基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答案)
高中数学 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课后习题 新人教A版选修2-2
1.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值为()A. B. C. D.解析:∵f'(x)=3ax2+6x,∴f'(-1)=3a-6=4.∴a=.答案:B2.函数y=(e x+e-x)的导数是()A.(e x-e-x)B.(e x+e-x)C.e x-e-xD.e x+e-x解析:设u=e-x,v=-x,则u'x=(e v)'(-x)'=e v·(-1)=-e-x,即y'=(e x-e-x).答案:A3.函数f(x)=x cos x-sin x的导函数是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数,又不是偶函数解析:∵f'(x)=x'cos x+x(cos x)'-cos x=-x sin x,∴f'(-x)=x sin(-x)=-x sin x=f'(x).∴f'(x)为偶函数.答案:B4.已知函数y=f(x)满足f(1)=2,f'(1)=-1,则曲线g(x)=e x f(x)在x=1处的切线斜率是()A.-eB.eC.2eD.3e解析:g'(x)=e x f(x)+e x f'(x),g'(1)=e f(1)+e f'(1)=e.答案:B5.曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.4e2B.2e2C.e2D.e2解析:由导数的几何意义,切线的斜率k=y'|x=4=|x=4=e2,所以切线方程为y-e2=e2(x-4),令x=0,得y=-e2;令y=0,得x=2.所以切线与坐标轴所围三角形的面积为S=×2e2=e2.答案:C6.已知函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),则f'(1)=.解析:方法一:∵f(x)=(x2-3x+2)(x-3)=x3-6x2+11x-6,∴f'(x)=3x2-12x+11,故f'(1)=3-12+11=2.方法二:∵f'(x)=(x-1)'·(x-2)(x-3)+(x-1)·[(x-2)(x-3)]',∴f'(1)=(1-2)×(1-3)=2.答案:27.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为.解析:设切点为(x0,y0),则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),即x0+1=ln(x0+a).∵y'=,∴=1,即x0+a=1.∴x0+1=ln 1=0,∴x0=-1,∴a=2.答案:28.已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x≥0,其中a>0,若f'(1)=0,求a的值.解:f'(x)=[ln(ax+1)]'+'=,∴f'(1)==0.∴a=1.因此a的值为1.9.若函数f(x)=在x=c处的导数值与函数值互为相反数,求c的值.解:∵f(x)=,∴f(c)=.又∵f'(x)=,∴f'(c)=.依题意知f(c)+f'(c)=0,∴=0.∴2c-1=0,得c=.B组1.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A. B.C. D.解析:y'=-=-,设t=e x∈(0,+∞),则y'=-=-,∵t+≥2,∴y'∈[-1,0),α∈.答案:D2.已知f(x)=x3+3xf'(0),则f'(1)=.解析:f'(x)=x2+3f'(0),∴f'(0)=3f'(0),∴f'(0)=0,∴f'(1)=1.答案:13.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f'(1)=.解析:令t=e x,则x=ln t,所以函数为f(t)=ln t+t,即f(x)=ln x+x,所以f'(x)=+1, 即f'(1)=+1=2.答案:24.等比数列{a n}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)·(x-a2)…(x-a8),则f'(0)等于. 解析:f'(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x[(x-a1)·(x-a2)…(x-a8)]',∴f'(0)=a1a2…a8=(a1a8)4=84=212.答案:2125.已知曲线f(x)=x3-3x,过点A(0,16)作曲线f(x)的切线,求曲线的切线方程.解:设切点为(x0,y0),则由导数定义得切线的斜率k=f'(x0)=3-3,∴切线方程为y=(3-3)x+16,又切点(x0,y0)在切线上,∴y0=3(-1)x0+16,即-3x0=3(-1)x0+16,解得x0=-2,∴切线方程为9x-y+16=0.6.已知函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数f'(x)=2x-8.(1)求a,b的值;(2)设函数g(x)=e x sin x+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.解:(1)∵f(x)=ax2+bx+3(a≠0),∴f'(x)=2ax+b,又知f'(x)=2x-8,∴a=1,b=-8.(2)由(1)可知g(x)=e x sin x+x2-8x+3,∴g'(x)=e x sin x+e x cos x+2x-8,∴g'(0)=e0sin 0+e0cos 0+2×0-8=-7,又知g(0)=3,∴g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0).即7x+y-3=0.7.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.(1)解:由7x-4y-12=0得y=x-3.当x=2时,y=,∴f(2)=,①又f'(x)=a+,f'(2)=,②由①②得解之,得故f(x)=x-.(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y'=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-(x-x0).令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.。
基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答案)
基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答案）选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1 .函数y = (x+ 1)2(x—1)在x= 1处的导数等于()A．1B．2C. 3D. 4答案］D解析］y = (x+1)2］'—x1 )+(x+ 1)2(x—1)'=2(x + 1)?(x—1) + (x+ 1)2= 3x2 + 2x—1,y‘ =1= 4.2.若对任意x€ R, f‘ =)4x3, f(1) = —1,则f(x)=()A. x4B. x4— 2C. 4x3—5D. x4+ 2答案］B解析］丁f‘(=4x3.f(x) = x4+c,又f(1) = — 1• • • 1 + c= — 1 ,• • • c= —2,—f(x) = x4 — 2.3 .设函数f(x) = xm + ax 的导数为f‘ =)2x+1,则数列{1f(n)}(n € N*) 的前n 项和是()A.nn+1B.n+2n+1C.nn—1D.n+1n 答案］A解析］T f(x) = xm+ ax 的导数为f‘(x)2x + 1,/. m = 2, a= 1,二f(x) = x2+ x,即f(n) = n2+n=n(n+ 1),二数列{1f(n)}(n € N*)的前n项和为：Sn= 11 X2 12X3 13 x+…+ 1n(n+ 1)=1 —12+ 12—13+…+ 1n —1n + 1=1 —1n+ 1= nn+ 1,故选 A.4.二次函数y = f(x)的图象过原点，且它的导函数y= f‘的)图象是过第一、二、三象限的一条直线，贝卩函数y= f(x)的图象的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案］C解析］由题意可设f(x)= ax2 + bx, f' (=2ax + b,由于f‘(的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0, b>0,则f(x) = ax+ b2a2—b24a, 顶点—b2a,—b24a 在第三象限,故选 C.5 .函数y = (2 + x3)2的导数为()A. 6x5+ 12x2B. 4+ 2x3C. 2(2+ x3)2D. 2(2+ x3)?3x答案］A解析］t y= (2+ x3)2= 4+ 4x3+ x6,/. y = 6x5 + 12x2.6. (2010?