中考冲刺数学专题9 ——动态几何问题
2022年九年级中考数学冲刺专题---几何动态及最值问题
中考数学冲刺专题---几何动态及最值问题一、单选题1．（2020·江阴模拟）如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是（）A．6B．3C．2D．1.52．（2020·无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）.动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒，作AG⊥PQ于点G，则AG的最大值为（）C．365D．6 A．√73B．18√553．（2020·无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），点P为线段OA上任意一点.在直线y＝34x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（）A．4.8B．5C．5.4D．64．（2020·宜兴模拟）如图，等边△ABC的边长为1，D，E两点分别在边AB，AC上，CE=DE，则线段CE的最小值为（）A．2﹣√3B．2 √3﹣3C．12D．√3−125．（2020·南通模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝17，折叠纸片使点B落在边AD上的E处，折痕为PQ.当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动.若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，则点E在边AD上移动的最大距离为（）A．6B．7C．8D．96．（2020·无锡模拟）如图，正方形ABCD中，AB=4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE=DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PK//BC，且PK=2，若∠CBK的度数最大时，则BK长为（）A．6B．2√5C．2√10D．4√27．（2020·镇江模拟）如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作▱ABCD，AB＝4 √3，⊙A交边AD于点E，当▱ABCD面积为最大值时，EP⌢的长为（）A．12πB．πC．32πD．3π8．（2020·泰兴模拟）如图，直线l与⊙O相切于点A，M是⊙O上的一个动点，MH⊥l，垂足为H.若⊙O的半径为1，则MA-MH的最大值为（）A．12B．13C．14D．159．（2020·如皋模拟）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3.E，F分别是AD，CD上的动点，EF=2.Q是EF的中点，P为BC上的动点，连接AP，PQ.则AP+PQ的最小值等于()A．2B．3C．4D．510．（2019·丹阳模拟）如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC=5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值（）A．2B．4C．5D．611．（2020·鼓楼模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，则弦EF长度的最小值为（）A．√3B．√6C．2 √2D．2 √3 12．（2020·张家港模拟）如图，已知A，B两点的坐标分别为(8,0)，(0,8)，点C，F分别是直线x=−5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当ΔABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．817B．4√217C．4√213D．71713．（2020·苏州模拟）如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′＋CC′＋DD′的最小值是（）A．1B．√2C．√3D．√514．（2020·无锡模拟）如图，正方形ABCD中，AB=2，E是BC中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将的最小值为（）ΔBEM沿着BM翻折得到ΔBFM.连接DF、CF，则DF+12FCA．52B．83C．94D．125二、填空题15．（2020·苏州模拟）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB=5cm，AC=4cm.D是BC⏜上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为.16．（2020·扬州模拟）已知点A、B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA=120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是.17．（2020·昆山模拟）如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值是18．（2020·南京模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是A边上一点，且AE＝√3，点F 是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD 的面积的最小值为.19．（2020·徐州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8，点E在AD边上，且AE:ED=1:3，动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，设M是线段EF 的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为.20．（2020·苏州模拟）如图，折线AB−BC中，AB=3，BC=5，将折线AB−BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD−DE，点B的对应点落在线段BC上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接CE，若CE⊥BC，则tan∠EDC=°.21．（2020·扬州模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（1，√3），B（2，0），C点在x轴上运动，过点Ｏ作直线AC的垂线，垂足为D.当点C在x轴上运动时，点D也随之运动.则线段BD长的最大值为.22．（2020·镇江模拟）如图，在RtΔABC中, ∠ACB=90°,AC=10,BC=5,将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合，直角三角板绕着点P旋转，两条直角边分别交AB边于M,N,则MN的最小值是.23．（2020·宜兴模拟）如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O 上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是.24．（2020·太仓模拟）如图所示，等边△ABC的边长为4，点D是BC边上一动点，且CE＝BD，连接AD，BE，AD与BE相交于点P，连接PC.则线段PC的最小值等于.25．（2020·惠山模拟）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=4.如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为.26．（2020·淮安模拟）如图，正方形ABCD的边长为2,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为.27．（2020·江阴模拟）如图，等边△AOB，点C是边AO所在直线上的动点，点D是x轴上的动点，在矩形CDEF中，CD=6，DE= √3，则OF的最小值为.28．（2020·灌南模拟）如图，在ΔABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是.29．（2019·崇川模拟）如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是.三、综合题30．（2021·泰州模拟）如图，在▱ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，sinB ＝45，点P 以每秒2个单位长度的速度从点B 出发，沿着B→C→D→A 的方向运动到点A 时停止，设点P 运动的时间为ts.