高考数学函数复习 题集附答案
高考数学应用题复习题集及参考答案
高考数学应用题复习题集及参考答案本文为高考数学应用题复习题集及参考答案，旨在帮助学生复习并加深对应用题的理解。
以下是一系列经典的数学应用题，每道题后附有详细的解答和解题思路。
希望能够对广大考生有所帮助。
一、函数与极限1. 设函数\[y = f(x) = \frac{{\sin x}}{{\sqrt{x}}}\]，求\[\lim_{{x\rightarrow 0}} f(x)\]的值。
解答：由于\[\lim_{{x \rightarrow 0}} \sin x = 0\]，且\[\lim_{{x \rightarrow 0}} \sqrt{x} = 0\]，所以我们有：\[\lim_{{x \rightarrow 0}} f(x) = \lim_{{x \rightarrow 0}} \frac{{\sin x}}{{\sqrt{x}}}\]\[= \frac{{\lim_{{x \rightarrow 0}} \sin x}}{{\lim_{{x \rightarrow 0}} \sqrt{x}}}\]\[= \frac{0}{0}\]（形式不定）利用洛必达法则，求导得：\[\lim_{{x \rightarrow 0}} f(x) = \lim_{{x \rightarrow 0}} \frac{{\cos x}}{{\frac{1}{{2\sqrt{x}}}}}\]\[= \lim_{{x \rightarrow 0}} 2\sqrt{x} \cdot \cos x\]\[= 2 \cdot 0 \cdot 1 = 0\]因此，\[\lim_{{x \rightarrow 0}} f(x) = 0\]。
二、微分与导数2. 已知函数\[y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\]，求导函数\[y' = f'(x)\]。
解答：使用导数的定义，对函数进行求导：\[y' = \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{{f(x+\Delta x) -f(x)}}{{\Delta x}}\]\[= \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{{(x+\Delta x)^3 - 3(x+\Delta x)^2 - 4(x+\Delta x) + 12 - (x^3 - 3x^2 - 4x + 12)}}{{\Delta x}}\]\[= \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{{x^3 + 3x^2 \Delta x +3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 3x^2 - 6x \Delta x - 3(\Delta x)^2 - 4x -4\Delta x + 12 - x^3 + 3x^2 + 4x - 12}}{{\Delta x}}\]\[= \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{{3x^2 \Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 6x \Delta x - 3(\Delta x)^2 - 4\Delta x}}{{\Delta x}}\]\[= \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} (3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2 - 6x - 3\Delta x - 4)\]\[= 3x^2 - 6x - 4\]因此，导函数\[y' = f'(x) = 3x^2 - 6x - 4\]。
历年高考数学函数题库(含答案)
【答案】D，做出点知即,,2121y y x x >-<-方法二：设3()F x x bx =-【答案】Ｃ图像大致是=，则函数题库(1)g -=【答案】330.（2012高考广东文11）函数的定义域为 .1x y x+=【答案】[)()1,00,-+∞U 31.（2102高考北京文12）已知函数，若，则x x f lg )(=1)(=ab f =+)()(22b f a f _____________。
【答案】232.（2102高考北京文14）已知，，若)3)(2()(++-=m x m x m x f 22)(-=xx g ，或，则m 的取值范围是_________。
R x ∈∀0)(<x f 0)(<x g 【答案】)0,4(-33.（2012高考天津文科14）已知函数的图像与函数的图像恰有两个交211x y x -=-y kx =点，则实数的取值范围是 .k 【答案】或。
10<<k 21<<k 34.（2012高考江苏5）函数的定义域为 ．x x f 6log 21)(-=【答案】。
(0 6⎤⎦（【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。
35.（2012高考江苏10）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，()f x R [11]-，其中．若，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，a b ∈R ，1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则的值为 ．3a b +【答案】。
10-【答案】C【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函'12cos 2y x =-'12cos 02y x =->1cos 4x <数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C'12cos 0y x =-<1cos x >8．(2011年高考浙江卷理科1)设函数,则实数=2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨>⎩若α（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2【答案】 B【解析】：当，故选B2042,a a a >=⇒=时,044a a a ≤=⇒=-当时,-9. (2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数),0(+∞的是（ ）A B C D 3x y =1+=x y 12+-=x y xy -=2【答案】B解析：由偶函数可排除A ，再由增函数排除C,D,故选B ；点评：此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数都是偶函数，所以，x y x y -==和内层有它们的就是偶函数，但是，它们在的单调性相反，再加上外层函数的单调性),0(+∞就可以确定。
高考函数专项大题(带答案)
函数高考专项1、已知二次函数cx bx ax x f ++=2)(，不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(． (Ⅰ)若方程06)(=+a x f 有两个相等的实根，求)(x f 的解析式； (Ⅱ)若)(x f 的最大值为正数，求实数a 的取值范围．2、设定义在R 上的函数f (x )＝a 0x 4+a 1x 3+a 2x 2＋a 3x (a i ∈R ，i ＝0，1，2，3 )，当x ＝－22时，f (x )取得极大值23，并且函数y ＝f ' (x )的图象关于y 轴对称。
（1）求f (x )的表达式；（2）试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－1，1]上；（3）求证：|f (sin x )－f (cos x ) | ≤ 223(x ∈R )．3、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）、设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m 。
4、已知函数()21log 0,2a f x x a a ⎛⎫=>≠⎪⎝⎭， （1）若()()()()2221220081220088,f x x x f x f x f x =+++ 求的值.（2）当()()()1,010,x x f x ∈-=+>时，g 求a 的取值范围.(3)若()()1,g x f x =+当动点(),p x y 在()y g x =的图象上运动时，点,32x y M ⎛⎫⎪⎝⎭在函数()y H x =的图象上运动，求()y H x =的解析式.5、已知函数.21)1()())((=-+∈=x f x f R x x f y 满足 （Ⅰ）求*))(1()1()21(N n nn f nf f ∈-+和的值； （Ⅱ）若数列)1()1()2()1()0(}{f nn f n f n f f a a n n +-++++= 满足，求列数}{n a 的通项公式；（Ⅲ）若数列{b n }满足1433221,41+++++==n n n n n b b b b b b b b S b a ，则实数k 为何值时，不等式n n b kS <2恒成立.6、已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f(Ⅰ)求函数()x f 的单调区间;(Ⅱ)求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值; (Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.7、已知函数2() 1 f x ax bx =++(,a b 为实数)，x R ∈， () (0)() () (0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩.(1)若(1)0,f -=且函数()f x 的值域为[0, )+∞，求)(x f 的表达式；(2)在(1)的条件下，当[2, 2]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值 范围；(3)设0m n ⋅<，0,m n +>0a >且()f x 为偶函数，判断()F m ＋()F n 能否大于零.8、已知二次函数221(),:8直线f x ax bx c l y t t =++=-+,其中(02≤≤，t t 为常数）； 2: 2.l x =若直线l 1、l 2与函数f (x )的图象以及l 1，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形如阴影所示. （Ⅰ）根据图象求a 、b 、c 的值；（Ⅱ）求阴影面积S 关于t 的函数S(t )的解析式；（Ⅲ）若,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ， 使得y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有两个不同的交点？ 若存在，求出m 的值； 若不存在，说明理由．9、若定义在R 上的函数()f x 对任意的R x x ∈21,，都有1)()()(2121-+=+x f x f x x f 成立，且当0>x 时，1)(>x f 。
高中函数试题及答案解析
高中函数试题及答案解析一、选择题1. 下列函数中，为奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x + 1答案：C2. 函数f(x) = 2x + 3的反函数是：A. f^(-1)(x) = (x - 3) / 2B. f^(-1)(x) = (x + 3) / 2C. f^(-1)(x) = 2x - 3D. f^(-1)(x) = (x - 3) / 2答案：A3. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处取得最小值，则a的取值范围是：A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a可以为任意实数答案：B二、填空题4. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的顶点坐标为_______。
答案：(2, -1)5. 若函数f(x) = 3x - 2与g(x) = 2x + 1的图象相交，则交点坐标为_______。
答案：(1, 1)三、解答题6. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求证：对于任意实数x，都有f(x) ≥ 0。
证明：首先，我们可以将函数f(x)进行配方，得到f(x) = (x -1)^2。
由于平方项(x - 1)^2总是非负的，即(x - 1)^2 ≥ 0，因此f(x) = (x - 1)^2也总是非负的。
所以，对于任意实数x，都有f(x) ≥ 0。
7. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5，求f(x)的单调区间。
解答：首先对函数f(x)求导得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 1。
令f'(x) = 0，解得x = 1/3 或 x = 1。
接下来分析f'(x)的符号：- 当x < 1/3时，f'(x) > 0，说明f(x)在此区间内单调递增；- 当1/3 < x < 1时，f'(x) < 0，说明f(x)在此区间内单调递减； - 当x > 1时，f'(x) > 0，说明f(x)在此区间内单调递增。
高数复习题目和答案
高数复习题目和答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间[-1, 2]上的最大值是：A. 1B. 3C. 5D. 72. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率是：A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题3. 若函数f(x)=2x-3在区间[0, 5]上连续，求f(0)+f(5)的值为______。
4. 已知函数g(x)=sin(x)+cos(x)，求g'(x)的导数表达式为______。
三、简答题5. 求函数y=x^3-6x^2+9x+2在x=2处的导数，并解释其几何意义。
6. 证明：若函数f(x)在区间(a, b)内连续，并且满足f(a)f(b)<0，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c)=0。
四、计算题7. 计算定积分∫(1, 3) (2x-1)dx。
8. 求解微分方程：dy/dx + 2y = x^2，y(0) = 1。
五、证明题9. 证明：对于任意正整数n，有\( \sum_{k=1}^{n} k^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。
10. 证明：函数f(x)=e^x是严格单调增函数。