江西文，4)若函数f(x) = ax4 + bx2 + c满足f‘ 侍)2,贝卩 f -(1)=()A.- 1B.- 2C. 2D. 0答案］B解析］本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f‘(x)4ax3+ 2bx,f，41)=-4a-2b=- (4a + 2b), f '件)4a + 2b, A「—()= — f‘(4— 2要善于观察,故选 B.7.设函数f(x)= (1 —2x3)10，贝S f ' 4X)A. 0B.- 1C.- 60D. 60答案］D解析］f ' (4)10(1 —2x3)9(1 —2x3) 4 10(1 —2x3)9?(—6x2)= —60x2(1 —2X3)9,A f ' (1)60.8.函数y = sin2x—cos2x的导数是()A. 22cos2x— n 4B cos2x— sin2xC. sin2x+ cos2xD. 22cos2x+ n4答案］A解析］y = (si n2x—cos2x) = (sin 2x) —(cos2x)=2cos2x+ 2sin2x= 22cos2x— n 4.9.(2010?高二潍坊检测)已知曲线y= x24—3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A. 3B. 2C. 1D.12答案］A解析］由「(対x2 —3x= 12得x= 3.10.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y= f(x)在x=5 处的切线的斜率为()A.—15B. 0C.15D. 5答案］B解析］由题设可知f(x + 5) = f(x)二f‘ (+5)= f‘ ,)二f‘(®f‘ (0)又f( —x)= f(x),「. fTx)(—1)= f‘ (x)即x)= —f‘ ,)••• f‘ (0)0故f '(另f ' (&)0.故应选B.二、填空题11.________________________________________ 若f(x) = x, © (x 弄 1 + sin2x,则 f © (x并______________________ , © f(x)扫 _______答案］2si nx+ n4 1 + sin2x解析］f © (x)f 1 + sin2x= (sinx+ cosx)2 =|sinx + cosx| = 2sinx+ n 4.© f(x)” 1 + sin2x.12.设函数f(x) = cos(3x+ © )(0C ©< n,若f(x)+ f '是)奇函数，贝S ©=答案］n6解析］f (x)- 3sin(3x+ ©)f(x) + f ' (x)cos(3x+ © ) 3sin(3x+ ©)=2sin3x + ©+ 5 n 6.若f(x) + f‘ 为奇函数，则f(0) + f‘ (=)0,即0= 2sin + 5 n 6 二©+ 5 n 6= k n (l€ Z).又T ©€ (0, n ,二©= n 6.13.函数y= (1+ 2x2)8的导数为_________ .答案］32x(1 + 2x2)7解析］令u= 1 + 2x2,则y= u8,••• y' = y' u?u= 8u7?4x= 8(1 + 2x2)7?4x= 32x(1 + 2x2)7.14.函数y= x1 + x2 的导数为_______ .答案］(1 + 2x2)1 + x21 + x2解析］y = (x1 + x2) = x' + x2+ x(1 + x2) = 1 + x2 + x21 + x2= (1 + 2x2)1 + x21 + x2.三、解答题15.求下列函数的导数：(1)y= xsin2x; (2)y= In(x + 1+ x2);(3)y= ex+ lex—1; (4)y= x+ cosxx+ sinx.解析](1)y =(x) sir+xc(sin2x)'=sin2x+ x?2s in x?(s in x)= §in2x+ xsin 2x.(2)y = 1x+ 1 + x2?(x + 1 + x2)'=1x+ 1 + x2(1 + x1 + x2)= 11 + x2.(3)y = (ex +1) ' (—x1)—(ex + 1)(ex—1) ' (—1)2= —2ex(ex—1)2.(4)y = (x+ cosx) '+(sinx)—(x+ cosx)(x+ sinx)(x+ sinx)2= (1 —sinx)(x+ sinx)—(x+ cosx)(1+ cosx)(x+ sinx)2=—xcosx—xsinx+ sinx—cosx—1(x+ sinx)2.16．求下列函数的导数：(1)y= cos2(x2—x); (2)y= cosx?sin3x;(3)y= xIoga(x2+ x—1); (4)y= Iog2x—1x+ 1.解析](1)y = cos2(x2- x)]=2cos(x2— x)cos(x2— x)]=2cos(x2— x) —sin(x2—x)](x2 —x)'= 2cos(x2—x)—sin(x2—x)](2x—1)= (1 —2x)sin2(x2—x)．(2)y = (cosx?sin3x)= (cosx) ' s+3x)sx(sin3x) '=—sinxsin3x+ 3cosxcos3x= 3cosxcos3x—sinxsin3x.(3)y = Ioga(x2+ x—1)+ x?1x2+ x—1Iogae(x2+ x—1) = Ioga(x2+ x—1)+2x2＋xx2＋x－1logae.(4)y 厶x+ 1x—1x—1x+ 1' Iog2ex + 1x—1log2ex + 1 —x+ 1(x + 1)2=2log2ex2— 1.17.设f(x) = 2sinx1 + x2,如果 f '閑2(1 + x2)2?g(x),求g(x).解析］•/ f'閑2cosx(1+ x2)—2sinx?2x(1 + x2)2=2(1 + x2)2(1 + x2)cosx— 2x?s inx］,又f‘ 閑2(1 + x2)2?g(x).g(x)= (1 + x2)cosx- 2xs in x.18.求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)(1)y= f1x；(2)y=f(x2 + 1).解析］(1)解法1：设y= f(u), u= 1x,则y‘亲y‘ u?u=f' (u—1x2= —1x2f ' 1x.解法2：y = f1x = f‘ 1x?似-1x2f‘ 1x.(2)解法1:设y= f(u), u = v, v=x2+ 1,。
高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课时练 新人教A版选修22
高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）课时练 新人教A 版选修22【金版新学案】2014-2015学年高中数学 1.2.2(2) 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课时练 新人教A 版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝sin x ′－x 2′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x解析： A 项中(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确．答案： A2．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝( )A ．0B ．－4C ．－2D ．2 解析： 因为f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝2＋2f ′(1)．解得f ′(1)＝－2，所以f ′(x )＝2x －4，所以f ′(0)＝－4.故选B.答案： B3．曲线y ＝x 2x －1在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．x －y －2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝0 解析： y ′＝－12x －12，∵点(1,1)在曲线上，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－12x －12|x ＝1＝－1，由直线的点斜式方程得切线方程是x＋y －2＝0.答案： B4．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(3，f (3))处的切线的倾斜角为( ) A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 解析： f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f ′(3)＝2e 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫3＋π4＜0，则此函数图象在点(3，f (3))处的切线的倾斜角为钝角． 