（1）连接AC ，判断△ABC 是否是直角三角形，试说明理由；（2）在点P 运动的过程中，若以点C 为圆心、PC 长为半径的⊙C 与AD 边相切，求t 的值；（3）在点P 出发的同时，点Q 以每秒1个单位长度的速度从点C 出发，沿着C→D→A 的方向运动，当P 、Q 中的一点到达终点A 时，另一点也停止运动.求当BP ⊥CQ 时t 的值.31．（2021·扬州模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是AD 边上的动点，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在点A′处，连接A′C 、BD.（1）如图1，求证：∠DE A′＝2∠ABE ；（2）如图2，若点A′恰好落在BD 上，求tan ∠ABE 的值；（3）若AE ＝2，求S △A′CB .（4）点E 在AD 边上运动的过程中，∠A′ CB 的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE 的长；若不存在，请说明理由.32．（2020·无锡模拟）在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动.如图1，现有矩形纸片ABCD，AB＝8cm，AD＝6cm.连接BD，将矩形ABCD沿BD剪开，得到△ABD 和△BCE.保持△ABD位置不变，将△BCE从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α＜360°）.在△BCE旋转过程中，边CE与边AB交于点F.（1）如图2，将图1中的△BCE旋转到点C落在边BD上时，CF=；（2）继续旋转△BCE，当点E落在DA延长线上时，求出CF的长；（3）在△BCE旋转过程中，连接AE，AC，当AC＝AE时，直接写出此时α的度数及△AEC的面积.33．（2020·常州模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90∘,BC=6,AC=8.点E与点B在AC的同侧，且AE⊥AC.（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P.设AE=x,AP=y,求y关于x的函数解析式，写出自变量x的取值范围；（2）是否存在点E，使△PAE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BD⊥AE,垂足为D.将以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E.若点C到OE上点的距离的最小值为8，求⊙E的半径.34．（2020·无锡模拟）如图1，已知：在矩形ABCD中，AB =3√3cm，AD＝9cm，点O从A点出发沿AD以acm/s的速度移向点D移动，以O为圆心，2cm长为半径作圆，交射线AD于M（点M在点O右侧）．同时点E从C点出发沿CD以√3cm/s的速度移向点D移动，过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为点G．若在整过移动过程中△EFG的直角顶点G 能与点M重合．设运动时间为t（0＜t≤3）秒．（1）求a的值；（2）在运动过程中，①当直线FG与⊙O相切时，求t的值；②是否存在某一时刻t，使点G恰好落在⊙O上（异于点M）？若存在，请写出t的值；若不存在，请说明理由．35．（2020·无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm 的速度移动.设移动的时间为t秒.（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线y=x与△OMN外接圆的另一个交点是点C.①试说明：当0<t<2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON= √2OC；②试探究：当t>2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由. 36．（2020·南通模拟）（1）如图，已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，DE= 12BC．（2）利用第（1）题的结论，解决下列问题：①如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF∥BC，FE= 12（AD+BC）②如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 √3，AD＝3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，求EF长度的最大值．37．（2020·南京模拟）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，经过点C的⊙O与△ABC 的每条边都相交.⊙O与AC边的另一个公共点为D，与BC边的另一个公共点为E，与AB边的两个公共点分别为F、G.设⊙O的半径为r.（1）（操作感知）根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O，并标明相关字母；（2）（初步探究）求证：CD2+CE2＝4r2；（3）当r＝8时，则CD2+CE2+FG2的最大值为；（4）（深入研究）直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大值，每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为.38．（操作体验）如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°，如图②，小明的作图方法如下：第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；第二步：连接OA，OB；第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1,P2；所以图中P1,P2即为所求的点.（1）在图②中，连接P1A,P1B，说明∠AP1B=30°（方法迁移）（1）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC=45°，（不写做法，保留作图痕迹）.（2）已知矩形ABCD，BC=2.AB=m，P为AD边上的点，若满足∠BPC=45°的点P恰有两个，则m 的取值范围为.（3）已知矩形ABCD，AB=3，BC=2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为.39．（1）如图1，点A在⊙O上，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形ABC，使得点B、C 都在⊙O上.（2）已知矩形ABCD中，AB=4，BC=m.①如图2，当m=4时，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形AEF，使得点E在边BC上，点F在边CD上；②若在该矩形中总能作出符合①中要求的等边三角形AEF，请直接写出m的取值范围. 40．（2020·建邺模拟）（概念认识）若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆.如图①，点P是锐角△ABC的边BC上一点，以P为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上.当半径最大时，半圆P为边BC关联的极限内半圆.（1）（初步思考）若等边△ABC的边长为1，则边BC关联的极限内半圆的半径长为.（2）如图②，在钝角△ABC中，用直尺和圆规作出边BC关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）.（3）（深入研究）如图③，∠AOB＝30°，点C在射线OB上，OC＝6，点Q是射线OA上一动点.在△QOC中，若边OC关联的极限内半圆的半径为r，当1≤r≤2时，求OQ的长的取值范围.。
中考复习专题：动态几何之定值问题探讨
