一、λ-矩阵的初等变换
第08章 λ-矩阵
注：① diag {d 1 (λ ), ⋯,d r (λ ),0, ⋯,0} 为 A( λ) 的（相抵）标准形。 ②称 r 为 A( λ) 的秩。 ③ r = n ⇒ A (λ )可逆。 ④ A( λ ) 可逆 ⇔ A ≅ E 。 ⑤任一可逆 λ -矩阵可表示为初等 λ -矩阵的乘积。 ⑥ λ E − A ≅ diag{1, ⋯,1, d1 ( λ ), ⋯, d r ( λ )} 。
B (λ ) ≅ diag {d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ), 0,⋯ , 0} P( λ ) B (λ )Q (λ ) = diag {d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ),0,⋯ ,0}
0 ⎞ ⎛ b11 (λ ) A (λ ) ≅ ⎜ ⎟ ≅ diag {d1 ( λ), d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ), 0,⋯ , 0} 0 B ( λ )⎠ ⎝ d 1 ( λ ) = c −1b11 ( λ )， d i ( λ ) | d i+1 (λ )， i = 2,⋯ , r 例 设 A =⎜ 3 ⎜
⎛0 ⎜ −1 ⎝ 1 −2 1 −1⎞ ，求 0⎟ ⎟ ⎟ −1⎠
矩阵的初等变换规则
矩阵的初等变换规则
（一）初等变换的规则
1. 交换行法：将矩阵中的两行互换，行对应元素也随之改变。
2. 改变系数法：将矩阵中的某行乘以一定的非零常数，行对应的元素也随之改变。
3. 复合法：将矩阵中的某行乘以一定的非零常数后，与另一行按和或差的方法结合，行对应的元素也随之改变。
4. 交换列法：将矩阵中的两列互换，列对应的元素也随之改变。
（二）初等变换的意义
初等变换是用来将一个线性方程组转化为一个有解的线性方程。
使用初等变换的原则，如将两个方程乘以不同的负数，甚至一步就能解出有解的线性方程，使方程系数矩阵更加简洁，容易操作。
同时这也可以使我们更加清楚地理解线性方程和不同解的对应关系。
（三）初等变换的应用
1. 运用初等变换可以将零向量和零矩阵转换为方便求解的标准乘法型和齐次方程组。
2. 初等变换可以用来求解边界值来解决边界值问题，为做出最终的选择提供保障。
3. 使用初等变换可以有效地求解线性方程组，给出正确的结果，对计
算机科学方面有很大帮助。
4. 初等变换可以用来求解有关矩阵与特征值、特征向量的求解问题，计算机硬件和软件设计中也有着广泛的应用。
拉姆达矩阵
λ-矩阵一、λ矩阵的不变因子及初等因子定义1 设多项式矩阵()A λ的秩1r ≥，而1k r ≤≤. ()A λ中所有k 阶子式的首相系数为1的最大公因子()k D λ，称为()A λ的k 阶行列式因子. 当k r >时，由秩的定义可知()0k D λ=. 另外，为了讨论方便，规定0()1D λ=.定理1 初等变换不改变矩阵的各阶行列式因子. 因而等价的矩阵有相同的各阶行列式因子.定义2 1()()()i i i D d D λλλ−=（1,2,,i r =⋯），称为()A λ的不变因子. 规定：()0i d λ=()n i r ≥>. 暗含了1()()i i d d λλ+的结论.定义3 下面的矩阵称为λ-矩阵()A λ的Smith 标准形12()()()()00r d d J d λλλλ=⋱⋱.定理2 λ-矩阵()A λ的Smith 标准形是唯一的.推论1 λ-矩阵()A λ与()B λ等价⇔()A λ与()B λ有相同的行列式因子或有相同的不变因子.定义4 设λ-矩阵()A λ的不变因子为12(),(),,()r d d d λλλ⋯. 将()i d λ分解为C 上的一次因式之积：11112221221211221212()()()()()()()()()()()()s srs r r k k k s k k ks k k k rs d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ =−−− =−−−=−−− ⋯⋯⋯⋯⋯()∗ 其中12,,,s λλλ⋯互不相同，0ij k ≥，1,1.i r j s ≤≤≤≤ 因1()()i i d d λλ+，所以1,,11,1.ij i j k k i r j s +≤≤≤−≤≤ 在()∗中所有指数大于零的因子(),11,1,0ij kj ij i r j s k λλ−≤≤−≤≤>称为()A λ的初等因子.由初等因子求不变因子：由初等因子的定义可知，如果给定()A λ的不变因子，则其初等因子就唯一确定. 反之，如果给定了()A λ的所有初等因子及()A λ的秩，则其不变因子也唯一确定. 不妨设()A λ的秩为r . 把()A λ的所有初等因子按不同的一次因子分类，并按各因子的幂从大到小排成一个有r 列的表（若某一行或若干行的初等因子不足r 个，则在后面补1，直到够r 个为止）：1,11111,22121,1111222(),(),,()(),(),,()(),(),,()r r r r r s rs s k k k k k k k k k s s sλλλλλλλλλλλλλλλλλλ−−− −−− −−−−−− ⋯⋯⋯⋯⋯其中1,10,1.rj r j j k k k j s −≥≥≥≥≤≤⋯ 因而1212()()()(),1.i i i k k k i s d i r λλλλλλλ=−−−≤≤⋯至此可知，当已知一个λ-矩阵()A λ的秩r 后，求不变因子或行列式因子的问题等价于求初等因子的问题.定理3 设λ-矩阵()A λ为分块对角阵12()()()()s B B A B λλλλ=⋱ 则各子块(),1,2,,i B i s λ=⋯的初等因子的全体构成()A λ的全部初等因子. 次定理给出一个求λ-矩阵()A λ的Smith 标准形的方法： （1） 先将()A λ通过初等变换化为准对角阵的形式：12()()((),(),,())s A B diag B B B λλλλλ→=⋯使得每块()i B λ的初等因子（或不变因子）可以相对来说容易求出来；（2） 求出每块()i B λ的初等因子；（3） 把()i B λ的所有初等因子放在一起，即得到()A λ的初等因子，进而求 出()A λ的不变因子及Smith 标准形.