分式方程和无理方程
分式方程和无理方程的解法
分式方程和无理方程的解法分式方程是指方程中含有一个或多个分式的方程。
无理方程是指方程中含有无理数的方程。
解分式方程和无理方程的方法有很多，下面我将介绍几种常见的解法。
解分式方程的方法：1.清除分母法：对于只包含一个分子、一个分母的分式方程，可以通过消去分母来解方程。
例如，对于方程1/x-1/(x+1)=1/2，我们可以将方程两边同乘以2x(x+1)，得到2(x+1)-2x=x(x+1)，然后化简方程得到x^2+x-2=0，解这个二次方程可以得到x=-2或x=1，这就是分式方程的解。
2.通分法：对于分式方程中含有多个分母的情况，可以通过通分来化简方程。
例如，对于方程1/(x-1)+3/(x+1)=2/(x^2-1)，我们可以将方程的右边进行通分得到(x-1)/(x+1)(x-1)+3(x+1)/(x+1)(x-1)=2/(x^2-1)，然后化简得到(x-1)+3(x+1)=2，解这个一次方程可以得到x=-1，这就是分式方程的解。
3.代数方法：对于更复杂的分式方程，我们可能需要借助一些代数技巧来解方程。
例如，对于方程(x-1)/(x+2)+(x+1)/(x-2)=2，我们可以先将方程两边都乘以(x+2)(x-2)来消去分母，得到(x-1)(x-2)+(x+1)(x+2)=2(x+2)(x-2)，然后展开并化简方程，最终得到一个一次方程，解这个一次方程可以得到x=-3或x=1，这就是分式方程的解。
解无理方程的方法：1.平方法：对于一些包含平方根的无理方程，可以尝试平方来消去无理数。
例如，对于方程√x+3=5，可以将方程两边都平方，得到x+6√x+9=25，然后将方程整理为一个关于√x的一次方程，解这个一次方程可以得到√x=4或√x=-4，进一步求解得到x=16或x=-16，这就是无理方程的解。
2.分析法：对于一些无理方程，可以利用函数图像的性质进行分析和直观理解。
例如，对于方程√x-1=0，我们可以将方程理解为函数y=√x和y=1的交点，通过观察可知x=1是唯一的交点，因此方程的解为x=13.降低次数法：对于一些无理方程，可以通过一些代数技巧将其转化为一个次数更低的方程。
分式的基本特征范文
分式的基本特征范文分式是一种形式的数学表示，用来表示一个数与另一个数的比值。
分式通常由一个分子和一个分母组成，分子在分式的上面，分母在分式的下面，两者之间用一条横线分隔。
分式的基本特征包括有理数分式、无理数分式、分式的化简、分式的运算和分式方程。
有理数分式是指分子和分母都是有理数的分式，可以用整数的比值来表示。
例如，1/2、3/4、5/6等都是有理数分式。
无理数分式是指分母或分子中包含有无理数的分式，例如√2/3、3/√5等。
有理数分式和无理数分式都属于分式的范畴。
分式的化简是指将一个分式化简为最简形式，即将分子和分母的公因数约掉，以得到一个最简分式。
例如，将2/4化简为1/2，将6/9化简为2/3等。
分式的化简可以帮助我们更容易地进行运算和比较。
分式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
对于分式的加法和减法，需要找到一个公共分母，然后将分子相加或相减即可。
对于分式的乘法，将分子相乘、分母相乘即可。
对于分式的除法，将除数取倒数，然后进行乘法即可。
分式的运算可以通过化简的方式来简化复杂的计算过程。
分式方程是带有分式的方程，其中未知数出现在一个或多个分式中。
解分式方程的一般步骤是去分母，然后解得未知数的值。
解分式方程可以帮助我们求解一些复杂的实际问题，例如比例问题、速度问题等。
在分式的运算中，需要注意的是要避免出现分母为零的情况，因为分式中的分母不能为零。
另外，在化简和计算的过程中，需要注意运用各种数学运算定律和分式运算法则，以确保计算的准确性和有效性。
总之，分式是数学中常见的数学表示形式，具有一定的特征和规律。
掌握分式的基本特征和运算方法，可以帮助我们更好地理解分式的含义和运用，提高数学解题的能力和技巧。
创新学校中考总复习数学通用辅导材料初三复习基本训练卷--分式方程和无理方程(A)
一． 填空题：1．方程13=+πx _____________分式方程.（填“是”或“不是”） 2．分式方程11510+=x x 的根是___________________. 3．如果代数式31--x x 的值是32，那么x =______________. 4．方程011322=--+-xx x _____________无理方程.（填“是”或“不是”） 5．方程3162=-x 的解是__________________.6．已知线段AB=10cm,点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP,则AP=_______cm.7．分式方程1837222-=-++x x x x x 的最简公分母是______________. 8．分式方程112331)2(82222=+-+-+x x x x x x ，如果设y x x x =-+1222，那么原方程可以化为_______________.9．已知：0(180≠=nR R n l π)，则R=______________.（用n 、l 的代数式表示R ） 10． 用换元法解无理方程2152522=++-+x x x x ，如果设y x x =++152，则原方程可以化为_______________.11． 在解分式方程时，可以通过去分母或换元法将它转化为整式方程，体现了___________数学思想.12． 