中考动态几何与函数问题
2023年九年级中考数学高频考点提升练习--二次函数与动态几何
2023年九年级中考数学高频考点提升练习--二次函数与动态几何1．已知，m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|<|n|，抛物线y=x2+ bx+c的图象经过点A(m,0)，B(0,n)，如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D 的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为√2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．2．已知x轴上有点A（1，0），点B在y轴上，点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，连接AB，BC，tan∠ABO= 12，以线段BC为直径作∠M交直线AB于点D，过点B作直线l∠AC，过A，B，C三点的抛物线为y=ax2+bx+c，直线l与抛物线和∠M的另一个交点分别是E，F．（1）求B点坐标；（2）用含m的式子表示抛物线的对称轴；（3）线段EF的长是否为定值？如果是，求出EF的长；如果不是，说明理由．（4）是否存在点C（m，0），使得BD= 12AB若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由．3．将一个直角三角形纸片ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，点A(4，0)，点C(0，2)，点O(0，0)，点B在x轴负半轴，点E在线段AO上以每秒2个单位长度的速度从A向点O运动，过点E作直线EF∠x轴，交线段AC于点F，设运动时间为t秒．将∠AEF沿EF翻折，使点A 落在x轴上点D处，得到∠DEF．（1）如图①，连接DC，当∠CDF=90°时，求点D的坐标．（2）①如图②，若折叠后∠DEF与∠ABC重叠部分为四边形，DF与边BC相交于点M，求点M的坐标（用含t的代数式表示），并直接写出t的取值范围；②∠DEF与∠ABC重叠部分的面积为S，当12≤t≤2时，求S的取值范围（直接写当出结果即可）．4．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE∠AB交AC于点E①过点E作EF∠AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得∠CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.5．在平面直角坐标系中，抛物线y= −√34x 2+√32x+2√3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q.（1）如图1，连接AC，BC.若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∠y轴交BC于点E，作PF∠BC于点F，过点B作BG∠AC交y轴于点G.点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK.当∠PEF的周长最大时，求PH+HK+ √32KG的最小值及点H的坐标.（2）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，当抛物线经过原点O时停止平移，此时抛物线顶点记为D/，N为直线DQ上一点，连接点D/，C，N，∠D/CN能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N的坐标；若不能，请说明理由.6．已知抛物线G：y1＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3，直线h：y2＝mx+3﹣2m，其中m≠0．（1）当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标；（2）求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上；（3）在（2）的结论下，解决下列问题：①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标；②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线G′，试结合图象探究：若在抛物线G与直线h，抛物线G′与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G的对称轴的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，8），直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D（6，8）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与直线l交于点E，点T为x轴上方的抛物线上的一个动点．①当∠TEC=∠TEO时，求点T的坐标；②直线BT与y轴交于点P，与直线l交于点Q，当OP=OQ时，求点P的坐标．8．如图，在Rt△ABC，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6,点D是边AB的中点，动点P从点B 出发以每秒4个单位长度的速度向终点A运动，当P与点D不重合时，以PD为边构造Rt△PDQ，使∠PDQ=∠A，∠DPQ=90∘，且点Q与点C在直线AB同侧，设点P的运动时间为t 秒（t>0），△PDQ与△ABC重叠部分图形面积为S．（1）用含t的代数式表示线段PD的长；（2）当点Q落在边BC上时，求t的值；（3）当△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t的函数关系式．（4）当点Q落在△ABC内部或边上时，直接写出点Q与△ABC的顶点的连线平分△ABC面积时t的值．9．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．这条高称为“半高”．如图1，对于∠ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是“半高三角形”．此时，称∠ABC是“BC边半高三角形”，AD是“BC边半高”；如图2，对于∠EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，∠EFG就是半高三角形，此时，称∠EFG是EF边半高三角形，CH是“EF 边半高”．（1）在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若∠ABC是“BC边半高三角形”，则AC＝cm；（2）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm，则该等腰三角形底边长的所有可能值为．（3）如图3，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点P是抛物线y ＝x2.上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得∠RSQ为“RS边半高三角形”当点P介于抛物线上点R与点S之间，且PQ取得最小值时，求点P的坐标．10．如图1，二次函数y=a(x+3)(x−4)的图象交x轴于点A，交y轴于点B(0，−2)，点P为x轴上一动点．（1）求二次函数y=a(x+3)(x−4)的表达式并化成一般形式；（2）过点P作PQ⊥x轴交线段AB于点Q，交抛物线于点C，连接AC．当OP=1时，求△ACQ的面积；（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在x轴下方的抛物线上时，求点D的坐标．11．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2−2ax−3a交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴点B，交y轴的正半轴于点C，且OB＝2OC．