注意：这个方法不是求Smith 标准形的唯一方法，可以用定义求. 先求各阶行列式因子，再求不变因子，然后写出Smith 标准形即可. 二、Jordan 标准形 定义5 形如111i ii i i i i m m J λλλλ×=⋱⋱ 的方阵称为i m 阶的Jordan 块，i C λ∈，通常记为()i m i J λ.定义6 由若干个Jordan 块组成的准对角阵12s J J J J=⋱ 称为Jordan 标准形.定义7 设n n A C ×∈，E A λ−称为数字矩阵A 的特征矩阵.定理4 复数域C 上两个n 阶矩阵A 与B 相似⇔E A λ−与E B λ−等价.推论2复数域C 上两个n 阶矩阵A 与B 相似⇔A 与B 的特征矩阵E A λ−与E B λ−有相同的不变因子或有相同的初等因子.定理5（Jordan 标准形定理） 每个n 阶复矩阵A 都与一个Jordan 标准形相似. 这个Jordan 标准形除了其中Jordan 块的排列顺序外被A 唯一决定. 我们称其为A 的Jordan 标准形，并记为.A J推论3 复矩阵A 与对角阵相似⇔E A λ−的初等因子都是一次的.我们简称λ-矩阵E A λ−的行列式因子、不变因子和初等因子为矩阵A 的行列式因子、不变因子和初等因子.设A n n C ×∈的所有互不相等的特征值为12,,,s λλλ⋯，并设它们的重数分别为12,,,s k k k ⋯，则1si i k n ==∑. 设i λ对应的初等因子为12(),(),,()is i i i kk k i i i λλλλλλ−−−⋯.其中111,,0,1,2,,,1,2,,.i is s s ij i ij ij i j i j k k k n k j s i s =====>==∑∑∑⋯ 每个初等因子对应一个Jordan 块(),1,2,,,1,2,,.ij k i i J j s i s λ==⋯⋯ 则A 的Jordan 标准形为()111212112,,,,,,,,,s s s ss sA k k k k k k J diag J J J J J J =⋯⋯⋯⋯其中Jordan 块的顺序可以换. 可见，A J 的Jordan 块由A 的初等因子唯一决定.若记1(,,)i is ii k k J diag J J =⋯，即i J 为与特征值i λ相关联的Jordan 块生成的准对角矩阵，则12(,,,).A s J diag J J J =⋯Jordan 标准形的变换矩阵的求法：幂零矩阵的定义：设n n A C ×∈ 且0A ≠，若m N +∃∈使10,0m m A A −=≠，则称方阵A 为幂零矩阵. 其中m 称为A 的幂零指数.引理1 A 为幂零矩阵⇔A 的特征值全是零.定理6 设n n A C ×∈ 且0A ≠，A 是幂零指数为m 的幂零矩阵. 设A J 有s 个Jordan 块，第i 个Jordan 块的阶数为i n . 则（1）{}12max ,,,s m n n n =⋯；（2）A 的零度（线性方程组0AX =解空间的维数）等于A J 的块数s ； （3）记A J 中k 阶Jordan 块的个数为k l ，k A 的零度为k η，1k n ≤≤. 则112222,l s ηηη=−=− 112,2.k k k k l k m ηηη−+=−−≤≤注：由于0A ≠，A J 与A 相似，则0A J ≠，故2m n ≤≤. 当,k m =m n =时1.n n η+=设A 为如上定义的幂零矩阵，则存在可逆矩阵P 使1A P AP J −=. 可推出.A AP PJ =不妨设0104,010A n J==. 可见2m =. 对P 按列分块1234(,,,)P αααα=，可得1234123413010(,,,)(,,,)(0,,0,)010A αααααααααα==由此可得P 的各个列向量应满足的方程组分别为1213430,,0,A A A A αααααα====这表明13,αα是特征向量，而24,αα是广义特征向量. 具体操作如下：取13,αα为0AX =的一组基本解组，再由2143,A A αααα==去解24,αα. 对不是幂零矩阵的方阵有类似的方法，现在已4阶的Jordan 块为例，设111A J λλλλ=由A AP PJ =可得1234123411(,,,)(,,,)1A λλααααααααλλ=即11212323434,,,A A A A αλαααλαααλαααλα==+=+=+可得1213243()0,(),(),()A E A E A E A E λαλααλααλαα−=−=−=−=可见1α是特征向量，234,,ααα是广义特征向量.注意：变换矩阵P 并不唯一. 线性方程组解的不唯一性，决定了P 的不唯一性. 三、最小多项式定义8 设n n A F ×∈，()f x 是多项式，若()0f A =，则称()f x 是A 的零化多项式.由哈密顿—凯莱定理可知，任何方阵的特征多项式是该矩阵的零化多项式，因此零化多项式总是存在的. 并且存在无穷多个次数最低的零化多项式，称其中唯一的首一多项式（首相系数为1的多项式）为A 的最小多项式，记作()A m x 或().m x定理7 设()m x 是A 的最小多项式，()f x 是A 的任一零化多项式，则()().m x f x定理8 设A 是数域F 上的任意方阵，0F λ∈. 则0λ是A 的特征值⇔0λ是A的最小多项式()m x 的零点.注：此定理表明数域F 上的方阵的最小多项式的根（零点），包含了该矩阵在数域F 上的特征值. 若F C =，则()0m x =的所有根就是A 的所有特征值. 另外，分块对角矩阵的最小多项式等于各块的最小多项式的最小公倍式. 定理9 相似矩阵具有相同的最小多项式.定理10 n 阶矩阵A 与对角矩阵相似⇔A 的最小多项式()m x 没有重根. 推论4 设n 阶方阵A 的一个零化多项式为()f x ，若()f x 无重根，则A 可以对角化.