分式方程和无理方程
分式方程和无理方程的解法
分式方程和无理方程的解法分式方程是指方程中含有一个或多个分式的方程。
无理方程是指方程中含有无理数的方程。
解分式方程和无理方程的方法有很多，下面我将介绍几种常见的解法。
解分式方程的方法：1.清除分母法：对于只包含一个分子、一个分母的分式方程，可以通过消去分母来解方程。
例如，对于方程1/x-1/(x+1)=1/2，我们可以将方程两边同乘以2x(x+1)，得到2(x+1)-2x=x(x+1)，然后化简方程得到x^2+x-2=0，解这个二次方程可以得到x=-2或x=1，这就是分式方程的解。
2.通分法：对于分式方程中含有多个分母的情况，可以通过通分来化简方程。
例如，对于方程1/(x-1)+3/(x+1)=2/(x^2-1)，我们可以将方程的右边进行通分得到(x-1)/(x+1)(x-1)+3(x+1)/(x+1)(x-1)=2/(x^2-1)，然后化简得到(x-1)+3(x+1)=2，解这个一次方程可以得到x=-1，这就是分式方程的解。
3.代数方法：对于更复杂的分式方程，我们可能需要借助一些代数技巧来解方程。
例如，对于方程(x-1)/(x+2)+(x+1)/(x-2)=2，我们可以先将方程两边都乘以(x+2)(x-2)来消去分母，得到(x-1)(x-2)+(x+1)(x+2)=2(x+2)(x-2)，然后展开并化简方程，最终得到一个一次方程，解这个一次方程可以得到x=-3或x=1，这就是分式方程的解。
解无理方程的方法：1.平方法：对于一些包含平方根的无理方程，可以尝试平方来消去无理数。
例如，对于方程√x+3=5，可以将方程两边都平方，得到x+6√x+9=25，然后将方程整理为一个关于√x的一次方程，解这个一次方程可以得到√x=4或√x=-4，进一步求解得到x=16或x=-16，这就是无理方程的解。
2.分析法：对于一些无理方程，可以利用函数图像的性质进行分析和直观理解。
例如，对于方程√x-1=0，我们可以将方程理解为函数y=√x和y=1的交点，通过观察可知x=1是唯一的交点，因此方程的解为x=13.降低次数法：对于一些无理方程，可以通过一些代数技巧将其转化为一个次数更低的方程。
解方程的常见方法知识点总结
解方程的常见方法知识点总结一、一次方程的解法一次方程是指未知数的指数为1的方程。
解一次方程的常见方法有：1. 相加相减法：通过加减运算来消去未知数的系数，得到方程的解。
2. 乘法法则：通过乘法运算来消去未知数的系数，得到方程的解。
3. 代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，求解未知数的值。
4. 变量转移法：通过将未知数的系数移到等号另一边，得到方程的解。
二、二次方程的解法二次方程是指未知数的指数为2的方程。
解二次方程的常见方法有：1. 因式分解法：将二次方程因式分解后，令各因式等于零，得到方程的解。
2. 公式法：使用二次方程的求根公式，直接计算出方程的解。
3. 完全平方式：将二次方程转换为完全平方式，求解方程的解。
4. 提取根号法：通过提取未知数的平方根，得到方程的解。
三、分式方程的解法分式方程是指未知数出现在分式中的方程。
解分式方程的常见方法有：1. 通分法：将分式方程的分母通分，然后进行运算，求解未知数的值。
2. 消元法：通过消去分式方程的分母，将方程转化为一次方程来求解。
3. 变量替换法：通过引入新的变量或替换未知数，将分式方程转化为一次方程或二次方程进行求解。
四、绝对值方程的解法绝对值方程是指方程中含有绝对值符号的方程。
解绝对值方程的常见方法有：1. 分类讨论法：根据绝对值的定义，分别讨论绝对值内外的正负情况，得到方程的解。
