概率论 常用的离散分布
概率分布的种类与性质
概率分布的种类与性质概率分布是概率论中的重要概念，用于描述随机变量的取值与其对应的概率。
不同的随机变量具有不同的概率分布，而概率分布又可以分为多种种类。
本文将介绍常见的概率分布种类及其性质。
一、离散型概率分布离散型概率分布是指随机变量取有限个或可数个值的概率分布。
常见的离散型概率分布有以下几种：1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是最简单的离散型概率分布，它描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果（正面或反面）。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。
2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是一种重要的离散型概率分布，它描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数为： P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中k=0,1,...,n，C(n,k)为组合数，p为成功的概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是一种用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的离散型概率分布。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中k=0,1,2,...，λ为平均发生率。
二、连续型概率分布连续型概率分布是指随机变量取值为连续区间内的概率分布。
常见的连续型概率分布有以下几种：1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型概率分布，它在给定区间内的取值概率相等。
均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a为区间下界，b为区间上界。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是一种重要的连续型概率分布，也被称为高斯分布。
正态分布具有钟形曲线，对称分布于均值周围。
常用离散分布
1. （0 – 1）分布，其分布律为 P X 0 1 p, P X 1 p 解： E ( X ) 0 ( 1 p ) 1 p p
E( X ) 0 (1 p ) 1 p p
2 2 2
D ( X ) E ( X ) E ( X ) p p p (1 p )
2
2
2
故
D ( X ) E ( X ) E ( X )
常用离散分布的数学期望
0-1 分布的数学期望 = p 二项分布 b(n, p)的数学期望 = np
几何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/p
泊松分布 P() 的数学期望 =
常用离散分布的方差
2 2 2
2
二项分布 设 X 服从参数为 n、p 的二项分布，其分布律为
n k n k P X k p (1 p ) , k k 0 , 1 ,, n
有
E ( X ) np , D ( 数为 的泊松分布，其分布律为
例2.4.1 设X ~ b(2, p)， Y ~ b(4, p)，
已知 P(X1) = 8/9， 求 P(Y1). 解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9. 所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)2， 从而解得: p = 2/3.
由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0)
泊松定理
定理2.4.1 (二项分布的泊松近似)
在n重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中 成功的概率. 若 npn ，则
k n k n k e pn (1 pn ) k! k
上面我们提到
二项分布与泊松分布比较
二项分布与泊松分布比较二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将对二项分布和泊松分布进行比较，分析它们的特点、适用范围以及优缺点，帮助读者更好地理解和应用这两种分布。
一、二项分布二项分布是最基本的离散概率分布之一，描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功的次数。
在每次试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p。
若进行n次试验，成功的次数为X，则X服从参数为n和p的二项分布，记为X~B(n,p)。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)。
二项分布适用于满足以下条件的问题：1）进行n次独立重复的伯努利试验；2）每次试验只有两种可能的结果；3）每次试验中成功的概率为常数p。
二、泊松分布泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，适用于描述低概率事件在长时间或大空间内的发生情况。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中e为自然对数的底。
泊松分布的期望和方差均为E(X) = Var(X) = λ。
泊松分布适用于满足以下条件的问题：1）事件在时间或空间上是独立分布的；2）事件在任意非重叠的时间或空间区间内的发生概率相等；3）事件的平均发生率λ是已知的。
三、二项分布与泊松分布的比较1. 适用范围：二项分布适用于描述有限次独立重复试验中成功次数的分布，适用于成功概率固定的情况；而泊松分布适用于描述单位时间或单位空间内事件发生次数的分布，适用于事件发生率很低的情况。
2. 参数设定：二项分布需要设定试验次数n和成功概率p两个参数；泊松分布只需要设定平均发生率λ一个参数。
3. 连续性：二项分布是离散分布，描述的是离散的事件发生次数；泊松分布是连续分布，描述的是连续的事件发生情况。
概率2.4节-常用离散分布.ppt
4.一本书中一页的印刷错误；
5.一年中爆发战争的次数，等等。
Poisson分布的数学期望和方差 设随机变量 X ~ P( ), 则
E( X ) Var( X ) .
