青县二中2018-2019学年第一学期七年级学科之星评比

2018-2019学年第一学期学科之星评比七年级数学姓名： 班级：一．填空题（每个空5分，共50分）1．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C 的位置）是有理数4．那么，“峰4”中C 的位置是有理数 ，有理数2018应排在A ，B ，C ，D ，E 中 的位置．2．将整数按如图方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是﹣4，第3行最后一个数是9，第4行最后一个数是﹣16，…，依此类推，第21行的第21个数是 ．3．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，如此下去，利用图中示的规律计算=；= ．4．a 是不为1的有理数，我们把称为a 的差倒数．如：2的差倒数是=﹣1，﹣1的差倒数是=．已知a 1=﹣，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，则a 2018= ． 5．观察如图图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第15个图形共有 个★． 6．用火柴棒按如图方式拼图，第1个图形共用3根火柴棒，第2个图形共用9根火柴棒，第3个图形共用18根火柴棒，……按照这样的方式继续拼图，第n 个图形共用 根火柴棒．（用含n 的代数式表示）7．如图，用火柴棍拼成一排图形：第1个图形用了5根；第2个图形用了9根；第3个图形用了13根，……，那么第n 个图形用了 根．8．观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n 个“星阵”中的★的个数是 ．二．解答题（共50分）9．观察下列各等式：①13=1=×11×22②13+23=9=×22×32③13+23+33=36=×32×42………用你发现的规律解答下列问题：（1）填空：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=×（）2×（）2（n为正整数）；（6分）（2）计算：（10分）①13+23+33+…+493+503；②23+43+63+…+983+100310．如何求1+2+22+23+24+…+263的值呢？可以设s=1+2+22+23+24+ (263)则2s=2（1+2+22+23+24+…+263）=2+22+23+24+…+263+264，两式相减得：s=264﹣1．（10分）问题1：求1+3+32+33+34+…+32018问题2：（3分）远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，试问尖头盏灯？（注：“红光”指每层都挂着大红灯笼的灯光；“倍加增”指每层灯盏数都是上一层盏数的2倍；“尖头”指它顶层．）11．（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：（8分）第1个点阵 1+3+1=12+22第2个点阵 1+3+5+3+1= +第3个点阵 1+3+5+7+5+3+1= + （2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式．（4分）12．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有颗黑色棋子？（3分）（2）第几个图形有2 018颗黑色棋子？请说明理由．（6分）2018-2019学年第一学期学科之星评比参考答案与试题解析一．填空题（共8小题）1．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4．那么，“峰4”中C的位置是有理数﹣19，有理数2018应排在A，B，C，D，E中B 的位置．【分析】由题意可知：每个峰排列5个数，求出5个峰排列的数的个数，再求出，“峰4”中C位置的数的序数，然后根据排列的奇数为负数，偶数为正数解答，根据题目中图中的特点可知，每连续的五个数为一个循环A到E，从而可以解答本题．【解答】解：∵每个峰需要5个数，∴5×3=15，15+1+3=19，∴“峰4”中C位置的数的是﹣19，（2018﹣1）÷5=2016÷5=403…2，∴2017应排在A、B、C、D、E中B的位置，故答案为：﹣19；B．【点评】此题考查图形的变化规律，观察出每个峰有5个数是解题的关键，难点在于峰上的数的排列是从2开始．2．将整数按如图方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是﹣4，第3行最后一个数是9，第4行最后一个数是﹣16，…，依此类推，第21行的第21个数是421．【分析】根据图形得出第n行最后一个数为（﹣1）n+1•n2，据此知第20行最后一个数为﹣400，继而由奇数行的序数为奇数的数为正数可得答案．【解答】解：根据题意知第n行最后一个数为（﹣1）n+1•n2，当n=20时，即第20行最后一个数为﹣400，又奇数行的序数为奇数的数为正数，∴第21行的第21个数是421，故答案为：421．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出第n 行最后一个数为（﹣1）n+1•n2．3．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，如此下去，利用图中示的规律计算=；=1﹣．【分析】分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即可．【解答】解：=1﹣；=1﹣；故答案为：；1﹣．【点评】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律是解答此题的关键．4．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是=﹣1，﹣1的差倒数是=．已知a1=﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2018=．【分析】先依次计算出a2、a3、a4、a5，即可发现每3个数为一个循环，然后用2018除以3，即可得出答案．【解答】解：根据题意得：a1=﹣，a2=，a3=4；a4=﹣；则三个数是一个周期，则2018÷3=672…2，故a2018=a2=．故答案为：【点评】此题主要考查了数字的变化类，考查学生对倒数和数字变化类知识点的理解和掌握，解答此题的关键是依次计算出a2、a3、a4，找出数字变化的规律．5．观察如图图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第15个图形共有45个★．【分析】根据已知图形得出第n个图形中五角星的个数为3（n+1﹣1）=3n，据此可得．【解答】解：第1个图形为五角星个数为3×（2﹣1）=3，第2个图形为五角星个数为3×（3﹣1）=6，第3个图形为五角星个数为3×（4﹣1）=9，……所以第15个图形为：3×（16﹣1）=45个星，故答案为：45．