注：A 的任何一个零化多项式()f x 的根，包含了A 的所有特征值. 特征多项式、最小多项式与初等因子的关系：设n n A C ×∈，多项式(),()f m λλ分别为A 的特征多项式和最小多项式. 由于A 是数字矩阵，则A 的特征矩阵E A λ−一定满秩，即()r E A n λ−=，故E A λ−的Smith 标准形的秩为n . 这表明A 有n 个不变因子. 设A 的不变因子为12(),(),,()n d d d λλλ⋯. 则12()()()(),()().n n f d d d m d λλλλλλ=⋅⋅⋅=⋯知道这个关系后，若给出了方阵A 的阶数与其最小多项式()m λ，再由给出的条件结合1()()i i d d λλ+的永恒条件，就可求出A 的不变因子. 四、特征值的几何重数与代数重数n 阶矩阵A 的特征多项式1212()()()()s n n n A s f E A λλλλλλλλ=−=−−−⋯其中12,,,s λλλ⋯为A 的所有互不相同的特征值. 显然1si i n n ==∑. 我们称j n 为特征值(1,2,,)j j s λ=⋯的代数重数. 对(1,2,,)j j s λ=⋯，其所对应的线性无关的特征向量的个数等于齐次线性方程组()0j E A X λ−=的解空间的维数，记此数为j g ，称其为j λ的几何重数.定理11 特征值的几何重数不超过其代数重数.定理12 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵⇔其每个特征值的代数重数等于几何重数⇔所有特征值的几何重数之和为.n定理13 设n 阶矩阵A 的n 个特征值为12,,,n λλλ⋯，()f x 为任一多项式. 则()f A 的n 个特征值为12(),(),,()n f f f λλλ⋯.推论5 若()f x 是A 的零化多项式，则12()()()0.n f f f λλλ====⋯ 几何重数、代数重数与Jordan 标准形的关系：沿用之前对A 及其Jordan 标准形A J 的相关符号，则i λ的几何重数等于i J 中的Jordan 块的块数；i λ的代数重数等于i J 的阶数.。
λ-矩阵的等价和矩阵多项式秩的恒等式
λ-矩阵的等价和矩阵多项式秩的恒等式刘宏锦;周金森;刘利敏【摘要】设U(λ)与V(λ)都是m×m阶的λ-矩阵.若U(λ)与V(λ)等价,则对于任意的n阶方阵A,分块矩阵U(A)与V(A)的秩相等.利用此结论刻画了幂零矩阵、零化多项式等.同时,通过考虑两个对角λ-矩阵等价的充要条件,使关于矩阵多项式秩的一些恒等式的讨论有了新的统一的方法.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2016(032)003【总页数】5页(P97-101)【关键词】λ-矩阵;等价;矩阵多项式;秩【作者】刘宏锦;周金森;刘利敏【作者单位】龙岩学院信息工程学院,福建龙岩364012;福建师范大学数学与计算机科学学院,福州350117;龙岩学院信息工程学院,福建龙岩364012;龙岩学院信息工程学院,福建龙岩364012【正文语种】中文【中图分类】O151.21矩阵多项式秩的恒等式的问题一直受到关注. 最近发表的论文大都是利用多项式理论以及分块矩阵的初等变换等方法,针对一些较为具体的问题研究矩阵多项式的秩的恒等式,得到了各种结论,如文献[1-6].本文从新的观点——λ-矩阵的等价来探讨矩阵秩的等式,对一些已知结论给出统一的新证明方法，这种方法快速而简便.设P是数域,Pn×n和P[λ]分别表示P上的n阶方阵和一元多项式的集合.设A∈Pn×n, rank(A)表示矩阵A的秩,E表示单位矩阵.一个元素取自P[λ]的矩阵称为λ-矩阵.λ-矩阵的初等变换指的是P[λ]上的以下三种变换：(i)矩阵的两行(列)互换位置； (ii)矩阵的某一行(列)乘以非零常数；(iii)矩阵的某一行(列)加上另一行(列)的φ(λ)倍,这里φ(λ)∈P[λ].与数字矩阵一样,以上三种初等变换对应三类初等λ-矩阵,除第3种情况外,其余2类与数字矩阵的初等矩阵相同,第3种初等变换对应的初等λ-矩阵的形式如下定义1[7] m×m阶的λ-矩阵U(λ)称为与V(λ)等价,如果可以经过一系列初等变换将U(λ)化为V(λ).定理1[7] 任意一个m×m阶非零的λ-矩阵U(λ)都等价于其中r≥1, di(λ) (i=1,2,…,r)是首项系数为1的多项式,且称Λ(λ)为U(λ)的标准形.定义2[7] 标准形的主对角线上非零元素d1(λ),d2(λ),…,dr(λ)称为U(λ)的不变因子组.将λ-矩阵U(λ)的不变因子d1(λ),d2(λ),…,dr(λ)在P上分解为不可约因式之积其中pi(λ)是首1的两两互素的不可约多项式,kij≥0,0≤k1j≤k2j≤…≤krj,j=1,2,…,t.定义3[8] 若上面分解式中的kij>0,则称(λ)为U(λ)的一个初等因子,U(λ)的全体初等因子称为U(λ)的初等因子组.定理2[8] 设U(λ)与V(λ)都是m×m阶的λ-矩阵,则下列叙述等价.(i)U(λ)与V(λ)等价；(ii)存在一系列初等λ-矩阵，使(iii)U(λ)与V(λ)有相同的标准形；(iv)U(λ)与V(λ)有相同的不变因子组；(v)U(λ)与V(λ)有相同的初等因子组.定理3[8] 设U(λ)经初等变换后化为对角阵,且其中pj(λ)是首1的两两互素的不可约多项式(j=1,2,…,t)且kij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,t),则是U(λ)的初等因子组.下面引理给出了判定两个对角λ-矩阵等价的一个判定方法.引理1 设其中这里p1(λ),p2(λ),…,pt(λ)为两两互素的首1的不可约多项式,ai,bi∈P, kij,lij≥0 (i=1,2,…,m; j=1,2,…,t).则U(λ)与V(λ)等价的充要条件是证由定理3,U(λ)与V(λ)有相同初等因子的充要条件是对任意j=1,2,…,t,都有再由定理2,即可得证.