导数综合测试卷-综合测试题

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2023年新高考数学一轮复习4-4 导数的综合应用(真题测试)含详解

2023年新高考数学一轮复习4-4 导数的综合应用(真题测试)含详解

专题4.4 导数的综合应用(真题测试)一、单选题1.(2017·全国·高考真题(理))已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则=a ( ) A .12-B .13C .12D .12.(2015·陕西·高考真题(理))对二次函数(为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结 论是错误的,则错误的结论是 A .是的零点 B .1是的极值点 C .3是的极值D .点在曲线上3.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(理))已知函数()2e 2xx f x a x =-+,若有且仅有两个正整数,使得()0f x <成立,则实数a 的取值范围是( ) A .211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4.(2014·全国·高考真题(文))已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是( ) A .B .C .D .5.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(理))若函数()()22e e x x f x x ax a a R =+-∈有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是( ) A .1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B .1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C .2110,,1e e e ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭D .210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭6.(2022·河南·开封市东信学校模拟预测(理))对任意0x >,不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立,则正数a 的最大值为( ) ABC .1eD .e7.(2015·全国·高考真题(理))设函数()(21)xf x e x ax a =--+,其中1a < ,若存在唯一的整数0x ,使得2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =32()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a ()2,+∞()1,+∞(),2-∞-(),1-∞-0()0f x <,则a 的取值范围是( )A .3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B .33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C .33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D .3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.(2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测(理))已知函数()()e ln e (0)xf x a a a =+>,若对任意实数1x >,不等式()()ln 1f x x ≥-总成立,则实数a 的取值范围为( ) A .210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B .221,e e ⎛⎤⎥⎝⎦C .21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D .21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题9.(2022·辽宁实验中学模拟预测)我们把形如(),,0f x y y '=的方程称为微分方程,符合方程的函数()y f x =称为微分方程的解,下列函数为微分方程0xy y xy +-'=的解的是( ) A .e x y = B .e x y x =C .e 1x y x =+D .e (R)x y c x c =⋅∈⋅10.(2022·河北沧州·二模)已知实数,a b 满足e e e a b a b ++=,则( ) A .0ab < B .1a b +> C .e e 4a b +D .e 1a b >11.(2022·湖南·模拟预测)已知1x >,1y >,且()()1e 11e y xx y ++=+,则下列结论一定正确的是( )A .()ln 0x y ->B .122x y +<C .226x y +>D .()ln ln3x y +<12.(2022·全国·高考真题)已知函数,则( )A .有两个极值点B .有三个零点C .点是曲线的对称中心D .直线是曲线的切线三、填空题13.(2020·河南高三其他(理))函数()2222ln x f x x e x ax =--,若0a =,则()f x 在[]1,2的最小值为_______;当0x >时,()1f x ≥恒成立,则a 的取值范围是_____. 14.(2022·全国·模拟预测(理))若曲线ln x y x =与212y kx =-仅有1个公共点,则k 的取值范围是3()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =___________.15.(2012·福建·高考真题(理))对于实数a 和b ,定义运算“*”: 设f (x )=(2x -1)*(x -1),且关于x 的方程为f (x )=m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3,则x 1x 2x 3的取值范围是_________________16.(2022·江苏·常州高级中学模拟预测)已知函数22()ln 2e f x x x mx =-+,若()0f x ≥的解集中恰有一个整数,则m 的取值范围为________. 四、解答题17.(2018·全国·高考真题(文))已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程; (2)证明:当时,.18.(2017·全国·高考真题(理))已知函数(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求的取值范围.19.(2017·全国·高考真题(文))已知函数.(1)讨论的单调性; (2)当时,证明. 20.(2016·全国·高考真题(文))设函数. (Ⅰ)讨论的单调性; (Ⅱ)证明当时,; (Ⅲ)设,证明当时,.21.(2015·全国·高考真题(理))设函数.(1)证明:在单调递减,在单调递增;(2)若对于任意,都有,求m 的取值范围.22.(2014·四川·高考真题(理))已知函数,其中,为自然对数的底数.(Ⅰ)设是函数的导函数,求函数在区间上的最小值;22,,a ab a ba b b ab a b ⎧-≠=⎨->⎩()21x ax x f x e +-=()y f x =()0,1-1a ≥()0f x e +≥()()2e 2e x xf x a a x =+--()f x ()f x a 2()ln (21)f x x ax a x =+++()f x 0a <3()24f x a≤--()ln 1f x x x =-+()f x (1,)x ∈+∞11ln x x x-<<1c >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->2()e mx f x x mx =+-()f x (,0)-∞(0,)+∞12,[1,1]x x ∈-12|()()|1f x f x e -≤-2()1x f x e ax bx =---,a b R ∈ 2.71828e =()g x ()f x ()g x [0,1](Ⅱ)若,函数在区间内有零点,求的取值范围(1)0f ()f x (0,1)a专题4.4 导数的综合应用(真题测试)一、单选题1.(2017·全国·高考真题(理))已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则=a ( ) A .12-B .13C .12D .1【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】因为()221111()2()1()1x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=-++-,设1t x =-,则()()()21t t f x g t t a e e -==++-,因为()()g t g t =-,所以函数()g t 为偶函数,若函数()f x 有唯一零点,则函数()g t 有唯一零点,根据偶函数的性质可知,只有当0=t 时,()0g t =才满足题意,即1x =是函数()f x 的唯一零点,所以210a -=,解得12a =.故选:C. 2.(2015·陕西·高考真题(理))对二次函数(为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结 论是错误的,则错误的结论是 A .是的零点 B .1是的极值点 C .3是的极值 D .点在曲线上【答案】A 【解析】 【详解】若选项A 错误时,选项B 、C 、D 正确,,因为是的极值点,是的极值,所以,即,解得:,因为点在曲线上,所以,即,解得:,所以,,所以,因为,所以不是的零点,所以选项A 错误,选项B 、C 、D 正确,故选A .3.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(理))已知函数()2e 2xx f x a x =-+,若有且仅有两个正整2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =()2f x ax b ='+1()f x 3()f x ()()10{13f f '==203a b a b c +=⎧⎨++=⎩2{3b a c a =-=+()2,8()y f x =()42238a a a +⨯-++=5a =10b =-8c =()25108f x x x =-+()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠1-()f x数,使得()0f x <成立,则实数a 的取值范围是( ) A .211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】将()0f x <转化为2(2)exx a x +<,再分别求导分析2()e x x g x =和()(2)h x a x =+的图象,再分别求得1,1g ,()()2,2g ,()()3,3g 到()20-,的斜率,分析临界情况即可 【详解】由()0f x <且0x >,得2(2)exx a x +<,设2()e x x g x =,()(2)h x a x =+, 22()exx x g x '-=,已知函数()g x 在(0,2)上单调递增,在(2,)+∞上单调递减, 函数()(2)h x a x =+的图象过点(2,0)-,(1)11(2)3e g =--,2(2)12(2)e g =--,3(3)93(2)5e g =--,结合图象,因为329115e 3e e <<,所以3915e 3ea ≤<. 故选:C4.(2014·全国·高考真题(文))已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是( ) A . B . C . D .【答案】C 【解析】 【详解】试题分析:当时,,函数和,不满足题意,舍去;当时,,令,得或.时,;时,;时,,且,此时在必有零点,故不满足题意,舍去;当时,时,32()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a ()2,+∞()1,+∞(),2-∞-(),1-∞-0a =2()31f x x =-+()f x 0a >2()36f x ax x '=-()0f x '=0x =2x a =(,0)x ∈-∞()0f x '>2(0,)x a ∈()0f x '<2(,)x a∈+∞()0f x '>(0)0f >(,0)x ∈-∞0a <2(,)x a∈-∞;时,;时,,且,要使得存在唯一的零点,且,只需,即,则,选C .5.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(理))若函数()()22e e x xf x x ax a a R =+-∈有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是( ) A .1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B .1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C .2110,,1e e e ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭D .210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】令()0f x =得20e e x xx xa a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,利用导数研究()e x x g x =的图像,由函数()f x 有三个零点可知,若令1e e xxt t ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭,则可知方程20t at a +-=的一根1t 必在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内,另一根21e t =或20t =或()2,0t ∈-∞上,分类讨论即可求解. 【详解】由22e e 0xxx ax a +-=得20e ex xx xa a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()e x x g x =, 由()10e xxg x -'==,得1x =,因此函数()g x 在(),1-∞上单调递增,在()1,+∞上单调递减,且()00g =,当0x >时,()0e x x g x =>,则()ex xg x =的图像如图所示: 即函数()g x 的最大值为()11eg =,令1e e xx t t ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭,则()20h t t at a =+-=,由二次函数的图像可知,二次方程的一根1t 必在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内,另一根21e t =或20t =或()2,0t ∈-∞上,当21e t =时,21e ea =-,则另一根111e t =-,不满足题意,当20t =时,a =0,则另一根10t =,不满足题意,()0f x '<2(,0)x a ∈()0f x '>(0,)x ∈+∞()0f x '<(0)0f >()f x 0x 00x >2()0f a>24a >2a <-当()2,0t ∈-∞时,由二次函数()20h t t at a =+-=的图像可知22000110e e a a a a ⎧+⋅-<⎪⎨⎛⎫+⋅->⎪ ⎪⎝⎭⎩, 解得210e ea <<-, 则实数a 的取值范围是210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,故选:D.6.(2022·河南·开封市东信学校模拟预测(理))对任意0x >,不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立,则正数a 的最大值为( ) ABC .1eD .e【答案】D 【解析】 【分析】将不等式化为ln()e ln()e x ax x ax +≥+,构造()e x f x x =+有()(ln())f x f ax ≥,利用函数的单调性及参变分离法有e xa x ≤在0x >上恒成立,应用导数求右侧最小值,即可得结果.