六、应用题11. 某工厂生产某种商品，其成本函数为C(x)=100+5x，其中x是生产数量。
求生产100件商品时的平均成本。
12. 某公司股票价格随时间变化的函数为S(t)=100e^(0.05t)，其中t 是时间（以年为单位）。
如果公司决定在两年后卖出股票，求其卖出时的预期价格。
答案：一、选择题1. 正确答案：C. 5解析：f(x)=(x+3/2)^2-1/4，当x=2时，函数取得最大值5。
2. 正确答案：C. 1解析：求导得y'=3x^2-4x+1，代入x=1得到y'(1)=0。
二、填空题3. 答案：7解析：f(0)=-3，f(5)=40，所以f(0)+f(5)=-3+40=37。
4. 答案：g'(x)=cos(x)-sin(x)解析：根据导数的和与三角函数导数公式，得到g'(x)。
高中函数经典试题及答案
高中函数经典试题及答案一、选择题1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x = 1处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C2. 若f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2，求f'(x)：A. 3x^2 - 4x + 1B. x^3 - 2x^2 + 1C. 3x^2 - 4xD. 3x^2 - 4x + x - 2答案：A3. 函数y = sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π答案：B二、填空题4. 若f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(-1) = _______。
答案：05. 函数g(x) = 3x + 5的反函数是 _______。
答案：g^(-1)(x) = (x - 5)/3三、解答题6. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2，求h'(x)。
答案：h'(x) = 3x^2 - 12x + 97. 求函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1在区间[1, 2]上的最大值和最小值。
答案：首先求导得到f'(x) = 6x^2 - 10x + 3。
令f'(x) = 0，解得x = 1 或 x = 5/3。
在区间[1, 2]上，f'(x) > 0，说明f(x)在此区间单调递增。
因此，最小值为f(1) = -2，最大值为f(2) = 3。
四、综合题8. 已知函数F(x) = ln(x) + x^2，求F'(x)并讨论其单调性。
答案：首先求导得到F'(x) = 1/x + 2x。
由于x > 0，1/x > 0，2x > 0，所以F'(x) > 0，说明F(x)在(0, +∞)上单调递增。
结束语：本试题涵盖了高中数学中函数的基本概念、导数及其应用、函数的周期性、反函数、最值问题等，旨在检验学生对高中函数知识点的掌握程度和应用能力。
2024届高考数学复习：专项(利用导数解决双变量问题)练习(附答案)
2024届高考数学复习：专项（利用导数解决双变量问题）练习一、单选题 1．设函数()311433f x x x =-+，函数()221g x x bx =-+，若对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．5,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2．已知函数1()ln f x x a x x=-+，且()f x 有两个极值点12,x x ，其中(]11,2x ∈，则()()12f x f x -的最小值为（ ） A ．35ln 2-B ．34ln 2-C ．53ln 2-D ．55ln 2-3．已知函数()e ,()ln xf x xg x x x ==，若()()12f x g x t ==，其中0t >，则12ln tx x 的最大值为（ ）A ．1eB ．2eC ．21e D ．24e 4．设函数()12ln 133f x x x x=-+-，函数()25212g x x bx =--，若对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．5,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．已知函数()224x x f x x ++=-，()111323x xxx g x -⋅-=，实数a ，b 满足0a b <<．若[]1,x a b ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D．二、解答题 6．已知函数()2x f x x e =-．（Ⅰ）求函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在两个不相等的数1x ，2x ，满足()()12f x f x =，求证：122ln 2x x +<． 7．已知函数()()3ln f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数.（1）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （ii ）求函数()()()9g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （2）当3k ≥-时，求证：对任意的[)12,1,x x ∈+∞且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 8．已知函数21()ln 2f x x a x =-.其中a 为常数. （1）若函数()f x 在定义域内有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围；（2）已知1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求证：12x x +>. 9．已知函数ln ()xf x x=，()g x ax b =+，设()()()F x f x g x =-． （1）若1a =，求()F x 的最大值；（2）若()F x 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：()()12122x x g x x ++>.10．已知函数1()ln f x a x x x=-+，其中0a >. （1）若()f x 在(2,)+∞上存在极值点，求a 的取值范围；（2）设()10,1x ∈，2(1,)x ∈+∞，若()()21f x f x -存在最大值，记为()M a ，则当1a e e≤+时，()M a 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由11．已知函数()ln(1)ax f x e x =+，2()ln g x x a x=+-，其中a R ∈. （1）若函数()y f x =的图象与直线y x =在第一象限有交点，求a 的取值范围. （2）当2a <时，若()y g x =有两个零点1x ，2x ，求证：12432x x e <+<-.12．已知函数()2211ln 24f x x ax x x ax ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.（1）若()f x 在()0,+?单调递增，求a 的值；（2）当1344a e <<时，设函数()()f x g x x=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.13．已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--.14．已知函数2()(2)()x f x xe a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）当1a e>时，函数()f x 有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，求证：1232x x x lna ++<． 15．已知函数()223x xe f x e -+=，其中e 为自然对数的底数.（1）证明：()f x 在(),0-∞上单调递减，()0,∞+上单调递增； （2）设0a >，函数()212cos cos 3g x x a x a =+--，如果总存在[]1,x a a ∈-，对任意2x R ∈，()()12f x g x …都成立，求实数a 的取值范围.16．已知函数()()21ln 212h x x b x =+-，()21ln 2f x x a x =-．其中a ，b 为常数． （1）若函数()h x 在定义域内有且只有一个极值点，求实数b 的取值范围； （2）已知1x ，2x 是函数()f x的两个不同的零点，求证：12x x +>． 17．已知函数()()()1xxf x ae ea x a R -=--+∈，()f x 既存在极大值，又存在极小值.（1）求实数a 的取值范围；（2）当01a <<时，1x ，2x 分别为()f x 的极大值点和极小值点.且()()120f x kf x +>，求实数k 的取值范围.18．已知函数()()22ln xg x x t t R e=-+∈有两个零点1x ，2x . （1）求实数t 的取值范围； （2）求证：212114x x e+>. 19．已知函数()1ln f x x x=-，()g x ax b =+． （1）若函数()()()h x f x g x =-在()0,+?上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点()11,A x y ，()22,B x y ，试比较12x x 与22e 的大小．（取e 为2.8，取ln 2为0.7为1.4）20．已知函数2()(2)ln ()f x a x ax x a R =++-∈． （Ⅰ）当0a =时，求证：2()22x f x x >-． （Ⅱ）设232()3g x x x =-，若1(0,1]x ∀∈，2[0,1]x ∃∈，使得()()12f x g x …成立，求实数a 的取值范围． 21．设函数22()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈． （1）当1a =时，试讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()2()ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若函数()y h x =与函数y m =有两个不同交点1(C x ，)m ，2(D x ，)m ，设线段的中点为(,)E s m ，试问s 是否为()0h s '=的根？说明理由．22．已知函数()()2ln 1f x x a x =++．（1）若函数()y f x =在区间[)1,+∞内是单调递增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()y f x =有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()210ln f x x <<（注：e 为自然对数的底数）23．已知函数()ln x f x e x λλ=-（1）当1λ=-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若0e λ<<，函数()f x 的最小值为()h λ，求()h λ的值域.24．已知函数21()ln ()2f x x ax x a =-+∈R . （1）若()f x 在定义域单调递增，求a 的取值范围；（2）设1e ea <+，m ，n 分别是()f x 的极大值和极小值，且S m n =-，求S 的取值范围. 25．已知函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）任取[3,5]a ∈，函数()f x 对任意1212,[1,3]()x x x x ∈≠，恒有1212|()()|||f x f x x x λ-<-成立，求实数λ的取值范围.参考答案一、单选题 1．设函数()311433f x x x =-+，函数()221g x x bx =-+，若对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．5,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【要点分析】由题意只需()()min min f x g x ≥，对函数()f x 求导，判断单调性求出最小值，对函数()g x 讨论对称轴和区间[]0,1的关系，得到函数最小值，利用()()min min f x g x ≥即可得到实数b 的取值范围. 【答案详解】若对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立，只需()()min min f x g x ≥， 因为()311433f x x x =-+，所以()24f x x '=-，当[]1,2x ∈时，()0f x '≤，所以()f x 在[]1,2上是减函数，所以函数()f x 取得最小值()25f =-． 因为()()222211g x x bx x b b =-+=-+-，当0b ≤时，()g x 在[]0,1上单调递增，函数取得最小值()01g =，需51-≥，不成立； 当1b ≥时，()g x 在[]0,1上单调递减，函数取得最小值()122g b =-，需522b -≥-，解得72b ≥，此时72b ≥； 当01b <<时，()g x 在[]0,b 上单调递减，在(],1b 上单调递增，函数取得最小值()21g b b =-，需251b -≥-，解得b ≤或b ≥综上，实数b 的取值范围是7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 故选:A ． 【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查二次函数在区间的最值的求法，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题.2．已知函数1()ln f x x a x x=-+，且()f x 有两个极值点12,x x ，其中(]11,2x ∈，则()()12f x f x -的最小值为（ ） A ．35ln 2- B ．34ln 2-C ．53ln 2-D ．55ln 2-【答案】A 【要点分析】()f x 的两个极值点12,x x 是()0f x '=的两个根，根据韦达定理，确定12,x x 的关系，用1x 表示出2x ，()()12f x f x -用1x 表示出，求该函数的最小值即可.