例3. 假设某高速公路上每天发生的事 故数是一个参数为 的Poisson分 布，求(a)今天至少发生3起事故的概率； (b)在今天至少发生了一件事故的条件 下，重做(a)。
例5 设一个水塘里有一定数量的鱼，为 估计其数目，从水塘中捕捞200条鱼，把 它们作上红色标记后再放入水中，经过 一段时间后再从中捕捞100条，其中有40 条鱼有红色标记。问题：怎样估计水塘 中鱼的总数目？
4. 几何分布 考虑独立重复试验，每次成功率为p，一 直进行到试验成功为止。若令X表示需要 试验的次数，则X的分布列为
二项分布的Poisson近似 定理：在n重伯努利试验中，记事件A 在一次试验中发生的概率为 ，如 果当 时，有 则
上述定理（Poisson定理）的应用：用 于近似计算。 应用的条件：对二项分布b(n,p)，当n 很大，p很小，而乘积np大小适中时， 可用Poisson分布近似，即
3. 超几何分布 设有N个产品，其中有M个次品，若从中 不放回地随机抽取n个，则其中含有的 次品个数X的分布列为
例8 一家软件公司想增加5名新的工程师， 而每个参加面试的人获得职位的概率为 0.7，当招够5人时立即停止新的面试。 求参加面试人数超过7名的概率。
作业：习题2.4 5，8 ，11，12。
§2.4 常用离散分布
1. 二项分布
考虑n重伯努利试验，设事件A在一次试 验中发生的概率为p，记X为事件A发生的 次数，则X的分布列为
概率第五讲——离散型随机变量的常见分布
概率第五讲——离散型随机变量的常见分布我们之前介绍了离散型随机变量，本节我们将介绍几种常用的离散分布。
1、两点分布例1 100件产品中有95件正品，5件次品，现从中任取1件，考查取出的次品数。
试用变量描述该试验的结果并写出概率分布。
一般地，只取两个可能值 x1，x2 的随机变量 X，其概率分布可写为称 X服从两点分布。
特别地，若x1=0，x2=1，这时称X服从0-1分布。
0-1分布描述只有两个可能的结果的随机试验，0-1分布的概率分布一般写为其中参数p:0<p<1.若以概率分布表表示，则为注：两点分布用于描述只有两种对立结果的随机试验。
2、二项分布(the Binomial Distribution)（记住这个英文单词，后面要考的）其中n是试验独立重复的次数， p是每一次基本试验中事件A发生的概率。
随机变量 X 指n 次试验中事件A发生的次数。
注：二项分布的试验背景是n重Bernoulli试验模型：例2 设张三做某事的成功率为1%，他重复努力 100次，则至少成功1次的概率为多少？这说明，有百分之一的希望，就要做百分之百的努力。
这里，小伙伴会问了，这里的二项分布表达式如此复杂，该怎么计算呢？我们可以借助Excel软件来计算。
操作方法如下：打开Excel→公式→插入函数（统计）BINOM.DIST（你一定发现了，这就是前面提到的二项分布的单词前面几个字母）例3 设一批产品共10000个，其中废品数为500个，现从这批产品中任取10个，求10个产品中恰有2个废品的概率。
3、泊松分布引例观察下列随机试验：(1)某地区某一时间间隔内发生的交通事故的次数；(2)北京某医院一天内的急诊人数；(3)放射性物质在单位时间内的放射次数；(4)《新编线性代数与概率统计》教材一页中印刷错误数；(5)北京地区居民中活到百岁的人数。
这些试验有一个共同点：描述在单位时间(空间)中随机事件的发生次数。
它们都服从或近似服从泊松分布。
概率统计分布列知识点总结
概率统计分布列知识点总结一、离散分布对于离散型随机变量，它取值为有限个或者可数个。
在概率统计中，常见的离散分布包括：伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两种可能结果的随机实验的分布。
例如，抛一次硬币的结果可以是正面或反面，这就是一个典型的伯努利分布。
伯努利分布的概率质量函数可以表示为：P(X=x) ={p, if x=11-p, if x=0}其中，p表示事件发生的概率，1-p表示事件不发生的概率。
伯努利分布的期望值为p，方差为p(1-p)。
2. 二项分布二项分布描述了一系列独立重复的伯努利试验的结果。
例如，抛n次硬币，其中正面的次数就是一个二项分布。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示事件发生的次数，p表示事件发生的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。
3. 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生次数的分布。
例如，单位时间内接到的电话数、单位时间内发生事故的次数等都可以用泊松分布来描述。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
泊松分布的期望值和方差都等于λ。
二、连续分布对于连续型随机变量，它可以取任意的实数值。
在概率统计中，常见的连续分布包括：均匀分布、正态分布、指数分布等。
1. 均匀分布均匀分布描述了取值在一定范围内的随机变量的概率分布。
例如，在区间[a,b]内取值的随机变量就可以用均匀分布来描述。
均匀分布的概率密度函数可以表示为：f(x) ={1 / (b-a), if x∈[a,b]0, otherwise}均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)^2 / 12。
2. 正态分布正态分布是最常见的连续分布之一，它具有许多重要的性质，例如中心极限定理。
2.4常用离散分布
P(不分胜负) P( X 5) C150 0.65 0.45 0.2007.