定理4 若m×m阶的λ-矩阵U(λ)与V(λ)等价,则对任意n阶方阵A∈Fn×n,都有证由定理2,存在初等λ-矩阵P1(λ),P2(λ),…Pl(λ),Q1(λ),Q2(λ),…,Qs(λ),使得这样对于任意n阶方阵A,有它是mn×mn阶数字矩阵,其中U(λ)中的第(i,j)个元素uij(λ)化为uij(A)，是一个n 阶方阵.特别地,常数多项式a,化为n阶方阵aE.注意到Pi(λ),Qj(λ)作为λ-矩阵是可逆矩阵,所以数字矩阵Pi(A),Qj(A)也是可逆矩阵.事实上,设Pi(λ)-1=Si(λ),则Pi(A)-1=Si(A). 因为左乘或右乘可逆矩阵不改变矩阵的秩，所以定理成立.利用定理可得到如下幂零矩阵(推论1)、零化多项式(推论2)的刻画.推论1 设A是n阶方阵,则At=O的充要条件是的秩为(t-1)n，其中式中分块矩阵的主对角线上有t个A.证这是因为如下两个λ-矩阵等价推论2 设A是n阶方阵,f(λ)=λm+b1λm-1+…+bm-1λ+b m,则f(A)=O的充要条件是的秩为(m-1)n.证由于f(λ)=λm+b1λm-1+…+bm-1λ+bm的伴侣阵的特征矩阵等价于,对角阵中主对角线上有m-1个1.再由定理4,即得推论2的证明.设不全为零的fi(λ)∈P[λ](i=1,2,…,s), 用(f1(λ), f2(λ), …,fs(λ)),[f1(λ),f2(λ), …, fs(λ)]分别表示f1(λ),f2(λ),…,fs(λ)的首项系数为1的最大公因式和最小公倍式,记用分别表示d(A)与m(A).对于多个多项式的最大公因式、最小公倍式有如下结论. 引理2 设fi(λ)(i=1,2,…,s)在数域P上的分解式为其中p1(λ),p2(λ),…,pt(λ)为两两互素的首1的不可约多项式,kij≥0 (i=1,2,…,t;j=1,2,…,s).则这里(i=1,2,…,t).推论3[1] 设A∈Pn×n,fi(λ)∈P[λ],fi(λ)≠0 (i=1,2,…,s,s≥2),那么下面的秩等式成立；.证这里只证(i),(ii)类似可证.设fi(λ)(i=1,2,…,s)在数域P上的分解式为其中p1(λ),p2(λ),…,pt(λ)为两两互素的首1不可约多项式.取这里i=1,2,…,s,j=1,2,…,t.由引理2,因为由引理与等价.再由定理4,推论4[2] 设f(λ),g(λ),h(λ)∈P[λ],A∈Pn×n,且.则证由,设f(λ),h(λ)在数域P上的标准分解式为其中p1(λ),p2(λ),…pt(λ),q1(λ),q2(λ),…,qs(λ)是两两互素的首1不可约多项式,a,b∈P.令其中p1(λ),p2(λ),…pt(λ),q1(λ),q2(λ),…,qs(λ),u1(λ),u2(λ),…,um(λ)仍是两两互素的首1不可约多项式,c∈P.若记则,,由引理1,U(λ)与V(λ)的初等因子组相同,所以U(λ)与V(λ)等价.再由定理4,即有推论5[3] 设A∈Pn×n,f1(λ),f2(λ),…,fs(λ)是数域P上的s个两两互素的多项式.则下列矩阵多项式秩等式成立证由f1(λ),f2(λ),…,fs(λ)两两互素,对角阵等价于对角阵(主对角线上有s-1个1).由定理4,推论6[4] 设A∈Pn×n,正整数m,t满足m>t≥2,则At=Am当且仅当证利用与等价,再由定理4即可得证.利用本文的主要结论定理4不仅能刻画幂零矩阵、零化多项式,还可以给出幂等矩阵、对合矩阵、矩阵可对角化等的判定.λ-矩阵等价的充要条件是它们的初等因子组相同,由引理1,两个对角λ-矩阵等价的形式可以是多样的,所以利用定理4可以给出丰富的矩阵多项式秩的恒等式.【相关文献】[1] 左可正.关于矩阵多项式秩的二个恒等式[J] .山东大学学报(理学版)，2011，46(4):90-97.[2] 胡付高，曾玉娥.一类矩阵多项式秩的恒等式与应用[J].山东大学学报(理学版)，2008，43(8):51-54.[3] 徐国进，胡付高，李发来.一类矩阵多项式秩的恒等式[J] .大学数学，2010，26(2):127-129.[4] 杨忠鹏，陈梅香，林国钦.关于矩阵方幂的秩恒等式的注记[J].福州大学学报(自然科学版)，2009，3(1):24-28.[5] 杨忠鹏，林国钦，陈梅香.矩阵多项式秩的和的恒等式及其应用[J].大学数学，2010，26(1):149-152.[6] 胡付高.一类矩阵多项式的秩特征[J] .大学数学，2007，23(3):164-166.[7] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数 [M].3版.北京高等教育出版社，2003:330-334.[8] 林亚南.高等代数[M].北京:高等教育出版社，2013:210-222.。
第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩
第3章 矩阵的初等变换与矩阵的秩３．１ 矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换：（１） 交换第i 行（列）和第j 行（列）；（２） 用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个元素；（３） 把矩阵某一行（列）的元素的k 倍加到另一行（列）．对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂．例1 求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=042111210A 的逆矩阵．３．２ 初等矩阵单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是（１）交换第行和第i j 行（交换第列和第i j 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1101111011).