第8章 典型算法与综合程序设计

8.1.1 大数阶乘计算
3．程序及运行结果（一） /* exp8-1 */ #include “stdio.h” #include “string.h” /* memset函数需要的头文件 */ #define MAXN 3000 /* 估算的数组元素的个数 */ int f[MAXN];
8.1.1 大数阶乘计算
/* 逆序输出 */
8.1.1 大数阶乘计算
3．程序及运行结果（八）
输入3，程序运行结果如下：
输入69，程序运行结果如下：
8.1.1 大数阶乘计算
3．程序及运行结果（九） 输入1000，程序运行结果如下：
8.1.1 大数阶乘计算
4.程序说明： (1) memset函数 memset函数的作用是在一段内存块中填充某个给定的值，是对较 大的结构体或数组进行清零操作的一种最快方法。函数原型为： void *memset(void *s, int ch, size_t n);,功能是：将s中前 n个字节用ch替换并返回s。需要头文件string.h。数组f元素较 多，使用此函数快速清零。 (2) sizeof运算符 sizeof是一个运算符，作用是返回一个对象或者类型所占内存的 字节数。数组的sizeof值等于数组所占用的内存字节数。sizeof 有三种语法形式， sizeof(对象); sizeof(类型); sizeof 对 象; 。
8.1.1 大数阶乘计算
3．程序及运行结果（四） for(i = 2; i <= n; i++) { int c = 0; /* c变量用来存放累乘的进位 */ for(j = 0; j < MAXN; j++) { int s; s = f[j] * i + c; /* 累乘 */ f[j] = s % 10; c = s / 10; } }
3．程序及运行结果（六） for(j = MAXN - 1; j >= 0; j--) /* 忽略前导0，找出最高位 */ { if(f[j]) { printf("%d! is a %d-digit number.\n", n, j + 1); break; } }
8.1.1 大数阶乘计算
3．程序及运行结果（七） printf("%d!=", n); for(i = j; i >= 0; i--) { printf("%d", f[i]); } printf("\n"); return 0; }
8.1.1 大数阶乘计算
2．算法分析 考虑将计算阶乘过程中的乘积的每一位数字都存放在 数组中，这样的话一个长度10000的数组可以存放任何一个 10000 位以内的数字。假设数组为 f ，因为 1! = 1 ，所以首 先置 f[0] = 1 ，分别乘以 2 、 3 ，得到 3! = 6 ，此时仍只需 要一个元素 f[0] ；然后乘以 4 得到 24 ，我们把个位数 4 放在 f[0]，十位数2放在f[1]，这样存放结果就需要两个元素； 乘以 5 的时候，我们可以这样进行：用 5 与各元素由低到高 逐一相乘，先计算个位数（f[0]）4 * 5，结果为20，这样 将 f[0] 置为 0 ，注意要将 2 进到十位数，然后计算原来的十 位数（ f[1] ） 2 * 5 ，结果为 10 加上刚才进的 2 为 12 ，这样 十位数是 2 ，而 1 则进到百位，这样就得到 5! = 120 ；以此 类推……。
8.1.1 大数阶乘计算
2．算法分析 题目要求保存1000！，需要先分析1000！有多大。 用计算器算得， 1000 ！约等于 4*102567 ，因此，可以 用一个有 3000 个元素的数组 f 来保存结果。 f[0] 保存 结果的个位，f[1]保存结果的十位，f[2]保存结果的 百位，模拟人工计算来设计算法，即可完成n!。注意： 在逆序输出时要忽略前导0。
8.1.2 一元n次方程根的数值计算
3．程序及运行结果（四）
8.1.3 定积分的计算
【例8-2】用二分法求方程 在[1，5]区间的根。 1．问题定义 一元高次方程特别是超过五次的，没有一般的解法， 这已经有挪威青年数学家阿贝尔于 1824年作出了证明。 但可以用适合编程的算法来计算出根的近似值，常用的 算法有二分法、牛顿迭代法等，都是利用迭代法，通过 反复迭代找到一个 x 的值，使 f(x)≈0 ， x 就是一元方程 f(x) = 0的根。 二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的 办法，它只要求函数是连续的即可，使用范围很广，且 便于在计算机上实现.但是它不能求重根，也不能求虚根。
8.1.2 一元n次方程根的数值计算
3．程序及运行结果（三）
do
{