11
三、泊松分布
定义：称X服从参数( 0)的poisson分布，如果
P X k k e，k 0,1,2,...
解：X服从二项分布B(3,1/4).即有
P(X
k
)
C
k 3
(
1 4
)k
(
3 4
)3k
,
k 0,1,2,3.
P(X
1)
C
0 3
(
1 4
)0
(
3 4
)3
C31
(
1 4
)1
(
3 4
)2
27 32
7
例3 设X B(2, p), Y 求P(Y 1).
B(3,
p)，且P( X
1)
5 .
9
解 P( X 1) 5 P( X 0) 4
例4 甲、乙两棋手约定进行10局比赛，以赢的局数 多者为胜。若在每局中甲赢的概率是0.6，乙为0.4； 且各局比赛是独立进行的。问甲胜、乙胜、不分胜 负的概率分别是多少？ 解：设X为甲胜的局数，则X服从 B(10,0.6).
10
P(甲胜) P( X 6) C1k0 0.6k0.410k 0.6330. k6 4
概率论与数理统计
主讲人：宣平
2012年.秋学期
Department of Mathematics
1
第四节 常用离散分布
2
一、0－1分布 随机变量只有两个取值的分布称为两点分布； 特别地，若其取值为0和1，称之为0－1分布。
概率论常用的离散分布
目 录
• 引言 • 二项分布 • 泊松分布 • 超几何分布 • 几何分布 • 负二项分布
01 引言
离散分布的定义
离散分布：离散随机变量所有可能取 值的概率分布。
离散分布描述了随机变量取各个可能 值时所对应的概率。
离散分布的应用场景
统计学研究
离散分布在统计学中有着广泛的应用，如人口普 效之 前所经历的试验次数。
02
在生物统计学中，负二项分布可以用于描述在一定时间内捕获
猎物的数量或者在一定时间内发生的事件次数。
在金融领域，负二项分布可以用于描述股票价格在一定时间内
03
上涨或下跌的次数。
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它以法国数学家西莫恩·德尼·泊松的名字命名，他在19世纪中叶首次研究了这种 分布。
泊松分布的性质
泊松分布具有离散性和随机性， 适用于描述在一定范围内随机 事件的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数决定：均值和方差。
当随机事件的概率保持不变且 相互独立时，泊松分布成立。
泊松分布在现实生活中的应用
泊松分布在统计学、物理学、 生物学、经济学等领域有广 泛应用。
在网络请求中，直到得到响应所需要的请求次数可以服从几何分布。
自然选择与遗传
在生物进化过程中，自然选择对某一性状的选择压力可以用几何分 布来描述。
06 负二项分布
负二项分布的定义
负二项分布是一种离散概率分布，描 述了在成功达到某一目标之前需要进 行的独立、同分布的伯努利试验次数。
负二项分布的概率质量函数为 P(X=k) = (n+1) choose k * p^k * (1p)^(n+1-k)，其中 X 表示试验次数， k 表示成功次数，n 表示试验次数上 限，p 表示每次试验成功的概率。
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n1 p q P ( A1 )... P ( An1 ) P ( An ) C
也称X是参数为p的 伯努利随机变量.
