线性代数1.5 (1)矩阵的初等变换
[数学]线性代数矩阵的初等变换
![[数学]线性代数矩阵的初等变换](https://img.taocdn.com/s3/m/e62a0128ee06eff9aff8070e.png)
用n阶初等矩阵En(i, j)右乘A=(aij)mn, 得
a11 a1 j a1i a1n a21 a2 j a2 i a2 n AEn ( i , j ) a a a a mj mi mn m1 第j 列 第i 列 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的第 i 列与第j 列对调(cicj).
三、初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算, 应用广泛. 定义: 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵. 对调两行或两列; 以非零数k乘某行或某列; 以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去.
对调两行或两列
对调E中第i, j两行(或列), 得初等矩阵E(i, j): 1 1 0 1 第i 行 1 E(i, j) = 1 1 0 第j 行 1 1
一、消元法解线性方程组
分析: 用消元法解下列方程组的过程. 引例: 求解线性方程组 ① 2 x1 x 2 x 3 x4 2 ② x1 x 2 2 x 3 x4 4 4 x 6 x 2 x 2 x 4 ③ 2 3 4 1 ④ 3 x1 6 x 2 9 x 3 7 x4 9
两个同解线性方程组具有等价关系性质, 因此也 称两个同解线性方程组为等价的. 用矩阵的初等行变换解方程组(1). 1 2 2 1 1 1 1 2 1 4 B 4 6 2 2 4 6 9 7 9 3 1 2 1 4 1 r1 r2 ① ② 2 1 1 1 2 B1 r3 2 2 3 ③2 1 1 2 6 9 7 9 3 1 1 2 1 4 r2–r3 0 ②③ 2 2 2 0 B2 r3–2r1 0 5 ③2① 5 3 6 r4–3r1 0 ④3① 3 3 4 3
线性代数-矩阵的初等变换
线性代数-矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，初等变换包括三种初等⾏变换与三种初等列变换。
分别为：
对换变换，即i ⾏与j ⾏进⾏交换，记作r i <->r j ;数乘变换，⾮零常数k 乘以矩阵的第i ⾏，记作kr i ;倍加交换，矩阵第i ⾏的k 倍加到第j ⾏上，记作r j + kr i
对应关系换成列，即为三种初等列变换。
矩阵变换可以化简矩阵、解线性⽅程组、求矩阵的逆矩阵。
⾏阶梯形的定义：
1、对于⾏⽽⾔，若有零⾏，则零⾏均在⾮零⾏的下⽅；
2、从第⼀⾏开始，每⾏第⼀个⾮零元素前⾯的零逐⾏增加。
对于矩阵A，很显然符合⾏阶梯形的定义：
1234502456000070
对第⼀⾏作 r1 - r2 变换得到矩阵：
10−1−1−10245600007
继续作 0.5 r2 变换
10−1−1−10125/23000070
r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 变换10−1−100125/200000700000
1/7 r3 变换
10−1−100125/20000010
对于矩阵A mxn ，通过有限次初等变换可以转换成⾏阶梯形的形式。
A的最简形：⾮零⾏的第⼀个⾮零元素是1，且1所在的列，⾮零元素均为零。
显然最后⼀个⾏阶梯形矩阵符合A的⾏最简形定义。
A的标准型：左上⾓是⼀个r阶的单位矩阵，其余元素为零。
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Processing math: 100%。
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。
矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。
一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。
线性代数矩阵的初等变换及其性质
行最简形矩阵：
4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它
元素都为零.
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
3 3
B5
0
0
00
0
c3 c4
c4 c1 c2 c5 4c1 3c2 3c3
1 0 0 0 0
0
0
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
2 -1 -1 1 2 1 1 -2 1 4 (A b)= 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9
1 1 -2 1 4 2 -1 -1 1 2 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9
交换(A b) 的第1行与第2行
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
00
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
例 1 用初等行变换化为行简化阶梯形
12 3 45
12 3 45
~ A= 2 4 6 8 10
例2 阶梯形,行简化阶梯形，标准形
1 A 0
0
0 1 0
8 1 0
0 0 1
1
B
0 0 0
0 1 0 0
2 0 0 0
1 0 0 0
0 0 10
0 1 1 0 C 0 0 0 1
0 0 0 0
0 1 2 0 3 D 0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
线性代数A 初等矩阵
13
求初等矩阵 E,F, 使得 B=EA 及 C=BF.