（1）求a的值；（2）如图1，点D、P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD、DE，设∠CDE的面积为s，若4s+3t=0，求点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，连接AP，若∠AGB＝2∠APB，求点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD∠AB于点D.动点P在什么位置时，∠PDE的周长最大，求出此时P 点的坐标；（3）在直线x = -2上是否存在点M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M点坐标.若不存在，说明理由.13．综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−7(a≠0)经过x轴上的点A(1，0)和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y=x+n．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴上存在一点H，连接AH、CH，则|AH−CH|的最大值是；（3）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．设运动时间为t秒且（0<t<4），求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值；（4）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的横坐标．14．在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2−32x−2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若∠DPQ与∠ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．15．综合与探究在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C．P（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，求线段PD的最大值．（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．16．如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y= 34x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣5 2．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）将图甲中∠ABO沿x轴向左平移到∠DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上；（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∠y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣b2a，4ac−b24a），对称轴是直线x=﹣b2a．）答案解析部分1．【答案】（1）解：∵x2+4x+3=0，∴x1=−1，x2=−3，∵m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|<|n|，∴m=−1，n=−3，∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0)，B(0,n)，∴{1−b+c=0c=−3，∴{b=−2c=−3，∴抛物线解析式为y=x2−2x−3，（2）解：令y=0，则x2−2x−3=0，∴x1=−1，x2=3，∴C(3,0)，∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴顶点坐标D(1,−4)，过点D作DE⊥y轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；（3）解：如图，∵B(0,−3)，C(3,0)，∴直线BC解析式为y=x−3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P(t,t−3)，M(t,t2−2t−3)，过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=√2，∴QF=1，当点P在点M上方时，即0<t<3时，PM=t−3−(t2−2t−3)=−t2+3t，∴S=12PM×QF=12(−t2−3t)=−12t2+32t，如图3，当点P在点M下方时，即t<0或t>3时，PM=t2−2t−3−(t−3)，∴S=12PM×QF=12(t2−3t)=12t2−32t．综上所述：当点P在点M上方时，即0<t<3时，S=−12t2+32t，当点P在点M下方时，即t<0或t>3时，S=12t2−32t．2．【答案】（1）解：∵tan∠ABO= OAOB=12，且A（1，0），∴OB=2，即：点B的坐标为（0，2）（2）解：点C（m，0），A（1，0），B（0，2）在抛物线y=ax2+bx+c上，∴{a+b+c=0c=2am2+bm+c=0解之得：b=﹣2(m+1)m，a= 2m，∴x=﹣b2a= m+12．即：抛物线的对称轴为x= m+1 2（3）解：∵点E在抛物线y=ax2+bx+c上，又在直线y=2上，∴2=ax2+bx+2∴x1=0，x2=﹣b a∴E（﹣ba，2），又∵直线l∠x轴，BC是∠M的直径，∴BF∠OC，BF=OC，∴F（m，2）∴EF=﹣ba﹣m，∵点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，∴m的值是一个变量，即：线段EF的长不是定值（4）解：如下图所示：连接CD∵BCS是∠M的直径，∴∠CDB=90°，∵若BD= 12AB，即BD=DA则易证CB=CA∴√22+m 2 =1﹣m 解之得m=﹣ 32，即：存在一点C （﹣ 32 ，0），使得BD= 12AB3．【答案】（1）解：∵点A(4，0)，点C(0，2)，∴OA=4，OC=2， ∵∠AOC=90°， ∴tan∠CAO=OC OA =12，∵∠AEF 沿EF 翻折后，点A 落在x 轴上点D 处， ∴∠DEF∠∠AEF ， ∴∠FDE=∠FAE ， ∵∠CDF=90°， ∴∠FDE+∠CDO=90°， ∵∠COD=90°， ∴∠OCD+∠CDO=90°， ∴∠FDE=∠OCD ， ∴∠FDE=∠OCD=∠FAE ， ∴tan∠OCD=tan∠FAE=12，在Rt∠OCD 中，tan∠OCD =OD OC =12， ∴OD=12OC =1，∴D(1，0)．（2）解：①过点M 作MN∠x 轴，如图所示：∵∠MNB=90°， ∴∠MBN+∠BMN=90°，∵∠ACB=90°， ∴∠CBA+∠CAB=90°， ∴∠BMN=∠CAB ，在RtΔBMN 中，tan∠BMN=tan∠CAB =MN DN =12， ∴MN=2BN ，在RtΔDMN 中，tan∠MDN=tan∠CAB =MN DN =12， ∴DN=2MN=4BN ， ∴BD=DN ﹣BN=3BN ， ∵∠ACB=∠AOC=90°，∴∠BCO+∠ACO=∠ACO+∠CAB=90°， ∴∠BCO=∠CAB ， 在RtΔBOC 中，tan∠BCO =OB OC =12， ∴OB=12OC=1，∴AB=5， ∴∠DEF∠ΔAEF ， ∴AE=DE=2t ，∴BD=AD ﹣AB=4t ﹣5， ∴4t ﹣5=3BN ， ∴BN =4t−53，MN=2BN =8t−103，∴M (4t−83，8t−103)，要使重叠部分为四边形，则2AE ＞AB ， 即4t ＞5，解得t ＞54，∵点E 在线段AO 上， ∴AE ≤AO ， 即2t ≤4， 解得：t ≤2，∴t 的取值范围是54＜t ≤2；②14≤S ≤25134．【答案】（1）解：点A 的坐标为（4，8）将A (4，8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax 2+bx 得8=16a+4b 0=64a+8b解得a= −12，b=4∴抛物线的解析式为：y=- 12x 2+4x（2）解：①在Rt∠APE 和Rt∠ABC 中，tan∠PAE= PE AP = BC AB ，即 PE AP =48=12PE= 12 AP= 12t ．PB=8-t ．∴点E 的坐标为（4+ 12 t ，8-t ）.