1矩阵三个初等行变换.
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矩阵的初等变换
二、消元法解线性方程组
同解方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
一、矩阵的初等变换
1、定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）； 2以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第i 行上 记作ri krj）.
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B
(
A
b)
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
3、定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩 阵B，就称矩阵A与B等价，记作A ～ B
r
A～B ,
c
A～B ,
等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B, B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价．
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
1矩阵的初等变换
§1
矩阵的初等变换
主要内容： 一、矩阵的初等行变换 二、矩阵的初等变换 三、矩阵之间等价 四、行阶梯形矩阵 五、行最简形矩阵
§1
矩阵的初等变换
定义:下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 对调两行 (对调i , j 两行,记作ri↔rj ); (2)以数k≠0乘某一行中的所有元素 (第i行乘k,记作ri×k) ; (3)把某一行中的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上 去(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krj) . 定义:把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 换的定义(所用记号是把“r”换成“c” ) .
§1 矩阵的初等变换
例
1 2 A 1 2
2 4 3 4
3 6 3 5
4 5 2 8 10 r2 r1 1 1 4 5 8 10 2
4 0 4 5 A1 4 5 8 10
§1 矩阵的初等变换
§1 矩阵的初等变换
例 A与A3等价
1 2 A 1 2
2 4 3 4
3 6 3 5
4 5 1 8 10 r2 2 r1 0 1 4 5 8 10 2
2 0 3 4
3 0 3 5
4 5 0 0 A3 4 5 8 10
§1 矩阵的初等变换
2 3 0 0 1 0 0 1
4 0 0 0
5 0 A1 0 0
§1 矩阵的初等变换
1 r2 r3 0 A1 1r4 0 0 2 1 0 0 3 0 0 1 4 0 0 0 5 r r 0 A2 0 0
3
1 4 0 0 0
§1 矩阵的初等变换
1 r1 2 r2 0 A3 r1 3r3 0 0
矩阵的初等变换
主要内容： 一、矩阵的初等行变换 二、矩阵的初等变换 三、矩阵之间等价 四、行阶梯形矩阵 五、行最简形矩阵
§1
矩阵的初等变换
定义:下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 对调两行 (对调i , j 两行,记作ri↔rj ); (2)以数k≠0乘某一行中的所有元素 (第i行乘k,记作ri×k) ; (3)把某一行中的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上 去(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krj) . 定义:把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 换的定义(所用记号是把“r”换成“c” ) .
§1 矩阵的初等变换
例
1 2 A 1 2
2 4 3 4
3 6 3 5
4 5 2 8 10 r2 r1 1 1 4 5 8 10 2
4 0 4 5 A1 4 5 8 10
§1 矩阵的初等变换
§1 矩阵的初等变换
例 A与A3等价
1 2 A 1 2
2 4 3 4
3 6 3 5
4 5 1 8 10 r2 2 r1 0 1 4 5 8 10 2
2 0 3 4
3 0 3 5
4 5 0 0 A3 4 5 8 10
§1 矩阵的初等变换
2 3 0 0 1 0 0 1
4 0 0 0
5 0 A1 0 0
§1 矩阵的初等变换
1 r2 r3 0 A1 1r4 0 0 2 1 0 0 3 0 0 1 4 0 0 0 5 r r 0 A2 0 0
3
1 4 0 0 0
§1 矩阵的初等变换
1 r1 2 r2 0 A3 r1 3r3 0 0
初等矩阵及初等变换
初等矩阵及初等变换矩阵的初等变换⼜分为矩阵的初等⾏变换和矩阵的初等列变换。
1）初等⾏变换：所谓数域P上矩阵的初等⾏变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i⾏，即为E i(k)，那它的逆矩阵⾃然就是E i(1 k)。
b. 把矩阵第i⾏的k倍加到第j⾏，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)，要想把第j⾏变回去，⾃然得减掉第i⾏的k倍，即E ij(−k)。
c. 互换矩阵中第i⾏和第j⾏，记为E ij，逆矩阵为E ij，这是很显然的，就是再交换⼀次就变回去了。
2）初等列变换：所谓数域P上矩阵的初等列变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i列，记为E i(k)。
b. 把矩阵的第i列的k倍加到第j列，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)。
c. 互换矩阵中第i列和第j列，记为E ij。
初等矩阵：由单位矩阵E经过⼀次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
矩阵经过初等变换后不会改变它原来的秩，因为初等矩阵是满秩的⽅阵，所以它是可逆的，如PA=B于是有r(B)≤r(A)因为P可逆，所以有A=P−1B于是r(A)≤r(B)所以r(A)=r(B)注：如果不了解这个过程，可以先去阅读。
左⾏右列定理：初等矩阵P左乘或(右乘) A得到PA(AP)，就是对A做了⼀次与P相同的初等⾏(列)变换。
即要使矩阵A做出和初等阵相同的列变换，则A右乘P。
要使矩阵A做出和初等阵相同的⾏变换，则A左乘P。
为什么是这样的呢？可以阅读。
其实就是从向量⾓度来理解矩阵乘法，对于矩阵相乘AB=C，我们可以这样理解：1）矩阵C的每⼀个⾏向量是矩阵B的⾏向量的线性组合，组合的系数是矩阵A的每⼀⾏。
2）矩阵C的每⼀个列向量是矩阵A的列向量的线性组合，组合的系数是矩阵B的每⼀列。
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矩阵的初等变换
r
m n 矩阵A,B
1)A ~ B 可逆阵Pmm , 使PA B 2)A ~ B 可逆阵Pnn , 使AP B 3) A ~ B 的充要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使 PAQ B.