定 理2 初等矩阵 E是可逆矩阵, 且其逆矩阵 E -1 仍然是同
一类型的初等矩阵.
100 I= 0 1 0
001
r1 r3 r1 r3
001
E1= 0 1 0 100
E1 E1= I. E11 = E1.
其余两种类型初等矩阵的逆留给同学们考虑。
0001 0010 0100 1000
001 010 200
a11 a12 a13
001
设 A = a21 a22 a23 , 第I型初等矩阵E1= 0 1 0 , 则有
a31 a32 a33
100
E1A=
a31 a32 a33 a21 a22 a23 a11 a12 a13
AE1=
a13 a12 a11 a23 a22 a21 a33 a32 a31
a31+2a32 a32 a33
2. 初等矩阵的性质
定 理 1 设 E 为一 m 阶初等矩阵, A 是mn 矩阵， B是 km 矩阵. 则
(1) EA 相当于对 A 作相应的初等行变换. (2) BE 相当于对 B 作相应的初等列变换.
例1
设A= 1 2 , B= 3 4 , C= 3 7
34
12
a11 a12 a13
100
设 A = a21 a22 a23 , 第II型初等矩阵E2= 0 3 0 , 则有
a31 a32 a33
001
E2A=
a11 a12 a13 3a21 3a22 3a23 a31 a32 a33
a11 3a12 a13 AE2= a21 3a22 a23
a31 3a32 a33
山东大学《线性代数》课件01-5矩阵的初等变换与矩阵的秩
2
3
1 3 0 6
0 0
8 2
2 12 1 4
1 4 1 3 1 4
2 12 0 6 4 4
8
2
0 9 6 6
1 4 4 4 0 0
r( A) 2
1 2 3 4 1 2 3 4
2.B
1 13
0 1 2
1 1 0
2 05
0 0 0
2 7 0
2 10 3
2 192
1
0 0 0
2 1 7 0
3 1 10 3
4 1 192
1
0
0 0
2 1 0 0
3 1 3 3
4
1
95
1 2 3 4
0 00
1 0 0
1 3 0
1
45
r(B) 4
1 A 4
2 t
2 3
3 12
t为何值时， r( A) 3？
3
1
1
9
1 A 0
2 t 8
a1n
ai1
ka j1
ai2 kaj2
ain
kajn
B
a j1
a j2
a jn
am1
am2
amn
由此可以推出:
r( A) r(B) r( A) r(B) r( A) r(B)
例:求矩阵的秩:
2 3 1.A 2 12 1 3
1 3
A 2 12
r1r3
1 2 2 3
1
2
2 3
B 4 3 3 12 0 11 11 0
3 1 1 9 0 7 7 0
1 0
2 1
2 1
线性代数课件 矩阵的初等变换
第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点： （1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
线性代数第五讲 矩阵的初等变换及其性质
线性代数第五讲矩阵的初等变换及其性质一、初等矩阵及其性质在前面的讲义中，我们已经学习到了矩阵的基本概念，包括矩阵的定义、矩阵的运算、矩阵的秩等基本知识点。
本章我们将学习一些矩阵的“变换”的概念，主要介绍矩阵的初等变换及其性质。
矩阵的初等变换指的是将一个矩阵通过某种方式变化成另外一个矩阵的运算。
初等变换可以分为三种：交换矩阵的某两行或某两列；用一个非零数乘以矩阵的某一行或某一列；用一个非零数乘以矩阵的某一行或某一列，再加到另一行或另一列上。
这三种变换分别称为矩阵的第一类、第二类和第三类变换。
对于任意一个矩阵A，我们可以进行一系列的初等变换，从而将A变换成标准形。
标准形主要有三种：行简化阶梯形矩阵、列简化阶梯形矩阵和对角矩阵。
从定义可以看出，行简化阶梯形矩阵和列简化阶梯形矩阵都是初等矩阵形式，是矩阵的标准形。
初等矩阵的定义：如果矩阵B是A通过一次初等变换得到的，则称矩阵B为矩阵A的初等矩阵。
我们前面已经学习过，矩阵的逆是一个重要的概念。
下面我们就来发现一个有趣的性质：一个矩阵是可逆矩阵，当且仅当它可以表示为一系列初等矩阵的乘积。