2. 去绝对值法：将方程的绝对值拆分成正负两部分，得到多个方程，分别求解并取并集。
五、方程组的解法方程组是指多个方程同时出现的一组方程。
解方程组的常见方法有：1. 消元法：通过消去方程组中的未知数，将方程组转化为简化的方程组来求解。
2. 代入法：通过将一个方程的解代入另一个方程中，求解未知数的值。
3. 变量替换法：通过引入新的变量或替换未知数，将方程组转化为简化的方程组进行求解。
六、无理方程的解法无理方程是指方程中含有无理数（如根号）的方程。
解无理方程的常见方法有：1. 平方去根法：通过平方运算，将方程中的根号消去，得到方程的解。
解无理或分式方程是否必须验根
OCCUPATION972011 7解无理或分式方程是否必须验根文/黄春山教材是教学的依据，应该是教师可以放心地教，学生可以放心地学，没有知识性错误。
但对于在全国各类成人高等学校招生考试教材理工农医类（中国社会出版社）第１０页中的解方程练习题目的答案解析，笔者不敢苟同。
原题目是：解方程１．2310x x −−= （无理方程） ２．271122x x x x x −=+−−− （分式方程）题１类题目是无理方程，解法很多，常用的方法是，在方程两边同时乘方，去根号或利用换元法转化为有理方程。
解无理方程的基本思想是将无理方程转化为有理方程。
此教材的参考答案的解法为换元法。
题２类题目是分式方程，常见解法有因式分解法、去分母法、换元法，解题思想是将原分式方程整式化。
此教材的参考答案的解法为去分母法。
教材中的标准答案：１．解：23560x x −+=令y 原方程化为260y y −−= （２）解得12,3y y =−=12y =−2−，不合理，舍去 （３）ｙ２3 （４）即ｘ２解得ｘ１＝－１， ｘ２ ＝ ４ ；经验证ｘ１＝－１， ｘ２ ＝ ４都是原方程的根。
２．解：原方程两边同乘以（ｘ＋１）（ｘ－２） （６）得ｘ（ｘ－２）－７＝－（ｘ＋１） （７）即ｘ２－ｘ－６＝０ 解得ｘ１＝－２ ， ｘ２＝ ３；经验证ｘ１＝－２ ，ｘ２＝３都是原方程的根 （８）注：此处两个方程分别为无理方程和分式方程，故需验根。
我们要谈的主要是答案的最后的“注：此处两个方程分别为无理方程和分式方程，故需验根。
”是否无理方程和分式方程的验根是必需的？笔者认为是并非必需的。
在初中教材中只是要求掌握会用平方或换元法求无理方程的根，并会验根，要求验根的原因在于方程两边同乘方若干次数，有可能产生的增根；对于分式方程，要求掌握用去分母或换元法求不超过三个分式构成的分式方程的根解法，并会验根，验根的原因是在于为去分母而两边同乘的式子可能导致增根产生；而验根的本质也就是将多余的增根去掉，显然也是必不可少的。
分式方程和无理方程
方 法
1.在分式方程两边同乘以最简公分母， 在分式方程两边同乘以最简公分母， 在分式方程两边同乘以最简公分母 可把分式方程化为整式方程 2.换元可以使解方程的过程变得简便 换元可以使解方程的过程变得简便 换元 3. 解分式方程时应注意检验 解分式方程时应注意检验
提 炼
一化二解三检验
三、无理方程的解法
2
x +2 =1 2 2x − 1
2
典
即 7x −1 = 0 或 x − 3 = 0
2
型 例 题
2Байду номын сангаас
解得
7 7 x1 = − , x3 = − 3 , x 4 = 3 , x2 = 7 7
经检验 以上均为原方程的根 以上均为原方程的根. 换元可以使运算变得简便
典
例5 已知关于
x −1 x − 2 2x + a − = 的解为负数 x − 2 x + 1 ( x − 2)( x + 1)
x2 = 22 是增根 是增根.