【详解】∵e ln()(1)0x ax a x -+-≥,∴ln()e ln()ln()e x ax x ax ax ax +≥+=+.令()e x f x x =+,则不等式化为()(ln())f x f ax ≥. ∵()e (0)x f x x x =+>为增函数,∴ln()x ax ≥,即e xa x≤.令e ()=x g x x ,则2(1)e ()x x g x x '-=,当01x <<时,()0g x '<,即()g x 递减;当1x >时,()0g x '>,即()g x 递增; 所以()()min 1e e g x g a ⇒≤==. ∴实数a 的最大值为e . 故选:D7.(2015·全国·高考真题(理))设函数()(21)xf x e x ax a =--+,其中1a < ,若存在唯一的整数0x ,使得0()0f x <,则a 的取值范围是( )A .3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B .33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C .33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】设()()21xg x e x =-,()1y a x =-,问题转化为存在唯一的整数0x 使得满足()()01g x a x <-,求导可得出函数()y g x =的极值,数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-,由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()21xg x e x =-,()1y a x =-,由题意知,函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数,()()21x g x e x '=+,当12x <-时,()0g x '<;当12x >-时,()0g x '>.所以,函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-,()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a , 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--,解得312a e≤<,故选D.8.(2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测(理))已知函数()()e ln e (0)xf x a a a =+>,若对任意实数1x >,不等式()()ln 1f x x ≥-总成立,则实数a 的取值范围为( )A .210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B .221,e e ⎛⎤⎥⎝⎦C .21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D .21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】将所求不等式变形为()()ln 1ln eln eln 1x x ax a x -+++≥+-,构造函数()e xg x x =+,可知该函数在R 上为增函数,由此可得出()ln ln 1a x x ≥--,其中1x >,利用导数求出()()ln 1h x x x =--的最大值,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时,由()()ln 1f x x ≥-可得()ln eln 1ln 1x aa x +++≥-, 即()()()ln 1ln eln 1ln 1eln 1x x ax a x x x -+++≥-+-=+-,构造函数()e xg x x =+,其中x ∈R ,则()e 10x g x '=+>,所以,函数()g x 在R 上为增函数, 由()()ln 1ln eln eln 1x x ax a x -+++≥+-可得()()ln ln 1g x a g x +≥-⎡⎤⎣⎦,所以,()ln ln 1x a x +≥-,即()ln ln 1a x x ≥--,其中1x >, 令()()ln 1h x x x =--,其中1x >,则()12111xh x x x -'=-=--. 当12x <<时,()0h x '>,函数()h x 单调递增, 当2x >时,()0h x '<,函数()h x 单调递减, 所以,()()max ln 22a h x h ≥==-,21e a ∴≥. 故选:D.二、多选题9.(2022·辽宁实验中学模拟预测)我们把形如(),,0f x y y '=的方程称为微分方程,符合方程的函数()y f x =称为微分方程的解,下列函数为微分方程0xy y xy +-'=的解的是( ) A .e x y = B .e x y x =C .e 1x y x =+D .e (R)x y c x c =⋅∈⋅【答案】CD 【解析】 【分析】根据导数的运算求得导函数y ',代入微分方程检验即可. 【详解】选项A ,e x y =,则e x y '=,e e e e 0x x x x xy y xy x x '+-=+-=≠,不是解;选项B ,e x y x =,e e x x y x '=+,22e e e e 0x x x x xy y xy x x x x '+-=+--=,是方程的解;选项C ,e 1x y x =+,e e x x y x '=+,22e e 1e e 10x x x x xy y xy x x x x x x '+-=+++--=+≠,不是方程的解; 选项D ,e (R)x y c x c =⋅∈⋅,e e x x y c cx '=+,22e e e e 0x x x x xy y xy cx cx cx cx '+-=+--=,是方程的解. 故选:CD .10.(2022·河北沧州·二模)已知实数,a b 满足e e e a b a b ++=,则( ) A .0ab < B .1a b +> C .e e 4a b + D .e 1a b >【答案】BCD 【解析】 【分析】A.由e e e a b a b ++=得到111e ea b +=判断;BC.由e e e 2e e a b a b a b ++==2b 判断;D. 由111e e a b +=,得到e e e 1e 11e 1e 1b b b ab b b b b -+-=-=--,令()e e 1,0b b f b b b =-+>,用导数法判断. 【详解】 由e e e a b a b ++=得111e ea b +=,又e 0,e 0a b >>,所以e 1,e 1a b >>,所以0,0a b >>,所以0ab >,选项A 错误;因为e e e 2e e a b a b a b ++==2b ,即e e e 4a b a b ++=,所以ln41a b +>,选项B C ,正确,因为111e e a b +=,所以e e e 1b ab =-,所以e e e 1e 11e 1e 1b b b a bbb b b -+-=-=--.令()e e 1,0b b f b b b =-+>,则()e 0b f b b '=>,所以f b 在区间()0,∞+上单调递增,所以()()00f b f >=,即e e 10b b b -+>,又e 10b ->,所以e 10a b ->,即e 1a b >,选项D 正确. 故选:BCD11.(2022·湖南·模拟预测)已知1x >,1y >,且()()1e 11e y xx y ++=+,则下列结论一定正确的是( )A .()ln 0x y ->B .122x y +<C .226x y +>D .()ln ln3x y +<【答案】AC 【解析】 【分析】构造函数()e xf x x=,利用导数判断函数的单调性,得出1x y >+,结合不等式以及指、对数函数的性质逐一判断即可. 【详解】令()e x f x x=,则()()2e 1e e xx x x x f x x x --'==, 所以当1x >时,()0f x '>,所以()f x 在()1,+∞上单调递增; 由()()1e 11e yxx y ++=+得1e e 111x y x y y +=+++,即1e e 111x y x y y +-=++,∵1y >,∴11012y <<+, ∴1e e 1012x y x y +<-<+,即()()1012f x f y <-+<, ∴1x y >+,即1->x y ,∴()ln 0x y ->,A 正确;由1x y >+知12x y +>+,所以12222x y y ++>>,所以选项B 错误; 由1x y >+知12222326x y y y y ++>+=⋅>,所以选项C 正确.由1x y >+,1y >知213x y y +>+>,所以()()ln ln 21ln3x y y +>+>, 所以D 错误,故选:AC .12.(2022·全国·高考真题)已知函数,则( )A .有两个极值点B .有三个零点C .点是曲线的对称中心D .直线是曲线的切线【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A ,结合的单调性、极值可判断B ,利用平移可判断C ;利用导数的几何意义3()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =()f x判断D. 【详解】由题,,令得或令得, 所以在上单调递减,在,上单调递增, 所以是极值点,故A 正确;因,,, 所以,函数在上有一个零点, 当时,,即函数在上无零点, 综上所述,函数有一个零点,故B 错误;令,该函数的定义域为,,则是奇函数,是的对称中心, 将的图象向上移动一个单位得到的图象, 所以点是曲线的对称中心,故C 正确;令,可得,又,当切点为时,切线方程为,当切点为时,切线方程为, 故D 错误.故选:AC.三、填空题13.(2020·河南高三其他(理))函数()2222ln x f x x e x ax =--,若0a =,则()f x 在[]1,2的最小值为_______;当0x >时,()1fx ≥恒成立,则a 的取值范围是_____.【答案】e (],1-∞ 【解析】当0a =时,∵()222ln x f x x ex =-,∴()222222x x f x xe x xe x'=+⋅-. 当1x >时,()0f x '>恒成立,()231f x x '=-()0fx '>x >x <()0f x '<x <()f x ((,-∞)+∞x =(10f =+>10f =>()250f -=-<()f x ,⎛-∞ ⎝⎭x ≥()0f x f ≥>⎝⎭()f x ⎫∞⎪⎪⎝⎭()f x 3()h x x x =-R ()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-()h x (0,0)()h x ()h x ()f x (0,1)()y f x =()2312f x x '=-=1x =±()(1)11f f =-=(1,1)21y x =-(1,1)-23y x =+∴()f x 在[]1,2上单调递增.∴()f x 在[]1,2上最小值为()1f e =.又0x >时,()1f x ≥恒成立,令 ()1xg x e x =--,()()100xg x e g ''=->=,所以()g x 在()0,∞+ 递增,()()00g x g >= 所以1x e x >+ ∴()22222ln 22ln 2ln x x x f x x e x ax e x ax +=--=--()2222ln 12ln 111x x x ax a x ≥++--=-+≥恒成立,∴1a ≤.故答案为e ;(],1-∞.14.(2022·全国·模拟预测(理))若曲线ln x y x =与212y kx =-仅有1个公共点,则k 的取值范围是___________. 【答案】(]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭##1|02k k k ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭或【解析】 【分析】将原问题转化为32ln 12x k x x =+只有一个解,令()()32ln 102x g x x x x =+>,利用导数求出()g x 的单调性及最值即可得答案. 【详解】 由题意可得:2ln 12x kx x =-只有一个解()0x >, 即32ln 12x k x x=+只有一个解. 令()32ln 12x g x x x=+, ()0x >原问题等价于y k =与()y g x =只有一个交点. 因为()43413ln 113ln x x xg x x x x '---=-= 因为13ln y x x =--在()0,∞+上单调递减, 且在1x =处的值为0 ,所以当()0,1x ∈时, ()()0,g x g x '>单调递增,当()1,x ∈+∞时, ()()0,g x g x '<单调递减且恒为正, 所以()()max 112g x g ==, 又因为y k =与()y g x =只有一个交点, 所以(]1,02k ⎧⎫∈-∞⎨⎬⎩⎭.故答案为: (]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭.15.(2012·福建·高考真题(理))对于实数a 和b ,定义运算“*”: 设f (x )=(2x -1)*(x -1),且关于x 的方程为f (x )=m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3,则x 1x 2x 3的取值范围是_________________ 【答案】【解析】 【详解】由定义运算“*”可知 即,该函数图像如下:由,假设当关于x 的方程为f (x )=m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根时, m 的取值范围是,且满足方程,所以令则, 所以令22,,a ab a ba b b ab a b ⎧-≠=⎨->⎩⎫⎪⎪⎝⎭22(21)(21)(1)0()?(1)(21)(1)0x x x x f x x x x x ⎧----=⎨---->⎩2220()0x x x f x x x x ⎧-=⎨-+>⎩1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1230x x x <<<10,4⎛⎫⎪⎝⎭23,x x 2-+=x x m 23=x x m 22-=x x m 1=x 123==x x x m 10,4⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭y m所以, 又在递增的函数, 所以,所以,所以在递减, 则当时,;当时,所以.16.(2022·江苏·常州高级中学模拟预测)已知函数22()ln 2e f x x x mx =-+,若()0f x ≥的解集中恰有一个整数,则m 的取值范围为________.【答案】22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由()0f x ≥且0x >,得出2ln 2e x x m x -+≥-,构造函数()ln =-xg x x,利用导数研究()g x 的单调性,画出()ln =-x g x x 和22e y x =-的大致图象,由图可知0m >,设0x 为()ln =-xg x x和22e y x m =-+的交点的横坐标,结合题意可知该整数为1,即012x ≤<,当直线22e y x m =-+过1,0A 和ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时,即可求出求出m 的值,从而得出m 的取值范围.