无理方程042=+-x 无解的依据是_________________________.13． 已知点P 的坐标为(x ，3),A(4，－1),如果PA=6,那么可得到方程_______________.14． 分式方程111=-⋅-xx x 的解x =________________. 15． 如果04412=+-x x ，那么x2的值是__________________. 16． 已知方程a a x x 11+=+的两根分别为a 、a 1，则方程1111-+=-+a a x x 的根是__________________.17． 在解分式方程时，除了用去分母方法以外，对于某些特殊的分式方程，还可以用______________法来解.18． 如果)(111221R R R R R ≠+=，如果用R 、R 2表示R 1,则R 1=_____________. 19． 当x=____________时，代数式3472--x x x 与534+x 的值互为倒数. 20． 方程02050=+⋅-x x 的根是____________；方程0)20)(50(=+-x x 的根是________________.21． 某数的正的平方根比它的倒数的正的平方根的10倍多3，如设某数为x ，则可列出方程_________________________.22． 已知021=++-y x ，则xy =_________________.23． 解分式方程331-=--x m x x 产生增根，则m=________________. 24． 方程22=-+x x 的根是__________________.25． 方程032=+-x x 的解是___________________.26． 若代数式4162--x x 的值为0，则x=______________. 27． 解分式方程)2(3422x x x x +=+，如果设y x x =+2，原方程则可以化为______. 28． 方程65=+xx 的解是___________________. 二． 选择题：1．方程0242=--xx 的根是 （ ） (A) x 1=2,x 2=－2; (B) x 1=2; (C) x =－2; (D) 以上答案都不对.2．方程2211-=-x x 的根是 （ ） (A) x 1=1,x 2=2; (B) x =1; (C) x =2; (D) x =0.3．下列方程中，有实数解的是 （ ） (A) 012=+-x ;(B) 43-=-x x ;(C) x x -=+2; (D) 015=++-x x .4．设y=x 2+x +1,则方程xx x x +=++2221可化为 （ ） (A) y 2－y －2=0; (B) y 2+y+2=0; (C) y 2+y －2=0; (D) y 2－y+2=0.5．分式方程420960960=+-x x 的解是 （ ） (A) x =60; (B) x =－80; (C) x 1=60,x 2=－80; (D) x 1=－60,x 2=80.三． 简答题：1．解方程06)1(5)1(2=++++x x x x2．解方程12244212=-+-++xx x x3．33=-+x x4．用换元法解方程153322=++-+x x x x5．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=-++346234121341233xy y x y x y x。
解无理或分式方程是否必须验根
OCCUPATION972011 7解无理或分式方程是否必须验根文/黄春山教材是教学的依据，应该是教师可以放心地教，学生可以放心地学，没有知识性错误。
但对于在全国各类成人高等学校招生考试教材理工农医类（中国社会出版社）第１０页中的解方程练习题目的答案解析，笔者不敢苟同。
原题目是：解方程１．2310x x −−= （无理方程） ２．271122x x x x x −=+−−− （分式方程）题１类题目是无理方程，解法很多，常用的方法是，在方程两边同时乘方，去根号或利用换元法转化为有理方程。
解无理方程的基本思想是将无理方程转化为有理方程。
此教材的参考答案的解法为换元法。
题２类题目是分式方程，常见解法有因式分解法、去分母法、换元法，解题思想是将原分式方程整式化。
此教材的参考答案的解法为去分母法。
教材中的标准答案：１．解：23560x x −+=令y 原方程化为260y y −−= （２）解得12,3y y =−=12y =−2−，不合理，舍去 （３）ｙ２3 （４）即ｘ２解得ｘ１＝－１， ｘ２ ＝ ４ ；经验证ｘ１＝－１， ｘ２ ＝ ４都是原方程的根。
２．解：原方程两边同乘以（ｘ＋１）（ｘ－２） （６）得ｘ（ｘ－２）－７＝－（ｘ＋１） （７）即ｘ２－ｘ－６＝０ 解得ｘ１＝－２ ， ｘ２＝ ３；经验证ｘ１＝－２ ，ｘ２＝３都是原方程的根 （８）注：此处两个方程分别为无理方程和分式方程，故需验根。
我们要谈的主要是答案的最后的“注：此处两个方程分别为无理方程和分式方程，故需验根。
”是否无理方程和分式方程的验根是必需的？笔者认为是并非必需的。
在初中教材中只是要求掌握会用平方或换元法求无理方程的根，并会验根，要求验根的原因在于方程两边同乘方若干次数，有可能产生的增根；对于分式方程，要求掌握用去分母或换元法求不超过三个分式构成的分式方程的根解法，并会验根，验根的原因是在于为去分母而两边同乘的式子可能导致增根产生；而验根的本质也就是将多余的增根去掉，显然也是必不可少的。