方程一边出现两个根号时要先移项. 方程一边出现两个根号时要先移项
解无理方程的思路是： 解无理方程的思路是：
无理 方程 去根号
有理 方程
解无理方程的一般步骤
1、将方程的两边平方，化成有理方程.有时要先 将方程的两边平方，化成有理方程. 平方 有理方程 移项，再平方 移项， 2、解这个有理方程. 解这个有理方程. 3、把有理方程的解代入原方程检验 4、写出原方程的根. 写出原方程的根.
解分式方程的思路是： 解分式方程的思路是：
分式 方程 去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 最简公分母 化成整式方程. 化成整式方程. 整式方程 2、解这个整式方程. 解这个整式方程. 3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 把整式方程的解代入最简公分母， 最简公分母 不为0 则整式方程的解是原分式方程的解； 分母的值不为 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根. 写出原方程的根.
【免费下载】初高中数学衔接内容第七讲 分式方程和无理方程的解法
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
分式方程与无理方程
5分式方程与无理方程分母含有未知数的方程叫分式方程，解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有：直接去分母，换元法等.根号内含有未知数的方程叫无理方程，解无理方程的主要思路是去掉根号，把无理方程化为有理方程，常用的方法有：乘方法、换元法、配方法等.在解分式方程、无理方程中，有可能产生增根，尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根，挖掘隐含条件。
例1 若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是________.解题思路 化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约.例2 x =-有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（ ）A. P>－1B. P ≤0C. －1<P ≤0D. －1≤P<0解题思路 将无理方程转化为有理方程，要准确求出P 的范围，还应由二次根式的性质去发现隐含的根的特性.例3 解下列方程（1）5968419221;19968x x x x x x x x ----+=+----（2）22223411;2283912x x x x x x x x ++-+=+-+（3）22()31x x x +=+解题思路 由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母，需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解.例4 解下列方程（11=（2=解题思路 仔细观察被开方数、分子分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口。
在解无理方程时常用的换元法有： （1）局部代换；（2）整体代换；（3）利用倒数关系找换；（4）构造对偶式代换.例5 若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解.解题思路 化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题.练习一1. 若关于x 的方程11ax x +-－1＝0有增根，则a 的值为________. 2. 方程2x ＋21x－3（x+1x ）＋4＝0的解为________.3. ＝12x －a 有一个根是2，则a ＝_______.4. 方程2x ＋3x －2337x x +-＝9的全体实数根的积为_________.5.已知方程x ＋1x ＝a ＋1a 的两根分别为a ，1a ，则方程x ＋11x -＝a ＋11a -的根是（ ）A. a ，11a - B. 11a -，a －1 C. 1a ，a －1 D. a ，1a a -6. 给出下列四个结论，①2没有实数根；②解方2()1x x -－2（1xx -）－3＝0时，若设1xx -=y ，则原方程变形为y 2－2y －3＝0；③存在这样的两个实数a 、b＋a ≠0时，关于x 的方程ax ＝b 总有实数根，其中正确的有（ ）.A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④7. 若m 是方程2x 2＋7x ＋21的所有实数解之和，则m 的值是（ ）.A. 112-B. 72- C. －7 D. －118. 已知关于x x =有一个根为1，那么它的另一个根为（ ）.A. －1B. 0C. 2D. 39. 解下列方程（1103=；（2）2216104()933x x x x+=--10. 若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值.11. 已知关于x 的方程22212022m x x x x m-++=+-，其中m 为实数，当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根.练习二1. 方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是______.2. 方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为_________3. 方程｜x －1992＝1992的实数根是_______.4. 设m 为正数且关于x x m =+有实数解，则m 的取值范围是________.5. 方程33116()x x x x+=+的解的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 2 D. 36. 3的所有解的和为（ ）.A. 4B. 3C. 2D. 07. x =有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（ ）.A. P ≤0B. P<14 C. 0≤P<14 D. P ≥148. 设正整数a ，m ，n =a 、m 、n 的取值是（ ）A. 有一组B. 有二组C. 多于二组D. 不存在9. 解下列方程（1）222212219;116x x x x x x x +++++=+++（2=（a 为不等于0的常数）10. 已知关于x 的方程25()56a ax x x x+--=-有两个根相等.求a 的值.11. 已知关于x 的方程22(1)()(27)()1011x xa a x x --++---有实数根。