推论 : A可逆 A ~ E,
r
c
-5 3 1 例1 设A= , 求可逆阵P,使 2 -1 1 PA为行最简形.
初等方阵的逆及行列式
E(i, j)1 E(i(k))
1
E(i, j)
1 E(i( )) k
. ; .
E(i, j) | | E(i(k)) |
-1
; ; .
k
| E(i, j(k)) | 1
a11 a 21 例4 设A= a 31 a 41 0 0 0 0 1 0 P1 0 0 1 1 0 0
1 如上例中,A可化为 0 F 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全
为零. m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为标准形
Er O F O O m n 此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
a13 a 23 a 33 a 43
a12 a 22 a 32 a 42
a11 a 21 a 31 a 41
其中A可逆, 则B 1 __ A)A 1P1P2 ; B)P1A 1P2 ; C)P1P2 A 1; D)P2A 1P1
3.初等变换求逆 converse matrix by elementary operation 性质1 设 A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一
m n 矩阵A,B
1)A ~ B 可逆阵Pmm , 使PA B 2)A ~ B 可逆阵Pnn , 使AP B 3) A ~ B 的充要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使 PAQ B.
推论 : A可逆 A ~ E,
r
c
-5 3 1 例1 设A= , 求可逆阵P,使 2 -1 1 PA为行最简形.
初等方阵的逆及行列式
E(i, j)1 E(i(k))
1
E(i, j)
1 E(i( )) k
. ; .
E(i, j) | | E(i(k)) |
-1
; ; .
k
| E(i, j(k)) | 1
a11 a 21 例4 设A= a 31 a 41 0 0 0 0 1 0 P1 0 0 1 1 0 0
1 如上例中,A可化为 0 F 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全
为零. m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为标准形
Er O F O O m n 此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
a13 a 23 a 33 a 43
a12 a 22 a 32 a 42
a11 a 21 a 31 a 41
其中A可逆, 则B 1 __ A)A 1P1P2 ; B)P1A 1P2 ; C)P1P2 A 1; D)P2A 1P1
3.初等变换求逆 converse matrix by elementary operation 性质1 设 A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
0
2 0
1
1
2
r2 1
0
2 0 1 2
2 0 6
1 0 1
0 2 3
0 2 3
1 r3r2(22)r3 r1r3r1 0
1
0 4
1
1
2
r3(1)
0
0 1
0
0 4
1 0 0
1 2 r3r3(24)r2r1r2r1 0 1 0 .
0 1
0 0 1
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
1.2 阶梯矩形与矩形的秩 定义2
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
定义1
矩阵的初等行变换是指对矩阵进行如下三种变换： （1）对换变换 . 对换矩阵某两行的位置（交换i ，j两行，记作ri rj）； （2）倍乘变换 . 用非零常数k与矩阵中某一行中各元素分别相乘（记作kri ri(k 0)）； （3）倍加变换 . 将矩阵中某一行中各元素分别乘以某个常数k再加到另一行上（第j行的k 倍加入到第i行上，记作kri rj rj）.