分式方程、无理方程及应用题解析训练
分式方程、无理方程及应用题解析训练【例题精选】例1：解方程1、211112x x -++= 2、31132x x +-=-分析：第一个方程是分式方程，要先化为整式方程去解，因此可以用去分母的一般解法去解，特别注意，方程两边各项都要乘以公分母．第二个方程是个无理方程，也要变为有理方程去解，可以将含根号的式子留在一边，其它移到另一边，用两边平方的方法去掉根号． 解：1、211112x x -++= 两边同乘以(x+ 1)(x －1)()()()()()21112112021022+-=+-+-=---=-+=x x x x x x x x x解得：x x 1221==-,解：2、31132x x +-=- 变形为 31132x x +=-两边平方 ()311322x x +=-()∴+=-+-=-=31169660610222x x x x x x x 解得经检验：x = 1是增根，原方程解为x = 0．说明：分式方程与无理方程的解法中，验根是必不可少的步骤之一，验根不是写一下的形式，而要实实在在的带入去检验，如方程（2）中，当x = 1时，右边为－2，而左边是算术根，应大于等于零，因此是增根，检验分式方程时，只有分母不为零就可以了．例2：用换元法解方程：19291+-+=x x x分析：若用两边平方去根号有两个根号很烦，题目又指定了用换元法，因此要考虑如何换元，将根式内化简，199+=+x x x．而另一根号为x x +9，是互为倒数关系，因此可以找出如何换元的方法了．解：19291+-+=x x x 原方程变形为x x x x +-+=9291 设x x y x x y +=+=991,则 原方程变形为 y y-=21 ()()∴--=-+===-=+=+=+===-+=-y y y y y y y x x x xx x x y x x 21212202102129294943191,,,,,当时解得当时，此方程无解经检验x = 3是原方程的根．说明：特别注意求出y 值后没有求完，而要再求x 值． 例3：用换元法解方程：243261522x x x x -+-+= 分析：用换元法解无理方程时，一般设根号内整体为一个新的未知数，这样可变为有理方程，再去解．解：原方程中设x x y x x y 2222626-+=-+=,则 原方程变形为241232627022x x x x -++-+-=()()∴+-=-+===-=-+=∴-+=--===-=--+=-23270329039232632692303192269221212221222y y y y y y y x x x x x x x x y x x 解得由即解得由得此方程无解,,,,,,经检验，x x 1231==-,是原方程的解． 例4：甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发匀速相向而行，在距A 地7千米的地方相遇，相遇后各自以原来的速度按原方向继续前进，甲到B 地，乙到A 地后，立即返回，两人又在距B 地4千米的地方相遇，求A 、B 两地间距离．分析：这个题目中已知数据比较少，可以用图示法先表示出数量间关系，由两次相遇可得出它们每次同时出发到相遇，所用时间相同，因此可以用时间相同列等量关系，而题中又没表示出速度，可以设速度为一个中间变量，列方程就简单多了，因此引进辅助未知数也是常用的方法之一，它可以使数量间关系变得更为简明．解：设A 、B 两地距离为x 千米，甲速为a 千米/小时，乙速为b 千米/小时．由题意7744a x b x a x x b =-+=+-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 整理为77424x a b x x ab -=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ ()∴-=+--=-===7742417010017212x x x x x x x x x 解得,经检验x = 0不合题意舍去，x = 17是原方程的解．答：A 、B 两地间距离为17米．例5：一容器装满纯药液20升，第一次倒出若干升后用水加满，第二次又倒出同样多液体，又用水加满，此时，桶内药液浓度为25%，求每次倒出多少药液？分析：可设每次倒出药液为x 升，将两次的倒出药液剩药及浓度进行分析，如第一次倒出药x 升，剩药20－x ，浓度为2020100%-⨯x ，第二次倒出药2020-⋅x x ，剩药202020---x x x ，此时浓度为20202020---x x x ，这样就找到了等量关系．2020202025%4030003010212---=-+===x x x x x x x 解得, 经检验x 1 = 30不合题意舍去，∴ x = 10是原方程的解．答：每次倒出药液为10升．说明：分析两次倒药液情况，可以列出表格来，将所列各项填入，这样使等量关系更加清楚了．例6：小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入少儿银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可以得到本金加利息共6元，求这种存款的年利率．分析：近些年来，由于商品经济的发展，不少联系实际的应用题，其中存款利率就是其中的一种，利率与本金利息之间存在一定的固定关系，本金×利率 = 利息，要按照题意，找到相应的等量关系．