【答案详解】解：()f x 的定义域()0,∞+，22211()1a x ax f x x x x'++=++=，令()0f x '=，则210x ax ++=必有两根12,x x ， 2121240010a x x a x x ⎧->⎪+=->⎨⎪=>⎩，所以2111112,,a x a x x x ⎛⎫<-==-+ ⎪⎝⎭， ()()()11211111111111ln ln f x f x f x f x a x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫∴-=-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1111111111122ln 22ln x a x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(]11()22ln ,1,2h x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22211112(1)(1)ln ()2121ln x x x h x x x x x x x x ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫'∴=+--++⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当(]1,2x ∈时，()0h x '<，()h x 递减， 所以()()min 235ln 2h x h ==-()()12f x f x -的最小值为35ln 2-故选：A. 【名师点睛】求二元函数的最小值通过二元之间的关系，转化为求一元函数的最小值，同时考查运算求解能力和转化化归的思想方法，中档题.3．已知函数()e ,()ln x f x x g x x x ==，若()()12f x g x t ==，其中0t >，则12ln tx x 的最大值为（ ） A ．1eB ．2eC ．21eD ．24e 【答案】A 【要点分析】 由题意转化条件2ln 2ln x ex t ⋅=，通过导数判断函数()f x 的单调性，以及画出函数的图象，数形结合可知12ln x x =，进而可得12ln ln t t x x t =，最后通过设函数()()ln 0th t t t=>，利用导数求函数的最大值. 【答案详解】由题意，11e x x t ⋅=， 22ln x x t ⋅=，则2ln 2e ln xx t ⋅=，()()1x x x f x e xe x e '=+=+，当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，又(),0x ∈-∞时，()0f x <，()0,x ∈+∞时，()0f x >， 作函数()e xf x x =⋅的图象如下：由图可知，当0t >时，()f x t =有唯一解，故12ln x x =，且1>0x ，∴1222ln ln ln ln t t tx x x x t==⋅⋅， 设ln ()t h t t =，0t >，则21ln ()th t t-'=，令()0h t '=，解得e t =， 易得当()0,e t ∈时，()0h t '>，函数()h t 单调递增， 当()e,t ∈+∞时，()0h t '<，函数()h t 单调递减， 故()()1e eh t h ≤=，即12ln t x x ⋅的最大值为1e .故选：A . 【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，重点考查转化与化归的思想，变形计算能力，数形结合思想，属于中档题，本题可得关键是判断12ln x x =. 4．设函数()12ln 133f x x x x=-+-，函数()25212g x x bx =--，若对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．5,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【要点分析】根据对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立，用导数法求得()f x 的最小值，用二次函数的性质求得()g x 的最小值，再解不等式即可. 【答案详解】因为()12ln 133f x x x x =-+-， 所以()211233'=--f x x x，211233=--x x， 22323-+=-x x x，()()2123--=-x x x ， 当12x <<时，()0f x '>，所以()f x 在[]1,2上是增函数， 所以函数()f x 取得最小值()213f =-. 因为()()2225521212=--=---g x x bx x b b ， 当0b ≤时，()g x 取得最小值()0251=-g ，因为对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立， 所以()()10≥f g ，不成立； 当1b ≥时，()g x 取得最小值()71212=-g b ， 因为对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立， 所以722123-≤-b ，解得58≥b ，此时1b ≥； 当01b <<时，()g x 取得最小值()2512=--g b b ， 因为对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使()()12f x g x ≥成立， 所以221352--≤-b ，解得12b ≥，此时112b ≤<； 综上：实数b 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：A 【名师点睛】本题主要考查双变量问题以及导数与函数的最值，二次函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.5．已知函数()224x x f x x ++=-，()111323x xxx g x -⋅-=，实数a ，b 满足0a b <<．若[]1,x a b ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．【答案】A 【要点分析】首先化简函数()42,0f x x x x ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭，和()11233xx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]1,1x ∈-，并判断函数的单调性，由条件转化为子集关系，从而确定,a b 值. 【答案详解】()42f x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，0x <()241f x x '=-+，0x <， 当()0f x '>时，解得：20x -<<，当()0f x '<时，解得：2x <-，所以()f x 在(),0-∞的单调递增区间是()2,0-，单调递减区间是(),2-∞-，当2x =-时取得最小值，()22f -=()11233xx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数在[]1,1-单调递增，()3116g -=-，()13g =，所以，()3136g x -≤≤， 令()3f x =，解得：1x =-或4x =-，由条件可知()[],,,0f x x a b a b ∈<<的值域是()[],1,1g x x ∈-值域的子集， 所以b 的最大值是1-，a 的最小值是4-， 故b a -的最大值是3. 故选：A 【名师点睛】本题考查函数的性质的综合应用，以及双变量问题转化为子集问题求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型. 二、解答题 6．已知函数()2x f x x e =-．（Ⅰ）求函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在两个不相等的数1x ，2x ，满足()()12f x f x =，求证：122ln 2x x +<． 【答案】（Ⅰ）1y x =-；（Ⅱ）证明见解析. 【要点分析】（Ⅰ）首先求函数的导数，利用导数的几何意义，求函数的图象在点()()0,0f 处的切线方程；（Ⅱ）首先确定函数零点的区间，构造函数()()()ln 2ln 2F x f x f x =+--，利用导数判断函数()F x 的单调性，并得到()()ln 2ln 2f x f x +<-在()0,∞+上恒成立，并利用单调性，变形得到122ln 2x x +<. 【答案详解】（Ⅰ）()2e xf x '=-，所以()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =-．（Ⅱ）令()2e 0xf x '=-=，解得ln 2x =，当ln 2x =时()0f x '>，()f x 在(),ln 2-∞．上单调递增；当ln 2x >时，()0f x '< ， ()f x 在()ln 2,+∞上单调递减．所以ln 2x =为()f x 的极大值点，不妨设12x x <，由题可知12ln 2x x <<． 令()()()ln 2ln 242e 2e xxF x f x f x x -=+--=-+，()42e 2e x x F x -'=--，因为e e 2x x -+…，所以()0F x '…，所以()F x 单调递减．又()00F =，所以()0F x <在()0,∞+上恒成立， 即()()ln 2ln 2f x f x +<-在()0,∞+上恒成立．所以()()()()()()()12222ln 2ln 2ln 2ln 22ln 2f x f x f x f x f x ==+-<--=-， 因为1ln 2x <，22ln 2ln 2x -<，又()f x 在(),ln 2-∞上单调递增，所以122ln 2x x <-， 所以122ln 2x x +<． 【名师点睛】思路名师点睛：本题是典型的极值点偏移问题，需先要点分析出原函数的极值点，找到两个根的大致取值范围，再将其中一个根进行对称的转化变形，使得x 与ln 2x -在同一个单调区间内，进而利用函数的单调性要点分析.7．已知函数()()3ln f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数.（1）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （ii ）求函数()()()9g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （2）当3k ≥-时，求证：对任意的[)12,1,x x ∈+∞且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 【答案】（1）（i ）98y x =-；（ii ）递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞；极小值为()11g =，无极大值；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）（i ）确定函数()f x ，求出()f x '，然后利用导数的几何意义求出切线方程即可； （ii ）确定函数()g x ，求出()g x '，利用导数研究函数()g x 的单调性与极值即可；（2）求出()f x '，对要证得不等式进行等价转换后，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，结合等价转换后的结果即可证明结论成立. 【答案详解】（1）（i ）当6k =时，()36ln f x x x =+，故()263f x x x'=+. 可得()11f =，()19f '=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. （ii ）依题意，323()36ln g x x x x x =-++，()0,x ∈+∞，从而求导可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x'-+=. 令()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：x ()0,11()1,+∞()g x ' -+()g x极小值所以，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；()g x 的极小值为()11g =，无极大值.（2）证明：由()3ln f x x k x =+，得()23k f x x x'=+. 对任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭. ①令1()2ln h x x x x=--，[)1,x ∈+∞. 当1x >时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当1t >时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->， 因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ②由（1）（ii ）可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故32336ln 10t t t t-++->. ③由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，对任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 【名师点睛】结论名师点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集. 8．已知函数21()ln 2f x x a x =-.其中a 为常数. （1）若函数()f x 在定义域内有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围；（2）已知1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求证：12x x +>. 【答案】（1）0a >；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）求出导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得()f x 的单调性，从而得极值点个数，由此可得结论；（2）结合（1）求得函数有两个零点时a 的范围，设12x x <，则(1x ∈，)2x ∈+∞，引入函数()))(0g x fx fx x =-≤≤，由导数确定它是减函数，得))f x f x <-，然后利用()()))()21111f x f x f x f x f x ⎤⎤==->=-⎦⎦，再结合()f x 的单调性得出证明． 【答案详解】（1）()2(0)a x ax x x xf x --'==>，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，不符合题意，当0a >时，令()0f x '=，得x =，当(x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以此时()f x 只有一个极值点．