∴点G 的纵坐标为：- 12 （4+ 12 t ）2+4(4+ 12 t ）=- 18 t 2+8. ∴EG=- 18 t 2+8-(8-t) =- 18 t 2+t.∵- 18 ＜0，∴当t=4时，线段EG 最长为2 ②共有三个时刻：t 1= 163 ，t 2= 4013 ，t 3= 852+55．【答案】（1）解：易求A(-2,0)，B(4,0)，C(0, 2√3 )，D(1, 9√34)，∠PEF∠∠BOC. ∴当PE 最大时，∠PEF 的周长最大.易求直线BC 的解析式为y= −√32x +2√3 设P(x, −√34x 2+√32x +2√3 )，则E(x, −√32x +2√3 ) ∴PE= −√34x 2+√32x +2√3 -( −√32x +2√3 )= −√34x 2+√3x ∴当x=2时，PE 有最大值. ∴P(2, 2√3 )，此时 如图，将直线OG 绕点G 逆时针旋转60 °得到直线l ， 过点P 作PM∠l 于点M ，过点K 作KM /∠l 于M /.则PH+HK+ √32KG= PH+HK+KM /≥PM 易知∠POB=60°.POM 在一直线上. 易得PM=10，H(1, √3 )（2）解：易得直线AC 的解析式为y= √3x +2√3 ，过D 作AC 的平行线，易求此直线的解析式为y= √3x +5√34 ，所以可设D /(m, √3m +5√34 )，平移后的抛物线y 1= −√34(x −m)2+√3m +5√34 .将（0，0）代入解得m 1=-1（舍），m 2=5.所以D /(5, 25√34).设N(1,n)，又C(0, 2√3 )，D /(5, 25√34).所以NC 2=1+(n- 2√3 )2，D /C 2= 52+(25√34−2√3)2= 126716 ，D /N 2= （5−1)2+(25√34−n)2 . 分NC 2= D /C 2 D /C 2= D /N 2；NC 2= D /N 2.列出关于n 的方程求解.答案N 1(1, 8√3+3√1394 )，N 2(1, 8√3−3√1394 )，N 3(1, 25√3+√10114 )，N 4(1, 25√3−√10114)，N 5(1, 641√3136).6．【答案】（1）解：当m =1时，抛物线G ：y 1=x 2−1，直线ℎ：y 2=x +1，令x 2−1=x +1，解得x =−1或x =2，∴抛物线G 与直线ℎ交点的坐标为(−1，0)或(2，3)；（2）证明：令mx 2−(3m −3)x +2m −3=mx +3−2m ，整理得mx 2−(4m −3)x +4m −6=0，即(x −2)(mx −2m +3)=0，解得x =2或x =2m−3m， 当x =2时，y =3；当x =2m−3m时，y =0； ∴抛物线G 与直线ℎ的交点分别为(2，3)和(2m−3m，0)， ∴必有一个交点在x 轴上；（3）解：①证明：由（2）可知，抛物线一定过点(2，3)；②解：抛物线G ：y 1=mx 2−(3m −3)x +2m −3=(mx −2m +3)(x −1)，则抛物线G 与x 轴的交点为(1，0)，(2m−3m，0)，∵抛物线G 与抛物线G′关于原点对称， ∴抛物线G′过点(−1，0)，(−2m−3m，0)， ∴抛物线G′的解析式为：y′=−m(x +1)(x +2m−3m)=−mx 2−(3m −3)x −2m +3， 令−mx 2−(3m −3)x −2m +3=mx +3−2m ，整理得mx 2+(4m −3)x =0， ∴x =0或x =3−4mm， 即四个交点分别为：(0，3−2m)，(2，3)，A(2m−3m ，0)，(3−4mm，6−6m)，当0⩽3−4m m⩽2时，即12⩽m ⩽34时，0为最小值，2为最大值， ∴0<2m−3m<2(m >0)，不等式无解，这种情况不成立； 当3−4m m <0时，则0<m <34，则3−4m m <2m−3m<2，解得m >1，不成立； 当3−4m m >2时，得0<m <12，此时0<2m−3m <3−4m m ，解得得0<m <12， ∴0<3m−32m <32．即抛物线G 对称轴的取值范围为：0<3m−32m<32． 7．【答案】（1）解：把C 、D 两点的坐标代入抛物线解析式可得 {c =836a +18+c =8，解得 {c =8a =−12， ∴抛物线解析式为y=﹣ 12 x 2+3x+8（2）解：①∵y=﹣ 12 x 2+3x+8=﹣ 12 （x ﹣3）2+ 252 ，∴抛物线对称轴为x=3，设直线l解析式为y=kx，把D（6，8）代入可得8=6k，解得k= 3 4，∴直线l的解析式为y= 43x，∴E（3，4），∵O（0，0），C（0，8），∴OE=CE，∴点E在线段OC的垂直平分线上，∵∠TEC=∠TEO，∴TE∠x轴，∴T的纵坐标为4，在y=﹣12x2+3x+8中，令y=4可得4=﹣12x2+3x+8，解得x=3+ √17或x=3﹣√17，∴T的坐标为（3+ √17，4）或（3﹣√17，4）；②在y=﹣12x2+3x+8中，令y=0可得0=﹣12x2+3x+8，解得x=﹣2或x=8，∴B（8，0），∵E（3，4），∴OE=5，如图2，过点E作BP的平行线，交y轴于点F，交x轴于点H，∴OPOF=OQOE，∵OP=OQ，∴OF=OE=5，∴F（0，5），∴可设直线PB的解析式为y=kx+5，把E点坐标代入可得4=3k+5，解得k=﹣1 3，∴直线EF的解析式为y=﹣13x+5，∴可设直线PB的解析式为y=﹣13x+m，把B点坐标代入可得0=﹣13×8+m，解得m=83，∴P点坐标为（0，8 3）8．【答案】（1）解：由题意得，AB= √AC2+BC2=√62+82=10,AD=BD= 12AB=5 当P在线段BD上且不与D重合时，有PD=5-4t（0<t<54）；当P在线段AD上且不与D重合时，有PD=4t-5（0<t<54）；则当0<t<54时，PD=5−4t；当54<t≤52时，PD=4t−5；（2）解：如图1∵∠PDQ=∠A, ∠DPQ=∠ACB=90°,∴∠DQP∠∠ABC∴DQAB=DPAC,DQ=54PD=54(5−4t)=254−5t又∵∠PDQ=∠A∴DQ//AC,∵点D是边AB的中点∴DQ为∠ABC的中位线∴当点Q落在BC上时，DQ= 12AC=4∴254−5t=4,解得t=920；（3）解：由（1）（2）可知：①如图2：当0＜t＜920时，重叠部分为四边形S=S∠BND-S∠BPM= 12×3×4−12×(4t)2×43= =−333t2+6；②如图3：当Q在AC上时，P在AD的中点，即此时t= 15 8当158＜t＜52时，重叠部分为四边形S=S∠ADQ-S∠APM= 12×5×52×34−12×(10−4t)2×34= −6t2+30t−52516；（4）t的值为920，365228，17209．【答案】（1）2 √5（2）4或2√6+2√2或2√6−2√2（3）解：将抛物线的表达式y=x2与直线方程y=x＋2联立并解得：x=−1或2，即：点R、S的坐标分别为（−1，1）、（2，4），则RS＝3 √2，则RS边上的高为：12×3 √2= 32√2，则点Q在于RS平行的上下两条直线上，如下图，设直线RS与y轴交于点N，则N（0，2），过点N作NQ∠TQ于点Q，则NQ= 32√2，则NT=NQsin45°＝3，∴点T（0，5），则点Q所在的直线方程为：y＝x＋5，同理：当点Q所在的直线在直线RS的下方时，y＝x−1，∴点Q所在的直线方程为：y＝x＋5或y＝x−1；如图4，当点P介于点R与点S之间时，设与RS平行且与抛物线只有一个交点p′的直线方程为：y＝x＋d，将该方程与抛物线方程联立并整理得：x2−x−d＝0，∴∠＝1＋4d＝0，解得：d＝−1 4，此时，x2−x＋14＝0，解得：x＝12，∴点p′（12，14），此时，P（p′）Q取得最小值．10．【答案】（1）解：将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），∴a ＝16，∴y ＝16（x+3）（x ﹣4）＝16x 2﹣16x ﹣2；（2）解：令y ＝0，则16（x+3）（x ﹣4）＝0，∴x ＝﹣3或x ＝4， ∴A （4，0），设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ， ∴{b =−24k +b =0， ∴{k =12b =−2， ∴y ＝12x ﹣2，∵OP ＝1， ∴P （1，0）， ∵PQ∠x 轴，∴Q （1，﹣32），C （1，﹣2），∴AP ＝3，∴S ∠ACQ ＝S ∠ACP ﹣S ∠APQ ＝12×3×2﹣12×3×32＝34；（3）解：设P （t ，0），如图3，过点D 作x 轴垂线交于点N ，∵∠BPD ＝90°，∴∠OPB+∠NPD ＝90°，∠OPB+∠OBP ＝90°， ∴∠NPD ＝∠OBP ， ∵BP ＝PD ，∴∠PND∠∠BOP （AAS ）， ∴OP ＝ND ，BO ＝PN ， ∴D （t+2，﹣t ），∴﹣t ＝16（t+2+3）（t+2﹣4），解得t ＝1或t ＝﹣10，∴D （3，﹣1）或D （﹣8，10）．