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝x 2x ＋3的导数是________．解析： y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′ ＝x 2′x ＋3－x 2·x ＋3′x ＋32＝2x x ＋3－x 2x ＋32＝x 2＋6x x ＋32. 答案： x 2＋6x x ＋326．(全国大纲卷改编)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a＝________.解析： y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.答案： －6三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列函数的导数：(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6；(2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；(3)y ＝x －1x ＋1；(4)y ＝－sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4. 解析： (1)y ′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′＝5x 4－9x 2－10x .(2)方法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－8x ＋9.方法二∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6，∴y ′＝18x 2－8x ＋9.(3)方法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12 ＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.(4)∵y ＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x4＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝12sin x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝12(sin x )′＝12cos x .8．求下列函数的导数：(1)y ＝11－3x 4；(2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(3)y ＝ln(2x 2＋x )；(4)y ＝x ·2x －1.解析： (1)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝121－3x 5.(2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(2x 2＋x )′＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.先求t ＝2x －1的导数．设u ＝2x －1，则t ＝u 12， t x ′＝t u ′·u x ′＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1. ∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 尖子生题库☆☆☆ (10分)已知曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l的方程．解析： ∵y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴y ′|x ＝0＝2，∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设适合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. ∴适合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4.。
考点35 求导公式及运算(原卷版)
考点35 求导公式及运算一．基本初等函数的导数公式二．导数的运算法则 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0). 三．求导原则1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导． 2．常见形式及具体求导6种方法四．复合函数求导知识理解复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．考向一 基本函数的求导【例1】（2021·全国课时练习）下列各式中正确的是（ ） A ．(log a x )′=1x= B ．(log a x )′=ln10xC ．(3x )′=3xD ．(3x )′=3x ln3【举一反三】1．（2021·陕西宝鸡市）以下求导正确的是（ ） A ．(cos )sin x x '=B ．21(log )x x=' C ．211()x x'=-D ．1(1ln )1x x'+=+2．（2021·全国单元测试）下列结论正确的个数为（ ） ∈若y ＝ln2，则y ′＝12；∈若f (x )＝21x ，则f ′（3）＝－227；∈若y ＝2x ，则y ′＝2x ln2；∈若y ＝log 5x ，则y ′＝1ln 5x ． A ．4 B ．1 C ．2 D ．33．（2021·赣州市赣县第三中学）下列求导运算不正确的是（ ） A ．()22x x '=B ．()1ln 33xxe e '+=+ C ．()33ln 3x x '=D ．()sin cos x x '=4．（2021·全国课时练习）已知函数2()2xf x x x xe =+-，则(0)f '=（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2考向二 导函数的运算法则【例2】（2021·陕西咸阳市）下列求导运算正确的是（ ）A ．()1e ln e ln xx x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭B ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭考向分析C ．()2sin 2cos x x x x '=D ．()33x x '=【举一反三】1．（2021·横峰中学）下列求导运算正确的是（ ）A ．1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()1x x x e e '⋅=+C ．2111x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ D ．()2cos 2sin x x x x '=-2．（2020·扬州市第一中学高三月考）下列求导运算正确的是（ ） A ．'211()1x xx+=+B ．'21(log )ln 2x x =C ．x '3(3)3log xe =D ．2'(x cos )2sin x x x =-3．（2020·陕西省子洲中学）函数cos sin y x x x =-的导数为（ ） A ．2cos sin x x x + B ．2cos sin x x x - C ．sin x x - D ．sin x x4．（2020·西藏山南二中高三月考）下列导数计算正确的是（ ）A ．211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()31log ln 3x x '=C ．()x x xe e '=D ．()cos 1sin x x x '+=+ 考向三 复合函数的求导【例3】（2021·天津河西区·高二期末）函数()212cos x y e x x -+=-+的导数为（ ）A ．()()21222sin (21)cos x y ex x x x x -+⎡=-+--'⎣B ．()()21222cos (21)sin x y e x x x x x -+⎡⎤'=--+--⎣⎦ C ．()()21222sin (21)cos x y e x x x x x -+⎡⎤'=--+--⎣⎦D ．()()21222cos (21)sin x y ex x x x x -+⎡⎤'=-+--⎣⎦【举一反三】1．（2021·全国课时练习）函数y ＝x 2cos 2x 的导数为（ ） A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x2．（2021·安徽马鞍山市·马鞍山二中）函数xy e -=的导函数为（ ）A ．x y e =-B ．x y e -=-C ．x y e =D ．x y e -=3．（2021·江西南昌市·高二期末（理））函数()22423y x x =-+的导数是（ ）A ．