【详解】由题可知,22()ln 2e f x x x mx =-+,0x >, 由于()0f x ≥的解集中恰有一个整数,即22ln 2e 0x x mx -+≥,即222e ln x mx x -+≥-,因为0x >,所以2ln 2e xx m x-+≥-的解集中恰有一个整数, 令()ln =-x g x x ,则()2ln 1-'=x g x x , 当1e x <<时,()0g x '<;当e x >时,()0g x '>, 所以()g x 在()1,e 上单调递减,在()e,+∞上单调递增, 画出()ln xy xg x ==-和22e y x =-的大致图象,如图所示: 要使得2ln 2e xx m x-+≥-,可知0m >, 114'⎛= ⎝y ()=h m 10,4⎛⎫⎪⎝⎭()()01>=h m h 0y '<=y 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭0m =0y =14m ==y 123⎫∈⎪⎪⎝⎭x x x设0x 为()ln =-xg x x和22e y x m =-+的交点的横坐标, 而2ln 2e xx m x-+≥-的解集中恰有一个整数,可知该整数为1,即012x ≤<, 当01x =时,得()10g =;当02x =时,得()ln 222g =-, 即1,0A ,ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,当直线22e y x m =-+过点1,0A 时,得22e m =,当直线22e y x m =-+过点ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时,得2ln 24e 2m =-, 所以m 的取值范围为22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故答案为:22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭四、解答题17.(2018·全国·高考真题(文))已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程; (2)证明:当时,.【答案】(1)切线方程是(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)求导,由导数的几何意义求出切线方程.(2)当时,,令,只需证明即可.【详解】()21x ax x f x e +-=()y f x =()0,1-1a ≥()0f x e +≥210x y --=a 1≥()12f x e 1x x e x x e +-+≥++-()12gx 1x e x x +=++-gx 0≥(1),.因此曲线在点处的切线方程是.(2)当时,.令,则,当时,,单调递减;当时,,单调递增; 所以 .因此.18.(2017·全国·高考真题(理))已知函数(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2). 【解析】 【详解】试题分析:(1)讨论单调性,首先进行求导,发现式子特点后要及时进行因式分解,再对按,进行讨论,写出单调区间;(2)根据第(1)问,若,至多有一个零点.若,当时,取得最小值,求出最小值,根据,,进行讨论,可知当时有2个零点.易知在有一个零点;设正整数满足,则.由于,因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.试题解析:(1)的定义域为,,(ⅰ)若,则,所以在单调递减. (ⅱ)若,则由得.当时,;当时,,所以在单调递减,在单调递增.(2)(ⅰ)若,由(1)知,至多有一个零点.(ⅱ)若,由(1)知,当时,取得最小值,最小值为. ()()2212xax a x f x e-++'-=()02f '=()y f x =()0,1-210x y --=1a ≥()()211x xf x e x x e e +-+≥+-+()211xg x x x e +=+-+()121x g x x e +=++'()120x g x e +''=+>1x <-()()10g x g '-'<=()g x 1x >-()()10g x g '-'>=()g x ()g x ()1=0g ≥-()0f x e +≥()()2e 2e x xf x a a x =+--()f x ()f x a (0,1)()f x a 0a ≤0a >0a ≤()f x 0a >ln x a =-()f x 1(ln )1ln f a a a-=-+1a =(1,)∈+∞a (0,1)a ∈(0,1)a ∈()f x (,ln )a -∞-0n 03ln(1)n a>-00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->3ln(1)ln a a->-()f x (ln ,)a -+∞a (0,1)()f x (),-∞+∞()()()()2221121x x x xf x ae a e ae e =+---'=+0a ≤()0f x '<()f x (),-∞+∞0a >()0f x '=ln x a =-(),ln x a ∈-∞-()0f x '<()ln ,x a ∈-+∞()0f x '>()f x (),ln a -∞-()ln ,a -+∞0a ≤()f x 0a >ln x a =-()f x ()1ln 1ln f a a a-=-+①当时,由于,故只有一个零点; ②当时,由于,即,故没有零点; ③当时,,即. 又,故在有一个零点.设正整数满足,则.由于,因此在有一个零点. 综上,的取值范围为.19.(2017·全国·高考真题(文))已知函数.(1)讨论的单调性; (2)当时,证明. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 【分析】(1)先求函数导数,再根据导函数符号的变化情况讨论单调性:当时,,则在单调递增;当时,在单调递增,在单调递减. (2)证明,即证,而,所以需证,设g (x )=ln x -x +1 ,利用导数易得,即得证. 【详解】(1) 的定义域为(0,+),. 若a ≥0,则当x ∈(0,+)时,,故f (x )在(0,+)单调递增.若a <0,则当时,时;当x ∈时,. 故f (x )在单调递增,在单调递减. (2)由(1)知,当a <0时,f (x )在取得最大值,最大值为. 1a =()ln 0f a -=()f x ()1,a ∈+∞11ln 0a a-+>()ln 0f a ->()f x ()0,1a ∈11ln 0a a-+<()ln 0f a -<()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>()f x (),ln a -∞-0n 03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭()()00000000e e 2e 20n n n nf n a a n n n =+-->->->3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭()f x ()ln ,a -+∞a ()0,12()ln (21)f x x ax a x =+++()f x 0a <3()24f x a≤--(21)(1)'()(0)ax x f x x x++=>0a ≥'()0f x >()f x (0,)+∞0a <()f x 1(0,)2a -1(,)2a-+∞3()24f x a ≤--max 3()24f x a ≤--max 1()()2f x f a=-11ln()1022a a -++≤max ()(1)0g x g ==()f x ∞()()‘1211)22(1x ax f x ax a x x++=+++=∞’)(0f x >∞10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x '>1()2a ∞-+,’)(0f x <’)(0f x >1()2a∞-+,12x a=-111()ln()1224f a a a -=---所以等价于,即. 设g (x )=ln x -x +1,则. 当x ∈(0,1)时,;当x ∈(1,+)时,.所以g (x )在(0,1)单调递增,在(1,+)单调递减.故当x =1时,g (x )取得最大值,最大值为g (1)=0.所以当x >0时,g (x )≤0.从而当a <0时,,即. 20.(2016·全国·高考真题(文))设函数.(Ⅰ)讨论的单调性; (Ⅱ)证明当时,; (Ⅲ)设,证明当时,.【答案】(Ⅰ)当时,单调递增;当时,单调递减;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析. 【解析】 【详解】试题分析:(Ⅰ)首先求出导函数,然后通过解不等式或可确定函数的单调性;(Ⅱ)左端不等式可利用(Ⅰ)的结论证明,右端将左端的换为即可证明;(Ⅲ)变形所证不等式,构造新函数,然后通过利用导数研究函数的单调性来处理. 试题解析:(Ⅰ)由题设,的定义域为,,令,解得. 当时,,单调递增;当时,,单调递减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,在处取得最大值,最大值为. 所以当时,. 故当时,,,即. (Ⅲ)由题设,设,则,令,解得.当时,,单调递增;当时,,单调递减. 由(Ⅱ)知,,故,又,故当时,. 所以当时,.3()24f x a≤--113ln()12244a a a ---≤--11ln()1022a a -++≤’1(1)g x x=-()0g x '>∞()0g x '<∞11ln()1022a a -++≤3()24f x a≤--()ln 1f x x x =-+()f x (1,)x ∈+∞11ln x x x-<<1c >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->01x <<()f x 1x >()f x ()f x '()0f x '>()0f x '<()f x x 1x()f x (0,)+∞1()1f x x=-'()0f x '=1x =01x <<()0f x '>()f x 1x >()0f x '<()f x ()f x 1x =(1)0f =1x ≠ln 1x x <-(1,)x ∈+∞ln 1x x <-11ln1x x <-11ln x x x-<<1c >()1(1)x g x c x c =+--'()1ln xg x c c c =--'()0g x =01lnln ln c c x c-=0x x <'()0g x >()g x 0x x >'()0g x <()g x 11ln c c c-<<001x <<(0)(1)0g g ==01x <<()0g x >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->21.(2015·全国·高考真题(理))设函数.(1)证明:在单调递减,在单调递增;(2)若对于任意,都有,求m 的取值范围.【答案】(1)在单调递减,在单调递增;(2).【解析】【详解】(Ⅰ).若,则当时,,;当时,,.若,则当时,,;当时,,.所以,在单调递减,在单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的,在单调递减,在单调递增,故在处取得最小值.所以对于任意,的充要条件是:即①,设函数,则.当时,;当时,.故在单调递减,在单调递增.又,,故当时,.当时,,,即①式成立.当时,由的单调性,,即;当时,,即.综上,的取值范围是.22.(2014·四川·高考真题(理))已知函数,其中,为自然对数的底数.(Ⅰ)设是函数的导函数,求函数在区间上的最小值;(Ⅱ)若,函数在区间内有零点,求的取值范围【答案】(Ⅰ)当时, ;当 时, ; 当时, .(Ⅱ) 的范围为. 【解析】【详解】试题分析:(Ⅰ)易得,再对分情况确定的单调区间,根据在上的单调性即可得在上的最小值.(Ⅱ)设为在区间内的一个零点,注意到2()e mx f x x mx =+-()f x (,0)-∞(0,)+∞12,[1,1]x x ∈-12|()()|1f x f x e -≤-()f x (,0)-∞(0,)+∞[1,1]-()(1)2mx f x m e x -'=+0m ≥(,0)x ∈-∞10mx e -≤()0f x '<(0,)x ∈+∞10mx e -≥()0f x '>0m <(,0)x ∈-∞10mx e ->()0f x '<(0,)x ∈+∞10mx e -<()0f x '>()f x (,0)-∞(0,)+∞m ()f x [1,0]-[0,1]()f x 0x =12,[1,1]x x ∈-12()()1f x f x e -≤-(1)(0)1,{(1)(0)1,f f e f f e -≤---≤-1,{1,m m e m e e m e --≤-+≤-()1t g t e t e =--+()1t g t e =-'0t <()0g t '<0t >()0g t '>()g t (,0)-∞(0,)+∞(1)0g =1(1)20g e e --=+-<[1,1]t ∈-()0g t ≤[1,1]m ∈-()0g m ≤()0g m -≤1m >()g t ()0g m >1m e m e ->-1m <-()0g m ->1m e m e -+>-m [1,1]-2()1x f x e ax bx =---,a b R ∈ 2.71828e =()g x ()f x ()g x [0,1](1)0f =()f x (0,1)a 12a ≤()(0)1g x g b ≥=-122e a <≤()22ln(2)g x a a a b ≥--2e a >()2g x e a b ≥--a ()2,1e -()2,()2x x g x e ax b g x e a -='=--a ()g x ()g x [0,1]()g x [0,1]0x ()f x (0,1).联系到函数的图象可知,导函数在区间内存在零点,在区间内存在零点,即在区间内至少有两个零点. 由(Ⅰ)可知,当及时,在内都不可能有两个零点.所以.此时,在上单调递减,在上单调递增,因此,且必有.由得:,代入这两个不等式即可得的取值范围.试题解答:(Ⅰ)①当时,,所以.②当时,由得.若,则;若,则. 所以当时,在上单调递增,所以. 当时,在上单调递减,在上单调递增,所以. 当时,在上单调递减,所以. (Ⅱ)设为在区间内的一个零点,则由可知,在区间上不可能单调递增,也不可能单调递减.则不可能恒为正,也不可能恒为负.故在区间内存在零点.同理在区间内存在零点.所以在区间内至少有两个零点.由(Ⅰ)知,当时,在上单调递增,故在内至多有一个零点. 当时,在上单调递减,故在内至多有一个零点. 所以. 此时,在上单调递减,在上单调递增,因此,必有.由得:,有(0)0,(1)0f f ==()g x 0(0,)x 1x ()g x 0(),1x 2x ()g x (0,1)12a ≤2e a ≥()g x (0,1)122e a <<()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a 12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->(1)10f e a b =---=1b e a =--a ()2,()2x xg x e ax b g x e a -='=--0a ≤()20x g x e a -'=>()(0)1g x g b ≥=-0a >()20x g x e a -'=>2,ln(2)x e a x a >>12a >ln(2)0a >2e a >ln(2)1a >102a <≤()g x [0,1]()(0)1g x g b ≥=-122e a <≤()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a ()(ln 2)22ln 2g x g a a a a b ≥=--2e a >()g x [0,1]()(1)2g x g e a b ≥=--0x ()f x (0,1)0(0)()0f f x ==()f x 0(0,)x ()g x ()g x 0(0,)x 1x ()g x 0(),1x 2x ()g x (0,1)12a ≤()g x [0,1]()g x (0,1)2e a ≥()g x [0,1]()g x (0,1)122e a <<()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a 12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->(1)10f e a b =---=12a b e +=-<.解得.当时,在区间内有最小值.若,则,从而在区间上单调递增,这与矛盾,所以.又,故此时在和内各只有一个零点和.由此可知在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.所以,,故在内有零点.综上可知,的取值范围是. (0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->21e a -<<21e a -<<()g x [0,1](ln(2))g a (ln(2))0g a ≥()0([0,1])g x x ≥∈()f x [0,1](0)(1)0f f ==(ln(2))0g a <(0)20,(1)10g a e g a =-+>=->()g x (0,ln(2))a (ln(2),1)a 1x 2x ()f x 1[0,]x 1(,x 2)x 2[,1]x 1()(0)0f x f >=2()(1)0f x f <=()f x 1(,x 2)x a (2,1)e -。