11．【答案】（1）解： ∵ 抛物线 y =ax 2−2ax −3a 交x 轴的负半轴于点A ，交x 轴的正半轴点B ，交y 轴的正半轴于点C ，且 OB =2OC ， 令 x =0 ，则 y =−3a ，则 C(0，−3a) ， ∴OC =−3a ，由 y =ax 2−2ax −3a =a(x 2−2x −3)=a(x −3)(x +1) ， 则 A(−1，0) ， B(3，0) ， ∴OB =3 ， ∵ OB =2OC ， 即 3=2×(−3a) ，解得 a =−12，（2）解： ∵ a =−12 ，∴y =−12x 2+x +32 ，∵ 点P 的横坐标为t ，则 P(t ，−12t 2+t +32) ， A(−1，0) ， B(3，0) ， C(0，32) ，设 D 的横坐标为 m ，设直线 BP 的解析式为 y =kx +b ，则 {kt +b =−12t 2+t +323k +b =0解得 {k =−t 2+2t+32t−6=−12(t +1)b =3t 2−6t+92t−6=32(t +1) ∴y =−12(t +1)x +32(t +1) ，∴OE =−b =3t 2−6t+96−2t =3(t 2−2t+3)2(3−t)=−32(t +1) ，CE=32−32(t+1)=−32t，设∠CDE的面积为s，则S=12CE⋅x D=12×(−32t)×m=−34mt，∵4s+3t=0，∴−3mt+3t=0，解得m=1，∴x D=1，将x=1代入y=−12x2+x+32=−12+1+32=2，∴D(1，2)，（3）解：如图，连接AD，BD，过D作DH⊥x轴与H∵A(−1，0)，B(3，0)，C(0，32)，D(1，2)，P(t，−12t2+t+32)，E(0，32t+32)∴AD=√(1+1)2+22=2√2，BD=√(3−1)2+22=2√2，AB=4∴AD2+BD2=16，AB2=16，AD=BD∴△ABD是等腰直角三角形∴∠ADB=90°∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，∴∠EDF=90°，DE=DF∴∠ADE+∠EDB=∠EDB+∠BDF∴∠ADE=∠BDF∴△AED≌△BFD ∴AE=BF，DA=DB，∠DAE=∠DBF延长GF至R，使得FR=EG，连接DR，DG，∵AE=BF，FR=EG∴AG=BR在△DAG与△DBR中{DA=DB ∠DAG=∠DBR AG=BR∴△DAG≌△DBR∴DG=DR，∠ADG=∠BDR，∵∠ADB=90°∴∠ADG+∠GDB=90°∴∠BDR+GDB=90°即∠GDR=90°∴△DRG是等腰直角三角形∴∠DRG=∠DGR=45°∵∠DGA=∠DRB∴∠DGA=45°∴∠AGB=∠DGA+∠DGB=90°∵∠AGB=2∠APB∴∠APB=45°过点P引坐标的两条垂线，垂足为Y，Z，作直线BP关于x轴对称的直线BT，交DH于点T，过点T作TS⊥DB，设T关于x轴对称的点为T′，∵∠APE=45°∴∠EPZ+∠YPA=45°设∠PBA=α，则∠TBO=α，∠EPZ=α，∠YPA=45°−α∵DH⊥x轴，△ADB是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°∴∠SBT=45°−α=∠YPA∴tan∠SBT=tan∠YPA，∴STSB=YAYP∵D(1，2)，DH⊥x轴，∴T，T′的横坐标为1，∵直线BP的解析式为y=−12(t+1)x+32(t+1)令x=1解得y=t+1∴T′(1，t+1)∴T(1，−t −1) ∴DT =3+t∴ST =DS =DT ⋅sin45°=√22(3+t)∵ D(1，2) ， H(1，0) ∴ DH =2∴SB =DB −DS =DHsin45°−DS =2√2−√22(3+t)=√22−√22t∵ P(t ，−12t 2+t +32) ， A(−1，0) ，∴YA =−1−t ， YP =12t 2−t −32=12(t +1)(t −3) ，∴ST SB =YAYP， 即 √22(3+t)√22−√22t =−1−t12t 2−t−32 ， 整理得 t 2−2t −7=0 ，解得 t 1=1+2√2，t 2=1−2√2 ， ∵t <0 ， ∴t =1−2√2 ，将 t =1−2√2 t 代入 −12t 2+t +32=−2 ，∴P(1−2√2，−2) ．12．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），B （0，3），C （1，0），∴{9a −3b +c =0c =3a +b +c =0 ，解得： {a =−1b =−2c =3 ， 所以，抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3； （2）解：∵A （-3，0），B （0，3），∴OA=OB=3，∴∠AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°， ∵PF∠x 轴，∴∠AEF=90°-45°=45°，又∵PD∠AB ，∴∠PDE 是等腰直角三角形，∴PD 越大，∠PDE 的周长越大，易得直线AB 的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，联立{y=x+my=−x2−2x+3，消掉y得，x2+3x+m-3=0，当∠=9-4（m-3）=0，即m= 214时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，此时x=- 32，y=154，∴点（- 32，154），∠PDE的周长最大；（3）解：设直线x=-2与x轴交于点E，作点A关于直线x=-2的对称点D，则D（-1，0），连接MA，MD，MC.∴MA=MD，∠MAC=∠MDA=2∠MCA，∴∠CMD=∠DCM∴MD=CD=2 ，∴ME= √3∴点M（-2，√3）或（-2，- √3）.13．【答案】（1）解：∵点B、C在直线为y=x+n上，∴B(−n，0)、C(0，n)，∵点A(1，0)在抛物线上，∴{a+b−7=0an2−bn−7=0n=−7，∴a=−1，b=8，∴抛物线解析式：y=−x2+8x−7（2）解：5√2（3）解：由题意，得，PB=6−t，BE=2t，由OB=OC，∠BOC=90°，得∠OBC=45°，∴点P 到BC 的高h 为BP ·sin45°=√22(6−t)，∴S ΔPBE =12BE ⋅ℎ=12×√22(6−t)×2t =−√22t 2+3√2t =−√22(t −3)2+9√22，当t ＝3时，面积最大，最大值为9√22；（4）解：6或7+√732或7−√73214．【答案】（1）解：令 y =0 ，则 12x 2−32x −2=0 ，解得 x 1=−1 ， x 2=4 ，∴A(−1,0) ， B(4,0) ，根据题意设抛物线L 2的解析式为： y =a(x +1)(x −4) ， 把点 (2,−12) 代入，得 −6a =−12 ，解得 x =2 ， ∴y =2(x +1)(x −4)=2x 2−6x −8 ；（2）解：∵抛物线L 2与L 1是“共根抛物线”， A(−1,0) ， B(4,0) ，∴它们的对称轴都是直线 x =32 ，∴点P 在直线 x =32上，如图，当A 、C 、P 共线时， BP −CP 的值最大，∵PA =PB ，∴BP −CP =AP −CP =AC ，此时点P 是直线AC 与直线 x =32的交点，∵A(−1,0) ， C(0,−2) ，∴直线AC 的解析式为： y =−2x −2 ，∴P(32,−5) ；（3）解：∵A(−1,0) ， B(4,0) ， C(0,−2) ，∴AB =5 ， CB =2√5 ， CA =√5 ，∴AB 2=CB 2+CA 2 ，∴∠ACB =90° ， CB =2CA ，∵y =12x 2−32x −2=12(x −32)2−258， ∴D(32,258) ， 根据题意， ∠PDQ 不可能是直角，第一种情况，当 ∠DPQ =90° 时，①如图，当 △QDP ∼△ABC 时， QP DP =AC BC =12设 Q(x,12x 2−32x −2) ，则 P(32,12x 2−32x −2) ， ∴DP =12x 2−32x −2−(−258)=12x 2−32x +98， QP =x −32 ， ∵DP =2QP ，∴12x 2−32x +98=2(x −32) ，解得 x 1=112 ， x 2=32（舍去）， ∴P(32,398) ； ②如图，当 △DQP ∼△ABC 时，则 PQ =2PD ，∴x −32=2(12x 2−32x +98) ，解得 x 1=52 ， x 2=32 （舍去）， ∴P(32,−218) ； 第二种情况：当 ∠DQP =90° 时，①如图，当 △PDQ ∼△ABC 时， PQ DQ =AC BC =12 ，过点Q 作 QM ⊥PD 于点M ，则 △QDM ∼△PDQ ，∴QM MD =PQ DQ =12 ，由图知， M(32,398) ， Q(112,398) ， ∴MD =8 ， MQ =4 ，∴DQ =4√5 ，由 DQ DM =PD DQ ，得 PD =10 ，∵D(32,−258) ， ∴P(32,558) ； ②如图，当 △DPQ ∼△ABC 时，过点Q 作 QM ⊥PD 于点M ，同理得 M(32,−218) ， Q(52,−218) ，∴DM =12 ， QM =1 ， QD =√52 ，由 QD DM =PD DQ ，得 PD =52 ，∴P(32,−58) ；综上：点P 的坐标是 (32,398) 或 (32,−218) 或 (32,558) 或 (32,−58) ．