【点评】此题考查的是图形数字变化类问题，其关键是观察图形分析数字关系找出规律求解．6．用火柴棒按如图方式拼图，第1个图形共用3根火柴棒，第2个图形共用9根火柴棒，第3个图形共用18根火柴棒，……按照这样的方式继续拼图，第n个图形共用n（n+1）根火柴棒．（用含n的代数式表示）【分析】由图可知：第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第②个图形中有18根火柴棒，…依此类推第n个有1+2+3+…+n个三角形，共有3×（1+2+3+…+n）=n（n+1）根火柴；由此代入求得答案即可．【解答】解：∵第①有1个三角形，共有3×1根火柴；第②个有1+2个三角形，共有3×（1+2）根火柴；第③个有1+2+3个三角形，共有3×（1+2+3）根火柴；…∴第n个有1+2+3+…+n个三角形，共有3×（1+2+3+…+n）=n（n+1）根火柴；故选：n（n+1）．【点评】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是发现三角形个数的规律，从而得到火柴棒的根数．7．如图，用火柴棍拼成一排图形：第1个图形用了5根；第2个图形用了9根；第3个图形用了13根，……，那么第n个图形用了4n+1根．【分析】由已知图形得出每增加一个四边形就多4根火柴棍，据此可得．【解答】解：∵图①中火柴棍的个数5=4×1+1，图②中火柴棍的个数9=4×2+1，图③中火柴棍的个数13=4×3+1，……∴第n个图形中火柴棍的个数为（4n+1）根，故答案为：4n+1．【点评】此题主要考查了图形变化类，解题关键根据四边形的个数每增加一个，火柴棒的根数增加4根．8．观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是n2+n+2．【分析】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有2+1×2=4个★，第二个图形中有2+2×3=8个★，第三个图形中有2+3×4=14个★，…，继而可求出第n个图形中★的个数．【解答】解：∵第一个图形有2+1×2=4个，第二个图形有2+2×3=8个，第三个图形有2+3×4=14个，第四个图形有2+4×5=22个，…∴第n个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2．故答案为：n2+n+2．【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．二．解答题（共4小题）9．观察下列各等式：13=1=×11×2213+23=9=×22×3213+23+33=36=×32×42…用你发现的规律解答下列问题：（1）填空：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=×（n）2×（n+1）2（n为正整数）；（2）计算：①13+23+33+…+493+503；②23+43+63+…+983+1003【分析】（1）括号内是两个连续的自然数，最小的数与等号左边的最大底数相同；（2）①根据规律得所有底数和的平方，计算即可；②提公因式23，可得结论．【解答】解：（1）13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=×n2×（n+1）2（n为正整数）；故答案为：n，n+1；（2）计算：①13+23+33+…+493+503；=（1+2+3+…+50）2，=[]2，=12752，=1625625，②23+43+63+…+983+1003，=23（13+23+33+…+503），=8×1625625，=13005000．【点评】此题考查算式的规律，注意结果与等式左边的各个数的关系是解题的关键，并进一步利用规律解决问题．10．如何求1+2+22+23+24+…+263的值呢？可以设s=1+2+22+23+24+ (263)则2s=2（1+2+22+23+24+…+263）=2+22+23+24+…+263+264，两式相减得：s=264﹣1．问题1：求1+3+32+33+34+…+32018问题2：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，试问尖头3盏灯？（注：“红光”指每层都挂着大红灯笼的灯光；“倍加增”指每层灯盏数都是上一层盏数的2倍；“尖头”指它顶层．）【分析】问题1：根据题目信息，设s=1+3+32+33+34+…+32018，表示出3s，再相减计算即可得解；问题2：设尖头有x盏灯，然后列出方程求解即可．【解答】解：问题1：设s=1+3+32+33+34+ (32018)则3s=3（1+3+32+33+34+...+32018）=3+32+33+34+ (32019)两式相减得2s=32019﹣1，s=；问题2：设尖头有x盏灯，由题意得，（27﹣1）x=381，解得x=3，答：尖头有3盏灯．故答案为：3．【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解等比数列的求和方法是解题的关键．11．（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：第1个点阵1+3+1=12+22第2个点阵1+3+5+3+1=22+ 32第3个点阵1+3+5+7+5+3+1=32+ 42（2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式．【分析】（1）根据点阵图即可求解；（2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第n个点阵相对应的等式．【解答】解：（1）第1个点阵1+3+1=12+22，第2个点阵1+3+5+3+1=22+32，第3个点阵1+3+5+7+5+3+1=32+42．故答案为22，32，32，42；（2）第n个点阵相对应的等式为：1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1=n2+（n+1）2．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律．12．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？（2）第几个图形有2 018颗黑色棋子？请说明理由．【分析】根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，根据规律列出式子，即可求解（1）与（2）．【解答】解：（1）图①有2个棋子，2=2×12=2，图②有8个棋子，8=2×22，图③有18个棋子，18=2×32，2×52=50，∴第五个图形有50个黑色棋子；（2）设第n个图形有2018个黑色棋子，得：2×n2=2018，此方程无整数解，∴没有哪个图形有2018颗黑色棋子．【点评】此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．。