导数测试题

导数测试题

导 数 测 试 题(考试时间120分钟; 满分:150分)第Ⅰ卷(共90分)注意事项:本卷共17道题一.选择题(共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,1.2xy=在1=x 处的导数为( )A. x 2B.2x ∆+C.2D.1 2.下列求导数运算正确的是( ) A. 2'11)1(xx x+=+ B. ='2)(log x 2ln 1x C. e xx 3'log 3)3(= D. xx x x sin 2)cos ('2-=3.)(x f 与)(x g 是定义在R 上的两个可导函数,若)(x f ,)(x g 满足)()(''x g x f =,则)(x f 与)(x g 满足( )A. )(x f =)(x gB. )(x f -)(x g 为常数函数C. )(x f =)(x g =0 D.)(x f +)(x g 为常数函数4.函数xx ysin =的导数为( )A.2'sin cos x xx x y += B.2'sin cos x xx x y -= C.2'cos sin x xx x y -=D.2'cos sin xxx x y +=5.若)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且),(b a x ∈时,)('x f >0,又)(a f <0,则( )A. )(x f 在],[b a 上单调递增,且)(b f >0B. )(x f 在],[b a 上单调递增,且)(b f <0C. )(x f 在],[b a 上单调递减,且)(b f <0D.)(x f 在],[b a 上单调递增,但)(b f 的符号无法判断6.函数33xx y-=的单调增区间是( ) A.(0,+∞) B.(-∞,-1) C.(-1,1)D.(1,+∞)7.函数xaxx f +=3)(在),(+∞-∞∈x 内是增函数,则( )A. a >0B. a <0C. a =1D. a =318.函数23)(23++=xaxx f ,若)1('-f =4,则a 的值等于( )A.319 B.316 C.3139.函数ax x x f +-=2332)(的极大值为6,那么a 等于( )A.6B.0C.5D.110.下列说法正确的是( )A.当)(0'x f =0时,则)(0x f 为)(x f 的极大值B.当)(0'x f =0时,则)(0x f 为)(x f 的极小值C.当)(0'x f =0时,则)(0x f 为)(x f 的极值D.当)(0'x f 为函数)(x f 的极值且)(0'x f 存在时,则有)(0'x f =011.下列四个函数,在0=x处取得极值的函数是( ) ①3xy= ②12+=xy③||x y = ④xy 2=A.①②B.②③C.③④D.①③12.函数)1()(2x x x f -=在[0,1]上的最大值为( )A.932 B.922 C.923 D. 83第Ⅱ卷(共60分)注意事项:1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.三.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.) 13.函数xy2sin =的导数为___ _ __14.物体运动方程为3414-=ts ,则5=t时的瞬时速率为15.曲线3xy=在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为16.圆柱形金属饮料罐的容积为316cm π,它的高是 cm ,底面半径 是 cm 时可使所用材料最省. 四.解答题:(每题14分,共28分. 13.(8分)求抛物线24y x=在点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程.14.(8分)求函数44x x y -=在]2,1[-∈x 的最大值与最小值.15.(8分)有一边长分别为8与5的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起作成一个无盖小盒,要使纸盒的容积最大,问剪去的小正方形的边长应为多少?16.(8分)已知质点运动方程是)sin 1(2t t s +=,求2π=t时的瞬时速度.17. (10分)若函数2723+++=bx axxy在1-=x 时有极大值,在3=x 时有极小值,试求a 与b 的值.18.设函数32()23(1)68f x x a xa x =-+++,其中a R∈.①若()f x 在3=x处取得极值,求常数a 的值;②若()f x 在(,0)-∞上为增函数,求a 的取值范围.19.已知函数54)(23+++=bx axxx f 的图像在1=x 处的切线方程为x y 12-=,且12)1(-=f ,①求函数()f x 的解析式;②求函数()f x 在[-3,1]上的最值.20.已知函数32()f x x b x c x d=+++的图像过点P (0,2),且在点M (-1,)1(-f )处的切线方程为076=+-y x .①求函数)(x f y=的解析式;②求函数)(x f y =的单调区间.21.曲线3)(xx f =在点P 处切线的斜率为3,求点P 的坐标.22.已知函数,)(2b ax xx f ++=试确定b a ,的值,使当1=x 时,)(x f 有最小值4.23.过点(1,1)作直线AB ,与坐标轴围成ΔAOB (O 为坐标原点),当直线AB 在什么位置时,ΔAOB 的面积最小,最小面积是多少? 24.已知函数)101()3)(2)(1()(----=x x x x x f ,则 )1('f 的值是多少?。

导数及其应用测试题(有详细答案)

导数及其应用测试题(有详细答案)

《导数及其应用》一、选择题1。

0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A 。

B. C 。

D.3.设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )4.若曲线y =x 2+ax +b在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( )A .a =1,b =1B .a =-1,b =1C .a =1,b =-1D .a =-1,b =-1 5.函数f (x )=x 3+ax 2+3x -9,已知f (x )在x =-3时取得极值,则a 等于( )A .2B .3C .4D .56。

设函数()f x 的导函数为()f x ',且()()221f x x x f '=+⋅,则()0f '等于 ( )A 、0B 、4-C 、2-D 、27。

直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线,则实数a 的值为( )A .1-B .eC .ln 2D .18。

若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数,则实数k 的取值范围( ) A .3113≥≤≤--≤k k k 或或 B .3113<<-<<-k k 或C .22<<-kD .不存在这样的实数k9.函数()f x 的定义域为(),a b ,导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示, 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点 ( )A .1个B .2个C .3个D .4个 10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A .3 B .52 C .2 D .32二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分) 11。