15．【答案】（1）解：∵二次函数 y =ax 2+bx +2 的图象与x 轴交于 A(−3,0) ，B(1,0) 两点， ∴{9a −3b +2=0a +b +2=0 ，解得： {a =−23b =−43∴这个二次函数的解析式为 y =−23x 2−43x +2 ；∵二次函数 y =−23x 2−43x +2 与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为 (0,2)设直线 AC 的解析式为 y =kx +2 ，∵直线 AC 经过点 A(−3,0)∴0=−3k +2解得 k =23 ，∴直线 AC 的解析式为 y =23x +2 ；（2）解：由（1）得 y =−23x 2−43x +2 ，设点 P(m,−23m 2−43m +2) ，则 D(m,23m +2) ，∴PD =−23m 2−43m +2−(23m +2) =−23m 2−2m =−23(m +32)2+32 ∴当 m =−32时， PD 最大，最大值是 32 ． （3）存在， Q 1(−5,0) ， Q 2(−1,0) ， Q 3(2+√7,0) ， Q 4(2−√7,0)16．【答案】（1）解：由于抛物线y= 34x 2+bx+c 与y 轴交于点B （0，3），则 c=3； ∵抛物线的对称轴 x=﹣ b 2a =﹣ 52， ∴b=5a= 154； 即抛物线的解析式：y= 34 x 2+ 154x+3． （2）解：∵A （4，0）、B （0，3），∴OA=4，OB=3，AB= √OA 2+OB 2 =5；若四边形ABCD 是菱形，则BC=AD=AB=5，∴C （﹣5，3）、D （﹣1，0）．将C （﹣5，3）代入y= 34 x 2+ 154 x+3中，得： 34 ×（﹣5）2+ 154×（﹣5）+3=3，所以点C 在抛物线上；同理可证：点D 也在抛物线上．（3）解：设直线CD 的解析式为：y=kx+b ，依题意，有：{−5k +b =3−k +b =0 ，解得 {k =−34b =−34∴直线CD ：y=﹣ 34 x ﹣ 34． 由于MN∠y 轴，设 M （t ， 34 t 2+ 154t+3），则 N （t ，﹣ 34 t ﹣ 34 ）； ② t ＜﹣5或t ＞﹣1时，l=MN=（ 34 t 2+ 154 t+3）﹣（﹣ 34 t ﹣ 34 ）= 34 t 2+ 92 t+ 154 ； ②﹣5＜t ＜﹣1时，l=MN=（﹣ 34 t ﹣ 34 ）﹣（ 34 t 2+ 154 t+3）=﹣ 34 t 2﹣ 92 t ﹣ 154； 若以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，由于MN∠CE ，则MN=CE=3，则有： 34 t 2+ 92 t+ 154=3，解得：t 1=﹣3+2 √2 ，t 2=﹣3﹣2 √2 ；﹣ 34 t 2﹣ 92 t ﹣ 154=3，解得：t=﹣3； 综上，l= {34t 2+92t +154(t <−5或t >−1)34t 2−92t −154(−5<t <−1)且当t=﹣3+2 √2 ，t=﹣3﹣2 √2 或﹣3时，以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形．。
专题24 动态几何之双(多)动点形成的函数关系问题(压轴题)
《中考压轴题》专题24：动态几何之双（多）动点形成的函数关系问题一、选择题1.如图1，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿B-A-D-C和B-C-D方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），△BPQ的面积为S（平房单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是A．当t=4秒时，S=43B．AD=4C．当4≤t≤8时，S=23t D．当t=9秒时，BP平分梯形ABCD的面积2.如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为A．B．C．D，3.如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是A ．AE=6cmB ．4sin EBC 5∠=C ．当0＜t ≤10时，22y t 5=D ．当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形4.如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm ，已知y 与t 的函数关系的图形如图2（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm ；②当0＜t≤5时，22y t 5=；③直线NH 的解析式为5y t 272=-+；④若△ABE 与△QBP 相似，则t=294秒。
2023年中考数学高频考点突破- -二次函数动态几何问题
2023年中考数学高频考点突破- -二次函数动态几何问题1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左则，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；2．已知直线y＝kx＋b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y＝14x2相交于B、C两点．（1）如图，当点C的横坐标为1时，求直线BC的表达式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知:如图，二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点，（1）求这个二次函数的解析式（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6.求点B的坐标。
4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝12x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC△x轴于点C，交AB于点D.（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y=−12x+2经过A，C两点，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E．（1）求此抛物线的解析式；（2）求ΔDAC的面积；（3）在抛物线上是否存在一点P，使它到x轴的距离为4，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，则说明理由．6．已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣45x+c与直线y＝25x+25交于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线y＝25x+25与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线y＝25x+25下方，求△PAC的最大面积；（3）设M是抛物线对称轴上的一点，以点A、B、P、M为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．8．二次函数y=ax2+2x-1与直线y=2x-3交于点P（1，b）。