()2823x x -+ B ．()2216x -+ C ．()()282361x xx -+-D ．()()242361x xx -+-4．（2020·陕西省子洲中学）函数2cos(1)4y x =++的导数是（ ）A ．22sin(1)x x +B ．2sin(1)x -+C ．22cos(1)x +D ．22sin(1)x x -+考向四 求导数【例4-1】（2021·江西鹰潭市·）已知()sin f x x x =⋅，则导数()f π'=（ ） A ．0B ．1-C ．πD ．π-【例4-2】（2019·四川成都市树德协进中学高二期中（理））已知函数()f x 的导函数是()'f x ，且满足()sin cos 4f x x x π'⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭______.【举一反三】1．（2021·河南平顶山市）已知函数()sin f x x x =，()'f x 为()f x 的导数，则2f π⎛⎫'=⎪⎝⎭（ ） A ．-1 B ．1 C ．2π D ．12π+2．（2021·安徽蚌埠市）已知()sin cos 3f x f x x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭__________． 3（2021·通化县综合高级中学）已知()31f x x x=-+的导函数为()f x '，则()1f '-=________一、单选题1．（2021·全国单元测试）已知函数f (x )＝ln x ，则(3)f '＝（ ） A ．13 B ．－13C ．ln3D ．－ln3 2．（2021·全国课时练习）设函数f (x )=cos x ，则2f π'⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．以上均不正确3．（2021·南昌市新建一中）下列求导运算中错误的是（ ） A ．(3)3ln 3xx'=B ．2ln 1ln x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭D ．(sin cos )cos 2x x x ='⋅4．（2021·河南驻马店市）下列求导结果正确的是（ ）A ．cos sin 66ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()133x x x -'=C ．()22log log ex x'=D ．()sin 2cos 2x x '=5．（2020·江苏泰州市·泰州中学）设函数()sin 3xg x e x =++，则()()00g g '+=（ ） A ．2B ．4C ．6D ．86．（2021·全国课时练习）已知函数()331xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020212021f f f f ''+-+--的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．（2020·全国课时练习（文））已知()2xf x x e =+，则()0f '=（ ） A ．0B ．4-C ．2-D ．18．（2020·安徽六安市·六安二中高二月考（文））已知()ln f x x x =，若()00f x '=，则0x =（ ）强化练习A ．1eB ．1C ．eD ．2e9．（2021·山西）若函数21()f x x x=+，则()1f '-=（ ） A ．1-B ．1C ．3-D ．310．（2021·江苏启东市）已知函数()ln xf x e x =，()f x '为x 的导函数，则()1f '的值为（ ） A ．1eB ．eC ．1D ．011．（2021·浙江金华市）若函数2()cos f x ax b x c =++满足(2)2f '=，则(2)f '-=（ ）A ．1-B ．2-C ．0D ．112．（2021·湖南常德市）下列各式正确的是（ ） A ．()ln x x a a a '=B ．()cos sin x x '=C ．sin cos 88ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()5615xx --'=-二、多选题13．（2021·全国课时练习）下列求导运算错误．．的是（ ） A ．233()1x x x '=++ B ．21(log )ln 2x x '=C ．(3)3x x '=D ．2()n os si c 2x x x x '=-14．（2021·全国课时练习）（多选题）下列求导运算错误．．的是（ ） A ．()cos sin x x '= B ．()333log xx e '=C ．()1lg ln10x x '=D ．()212x x --'=-15．（2021·河北邯郸市）下列导数运算正确的有（ ）A ．211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()(1)x x xe x e '=+C ．()222x x e e '=D ．()2ln 2x x'=16．（2020·江苏高二期中）设()f x '是函数()y f x =的导函数，则以下求导运算中，正确的有（ ） A ．若()sin 2f x x =，则()cos2f x x '=B ．若()ln 2xf x xe =-，则()()1x f x x e '=+C ．若()21f x x '=-，则()2f x x x =-D ．若()tan f x x =，则()21cos f x x'=三、填空题17．（2020·沙坪坝区·重庆八中高三月考）设函数()f x 的导函数是()'f x ，若2()sin 2f x f x x π'⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2f π'⎛⎫= ⎪⎝⎭____________． 18．（2020·安徽高三月考（文））已知()()32'0f x x xf =+，则()'1f =_______.19．（2020·利辛县阚疃金石中学高三月考）已知2()x f x e x =+，则(1)(1)f f '+=________．20．（2021·吉林长春市）已知函数21()2(2021)2021ln 2f x x xf x '=-++，则()2021f '=___________. 21．（2020·海口市第四中学高三期中）已知函数2()2(1)3f x x f x '=+-，则()1f '=________.22．（2021·全国高二单元测试）设f (x )＝ae x ＋bx ，且(1)f ＝1e，(1)f '＝e ，则a ＋b ＝________． 23．（2021·南昌市新建一中）已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足关系式2()3(2)f x x xf '=+,则(2)f '的值等于_______.24．（2021·河南）已知函数()3f x ax =+()14f '=，则a =__________．四、解答题25．（2021·陕西省黄陵县中学）求下列函数的导数． ∈n 1l y x x=+； ∈()()22131y x x =-+；∈sin cos 22x y x x =-； ∈cos x x y e=；26．（2021·全国）求下列函数的导数．（1）()2321x y x =+；（2）sin 2xy e x -=；（3）1y =； （4）()21cos 23x y x +=-+．27．（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）y ＝103x －2；（2）y ＝ln(e x ＋x 2)；（3）y ＝.28．（2021·全国课时练习）求下列函数的导数． （1）22y xx -=+；（2）32x x xy e e =-+；（3）2ln 1x y x =+；（4）2sin cos 22x x y x =-．。
高中数学专题练习《基本初等函数的导数》含详细解析
