常用的离散分布(课件)
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02离散型随机变量的分布列课件
n 1 P（ξ＝-1）＝ （ ＝ ）＝ ＝ ． 7n 7
所以从该盒中随机取出一球 所得分数ξ的分布列为： 所得分数 的分布列为： 的分布列为
ξ P
1
0
-1
4 7
2 7
1 7
例2：一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同 一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同 1,2,3,4,5, 时取出3 表示取出的3个球中的最小号码, 时取出3只,以ξ表示取出的3个球中的最小号码,试写 的分布列. 出ξ的分布列. 随机变量ξ 解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3. =1时 即取出的三只球中的最小号码为1, 1,则其它 当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它 两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只, 2,3,4,5的四只球中任取两只 两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故 2 3 P(ξ 有P(ξ=1)= C 4 / C 5 =3/5; 同理可得P(ξ=2)=3/10;P(ξ 同理可得P(ξ=2)=3/10;P(ξ=3)=1/10. P( 因此, 因此,ξ的分布列如下表所示 ξ p 1 3/5 2 3/10 3 1/10
∴ 随机变量ξ 的分布列为：
ξ
P
3
1 20
4
3 20
5
3 10
6
1 2
练习5. 练习5. 将一枚骰子掷2 两次掷出的最大点数ξ概率分布 概率分布. 将一枚骰子掷2次,求两次掷出的最大点数 概率分布. 解:ξ=k包含两种情况,两次均为k点,或一个k点,另 =k包含两种情况,两次均为k 包含两种情况 或一个k 一个小于k 一个小于k点, 1+(k−1)×2 2k−1 = P(ξ 故P(ξ=k)= ,(k=1,2,3,4,5,6.)
2.3常用的离散分布
可以证明， 二项分布的数学期望和方差 分别为 DX n p q EX n p
可以证明， 二项分布的数学期望和方差 分别为 EX n p DX n p q 例 已知随机变量 X ~ b( n, p) EX 6 DX 4.2 求 P X 5 q 0.7 6q 4.2 解 EX n p 6
2
n1
1 q p n q p 3 p (1 q) n 1
2
pq n1 ... n
n 1
n1
1 q 1 q 3 p p2
1 q 1 q DX EX ( EX ) 2 2 2 p p p
2
2
' nx n ' x 1时， n x ( n x ) n 1 n 1 n1 x ' 1 x (1 x )2 (1 x )3
P X k P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ... A1 ... Ank Ank 1 ... An )
P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ) ... P ( A1 ... Ank Ank 1 ... An ) p k q nk C
X ~ b 20, 0.3
DX n pq 4.2
p 1 q 0.3
6 n 20 p
P X 5 1 P X 5 1 P X 4
1 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4
3 n
n ' ( x n )' x n 1 n1
X P
2
1
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
2.2离散型随机变量的概率分布(分布律)
一、离散型随机变量的分布律
二、常见离散型随机变量的概率分布 三、小结
2019/2/22
概率统计
北邮概率统计课件
第二节
离散型随机变量的概率分布（分布律）
一.离散型随机变量的分布律
引例
如图中所示，从中任取 3 个球 取到的白球数 X 是一个随机变量 X可能取的值是0,1,2
取每个值的概率为： 2 1 1 2 C C C C 6 3 C3 1 3 2 3 2 3 P{ X 2} P{ X 0} 3 P{ X 1} 3 3 C5 10 C5 10 C5 10
k C 在哪 k 次发生,所以它应有 n 种不同的发生方式.
而且它们是相互独立的，故在 n 次试验中A发生 k 次的概率 ( 依概率的加法定理) 为:
P{X k } C p (1 p)
k n k
n k
(k 0,1, 2
n)
概率 Pn (k ) 就等于二项式 注 ▲ 显然它满足： [ px (1 p)]n 的展开式中 x k 的系数，这也是二项分布的名称的 P{ X k } 0, 由来. n
记为: 列表:
X ～b(n, p)
X
P (k )
概率统计
0
1
2
n
P(n)
P(0) P(1) P(2)
注 ▲ 特别当n=1时，二项分布即为 ( 0-1 ) 分布 ▲ 二项分布 X~b(n,p) 的图形特点： 对于固定n 及 p，当 k 增加时 ，概率P(X=k) 先是随之增加直至达 到最大值，随后单调 减少.
