第三章谓词演算基础教学讲义

变量 符号
WRITE(son(Shakespeare)，Hamlet)
莎士比亚的儿子写了哈姆雷特 函数！
函数项
——以个体为定义域、以个体为值域的函数 约定用f，g，h等表示抽象的函数项。
项 ——包括实体、变量符号和函数符号
例 John’s mother is married to his father
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词
3.2.1 函数项 3.2.2 量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.5 唯一性量词与摹状词
项的概念
例 考察谓词 WRITE(x,y)表示x 写了y
WRITE(Shakespeare，Hamlet)
实体
WRITE(Shakespeare，y)
全称量词x ——“所有的x”、“一切x”等概念 存在量词x ——“存在一些x”、“有一些x”等概念 (4) 规定一般情况下 紧跟在全称量词x之后的主联结词为“”， 紧跟在存在量词x之后的主联结词为“”。
例 计算机学院的有些老师是青年教师
解： 设 C(e)表示e为计算机学院的人； T(e)表示e为教师; Y(e)表示e为青年.
则原句译为：
xy( (P(x)T(y)W(x,y)) z(P(z)S(x,y,z)) )
例 所有的正数均可开方。
解：
(i) 若个体域为全体正实数R+，S(X)：X可以开方， 则命题符号化为： xS(x)
(ii) 若个体域为全体实数集R，G(x，y)：x>y， 则命题符号化为： x((G(x，0) S(x))
则原句译为：
x( (P(x)A(x,x))(B(a,x) C(b,x)) )
例5 任何人均会犯错误。
解：设 P(e)表示e为人； M(e)表示e为错误； D(e1，e2)表示e1犯e2。
则原句译为：
x( P(x) y(M(y)D(x，y)) )
例6 己所不欲勿施于人。
解：设 P(e)表示e为人； T(e)表示e为东西； W(e1，e2)表示e1要e2； S(e1，e2，e3)表示e1施e2给e3。
则原句译为：
x(G(x) S(x)) x(S(x) G(x))
或 x(G(x) S(x)) x(S(x) G(x))
例4 并非“人不为己，天诛地灭”。
解：设 P(e)表示e为人； A(e1，e2)表示e1为e2； B(e1，e2)表示e1诛e2； C(e1，e2)表示e1灭e2； a表示天； b表示地；
集合名词 • 谓词中含有联结词 • 引入谓词来限定常个体. 例如,“我”是常个
例 试把下列语句翻译为谓词演算公式 (3)凡是对顶角一定相等。 (05级期末，2分）
解(3): 设
A(e1,e2)表示e1与e2为对顶角；
E(e1，e2)表示e1=e2。
则原句可以译为:
xy(A(x,y) E(x,y))
或
xy(A(x,y) (x=y))
例2 金子闪光，但闪光的并非全是金子。
解：设 G(e)表示e为金子； S(e)表示e闪光。
例 个体域I为全总个体域,将下列命题符号化:
(1) 凡人都呼吸。
(2) 有的人用左手写字。
解 (1)
令F(x):x呼吸;
x(P(x) F(x))
P(x): x为人. 则可以翻译为 x(P(x)F(x))
?
解 (2) 令G(x):x用左手写字;
P(x): x为人.
则可以翻译为 x(P(x) G(x))
? x (P(x) G(x))
例1 某些人对某些食物过敏。
解：设 A(e)表示e为人； B(e)表示e为食物； C(e1，e2)表示e1对e2过敏。
则原句译为： x(A(x) y(B(y) C(x，y)) )
例 试把下列语句翻译为谓词演算公式 （1）所有蜜蜂均喜欢所有的花粉； (10级期末，3分）
则原句译为：
x((P(x) A(x，x))(B(a，x)C(b，x)))
例 试把下列语句翻译为谓词演算公式 （2）有些学生喜欢所有的老师 。 (06级期末，3分）
解(2): 设 S(e)表示e为学生； T(e)表示e为老师; L(e1，e2)表示e1喜欢e2。
则原句可以译为: ∃x(S(x)∧∀y(T(y) →L(x,y)))
(iii) 若D为全总个体域, R(x):x是实数，则符号化为： x((R(x)∧G(x，0)) S(x))
例 没有最大的自然数 。
解：这句话可以理解为“对所有x，若x是自然 数，则存在y，y也是自然数，且y>x”。 引入N(x):x是自然数，G(x,y):x>y, 则符号化为：
x(N(x)y(N(y) ∧G(y,x))
解： 记
M(e1，e2) 表示e1 is married to e2；
f(e)
表示e的r；
m(e)
表示e的mother。
则原话可以翻译为：
M(m(John)，f(John))
全总个体域、量词
(1) 约定变量符号即个体变元x取值于全总个体域U； (2) 用谓词来限定x的取值范围； (3) 引进
解 记 B(e)表示e为蜂蜜； P(e)表示e为花粉； L(e1,e2)表示e1喜欢e2。
原话可以翻译为： x (B(x) y(P(y) L(x，y)))
例 试把下列语句翻译为谓词演算公式 （1）并非“人不为己，天诛地灭”； (06级期末，3分）
解(1): 设 P(e)表示e为人； A(e1，e2)表示e1为e2； B(e1，e2)表示e1诛e2； C(e1，e2)表示e1灭e2； a表示天； b表示地。
也可以理解为“下句话是不对的‘存在一 个x，x是自然数且对一切自然数y，x均大 于y’”，符号化为
x(N(x) ∧y(N(y)G(x,y))
例 没有最大的自然数 。
解2：
设B(x):x是最大的， N(x):x是自然数。
则命题可以表示为：
x(B(x)∧N(x))
典型错误
• 量词后的主联结词错误 • 将集合名词简单化为常个体. 例如,“人”是
则原句译为：
x(C(x)T(x) Y(x))
此例中：x就取值于全总个体域U， 谓词C(x)限定x取值范围。
例 个体域I为人类集合,将下列命题符号化:
(1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
解 (1) 令F(x):x呼吸. 则可以翻译为 xF(x)
解 (2) 令G(x):x用左手写字. 则可以翻译为 xG(x)