20XX年中考复习专题：动态几何之定值问题探讨一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例1：已知：在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，点P从点B出发，沿射线BC方向以每秒2cm的速度移动，同时，点Q从点D出发，沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动（当点Q到达点A时，点P与点Q同时停止移动），PQ交BD于点E．求证：在点P、Q的移动过程中，线段BE的长度保持不变．例2：如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，顶点坐标为P．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．练习题：1.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A 运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA 于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：△PQE∽△PMF；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．2、已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．(1)如图(1)，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；(2)如图(2)，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图(3)，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)(1)(2) (3)3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时．．出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0<t<10）．（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．4、已知：A、B、C不在同一直线上.（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；ii）如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A= BC2R；（2）.若定长线段．．．．BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P，试探索：在整个滑动过程中，P、A 两点的距离是否保持不变？请说明理由.二、面积（和差）为定值问题：典型例题：例1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC边的中点，AB=4，∠B=60°，（1）求点E到BC边的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥BC，垂足为M，过点M作MN∥AB交线段AD于点N，连接PN、探究：当点P在线段EF上运动时，△PMN的面积是否发生变化？若不变，请求出△PMN的面积；若变化，请说明理由．例2：如图，在平面直角坐标系x O y中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P 从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C 出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同2.时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=5（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？练习题：1．如图1，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG=3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是 ．2．如图2，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连接PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和等于 _________ ．图1 图23.如图所示，四边形OABC 是矩形．点A 、C 的坐标分别为(30-，)，(0，1)，点D 是线段BC 上的动点(与端点B 、C 不重含)，过点D 作直线12y x b =+交折线OAB 于点E 。
2024年九年级数学中考复习——反比例函数-动态几何问题(含答案)
2024年九年级数学中考复习——反比例函数-动态几何问题1．如图，在矩形ABCD 中，已知点A （2，1），且AB ＝4，AD ＝3，把矩形ABCD 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为靓点，反比例函数y＝（x ＞0）的图象为曲线L ．（1）若曲线L 过AB 的中点．①求k 的值．②求该曲线L 下方（包括边界）的靓点坐标．（2）若分布在曲线L 上方与下方的靓点个数相同，求k 的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 相交于点 ，与 轴相交于点 ，点 的横坐标为-2.（1）求 的值；（2）直接写出当 且 时， 的取值范围；（3）设点 是直线AB 上的一点，过点 作 轴，交反比例函数 的图象于点 .若以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点 的坐标.k x12y x =-+2(0)k y x x=<B x A B k 0x <12y y <x M M //MN x 2(0)k y x x=<N M3．如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A （，1）在反比例函数y ＝ 的图象上．（1）求反比例函数y ＝ 的表达式； （2）在x 轴上是否存在一点P ，使得S △AOP ＝S △AOB ，若存在，求所有符合条件点P 的坐标；若不存在，简述你的理由．4．如图，点 ， 在 轴上，以 为边的正方形 在 轴上方，点 的坐标为 ，反比例函数 的图象经过 的中点 ， 是 上的一个动点，将 沿 所在直线折叠得到 .（1）求反比例函数 的表达式； （2）若点 落在 轴上，求线段 的长及点 的坐标.k x k x12A B x AB ABCD x C (14)，(0)k y k x=≠CD E F AD DEF EF GEF (0)k y k x=≠G y OG F5．如图，已知反比例函数y＝（x ＞0）的图象经过点A （4，2），过A 作AC ⊥y 轴于点C ．点B 为反比例函数图象上的一动点，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，连接AD ．直线BC 与x 轴的负半轴交于点E ．（1）求k 的值；（2）连接CD ，求△ACD 的面积；（3）若BD ＝3OC ，求四边形ACED 的面积．6．已知：如图1，点是反比例函数图象上的一点．（1）求的值和直线的解析式；（2）如图2，将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转后，与轴交于点，求线段的长度；（3）如图3，将直线绕原点逆时针旋转，与反比例函数的图象交于点，求点的坐标．k x(4)A n ，8(0)y x x=>n OA 8(0)y x x =>O 45︒y M OM OA O 45︒8(0)y x x=>B B7．已知：反比例函数的图像过点A （ ， ），B （ ， ）且 （1）求m 的值；（2）点C 在x 轴上，且 ，求C 点的坐标；（3）点Q 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的右侧，设直线QA ，QB 与y 轴分别交于点E 、D ，试判断DE 的长度是否变化，若变化请说明理由，若不变，请求出长度.8．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图象上；（1）m= ；（2）已知，过点、D 点作直线交双曲线于E 点，连接OB ，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，求b 的取值范围．m y x =1x 121m --2x 45m-120x x +=16ABC s ∆=()22A ，()1B m ，()0k y x x=>0b >()40C b -，()0b ，()0k y x x=>9．已知，矩形OCBA 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 在x 轴的正半轴上，点A 在y 轴的正半轴上，已知点B 坐标为（3，6），反比例函数的图象经过AB 的中点D ，且与BC 交于点E ，顺次连接O ，D ，E ．（1）求m 的值及点E 的坐标；（2）点M 为y 轴正半轴上一点，若△MBO 的面积等于△ODE 的面积，求点M 的坐标；（3）平面直角坐标系中是否存在一点N ，使得O ，D ，E ，N 四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，点P 为函数与函数图象的交点，点P 的纵坐标为4，轴，垂足为点B ．（1）求m 的值；（2）点M 是函数图象上一动点，过点M 作于点D ，若，求点M的坐标．m y x=1y x =+()0m y x x=>PB x ⊥()0m y x x =>MD BP ⊥12tan PMD ∠=11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点，直线分别与直线和双曲线交于点、．