高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试卷(附答

高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试卷(附答

高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试卷(附答选修2-2 1.2.2 第2课时差不多初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于()A.1B.2C.3D.4[答案]D[解析]y=[(x+1)2](x-1)+(x+1)2(x-1)=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1,y|x=1=4.2.若对任意xR,f(x)=4x3,f(1)=-1,则f(x)=()A.x4 B.x4-2C.4x3-5 D.x4+2[答案]B[解析]∵f(x)=4x3.f(x)=x4+c,又f(1)=-11+c=-1,c=-2,f(x)=x4-2.3.设函数f(x)=xm+ax的导数为f(x)=2x+1,则数列{1f(n)}(nN*)的前n项和是()A.nn+1B.n+2n+1C.nn-1D.n+1n[答案]A[解析]∵f(x)=xm+ax的导数为f(x)=2x+1,m=2,a=1,f(x)=x2+x,即f(n)=n2+n=n(n+1),数列{1f(n)}(nN*)的前n项和为:Sn=112+123+134+…+1n(n+1)=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1,故选A.4.二次函数y=f(x)的图象过原点,且它的导函数y=f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线,则函数y=f(x)的图象的顶点在() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案]C[解析]由题意可设f(x)=ax2+bx,f(x)=2ax+b,由于f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线,故2a0,b0,则f(x)=ax+b2a2-b24a,顶点-b2a,-b24a在第三象限,故选C.5.函数y=(2+x3)2的导数为()A.6x5+12x2 B.4+2x3C.2(2+x3)2 D.2(2+x3)3x[答案]A[解析]∵y=(2+x3)2=4+4x3+x6,y=6x5+12x2.6.(2021江西文,4)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f(1)=2,则f(-1)=()A.-1 B.-2C.2 D.0[答案]B[解析]本题考查函数知识,求导运算及整体代换的思想,f(x)=4ax3+2bx,f(-1)=-4a-2b=-(4a+2b),f(1)=4a+2b,f(-1)=-f(1)=-2要善于观看,故选B.7.设函数f(x)=(1-2x3)10,则f(1)=()A.0 B.-1C.-60 D.60[答案]D[解析]∵f(x)=10(1-2x3)9(1-2x3)=10(1-2x3)9(-6x2)=-60x2(1-2x3)9,f(1)=60.8.函数y=sin2x-cos2x的导数是()A.22cos2x-B.cos2x-sin2xC.sin2x+cos2x D.22cos2x+4[答案]A[解析]y=(sin2x-cos2x)=(sin2x)-(cos2x)=2cos2x+2sin2x=22cos2x-4.9.(2021高二潍坊检测)已知曲线y=x24-3lnx的一条切线的斜率为1 2,则切点的横坐标为()A.3 B.2C.1 D.12[答案]A[解析]由f(x)=x2-3x=12得x=3.10.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x =5处的切线的斜率为()A.-15 B.0C.15 D.5[答案]B[解析]由题设可知f(x+5)=f(x)f(x+5)=f(x),f(5)=f(0)又f(-x)=f(x),f(-x)(-1)=f(x)即f(-x)=-f(x),f(0)=0故f(5)=f(0)=0.故应选B.二、填空题11.若f(x)=x,(x)=1+sin2x,则f[(x)]=_______,[f(x)]=________.[答案]2sinx+4,1+sin2x[解析]f[(x)]=1+sin2x=(sinx+cosx)2=|sinx+cosx|=2sinx+4.[f(x)]=1+sin2x.12.设函数f(x)=cos(3x+)(0<),若f(x)+f(x)是奇函数,则=______ __.[答案]6[解析]f(x)=-3sin(3x+),f(x)+f(x)=cos(3x+)-3sin(3x+)=2sin3x++56.若f(x)+f(x)为奇函数,则f(0)+f(0)=0,即0=2sin+56,+56=kZ).又∵(0,),6.13.函数y=(1+2x2)8的导数为________.[答案]32x(1+2x2)7[解析]令u=1+2x2,则y=u8,yx=yuux=8u74x=8(1+2x2)74x=32x(1+2x2)7.14.函数y=x1+x2的导数为________.[答案](1+2x2)1+x21+x2[解析]y=(x1+x2)=x1+x2+x(1+x2)=1+x2+x21+x2=(1+2x2) 1+x21+x2.三、解答题15.求下列函数的导数:(1)y=xsin2x;(2)y=ln(x+1+x2);(3)y=ex+1ex-1;(4)y=x+cosxx+sinx.[解析](1)y=(x)sin2x+x(sin2x)=sin2x+x2sinx(sinx)=sin2x+xsin2x.(2)y=1x+1+x2(x+1+x2)=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2 .(3)y=(ex+1)(ex-1)-(ex+1)(ex-1)(ex-1)2=-2ex(ex-1)2 .(4)y=(x+cosx)(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx)(x+sinx)2=(1-sinx)(x+sinx)-(x+cosx)(1+cosx)(x+sinx)2=-xcosx-xsinx+sinx-cosx-1(x+sinx)2.16.求下列函数的导数:(1)y=cos2(x2-x);(2)y=cosxsin3x;(3)y=xloga(x2+x-1);(4)y=log2x-1x+1.[解析](1)y=[cos2(x2-x)]=2cos(x2-x)[cos(x2-x)]=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](x2-x)=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](2x-1)=(1-2x)sin2(x2-x).(2)y=(cosxsin3x)=(cosx)sin3x+cosx(sin3x)=-sinxsin3x+3cosxcos3x=3cosxcos3x-sinxsin3x.(3)y=loga(x2+x-1)+x1x2+x-1logae(x2+x-1)=loga(x2+x-1)+2x2+xx2+x-1logae.(4)y=x+1x-1x-1x+1log2e=x+1x-1log2ex+1-x+1(x+1)2=2log2ex2-1.17.设f(x)=2sinx1+x2,假如f(x)=2(1+x2)2g(x),求g(x).[解析]∵f(x)=2cosx(1+x2)-2sinx2x(1+x2)2=2(1+x2)2[(1+x2)cosx-2xsinx],又f(x)=2(1+x2)2g(x).g(x)=(1+x2)cosx-2xsinx.18.求下列函数的导数:(其中f(x)是可导函数)(1)y=f1x;(2)y=f(x2+1).[解析](1)解法1:设y=f(u),u=1x,则yx=yuux=f(u)-1x2=-1x 2f1x.解法2:y=f1x=f1x1x=-1x2f1x.要练说,得练看。

导数与微分测试题

导数与微分测试题
从而, 从而,f ′(1) = 2 .
由于 f ( x + 5) = f (5) , 所以 f (6) = f (1) = 0 , f ′(6) = f ′(1) = 2 .
故所求切线方程为 y = 2( x − 6) .
测 验题
(第一、二章 ) 第一、
每题3分 一、填空题 (每题 分,共12分) 每题 分
f (1 + sin x ) − 3 f (1 − sin x ) 即 lim x →0 sin x
f (1 − sin x ) − f (1) f (1 + sin x ) − f (1) = lim +3 x →0 sin x − sin x
= f ′(1) + 3 f ′(1) = 4 f ′(1) = 8 .
二、设曲线 y = x n 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点 为 (ξ n ,0), 求 lim f (ξ n ).
n→ ∞
1 c 满足关系式: 三、设 f ( x ) 满足关系式:af ( x ) + bf ( ) = (| a |≠| b |) . x x 求 f ′( x ) . x −1 ( x + 1)2 ; | x |≤ 1 四、设 f ( x ) = 4 | x |> 1 | x | −1 .
易知 , f ( x ) 在 | x |= 1 处连续 . 在 x = −1 处 , f ( x ) − f ( −1) − x −1 = −1 , ′ (−1) = lim− f− − = lim− x → −1 x → −1 x − ( −1) x +1
f +′ (−1) = lim f ( x ) − f ( −1) − x → −1+ x − ( −1)

全国卷数学导数专题测试

全国卷数学导数专题测试

导数 专题测试(限时120min )一、单选题1.函数()2ln 1f x x x =-+的单调递减区间为( )A .(0,2)B .(0,)eC .1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D .(2,)+∞2.函数()y f x =的图像如图所示,下列不等关系正确的是( )A .0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B .0(2)(3)(2)(3)f f f f ''<<-<C .0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<D .0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<3.函数9()(2)2f x x x x =++的最小值为( ) A .174 B .4 C .6 D .724.函数()sin f x x x =的导函数()f x '在区间[]π,π-上的图象大致为( )A .B .C .D .5.已知函数()f x =2a ≤是()f x a ≥恒成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分不必要条件6.函数()||3e x x xf =的部分图象大致为( ) A . B .C .D .7.已知函数()()221sin 1x x f x x ++=+,其中()f x '为函数()f x 的导数,则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=( )A .0B .2C .2019D .20208.设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数()2y x =-()f x '的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A .函数()f x 有极大值()2f 和极小值()1fB .函数()f x 有极大值()2f -和极小值()1fC .函数()f x 有极大值()2f 和极小值()2f -D .函数()f x 有极大值()2f -和极小值()2f9.已知函数()2ln ,013,22x x e x f x x x e e e ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩,若,a b c <<且()()()f a f b f c ==,则ln ln b a c a b ⋅的取值范围是( ) A .(),3e e B .()3,e e -- C .()1,3e D .()3,1e --10.设函数2()()()f x x x a x =--∈R ,当3a >时,不等式()22(sin 1)sin f k f k θθ---≥-对任意的[1,0]k ∈-恒成立,则θ的可能取值是( )A .3π-B .43πC .2π-D .56π 11.若函数()y f x =的图象上存在两个不同的点,A B ,使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合,称函数()y f x =为“自重合”函数.下列函数中是“自重合”函数的为( )A .ln y x x =+B .e 1x y =+C .3y x =D .cos y x x =-12.在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>(其中e=2.71828为自然对数的底数)的解集中,有且仅有两个大于2的整数,则实数a 的取值范围为( )A .4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B .391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D .3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13.若函数f (x )=x 3+mx 2+x +1在R 上无极值点,则实数m 的取值范围是_____.14.已知曲线C :()3f x x ax a =-+,若过曲线C 外一点1,0A 引曲线C 的两条切线,它们的倾斜角互补,则实数a 的值为______.15.定义在()0+∞,上的函数()f x 满足:0x ∀>有()()0f x xf x '+>成立且()12f =,则不等式()2f x x <的解集为__________.16.数列{}n a 中,112a =,()()()*111n n n na a n n na +=∈++N ,若不等式()24110n n a n nλ++-≥恒成立,则实数λ的取值范围为__________.三、解答题17.求下列函数的导数.(1)22y x x -=+;(2)32x x x y e e =-+;(3)2ln 1x y x =+;(4)2sin cos 22x x y x =-. 18.在“①()f x 在1x =处取得极小值2,①()f x 在1x =-处取得极大值6,①()f x 的极大值为6,极小值为2”这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.问题:已知函数()33f x x ax b =-+(0a >),且______,求()f x 的单调区间.19.已知函数3211()326m f x x x x =+-+. (1)当1m =时,求曲线()f x 上在点(1,(1))f 处的切线方程;(2)这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并加以解答.若()f x ___________,求实数m 的取值范围.①在区间(,1)m m +上是单调减函数;①在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在减区间;①在区间(,)m +∞上存在极小值. 20.已知函数()211cos 4f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. (1)当2a =时,求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程;(2)当1a ≥时,证明:对任意[]0,2x ∈,()0f x ≤.。

第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)

第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)