x = (x1 + x2) / 2; /* 求x1,x2的中点 */ f = pow(x, 3) – 6 * x - 1.0; if(f1 * f > 0) /* 当f与f1符号相同时 */ { x1 = x; f1 = f; } else if(f2 * f > 0) /* 当f与f2符号相同时 */ { x2 = x; f2 = f; } }while(fabs(f) > 1e-6); /* f的值接近0 */ return x; }
8.1.2 一元n次方程根的数值计算
2．算法分析 用二分法求解的基本思想是利用中间值定理，即对于实系 数一元n次方程f(x) = 0，如果a<b时，则有f(a) * f(b)<0， 在区间[a,b]中，至少有方程f(x) = 0的一个根存在。具体做 法是：先输入范围x1 = a，x2 = b的值，再求出f(x1)和f(x2)， f(x1) * f(x2) > 0，则重新输入x1、x2的值，直到f(x1) * f(x2) < 0为止，然后求出x1和x2的中点x0 = x1 + x2及f(x0)。 若f(x0) = 0，则x0即为方程的根，否则此时要判断 f(x1)*f(x0)的符号：若f(x1) * f(x0) < 0，则方程的根应在 [x1,x0]中，用x0代替x2，f(x0)代替f(x2)；若f(x1) * f(x0) > 0，则方程的根应在[x0,x2]中，用x0代替x1，f(x0)代替 f(x1)。在新的区间[x1,x2]中，根的范围已比开始时缩小了一 半，对新的区间[x1,x2]重复上述过程，由此可得一系列区间： [a1,b1]，[a2,b3]，[a3,b3]，……，[an,bn]，其中后一区间 都是前一区间的一半，当n足够大时，使得区间足够小，即可 找到方程f(x0) = 0的近似根。
8.1.1 大数阶乘计算
1．问题定义 在程序中计算阶乘，可以用两种方法，一是用递推， 二是用递归。如果n不大，这两种算法都还可以，但是随着 n 的增大， n ！的值会迅速增大，例如 70! > 10100 。对 int 类型来说，求n！时，当n小于等于12时,可以算出正确结果， 当 n 大于 12 时 , 超出了整型所能表示的范围，会产生溢出。 如果修改存放阶乘的变量的类型，即使是 double 类型，它 的最大值不过是 1.79769313486232e308，即一个 309 位的数 字。n的值稍大，就出现溢出，主要问题在于，这种求阶乘 的算法中用到的普通类型所容纳的数值太小。解决这个问 题的关键在于改变运算结果的存放方法。
阶乘是数学中的一个术语。阶乘的概念相当简单、 直接，但应用很广泛。在排列、组合、微积分（如泰勒 级数）、概率论中都有用到。对于一个非负整数 n ，n 的 阶乘指的是所有小于等于 n 的正整数的乘积，记为n！。 符号 n ！是由 Christian Kramp(1760 – 1826) 于 1808 年 引入的。
3．程序及运行结果（一）
#include "stdio.h" #include "math.h" int main( ) { double a = 0; /* 积分区间下限 */ double b = 3.1415926; /* 积分区间上限 */ double fx; /* 积分结果 */ double integral(double, double); fx = integral(a, b); printf("The definite integral = %f\n", fx); return 0; }
8.1.2 一元n次方程根的数值计算
3．程序及运行结果（一） /* exp8-2 */ #include "stdio.h" #include "math.h" int main( ) { float x, x1, x2; float boot(float x, float x1, float x2); printf("Please input the range :[x1,x2]\n"); scanf("%f,%f", &x1, &x2); printf("The boot =%f\n", boot(x, x1, x2)); }
8.1.3 定积分的计算
2．算法分析 利用矩形法可以求定积分 其原理如右区间划分为100个格， 则h = fabs(a - b)/100； (3) 积分为多个矩形h * sin(x + i * h + h / 2)的和
8.1.3 定积分的计算
8.1.2 一元n次方程根的数值计算
3．程序及运行结果（二） float boot(float x, float x1, float x2) { float f, f1, f2; do { f1 = pow(x1, 3) - 6 * x1 - 1.0; f2 = pow(x2, 3) - 6 * x2 - 1.0; }while(f1 * f2 > 0);/*输入的x1,x2使得f1,f2符号相反*/