分式方程和无理方程
分式方程和无理方程知识点总结一．分式方程、无理方程的相关概念：1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2．无理方程：根号内含有未知数的方程。
（无理方程又叫根式方程）3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。
二．分式方程与无理方程的解法：1．去分母法：用去分母法解分式方程的一般步骤是：①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。
在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。
2．换元法：用换元法解分式方程的一般步骤是：②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想；③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解；④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。
解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。
三．增根问题：1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的增根。
2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。
3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为0。
解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。
常见考法（1）考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主；（2）分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。
误区提醒（1）去分母时漏乘整数项；（2）去分母时弄错符号；（3）换元出错；（4）忘记验根。
【典型例题】。
分式方程_无理方程和高次方程地解法讲练
第一讲分式方程(组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．例1 解方程解令y=x2＋2x-8，那么原方程为去分母得y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0，y2-4xy-45x2=0，(y+5x)(y-9x)=0，所以 y=9x或y=-5x．由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1．经检验，它们都是原方程的根．例2 解方程y2-18y+72=0，所以 y1=6或y2=12．x2-2x＋6=0．此方程无实数根．x2-8x+12=0，所以 x1=2或x2=6．经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根．例3 解方程分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为整理得去分母、整理得x＋9=0，x=-9．经检验知，x=-9是原方程的根．例4 解方程分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为即所以((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)．例5 解方程分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为整理得去分母得x2＋9x-22＝0，解得 x1=2，x2=-11．经检验知，x1=2，x2=-11是原方程的根．例6 解方程次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为所以x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3．例7 解方程分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为当x≠0时，解得x=±1．经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．例8 解方程解将原方程变形为例9 解关于x的方程将x1=a-2b或x2=b-2a代入分母b+x，得a-b或2(b-a)，所以，当a≠b时，x1=a-2b及x2=b-2a都是原方程的根．当a=b时，原方程无解．例10 如果方程只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2-2x+(a+4)=0．①原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即△=4-4·2(a+4)=0．(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．(i)当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=-4．这时方程①的另一个根是x=1(因为2x2-2x=0，x(x-1)=0，x1=0或x2＝1．而x1＝0是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．(ii)当x=2时，代入①式，得2×4-2×2＋(a+4)=0，即a=-8．这时方程①的另一个根是x=-1(因为2x2-2x-4=0．(x-2)(x+1)=0，所以x1=2(增根)，x2=-1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是练习一1．填空：(3)如果关于x的方程有增根x=1，则k=____．