5.2 导数的运算5.2.1 基本初等函数的导数基础过关练题组一 利用导数公式求函数的导数1.(2020浙江绍兴稽山中学高二下期中)已知f(x)=cos30°,则f'(x)的值为( )A.-12B.12C.-32D.02.已知函数f(x)=1x2,则 )A.-14B.-18C.-8D.-163.函数y=1x在x=4处的导数是( )A.116B.-116C.18D.-184.下列求导运算正确的是( )A.(cos x)'=sin xB.(3x)'=3x log3eC.(lg x)'=1x ln10D.(x-2)'=-2x-15.设f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),……,f n+1(x)=f n'(x),n∈N,则f2 019(x)=( )A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x6.(多选)下列求导运算正确的是( )'=1x2B.(x)'=12xC.(x a)'=ax a-1D.(log a'=1x ln a 7.求下列函数的导数.(1)y=1x5;(2)y=x2x;(3)y=lg x;(4)y=5x-x.题组二 导数公式的应用8.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末)曲线y=1x在点A(-1,-1)处的切线方程是( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y+2=0D.x-y-2=09.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为( )A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=010.(2020福建三明第一中学月考)以正弦曲线y=sin x上一点P为切点作切线l,则切线l的倾斜角的范围是( )A.0,πB.[0,π), D.0,,11.已知函数f(x)=ln x,则函数g(x)=f(x)-f'(x)的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.若曲线y=x-12在点(m,m-12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则m=( )A.64B.32C.16D.813.(多选)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中,有“巧值点”的是( )A.f(x)=x2B.f(x)=e-xC.f(x)=ln xD.f(x)=1x14.(2019广东东莞高二上期末)设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线,计算a1+a2+a3+…+a2019.与x轴交点的横坐标为x n,令a n=lg1x n答案全解全析基础过关练1.D ∵f(x)=cos 30°=32,∴f'(x)=0.2.D f'(x)=-2x -3=-2x 3,则故选D.3.B y'=-12x -32,∴y'x=4=-12×4-32=-116,故选B.4.C (cos x)'=-sin x,故A 不正确;(3x )'=3x ·ln 3,故B 不正确;(lg x)'=1x ·ln10,故C 正确;(x -2)'=-2x -2-1=-2x -3,故D 不正确.故选C.5.D f 0(x)=sin x,f 1(x)=f 0'(x)=(sin x)'=cos x,f 2(x)=f 1'(x)=(cos x)'=-sin x,f 3(x)=f 2'(x)=(-sin x)'=-cos x,f 4(x)=f 3'(x)=(-cos x)'=sin x,所以4为最小正周期,故f 2 019(x)=f 3(x)=-cos x.6.BCD 在A 中-1)'=-1x 2,故A 错误;在B 中,(x )'=(x 12)'=12×x -12=12x ,故B 正确;在C 中,(x a )'=ax a-1,故C 正确;在D 中,(log a '=1x ln a ,故D 正确.故选BCD.7.解析 (1)∵y=1x 5=x -5,∴y'=-5x -6.(2)∵y=x 2x =x 2x 12=x 32,∴y'=32x 12.(3)∵y=lg x,∴y'=1x ln10.(4)∵y=5x ,∴y'=5x ln 5.(5)∵-x =sin x,∴y'=cos x.8.C 由y=1x 得y'=-x -2,因此切线的斜率为k=-(-1)-2=-1,∴切线方程为y+1=-(x+1),即x+y+2=0,故选C.9.A ∵直线x+4y-8=0的斜率为-14,∴直线l 的斜率为4,又y'=4x 3,∴4x 3=4,得x=1,又当x=1时,y=x 4=1,∴直线l 的方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.10.A ∵y=sin x,∴y'=cos x,∵cos x ∈[-1,1],∴切线斜率的范围是[-1,1],∴倾斜角的范围是0,,π,故选A.11.B 由f(x)=ln x,得f'(x)=1x ,则g(x)=f(x)-f'(x)=ln x-1x .易知函数g(x)的定义域为(0,+∞),且函数g(x)在(0,+∞)上为增函数,又g(1)=ln 1-1=-1<0,g(2)=ln 2-12=ln 2-ln e >0,所以函数g(x)在区间(1,2)上有唯一零点.12.A 因为y'=-12x -32,所以曲线y=x -12在点(m,m -12)处的切线方程为y-m -12=-12·m -32(x-m),令x=0,得y=32m -12,令y=0,得x=3m,由题意可得,12×32m -12×3m=18,解得m=64.13.ACD 在A 中,若f(x)=x 2,则f'(x)=2x,则x 2=2x,这个方程显然有解,故A 符合要求;在B 中,若f(x)=e -x ,则ln 1e =-e -x ,即e -x =-e -x ,此方程无解,故B 不符合要求;在C 中,若f(x)=ln x,则f'(x)=1x ,由ln x=1x ,数形结合可知该方程存在实数解,故C 符合要求;在D 中,若f(x)=1x ,则f'(x)=-1x 2,由1x =-1x 2,可得x=-1,故D 符合要求.故选ACD.14.解析 因为y=x n+1,所以y'=(n+1)x n ,所以曲线y=x n+1(n ∈N *)在(1,1)处的切线斜率为k=n+1,切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,得x=n n +1,即x n =n n +1,所以a n =lg 1x n =lg(n+1)-lg n,所以a 1+a 2+a 3+…+a 2 019=lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+lg 4-lg 3+…+lg 2 020-lg 2 019=lg 2 020-lg 1=1+lg 202.。
人教A高中数学选修22提能达标过关：1.22 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一 含解析
第一章 1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)提能达标过关一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xB ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x 2D ．若y ＝x ，则y ′＝x 2解析：若y ＝cos x ，则y ′＝－sin x ，∴A 错；若y ＝sin x ，则y ′＝cos x ，∴B 错；若y ＝1x ＝x －1，则y ′＝－1·x －2＝－1x 2，∴C 正确；若y ＝x ＝，则y ′＝12·＝12x ，∴D 错． 答案：C2．函数y ＝e x 在点(0,1)处的切线方程为( )A ．y ＝1e x ＋1B ．y ＝e x ＋1C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1解析：∵y ′＝e x ，∴k ＝f ′(0)＝e 0＝1，∴切线方程为y －1＝1·(x －0)，即y ＝x ＋1，故选D.答案：D3．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线的倾斜角为α，∵y ′＝(sin x )′＝cos x ，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝tan α.∵－1≤cos x 0≤1，∴－1≤tan α≤1.又∵0≤α＜π，∴0≤α≤π4或3π4≤α＜π.答案：A4．(2019·定州高三模拟)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：设函数y ＝f (x )的图象上两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)，若函数具有T 性质，则k 1·k 2＝f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A 选项，f ′(x )＝cos x ，显然k 1·k 2＝cosx 1·cos x 2＝－1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，f ′(x )＝1x (x >0)，显然k 1·k 2＝1x 1·1x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，f ′(x )＝e x >0，显然k 1·k 2＝e x 1·e x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，f ′(x )＝3x 2≥0，显然k 1·k 2＝3x 12·3x 22＝－1无解，故该函数不具有T 性质．故选A.答案：A5．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切，则k 的值为( )A ．eB ．－eC.1e D ．－1e 解析：∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x .