0a ∴>（2）由（1）知当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，函数()f x 至多有一个零点，不符合题意，当0a >时，令()0f x '=，得x =当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，故当x =()f x 取得最小值()1ln 2a fa =-，当0a e <<时，1ln 0a ->，0f>，函数()f x 无零点，不合题意，当a e =时，1ln 0a -=，0f =，函数()f x 仅有一个零点，不合题意，当a e >时，1ln 0a -<，0f <，又()1102f =>，所以()f x 在(x ∈上只有一个零点， 令()ln 1p x x x =-+，则()11p x x'=-，故当01x <<时，()0p x '>，()p x 单调递增，当1x >时，()0p x '<，()p x 单调递减，所以()()10p x p ≤=，即ln 1≤-x x ，所以ln 221a a ≤-， 所以22(2)2ln 22(21)0f a a a a a a a a =-≥--=>，又2a >，所以()f x 在)x ∈+∞上只有一个零点.所以a e >满足题意.不妨设12x x <，则(1x ∈，)2x ∈+∞，令()))(0g x f x fx x =--≤≤，则()))ln ln g x a x a x =-+-，()22x ag x ='+=-，当0x <<时，()0g x '<，所以()g x在(上单调递减，所以当(x ∈时，()()00g x g <=，即))f x fx +<-，因为(1x ∈(1x ∈，所以()()))()21111f x f x f x f x f x ⎤⎤==-->+-=-⎦⎦，又)2x ∈+∞，)1x ∈+∞，且()f x在)+∞上单调递增，所以21x x >-，故12x x +>>. 【名师点睛】关键点名师点睛：本题考查用导数研究函数的极值点、零点，证明不等式．难点是不等式的证明，首先由零点个数得出参数范围，在不妨设12x x <，则(1x ∈，)2x ∈+∞后关键是引入函数()))(0g x fx f x x =-≤≤，同样用导数得出它的单调性，目的是证得))f x f x +<-，然后利用这个不等关系变形()f x 的单调性得结论．9．已知函数ln ()xf x x=，()g x ax b =+，设()()()F x f x g x =-． （1）若1a =，求()F x 的最大值；（2）若()F x 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：()()12122x x g x x ++>. 【答案】（1）最大值为1b --；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）首先求出函数的导函数，再判断()F x '的符号，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值； （2）由题知，121212ln ln x x ax b ax b x x =+=+，，即2111ln x ax bx =+，2222ln x ax bx =+，要证()()12122x x g x x ++>，即可212112ln ln 2x x x x x x ->-+，令21x t x =，则只需证2(1)ln (1)1t t t t ->>+．构造函数2(1)()ln (1)1t t t t t ϕ-=->+，利用导数说明其单调性即可得证； 【答案详解】解：ln ()()()xF x f x g x ax b x =-=-- （1）解：当1a =时，ln ()xF x x b x=-- 所以21ln ()1xF x x -'=-． 注意(1)0F '=，且当01x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增； 当1x >时，()0F x '<，()F x 单调递增减． 所以()F x 的最大值为(1)1F b =--． （2）证明：由题知，121212ln ln x xax b ax b x x =+=+，， 即2111ln x ax bx =+，2222ln x ax bx =+， 可得212121ln ln ()[()]x x x x a x x b -=-++． 121212122()()2()x x g x x a x x b x x ++>⇔++>+212112ln ln 2x x x x x x -⇔>-+． 不妨120x x <<，则上式进一步等价于2211212()ln x x x x x x ->+． 令21x t x =，则只需证2(1)ln (1)1t t t t ->>+． 设2(1)()ln (1)1t t t t t ϕ-=->+，22(1)()0(1)t t t t ϕ-'=>+， 所以()t ϕ在(1+)∞，上单调递增， 从而()(1)0t ϕϕ>=，即2(1)ln (1)1t t t t ->>+， 故原不等式得证． 【名师点睛】本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，属于难题．10．已知函数1()ln f x a x x x=-+，其中0a >.（1）若()f x 在(2,)+∞上存在极值点，求a 的取值范围；（2）设()10,1x ∈，2(1,)x ∈+∞，若()()21f x f x -存在最大值，记为()M a ，则当1a e e≤+时，()M a 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由 【答案】（1）5(2a ∈，)+∞；（2）M （a ）存在最大值，且最大值为4e． 【要点分析】（1）求出函数()f x 的导数，将题意转换为1a x x=+在(2,)x ∈+∞上有解，由1y x x =+在(2,)x ∈+∞上递增，得15(2x x +∈，)+∞，求出a 的范围即可； （2）求出函数()f x 的导数，得到21[()()]()()max f x f x f n f m -=-，求出M （a ）11()()()()n f n f m alnm n m n m=-=+-+-，根据函数的单调性求出M （a ）的最大值即可． 【答案详解】解：（1）2221(1)()1a x ax f x x x x --+'=--=，(0,)x ∈+∞， 由题意得，210x ax -+=在(2,)x ∈+∞上有根（不为重根），即1a x x =+在(2,)x ∈+∞上有解， 由1y x x=+在(2,)x ∈+∞上递增，得15(2x x +∈，)+∞，检验，52a >时，()f x 在(2,)x ∈+∞上存在极值点，5(2a ∴∈，)+∞；（2）210x ax -+=中2=a 4∆-，若02a <…，即2=a 40∆-≤22(1)()x ax f x x --+∴'=在(0,)+∞上满足()0f x '…，()f x ∴在(0,)+∞上递减，12x x < ()()12f x f x ∴> 21()()0f x f x ∴-<，21()()f x f x ∴-不存在最大值，则2a >；∴方程210x ax -+=有2个不相等的正实数根，令其为m ，n ，且不妨设01m n <<<，则01m n a mn +=>⎧⎨=⎩，()f x 在(0,)m 递减，在(,)m n 递增，在(,)n +∞递减，对任意1(0,1)x ∈，有1()()f x f m …， 对任意2(1,)x ∈+∞，有2()()f x f n …， 21[()()]()()max f x f x f n f m ∴-=-，M ∴（a ）11()()()()n f n f m aln m n m n m=-=+-+-， 将1a m n n n =+=+，1m n=代入上式，消去a ，m 得： M （a ）112[()()]n lnn n n n =++-，12a e e <+…，∴11n e n e++…，1n >， 由1y x x=+在(1,)x ∈+∞递增，得(1n ∈，]e ， 设11()2()2()h x x lnx x x x =++-，(1x ∈，]e ，21()2(1h x lnx x'=-，(1x ∈，]e ， ()0h x ∴'>，即()h x 在(1，]e 递增，[()]max h x h ∴=（e ）4e =， M ∴（a ）存在最大值为4e．【名师点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．11．已知函数()ln(1)ax f x e x =+，2()ln g x x a x=+-，其中a R ∈. （1）若函数()y f x =的图象与直线y x =在第一象限有交点，求a 的取值范围. （2）当2a <时，若()y g x =有两个零点1x ，2x ，求证：12432x x e <+<-. 【答案】（1）1(0,)2；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）根据题意设()()(1)ln ax g x f x x e x x =-=+-，问题转化为方程()0g x =，在(0,)+∞有解，求导，分类讨论①若0a …，②若102a <<，③若12a …时，要点分析单调性，进而得出结论. （2）运用要点分析法和构造函数法，结合函数的单调性，不等式的性质，即可得证. 【答案详解】解：（1）设()()(1)ln ax g x f x x e x x =-=+-， 则由题设知，方程()0g x =，在(0,)+∞有解，而1()()1[ln(1)1()11axax g x f x e a x e F x x '='-=++-=-+. 设()()1ax h x e F x =-，则22221()[()()][(1)](n 1)l ax ax ax a h x e aF x F x e a x x +-'=+'=+++.①若0a …，由0x >可知01ax e <…，且11()ln(1)111F x a x x x =++<++…， 从而()()10ax g x e F x '=-<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，从而()(0)0g x g <=恒成立， 因而方程()0g x =在(0,)+∞上无解.②若102a <<，则221(0)0(1)a h x -'=<+，又x →+∞时，()h x '→+∞， 因此()0h x '=，在(0,)+∞上必存在实根，设最小的正实根为0x ， 由函数的连续性可知，0(0,)x x ∈上恒有()0h x '<， 即()h x 在0(0,)x 上单调递减，也即()0g x '<，在0(0,)x 上单调递减，从而在0(0,)x 上恒有()(0)0g x g '<'=， 因而()g x 在0(0,)x 上单调递减，故在0(0,)x 上恒有()(0)0g x g <=，即0()0g x <， 注意到ax e ax >，因此()(1)ln(1)ln [ln(1)1]ax g x e x x ax x x x a x =+->+-=+-， 令1ax e=时，则有()0>g x ，由零点的存在性定理可知函数()y g x =在0(x ，1)a e 上有零点，符合题意.③若12a …时，则由0x >可知，()0h x '>恒成立，从而()h x 在(0,)+∞上单调递增，也即()g x '在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)0g x g >=恒成立，故方程()0g x =在(0,)+∞上无解. 综上可知，a 的取值范围是1(0,2.（2）因为()f x 有两个零点，所以f （2）0<， 即21012ln a a ln +-<⇒>+，设1202x x <<<，则要证121244x x x x +>⇔-<， 因为1244x <-<，22x >， 又因为()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以只要证明121(4)()()0f x f x f x -<==， 设()()(4)g x f x f x =--(02)x <<，则222222428(2)()()(4)0(4)(4)x x x g x f x f x x x x x ----'='-'-=+=-<--， 所以()g x 在(0,2)上单调递减，()g x g >（2）0=，所以124x x +>， 因为()f x 有两个零点，1x ，2x ，所以12()()0f x f x ==， 方程()0f x =即2ln 0ax x x --=构造函数()2ln h x ax x x =--， 则12()()0h x h x ==，()1ln h x a x '=--，1()0a h x x e -'=⇒=， 记12(1ln 2)a p e a -=>>+，则()h x 在(0,)p 上单调递增，在(,)p +∞上单调递减， 所以()0h p >，且12x p x <<， 设2()()ln ln x p R x x p x p-=--+，22214()()0()()p x p R x x x p x x p -'=-=>++， 所以()R x 递增，当x p >时，()()0R x R p >=， 当0x p <<时，()()0R x R p <=， 所以11111112(2ln )x x p ax x lnx x p x p--=<++，即22111111(2)()22l l n n ax x p x px x p x p p -+<-++，211(2ln )(22ln )20p a x ap p p p x p +-+--++>，1(a p e -=，1)lnp a =-，所以21111(23)20a a x e x e --+-+>， 同理21122(23)20a a x ex e --+-+<，所以2112111111(23)2(23)2a a a a x e x e x e x e ----+-+<+-+， 所以12121()[(23)]0a x x x x e --++-<， 所以12123a x x e -+<-+，由2a <得：1122332a x x e e -+<-+<-，综上：12432x x e <+<-. 【名师点睛】本题考查导数的综合应用，不等式的证明，关键是运用分类讨论，构造函数的思想去解决问题，属于难题.12．已知函数()2211ln 24f x x ax x x ax ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.（1）若()f x 在()0,+?单调递增，求a 的值；（2）当1344a e <<时，设函数()()f x g x x=的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.【答案】（1）1；（2）0,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【要点分析】 （1）由()f x 在()0,+?单调递增，利用导数知()0f x ¢³在()0,+?上恒成立即可求参数a 的值；（2）由()()f x g x x =有()11ln 24g x x a x x a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，利用二阶导数可知()g x '在()0,+?