k 4 k
P { X k } C p (1 p )
k 4
,
k 0,1, 2, 3,4
概率论常用的离散分布
概率论常用的离散分布
目 录
• 引言 • 二项分布 • 泊松分布 • 超几何分布 • 几何分布 • 负二项分布
01 引言
离散分布的定义
离散分布：离散随机变量所有可能取 值的概率分布。
离散分布描述了随机变量取各个可能 值时所对应的概率。
离散分布的应用场景
统计学研究
离散分布在统计学中有着广泛的应用，如人口普 效之 前所经历的试验次数。
02
在生物统计学中，负二项分布可以用于描述在一定时间内捕获
猎物的数量或者在一定时间内发生的事件次数。
在金融领域，负二项分布可以用于描述股票价格在一定时间内
03
上涨或下跌的次数。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
它以法国数学家西莫恩·德尼·泊松的名字命名，他在19世纪中叶首次研究了这种 分布。
泊松分布的性质
泊松分布具有离散性和随机性， 适用于描述在一定范围内随机 事件的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数决定：均值和方差。
当随机事件的概率保持不变且 相互独立时，泊松分布成立。
泊松分布在现实生活中的应用
泊松分布在统计学、物理学、 生物学、经济学等领域有广 泛应用。
在网络请求中，直到得到响应所需要的请求次数可以服从几何分布。
自然选择与遗传
在生物进化过程中，自然选择对某一性状的选择压力可以用几何分 布来描述。
06 负二项分布
负二项分布的定义
负二项分布是一种离散概率分布，描 述了在成功达到某一目标之前需要进 行的独立、同分布的伯努利试验次数。
负二项分布的概率质量函数为 P(X=k) = (n+1) choose k * p^k * (1p)^(n+1-k)，其中 X 表示试验次数， k 表示成功次数，n 表示试验次数上 限，p 表示每次试验成功的概率。
目 录
• 引言 • 二项分布 • 泊松分布 • 超几何分布 • 几何分布 • 负二项分布
01 引言
离散分布的定义
离散分布：离散随机变量所有可能取 值的概率分布。
离散分布描述了随机变量取各个可能 值时所对应的概率。
离散分布的应用场景
统计学研究
离散分布在统计学中有着广泛的应用，如人口普 效之 前所经历的试验次数。
02
在生物统计学中，负二项分布可以用于描述在一定时间内捕获
猎物的数量或者在一定时间内发生的事件次数。
在金融领域，负二项分布可以用于描述股票价格在一定时间内
03
上涨或下跌的次数。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
它以法国数学家西莫恩·德尼·泊松的名字命名，他在19世纪中叶首次研究了这种 分布。
泊松分布的性质
泊松分布具有离散性和随机性， 适用于描述在一定范围内随机 事件的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数决定：均值和方差。
当随机事件的概率保持不变且 相互独立时，泊松分布成立。
泊松分布在现实生活中的应用
泊松分布在统计学、物理学、 生物学、经济学等领域有广 泛应用。
在网络请求中，直到得到响应所需要的请求次数可以服从几何分布。
自然选择与遗传
在生物进化过程中，自然选择对某一性状的选择压力可以用几何分 布来描述。
06 负二项分布
负二项分布的定义
负二项分布是一种离散概率分布，描 述了在成功达到某一目标之前需要进 行的独立、同分布的伯努利试验次数。
负二项分布的概率质量函数为 P(X=k) = (n+1) choose k * p^k * (1p)^(n+1-k)，其中 X 表示试验次数， k 表示成功次数，n 表示试验次数上 限，p 表示每次试验成功的概率。
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一个简单命题.
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
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联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
高中数学第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列课件新人教B版选修2308292102
随机变量.
答案:B
第四页，共26页。
1
2
3
4
2.分布列
(1)将离散型随机变量X所有可能取的不同值x1,x2,…,xn和X取每
一个值xi(i=1,2,…,n)的概率p1,p2,…,pn列成下面的表:
X
P
x1
p1
x2
p2
…
…
xi
pi
…
…
xn
pn
称这个表为离散型随机变量X的概率分布,或称为离散型随机变
量X的分布列.
解析:X=0表示取到一个合格品,其概率为0.95,这是一个二点分布问题.