（1）求和的值；（2）当点在线段上时，如果，求的值；（3）点是轴上一点，如果四边形是菱形，求点的坐标．12．如图，等边和等边的一边都在x 轴上，双曲线经过的中点C 和的中点D ．已知等边的边长为4．（1）求k 的值；（2）求等边的边长；（3）将等边绕点A 任意旋转，得到等边，P 是的中点（如图2所示），连结，直接写出的最大值．xOy 34l y x b =+：x y A B x k H y =：922P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x m =H E D k b E AB ED BO =m C y BCDE C OAB AEF ()0k y k x=>OB AE OAB AEF AEF AE F '' E F ''BP BP13．如图，点A 、B 是反比例函数y ＝ 的图象上的两个动点，过A 、B 分别作AC ⊥x 轴、BD ⊥x 轴，分别交反比例函数y ＝－ 的图象于点C 、D ，四边形ACBD 是平行四边形. （1）若点A 的横坐标为－4.①直接写出线段AC 的长度；②求出点B 的坐标；（2）当点A 、B 不断运动时，下列关于□ACBD 的结论：①□ACBD 可能是矩形；②□ACBD 可能是菱形；③□ACBD 可能是正方形；④□ACBD 的周长始终不变；⑤□ACBD 的面积始终不变.其中所有正确结论的序号是 .8x2x14．在平面直角坐标系 中，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于点 与点Q ． （1）求点Q 的坐标；（2）若存在点 ，使得 ，求c 的值； （3）过点 平行于x 轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数 、反比例函数数 的图象相交于点 、点 ，当 时，请直接写出a 的取值范围．15．在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限相交于点C ，且点B 是AC 的中点xOy ()1110y k x k =≠()2220k y k x=≠(11)P ，(0)C c ，2PQC S = (0)M a ，()1110y k x k =≠()2220k y k x =≠()11A x y ，()22B x y ，1252x x +≤kx（1）如图1，求反比例函数y=（k≠0）的解析式；（2）如图2，若矩形FEHG 的顶点E 在直线AB 上，顶点F 在点C 右侧的反比例函数y=（k≠0）图象上，顶点H ，G 在x 轴上，且EF=4．①求点F 的坐标；②若点M 是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F 的左侧，连结MG ，并在MG 左侧作正方形GMNP ．当顶点N 或顶点P 恰好落在直线AB 上，直接写出对应的点M 的横坐标．16．如图，动点P 在函数y （x ＞0）的图象上，过点P 分别作x 轴和y 轴的平行线，交函数y 的图象于点A 、B ，连接AB 、OA 、OB ．设点P 横坐标为a ．（1）直接写出点P 、A 、B 的坐标（用a 的代数式表示）；（2）点P 在运动的过程中，△AOB 的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在平面内有一点Q （，1），且点Q 始终在△PAB 的内部（不包含边），求a 的取值范围．k xk x 3x =1x =-1317．如图1，一次函数y ＝kx ﹣3（k≠0）的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于点A （8，1）．（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 作y 轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D ，连接OC ，OD ，AD ，当CD 等于6时，求点C 的坐标和△ACD 的面积；（3）在（2）的前提下，将△OCD 沿射线BA 方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O 的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标．18．如图1所示，已知 图象上一点 轴于点 ，点 ，动点 是 轴正半轴点 上方的点，动点 在射线AP 上，过点 作AB 的垂线，交射线AP 于点 ，交直线MN 于点 ，连结AQ ，取AQ 的中点 . m x6(0)y x x=>P PA x ⊥，(0)A a ，(0)(0)B b b >，M y B N B D Q C（1）如图2，连结BP ，求 的面积；（2）当点 在线段BD 上时，若四边形BQNC 是菱形，面积为 .①求此时点Q ，P 的坐标；②此时在y 轴上找到一点E ，求使|EQ-EP|最大时的点E 的坐标.19．已知反比例函数y=的图象经过点A （6，1）．（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数y=在第一象限的图象上点A 的左侧取点C ，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点H ，过点C 作y 轴的垂线CE ，垂足为点E ，交直线AH 于点D ．①过点A 、点C 分别作y 轴、x 轴的垂线，两条垂线相交于点B ，求证：O 、B 、D 三点共线；②若AC=2CO ，求证：∠OCE=3∠CDO ．PAB Q k xk x20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y 轴交于点C ．（1） ， ；（2）过点A 作轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点E ，当时，求点P 的坐标．（3）点M 是坐标轴上的一个动点，点N 是平面内的任意一点，当四边形是矩形时，求出点M 的坐标．21．如图1，将函数的图象T 1向左平移4个单位得到函数的图象T 2，T 2与y 轴交于点．（1）若，求k 的值（2）如图2，B 为x 轴正半轴上一点，以AB 为边，向上作正方形ABCD ，若D 、C 恰好落在T 1上，线段BC 与T 2相交于点E①求正方形ABCD 的面积；②直接写出点E 的坐标．114y k x =+22k y x=()2A m ，()62B --，1k =2k =AD x ⊥OP AD Δ41ODE ODAC S S =四边形：：ABMN ()0k y x x =>()44k y x x =>-+()0A a ，3a =22．如图1，直线的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点D 是线段AB 上一点，过D 点分别作OA 、OB 的垂线，垂足分别是C 、E ，矩形OCDE 的面积为4，且．（1）求D 点坐标；（2）将矩形OCDE 以1个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形MNPQ ，记平移时间为t 秒．①如图2，当矩形MNPQ 的面积被直线AB 平分时，求t 的值；②如图3，当矩形MNPQ 的边与反比例函数的图像有两个交点，记为T 、K ，若直线TK 把矩形面积分成1：7两部分，请直接写出t 的值．23．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点，26y x =-+CD DE >12y x=()40A -，()04B ，AB ()0k y k x=≠()6C a ，（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，试问在x 轴上是否存在一点D ，使的面积与的面积相等，若存在，请求点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”，其中A ，B 两点在反比例函数 图象上，且A 点横坐标为，点C 坐标为，当为直角三角形时，求n 的值．24．如图1，已知点A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足 +（a +b +3）2＝0，平等四边形ABCD的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 中点，双曲线y ＝经过C 、D 两点． （1）a ＝ ，b ＝ ；（2）求D 点的坐标；（3）点P 在双曲线y ＝ 上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q 的坐标；（4）以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN ⊥HT ，交AB 于N ，当T 在AF 上运动时， 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若()6E m ，()0k y k x=≠CE AE ，ACD ACE ABC AB BAC ∠n y x=1-()02，ABC k x k xMN HT不改变，请求出其值，并给出你的证明．25．