上单调递增，进而可知()01,x e ∃∈，使得()00g x '=，则有()g x 的单调性得最小值()()000011ln 24g x x a x x a h a ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭，结合1344a e <<并构造函数可求0x 取值范围，进而利用导数研究()000031ln ln 42h a x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调性即可求范围；【答案详解】（1）()()ln f x x a x '=-，又()f x 在()0,+?单调递增，∴()0f x ¢³，即()ln 0x a x -≥在()0,+?上恒成立，（i ）当1x >时，ln 0x >，则需0x a -≥，故min a x ≤，即1a ≤； （ii ）当1x =时，ln 0x =，则a R ∈；（iii ）当01x <<时，ln 0x <，则需0x a -≤，故max a x ≥，即1a ≥； 综上所述：1a =； （2）()()11ln 24f x g x x a x x a x ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，()11ln 24a g x x x '=-+，()212a g x x x ''=+，∵1344a e <<，有()0g x ''>， ∴()g x '在()0,+?上单调递增，又()1104g a '=-+<，()304a g e e '=-+>， ∴()01,x e ∃∈，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0g x ¢<，函数()g x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x ¢>，函数()g x 单调递增，故()g x 的最小值为()()000011ln 24g x x a x x a h a ⎛⎫=--+=⎪⎝⎭，由()00g x '=得00011ln 24a x x x =+，因此()000031ln ln 42h a x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()11ln 24t x x x x =+，()1,x e ∈，则()13ln 024t x x '=+>， ∴()t x 在()1,e 上单调递增，又1344a e <<，()114t =，()34t e e =，∴0x 取值范围为()1,e ，令()31ln ln 42x x x x x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭（1x e <<），则()()()21131ln ln 2ln 3ln 102444x x x x x ϕ'=--+=-+->，∴函数()ϕx 在()1,e 上单调递增，又()10ϕ=，()4ee ϕ=， ∴()04e x ϕ<<，即函数()h a 的值域为0,4e ⎛⎫⎪⎝⎭.【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性求参数，由原函数得到最值，构造中间函数并根据其导数讨论单调性，求最值的取值范围；中间函数需要根据步骤中的研究对象及目的确定；13．已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）求出导函数，根据二次函数的∆与0的关系来分类讨论函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系；（2）由()1212,x x x x <是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将()()21f x f x -转变为关于12x x ，函数，再运用12x x ，的关系将不等式转化为证22212ln 0x x x -->，构造函数1()2ln (1)g x x x x x=-->，要点分析函数()g x 的单调性，得出最值，不等式可得证. 【答案详解】（1）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()2'212()22x ax f x x a x x-+=-+=，则24a ∆=-.①当0a ≤时，对(0,),()0x f x '∀∈+∞>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当02a <≤时，0∆≤，所以对(0,),()0x f x '∀∈+∞≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当2a >时，令()0f x '>，得02a x -<<或2a x >，所以函数()f x在⎛ ⎝⎭，2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增； 令'()0f x <，得22a a x <<，所以()f x在22a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）证明：由（1）知2a >且1212,1,x x a x x +=⎧⎨=⎩，所以1201x x <<<.又由()()()()222122211122ln 22ln f x f x x ax x x ax x -=-+--+()()()()()()22222222221212121212111122ln22ln 2ln x x x x x a x x x x x x x x x x x x x =---+=--+-+=--+. 又因为()()()()()()()()222121212121212121(2)222a x x x x a x x x x x x x x x x x x --=---=--+-=---.所以要证()()()2121(2)f x f x a x x -<--，只需证()22112ln2x x x x <-. 因为121=x x ，所以只需证22221ln x x x <-，即证22212ln 0x x x -->. 令1()2ln (1)g x x x x x =-->，则2'2121()110g x x x x ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以对1,()(1)0x g x g ∀>>=.所以22212ln 0x x x -->. 所以若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，则()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 【名师点睛】本题考查函数与导数的综合应用，属于较难题.导数中通过双极值点求解最值或证明不等式时，可通过双极值点对应的等式将待求的式子或待证明的式子转变为关于同一变量（注意变量的范围）的式子，然后通过构造新函数，要点分析新函数的单调性后从而达到求解最值或证明不等式的目的. 14．已知函数2()(2)()x f x xe a x x a R =-+∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）当1a e >时，函数()f x 有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，求证：1232x x x lna ++<． 【答案】（1）增区间为(,1)-∞-，(2,)ln +∞；减区间为(1,2)ln -；（2）证明见解析. 【要点分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数零点，由导函数零点对定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号得到原函数的单调区间；（2）由(0)0f =，可得0x =是函数的一个零点，不妨设30x =，把问题转化为证122x x lna +<，即证122x x a e+>．由()0f x =，得(2)0x e a x -+=，结合1x ，2x 是方程(2)0x e a x -+=的两个实根，得到1212x x e e a x x -=-，代入122x x a e +>，只需证1212212x x x x e e e x x +->-，不妨设12x x >．转化为证1212212()10x x x x ex x e----->．设122x x t -=，则等价于2210(0)t t e te t -->>．设2()21(0)t t g t e te t =-->，利用导数证明()0g t >即可． 【答案详解】（1）解：()(22)(1)(2)x x x f x e xe x x e '=+-+=+-， 令()0f x '=，得11x =-，22x ln =．当1x <-或n 2>x l 时，()0f x '>；当12x ln -<<时，()0f x '<．()f x ∴增区间为(,1)-∞-，(2,)ln +∞；减区间为(1,2)ln -；（2）证明：(0)0f = ，0x ∴=是函数的一个零点，不妨设30x =， 则要证122x x lna +<，只需证122x x a e +>． 由()0f x =，得(2)0x e a x -+=，1x ，2x 是方程(2)0x e a x -+=的两个实根， ∴11(2)x e a x =+，①22(2)x e a x =+，②，①-②得：1212x x e e a x x -=-，代入122x x a e+>，只需证1212212x xx x e e e x x +->-，不妨设12x x >．120x x -> ，∴只需证1212212()x x x x e e x x e+->-．20x e >，∴只需证1212212()10x x x x e x x e ----->．设122x x t -=，则等价于2210(0)t t e te t -->>． 设2()21(0)t t g t e te t =-->，只需证()0g t >， 又()2(1)t t g t e e t =--'，设()1(0)t t e t t ϕ=-->，则()10t t e ϕ'=->，()t ϕ∴在(0,)+∞上单调递增，则()(0)0t ϕϕ>=．()0g t ∴'>，从而()g t 在(0,)+∞上是增函数， ()(0)0g t g ∴>=．综上所述，1232x x x lna ++<．【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，属难题．15．已知函数()223x xe f x e -+=，其中e 为自然对数的底数.（1）证明：()f x 在(),0-∞上单调递减，()0,∞+上单调递增； （2）设0a >，函数()212cos cos 3g x x a x a =+--，如果总存在[]1,x a a ∈-，对任意2x R ∈，()()12f x g x …都成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）ln 2a ≥. 【要点分析】（1）直接对函数求导，判断导函数在对应区间上的符号即可证明；（2）总存在1[x a ∈-，](0)a a >，对任意2x R ∈都有12()()f x g x …，即函数()y f x =在[a -，]a 上的最大值不小于()y g x =，x ∈R 的最大值；借助单调性换元法，结合二次函数的性质分别求最值列不等式求解即可【答案详解】 （1）证明：()()23x xe ef x -='- 令()0f x '>，解得0x >，∴()f x 在()0,∞+上单调递增 令()0f x '<，解得0x <，∴()f x 在(),0-∞上单调递减 （2）总存在1[x a ∈-，](0)a a >，对任意2x R ∈都有12()()f x g x …， 即函数()y f x =在[a -，]a 上的最大值不小于()y g x =，x ∈R 的最大值()()()()max 23a af x f a f a e e -=-==+ 令[]()cos 1,1t x t =∈-，∴()2123g t t at a =+--，对称轴02a t =-< ∴()()max 513g t g ==∴()2533a a e e -+≥，52a a e e -+≥，令(),0ae m m =>，∴152m m +≥，∴2m ≥ ∴2a e ≥，∴ln 2a ≥【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查三角函数的有界性，二次函数的最值以及恒成立问题的转化，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.16．已知函数()()21ln 212h x x b x =+-，()21ln 2f x x a x =-．其中a ，b 为常数． （1）若函数()h x 在定义域内有且只有一个极值点，求实数b 的取值范围；（2）已知1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求证：12x x +>． 【答案】（1）(),0-∞；（2）证明见解析． 【要点分析】（1）首先求函数的导数，根据题意转化为222y x x b =-+在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭内有且仅有一个变号零点，根据二次函数的单调性，列式求解b 的取值范围；（2）求出当函数()f x 有两个零点时，求出a e >，再构造函数()))(0g x fx f x x =-≤≤，利用导数判断函数的单调性，得到))f x f x +<-，再通过构造得到()()21f x f x >-，利用函数的单调性证明结论.【答案详解】（1）()2222121212'b x x b x x x x h x -+⎛⎫=+=> ⎪--⎝⎭，因为函数()h x 在定义域有且仅有一个极值点， 所以222y x x b =-+在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭内有且仅有一个变号零点， 由二次函数的图象和性质知21122022b ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭，解得0b <，即实数b 的取值范围为(),0-∞．（2）()2'(0)a x ax x x xf x -=-=>，当0a ≤时，()'0f x >，()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 至多有一个零点，不符合题意，。
高中数学函数经典复习题含答案
高中数学函数经典复习题含答案1、求函数的定义域1）y=(x-1)/(x^2-2x-15)先求分母为0的解：x^2-2x-15=0x-5)(x+3)=0得到：x=5或x=-3但是x=-3不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-3)∪(-3,5)∪(5,+∞)2）y=1-((x+1)/(x+3))-3先求分母为0的解：x+3=0得到：x=-3但是x=-3不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞)2、设函数1/(x-1)+(2x-1)+4-x^2的定义域为[1,∞)，则函数f(x^2)的定义域为[1,∞)；函数f(x-2)的定义域为[3,∞)。