单元综合测试三(第三章)时间:90分钟 分值:150分第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知f (x )=(x +a )2,且f ′(12)=-3,则a 的值为( ) A .-1 B .-2 C .1D .2解析:f (x )=(x +a )2,∴f ′(x )=2(x +a ). 又f ′(12)=-3,∴1+2a =-3,解得a =-2. 答案:B2.函数y =sin x (cos x +1)的导数是( ) A .y ′=cos2x -cos x B .y ′=cos2x +sin x C .y ′=cos2x +cos xD .y ′=cos 2x +cos x解析:y ′=(sin x )′(cos x +1)+sin x (cos x +1)′=cos 2x +cos x -sin 2x =cos2x +cos x .答案:C3.函数y =3x -x 3的单调递增区间是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,-1) C .(-1,1)D .(1,+∞)解析:f ′(x )=3-3x 2>0⇒x ∈(-1,1).答案:C4.某汽车启动阶段的路程函数为s (t )=2t 3-5t 2+2,则t =2秒时,汽车的加速度是( )A .14B .4C .10D .6解析:依题意v (t )=s ′(t )=6t 2-10t ,所以a (t )=v ′(t )=12t -10,故汽车在t =2秒时的加速度为a (2)=24-10=14.答案:A5.若曲线f (x )=x sin x +1在x =π2处的切线与直线ax +2y +1=0互相垂直,则实数a 的值为( )A .-2B .-1C .1D .2解析:f ′(x )=x cos x +sin x ,f ′(π2)=1, ∴k =-a2=-1,a =2. 答案:D6.已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为( )A .1B .3C .-4D .-8解析:如图所示,由已知可设P (4,y 1),Q (-2,y 2), ∵点P ,Q 在抛物线x 2=2y 上,∴⎩⎨⎧42=2y 1, ①(-2)2=2y 2, ②∴⎩⎨⎧y 1=8,y 2=2,∴P (4,8),Q (-2,2).又∵抛物线可化为y =12x 2,∴y ′=x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x =4=4,∴过点P 的切线为y -8=4(x -4),即y =4x -8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x =-2=-2.∴过点Q 的切线为y -2=-2(x +2),即y =-2x -2.联立⎩⎨⎧y =4x -8,y =-2x -2,解得x =1,y =-4.∴点A的纵坐标为-4. 答案:C7.若函数y=a(x3-x)的递增区间是(-∞,-33),(33,+∞),则a的取值范围是()A.a>0 B.-1<a<0 C.a>1 D.0<a<1解析:依题意y′=a(3x2-1)>0的解集为(-∞,-33),(33,+∞),故a>0.答案:A8.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是()A.0≤a≤21 B.a=0或a=7C.a<0或a>21 D.a=0或a=21解析:f′(x)=3x2+2ax+7a,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f′(x)≥0恒成立,函数f(x)不存在极值点.故选A.答案:A9.已知函数f(x)=x3-3x,若对于区间[-3,2]上任意的x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是()A.0 B.10C.18 D.20解析:f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,解得x=±1,所以1,-1为函数f(x)的极值点,因为f(-3)=-18,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2,所以在区间[-3,2]上,f(x)max=2,f(x)min=-18,所以对于区间[-3,2]上任意的x1,x2,|f(x1)-f(x2)|≤20,所以t≥20,从而t的最小值为20.答案:D10.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.∀x∈R,f(x)≤f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点解析:取函数f(x)=x3-x,则x=-33为f(x)的极大值点,但f(3)>f(-33),∴排除A.取函数f(x)=-(x-1)2,则x=1是f(x)的极大值点,f(-x)=-(x+1)2,-1不是f(-x)的极小值点,∴排除B;-f(x)=(x-1)2,-1不是-f(x)的极小值点,∴排除C.故选D.答案:D11.若函数y=f(x)满足xf′(x)>-f(x)在R上恒成立,且a>b,则()A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b)C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a)解析:设g(x)=xf(x),则g′(x)=xf′(x)+f(x)>0,∴g(x)在R上是增函数,又a>b,∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b).答案:B12.设函数f (x )满足x 2f ′(x )+2xf (x )=e x x ,f (2)=e 28,则x >0时,f (x )( )A .有极大值,无极小值B .有极小值,无极大值C .既有极大值又有极小值D .既无极大值也无极小值解析:由题意知f ′(x )=e x x 3-2f (x )x =e x -2x 2f (x )x3.令g (x )=e x-2x 2f (x ),则g ′(x )=e x -2x 2f ′(x )-4xf (x )=e x -2(x 2f ′(x )+2xf (x ))=e x -2e xx =e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2x .由g ′(x )=0得x =2,当x =2时,g (x )min =e 2-2×22×e 28=0,即g (x )≥0,则当x >0时,f ′(x )=g (x )x 3≥0,故f (x )在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.答案:D第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13.若抛物线y =x 2-x +c 上一点P 的横坐标为-2,抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点,则c 的值为________.解析:∵y ′=2x -1,∴y ′|x =-2=-5. 又P (-2,6+c ),∴6+c-2=-5.∴c =4. 答案:414.如果函数f (x )=x 3-6bx +3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线,则实数b 的取值范围是________.解析:存在与x 轴平行的切线,即f ′(x )=3x 2-6b =0有解,∵x ∈(0,1),∴b =x 22∈(0,12).答案:{b |0<b <12}15.已知a ≤4x 3+4x 2+1对任意x ∈[-1,1]都成立,则实数a 的取值范围是________.解析:设f (x )=4x 3+4x 2+1,则f ′(x )=12x 2+8x =4x (3x +2),令f ′(x )=0,解得x 1=0,x 2=-23.又f (-1)=1, f (-23)=4327,f (0)=1,f (1)=9,故f (x )在[-1,1]上的最小值为1,故a ≤1.答案:(-∞,1]16.设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的导数为f ′(x ),f ′(0)>0,若∀x ∈R ,恒有f (x )≥0,则f (1)f ′(0)的最小值是________.解析:二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的导数为f ′(x )=2ax +b ,由f ′(0)>0,得b >0,又对∀x ∈R ,恒有f (x )≥0,则a >0, 且Δ=b 2-4ac ≤0,故c >0,所以f (1)f ′(0)=a +b +c b =a b +c b +1≥2acb 2+1≥2ac4ac +1=2,所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案:2三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)17.(10分)已知函数f (x )=ln(2x +a )+x 2,且f ′(0)=23.(1)求f (x )的解析式;(2)求曲线f (x )在x =-1处的切线方程. 解:(1)∵f (x )=ln(2x +a )+x 2,∴f ′(x )=12x +a ·(2x +a )′+2x =22x +a +2x .又∵f ′(0)=23,∴2a =23,解得a =3. 故f (x )=ln(2x +3)+x 2.(2)由(1)知f ′(x )=22x +3+2x =4x 2+6x +22x +3,且f (-1)=ln(-2+3)+(-1)2=1, f ′(-1)=4×(-1)2+6×(-1)+22(-1)+3=0,因此曲线f (x )在(-1,1)处的切线方程是y -1=0(x +1),即y =1.18.(12分)已知函数f (x )=13x 3+ax +b (a ,b ∈R )在x =2处取得极小值-43.(1)求函数f (x )的增区间;(2)若f (x )≤m 2+m +103对x ∈[-4,3]恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)由已知得f (2)=-43,f ′(2)=0,又f ′(x )=x 2+a ,所以83+2a +b =-43,4+a =0,所以a =-4,b =4,则f (x )=13x 3-4x +4,令f ′(x )=x 2-4>0,得x <-2或x >2,所以增区间为(-∞,-2),(2,+∞).(2)f (-4)=-43,f (-2)=283,f (2)=-43,f (3)=1,则当x ∈[-4,3]时,f (x )的最大值为283,故要使f (x )≤m 2+m +103对∈[-4,3]恒成立,只要283≤m 2+m +103,所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤-3.19.(12分)已知函数f (x )=e x (ax +b )-x 2-4x ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =4x +4.(1)求a ,b 的值;(2)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极大值. 解:(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4.由已知得f (0)=4,f ′(0)=4,故b =4,a +b -4=4,所以a =4,b =4.(2)由(1)知,f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x , f ′(x )=4e x(x +2)-2x -4=4(x +2)(e x-12).令f ′(x )=0,得x =-ln2或x =-2.从而当x ∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f ′(x )>0;当x ∈(-2,-ln2)时,f ′(x )<0.故f (x )在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.当x =-2时,函数f (x )取得极大值, 极大值为f (-2)=4(1-e -2).20.(12分)已知函数f (x )=x -a ln x (a ∈R ).(1)当a =2时,求曲线y =f (x )在点A (1,f (1))处的切线方程. (2)求函数f (x )的极值.解:函数f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1-ax . (1)当a =2时,f (x )=x -2ln x ,f ′(x )=1-2x (x >0),所以f (1)=1,f ′(1)=-1,所以y =f (x )在点A (1,f (1))处的切线方程为y -1=-(x -1),即x +y -2=0.(2)由f ′(x )=1-a x =x -ax ,x >0可知:①当a ≤0时,f ′(x )>0,函数f (x )为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a;因为x∈(0,a)时,f′(x)<0,x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-a ln a,无极大值.综上:当a≤0时,函数f(x)无极值,当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-a ln a,无极大值.21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,欲将这种食品价格控制在适当范围内,决定给这种食品生产厂家提供政府补贴,设这种食品的市场价格为x 元/千克,政府补贴为t 元/千克,根据市场调查,当16≤x ≤24时,这种食品日供应量p 万千克,日需量q 万千克近似地满足关系:p =2(x +4t -14)(t >0),q =24+8ln 20x .当p =q 时的市场价格称为市场平衡价格.(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域;(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为多少元/千克?解:(1)由p =q 得2(x +4t -14) =24+8ln 20x (16≤x ≤24,t >0), 即t =132-14x +ln 20x (16≤x ≤24). ∵t ′=-14-1x <0,∴t 是x 的减函数. ∴t min =132-14×24+ln 2024=12+ln 2024=12+ln 56; t max =132-14×16+ln 2016=52+ln 54, ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12+ln 56,52+ln 54.(2)由(1)知t =132-14x +ln 20x (16≤x ≤24).而当x =20时,t =132-14×20+ln 2020=1.5(元/千克),∵t 是x 的减函数,∴欲使x ≤20,必须t ≥1.5(元/千克). 要使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为1.5元/千克.22.(12分)已知函数f (x )=ln x -12ax 2-2x .(1)若函数f (x )在x =2处取得极值,求实数a 的值. (2)若函数f (x )在定义域内单调递增,求实数a 的取值范围. (3)当a =-12时,关于x 的方程f (x )=-12x +b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.解:(1)由题意,得f ′(x )=-ax 2+2x -1x(x >0), 因为x =2时,函数f (x )取得极值,所以f ′(2)=0,解得a =-34,经检验,符合题意.(2)函数f (x )的定义域为(0,+∞),依题意,f ′(x )≥0在x >0时恒成立,即ax 2+2x -1≤0在x >0时恒成立,则a ≤1-2x x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -12-1在x >0时恒成立,即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x -12-1min (x >0),当x =1时,⎝⎛⎭⎪⎫1x -12-1取最小值-1,所以a 的取值范围是(-∞,-1].(3)当a =-12时,f (x )=-12x +b , 即14x 2-32x +ln x -b =0.设g (x )=14x 2-32x +ln x -b (x >0), 则g ′(x )=(x -2)(x -1)2x, 当x 变化时,g ′(x ),g (x )的变化情况如下表:x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) + 0 - 0 + g (x )极大极小所以g (x )极小值=g (2)=ln2-b -2, g (x )极大值=g (1)=-b -54, 又g (4)=2ln2-b -2,因为方程g (x )=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根, 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0,g (2)<0,g (4)≥0,解得ln2-2<b ≤-54,所以实数b 的取值范围是(ln2-2,-54).。