解：设这种存款的年利率为x ， ()[]()()()()()1001501661001501665012513301351111011010%22+-⨯+=+-+=+-+-=+=-+===x x x x x x x x x 解得，不合题意舍去，答：这种存款的年利率为10%．说明：联系生产实际的问题还有很多类型，比如出售商品，若按九折出售，即按原价的90%出售，只有将这些名词的含义弄清楚了，才会正确解决这类问题．例7：甲、乙两人分别从相距20千米的A 、B 两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来我走1千米，结果甲到达B 地后乙还需30分钟才能到达A 地，求乙每小时走多少千米．分析：这是北京市1996年考试题，考查学生分析问题、解决问题的能力问题，甲、乙两人从相距20千米的A 、B 两地以相同的速度同时相向而行到相遇，隐含了刚好在A 、B 中点相遇的条件．即在10千米地方相遇，题中甲到B 地后乙还需30分钟才能到A 就是等量关系，这样就可以列出方程了．解：设乙每小时走x 千米，则甲每小时走(x + 1)千米．()()20101011210101122005402x x x x x x x x x --+=-+=+-=+-= 解得：x x 1254=-=,解：由题意 由题意由题意经检验x x 1254=-=,都是原来分式方程的解，但x =－5不合题意舍去．∴ x = 4是原方程的解．答：乙每小时走4千米．【综合练习】一、选择题：1．下列方程中有解的是（ ）．A ．x ++=120B ．2132x ++=C ．2123x ++=D ．x x -+-=223 2．x x +=-6的解的情况为（ ）．A ．无解B ．x = －3或x = 2C ．x = 3D ．x = －23．用换元法解方程x x x x 22881123+++-=，若设y x x =+-2811，则原方程可化为（ ）．A ．y y 2120++=B ．y y 2230+-=C ．y y 2120+-=D ．y y 2340+-=4．方程x x x x 223351---+=根的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．45．无理方程x x +⋅-=130的解为（ ）．A ．无实根B ．x 1 = －1, x 2 = 3C ．+3D ．－1二、解答题：1．解分式方程4111x x --=． 2．求当2454x x m x --=-产生增根时，m 的值． 3．解方程2412132x x x -+-=． 4．用换元法解分式方程x x x x -+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=1615． 5．解方程713101x x +-+=．6．解方程x x x x x x-+--=-422412222． 7．用换元法解方程x x x x -----+=5757540． 8．要完成一件工程，甲独作比甲、乙、丙三人合干多用5天，乙独作比三个合干多用15到，丙独作所需时间是三人合干所需时间的4倍，求三人单干各需多少时间完成．9．甲、乙两人分别从相距36千米的A 、B 两地同时出发，相向是行，甲行至1千米时，发现有东西遗忘在A 地，立即返回，取物后又立即从A 向B 前进，结果两人恰在AB 中点处相遇，已知甲比乙每小时多走0.5千米，求两人速度各多少？10．甲步行上午6时从A 出发于下午5时到达B 地，乙骑自行车上午10时从A 地出发，于下午3时到达B 地，问乙在什么时间追上甲的？11．某工程队按计划挖土方200立方米，如果每天超额完成5立方米，则工程提前2天完成，求原计划的天数及每天超额的百分数．【答案及提示】一、选择题： 1．C 2．D 3．C 4．C 5．C二、解答题1．x = 2 提示，用去分母的方法解分式方程．2．m = 8 分式方程产生增根，原因在于方程两边乘了数值为0的代数式，去分母后 ()255x x m --=，将x = 4代入后，得m = 8，因此当方程产生增根时，m = 8．3．解：原方程变形为2412132x x x -+-= 2412132x x x ---= 两边同乘 ()342x - ()∴-+=-63242x x x()()636432012022x x x x x x x --=--+=--=x 1 = 1, x 2 = 2经检验x = 2是增根，x = 1是原方程的根．4．提示：设x x y x x y x x -=-===111324,,则解得是增根，是原方程的根。
分式方程和无理方程
方 法
1.在分式方程两边同乘以最简公分母， 在分式方程两边同乘以最简公分母， 在分式方程两边同乘以最简公分母 可把分式方程化为整式方程 2.换元可以使解方程的过程变得简便 换元可以使解方程的过程变得简便 换元 3. 解分式方程时应注意检验 解分式方程时应注意检验
提 炼
一化二解三检验
三、无理方程的解法
2
x +2 =1 2 2x − 1
2
典
即 7x −1 = 0 或 x − 3 = 0
2
型 例 题
2Байду номын сангаас
解得
7 7 x1 = − , x3 = − 3 , x 4 = 3 , x2 = 7 7
经检验 以上均为原方程的根 以上均为原方程的根. 换元可以使运算变得简便
典
例5 已知关于
x −1 x − 2 2x + a − = 的解为负数 x − 2 x + 1 ( x − 2)( x + 1)