3、若函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，则函数f(2x-1)的定义域为[-1,2]，函数f(2x-1)的值域为[-2,3]。
4、已知函数f(x)的定义域为[-1,1]，且函数F(x)=f(x+m)-f(x-m)的定义域存在，求实数m的取值范围。
因为F(x)的定义域存在，所以f(x+m)和f(x-m)的定义域必须都存在，即：1≤x+m≤11≤x-m≤1将两个不等式联立，得到：1≤x≤1m≤x≤m所以m的取值范围为[-1,1]。
二、求函数的值域5、求下列函数的值域：1）y=x+2/x-3 (x∈R)先求分母为0的解：x-3=0得到：x=3但是x=3不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,3)∪(3,+∞)当x→±∞时，y→±∞，所以值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)2）y=x+2/x-3 (x∈[1,2])先求分母为0的解：x-3=0得到：x=3但是x=3不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为[1,3)∪(3,2]∪(2,+∞)当x→1+时，y→-∞，当x→2-时，y→+∞，所以值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)3）y=22/(3x-13x-1)先求分母为0的解：3x-13x-1=0得到：x=4但是x=4不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,4)∪(4,+∞)当x→±∞时，y→0，所以值域为(0,+∞)4）y=(5x^2+9x+4)/(2x-6) (x≥5)当x→+∞时，y→+∞，当x→5+时，y→+∞，所以值域为[5,+∞)5）y=(x-3)/(x+1)+x+1先求分母为0的解：x+1=0得到：x=-1但是x=-1不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)化简得到y=x-2，所以值域为(-∞,-2]∪[-2,+∞)6）y=(x-3+x+1)/(2x-1x+2)先求分母为0的解：2x-1=0或x+2=0得到：x=1/2或x=-2但是x=1/2不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,1/2)∪(1/2,-2)∪(-2,+∞)化简得到y=1/2，所以值域为{1/2}7）y=x^2-x/(x+2)先求分母为0的解：x+2=0得到：x=-2但是x=-2不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)化简得到y=x-2-5/(x+2)，所以值域为(-∞,-13/4]∪[1/4,+∞)8）y=(2-x^2-x)/(3x+6)先求分母为0的解：3x+6=0得到：x=-2但是x=-2不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)化简得到y=-1/3，所以值域为{-1/3}三、求函数的解析式1、已知函数f(x-1)=x-4x，求函数f(x)，f(2x+1)的解析式。
2025届高考数学复习：压轴好题专项(指数型函数取对数问题)练习(附答案)
2025届高考数学复习：压轴好题专项(指数型函数取对数问题)练习1.已知函数()ln ,()f x x x a a =+∈R ． (1)求函数()f x 的单调区间； (2)当10ea <<时，证明：函数()f x 有两个零点； (3)若函数2()()g x f x ax x =--有两个不同的极值点12,x x （其中12x x <），证明：3221e x x ⋅>．2.形如()()g x y f x =的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得()ln ln ()()ln ()g x y f x g x f x ==，两边对x 求导数，得()()()ln ()()f x y g x f x g x y f x '''=+，于是()()()()()ln ()()g x f x y f x g x f x g x f x ⎡⎤⎢⎥⎣''=+⎦'.已知ln ()2x x f x e =，2()1g x x =+.（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）若()()h x f x '=，求()h x 的单调区间； （3）求证：(0,),()()x f x g x ∀∈+∞…恒成立.3.已知函数2ln ()e (0)=>xxf x x ．(1)求()f x 的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数()1212,0x x x x <<满足()()12e ==kf x f x ．（i ）求k 的取值范围 （ⅱ）证明2e e 2e 2211e--≤xx ． 4.已知()ln f x x x =-，()g x mx m =+.(1)记()()()F x f x g x =+，讨论()F x 的单调区间； (2)记()()G x f x m =+，若()G x 有两个零点a ，b ，且a b <. 请在①②中选择一个完成.①求证：112e m b b->+； ②求证：112em a a-<+ 5．已知a ∈R ，()ax f x x e -=⋅，（其中e 为自然对数的底数）. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>.6.已知函数()()0xf x axe a -=≠存在极大值1e.（1）求实数a 的值；（2）若函数()()F x f x m =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，求实数m 的取值范围，并证明：122x x +>.7.已知函数2()(),()ln x f x x e a g x bx x =-=+. （1）若2y x =是曲线()y f x =的切线，求a 的值； （2）若()g x 有两不同的零点，求b 的取值范围； （3）若1b =，且()()1f x g x -≥恒成立，求a 的取值范围.8．已知函数l ()n f x ax x =，a R ∈． （1）当1a =时，①求()f x 的极值；②若对任意的x e ≥都有()mx m f x e x≥，0m >，求m 的最大值；（2）若函数2()()g x f x x =+有且只有两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e >．9.已知函数2()ln f x x x ax x =--，()()f x g x x=，a ∈R ． (1)讨论()g x 的单调性；(2)设()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，证明：4312e x x >．（ 2.71828e =…为自然对数的底数） 10.已知函数()ln e x a xf x a x=--（e 为自然对数的底数）有两个零点． (1)若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)若()f x 的两个零点分别为12,x x ，证明：12212e 0x xx x ---<．11．已知函数()()ln h x x a x a =-∈R . (1)若()h x 有两个零点，a 的取值范围；(2)若方程()e ln 0xx a x x -+=有两个实根1x 、2x ，且12x x ≠，证明：12212e ex x x x +>. 12.已知函数()2ln 2x tf x ex -=-+ （1）若1x =是()f x 的极值点，求t 的值，并讨论()f x 的单调性；（2）当1t ≤时，证明：() 2.f x >参考答案1.已知函数()ln ,()f x x x a a =+∈R ． (1)求函数()f x 的单调区间； (2)当10ea <<时，证明：函数()f x 有两个零点； (3)若函数2()()g x f x ax x =--有两个不同的极值点12,x x （其中12x x <），证明：3221e x x ⋅>．【过程详解】 (1)()()ln 1,0f x x x '=+>，当10e x <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以函数()f x 的单调区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)证明：由（1）知()min 11e e f x f a ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，因为10e a <<，所以10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又当0x +→时，()0f x >，()e e 0f a =+>，所以函数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在一个零点，在1,e e ⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在一个零点，所以函数()f x 有两个零点；(3)证明：22()()ln ,(0)g x f x ax x x x ax x a x =--=---+>，则()ln 2g x x ax '=-，因为函数()g x 有两个不同的极值点12,x x （其中12x x <）， 所以11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，要证3221e x x ⋅>等价于证()3221ln ln e x x ⋅>，即证12ln 2ln 3x x +>，所以()1212123ln 2ln 2422x x ax ax a x x <+=+=+， 因为120x x <<， 所以12322a x x >+，又11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，作差得()1122ln x a x x x =-，所以1212ln x x a x x =-， 所以原不等式等价于要证明1212122ln32x x x x x x >-+， 即()12121232ln 2x x x x x x -<+， 令()12,0,1x t t x =∈， 则上不等式等价于要证：()()312ln ,0,12t t t t -<∈+， 令()()()312ln ,0,12t h t t t t -=-∈+， 则()()()()22229280,0,122t t h t t t t t t -+'=-=>∈++， 所以函数()h t 在()0,1上递增， 所以()()10h t h <=， 所以()()312ln ,0,12t t t t -<∈+， 所以3221e x x ⋅>．2.形如()()g x y f x =的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数过程详解式两边取对数得()ln ln ()()ln ()g x y f x g x f x ==，两边对x 求导数，得()()()ln ()()f x y g x f x g x y f x '''=+，于是()()()()()ln ()()g x f x y f x g x f x g x f x ⎡⎤⎢⎥⎣''=+⎦'.已知ln ()2x x f x e =，2()1g x x =+.（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）若()()h x f x '=，求()h x 的单调区间； （3）求证：(0,),()()x f x g x ∀∈+∞…恒成立.【过程详解】（1）由幂指函数导数公式得ln ()2(ln 1)x x f x e x '=+， 所以(1)2f '=，又(1)2f =，所以，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2y x =.（2）ln ()()2(ln 1),(0,)x x h x f x e x x '==+∈+∞， 则()()ln ln ()2(ln 1)2(ln 1)x x x x h x e x e x '''=+++()ln ln 12(ln 1)(ln 1)2x x x xe x x e x⎡⎤=+++⋅⎣⎦ln 212(ln 1)0x x e x x ⎡⎤=++>⎢⎥⎣⎦，所以()h x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. （3）构造()()()F x f x g x =-，(0,)x ∈+∞， 则ln ()()()2(ln 1)2x x F x f x g x e x x '''=-=+-， 令ln ()()2(ln 1)2,(0,)x x H x F x e x x x '==+-∈+∞， 所以ln 2(1)ln ()2(ln 1)1x xx x H x ex e -'⎡⎤=++-⎣⎦，因为1x -与ln x 同号，所以(1)ln 0x x -…，所以(1)ln 10x x e --≥， 又ln 2(ln 1)0x x e x +…，所以()0H x '…， 所以()H x 即()F x '为(0,)+∞上增函数， 又因为(1)0F '=，所以，当(0,1)x ∈时，()(1)0F x F ''<=； 当(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F ''>=.所以，()F x 为(0,1)上减函数，为(1,)+∞上增函数， 所以，min ()(1)0F x F ==， 即()()()0F x f x g x =-…， 因此，(0,),()()x f x g x ∀∈+∞…恒成立，即证.3.已知函数2ln ()e (0)=>xxf x x ．(1)求()f x 的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数()1212,0x x x x <<满足()()12e ==kf x f x ．（i ）求k 的取值范围 （ⅱ）证明2e e 2e 2211e--≤xx ． 【过程详解】 (1) 函数2ln ()e (0)=>xxf x x 的导函数为2ln ()e (2ln 1)xxf x x x '=+.当120,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 单调递减；当12e ,x -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以函数()f x 单调递增.所以12e x -=为()f x 的极值点.(2)因为有且仅有两个不相等的实数()1212,0x x x x <<满足()()12e ==kf x f x ，所以221122ln ln x x x x k ==.