答案:0.95 0.05
第二十五页，共26页。
1
2
3
4
5
5.一个袋子里装有大小相同(xiānɡ tónɡ)的3个红球和2个黄球,从中同时取
出2个,则其中含红球个数X的可能取值
为
,P(X=2)=
.
C23 ·C02
解析:P(X=2)=
X
0
1
P
4a-1
3a2+a
则 a 等于(
1
A. 2
)
1
B. 3
2
3
C. 3
D. 4
解析:由二点分布的性质,得(4a-1)+(3a2+a)=1,即 3a2+5a-2=0,
解得
1
a1= ,a2=-2,又由概率值非负得
3
1
a= .
3
答案(dáàn):B
第九页，共26页。
1
2
3
4
【做一做3-2】 一个盒子中装有3个红球和2个绿球,从中随机(suí jī)摸出
答案:B
第四页，共26页。
1
2
3
4
2.分布列
(1)将离散型随机变量X所有可能取的不同值x1,x2,…,xn和X取每
一个值xi(i=1,2,…,n)的概率p1,p2,…,pn列成下面的表:
X
P
x1
p1
x2
p2
…
…
xi
pi
…
…
xn
pn
称这个表为离散型随机变量X的概率分布,或称为离散型随机变
量X的分布列.
解析:X=0表示取到一个合格品,其概率为0.95,这是一个二点分布问题.
答案:0.95 0.05
第二十五页，共26页。
1
2
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5
5.一个袋子里装有大小相同(xiānɡ tónɡ)的3个红球和2个黄球,从中同时取
出2个,则其中含红球个数X的可能取值
为
,P(X=2)=
.
C23 ·C02
解析:P(X=2)=
X
0
1
P
4a-1
3a2+a
则 a 等于(
1
A. 2
)
1
B. 3
2
3
C. 3
D. 4
解析:由二点分布的性质,得(4a-1)+(3a2+a)=1,即 3a2+5a-2=0,
解得
1
a1= ,a2=-2,又由概率值非负得
3
1
a= .
3
答案(dáàn):B
第九页，共26页。
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3
4
【做一做3-2】 一个盒子中装有3个红球和2个绿球,从中随机(suí jī)摸出
高中数学第二章 2.1.2离散型随机变量的分布列(一)课件
答案 是.离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是 彼此互斥的.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 求离散型随机变量的分布列 例1 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中 摸出2个球. (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； (2)有X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列.
解析 根据所给的分布列，
由离散型随机变量的性质得12＋13＋p＝1，解得 p＝16.故选 B.
解析答案
1234
2.设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ＝i)＝a(13)i，i＝1,2,3，则 a 的值为( C )
9
27
11
A.1
B.13
C.13
D.13
解析 由分布列的性质，得 a(13＋19＋217)＝1， ∴a＝1237.
假设身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子〞，身高在175 cm 以下定义为“非高个子〞，且只有“女高个子〞才能担任“礼仪小姐
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子〞和“非高个子〞中抽取5人，再从 这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子〞的概率是多少？
解析答案
(2)假设从所有“高个子〞中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任 “礼仪小姐〞的人数，试写出ξ的分布列. 解 依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，那么 P(ξ＝0)＝CC31382＝1545，P(ξ＝1)＝CC14C31228＝2585， P(ξ＝2)＝CC24C31218＝1525，P(ξ＝3)＝CC31342＝515. 因此，ξ的分布列为
P
1 10
3 10
3 5
解析答案
易错点 无视分布列的性质致误
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4
4
1 P X i 1 C2i0 0.3i 0.720i
i 0
i0
例
设
X
~
B( 2,
1 6
1 6
1 6
四、二项分布 设在一次试验中, 只有两个对立的结果: A
或 A, 重复进行n次独立试验, 每一次试验, A发生 的概率都是 p, A不发生的概率 都是 q 1 p, 这样的n次独立重复试验 称作n重贝努里试验, 简称贝努里试验 或贝努里概型.
用 X 表示 n重贝努里试验中事件A(成功)出现的 次数, X 可能取值: 0,1,2,3,...,n
...
C
k n
pk q nk
...
pn
设 Ai 表示第 i 次发生事件A
P( Ai ) p
PX k
P( Ai ) 1 p q
P( A1...Ak Ak1...An A1 ...Ak1 Ak Ak A 1 k2 ...An ...