在平面直角坐标系中，已知点，点.（1）若将沿轴向右平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图象上，求的值；（2）若绕点按逆时针方向旋转度.①当时，点恰好落在反比例函数图象上，求的值；②问点能否同时落在(1)中的反比例函数的图象上?若能，直接写出的值；若不能，请说明理由.26．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．（1）求点的坐标和反比例函数的解析式；（2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若点C 是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线xOy ()A -()60B -，OAB x m A y =m OAB O α()0α180<<α30= B k y x=k A B ，α2y x =(0)k y k x=≠(4)A m ，A O A 90︒B OB OB C y的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标．27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y 轴交于点B ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC ＝AD ，连接CB ．①求△ABC 的面积；②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．28．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于两点，已知．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）一次函数的图象与轴交于点，点（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点的坐标：(0)k y k x=≠D x E 23DCO DEO S S = ：：C 112y x =+()0k y x x =>()3A a ，k y x=y x b =+A B ，()23B ，y x b =+x C D 3OCD S = D（3）若点是坐标轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，已知直线y=-2x 与双曲线y=（k<0）上交于A 、B 两点，且点A 的纵坐标为-2 （1）求k 的值；（2）若双曲线y= （k<0）上一点C 的纵坐标为 ，求△BOC 的面积；（3）若A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形为正方形，直接写出过点P 的反比例函数解析式。
中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)
点 的坐标
为 ．……
一次函数的解读式
为 ．
(3) 两点在直线 上， 的坐标分别是 ．
， ．
过点 作 ，垂足为点 ．
，
又 ， 点坐标为 ．
3．(1)解方程 ，得 ．
由m＜n，知m=1，n=5．
∴A(1，0)，B(0，5)．………………………1分
∴ 解之，得
所求抛物线的解读式为 ……3分
(2)由 得 故C的坐标为(-5，0)．………4分
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______
和位置关系为_____；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
4、（1）如图1所示，在四边形 中， = ， 与 相交于点 ， 分别是 的中点，联结 ，分别交 、 于点 ，试判断 的形状，并加以证明；
（2）如图2，在四边形 中，若 ， 分别是 的中点，联结FE并延长，分别与 的延长线交于点 ，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；
(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．
7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．
2020年中考数学压轴题专题9 动态几何定值问题学案(原版+解析)
专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。
解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。
在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。
【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA ′D ＝15°时，作∠A ′EC 的平分线EF 交BC 于点F ．①写出旋转角α的度数；②求证：EA ′+EC ＝EF ；（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A ′D 上的一个动点，连接PA ，PF ，若AB ＝2，求线段PA +PF 的最小值．（结果保留根号）【举一反三】如图（1），已知∠=90MON o ,点P 为射线ON 上一点，且=4OP ，B 、C 为射线OM 和ON 上的两个动点（OC OP >），过点P 作PA ⊥BC ，垂足为点A ，且=2PA ，联结BP ．（1）若12PACABOP S S ∆=四边形时，求tan BPO ∠的值； （2）设PC x =，AB y BC=求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点A 作BP 的垂线，垂足为点H ，交射线ON 于点Q ，点B 、C 在射线OM 和ON 上运动时，探索线段OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。
中考数学压轴题策略之动态几何问题
中考数学压轴题策略之动态几何问题面对中考，考生看待考试需坚持往常心态，温习时仍要按知识点、题型、易混易错的效果停止梳理，不时总结，不时反思，从中提炼最正确的解题方法，进一步提高解题才干。
下文预备了静态几何效果的解题战略的内容。
解这类效果的基本战略是：
1.动中觅静：这里的〝静〞就是效果中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探求效果中的不变性.
2.动态互化：〝静〞只是〝动〞的瞬间，是运动的一种特殊方式，动态互化就是抓住〝静〞的瞬间，使普通情形转化为特殊效果，从而找到〝动〞与〝静〞的关系.
3.以动制动：以动制动就是树立图形中两个变量的函数关系，经过研讨运动函数，用联络开展的观念来研讨变化元素的关系.
总之，处置静态几何效果的关键是要擅长运用运动与变化的目光去观察和研讨图形，掌握图形运动与变化的全进程，抓住变化中的不变，以不变应万变。
详细做法是：
①片面阅读标题，了解运动的方式与方式，全方位调查运动中的变与变的量及其位置关系;
②运用分类讨论思想，将在运动进程中招致图形实质发作变化的各种时辰的图形分类画出，变〝动〞为〝静〞;
③在各类〝静态图形〞中运用相关的知识和方法(如方程、相似等)停止探求，寻觅各个相关几何量之间的关系，树立相应的数学模型停止求解。
另外，需求强调的是此类题型普通终点低，第一步往往是一个十分复杂的效果，考生普通都能拿分，但恰恰是这一步效果的解题思想和方法是此题基本的做题思想和方法，是特殊到普通数学思想和方法的详细运用，所以考生在处置第一步时不只要准确计算出答案，更重要的是明白此题的方法和思绪。
九年级数学专题复习：动态几何中的“点动型”问题
九年级数学专题复习————动态几何题中的“点动型”问题分析一、知识点回顾1、相似三角形的一些基本图形：A字型共角型共角共边型X型蝴蝶型母子相似图∠1=∠2=∠3型2、垂直平分线的性质：垂直平分线上的点的距离相等。
3、平行四边形的性质：平行四边形的对角线。
4、矩形的定义：有的平行四边形是矩形。
5、菱形的判定：对角线的平行四边形是菱形。
6、二次函数y=ax2+bx+c（a>0），当x=时，y有最小值，y最小值=。
若a>0，当x=时，y有最大值，y最大值=。
7、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac 0时，方程有2个不相等的实数根；当b2-4ac 0时，方程有2个相等的实数根；当b2-4ac 0时，方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是。
8、两圆⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r,若两圆外切，则O1 O2 、R、r的关系是。
9、二、强化训练：1、写出图中相似三角形的成比例的边：2、在平面直角坐标系中，有一点A（3,4），在x轴上取一点P，使△OAP是等腰三角形，这样的点P有个。
直接写出P点坐标。
