能与什么因素有关呢? 探究过程Ⅰ：定性实验、控制变量法 实验（一）：探究单摆周期T与摆球质量m的关系
解：此单摆的周期： T 120s 重1s力加速度的影响因数 120 1、跟纬度有关
由单摆周期公式：T 2 l g赤<g极地 2g、跟高度有关
g
4 2l
T2
4
3.14 2 12
0.248h越9高.79（，mg越s 2 ）小
11.4 单摆
一、单摆
在竖直平面内摆动
细线的质量与小球相比可以忽略
小球的直径与线的长度相比可以忽 略 与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气 等对它的阻力可以忽略
单摆是一个理想化的模型
以下摆是否是单摆？
细 绳
橡
粗
细
皮
绳
绳
筋
绕
细 绳
在
杆
上
①
②
③
④
⑤
思考： 单摆振动是不是简谐运动？
（1）振动图像 振动图像是不是正弦曲线？