2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解方程7．m是什么数值时，方程有根？第二讲无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．例1 解方程解移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x2＋3x-28＝0，所以 x1=4，x2=-7．经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．例2 解方程方公式将方程的左端配方．将原方程变形为所以两边平方得3x2+x=9-6x＋x2，两边平方得3x2+x=x2＋6x＋9，例3 解方程即所以移项得例4 解方程解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为配方得利用非负数的性质得所以 x=1，y=2，z=3．经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．例5 解方程所以将①两边平方、并利用②得x2y2＋2xy-8=0，(xy＋4)(xy-2)=0．xy=2．③例6 解方程解观察到题中两个根号的平方差是13，即②÷①便得由①，③得例7 解方程分析与解注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．设则u2-v2＝w2-t2，①u+v=w+t．②因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得u-v=w-t．③②＋③得u=w，即解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的根．例8 解方程整理得y3-1=(1-y)2，即(y-1)(y2+2)=0．解得y=1，即x=-1．经检验知，x=-1是原方程的根．整理得y3-2y2+3y=0．解得y=0，从而x=-1．例9 解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2．解得x=±2a．经检验，x=±2a是原方程的根．练习二1．填空：2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解关于x的方程第三讲简易高次方程的解法在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答．例1 解方程x3-2x2-4x＋8=0．解原方程可变形为x2(x-2)-4(x-2)=0，(x-2)(x2-4)=0，(x-2)2(x+2)=0．所以x1＝x2＝2，x3=-2．说明当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样=0可化为bkx3+bx2+dkx+d=0，即 (kx+1)(bx2+d)=0．方程ax4+bx3+cx+d=0也可以用类似方法处理．例2 解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．设(y-9)(y+9)=19，即y2-81＝19．说明在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．例3 解方程(6x＋7)2(3x+4)(x+1)=6．解我们注意到2(3x+4)=6x＋8=(6x+7)+1，6(x+1)=6x＋6=(6x＋7)-1，所以利用换元法．设y=6x＋7，原方程的结构就十分明显了．令y=6x＋7，①由(6x＋7)2(3x＋4)(x＋1)=6得(6x＋7)2(6x＋8)(6x＋6)=6×12，即y2(y＋1)(y-1)=72，y4-y2-72＝0，(y2＋8)(y2-9)=0．因为y2＋8＞0，所以只有y2-9=0，y=±3．代入①式，解得原方程的根为例4 解方程12x4-56x3+89x2-56x+12=0．解观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由例5 解方程解方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式．所以经检验，x1=-1，x2=2是原方程的根．例6 解方程(x+3)4+(x+1)4=82．分析与解由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设于是原方程变为(y＋1)4＋(y-1)4＝82，整理得y4+6y2-40=0．解这个方程，得y=±2，即x+2=±2．解得原方程的根为x1=0，x2=-4．说明本题通过换元，设y=x＋2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如(x＋a)4＋(x+b)4=c例7 解方程x4-10x3-2(a-11)x2＋2(5a+6)x+2a+a2=0，其中a是常数，且a≥-6．解这是关于x的四次方程，且系数中含有字母a，直接对x求解比较困难(当然想办法因式分解是可行的，但不易看出)，我们把方程写成关于a的二次方程形式，即a2-2(x2-5x-1)a+(x4-10x3＋22x2+12x)=0，△=4(x2-5x-1)2-4(x4-10x3＋22x2＋12x)=4(x2-2x+1)．所以所以a=x2-4x-2或a=x2-6x．从而再解两个关于x的一元二次方程，得练习三1．填空：(1)方程(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)=24的根为_______．(2)方程x3-3x＋2=0的根为_____．(3)方程x4+2x3-18x2-10x+25=0的根为_______．(4)方程(x2+3x-4)2＋(2x2-7x＋6)2=(3x2-4x+2)2的根为______．2．解方程(4x＋1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x4．3．解方程x5＋2x4-5x3＋5x2-2x-1=0．4．解方程5．解方程(x+2)4+(x-4)4=272．6．解关于x的方程x3+(a-2)x2-(4a+1)x-a2＋a+2=0．第四讲有关方程组的问题在教科书上，我们已经知道了二元一次方程组、三元一次方程组以及简单的二元二次方程组的解法．利用这些知识，可以研究一次函数的图像、二次函数的图像以及与此有关的问题．本讲再介绍一些解方程组的方法与技巧．1．