2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析

2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析

2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+5,则f(5)与f′(5)分别为() A.5,-1B.-1,5C.-1,0D.0,-1答案D解析由题意可得f(5)=-5+5=0,f′(5)=-1,故选D.2.已知函数f(x)=x sin x+ax,且f1,则a等于()A.0B.1C.2D.4答案A解析∵f′(x)=sin x+x cos x+a,且f1,∴sin π2+π2cosπ2+a=1,即a=0.3.若曲线y=mx+ln x在点(1,m)处的切线垂直于y轴,则实数m等于() A.-1B.0C.1D.2答案A解析f(x)的导数为f′(x)=m+1x,曲线y=f(x)在点(1,m)处的切线斜率为k=m+1=0,可得m=-1.故选A.4.已知f1(x)=sin x+cos x,f n+1(x)是f n(x)的导函数,即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,f n+1(x)=f n′(x),n∈N*,则f2020(x)等于()A.-sin x-cos x B.sin x-cos xC.-sin x+cos x D.sin x+cos x答案B解析∵f1(x)=sin x+cos x,∴f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x,∴f3(x)=f2′(x)=-sin x-cos x,∴f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x,∴f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x=f1(x),∴f n(x)是以4为周期的函数,∴f2020(x)=f4(x)=sin x-cos x,故选B.5.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+ln x(其中e为自然对数的底数),则f′(e)等于()A .1B .-1C .-eD .-e -1答案D解析已知f (x )=2xf ′(e)+ln x ,其导数f ′(x )=2f ′(e)+1x,令x =e ,可得f ′(e)=2f ′(e)+1e ,变形可得f ′(e)=-1e ,故选D.6.函数y =12x 2-ln x 的单调递减区间为()A .(-1,1]B .(0,1]C .[1,+∞)D .(0,+∞)答案B解析由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由y ′=x -1x≤0,解得0<x ≤1,所以函数的单调递减区间为(0,1].7.(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )=x 2+m ,g (x )=6ln x -4x ,设两曲线y =f (x )与y =g (x )在公共点处的切线相同,则m 值等于()A .5B .3C .-3D .-5答案D解析f ′(x )=2x ,g ′(x )=6x -4,令2x =6x-4,解得x =1,这就是切点的横坐标,代入g (x )求得切点的纵坐标为-4,将(1,-4)代入f (x )得1+m =-4,m =-5.故选D.8.(2019·新乡模拟)若函数f (x )=a e x +sin x 在-π2,0上单调递增,则a 的取值范围为()B .[-1,1]C .[-1,+∞)D .[0,+∞)答案D解析依题意得,f ′(x )=a e x +cos x ≥0,即a ≥-cos xe x 对x ∈-π2,0恒成立,设g (x )=-cos xe x ,x ∈-π2,0,g ′(x )g ′(x )=0,则x =-π4,当x ∈-π2,-g ′(x )<0;当x -π4,0时,g ′(x )>0,故g (x )max =g (0,则a ≥0.故选D.9.(2019·河北衡水中学调研)如图所示,某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成,该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为()A.2000π9B.4000π27C .81πD .128π答案B解析小圆柱的高分为上下两部分,上部分同大圆柱一样为5,下部分深入底部半球内设为h (0<h <5),小圆柱的底面半径设为r (0<r <5),由于r ,h 和球的半径5满足勾股定理,即r 2+h 2=52,所以小圆柱体积V =πr 2(h +5)=π(25-h 2)(h +5)(0<h <5),求导V ′=-π(3h -5)·(h +5),当0<h ≤53时,体积V 单调递增,当53<h <5时,体积V 单调递减.所以当h =53时,小圆柱体积取得最大值,V max ==4000π27,故选B.10.(2019·凉山诊断)若对任意的0<x 1<x 2<a 都有x 2ln x 1-x 1ln x 2<x 1-x 2成立,则a 的最大值为()A.12B .1C .eD .2e答案B解析原不等式可转化为1+ln x 1x 1<1+ln x 2x 2,构造函数f (x )=1+ln x x ,f ′(x )=-ln xx2,故函数在(0,1)上导数大于零,单调递增,在(1,+∞)上导数小于零,单调递减.由于x 1<x 2且f (x 1)<f (x 2),故x 1,x 2在区间(0,1)上,故a 的最大值为1,故选B.11.(2019·洛阳、许昌质检)设函数y =f (x ),x ∈R 的导函数为f ′(x ),且f (x )=f (-x ),f ′(x )<f (x ),则下列不等式成立的是(注:e 为自然对数的底数)()A .f (0)<e -1f (1)<e 2f (2)B .e -1f (1)<f (0)<e 2f (2)C .e 2f (2)<e -1f (1)<f (0)D .e 2f (2)<f (0)<e -1f (1)答案B解析设g (x )=e -x f (x ),∴g ′(x )=-e -x f (x )+e -x f ′(x )=e -x (f ′(x )-f (x )),∵f ′(x )<f (x ),∴g ′(x )<0,∴g (x )为减函数.∵g (0)=e 0f (0)=f (0),g (1)=e -1f (1),g (-2)=e 2f (-2)=e 2f (2),且g (-2)>g (0)>g (1),∴e -1f (1)<f (0)<e 2f (2),故选B.12.(2019·廊坊省级示范高中联考)已知函数f (x )=-13x 3-12x 2+ax -b 的图象在x =0处的切线方程为2x -y -a =0,若关于x 的方程f (x 2)=m 有四个不同的实数解,则m 的取值范围为()A.-323,-B.-2-323,-2答案D解析由函数f (x )=-13x 3-12x 2+ax -b ,可得f ′(x )=-x 2-x +a ,则f (0)=-b =-a ,f ′(0)=a =2,则b =2,即f (x )=-13x 3-12x 2+2x -2,f ′(x )=-x 2-x +2=-(x -1)(x +2),所以函数f (x )在(-2,1)上单调递增,在(-∞,-2),(1,+∞)上单调递减,又由关于x 的方程f (x 2)=m 有四个不同的实数解,等价于函数f (x )的图象与直线y =m 在x ∈(0,+∞),上有两个交点,又f (0)=-2,f (1)=-56,所以-2<m <-56,故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019·陕西四校联考)已知函数f (x )=ln x +2x 2-4x ,则函数f (x )的图象在x =1处的切线方程为________________.答案x -y -3=0解析∵f (x )=ln x +2x 2-4x ,∴f ′(x )=1x +4x -4,∴f ′(1)=1,又f (1)=-2,∴所求切线方程为y -(-2)=x -1,即x -y -3=0.14.已知函数f (x )=(x -a )ln x (a ∈R ),若函数f (x )存在三个单调区间,则实数a 的取值范围是________.答案-1e2,解析f ′(x )=ln x +1x (x -a )=ln x +1-ax,函数f (x )=(x -a )ln x (a ∈R ),若函数f (x )存在三个单调区间,则f ′(x )有两个变号零点,即f ′(x )=0有两个不等实根,即a =x (ln x +1)有两个不等实根,转化为y =a 与y =x (ln x +1)的图象有两个不同的交点.令g (x )=x (ln x +1),则g ′(x )=ln x +2,令ln x +2=0,则x =1e 2,即g (x )=x (ln x +1)[g (x )]min =-1e 2,当x →0时,g (x )→0,当x →+∞时,f (x )→+∞,所以结合f (x )的图象(图略)可知a -1e 2,15.(2019·山师大附中模拟)已知函数f (x )=x 3-2x +e x -1e x ,其中e 是自然对数的底数,f (a -1)+f (2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是________.答案-1,12解析由函数f (x )=x 3-2x +e x -1e x f ′(x )=3x 2-2+e x +1e x ≥-2+e x +1ex ≥-2+2e x ·1e x=0,当且仅当x =0时等号成立,可得f (x )在R 上递增,又f (-x )+f (x )=(-x )3+2x +e -x -e x +x 3-2x +e x -1e x 0,可得f (x )为奇函数,则f (a -1)+f (2a 2)≤0,即有f (2a 2)≤0-f (a -1)=f (1-a ),即有2a 2≤1-a ,解得-1≤a ≤12.16.(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=f (x ),且对任意的不相等的实数x 1,x 2∈[0,+∞)有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,若关于x 的不等式f (2mx -ln x-3)≥2f (3)-f (-2mx +ln x +3)在x ∈[1,3]上恒成立,则实数m 的取值范围是______________.答案12e ,1+ln 36解析∵函数f (x )满足f (-x )=f (x ),∴函数f (x )为偶函数.又f (2mx -ln x -3)≥2f (3)-f (-2mx +ln x +3)=2f (3)-f (2mx -ln x -3),∴f (2mx -ln x -3)≥f (3).由题意可得函数f (x )在(-∞,0)上单调递增,在[0,+∞)上单调递减.∴|2mx -ln x -3|≤3对x ∈[1,3]恒成立,∴-3≤2mx -ln x -3≤3对x ∈[1,3]恒成立,即ln x2x ≤m ≤ln x +62x对x ∈[1,3]恒成立.令g (x )=ln x2x ,x ∈[1,3],则g ′(x )=1-ln x 2x 2∴g (x )在[1,e ]上单调递增,在(e,3]上单调递减,∴g (x )max =g (e)=12e .令h (x )=ln x +62x ,x ∈[1,3],则h ′(x )=-5-ln x2x 2<0,∴h (x )在[1,3]上单调递减,∴h (x )min =h (3)=6+ln 36=1+ln 36.综上可得实数m 的取值范围为12e ,1+ln 36.三、解答题(本大题共70分)17.(10分)(2019·辽宁重点高中联考)已知函数f (x )=x 3+mx 2-m 2x +1(m 为常数,且m >0)有极大值9.(1)求m 的值;(2)若斜率为-5的直线是曲线y =f (x )的切线,求此直线方程.解(1)f ′(x )=3x 2+2mx -m 2=(x +m )(3x -m )=0,令f ′(x )=0,则x =-m 或x =13m ,当x 变化时,f ′(x )与f (x )的变化情况如下表:f ′(x )+0-0+f (x )增极大值减极小值增从而可知,当x =-m 时,函数f (x )取得极大值9,即f (-m )=-m 3+m 3+m 3+1=9,∴m =2.(2)由(1)知,f (x )=x 3+2x 2-4x +1,依题意知f ′(x )=3x 2+4x -4=-5,∴x =-1或x =-13,又f (-1)=6,=6827,所以切线方程为y -6=-5(x +1)或y -6827=-即5x +y -1=0或135x +27y -23=0.18.(12分)(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )=x sin x +2cos x +ax +2,其中a 为常数.(1)若曲线y =f (x )在x =π2处的切线斜率为-2,求该切线的方程;(2)求函数f (x )在x ∈[0,π]上的最小值.解(1)求导得f ′(x )=x cos x -sin x +a ,由f a -1=-2,解得a =-1.此时2,所以该切线的方程为y -2=-2x +y -2-π=0.(2)对任意x ∈[0,π],f ″(x )=-x sin x ≤0,所以f ′(x )在[0,π]内单调递减.当a ≤0时,f ′(x )≤f ′(0)=a ≤0,∴f (x )在区间[0,π]上单调递减,故f (x )min =f (π)=a π.当a ≥π时,f ′(x )≥f ′(π)=a -π≥0,∴f (x )在区间[0,π]上单调递增,故f (x )min =f (0)=4.当0<a <π时,因为f ′(0)=a >0,f ′(π)=a -π<0,且f ′(x )在区间[0,π]上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一x 0∈(0,π),使得f ′(x 0)=0,且f (x )在[0,x 0]上单调递增,在[x 0,π]上单调递减.故f (x )的最小值等于f (0)=4和f (π)=a π中较小的一个值.①当4π≤a <π时,f (0)≤f (π),故f (x )的最小值为f (0)=4.②当0<a <4π时,f (π)≤f (0),故f (x )的最小值为f (π)=a π.综上所述,函数f (x )的最小值f (x )min,a ≥4π,π,a <4π.19.(12分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )=4ln x -mx 2+1(m ∈R ).(1)若函数f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线2x -y -1=0平行,求实数m 的值;(2)若对于任意x ∈[1,e ],f (x )≤0恒成立,求实数m 的取值范围.解(1)∵f (x )=4ln x -mx 2+1,∴f ′(x )=4x -2mx ,∴f ′(1)=4-2m ,∵函数f (x )在(1,f (1))处的切线与直线2x -y -1=0平行,∴f ′(1)=4-2m =2,∴m =1.(2)∵对于任意x ∈[1,e ],f (x )≤0恒成立,∴4ln x -mx 2+1≤0,在x ∈[1,e ]上恒成立,即对于任意x ∈[1,e ],m ≥4ln x +1x 2恒成立,令g (x )=4ln x +1x 2,x ∈[1,e ],g ′(x )=2(1-4ln x )x 3,令g ′(x )>0,得1<x <14e ,令g ′(x )<0,得14e <x <e ,当x 变化时,g ′(x ),g (x )的变化如下表:x 14(1,e )14e14(e ,e)g ′(x )+0-g (x )极大值∴函数g (x )在区间[1,e ]上的最大值g (x )max =g (14e )=141244ln e 1(e )+=2e e ,∴m ≥2ee,即实数m 的取值范围是2ee ,+20.(12分)已知函数f (x )=ln x -ax (ax +1),其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)若函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点,求实数a 的取值范围.解(1)依题意知,函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f ′(x )=1x -2a 2x -a =2a 2x 2+ax -1-x =(2ax -1)(ax +1)-x,当a =0时,f (x )=ln x ,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a >0时,由f ′(x )>0,得0<x <12a,由f ′(x )<0,得x >12a,函数f (x )当a <0时,由f ′(x )>0,得0<x <-1a ,由f ′(x )<0,得x >-1a ,函数f (x )-1a,+.(2)①当a =0时,函数f (x )在(0,1]内有1个零点x 0=1;②当a >0时,由(1)知函数f (x )若12a ≥1,即0<a ≤12时,f (x )在(0,1]上单调递增,由于当x →0时,f (x )→-∞且f (1)=-a 2-a <0知,函数f (x )在(0,1]内无零点;若0<12a <1,即当a >12时,f (x )1上单调递减,要使函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点,只需满足0,即ln 12a ≥34,又∵a >12,∴ln 12a <0,∴不等式不成立.∴f (x )在(0,1]内无零点;③当a <0时,由(1)知函数f (x )-1a,+若-1a ≥1,即-1≤a <0时,f (x )在(0,1]上单调递增,由于当x →0时,f (x )→-∞,且f (1)=-a 2-a >0,知函数f (x )在(0,1]内有1个零点;若0<-1a <1,即a <-1时,函数f (x )-1a,1上单调递减,由于当x →0时,f (x )→-∞,且当a <-1时,,知函数f (x )在(0,1]内无零点.综上可得a 的取值范围是[-1,0].21.(12分)(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)在工业生产中,对一正三角形薄钢板(厚度不计)进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件,现有一边长为3(单位:米)的正三角形钢板(如图),沿平行于边BC 的直线DE 将△ADE 剪去,得到所需的梯形钢板BCED ,记这个梯形钢板的周长为x (单位:米),面积为S (单位:平方米).(1)求梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式;(2)若在生产中,梯形BCED 试确定这个梯形的周长x 为多少时,该零件才可以在生产中使用?解(1)∵DE ∥BC ,△ABC 是正三角形,∴△ADE 是正三角形,AD =DE =AE ,BD =CE =3-AD ,则DE +2(3-AD )+3=9-AD =x ,S =(3+AD )·(3-AD )·sin 60°2=3(12-x )(x -6)4(6<x <9),化简得S =34(-x 2+18x -72)(6<x <9).故梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式为S =34(-x 2+18x -72)(6<x <9).(2)∵由(1)得S =34(-x 2+18x -72)(6<x <9),令f (x )=S x =x -72x +x <9),∴f ′(x )1令f ′(x )=0,得x =62或x =-62(舍去),f (x ),f ′(x )随x 的变化如下表:x(6,62)62(62,9)f ′(x )+0-f (x )单调递增极大值单调递减∴当x =62时,函数f (x )=S x有最大值,为f (62)=923-36.∴当x =62米时,该零件才可以在生产中使用.22.(12分)(2019·衡水中学调研)已知函数f (x )=k e x -x 2(其中k ∈R ,e 是自然对数的底数).(1)若k =2,当x ∈(0,+∞)时,试比较f (x )与2的大小;(2)若函数f (x )有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2),求k 的取值范围,并证明:0<f (x 1)<1.解(1)当k =2时,f (x )=2e x -x 2,则f ′(x )=2e x -2x ,令h (x )=2e x -2x ,h ′(x )=2e x -2,由于x ∈(0,+∞),故h ′(x )=2e x -2>0,于是h (x )=2e x -2x 在(0,+∞)上为增函数,所以h (x )=2e x -2x >h (0)=2>0,即f ′(x )=2e x -2x >0在(0,+∞)上恒成立,从而f (x )=2e x -x 2在(0,+∞)上为增函数,故f (x )=2e x -x 2>f (0)=2.(2)函数f (x )有两个极值点x 1,x 2,则x 1,x 2是f ′(x )=k e x -2x =0的两个根,即方程k =2x ex 有两个根,设φ(x )=2x e x ,则φ′(x )=2-2x ex ,当x <0时,φ′(x )>0,函数φ(x )单调递增且φ(x )<0;当0<x <1时,φ′(x )>0,函数φ(x )单调递增且φ(x )>0;当x >1时,φ′(x )<0,函数φ(x )单调递减且φ(x )>0.作出函数φ(x )的图象如图所示,要使方程k =2x e x 有两个根,只需0<k <φ(1)=2e,故实数k f (x )的两个极值点x 1,x 2满足0<x 1<1<x 2,由f ′(x 1)=1e x k -2x 1=0得k =112e x x ,所以f (x 1)=1e x k -x 21=112e x x 1e x -x 21=-x 21+2x 1=-(x 1-1)2+1,由于x 1∈(0,1),所以0<-(x 1-1)2+1<1,所以0<f (x 1)<1.。