设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝kx 0，y 0＝ln x 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，y 0＝1.∴k ＝1e . 答案：C二、填空题6．若f (x )＝10x ，则f ′(1)＝________.解析：∵f (x )＝10x ，∴f ′(x )＝10x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10.答案：10ln 107．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．解析：y ′＝1x ln 2，∴∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，令x ＝0，得y ＝－1ln 2，令y ＝0，得x ＝1，∴S ＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1ln 2＝12ln 2. 答案：12ln 28．(2019·寿光高二月考)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 018(x )＝________.解析：由已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x .答案：－sin x三、解答题9．(2019·泉州高二月考)已知两条曲线y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．理由如下：由于y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，所以两条曲线在P (x 0，y 0)处切线的斜率分别为k 1＝y 1′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y 2′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．10．已知函数y ＝12x 2的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 02处的切线为l ，若l 也为函数y ＝ln x (0<x <1)的图象的切线，求证：3<x 0<2.证明：函数y ＝12x 2的导数为y ′＝x ，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 02处的切线的斜率为k ＝x 0， 切线方程为y －12x 02＝x 0(x －x 0)，设切线与y ＝ln x 相切的切点为(m ，ln m )，0<m <1，由y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，可得x 0＝1m ，切线方程为y －ln m ＝1m (x －m )，令x ＝0，可得y ＝ln m －1＝－12x 02，由0<m <1，可得x 0>1，由m＝1x0，可得12x02－ln x0－1＝0，令f(x)＝12x2－ln x－1，x>1，∴f′(x)＝x－1x>0，∴f(x)在(1，＋∞)上递增，且f(2)＝1－ln 2>0，f(3)＝32－12ln 3－1＝12(1－ln 3)<0，则有12x02－ln x0－1＝0的根x0∈(3，2)．∴3<x0<2.。
函数求导练习题(含解析)
一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝，C为常数；（2）（xα）′＝，α为常数；（3）（a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝；（6）（cos x）′＝．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．6．求下列函数的导数．（Ⅰ）；（Ⅱ）．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．9．求下列函数的导数：（1）；（2）．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）解析一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝0，C为常数；（2）（xα）′＝αxα﹣1，α为常数；（3）（a x）′＝a x lna，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝cos x；（6）（cos x）′＝﹣sin x．分析：根据初等函数的导数公式，直接求解即可．解答：解：（1）（C）′＝0，（2）（xα）′＝αxα﹣1，（3）（a x）′＝a x lna，（4）（log a x）′＝，（5）（sin x）′＝cos x，（6）（cos x）′＝﹣sin x．故答案为：（1）0；（2）αxα﹣1；（3）a x lna；（4）；（5）cos x；（6）﹣sin x．点评：本题主要考查初等函数的导数公式，比较基础．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．分析：利用导数的运算性质逐个化简即可求解．解答：解：（1）由已知可得y′＝2x﹣7；（2）由已知可得y′＝1+2cos x．点评：本题考查了导数的运算性质，属于基础题．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．分析：（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可．解答：解：（1）f（x）＝3x4+sin x则f′（x）＝12x3+cos x；（2），则f′（x）＝+﹣2e2x﹣1．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（1）∵y＝ln（2x+1），∴y′＝×2＝，（2）∵，∴y′＝﹣sin（﹣2x）×（﹣2）＝2sin（﹣2x）＝﹣2sin（2x﹣）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．分析：根据复合函数的求导法则、基本初等函数的求导公式求导计算即可．解答：解：（1）∵，∴．（2）∵g（x）＝（8﹣3x）7，∴g'（x）＝7（8﹣3x）6⋅（8﹣3x）'＝﹣21（8﹣3x）6．（3）∵p（x）＝5cos（2x﹣3），∴p'（x）＝﹣5sin（2x﹣3）⋅（2x﹣3）'＝﹣10sin（2x﹣3）．（4）∵w（x）＝ln（5x+6）2，∴点评：本题考查导数的计算，注意复合函数的导数计算，属于基础题．（Ⅰ）；（Ⅱ）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）＝．（Ⅱ）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．分析：利用导数的运算性质化简即可求解．解答：解：（1）因为f（x）＝sin x cos x＝sin2x，所以f′（x）＝cos2x×＝cos2x，（2）∵y＝，∴y′＝＝．点评：本题考查了导数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：根据导数的公式，即可依次求解．解答：解：（1）y'＝＝．（2）因为y＝（2x2+3）（3x﹣2）＝6x3﹣4x2+9x﹣6，所以y′＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查导数的运算，属于基础题．（1）；（2）．分析：（1）先展开f（x），然后求导即可；（2）根据基本初等函数和商的导数的求导公式求导即可．解答：解：（1），；（2）．点评：本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：结合基本初等函数的求导公式及求导法则求解即可．解答：解：（1）S（t）＝＝t+，所以S′（t）＝1﹣；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2），所以h′（x）＝4x（3x﹣2）+3（2x2+3）＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查了基本初等函数的求导公式及求导法则，属于基础题．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．分析：利用复合函数的导函数的求法，结合导数的运算求解即可．解答：解：（1），所以；（2）所以．点评：本题考查了导函数的求法，重点考查了导数的运算，属基础题．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．分析：直接利用基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算求解即可．解答：解：（1）令t＝1﹣2x2，则，所以；（2）．点评：本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算，考查了运算能力，属于基础题．