A1 ...Ank Ank1...An )
X0 1
2
...
k
...
n
P
qn
C
1 n
p qn1
C
2 n
p2qn2
...
C
k n
pk
qnk
...
pn
即
P X k
C
k n
pk qnk
k 0,1,2,...,n
称随机变量 X 服从参数为n, p 的二项分布,
记为 X ~ b(n, p)
qn
C
1 n
p1q n1
Cn2 p2qn2
P( A1...Ak Ak1...An ) P( A1...Ak1 Ak Ak1 Ak2 ...An ) ... P( A1...Ank Ank1...An ) Cnk pk qnk
P X n P( A1 A2 ...An ) P( A1 )P( A2 )...P( An ) pn
... P( A1...An2 An1 An )
P( A1 )P( A2 )P( A3 )...P( An ) ... P( A1 )P( A2 )...P( An1 )P( An )
Cn2 p2qn2
X0 1
2 ... k ... n
P
qn
C
1 n
p1q
n1
Cn2 p2qn2
xn
1 n
1 n
x1
x2
...
xn
x
DX E X EX 2 E X x2
( x1
x )2
1 n
( x2
x )2
1 n
...
( xn
x)2
1 n
如掷一颗骰子出现的点数 X 具有离散均匀分布.
1 2 3 4 5 6
X
~
1 6
1 6
1 6
解 EX n p 6
DX n pq 4.2
X ~ b 20, 0.3
6q 4.2
p 1 q 0.3
q 0.7 n 6 20
p
PX 5 1 PX 5 1 PX 4
1 PX 0 PX 1 PX 2 PX 3 PX 4
X
~
0
q
1
p
即是参数为p的0—1分布.
可以证明，二项分布的数学期望和方差 分别为
EX n p, DX n pq
可以证明，二项分布的数学期望和方差 分别为
EX n p DX n pq
例 已知随机变量 X ~ b(n, p), EX 6, DX 4.2,
求 PX 5
qn
C
1 n
p1q
n1
设 Ai 表示 第 i 次发生事件A
P( Ai ) p, P( Ai ) 1 p q
PX 1
P( A1 A2 A3 ...An A1 A2 A3 ...An ... A1...An1 An )
P( A1 A2 A3 ...An ) P( A1 A2 A3 ...An ) ... P( A1...An1 An ) P( A1 )P( A2 )...P( An ) ... P( A1 )...P( An1 )P( An ) Cn1 p qn1
...
C
k n
pkqnk...
pn
(q p)n 1 (归一性）
X0 1
2
...
k
...1 n
p qn1
C
2 n
p2qn2
...
C
k n
pk
qnk
...
pn
即
P X k
C
k n
pk qnk
k 0,1,2,...,n
当n=1时, 二项分布 b( 1 , p)
此时 EX x1 p x2(1 p)
当
x1
1,
x2
0 时，X
~
1 p
1
0 p
,
即为0—1分布.
也称X是参数为p的 伯努利随机变量.
三、离散均匀分布
x1 x2 ... xn
X ~
1 n
1 n
...
1 n
EX
x1
1 n
x2
1 n
...
§2.3 常用的离散型分布
一、退化分布
如果随机变量X
PX a1
即
X
~
a
1
则称随机变量X 服从 a处的退化分布.*
此时 EX a, DX 0
二、两点分布
如果随机变量X 只取两个值 x1, x2
X
~
x1 p
x2 1 p
其中0 p 1, 则称X服从参数为p的两点分布.
X0 1
2 ... k ... n
P
qn
C
1 n
p1q
n1
Cn2 p2qn2
设 Ai 表示第 i 次发生事件A
P( Ai ) p
PX 2
P( Ai ) 1 p q
P( A1 A2 A3 ...An A1 A2 A3 ...An ... A1 ...An2 An1 An ) P( A1 A2 A3 ...An ) P( A1 A2 A3 ...An ) ...
X0 1
P qn
2 ... k ... n
设 Ai 表示 第 i 次发生事件A P( Ai ) p, P( Ai ) 1 p q
P X 0 P( A1 A2 ...An )
P( A1 )P( A2 )...P( An ) qn
X0 1
2 ... k ... n
P