(%"""###%###"""%j i E（２）用常数λ乘第行（i λ乘第i 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%%λλi E （３）第i 行的k 倍加到第j 行（第j 列的k 倍加到第列） i⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%"%#%k k ij E显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵，且有),(),(1j i E j i E =−；⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−λλ1))((1i E i E ； ))(())((1k ij E k ij E −=−．初等矩阵与初等变换有着密切的关系：左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换．例如要将矩阵的第１行和第３行交换，则左乘一个初等矩阵A )3,1(E ：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛001010100⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛131211232221333231a a a a a a a a a ． 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等列变换．例2 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=231322122111333231232221a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1000100111E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0010101002E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010103E ．则以下选项中正确的是B A E E E A =321)(；B E E AE B =321)(；B A E E EC =123)(；B E E AE D =123)(．例３ 设是３阶可逆矩阵，将的第１行和第３行对换后得到的矩阵记作．A AB （１） 证明可逆；B （２） 求． 1−AB例4 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011431321A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000110101B ，是否存在可逆矩阵P ，使得B PA =？若存在，求P ；若不存在，说明理由．例5 设是3阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得C ，A AB B 则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为(A) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛101001010 (B) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100101010 (C) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110001010 (D) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100001110３．３ 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵B 可以由矩阵经过一系列初等变换得到，则称矩阵和等价．A AB 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有如下性质：（１） 反身性：任何矩阵和自己等价；（２） 对称性：若矩阵和矩阵等价，则矩阵和A B B矩阵也等价；A （３） 传递性：若矩阵和矩阵等价，矩阵和矩阵C 等价，则矩阵和矩阵C 等价．A B B A 形如⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 的矩阵称为矩阵的等价标准形． 任意矩阵A 都与一个等价标准形⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 等价．其中r E 是r 阶单位矩阵．这个r 是一个不变量，它就是矩阵的秩．任何矩阵总存在一系列的初等矩阵s P P P ,,,21"，和初等矩阵t Q Q Q ,,,21"使得11P P P s s "−A t Q Q Q "21＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ． 令P ＝，Q ＝11P P P s s "−t Q Q Q "21，于是对任意的矩阵，总存在m 阶可逆矩阵n m ×A P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ ＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ．例6 设阶矩阵与等价，则必有n A B (A) 当)0(≠=a a A 时，a B =．(B) 当)0(≠=a a A 时，a B −=． (C) 当0≠A 时，0=B ． (D) 当0=A 时，0=B ．３．4 矩阵的秩在矩阵中，任取n m ×A k 行k 列，位于这k 行k 列交叉处的2k 个元素按其原来的次序组成一个k 阶行列式，称为矩阵的一个A k 阶子式．若矩阵中有一个A r 阶子式不为零，而所有1+r 阶子式全为零，则称矩阵的秩为A r ．矩阵的秩记作．A )(A r 零矩阵的秩规定为零．显然有 ⇔≥r A r )(A 中有一个r 阶子式不为零；中所有A r A r ⇔≤)(1+r 阶子式全为零．