0
1 2 3 ，C 2 4 0 2
6
0 0 0 0 0
0 0 2 4 2
0 0 0 1 2
0 0
0
2
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
都不是阶梯矩阵 . 对于非阶梯矩阵来说，都可以通过初等行变换将它们转化为阶梯矩阵 .
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
定义3
矩阵 Amn 经过有限次初等行变换后变成阶梯型矩阵，其非零行数称为矩阵 A 的
满足以下条件的矩阵称为阶梯矩阵： （1）如果矩阵中某一行中各元素均为零，那么该零行必须在矩阵的最下方； （2）非零行的第一个非零元素的表标随着行标的递增而严格增大 .
矩阵初等变换规则
矩阵初等变换规则
矩阵的初等变换规则是矩阵理论中的基础知识，主要包括三种类型的变换：行变换、列变换和矩阵的乘法变换。
下面详细介绍这些规则：
一、行变换规则
行交换：可以交换矩阵中的任意两行。
行倍乘：可以将矩阵中的某一行的所有元素乘以一个非零常数。
行加减：可以将矩阵中的某一行的倍数加到另一行上。
二、列变换规则
列交换：可以交换矩阵中的任意两列。
列倍乘：可以将矩阵中的某一列的所有元素乘以一个非零常数。
列加减：可以将矩阵中的某一列的倍数加到另一列上。
三、矩阵的乘法变换规则
用一个非奇异（可逆）矩阵左乘或右乘一个矩阵，可以得到与原矩阵等价的矩阵。
这种变换通常称为相似变换。
通过一系列行变换和列变换，可以将一个矩阵化为阶梯形矩阵或最简形矩阵。
这种变换在求解线性方程组、计算矩阵的秩和逆等方面有重要应用。
总结：
矩阵的初等变换规则包括行变换、列变换和乘法变换，它们都是保持矩阵等价的基础操作。
初等变换可以用于化简矩阵、求解线性方程组、计算矩阵的秩和逆等。
在实际应用中，通常将矩阵化为阶梯形矩阵或最简形矩阵，以便于进行后续的计算和分析。
矩阵的初等变换与初等矩阵
Er O
O O
0
00
0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形.其中r是行阶梯形矩
阵非零行的行数.
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
二、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等矩阵:
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
行阶梯形矩
阵的特点: 阶梯 线下方的元素全 为零; 每个台阶 只有一行, 台阶 数即是非零行的 行数, 阶梯线的 竖线(每段竖线 的长度为一行) 后面的第一个元 素为非零元,也 就是非零行的第 一个非零元.
例如
1 2 0 0
0
0
1
0
0 0 0 1
1 2 1 0
E(i, j)A: 对换 A的 i, j 两行； AE(i, j): 对换 A的 i, j 两列． E(i(k))A ：用非零数 k乘 A 的第 i 行； AE(i(k)) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
E(i, j(k))A ：A 的第 j 行乘以 k加到第 i 行 ;
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念与运算 §2 可逆矩阵与逆矩阵 §3 矩阵的初等变换与初等矩阵 §4 矩阵的秩与矩阵的分块
习题课
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
1) 用非零数k乘矩阵的某一行（列）； k ri，k ci 2) 把矩阵的某行(列)的k倍加到另一行() 互换矩阵中两行(列)的位置． ri rj，ci c j 矩阵A经初等行(列)变换变成矩阵B，一般地A≠B．
§3.1 矩阵的初等变换
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 §3.1 矩阵的初等变换 (一) 线性方程组的同解变换
(1) 交换两个方程的次序
(2) 用一个非零数 k 乘某个方程 (3) 将某一方程的倍数加到另一个方程上去 (二) 矩阵的初等变换 三种初等行变换 (1) 对调矩阵的 i , j 两行 记作： ri rj
(2) 用非零数 k 乘 i 行中所有元素 记作： ri k
a13 ka23 a23 a33
a14 ka24 a24 a34
即：在 A 的左边乘以初等矩阵 E1,2(k ) 就相当于将矩阵 A 的第二行的 k 倍加到第一列
性质1： 对 Amn 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘 上一个相应的 m 阶初等矩阵； 对 Amn 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘 上一个相应的 n 阶初等矩阵； 性质2： 初等矩阵都可逆，且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵。 即： Ei, j Ei, j 1 1 E i(k ) E i( ) k
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换 性质： （1）矩阵的初等变换都是可逆变换；且
ri rj 的逆变换恰为其本身 ri rj 1 ri k 的逆变换为 ri k ri krj 的逆变换为 ri (k )rj
对于初等列变换也有同样的结论。
（2）矩阵的等价 若矩阵 A 可经有限次初等变换得到矩阵 B 则称矩阵A 与 B 等价，并记作：A ～ B 等价关系具有如下性质： （1）反身性 A ～ A （2）对称性 A ～ B B ～ A