九年级数学下册常考【压轴题】类型+解题思路
九年级数学下册常考【压轴题】类型+解题思路中考数学常考压轴题类型1、线段、角的计算与证明中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
2、一元二次方程与函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合。
3、多种函数交叉综合问题初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。
这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。
所以，在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。
4、列方程(组)解应用题在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。
方程，可以说是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考中必考内容。
从近年来的中考来看，结合时事热点考的比较多，所以还需要考生有一些生活经验。
实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。
5、动态几何与函数问题整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。
而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。
2023年中考数学高频考点-二次函数动态几何问题
2023年中考数学高频考点-二次函数动态几何问题1．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线对称轴上一个动点，求△PBC周长最小时的P点坐标；（3）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值和M点的坐标．2．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B(3，0)两点．（1）填空：抛物线的对称轴为；（2）求b，c的值；（3）设抛物线上一动点P(s，t)关于原点的对称点为点Q，当点Q落在第一象限内，且AQ2取得最小值时，求s的值．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx顶点坐标为(2,4)，图象交x轴正半轴于点A.（1）求二次函数的表达式和点A的坐标.（2）点P是抛物线上的点，它在对称轴右侧且在第一象限内.将点P向左平移2n(n>0)个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，若△OAQ的面积为6n，求n的值.4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y= 12x²-32x-2的图象交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，函数图象的顶点为点D。
（1）求点B，D的坐标，并根据该函数图象写出当x>0时y的取值范围；（2）将点C向上平移m(m>0)个单位到点G，过点G作x轴的平行线，与二次函数的图象交于点E，F，若FG=2EG，求m的值。
5．如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（－1，2），将此矩形绕点O顺时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y=－x2+bx+c过B，E两点.（1）求此抛物线的函数关系式；（2）将矩形ABCO向上平移，并且使此抛物线平分线段BC，求平移距离.6．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）、动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动、其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动、过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP、已知动点运动了t秒、（1）P点的坐标为（，）（用含t的代数式表示）;（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时t的值;（3）请你探索：当t为何值时，△MPA是一个等腰三角形？7．先让我们一起来学习方程m2+1= √m2+3的解法：解：令m2=a，则a+1= √a+3，方程两边平方可得，（a+1）2=a+3解得a1=1，a2=﹣2，∵m2≥0∴m2=1∴m=±1点评：类似的方程可以用“整体换元”的思想解决．不妨一试：如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．（1）求抛物线的解析式；（2）①当P点运动到A点处时，通过计算发现：POPH（填“＞”、“＜”或“=”）；（3）当△PHO为等边三角形时，求点P坐标；（4）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P、O、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+9﹣b2（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E．其顶点M在第一象限．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长；②求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标；③当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断并说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线y＝﹣14与抛物线分别交于点D、E，求线段DE的长．（3）点P是线段OB上一点（不与点B、O重合），过点P作PM⊥x轴交抛物线于点M，连接CM、BM，求△BCM面积的最大值，及此时点M坐标．10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N 为直线PF上一动点，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．11．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）如图甲，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图乙，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB四边形OAFC沿射线CB 方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动，设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．12．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．13．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1，0),B(4,0),C(−2,−6)，直线BC与y 轴交于点D，E为二次函数图象上任一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点E是直线BC上方抛物线上一点，过E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的两点F,G(F在G的左侧)，求△EFG周长的最大值；（3）是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形？如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．（1）求抛物线的解析式．（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．16．如图，在直角坐标系中，直线y＝13x+1与x轴、y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D，连接PD，交AB于E，求出当以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似时点P的坐标；（3）若点Q在第二象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值？如果存在直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．。