若n 阶方阵，有A n A r =)(，则称是满秩方阵． A 对于n 阶方阵， A 0)(≠⇔=A n A r ．矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．例7 求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=45532511014132232211A 的秩． 例8 求阶矩阵n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A """""""的秩， 2≥n ．例9 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=71534321101111a b A ，已知3)(=A r ， 求．b a , 常用的矩阵的秩的性质： （１）；)()(T A r A r =（２）)()()(B r A r B A r +≤+；（３）))(),(min()(B r A r AB r ≤，（４）)()(00B r A r B A r +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛； （５）)()(0B r A r B C A r +≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛；（６）若0=AB ，则n B r A r ≤+)()(，其中n 为矩阵的列数．A （７）若可逆，则A )()(B r AB r =（８）若列满秩，则A )()(B r AB r =（９）若行满秩，则B )()(A r AB r =例10 设B A ,都是阶方阵，满足n E AB A =−22，求=+−)(A BA AB r ？例１1 设是矩阵，A 34× ,301020201,2)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==B A r 求．)(AB r 例１2 已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=62321321t A ，是３阶非零B 矩阵，且满足0=AB ，则4)(=t A 时，的秩必为１；B 4)(=t B 时，的秩必为２；B 4)(≠tC 时，的秩必为１；B 4)(≠t D 时，的秩必为２．B 例13 设B A ,都是阶非零矩阵，且满足n 0=AB ， 则A 和的秩B)(A必有一个等于零； )(B都小于n ； )(C一个小于n ，一个等于； n )(D 都等于n ．例14 设是矩阵，B 是A n m ×m n ×矩阵，若 m n < 证明：0=AB ．例15 设是２阶方阵，已知A 05=A ，证明． 02=A３． 5 伴随矩阵设 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A """""""212222111211， 记的代数余子式为，令ij a ij A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A A """""""212221212111* 为矩阵的伴随矩阵．因此，若A ()ij a A =，则 ()T ij A A =*．伴随矩阵的基本关系式：E A A A AA ==**． *11A A A =−，或 1*−=A A A ． 1*−=n A A ．⎪⎩⎪⎨⎧−<−===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r例16 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=122212221A ，求的伴随矩阵． A *A 例17 设⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1111,23212121A A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−12100A A B 则 *B =？ 例18 设是３阶矩阵，A 21=A ，求*12)3(A A −−． 例19 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A ，且E XA AXA 311+=−−，求X ．。
兰姆达矩阵等价标准型
兰姆达矩阵等价标准型
—.λ-矩阵
定义1∶
设λ是数域F上的一个未定元，f(λ)，g(λ)，...，是F上λ的多项式。
用未定元λ的多项式为元素组成的矩阵
称为λ-矩阵，记作(fij(λ))。
可用A(λ)，B(λ)，C(λ)等来表示λ-矩阵。
定义2∶
λ-矩阵A(X)中不为零的子式的最高阶数r称为A(X)的秩，记作rankA(λ) =r，简写成r[A(λ)]=r。
规定零矩阵的秩为零。
定义3:
对于n阶λ-矩阵A(λ)，若有n阶λ-矩阵B(λ)，使得
A(λ)B(λ)= B(λ)A(λ)=In
则称A(λ)为可逆的λ-矩阵，并称B(λ)为A(λ)的逆矩阵。
定理1:
n阶λ-矩阵A(λ)可逆的充分必要条件是
|A(λ)|= d
其中，d是一个非零常数。
定义4:
若λ-矩阵A(λ)经过有限次数的初等变换，可以化成B(λ)，则称B(λ)与A(A)等价，记作A(λ)≌B(λ)。
λ-矩阵的等价关系与数字矩阵一样，也满足自反性、对称性和传递性。
若两个λ-矩阵等价，则它们的秩必定相等。
二.λ-矩阵的标准型
定义5:
对角形λ-矩阵
若满足:
(1) d;(λ)(i = 1,2,...,r)是首项系数为1的λ-多项式;
(2)d;(A)|d;闻1(λ)(i= 1,2,.... T)，表示d;+1(λ)能被d;(λ)整除;则称D(λ)为λ-矩阵的法式或标准式，也可称D(λ)为法λ-
矩阵。
定理2:
任一λ-方阵A()都可经过若干次初等变换化为标准型，即任何一个λ-方阵都可与一个法λ-方阵等价。
§1 矩阵的初等变换
1
E ( ij ( k )) .