变换将其化为标准形：
定义： 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵。 三种初等变换对应三种初等矩阵，分别为：
（Ⅰ）把单位矩阵 E 中第 i, j 两行对调，得初等矩阵 E i, j （Ⅱ）用数 k 0 乘单位矩阵 E 的第 i 行得初等矩阵
(1) 交换两个方程的次序
(2) 用一个非零数 k 乘某个方程 (3) 将某一方程的倍数加到另一个方程上去 (二) 矩阵的初等变换 三种初等行变换 (1) 对调矩阵的 i , j 两行 记作： ri rj
(2) 用非零数 k 乘 i 行中所有元素 记作： ri k
a13 ka23 a23 a33
a14 ka24 a24 a34
即：在 A 的左边乘以初等矩阵 E1,2(k ) 就相当于将矩阵 A 的第二行的 k 倍加到第一列
性质1： 对 Amn 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘 上一个相应的 m 阶初等矩阵； 对 Amn 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘 上一个相应的 n 阶初等矩阵； 性质2： 初等矩阵都可逆，且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵。 即： Ei, j Ei, j 1 1 E i(k ) E i( ) k
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换 性质： （1）矩阵的初等变换都是可逆变换；且
ri rj 的逆变换恰为其本身 ri rj 1 ri k 的逆变换为 ri k ri krj 的逆变换为 ri (k )rj
对于初等列变换也有同样的结论。
（2）矩阵的等价 若矩阵 A 可经有限次初等变换得到矩阵 B 则称矩阵A 与 B 等价，并记作：A ～ B 等价关系具有如下性质： （1）反身性 A ～ A （2）对称性 A ～ B B ～ A
变换将其化为标准形：
定义： 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵。 三种初等变换对应三种初等矩阵，分别为：
（Ⅰ）把单位矩阵 E 中第 i, j 两行对调，得初等矩阵 E i, j （Ⅱ）用数 k 0 乘单位矩阵 E 的第 i 行得初等矩阵
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0
线性方程组
定义:所有未知量的次数都是一次的方程组， 称为线性方程组。
我们在中学时，曾学过二元一次方程组就是
二元线性方程组
aa21
x x
b1 b2
y y
c1 c2
的解法,
它的解有且只有三种情况：唯一解，无穷多解，无解。
而在许多实际问题中，经常要遇到未知量个数超过 三个或方程个数与未知量个数不等的线性方程组，其是 否有解？在有解的情况下，是有唯一解，还是有无穷多 解？如何求解？这些都是本章要讨论的问题。
而增加；(即每一行最前面连续0的个数比前一行多)
下列矩阵中哪几个是阶梯形矩阵?哪几个不是?
1 0 1 1 1 3 1 3 0 0
(1) 0
2 1 (2) 0
2
7(3) 0 2 0
1
0 0 3 0 1 0 0 0 0 1
2 0 3 5 1
0 (4)0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(5) 0 0 00 0 02 0 0
1 1 0
0 2 0
0 (6) 0
0
3 0 1
0 0 0
0 0 0
(1)(3)(4)(5)是
定理 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为 阶梯形矩阵。
1 1 3 第 二 行 乘-1 1 1 3
例如 0 2 7 加到第三2行 0 2
7
0 1 0
0
0
复习：
1.矩阵三个初等行变换
(1)互换矩阵某两行的位置 (2)用非零常数乘矩阵的某一行的所有元素 (3)将矩阵的某一行乘一常数后加到另一行 2.逆矩阵的概念
AA1 A1 A I
3.可逆矩阵的逆矩阵的求法——初等行变换法
( A I ) 初等行变换( I A1 )
预备知识：
1.阶梯形矩阵的概念 P86 定义（P86) 满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵： （1）如果矩阵有0行，0 行在矩阵的最下方。 （2）各个非0 行的首非0元素前的0的个数随着行的增加
a2n
x2
线性方程组分两类：
①当常数项不全为0 时, 称为非齐次线性方程组；
②当常数项全为0 时，称为齐次线性方程组。
定义2：使方程组各等式都成立的未知量的一组 取值称为该方程组的一个解。
a11x1 a12 x2 am xn 0
显然 齐次线性方程组
a21x1a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
n 元线性方程组
定义1 含有 n 个未知量、m 个方程的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1a22 x2 a2n xx
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
称为 n 元线性方程组。其中x j 是未知量，aij 是未 知量的系数，bi 是常数项( i 1，2， , m；j 1，2， , n )。
0 1 1 0 3 (4)1 0 3 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 2
中哪几个是阶梯形矩阵？哪几个是行简化阶梯形矩阵?