定理1：矩阵可逆的充分必要条件是它可以表示为一系列初等矩阵的乘积。
以上两个定理的证明可以参考矩阵论相关的课程。
二、矩阵的等价关系在学习矩阵的初等变换时，我们介绍了三类变换，也就是矩阵的第一类、第二类和第三类变换。
我们可以使用这三类变换将一个矩阵变换成另一个矩阵。
如果对于任意的矩阵A、B，B可以通过一系列的初等变换变成A，那么我们就称A和B是等价的。
性质1：等价关系具有反身性、对称性和传递性。
性质2：如果一个矩阵可以通过初等变换化为一个标准形，则标准形是唯一的。
性质3：如果一个矩阵可逆，则它和单位矩阵等价。
性质4：如果A、B等价，则r(A)=r(B)。
三、矩阵的秩和特殊矩阵在前面的讲义中，我们已经学习到了矩阵的秩的定义和性质。
矩阵的秩是矩阵实际所包含的信息量，因此秩是矩阵的一个重要特征。
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1
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0 问题，读者将会在学习完第三章第3.3.1 节之后有深入的理解和答案．所有与矩阵 A 等价 的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准 形是这个等价类中最简单的矩阵.
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BUCT
小结
Chapter 1 Matrix
初等变换的定义 化矩阵为行阶梯形的初 等变换法 矩阵的等价及其标准形
4
6 4
r2 3r1
r3 r1
r2 3r1
r3 r1
1 0 0
2 4 0
3 8 0
4
6 0
1 2 3 4
14 r2
0
1
2
3
@B,
4r2
0
0
0
2 0
显然，以上每一步 变换都是可以逆回 去的，具体如下：
0 0 0
1 0 0 0 0
0 c4 c1 c4 2c2 0 c5 3c1 c5 8c2 0 c5 6c3
1 0 0
0
0
0
@N
1 0 0
0 0 0
1 3
2 8
0 6 0 0
C
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初等行变换和初等列变换统称为矩阵的
.
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Chapter 1 Matrix
例如：对矩阵A 作如下 初等行变换：
2 4 6 8
A
=
3 1
2 2
1 3
6 4
1
A 2r1 2r1
1 3 1
2 2 2
3 1 3
（3）传递性： 若A～B，B ～C，则A～C.
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显然有如下结论
定理1.6 任何矩阵都有与它行等价的行阶梯形矩阵 和简化行阶梯形矩阵.
定理1.7 任何一个m×n矩阵都等价于一个如下形式 的标准形：
Amn
Er O
O
O
（2）初等变换之后的 矩阵与原矩阵一般不 再相同.
（3）矩阵B是行阶梯形矩阵.
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Question
（1）任何矩阵都能通过初等变换化为行阶梯形矩阵吗？
（2）初等变换之后的矩阵与原矩阵有什么联系呢？
定理1.3 任意 m×n 矩阵 A 总可以经过有限次初等行 变换化为行阶梯形矩阵.
有限次初等列变换
有 限 次 初 等 行 变 换 行最简形矩阵
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矩阵的初等变换是矩阵的一种运算，变换前后的两 个矩阵一般不会相等.但两者又有千丝万缕的联系. 定义1.13（矩阵的等价）
若矩阵A经过一系列初等行变换化为矩阵B，则 称A与B行等价，记作A r B；
若矩阵A经过一系列初等列变换化为矩阵B，则 称A与B列等价，记作A c B；
若矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵B，则称 A与B等价，记作A B.