x2 = 22 是增根 是增根.
方程一边出现两个根号时要先移项. 方程一边出现两个根号时要先移项
解无理方程的思路是： 解无理方程的思路是：
无理 方程 去根号
有理 方程
解无理方程的一般步骤
1、将方程的两边平方，化成有理方程.有时要先 将方程的两边平方，化成有理方程. 平方 有理方程 移项，再平方 移项， 2、解这个有理方程. 解这个有理方程. 3、把有理方程的解代入原方程检验 4、写出原方程的根. 写出原方程的根.
解分式方程的思路是： 解分式方程的思路是：
分式 方程 去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 最简公分母 化成整式方程. 化成整式方程. 整式方程 2、解这个整式方程. 解这个整式方程. 3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 把整式方程的解代入最简公分母， 最简公分母 不为0 则整式方程的解是原分式方程的解； 分母的值不为 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根. 写出原方程的根.
【免费下载】初高中数学衔接内容第七讲 分式方程和无理方程的解法
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
分式方程与无理方程
5分式方程与无理方程分母含有未知数的方程叫分式方程，解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有：直接去分母，换元法等.根号内含有未知数的方程叫无理方程，解无理方程的主要思路是去掉根号，把无理方程化为有理方程，常用的方法有：乘方法、换元法、配方法等.在解分式方程、无理方程中，有可能产生增根，尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根，挖掘隐含条件。
例1 若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是________.解题思路 化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约.例2 x =-有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（ ）A. P>－1B. P ≤0C. －1<P ≤0D. －1≤P<0解题思路 将无理方程转化为有理方程，要准确求出P 的范围，还应由二次根式的性质去发现隐含的根的特性.例3 解下列方程（1）5968419221;19968x x x x x x x x ----+=+----（2）22223411;2283912x x x x x x x x ++-+=+-+（3）22()31x x x +=+解题思路 由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母，需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解.例4 解下列方程（11=（2=解题思路 仔细观察被开方数、分子分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口。
在解无理方程时常用的换元法有： （1）局部代换；（2）整体代换；（3）利用倒数关系找换；（4）构造对偶式代换.例5 若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解.解题思路 化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题.练习一1. 若关于x 的方程11ax x +-－1＝0有增根，则a 的值为________. 2. 方程2x ＋21x－3（x+1x ）＋4＝0的解为________.3. ＝12x －a 有一个根是2，则a ＝_______.4. 方程2x ＋3x －2337x x +-＝9的全体实数根的积为_________.5.已知方程x ＋1x ＝a ＋1a 的两根分别为a ，1a ，则方程x ＋11x -＝a ＋11a -的根是（ ）A. a ，11a - B. 11a -，a －1 C. 1a ，a －1 D. a ，1a a -6. 给出下列四个结论，①2没有实数根；②解方2()1x x -－2（1xx -）－3＝0时，若设1xx -=y ，则原方程变形为y 2－2y －3＝0；③存在这样的两个实数a 、b＋a ≠0时，关于x 的方程ax ＝b 总有实数根，其中正确的有（ ）.A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④7. 若m 是方程2x 2＋7x ＋21的所有实数解之和，则m 的值是（ ）.A. 112-B. 72- C. －7 D. －118. 已知关于x x =有一个根为1，那么它的另一个根为（ ）.A. －1B. 0C. 2D. 39. 解下列方程（1103=；（2）2216104()933x x x x+=--10. 若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值.11. 已知关于x 的方程22212022m x x x x m-++=+-，其中m 为实数，当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根.