X ~ 1 1 1 ... n n n 1 1 1 1 EX x1 x2 ... xn x1 x2 ... xn x n n n n 2 2 DX E X EX E X x 1 1 1 2 2 2 ( x1 x ) ( x2 x ) ... ( xn x ) n n n
二、两点分布
如果随机变量X 只取两个值 x1 , x2
x1 X ~ p x2 1 p
其中 0 p 1 则称X服从参数为p的两点分布. 此时 EX x1 p x2 (1 p)
0 1 当 x1 1, x2 0 时， 即为0—1分布. X ~ p 1 p 此时 EX p DX p(1 p)
P ( A1 A2 A3 ... An ) ... P ( A1 ... An2 An1 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )... P ( An ) ... P ( A1 ) P ( A2 )... P ( An1 ) P ( An )
2 n2 q p C
1 P X i 1
i 0
4
i i 20i C 0.3 0.7 20
4
i 0
例在四舍五入时, 每个加数的取整误差 服从 [0.5, 0.5 ] 上的均匀分布, 今有n个加数,计算它们中 至少有3个的绝对误差小于 0.3 的概率. 解 设 X表示一个加数的取整误差 X ~ U [ 0.5, 0.5 ] 每个加数的绝对误差小于 0.3 的概率为:
1 n
X P
0
1
2
...
k n
k
...
n k
n
1 1 n1 2 2 n 2 ... q n Cn p q Cn pq i 设 Ai表示第 次发生事件 AC Leabharlann qk...pn
P ( Ai ) p P ( Ai ) 1 p q P X 2 P ( A1 A2 A3 ... An ... A1 ... An2 An1 An )
可以证明， 二项分布的数学期望和方差 分别为
EX n p
DX n p q
可以证明， 二项分布的数学期望和方差 分别为 EX n p DX n p q 例 已知随机变量 X ~ b( n, p) EX 6 DX 4.2 求 P X 5 q 0.7 解 EX n p 6 6q 4.2
X P
0
1
2
...
k
...
n
1 1 n1 q n Cn pq
i 设 Ai表示第 次发生事件 A
P ( Ai ) p
P X 0 P ( A1 A2 ... An ) P ( A1 ) P ( A2 )... P ( An ) q
P ( Ai ) 1 p q
n
P X 1 P ( A1 A2 A3 ... An A1 A2 A3 ... An ... A1 ... An1 An )
X ~ b 20, 0.3
DX n pq 4.2
p 1 q 0.3
6 n 20 p
P X 5 1 P X 5 1 P X 4
1 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4
P X k P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ... A1 ... Ank Ank 1 ... An )
P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ) ... P ( A1 ... Ank Ank 1 ... An )
k nk p q C
2 n
k n
n P X n P ( A1 A ... A ) )P )... P( An ) p 2 ( A2n
X P
0
q
n
1 2 ... n 1 1 2 p 2q n 2 ... q p Cn Cn
k n
k
...
nk
n
C p q
k n
k
...
pn
即 P X k C p q
X ~ b( n, p)
q n Cn p q
k n k
k 0,1, 2,..., n
称随机变量X 服从参数为 n, p 的二项分布, 记为
2 2 n2 k k n k Cn p q ... C n p q ... p n ( q p )n 1 当n=1时,二项分布 b( 1 , p) 1 0 X ~ 即是参数为p的0—1分布. p q 1 1 n1
三、离散均匀分布 x1 x2 ... xn
如掷一颗骰子出现的点数 X 具有离散均匀分布.
1 X ~1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6
四、二项分布 设在一次试验中, 只有两个对立的结果: A 或 A 各次试验的条件 重复进行n 次独立试验, (“重复”指 相同, “独立”指各次试验的结 互不影响) 果 每一次试验, A发生的概率都是 p, A不发生的 次独立重复试验 概率都是 q 1 p 这样的 n 称作 n 重贝努里试验, 简称贝努里试验 或贝努里 概型. 用 X表示 n重贝努里试验中 事件A(成功)出现的 次数, X 可能取值: 0,1,2,3,..., n