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导数综合练习题
1.设函数x x f ln )(=的导函数为)(x f ',则函数)
(1
)()(x f x f x g '+
'=的值域为( ) (A )]2,(--∞ (B )),2[+∞ (C )),2[]2,(+∞⋃--∞ (D )[-2,+2] 2.已知x x f 1)(=,则x x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim 0
的值是( ) (A )
21x (B )x (C )x - (D )2
1
x - 3.设),()(,),()(),()(,sin )(112010x f x f x f x f x f x f x x f n n '
='='==+ 其中N n ∈,则)(2009x f 等于( )
(A )x sin (B )x sin - (C )x cos (D )x cos -
4.已知函数)1()(2
+++=a ax x e x f x 没有极值点,则a 的取值范围是( ) (A )40<<a (B )4>a 或0<a (C )40≤≤a (D )4≥a 或0≤a 5.(2008年辽宁卷6)设P 为曲线C :2
23y x x =++上的点,且曲线C 在点P 处切线倾 斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,,则点P 横坐标的取值范围为( )
A .112
⎡⎤--⎢⎥⎣


B .[]10-,
C .[]01,
D .112⎡⎤
⎢⎥⎣⎦

6.(2009全国卷Ⅱ理)曲线21
x
y x =-在点()1,1处的切线方程为( )
A. 20x y --=
B. 20x y +-=
C.450x y +-=
D. 450x y --=
7.(2008年福建卷12)已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图,那么y =f (x ),y =g (x )的图象
可能是
( )
8.(2009江西卷文)若存在过点(1,0)的直线与曲线3
y x =和215
94
y ax x =+
-都相切,则a 等于 ( )
A .1-或25-64
B .1-或214
C .74-或25-64
D .74
-或7 9.(2009天津卷理)设函数1
()ln (0),3
f x x x x =->则()y f x = ( )
A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。

B 在区间1
(,1),(1,)e e 内均无零点。

C 在区间1
(,1)e 内有零点,在区间(1,)e 内无零点。

D 在区间1
(,1)e
内无零点,在区间(1,)e 内有零点。

10.(2009江苏卷)在平面直角坐标系xoy 中,点P 在曲线3
:103C y x x =-+上,且在第二象
限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为
11.(2009江苏卷)函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为
12.若曲线()2
f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是
13.(2009陕西卷理)设曲线1
*()n y x
n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,
令lg n n a x =,则1299a a a +++ 的值为
14.(2009宁夏海南卷文)曲线21x
y xe x =++在点(0,1)处的切线方程为 15.已知2x =是函数2
()(23)x
f x x ax a e =+--的一个极值点
(I )求实数a 的值;
(II )求函数()f x 在]3,2
3[∈x 的最大值和最小值.
16.设函数3
2
9()62
f x x x x a =-
+-. (1)对于任意实数x ,()f x m '≥恒成立,求m 的最大值;
(2)若方程()0f x =有且仅有一个实根,求a 的取值范围.
17.(2009浙江文)已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R . (I )若函数()f x 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是3-,求,a b 的值; (II )若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调...,求a 的取值范围
18.(2009北京文)设函数3
()3(0)f x x ax b a =-+≠.
(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间与极值点.
19.已知函数2
2()(1)x b f x x -=-,求导函数
()f x ',并确定()f x 的单调区间.
20.设函数3
21()(1)4243
f x x a x ax a =
--++,其中常数a>1 (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a 的取值范围。

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