练习二1. 方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是______.2. 方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为_________3. 方程｜x －1992＝1992的实数根是_______.4. 设m 为正数且关于x x m =+有实数解，则m 的取值范围是________.5. 方程33116()x x x x+=+的解的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 2 D. 36. 3的所有解的和为（ ）.A. 4B. 3C. 2D. 07. x =有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（ ）.A. P ≤0B. P<14 C. 0≤P<14 D. P ≥148. 设正整数a ，m ，n =a 、m 、n 的取值是（ ）A. 有一组B. 有二组C. 多于二组D. 不存在9. 解下列方程（1）222212219;116x x x x x x x +++++=+++（2=（a 为不等于0的常数）10. 已知关于x 的方程25()56a ax x x x+--=-有两个根相等.求a 的值.11. 已知关于x 的方程22(1)()(27)()1011x xa a x x --++---有实数根。
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分式方程和无理方程
一. 解分式方程和无理方程必需检验
1. 方程01312=--+x x 的解是_________.
2.方程x x -=-2的解是 __________.
3. 方程x x =+2的解是 ___________.
4.方程
1415112-=--+-x x x x 的解是 __________. 5.方程 2x-332=+x 的解是 ( )
A. 21 和3
B. 21
C. -2
1 和3 D. 3 6. 关于x 的方程x k k x -=-的根为 ( )
A. x = k
B. x 1 = k+1 , x 2 = k – 1
C. x 1 = k , x 2 = k + 1
D. x = 2k
7. 方程 4
42144122-=+++-x x x x x 的解是 ( ) A. x 1 = -2 , x 2 = 4 B. x 1 = 2, x 2 = – 4 C. x = 4 D. x = - 4
8.方程3
12)3(42+-=++x x x 的根的个数是 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 许多多个
二. 与增根有关的填空与选择题.
1. 解分式方程
3
31+=--x m x x 时去分母一步产生了增根,那么m 的值是 ____________. 2. 当m = _____时 , 去分母解方程2
22-=--x m x x 时会产生增根. 3. 解关于x 的方程x m m x x -=--131得 x = 1
34-m m ,当m = ____时,此根是增根. 4. 使分式方程212-=-+x k x x 产生增根的k 的值是 ( ) A. k = 0 B. k = 0, k = 2 C. k = 1 D. k = 2
5. 解关于x 的方程1
3213+-=++x x ax x 有增根x = -1,则a 的值是 ( ) A. 0或1 B. 0 C. 3 D. –2
6. 方程011522=-⋅-+y y y 的解是 ( )
A. 3
B. 3或-5
C. –5或 –1
D. 3 , -5 ,1
7. 方程
0345=-⋅-x x 的解是 ( ) A. x = 34 B. x = 5 C. x = 4
9 D. 没有实数解
三. 运用换元法的题型.
1. 若 x 2 – 3x –1532=+-x x , 设532+-x x = y ,则原方程变为______________________.
2. 若 x 2 + 3x +7 + 03102=+x
x , 设x 2 + 3x = y ,则原方程化为 ___________________________. 3. 若用换元法解方程 x 2-2x + 6 + 627622=+-x x ,则最优方法为设 ( ) A. y = 622+-x x B. y = x x 22- C. y = x 2 – 2x D. y = 6622+-x x
4. 若用换元法解方程 2x 2 -332=-x ,若设y =
23x -, 则原方程可变为 ( ) A. 2y 2 +y+1= 0 B. 2y 2 - y+1= 0 C. 2y 2 +y - 5= 0 D. 2y 2 – y - 5= 0
5. 已知方程3( x 2 +21x ) + ( x + x 1) – 4 = 0, 若设x + x
1= y ,则原方程化为 ( ) A. 3y 2 +5y – 4 = 0 B. 3y 2 + y - 10= 0 C. 3y 2 – 5y +2 = 0 D. 3y 2 + 5y + 2= 0 6. 解方程: 2x 2 + 3x - 59322++x x + 3 = 0 7. 2( x 2 +
21x ) - 9( x + x 1) + 14 = 0。