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矩阵的等价是一种关系，它具有下列性质：
（1）反身性： A～A； （2）对称性： 若A～B，则B ～A；
0 0 1 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
标准形 矩阵
特征： 左上角为单位阵， 其余元素全部为零
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Chapter 1 Matrix
定义1.12（标准形矩阵）如果一个非零矩阵的左上角 为单位矩阵，其它位置的元素都为零，则称这个矩阵 为标准形矩阵. 例如：
mn
称为A的等 价标准形
此标准形由三个数m, n和r 唯一确定，其中r是行 阶梯矩阵的非零行数.
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问题1.1
对于任给定的矩阵 A，它的等价行阶梯形不唯一， 所有等价行阶梯中非零行数是否都相等呢？进一 步地，矩阵的等价标准形唯一吗？如果唯一，其 中的 是由哪个量决定的呢？
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Chapter 1 Matrix
2 4 6 8
A
=
3 1
2 2
1 3
6 4
… …
于是，容易得到
1 2 3 4
B= 0
1
2
3
2
0 0 0 0
（1）初等变换是可逆 的，其逆变换是同一类 的初等变换.
（1）交换矩阵的某两行的位置;
换法变换
记作 ri rj
（2）用非零数k乘以矩阵某行的每个元素;
记作 kri
倍法变换
（3）把某一行的所有元的倍数加到另一行的对应元上.
记作 ri krj
消法变换
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另外，我们也可以定义矩阵的 初等列变换 ，记号 把”r”换成“c”.
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Chapter 1 Matrix
0 0 2 3 7
【例1.20】 设矩阵
A
0
1
1
3
2
.
0 5 3 9 6
0
3
2
6
4
用初等行变换将A化为简化行阶梯形矩阵.
解：
1 0 1 0 3
0 1 2 0 8
AL
@A3
0 0 0 1 6
0 0 0 0 0
Linear Algebra
BUCT
Chapter 1 Matrix
1 0
0 1
0
0
0
0
A3
1 0 3
1 0 0
2 0 8
0 1 0
0
1
6
c3 c4
0
0
1
0
0
0
E3 O13
,
E4
O41 ,
分块矩阵 表达为
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E3
O13
O32 O12
,
E3
BUCT
Chapter 1 Matrix
定理1.5 任意m×n矩阵总可以经过初等变换化为 标准形矩阵.
任意矩阵 有限次初等行变换 行阶梯形矩阵
有 限 次 初 等 变 换 标准形矩阵
§ ������. ������
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Chapter 1 Matrix BUCT
CONTENTS
Chapter 1 Matrix
在这一讲，我们重点介绍 矩阵的初等变换
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Chapter 1 Matrix
定义1. 11 （初等行变换）对矩阵施行下列三种变换称 为矩阵的初等行变换(elementary row operations)：
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Linear Algebra
BUCT
Chapter 1 Matrix
如果对矩阵M再施以列的消法变换，可得
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0
1
0
0
5
c5 5c3
c5 c3
0
1
0
0
0
@N
0 0 1 0 1
6
4
利用初等行变换，求
板书讲解
（1）先将A化为行阶梯形矩阵，再化为简化行阶梯形 矩阵；
（2）不通过求A的行阶梯形，直接将A化为简化行阶 梯形矩阵.
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Chapter 1 Matrix
观察例1.19得到
（1）利用初等变换将一个矩阵化为阶梯形矩阵的方 法是不唯一的，得到的行阶梯形矩阵也不唯一.
例如: 这里的 B, B1, B2 ,C 都是行阶梯形矩阵. 但是， 所有这些行阶梯形矩阵的非零行数是相等的.
（2）如果再对其中的 C 施行列的换法变换，则有
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
C
0
0
1
0
5
0
1
0
0
5
M
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
证明请学生 课下阅读