四、初等矩阵的应用
引例
2 1 3 1 0 0
1 0 5 2 2 0 0 2 1 6 0 1 0 3 4 5 2 2 5 2 2 6 5 10 30 0 4 3 0 4 1 0 0 2 5 2 2 5 2 0 1 0 1 2 6 1 2 6 5 0 1 3 0 4 13 25 11
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri krj ) 或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci ) 得到初等矩阵 E ( ij ( k ))
1 第i行 1 k E ( ij ( k )) 第j行 1 1
第三章
矩阵的初等变换与线性方程组
§1 矩 阵 的 初 等 变 换
一、矩阵的初等变换 二、消元法解线性方程组
一、矩阵的初等变换
1、定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i , j 两行, 记作ri r j）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 ;
（第 i 行乘 k , 记作 ri k）
1 2
3
2
(1)
4
解
1 2 32
(1)
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x 2 x 2 x 0, 2 3 4 5 x 2 5 x 3 3 x 4 6, 3 x 2 3 x 3 4 x 4 3,
8[1].1λ矩阵
![8[1].1λ矩阵](https://img.taocdn.com/s3/m/61e5a204de80d4d8d15a4fbe.png)
二、λ－矩阵的秩
定义：
级子式不为零， 若 λ ―矩阵 A(λ ) 中有一个 r ( r ≥ 1) 级子式不为零， 矩阵 级的子式（若有的话）皆为零， 而所有 r + 1 级的子式（若有的话）皆为零，则称
A(λ ) 的秩为r . 秩为
零矩阵的秩规定为0. 零矩阵的秩规定为
回想： 回想：数字矩阵的秩
矩阵行秩和列秩的定义 定义 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向 就是指矩阵 矩阵的行向
量组的秩； 量组的秩； 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 的秩 就是矩阵的列向量组的秩.
例 1 设有矩阵
1 0 A= 0 0 1 1 2 −1 4 , 0 0 5 0 0 0 3
β1 = (1, 0, 0, 0), β2 = (1, 2, 0, 0), β3 = (3, -1, 0, 0), β4 = (1, 4, 5, 0).
用同样的方法可证， 线性无关， 用同样的方法可证， β1 , β2 , β4 线性无关，而
7 1 β 3 = β1 − β 2 , 2 2
线性相关， 所以向量组β1 , β2 , β3 , β4 线性相关，其秩为 3 .
列，相应的 3 级子式就是
1 0 0
1 2 0
1 4 = 10 . 5
由于行和列的选法有很多，所以 k 级子式也是 由于行和列的选法有很多， 很多的. 很多的 s × n 矩阵的 k 级子式共有
C C
k s
k 个. n
矩阵的秩与行列式的关系表现为： 矩阵的秩与行列式的关系表现为：
定理
一矩阵的秩是 r 的充分必要条件为
第8章 λ─矩阵 λ─矩阵
§1 λ－矩阵 λ－ §2 λ－矩阵的 λ－ 标准形 §3 不变因子 §4 矩阵相似的条件 §5 初等因子
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1 2 1 1 2 0 [1,3] 1 3 1 1 2 1 2 1 1 3 1 0 2 1 3 2 0 0 1 2 0 [21(2 1),[31( 1)]] 0 3 2
§8.2a11 ( ) 除尽的元素所在的 位置，分三种情形来讨论: i) 若在 A( ) 的第一列中有一个元素 ai 1 ( ) 不能被
a11 ( ) 除尽， 则有 ai 1 ( ) a11 ( )q( ) r ( ),
§8.2 λ─矩阵的标准形
0 0 1 2 0 [2,3] 0 2 3
1 0 0 0 0 [3 2( )] 2 2 0 1 0 0 [3 2( 1)] 0 0 B( ) [3( 1)] 2 0 0
§8.2 λ─矩阵的标准形
证: 经行列调动之后，可使 A( ) 的左上角元素
a11 ( ) 0 , 若 a11 ( ) 不能除尽 A( ) 的全部元素，
由引理，可以找到与 A( ) 等价的 B1 ( ) ，且
B1 ( ) 左上角元素 b1 ( ) 0， b1 ( ) a11 ( ) .
§8.2 λ─矩阵的标准形
② 初等矩阵皆可逆.
p(i , j )1 p(i , j )
p( i (c ))1 p( i ( 1 c ))
p(i , j( ( ))) p(i , j( ( )))
1
③ 对一个 s n 的 ―矩阵 A( )作一次初等行变换 就相当于在 A( ) 在的左边乘上相应的 s s 的初等矩 阵；对 A( ) 作一次初等列变换就相当于在 A( )的右 边乘上相应的 n n的初等矩阵.
A1 ( ) 中的全部元素都是可以被 bs ( ) 除尽的，
因为它们都是 Bs ( ) 中元素的组合. 如果 A1 ( ) 0 ，则对于 A1 ( ) 可以重复上述过程，
进而把矩阵化成
§8.2 λ─矩阵的标准形
0 d1 ( ) 0 0 d 2 ( ) 0 , 0 A2 ( ) 0 0
若 b1 ( )还不能除尽 B1 ( ) 的全部元素， 由引理，又可以找到与 B1 ( ) 等价的 B2 ( ) ，且
B2 ( ) 左上角元素 b2 ( ) 0， b2 ( ) b1 ( ) .