二元二次方程组解二元二次方程组的基本途径是“消元”和“降次”．由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二次方程组在中学阶段只研究它的几种特殊解法．如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项．例1 解方程组解②×2-①×3得4x＋9y-6＝0．方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数．例2 解方程组解②×(-2)+①得3y2+3y-6=0，所以 y1=1，y2=-2．解方程组与得原方程组的解方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解．例3 解方程组解由②得(2x+y)(x-2y)=0，所以2x+y=0或x-2y=0．因此，原方程组可化为两个方程组与解这两个方程组得原方程组的解为如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解．例4 解方程组解由①-②×2得x2-2xy-3y2=0，即 (x+y)(x-3y)=0，所以 x＋y=0或x-3y=0．分别解下列两个方程组得原方程组的解为2．二元对称方程组方程中的未知数x，y互换后方程保持不变的二元方程叫作二元对称方程．例如x2-5xy＋y2-3x-3y=7，等都是二元对称方程．由二元对称方程组成的方程组叫作二元对称方程组．例如等都是二元对称方程组．我们把叫作基本对称方程组．基本对称方程组通常用代入法或韦达定理求解．例5 解方程组解方程组中的x，y分别是新方程m2-5m+4=0的两个解．解关于m的一元二次方程得m1=1，m2=4，所以原方程组的解是这个方程组亦可用代入法求解(略)．由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x+y和xy表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用x＋y和xy 作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组．例6 解方程组解原方程组可变形为①×2＋②得令u=x＋y，则即而方程组无实数解．综上所述，方程组的解为例7 解方程组分析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式．解由①得xy=16．④由②，④可得基本对称方程组于是可得方程组的解为例8 解方程组分析本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程x-y=0，从而使方程降次化简．解①-②，再因式分解得(x-y)(x+y-10)=0，所以 x-y-0或x＋x-10=0．解下列两个方程组得原方程组的四组解为例9 解方程组解法1用换元法．设4x＋5=A，4y+5=B，则有即③-④并平方得整理得所以因此A-B=0或分别解下列两个方程组与经检验，A=B=9适合方程③，④，由此得原方程组的解是解法2①-②得即所以x-1与y-1同号或同为零．由方程①得所以x-1与y-1不能同正，也不能同负．从而x-1=0，y-1=0．由此解得经检验，x=1，y=1是方程组的解．练习四1．填空：(1)方程组的解有_____组．(2)若x，y是方程组(3)已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，则2a+c=_____．(4)已知实数x，y，z满足方程组则xyz=________．2．解方程组：3．设a，b，c，x，y，z都是实数．若4．已知一元二次方程a(x＋1)(x+2)+b(x+2)(x＋3)＋c(x＋3)(x＋1)=0 有两根0，1，求a∶b∶c．5．(1)解方程组。
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天材教育学科教师辅导讲义
分式方程
【知识梳理】
A
1.分式概念：若A、B表示两个整式，且B中含有字母，则代数式一叫做分式.
B
2•分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分：
3 .分式运算
4•分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程.
5. 了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根.
【思想方法】
1. 类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）
2. 检验
【例题精讲】
八“x22x 1 x 1
1.化简：22
X 1 XX
2
x 2x 2x 4 卄亠小匚
2 •先化简，再求值：2x 2 ，其中x 2 V2 .
x24 x 2
1 x
3 •先化简（1 ）2x，然后请你给x选取一个合适值，再求此时原式的值.
x 1 x 1
「小 5 1 - x 2 x 2 16
4 •解下列万程（1） 2 20 （2）2
x 3x x x x 2 x 2 x 4
则根据题意所列方程正确的是()
312 312 d312 312 ,
=1 _ = 1 A. x x—2& B.兀+ X
巫-匹=1 21L-竺"
c.工X十% D. X—2戌X
(二) 无理方程
【一】知识梳理：
1、无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.
2、有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数
方程.
3、解无理方程基本思路：通过乘方，把无理方程转化为有理方程.
4、无理方程的增根：(解无理方程验根的必要性)
乘方之后所得整式方程的根，代入原无理方程检验得不是原无理方程的根.
5、解分式方程基本步骤：
① 去根号，把无理方程化为有理方程；『例题选讲〗
」、选择：
1、下列方程中，不是无理方程的是(
)
(A) “x 1 x ；(B) 、2x .3 1 ；
2、下列方程中，有实数根的方程是(
(A)、x2 1 0 ；(B) x 2 0 ；
2
3、下列正确的是( )
(A)方程x 2x 3的根是1和3;
(C)方程x 1 7 x的根是x 10;
4、方程x2 4x 4 x 2的根的情况是(
(A)无实数根；(B)只有x=2 一个根；习题：
一.填空题：
1 .方程口1分式方程.(填
② 解这个有理方程；③ 验根；④写出原方程的根.