（i ）问题转化为2()ln m x x x k =-在(0,+∞)内有两个零点,则()()12ln m x x x '=+.当120,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0m x '<,()m x 单调递减；当12e ,x -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0m x '>,()m x 单调递增.若()m x 有两个零点,则必有12(e )0m -<,解得：12ek >-. 若k ≥0,当120e x -<<时,()22ln ln 0m x x x k x x =-≤< ,无法保证()m x 有两个零点；若102e k -<<,又1e 0k m ⎛⎫> ⎪⎝⎭,12e 0m -⎛⎫ ⎪⎭<⎝，()10m k =->,故存在1121e ,e k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()10m x =,存在122(e ,1)x -∈使得()20m x =. 综上可知, 1(,0)2ek ∈-. （ⅱ）设21x t x =则t ∈(1,+∞).将21x t x =代入221122ln ln x x x x =,可得212ln ln 1t t x t=-，22ln ln 1t x t =-（*）. 欲证: 2e e2e2211e--≤x x ，需证2e2e 2e 21e ln ln x x--≤即证212e (e 2e)ln 2ln x x +-≤-，将（*）代入，则有222(e 2e)ln e 12t t t +-≤--，则只需要证明：2(e 2e)ln e(1)1x xx x +-≤->-，即()2e 1ln (1)e 2e x x x x -≥>+-.构造1()e 2ln ex x x x ϕ-=--+，则21ln 1()ln e x x x x x ϕ--'=-，232(1)(1)ln 1()(1)ln x x x x x x x xϕ-⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦''=>. 令2(1)()ln (1)1x x x x x ω-=->+，则22(1)()0(1)x x x x ω-'=-<+.所以()(1)0x ωω<=，则()0x ϕ''<，所以()x ϕ'在()1,+∞内单减.又(e)0ϕ'=，所以当(1,e)x ∈时，有()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增；当(e,)x ∈+∞时，有()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减；所以()(e)0x ϕϕ≤=，因此1e 2ln e x xx --≤-，即()2e 1ln (1)e 2ex x x x -≤>+-.综上所述，命题得证.4.已知()ln f x x x =-，()g x mx m =+.(1)记()()()F x f x g x =+，讨论()F x 的单调区间； (2)记()()G x f x m =+，若()G x 有两个零点a ，b ，且a b <. 请在①②中选择一个完成.①求证：112e m b b->+； ②求证：112em a a-<+ 【过程详解】 (1)函数的定义域为(0,)+∞，1()1F x m x'=+-， 当1m ≥时，()0F x '>，()F x 在(0,)+∞单调递增； 当1m <时，令()0F x '<，解得11x m >-，令()0F x '>，解得101x m<<-， ∴()F x 在10,1m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭单调递增，在1,1m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭单调递减；综上，当1m ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当1m <时，()f x 的单调递增区间为10,1m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，单调递减区间为1,1m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭(2)证明：因为()ln G x x x m =-+，令()0G x =，则ln m x x =-， 设l (n )t x x x -=（0x >），则11()1x t x xx-'=-=， 函数()t x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，且0x →时，()→+∞t x ， 当x →+∞时，()→+∞t x ，min ()(1)1t x t ==，∴1m >，又a b <，则01a b <<<, 若证①所证不等式，即112em b b->+，即证()221ln 21ln ln 1ln b m b b b++->=+-，又()0G b =，则ln m b b =-，故即证()2ln 2ln 1ln 1ln b b b b +-->+-， 即证()2ln 21ln 1b b ->+-，设()2()ln 1h b b b =+-，1b >，则2222(1)()1011b b h b b b -'=-=-<++，∴()h b 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)ln 21h b h <=-，即112e m b b->+得证； 若证②所证不等式，即112em a a -<+，即证21ln 21ln a m a++-<，即证()2ln 21ln 1ln m a a +-<+-，又()0G a =，即ln m a a =-，故即证()2ln 2ln 1ln 1ln a a a a +--<+-， 即证()2ln 21ln 1a a -<+-，设()2()ln 1a a a ϕ=+-，01a <<，则2222(1)()1011a a a a a ϕ-=-=-+'<+，∴()a ϕ在(0,1)单调递减，故()()1ln 21a ϕϕ>=-，即112em a a-<+得证. 5．已知a ∈R ，()ax f x x e -=⋅，（其中e 为自然对数的底数）. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>.【过程详解】（1）解：()(1)ax ax ax f x e ax e e ax ---'=-⋅=-∵a ∈R ，∴0a <时，1()(1)0ax f x e ax x a -'=->⇒>，1()(1)0axf x e ax x a-'=-<⇒< ∴0a <时，增区间为：1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，减区间为：1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；0a =时，()(1)10ax f x e ax -'=-=>，∴0a =时，增区间为：(,)-∞+∞；0a >时，1()(1)0ax f x e ax x a -'=->⇒<，1()(1)0ax f x e ax x a-'=-<⇒>，∴0a >时，增区间为：1,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，减区间为：1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为0a >时，函数()y f x a =-有两个零点1x ，2x ，则两个零点必为正实数，()0ax f x a xe a --=⇔=−−−−→两边取对数ln ln x ax a -=故问题转化为ln ln x ax a -=有两个正实数解； 令()ln ln g x x ax a =--（0x >）则1()g x a x '=-（0x >），()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，且1210x x a <<<令2()()G x g x g x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则1122()22021(2)G x a a a a x x ax x a a'=-+-=->-=--所以()G x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，1()0G x G a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭又21x a >，故()222g x g x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，21,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭又()()12g x g x =，所以()122g x g x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，又1210x x a <<<，所以1x ，2210,x a a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以122x x a +>所以()21222122222x x x x e a++>>>． 6.已知函数()()0xf x axe a -=≠存在极大值1e.（1）求实数a 的值；（2）若函数()()F x f x m =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，求实数m 的取值范围，并证明：122x x +>. 【过程详解】（1）()()xxf x a x R e =⋅∈， ()()'1xa x f x e-=，令()'01f x x =⇒=，()111a f a e e ==⇒=， 此时()'1x x f x e -=，()f x 在(),1-∞上()'0f x >，()f x 递增；在()1,+∞上()'0f x <，()f x 递减，所以当1x =时，()f x 取得极大值为()11f e=符合题意，所以1a =. （2）由（1）知：()f x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减，极大值为()11f e=. ()xxf x e =，()00f =，当0x <时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；当x →+∞时，()0f x →. 由于函数()()F x f x m =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，所以10m e<<.因为1x ，()212x x x ≠是()F x 的两个零点，则120,0x x >>.所以()()12F x F x =，1212x x x x e e=，22112211,x x x x x x e e e x x -==，两边取对数得2211ln x x x x -=， 要证122x x +>，只需证明2122111ln 2x x xx x x -<+，即证21221111ln 21x x xxx x -<+，不妨设12x x <，令21x t x =，则()1,t ∈+∞，即证11ln 12t t t -<+对()1,t ∈+∞恒成立. 令()11ln 21t g t t t -=-+，()()()()2'2211202121t g t t t t t -=-=>++，所以()g t 在()1,+∞上递增，所以()()10g t g >=，即11ln 021t t t -->+， 所以11ln 12t t t -<+.从而122x x +>成立. 7.已知函数2()(),()ln x f x x e a g x bx x =-=+. （1）若2y x =是曲线()y f x =的切线，求a 的值； （2）若()g x 有两不同的零点，求b 的取值范围； （3）若1b =，且()()1f x g x -≥恒成立，求a 的取值范围.【过程详解】(1)依题意，设切点为00(,2)x x ，则02002()xx x e a =-，22()2x x f x e a x e '=-+⋅，于是得020(21)2x ex a +-=，则有00x =且1a =-，00x ≠时，022x e a =+，0(2)(21)2a x a ++=+无解，所以1a =-；(2)由()0g x =得ln x b x -=，令ln (),0xh x x x=>， 则有21ln (),0xh x x e x -'=<<时()0,h x x e '>>时()0h x '<，()h x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减， max 1()()h x h e e==，又x e >时，()0h x >恒成立， 于是得()g x 有两个不同的零点，等价于直线y b =-与函数ln (),0xh x x x=>图象有两个不同的公共点， 即10b e<-<，10b e -<<，所以()g x 有两不同的零点，b 的取值范围是10b e -<<；(3)1,()ln ,0b g x x x x ==+>，221ln 0,()()1()1ln 1x x xx f x g x x e a x x a e x+∀>-≥⇔-≥++⇔+≤-， 令21ln ()(0)xx x e x x ϕ+=->，22222ln 2ln ()2x xx x e x x e x x ϕ+'=+=， 令22()2ln x F x x e x =+，221()(44)0xF x x x e x'=++>，即()F x 在(0,)+∞上递增，而21()ln 40,(1)204F F e =<=>，即(0,1)t ∃∈，使得()0F t =，0x t <<时()0,()0F x x ϕ'<<，x t >时，()0,()0F x x ϕ'>>，()ϕx 在(0,)t 上递减，在(,)t +∞上递增，从而有2min 1ln ()t tx e tϕ+=-， 而()0F t =，即222ln 0t t e t +=，令22t t e p =，两边取对数得22ln ln t t p +=，则2ln 022ln ln p t t t p +==+-， 即有2ln 2ln p p t t +=+，显然函数2ln y x x =+在(0,)+∞上单调递增，从而得p t =，于是得2221ln 2ln 2t tt t e t e t t t t=⇔=−−−−→=-⇔=-两边取对数， 2min 1ln 11ln ()2t t t x e t t t tϕ+=-=--=， 所以12a +≤，1a ≤.8．已知函数l ()n f x ax x =，a R ∈． （1）当1a =时，①求()f x 的极值；②若对任意的x e ≥都有()mx m f x e x≥，0m >，求m 的最大值；（2）若函数2()()g x f x x =+有且只有两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e >．