中考数学专题 动态几何与函数10题-含答案
动态几何与函数10题(1)请直接写出1y ，2y 与t 之间的函数关系式以及对应的t 的取值范围；
(2)请在平面直角坐标系中画出1y ，2y 的图象，并写出1y 的一条性质；
(3)求当12y y >时，t 的取值范围．
(1)求出12,y y与x的函数关系式，并注明
(2)先补全表格中1y的值，再画出
x123456
y12632
1
(3)在直角坐标系内直接画出2y的函数图像，结合1y和2y的函数图像，x的取值范围．(结果取精确值)
(1)请求出1y 和2y 关于x 的函数解析式，并说明x 的取值范围；
(2)在图2中画出1y 关于x 的函数图象，并写出一条这一函数的性质：(3)若12103
y y -≥，请结合函数图像直接写出x 的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
4．
（2023春·重庆江津·九年级校联考期中）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿折线A B C D →→→运动，当它到达D 点时停止运动；同时，点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AD 运动，过Q 点做直线l 平行于AB ，点M 为直线l 上的一点，满足AMQ △的面积为2，设点P 点Q 的运动时间为t （0t >），ADP △的面积为1y ，QM 的长度为2y ．
(1)分别求出1y ，2y 与t 的函数关系，并注明t 的取值范围；
(2)在坐标系中画出1y ，2y 的函数图象；
(3)结合函数图象，请直接写出当12y y <时t 的取值范围．。
中考几何-动态试题解法(解析版)
中考几何动态试题解法专题知识点概述一、动态问题概述1.就运动类型而言,有函数中的动点问题有图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题有点动、线动、面动三大类。
3.就图形变化而言,有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等。
4.动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，属于初中数学难点，综合性强，只有完全掌握才能拿高分。
二、动点与函数图象问题常见的四种类型1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。
2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。
3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。
四、动点问题常见的四种类型解题思路1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，通过全等或相似，探究构成的新图形与原图形的边或角的关系。
中考数学专题：动态几何与函数问题试卷
中考数学专题：动态几何与函数问题动态几何问题整体来说主要是代数和几何综合题，而代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。
而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。
但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。
本次讲将重点放在了对函数，方程的应用上。
其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。
不过从近年中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。
但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。
【例1】如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E.（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积.（2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.【例2】已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。
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中考数学动态几何与函数问题【例1】如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E.（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积.（2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。
很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。
其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。
脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。
第二问建立函数式则需要看出当24t <<时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。
动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。
【解】（1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==，； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线， ∴4CO =∴直角梯形OABC 的面积为：()()112441222AB OC OA +⋅=+⨯=..... (3分) （2）当24t <<时，阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ∆的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系)∴1122S OD OE =-⋅∵142OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- .∴()()()21122441242S t t t =-⨯-⋅-=--284S t t =-+-.【例2】已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路分析】本题看似几何问题，但是实际上△AOE 和△FOB 这两个直角三角形的底边和高恰好就是E,F 点的横坐标和纵坐标，而这个乘积恰好就是反比例函数的系数K 。
所以直接设点即可轻松证出结果。
第二问有些同学可能依然纠结这个△EOF 的面积该怎么算，事实上从第一问的结果就可以发现这个矩形中的三个RT △面积都是异常好求的。
于是利用矩形面积减去三个小RT △面积即可，经过一系列化简即可求得表达式，利用对称轴求出最大值。
第三问的思路就是假设这个点存在，看看能不能证明出来。