(C) . x2 2 . x 1 1 ；(D) 2x , 3 x 1 .
(C) x 1 2 ；(D)、x 1 T x 2.
(B)方程i x2 2x 1 4 0的根是x=5；
(D) 方程.、2y 3 y的根是y 1 .
)
(C)有无数多个实数根；(D)只有两个实数根. “是”或“不是”)
2.
3.
4. 分式方程!£ 竺的根是______________
x x 1
如果代数式X 1的值是2，那么x =
x 3 3
2
方程 1 0 _______
x V2 <3 1
无理方程•（填“是”或“不是”）
5.
6.
方程x2已知线段
7 . 分式方程
16 3的解是___________________ .
AB=10cm点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP则AP=
7 3
2 2
x x x
的最简公分母是
1
8. 分式方程8(x22x)
x2 1
3x2 3
2 x 2x
11，如果设
cm.
x：2x y，那么原方程可以化为
x 1
9. 已知：I n R(nR
180 0 ），
则R= .（用n、丨的代数式表示
R）
10.用换元法解无理方程x2 5x 2° x2 5x 1 2，如果设.x2 5x 1 y，则原方程可以化为
11
. 12
.在解分式方程时，可以通过去分母或换元法将它转化为整式方程，体现了
无理方程* x 2 4 0无解的依据是_________________________________ .
数学思想.
13
. 14
.已知点P的坐标为（x, 3）,A（4，- 1）,如果PA=6,那么可得到方程分式方程1
15 .如果1 4
x
16 .已知方程x
x -
1
4
2
x
1
17 .
x 在解分式方程时, 法来解.
18
.R1 19
.
当x=
20
.
1的解x =
2
那么2的值是____________________ .
x
1 1 1
一的两根分别为a、-，则方程x
a a x 1
1
a -------- 的根是
a 1
除了用去分母方法以外，对于某些特殊的分式方程，还可以用（R R2），如果用R、R表示R,则R=
时，代数式—7x
_4x
与釦卫的值互为倒数.
x 3 5
方程-x 50 .x 20 0的根是; 方程（x 50）（x 20）0的根是
21.某数的正的平方根比它的倒数的正的平方根的10倍多3，如设某数为x，贝U可列出方程
22.已知<x 1 vy 2 0,则xy= __________________
23. ____________________________________________________
解分式方程二2 工产生增根，则m= _________________________
x 3 x 3
24. 方程x 2的根是 ___________________ .
25.方程x 0的解是 ____________________
26.若代数式害的值为。
，则x= ----------------------------------
27. 解分式方程x2—3(x 2)，如果设x - y，原方程则可以化为_______________
x x x
5
28. 方程x - 6的解是_________________________ .
x
一.选择题：
1 •方程X? 40的根是
2 x
(A) x 1=2, X2=—2; (B) x 1=2;
1 2
2. 方程1 2的根是
x 1 x 2
(A) X1=1,X2=2; (B) x =1;
3. 下列方程中，有实数解的是(C) x = —2; (D) 以上答案都不对•
( )
(C) x =2; (D) x =0.
( )
x; (D) . x 5 x 1 0.
4.设y=x2+x+1.则方程x2x 122可化为
x x
(
(A) y 2—y —2=0;
2
(B) y +y+2=0;(C) y 2+y—2=0;(D) y 2—y+2=0.
5.分式方程9609604的解是(
x x 20
(A) x=60; (B)x= —80; (C)x 1=60, X2= —80;(D) x 1= —60, X2=80 (A) x 2 1 0;(B) 3 x x 4 ;(C) x 2
简答题: ) )
1. 解方程(一^)25(—^) 6 0
x 1 x 1
1 4x 2
2. ------------------------------------解方程-4x 1
x 2 x 4 2 x
3 .用换元法解方程x2 3x x x2 3x 5 1
3 1 13
4.解方程组3x 2y 4x y
4 6
3x 2y y 4x 12 3。