三、综合提升：如图，已知△ABC中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm /s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm /s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤5）.解答下列问题：（1）用含有t的代数式表示AP= 。
（2）当t为何值时，PQ平分△ABC的周长。
（3）当t为何值时，PQ∥BC．（4）当t为何值时，PQ⊥BC．（5）当t为何值时，△APQ为直角三角形。
（当t为何值时，△APQ与△ABC相似。
）（6）当t为何值时，△APQ为等腰三角形。
（7）当t为何值时，点P在CQ的垂直平分线上。
（8）以AQ、P Q为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E．①当t为何值时，平行四边形AQPD为矩形．并求出此时矩形的面积。
九年级数学中考专题：动态几何综合压轴题
2023年九年级数学中考专题：动态几何综合压轴题1．如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转．若B 、P 在直线a 的异侧，BM △直线a 于点M ，CN △直线a 于点N ，连接PM 、PN ； （1）延长MP 交CN 于点E （如图2）． △求证：△BPM △△CPE ； △求证：PM ＝PN ；（2）若直线a 烧点A 旋转到图3的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变．此时PM ＝PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变．请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM ＝PN 还成立吗？（不必说明理由）2．如图△，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC =，延长CA 至点E ，作DE CE ⊥交BA 的延长线于点D ，连接CD ，点F 为CD 的中点，连接EF ，BF ．（1）直接写出线段EF 和BF 之间的数量关系为______．（2）将ADE 绕A 顺时针旋转到图△的位置，猜想EF 和BF 之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC =:5AD BC =，将ADE 绕点A 顺时针旋转，当A ，E ，B 共线时，请直接写出EF 的长．3．如图，O 是正ABC 内一点，OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，连接AO ′、OO ′， （1）OO ′＝ ．（2）求△AOB 的度数及四边形AOB O '的面积．（3）直接写出AOC AOB S S +△△的值，AOC AOB S S +△△＝ ．4．如图1，在△ABC 中，△C =90°，△ABC =30°，AC =1，D 为△ABC 内部的一动点（不在边上），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置；将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°，使点A 到达点E 的位置，连接AD ，CD ，AE ，AF ，BF ，EF ．（1）求证：△BDA △△BFE ；（2）△CD +DF +FE 的最小值为 ； △当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD △BF ．（3）如图2，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断△MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．5．已知在ABC 中，O 为BC 边的中点，连接AO ，将AOC 绕点O 顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF ，连接AE ，CF ．（1）如图1，当△BAC ＝90°且AB ＝AC 时，则AE 与CF 满足的数量关系是 ； （2）如图2，当△BAC ＝90°且AB ≠AC 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO 到点D ，使OD ＝OA ，连接DE ，当AO ＝CF ＝5，BC ＝6时，求DE 的长．6．已知，在ABC 中，AB AC =，D 是平面上一点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转至点E ，使DAE BAC ∠=∠．连接DE 并延长，交AB 于点O ，交BC 于点F ．连接BD 和CE ，CE 的延长线分别交AB ，BD 于点P ，G ．（1）如图1，求证：BGC DAE ∠=∠；（2）如图2，若点F 是BC 的中点，//AD CB ，求证12AE BC =； （3）在（2）的条件下，若G 是BD 的中点，连接,OG FG ．当5,3AB AD ==时，请直接写出OFG △的周长．7．【问题探究】（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，△ACB＝△DCE＝90°，点B，D，E 在同一直线上，连接AD，BD．△请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明．△若AC＝BC，DC＝CE AD的长．【拓展延伸】（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，△ACB＝△DCE＝90°，AC BC，CD CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角△BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．8．如图1和图2，四边形ABCD中，已知AD＝DC，△ADC＝90°，点E、F分别在边AB、BC上，△EDF＝45°．（1）观察猜想：如图1，若△A、△DCB都是直角，把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，使AD与DC重合，易得EF、AE、CF三条线段之间的数量关系，直接写出它们之间的关系式_____；（2）类比探究：如图2，若△A、△C都不是直角，则当△A与△C满足数量关系_____时，EF、AE、CF三条线段仍有（1）中的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC＝D、E均在边BC上，且△DAE＝45°，若BD＝1，求AE的长．9．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC 、BE ，点P 为DC 的中点．（1）观察图1，猜想线段AP 与BE 的数量关系是______，位置关系是______； （2）把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由；（3）把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若6DE =，10BC =，请直接写出线段AP 长的取值范围．10．已知AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，△AOB ＝△MON ＝90°． （1）如图1：连AM ，BN ，求证：AOM △BON ；（2）若将Rt MON 绕点O 顺时针旋转，当点A ，M ，N 恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH //BN ，OH 与AM 交点为H ，若OB ＝4，ON ＝3，求出线段AM 的长； （3）若将MON 绕点O 顺时针旋转，当点N 恰好落在AB 边上时，如图3所示，MN 与AO 交点为P ，求证：MP 2+PN 2＝2PO 2．11．如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 顺时针旋转90°，得到AE ，连接DE ．（1）如图1所示，若4BC =，在D 点运动过程中，当8tan 11BDE ∠=时，求线段CD 的长．（2）如图2所示，点F 是线段DE 的中点，连接BF 并延长交CA 延长线于点M ，连接DM ，交AB 于点N ，连接CF ，AF ，当点N 在线段CF 上时，求证：AD BF CF +=．（3）如图3，若AB =ABC 绕点A 顺时针旋转得AB C ''△，连接CC '，P 为线段CC '上一点，且CC ''=，连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BQ ，连接PQ ，K 为PQ 的中点，连接CK ，请直接写出线段CK 的最大值．12．已知：如图1，将一块45︒角的直角三角板DEF 与正方形ABCD 的一角重合，连结AF 、CE ，点M 是CE 的中点，连结DM ．（1）请你猜想AF 与DM 的数量关系是___________．