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．分析：由已知结合函数的求导公式即可求解．解答：解：（1）y′＝cos x+；（2）y′＝﹣sin x+1；（3）y′＝sin x+x cos x；（4）y′＝＝；（5）y′＝6x+cos x﹣x sin x；（6）y′＝＝﹣．点评：本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．分析：根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．解答：解：（1）y′＝3x2﹣2；（2）y′＝sin（2x+5）+2x cos（2x+5）．点评：本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）．分析：利用导数的运算法则以及常见函数的导数进行求解即可．解答：解：（1）因为y＝（x2+3x+3）e x+1，所以y'＝[（x2+3x+3）e x+1]'＝（x2+3x+3+2x+3）e x+1＝（x2+5x+6）e x+1＝（x+2）（x+3）e x+1；（2）因为，所以．点评：本题考查了导数的运算，主要考查了导数的运算法则以及常见函数的导数公式，考查了化简运算能力，属于基础题．。
高中数学导数的计算精选题目(附答案)
高中数学导数的计算精选题目（附答案）(1)基本初等函数的导数公式(2)导数运算法则①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．（3）复合导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ；(3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2co S 2x2－1. 3.(1)y ＝x 3·e x ； (2)y ＝x －S i n x 2co S x2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1.4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x； (4)y ＝lg x －1x 2.5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ；(3)y ＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1) 8．求下列函数的导数． (1)f (x )＝(－2x ＋1)2； (2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2； (4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6；(6)f (x )＝co S 2x .9．求下列函数的导数． (1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.10．求下列函数的导数． (1)y ＝S i n 2x3； (2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3； (3)y ＝11－x 2； (4)y ＝x l n (1＋x )．11. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．12．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1参考答案：1.解： (1)y ′＝(10x )′＝10x l n 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x.(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝S i n 2x2＋2S i n x 2co S x 2＋co S 2x 2－1 ＝S i n x ，∴y ′＝(S i n x )′＝co S x .2.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x l n 1e ＝－1e x ＝－e －x .(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x l n 110＝－ln 1010x＝－10－x l n 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(5)∵y ＝2co S 2x2－1＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x . 3.解： (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12S i n x ，∴y ′＝x ′－12(S i n x )′＝1－12co S x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.4.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.(2)y ′＝(xS i n x )′＋(x )′＝S i n x ＋x co S x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. 5.解：如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.6.解：∵y ＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x ，∴曲线在点P π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－S i n π3＝－32，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0. 7.解： (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2， 则y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 .(2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.8.解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2. (4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4， 则y ′＝y u ′·u x ′＝12u·5＝525x ＋4.(5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.(6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ； 法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ， 所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 2x ′＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x . 9.解： (1)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(2)∵y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4 ＝－12S i n 4x －2x co S 4x .10.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3. (3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2.(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x 1＋x. 11.解： 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.12.解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答案）
选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则
一、选择题
1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()
A．1B．2
C．3D．4
答案]D
解析]y′＝(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′
＝2(x＋1)•(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
∴y′|x＝1＝4.