（1）（2）（3）
（1）（3）
任意矩阵都可以用初等行变换化成行简化阶梯形矩 阵，具体做法是：
（1）用初等行变换将任意矩阵化成阶梯形矩阵； （2）从阶梯形矩阵的最后一个非0 行的首非 0 元开始，
例1.
化矩阵
A
1
5
2
1 11 5
1 1 为阶梯形矩阵。 4 4
2
6
3 3
7
1 5 2 1 1
解：A
交换一 二 行
0
16
7 5
5
1 11 5 4 4
2
6
3 3
7
1 5 2 1 1
1
0 0
16 16
7 7
5 5
5
5
第二行加到第三行 第 二 行 乘-1
加到第 四行
x1 x2 x3 xn 0一定满足方程， 称其为零解。
问题: (1)非齐次线性方程组有解吗?有几解?如何求出解？ (2)齐次线性方程组在什么情况下有非 0 解(未知量取 值不全为 0 的解）？如何求非零解？
线性方程组的矩阵表示形式：
a11
a21
am1
a12 a22
am2
a1n x1 b1
0 0
0
16
7 5
9
0
第一行加到第三行 第 一 行 乘-2
加到第 四行
5 2 1 1
16
7 5
5
0 0 0 0
0
0
0
4
1 5 2 1 1
交换三 四 行
0 0
16 0
7 5 00
5
4
0 0
0
0
0
2.行简化阶梯形矩阵 P127
若阶梯形矩阵进一步满足：
（1）各个非零行的首非零元素都是1；
7 2
1 或 0
1 2
3
1
7 交换二 三 行0
1 1
3 0
第 二 行 乘2
加到第 三行
1 0
1 1
3 0
0 1 0
0 2 7
0 0 7
0 3 0 0
0
0 0 0 0 交换一三 行 0
1 0
0 0
0 0
第 一 行 乘3
加到第三 行
0 0
1 0
0 0
0 0
0 1 0 0
0 3 0 0
0 0 0 0
0 16 7 5 5
加到第二行
第 三 行 乘 －1 加到第一行
0 0 0
-2 0 0
0 1 0
7 1 0
7
2
0
1 2 0 1 1
第 二 行 乘 －1
2
0
1
0
7 2
7 2
0 0 1 1 2
0
0
0
0
0
1 0 0 6 6
第 二 行 乘 －2
加到第一 行
0
1
0
7 2
7 2
0 0 1 1 2
0 0 0 0
0 1 1 0 3
1 0 3 0 1
解：(1) 1 0
0 0
3 0
0 0
1 0
交换一二两行
交 换三四 两 行
0 0
1 0
1 0
0 1
3 2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
1 2 1 2 3
1 2 0 1 1
解：(2) 0 0 0
-2 0 0
4 1 0
3 1 0
1 2 0
第 三 行 乘 －4
用初等行变换将其化为 1，并将其所在列的其余 元素化为 0，依次类推，就得到行简化阶梯形矩 阵。
例 1. 将下列矩阵化为行简化阶梯形矩阵:
0 1 1 0 3 (1) 1 0 3 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 2
1 2 1 2 3 (2) 0 - 2 4 3 1
0 0 1 1 2 0 0 0 0 0
（2）所有首非零元所在列的其余元素都是 0。
则称该矩阵为行简化阶梯形矩阵。
1 3 0 2 0 1 (1) 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 1 3
1 2 1 2 3 (2)0 2 4 3 1
0 0 1 1 2 0 0 0 0 0
1 0 2 3 1
(3)0 1 4 0
1
0 0 0 0 0