（2）如图2，把正方形ABCD 绕着点D 逆时针旋转α角（090α︒<<︒）． △AF 与DM 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由；△若60α=︒，且3FDM MDC ∠=∠，求DEDC的值．13．在等腰直角三角形ABC 中，290AC BC ACB ==∠=︒，，点M 为射线CA 上一个动点．过点M 作ME BM ⊥，交射线BA 于E ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转90︒得到线段BN ，过点N 作NF BN ⊥交BC 延长线于点F ，连接EF ．（1）如图1，当点M 在边AC 上时，线段,,EM EF NF 的数量关系为_______； （2）如图2，当点M 在射线CA 上时，判断线段,,EM EF NF 的数量关系并说明理由； （3）当点M 在射线CA 上运动时，能否存在BEF △为等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出CM 的长．14．如图，等腰Rt CEF 绕正方形ABCD 的顶点C 顺时针旋转，且AB CE EF ==，90CEF ∠=︒．连接AF 与射线BE 交于点G ．（1）如图1，当点B 、C 、F 三点共线时，则ABE ∠ FEM ∠（填“＞”、“＝”或“＜”），则AG FG （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）如图2，当点B 、C 、F 三点不共线时，求证：AG GF =；（3）若等腰CEF △从图1的位置绕点C 顺时针旋转α（090α︒<≤︒），当直线AB 与直线EF 相交构成的4个角中最小角为30°时，直接写出α的值．15．在菱形ABCD 中，4AB =，60ABC ∠=︒，E 是对角线AC 上一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF AE =，连接BE 、EF ．（1）如图1，若E 是线段AC 的中点，求EF 的长；（2）如图2，若E 是线段AC 延长线上的任意一点，求证：BE EF =． （3）如图3，若E 是线段AC 延长线上的一点，12CE AC =，将菱形ABCD 绕着点B 顺时针旋转α︒(0360)α≤≤，请直接写出在旋转过程中DE 的最大值．16．如图，等边三角形ABC 中，D 为AB 边上一点（点D 不与点,A B 重合），连接CD ，将CD 平移到BE （其中点B 和C 对应），连接AE ．将BCD △绕着点B 逆时针旋转至BAF △，延长AF 交BE 于点G ．（1）连接DF ，求证：BDF 是等边三角形； （2）求证：,,D F E 三点共线；（3）当2BG EG =时，求tan AEB ∠的值．17．ABC 为等边三角形，CD AB ⊥于点D ，点E 为边BC 上一点，点F 为线段CD 上一点，连接EF ，且CE EF =．（1）如图1，若342AB CE ==,，连接BF ，G 为BF 的中点，连接DG ，求线段DG 的长：（2）如图2，将CEF △绕点C 逆时针方向旋转一定的角度得到CMN ，连接BN ，点H为BN 的中点，连接AH HM ,，求证：AH =：（3）如图3，在（2）问的条件下，线段HM 与线段CN 交于点P ，连接AM ，交线段CN 于点Q ，当2CQ PN a ==时，请直接用含a 的式子表示PQ 的长．18．在ABC 中，90ACB ∠=︒．将ABC 绕点C 逆时针旋转一定角度（旋转角度不大于180︒），得到DEC （点D ，E 分别与点A ，B 对应），连接AD ，BE ．（1）如图1，当点A ，C ，E 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的位置关系为__________；（2）如图2，当点D 落在AB 上时，（点D 不与点A 重合），请判断AD 与BE 的位置关系，并证明你的结论；（3）如图3，将ABC 绕点C 逆时针旋转60︒时，延长AD 与直线BC ，BE 分别相交于点F ，G ，连接CG ，试探究线段CG 与DE 之间满足的数量关系，并说明理由．19．如图△，在矩形ABCD 中，1AB =，对角线AC ，BD 相交于点O ，60COD ∠=︒，点E 是线段CD 上一点，连接OE ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转60︒得到线段OF ，连接DF ．（1）求证：DF CE =；（2）连接EF 交OD 于点P ，求DP 的最大值；（3）如图△，点E 在射线CD 上运动，连接AF ，在点E 的运动过程中，若AF AB =，求OF 的长．20．将等边三角形ABC 如图放置在平面直角坐标系中，8AB =，E 为线段AO 的中点，将线段AE 绕点A 逆时针旋转60°得线段AF ，连接EF ． （△）如图1，求点E 的坐标；（△）在图1中，EF 与AC 交于点G ，连接EC ，N 为EC 的中点，连接NG ，求线段NG 的长．请你补全图形，并完成计算；（△）如图2，将AEF △绕点A 逆时针旋转，M 为线段EF 的中点，N 为线段CE 的中点，连接MN ，请直接写出在旋转过程中MN 的取值范围．参考答案：1．（2）成立（3）四边形MBCN的是矩形，PM=PN．2．（1）EF BF=；（2）FE FB=，（33．（1）4；（2）150°，（3）64．（2）（3）是，△MPN=30°．5．（1）AE CF=；（2）成立，（36．（3）47．（1）△AD BD⊥；△4；（2）8．（1）EF＝AE＋CF；（2）△A＋△C＝180°；（39．（1）12AP BE=，AP BE⊥；（2）12AP BE=，AP BE⊥仍成立；（3AP≤≤．10．（2；11．（1）3219；（3）312．（1）AF＝2DM，（2）△AF＝2DM仍然成立；13．（1）结论：EM+EF=FN；（2）结论：EF=EM=FN；（3）2或2+14．（1）=；=；（3）15°或75°15．（1）（3）16．tan AEB∠=17．（1；（318．（1）AD BE⊥；（2）AD BE⊥，（3）CG DE=19．（2）DP的最大值为14；（3）1OF=20．（△）(0,E；（△；（△）44MN≤≤答案第1页，共1页。
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2011中考冲刺数学专题9——动态几何问题【备考点睛】动态几何问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究。
对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。
动态几何问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中。
动态几何问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换（含三角形的全等与相似）的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形、四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想。
【经典例题】类型一、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程。
例题1 如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解答：（1）①∵1t =秒，∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点，∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米，∴835PC =-=厘米，∴PC BD =．又∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△． ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠， 则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒 ，∴515443Q CQ v t===厘米/秒．（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532104x x=+⨯，解得803x=秒．∴点P共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．例题2 如图，在梯形ABCD中，3AD BC AD=∥，，5DC=，42AB=，45B=︒∠．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C 点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MN AB∥时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．解答：（1）如图①，过A、D分别作AK BC⊥于K，DH BC⊥于H，则四边形ADHK是矩形∴3KH AD==．