因为是翻折问题，翻折之后大量相等的角和边,所以自然去利用三角形相似去求解，于是变成一道比较典型的几何题目，做垂线就OK.【解析】（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ， 由题意得11k y x =，22k y x =．1111122S x y k ∴==，2221122S x y k ==． 12S S ∴=，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫⎪⎝⎭，， (想不到这样设点也可以直接用X 去代入,麻烦一点而已)1111432234ECF S EC CF k k ⎛⎫⎛⎫∴==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△， 11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECFAOBC S S S S S k k S k S ∴=---=---=--△△△△△△矩形11112212243234OEF ECF ECF S S S k S k k k ⎛⎫⎛⎫∴=-=--=--⨯-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△△△2112S k k ∴=-+． 当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值．131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值．（3）解：设存在这样的点F ，将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-， 90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠=，EMN MFB ∴∠=∠．又90ENM MBF ∠=∠=，ENM MBF ∴△∽△．(将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中) EN EM MB MF ∴=，11414312311331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，94MB ∴=． 222MB BF MF +=，222913444k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得218k =． 21432k BF ∴==． ∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．【例3】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。
动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。
设运动的时间为t （秒）。
（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形（3）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD 若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。
AD图1【思路分析】 本题是一道和一元二次方程结合较为紧密的代几综合题，大量时间都在计算上。
第三讲的时候我们已经探讨过解决动点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了变化，哪些量没有变化。
对于该题来说，当P,Q 运动时，△BPQ 的高的长度始终不变，即为CD 长，所以只需关注变化的底边BQ 即可，于是列出函数式。
第二问则要分类讨论，牢牢把握住高不变这个条件，通过勾股定理建立方程去求解。
第三问很多同学画出图形以后就不知如何下手，此时不要忘记这个题目中贯穿始终的不动量—高，过Q 做出垂线以后就发现利用角度互余关系就可以证明△PEQ 和△BCD 是相似的，于是建立两个直角三角形直角边的比例关系，而这之中只有PE 是未知的，于是得解。
这道题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用，每一小问都和它休戚相关，利用这个不变的高区建立函数，建立方程组乃至比例关系才能拿到全分。
【解析】解： （1）如图1，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ，则四边形PDCM 为矩形。
∴PM ＝DC ＝12∵QB ＝16－t ，∴S ＝12×12×(16－t)＝96－t（2）由图可知：CM ＝PD ＝2t ，CQ ＝t 。
热以B 、P 、Q 三点 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。
①若PQ ＝BQ 。
在Rt △PMQ 中，22212PQ t =+，由PQ2＝BQ2 得 22212(16)t t +=-，解得t ＝72； ②若BP ＝BQ 。
在Rt △PMB 中，222(162)12BP t =-+。
由BP2＝BQ2 得：222(162)12(16)t t -+=- 即23321440t t -+=。
由于Δ＝－704＜0∴23321440t t -+=无解，∴PB ≠BQ …③若PB ＝PQ 。
由PB2＝PQ2，得222212(162)12t t +=-+整理，得23642560t t -+=。
解得1216163t t ==，（舍）（想想看为什么要舍函数自变量的取值范围是多少）综合上面的讨论可知：当t ＝71623t =秒或秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形。
（3）设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD 。
如图2，过点Q 作QE ⊥ADS ，垂足为E 。
由Rt △BDC ∽Rt △QPE ，得DC PE BC EQ =，即121612t =。
解得t ＝9 所以，当t ＝9秒时，PQ ⊥BD 。
【例4】在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．【思路分析】依然是一道放在几何图形当中的函数题。
但是本题略有不同的是动点有一个折返的动作，所以加大了思考的难度,但是这个条件基本不影响做题,不需要太专注于其上。
首先应当注意到的是在运动过程中DE 保持垂直平分PQ 这一条件，然后判断t 可能的范围.因为给出了AC 和CB 的长度,据此估计出运动可能呈现的状态.第一问简单不用多说,第二问做出垂线利用三角形内的比例关系做出函数.第三问尤其注意直角梯形在本题中有两种呈现方式.DE 后一问则可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ 的等量关系去求解.解：（1）1，85；（2）作QF⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP= t ，∴3AP t =-． 由△AQF∽△ABC，4BC =， 得45QF t =．∴45QF t =． ∴14(3)25S t t =-⋅，图2AP 图3AP即22655S t t =-+． （3）能．①当DE∥QB 时，如图4．∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABC，得AQ APAC AB=， 即335t t -=． 解得98t =． ②如图5，当PQ∥BC 时，DE⊥BC，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC，得 AQ APAB AC=， 即353t t -=． 解得158t =． （4）52t =或4514t =． 【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ． 方法一、连接QC ，作QG⊥BC 于点G ，如图6． PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．方法二、由CQ CP AQ ==，得QAC QCA ∠=∠，进而可得 B BCQ ∠=∠，得CQ BQ =，∴52AQ BQ ==．∴52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7． 22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =【例5】如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．AP 图5AA（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．【思路分析】本题也是一道较为典型的题。