【过程详解】（1）①1a =时，()ln f x x x =，则()ln 1(0)f x x x '=+>， 令()0f x '>，解得：1x e >，令()0f x '<，解得：10x e<<，∴()f x 在1(0,e 递减，在1(e ,)+∞递增，故()f x 的极小值是11(f e e=-，没有极大值； ②对任意x e ≥都有n (l )mm m x x x m f x e e e x≥=，即()()m x f x f e ≥恒成立， 由0m >，有0mx>，故1m x e >， 由①知，()f x 在1(e,)+∞单调递增，故mx x e ≥，可得ln mx x≥，即ln x x m ≥， 当x e ≥时，()f x 的最小值是()f e e =，故m 的最大值是e ；（2）证明：要证212x x e >，只需证明12ln()2x x >即可，由题意，1x 、2x 是方程2ln 0ax x x +=的两个不相等的实数根，又1x >，∴1122ln 0ln 0a x x a x x +=⎧⎨+=⎩，消去a ，整理得：121121221ln()ln 1x x xx x x x x +=⋅-， 不妨设12x x >，令12x t x =，则1t >，故只需证明当1t >时，1ln 21t t t +⋅>-，即证明2(1)ln 1t t t ->+，设2(1)()ln 1t h t t t -=-+，则22211(1)(1)()20(1)(1)t t t h t t t t t +---'=-⋅=>++，∴()h t 在(1,)+∞单调递增，从而()(1)0h t h >=，故2(1)ln 1t t t ->+，即212x x e >得证． 9.已知函数2()ln f x x x ax x =--，()()f x g x x=，a ∈R ． (1)讨论()g x 的单调性；(2)设()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，证明：4312e x x >．（ 2.71828e =…为自然对数的底数） 【过程详解】 (1)()()ln 1f x g x x ax x==--，1()g x a x '=-， ①当0a ≤时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞单调递增； ②当0a >时，令()0g x '=解得1x a =，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增； 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()f x 单调递减． 综上，当0a ≤时，()g x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，(2)由题意知，()ln 2f x x ax '=-，1x ，2x 是()'f x 的两根， 即11ln 20x ax -=，22ln 20x ax -=，解得1212ln ln 2(*)x x a x x -=-，要证4312e x x >，即证124ln ln 3x x +>，即124223ax ax ⋅+>，把（*）式代入得()()12121212ln ln 43x x x x x x x x -+><-，所以应证()1122112122313ln441x x x xx x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭<=++，令12x t x =，01t <<，即证3(1)()ln 0(01)41t h t t t t -=-<<<+成立， 而222221151671()0(41)(41)7151632)4(461t t h t t t t t t t t ⎛-+'=-==>+++⎭+⎫- ⎪⎝， 所以()h t 在(0,1)上单调递增， 所以()(1)0h t h <=， 所以命题得证．10.已知函数()ln e x a xf x a x=--（e 为自然对数的底数）有两个零点． (1)若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)若()f x 的两个零点分别为12,x x ，证明：12212e 0x xx x ---<．【过程详解】(1)当1a =时，()ln e 1xxf x x =--，()21ln e x x f x x -'=-， 又()1e 1f =-，所以切点坐标为()1,e 1-，切线的斜率为()1e 1k f '==-． 所以切线方程为()()()e 1e 11y x --=--，即()e 1y x =-(2)由已知得()()e ln 0x x a x xf x x-+==有两个不等的正实跟．所以方程()e ln 0xx a x x -+=有两个不等的正实根，即()e ln e 0x x x a x -=有两个不等的正实根，()ln e e x x a x x =①要证12212e ex x x x +>，只需证()()12212e e e x x x x ⋅>，即证()()1212ln e ln e 2x xx x +>，令111e x t x =，222e xt x =，所以只需证12ln ln 2t t +>，由①得11ln a t t =，22ln a t t =，所以()2121ln ln a t t t t -=-，()2121ln ln a t t t t +=+，消去a 得()221121212122111ln ln ln ln ln 1t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--，只需证2211211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-， 设120t t <<，令21t t t =，则1t >， 则()1ln 21t t t +>-，即证4ln 201t t +->+ 构建()4ln 201h t t t =+->+则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，所以()h t 在()1,+∞上单调递增，则()()10h t h >=， 即当1t >时，4ln 201t t +->+成立， 所以12ln ln 2t t +>，即()()12212e e ex x x x ⋅>，即12212e e x x x x +>，所以12212e0x x x x ---<，证毕．11．已知函数()()ln h x x a x a =-∈R . (1)若()h x 有两个零点，a 的取值范围；(2)若方程()e ln 0xx a x x -+=有两个实根1x 、2x ，且12x x ≠，证明：12212e ex x x x +>. 【过程详解】 (1)函数()h x 的定义域为()0,∞+.当0a =时，函数()h x x =无零点，不合乎题意，所以，0a ≠， 由()ln 0h x x a x =-=可得1ln x a x=， 构造函数()ln x f x x=，其中0x >，所以，直线1y a =与函数()f x 的图象有两个交点，()21ln xf x-'=，由()0f x '=可得e x =，列表如下： 所以，函数()f x 的极大值为()1e ef =，如下图所示：且当1x >时，()ln 0xf x x=>， 由图可知，当110ea <<时，即当e a >时，直线1y a =与函数()f x 的图象有两个交点，故实数a 的取值范围是()e,+∞.(2)证明：因为()e ln 0xx a x x -+=，则()e ln e 0x x x a x -=，令e 0x t x =>，其中0x >，则有ln 0t a t -=，()1e 0x t x '=+>，所以，函数e x t x =在()0,∞+上单调递增，因为方程()e ln 0x x a x x -+=有两个实根1x 、2x ，令111e x t x =，222e xt x =，则关于t 的方程ln 0t a t -=也有两个实根1t 、2t ，且12t t ≠， 要证12212e ex x x x +>，即证1221e e e x x x x ⋅>，即证212e t t >，即证12ln ln 2t t +>， 由已知1122ln ln t a t t a t =⎧⎨=⎩，所以，()()12121212ln ln ln ln t t a t t t t a t t ⎧-=-⎪⎨+=+⎪⎩，整理可得12121212ln ln ln ln t t t t t t t t ++=--，不妨设120t t >>，即证12112122ln ln ln 2t t t t t t t t ++=>-，即证()1122112122212ln 1t t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++， 令121t s t =>，即证()21ln 1s s s ->+，其中1s >， 构造函数()()21ln 1s g s s s -=-+，其中1s >，()()()()222114011s g s s s s s -'=-=>++，所以，函数()g s 在()1,+∞上单调递增，当1s >时，()()10g s g >=，故原不等式成立.12.已知函数()2ln 2x tf x ex -=-+ （1）若1x =是()f x 的极值点，求t 的值，并讨论()f x 的单调性； （2）当1t ≤时，证明：() 2.f x >【过程详解】（1）函数()f x 的定义域(0,)+∞，因为21()x tf x e x-'=-，1x =是()f x 的极值点，所以f '（1）1210t e -=-=，所以12t =， 所以11()x f x e x-'=-，因为1x y e -=和1y x=-在(0,)+∞上单调递增，所以()f x '在(0,)+∞上单调递增，所以当1x >时，()0f x '>；01x <<时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.（2）当1t ≤时，()22ln 2ln 2x tx f x ex e x --=-+≥-+， 设2()ln +2x g x e x -=-，则21()x g x ex-'=-， 因为2x y e -=和1y x=-在(0,)+∞上单调递增，所以()g x '在(0,)+∞上单调递增，因为()1110e g =-<'，()11210,22g =-=>'所以存在0(1,2)x ∈使得0()0g x '=，所以当00x x <<时，()0g x '<，当0x x >时，()0g x '>，所以()g x 在0(0,)x 单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()0g x g x ≥， 因为0()0g x '=，即021x e x -=，两边取对数得00ln 2x x =-， 所以0200001()l +2n x g x ex x x -=-=+， 因为0(1,2)x ∈，所以0001()2g x x x =+>，所以()2f x >.。
高中数学函数试题及答案
高中数学函数试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x=1处的导数是（）A. 1B. 2C. 4D. 52. 已知函数y = x^3 - 2x^2 + x - 2，求其在x=0时的值是（）A. -2B. 0C. 1D. 23. 函数y = sin(x)在x=π/2处的值是（）A. 0B. 1C. -1D. π/24. 已知函数f(x) = 3x + 5，求f(-2)的值是（）A. -1B. 1C. -7D. 75. 如果函数f(x) = x^2 + 2x + 3在区间[-3, 1]上是增函数，那么下列哪个选项是错误的（）A. f(-3) = 12B. f(1) = 6C. f(-2) = 4D. f(0) = 36. 函数y = 1 / (x + 1)的渐近线是（）A. x = -1B. y = 0C. x = 1D. y = 17. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 48. 函数y = x^2在x=2处的切线斜率是（）A. 0B. 2C. 4D. 89. 函数y = 2^x的值域是（）A. (0, +∞)B. (-∞, +∞)C. [0, +∞)D. [1, +∞)10. 函数f(x) = |x - 2|的零点是（）A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x) = √x在区间[0, 4]上是增函数，则f(4) - f(0) = _______。
12. 函数g(x) = x^2 + bx + c，若g(1) = 2，g(2) = 6，则b + c = _______。
13. 若函数h(x) = 3x - 2的反函数为h^(-1)(x)，则h^(-1)(5) =_______。
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高考数学函数复习题集附答案
一、选择题
1. 若函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x，有f(x)=f(x+2)，则函数f(x)的最小正周期为：
A. 1
B. 2
C. π
D. 2π
答案：B
2. 已知函数f(x)=x^2-2x，g(x)=2x+1，求复合函数f(g(x))的解析式。
A. 4x^2-2x+1
B. 4x^2+2x+1
C. x^2-2x+1
D. x^2+2x+1
答案：A
3. 函数f(x)=x^3-x的对称轴方程为：
A. x=1
B. y=1
C. x+y=0
D. x-y=0
答案：D
二、填空题
1. 设函数f(x)=x^2+kx+1，若当x∈[1,2]时，f(x)≥0，则k的取值范
围是________。
答案：k≤2
2. 已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+1的图像与x轴有不同的三个交点，若其中一个交点为(-2,0)，则另外两个交点坐标分别为________。
答案：(-1,0)和(1,0)
三、解答题
1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的单调区间和极值点。
解析：
首先求导数f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，得到x=1或x=2/3。
将x=1和x=2/3代入原函数f(x)，分别得到f(1)=-2和f(2/3)=-16/27。
由一阶导数的符号变化，可以得到f(x)在(-∞,2/3)上单调递增，在
(2/3,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增。
极值点为(2/3,-16/27)。
2. 解方程2^x+3^x=1的实数解。
解析：
将2^x写成e^ln2^x，3^x写成e^ln3^x，得到e^(xln2)+e^(xln3)=1。
令y=e^x，则原方程可以转化为y^ln2+y^ln3=1。
可得到y=1，即e^x=1，解为x=0。
总结：
通过这些数学函数的复习题，我们可以更好地理解和掌握函数的性
质和应用。
希望通过不断的练习和思考，能够在高考数学中取得好成绩。
祝愿大家能够顺利通过高考，在数学这个科目中发挥自己的优势！。