2．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝()
A．x4B．x4－2
C．4x3－5D．x4＋2
答案]B
解析]∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1
∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.
3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是()
A.nn＋1
B.n＋2n＋1
C.nn－1
D.n＋1n
答案]A
解析]∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，
∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，
即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，
∴数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和为：
Sn＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n(n＋1)
＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1
＝1－1n＋1＝nn＋1，
故选A.
4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案]C
解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝ax＋b2a2－b24a，顶点－b2a，－b24a在第三象限，故选C.
5．函数y＝(2＋x3)2的导数为()
A．6x5＋12x2B．4＋2x3
C．2(2＋x3)2D．2(2＋x3)•3x
答案]A
解析]∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，
∴y′＝6x5＋12x2.
6．(2010•江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()
A．－1B．－2
C．2D．0
答案]B
解析]本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2 要善于观察，故选B.
7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝()
A．0B．－1
C．－60D．60
答案]D
解析]∵f′(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)′＝10(1－2x3)9•(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，∴f′(1)＝60.
8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()
A．22cos2x－π4B．cos2x－sin2x
C．sin2x＋cos2xD．22cos2x＋π4
答案]A
解析]y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′
＝2cos2x＋2sin2x＝22cos2x－π4.
9．(2010•高二潍坊检测)已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()
A．3B．2
C．1D.12
答案]A
解析]由f′(x)＝x2－3x＝12得x＝3.
10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()
A．－15B．0
C.15D．5
答案]B
解析]由题设可知f(x＋5)＝f(x)
∴f′(x＋5)＝f′(x)，∴f′(5)＝f′(0)
又f(－x)＝f(x)，∴f′(－x)(－1)＝f′(x)
即f′(－x)＝－f′(x)，∴f′(0)＝0
故f′(5)＝f′(0)＝0.故应选B.
二、填空题
11．若f(x)＝x，φ(x)＝1＋sin2x，则fφ(x)]＝_______，φf(x)]＝________. 答案]2sinx＋π4，1＋sin2x
解析]fφ(x)]＝1＋sin2x＝(sinx＋cosx)2
＝|sinx＋cosx|＝2sinx＋π4.
φf(x)]＝1＋sin2x.
12．设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.
答案]π6
解析]f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，
f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)
＝2sin3x＋φ＋5π6.
若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，
即0＝2sinφ＋5π6，∴φ＋5π6＝kπ(k∈Z)．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.
13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．
答案]32x(1＋2x2)7
解析]令u＝1＋2x2，则y＝u8，
∴y′x＝y′u•u′x＝8u7•4x＝8(1＋2x2)7•4x
＝32x(1＋2x2)7.
14．函数y＝x1＋x2的导数为________．
答案](1＋2x2)1＋x21＋x2
解析]y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.
三、解答题
15．求下列函数的导数：
(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋1＋x2)；
(3)y＝ex＋1ex－1；(4)y＝x＋cosxx＋sinx.
解析](1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′
＝sin2x＋x•2sinx•(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.
(2)y′＝1x＋1＋x2•(x＋1＋x2)′
＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2.
(3)y′＝(ex＋1)′(ex－1)－(ex＋1)(ex－1)′(ex－1)2＝－2ex(ex－1)2.
(4)y′＝(x＋cosx)′(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)′(x＋sinx)2
＝(1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx)(x＋sinx)2
＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1(x＋sinx)2.
16．求下列函数的导数：
(1)y＝cos2(x2－x)；(2)y＝cosx•sin3x；
(3)y＝xloga(x2＋x－1)；(4)y＝log2x－1x＋1.
解析](1)y′＝cos2(x2－x)]′
＝2cos(x2－x)cos(x2－x)]′
＝2cos(x2－x)－sin(x2－x)](x2－x)′
＝2cos(x2－x)－sin(x2－x)](2x－1)
＝(1－2x)sin2(x2－x)．
(2)y′＝(cosx•sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′
＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.
(3)y′＝loga(x2＋x－1)＋x•1x2＋x－1logae(x2＋x－1)′＝loga(x2＋x－1)＋
2x2＋xx2＋x－1logae.
(4)y′＝x＋1x－1x－1x＋1′log2e＝x＋1x－1log2ex＋1－x＋1(x＋1)2
＝2log2ex2－1.
17．设f(x)＝2sinx1＋x2，如果f′(x)＝2(1＋x2)2•g(x)，求g(x)．
解析]∵f′(x)＝2cosx(1＋x2)－2sinx•2x(1＋x2)2
＝2(1＋x2)2(1＋x2)cosx－2x•sinx]，
又f′(x)＝2(1＋x2)2•g(x)．
∴g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.
18．求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)
(1)y＝f1x；(2)y＝f(x2＋1)．
解析](1)解法1：设y＝f(u)，u＝1x，则y′x＝y′u•u′x＝f′(u)•－1x2＝－1x2f′1x.
解法2：y′＝f1x′＝f′1x•1x′＝－1x2f′1x.
(2)解法1：设y＝f(u)，u＝v，v＝x2＋1，。