在Rt ABK△中，2sin454242AK AB=︒==g．2cos45424BK AB=︒==g g，在Rt CDH△中，由勾股定理得，22543HC-=∴43310BC BK KH HC=++=++=（2）如图②，过D作DG AB∥交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形∵MN AB∥∴MN DG∥∴3BG AD==∴1037GC=-=由题意知，当M、N运动到t秒时，102CN t CM t==-，．∵DG MN∥∴NMC DGC=∠∠又C C=∠∠∴MNC GDC△∽△∴CN CMCD CG=即10257t t-=解得，5017t=（3）分三种情况讨论：①当NC MC=时，如图③，即102t t=-∴103t=②当MN NC=时，如图④，过N作NE MC⊥于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t==-=-（图①）A DCB KH（图②）A DCBG MN在Rt CEN △中，5cos EC t c NC t -==又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t =解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠，∴NEC DHC △∽△ ∴NC EC DC HC =即553t t -=∴258t = ③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025t FC C MC t ===-解得6017t = 解法二： ∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠，∴MFC DHC △∽△∴FC MC HC DC =即1102235t t-=∴6017t = 综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形例题3 (湖北武汉) 如图，拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A (-1，0)，C (2，23)两点，与x 轴交于另一点B ；(1) 求此拋物线的解析式；(2) 若拋物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点(不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ =45︒，设线段OP =x ，MQ =22y 2，求y 2与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x =m ，x =n 分别 与拋物线交于点E ，G ，与(2)中的函数图像交于点F ，H 。
问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求m ，n 之间的 数量关系；若不能，请说明理由。
解答： (1) ∵拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A (-1，0)，C (0，23)两点， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2302b b a a ，∴a = -21，b =23， A D CBMN（图③）（图④）A D C BM NH E（图⑤） A D CBH N MF∴拋物线的解析式为y 1= -21x 2+x +23。
(2) 作MN ⊥AB ，垂足为N 。
由y 1= -21x 2+x +23易得M (1，2)， N (1，0)，A (-1，0)，B (3，0)，∴AB =4，MN =BN =2，MB =22， ∠MBN =45︒。
根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2。
∴(22)2-22=PM 2= -(1-x )2… ，又∠MPQ =45︒=∠MBP ， ∴△MPQ ~△MBP ，∴PM 2=MQ ⨯MB =22y 2⨯22… 。
由 、 得y 2=21x 2-x +25。
∵0≤x <3， ∴y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +25(0≤x <3)。
(3) 四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是m +n =2(0≤m ≤2，且m ≠1)。
∵点E 、G 是抛物线y 1= -21x 2+x +23 分别与直线x=m ，x=n 的交点，∴点E 、G 坐标为 E (m ，-21m 2+m +23)，G (n ，-21n 2+n +23)。
同理，点F 、H 坐标为F (m ，21m 2-m +25)，H (n ，21n 2-n +25)。
∴EF =21m 2-m +25-(-21m 2+m +23)=m 2-2m +1，GH =21n 2-n +25-(-21n 2+n +23)=n 2-2n +1。
EFHG 是平行四边形，EF =GH 。
∴m 2-2m +1=n 2-2n +1，∴(m +n -2)(m -n )=0。
由题意知m ≠n ，∴m +n =2 (0≤m ≤2，且m ≠1)。
因此，四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是m +n =2 (0≤m ≤2，且m ≠1)。
例题4 如图，在矩形ABCD 中，BC =20cm ，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ =x cm(0x ≠)，则AP =2x cm ，CM =3x cm ，DN =x 2cm ． （1）当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边,以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．解答：（1）当点P 与点N 重合或点Q 与点M 重合时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形． ①当点P 与点N 重合时，212220211211x x x x +===-由，得，（舍去）．OE F GH xy因为BQ +CM =34(211)20x x +=-<，此时点Q 与点M 不重合． 所以211x =-符合题意． ②当点Q 与点M 重合时，320,5x x x +==由得．此时22520DN x ==>，不符合题意． 故点Q 与点M 不能重合．所以所求x 的值为211-．（2）由（1）知，点Q 只能在点M 的左侧，①当点P 在点N 的左侧时，由220(3)20(2)x x x x -+=-+， 解得120()2x x ==舍去，．当x =2时四边形PQMN 是平行四边形．②当点P 在点N 的右侧时，由220(3)(2)20x x x x -+=+-，解得1210()4x x =-=舍去，．当x =4时四边形NQMP 是平行四边形．所以当24x x ==或时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形． （3）过点Q ，M 分别作AD 的垂线，垂足分别为点E ，F ． 由于2x >x ，所以点E 一定在点P 的左侧．若以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F 一定在点N 的右侧，且PE =NF ，即223x x x x -=-．解得120()4x x ==舍去，．由于当x =4时， 以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形， 所以,以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形．类型二、根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题例题5 已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．解答：（1）过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ．则2AD =，当MN 运动到被CD 垂直平分时，四边形MNQP 是矩形，即32AM =时， 四边形MNQP 是矩形，32t ∴=秒时，四边形MNQP 是矩形．tan 60PM AM =Q °=MNQP S ∴=四边形（2）1°当01t <<时，1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·2=+2°当12t ≤≤时，1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·= 3°当23t <<时，1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·= 点评：此题关键也是对P 、Q 两点的不同位置进行分类。