如此下去，将得到一系列彼此等价的λ－ 矩阵：
§8.2 λ─矩阵的标准形
bij ( ) bs ( )qij ( j ),
对 Bs ( ) 作初等变换:
§8.2 λ─矩阵的标准形
i 1,2,, s; j 1,2,, n.
bs ( ) 0 0 0 [21( q21 )],[31( q31 )], B( ) [21( q21 )],[31( q13 )], A1 ( ) 0
其中余式 r ( ) 0 ，且 r ( x ) a11 ( )
对 A( ) 作下列初等行变换:
a11 ( ) A( ) ai 1 ( ) a11 ( ) [i 1(q )] r ( )
§8.2 λ─矩阵的标准形
三、等价λ－矩阵
定义： ―矩阵 A( )若能经过一系列初等变换化
为 －矩阵 B ( ) ，则称 A( ) 与 B ( ) 等价.
性质：
1) ―矩阵的等价关系具有: 反身性: A( ) 与自身等价. 对称性: A( ) 与 B ( ) 等价 B ( ) 与 A( ) 等价.
§8.2 λ─矩阵的标准形
1 1 p( i (c )) c 1 1
i行
1 1 ( ) i行 p( i , j ( ( ))) j行 1 1
( ) 是一个多项式.
§8.2 λ─矩阵的标准形
注：
为了书写的方便，我们采用以下记号
[ i , j ]代表 i , j 两行(列)互换； [ i ( c )]代表第 i 行乘以非零数 c ； [i j ( ( ))] 代表把第 j 行(列)的 ( )倍加到第 i
行(列).
§8.2 λ─矩阵的标准形
§8.2 λ─矩阵的标准形
一、λ－矩阵的初等变换 二、λ－矩阵的初等矩阵 三、等价λ－矩阵 四、λ－矩阵的对角化
§8.2 λ─矩阵的标准形
一、λ－矩阵的初等变换
定义：
λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行（列）互换位置； ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c ； ③ 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 ( ) 倍，
其中 d1 ( ) 与 d 2 ( ) 都是首1多项式( d1 ( ) 与 bs ( ) 只差一个常数倍数），而且 能除尽 A2 ( ) 的全部元素. 如此下去， A( ) 最后就化成了标准形.
§8.2 λ─矩阵的标准形
d1 ( ) | d 2 ( ),
d 2 ( )
例
用初等变换化λ―矩阵为标准形.
d1 ( ) d 2 ( ) d r ( ) 0 0
称之 A ( ) 为 的 标准 形.
其中 r 1, d i ( ) ( i 1,2,, r ) 是首项系数为1的
多项式，且
d i ( ) d i 1 ( ) ( i 1,2,, r 1).
对 A( ) 作下述初等行变换:
a11 ( ) A( ) ai 1 ( )
a1 j ( ) aij ( ) a1 j ( ) ... aij ( ) a1 j ( ) ( ) ...
四、λ－矩阵的对角化
1.（引理）设 ―矩阵 A( )的左上角元素 a11 ( ) 0, 且 A( )中至少有一个元素不能被它整除，那么一定 可以找到一个与 A( ) 等价的矩阵 B ( ) ，它的左上 角元素 b11 ( ) 0 ，且 (b11 ( )) (a11 ( )) .
§8.2 λ─矩阵的标准形
r ( ) [1,i ] a ( ) B( ). 11 B ( ) 的左上角元素 r ( ) 符合引理的要求，
故 B ( ) 为所求的矩阵. ii) 在 A( ) 的第一行中有一个元素 a1i ( )不能被 a11 ( )
二、λ－矩阵的初等矩阵
定义：
将单位矩阵进行一次 ―矩阵的初等变换所得的 矩阵称为 ―矩阵的初等矩阵.
注： ① 全部初等矩阵有三类：
1 1 i行 0 1 j行 1 0 1 1
P (i , j )
2 1 1 A( ) 2 1 2 3 1 2
解：
2 1 1 1 2 A( ) 0 [31] 1 2 3 1 1
§8.2 λ─矩阵的标准形
矩阵 A1 ( ) 的第一行中，有一个元素：
aij ( ) (1 ( ))a1 j ( )
不能被左上角元素 a11 ( ) 除尽，转为情形 ii) . 证毕.
§8.2 λ─矩阵的标准形
2.（定理2）任意一个非零的 s n的 一矩阵 A( ) 都等价于下列形式的矩阵
i 1( )
a11 ( ) 0
§8.2 λ─矩阵的标准形
1 i
a11 ( ) 0
A1 ( )
aij ( ) (1 ( ))a1 j ( ) aij ( ) a1 j ( ) ( )
除尽，这种情况的证明i)与类似.
iii) A( )的第一行与第一列中的元素都可以被 a11 ( )
除尽，但 A( ) 中有另一个元素 aij ( ) ( i 1, j 1)
§8.2 λ─矩阵的标准形
被 a11 ( ) 除尽. 我们设 ai 1 ( ) a11 ( ) ( ).
传递性: A( ) 与 B ( ) 等价, B ( ) 与 C ( ) 等价
A( ) 与C ( ) 等价.
§8.2 λ─矩阵的标准形
2) A( )与 B ( ) 等价 存在一系列初等矩阵
P1 PS , Q1 Qt 使 A( ) P1 PS B( )Q1 Qt .
A( ), B1 ( ), B2 ( ), .
它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低. 但次数是非负整数，不可能无止境地降低. 因此在有限步以后，将终止于一个λ－矩阵 Bs ( ) 它的左上角元素 bs ( ) 0 ，而且可以除尽 Bs ( ) 的全部元素 bij ( ), 即
B ( ) 即为 A( ) 的标准形.
§8.2 λ─矩阵的标准形