逐次插值逼近法
插值与逼近
l2 ( x) ( x x0 )(x x1 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
l1 ( x) ( x x0 )(x x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 )
插值的概念
插值是由离散数据来构造一个函数的近似函数 的重要方法, 插值要求近似函数与被近似函数 在一些点处取相同的函数值,甚至导数值. 已知函数y=f(x)在[a, b]中n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为f(x0), f(x1), …, f(xn) ，构造 一个简单的函数P(x)，满足条件 P(xi)=f(xi) (i=0,1,…n) (*) 称这类问题为插值问题，称P(x)为函数f(x)的插 值函数， f(x)为被插值函数，点x0, x1, …, xn为 插值节点，称(*)为插值条件.
由差均的定义 f(x)=f(x0)+f[x0,x](x-x0) f[x0,x]=f[x0,x1]+f[x0,x1,x](x-x1) f[x0,x1,x]=f[x0,x1,x2]+ f[x0,x1,x2, x](x-x2) …… f[x0,x1,…,xn-1, x]= f[x0,x1,…,xn]+ f[x0,x1,…,xn, x](x-xn) 反复将后一式代入前一式得 f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +…+ f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) + f[x0,x1,…,xn, x](x-x0)(x-x1)…(x-xn)
f ''( ) E ( x) f ( x) L1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) 2! ( x1 x0 )2 E( x) f ( x) L1 ( x) max f ''( x) 8 a x b
第6讲(1)插值
8
其中 Ai 为待定系数，利用li ( xi ) = 1可解得：
Ai = ( xi − x0 )
1 ( xi − xi−1 )( xi − xi+1 )
(xi − xn )
从而
∏ li ( x) =
j≠i
x − xj xi − x j
基本插值函数 (插值基函数)
9
2-2 Lagrange 插值多项式
数类，插值函数 P( x) 满足 P( xi ) = yi (i = 0, , n) ， 即
a0ϕ0 ( xi ) + a1ϕ1 ( xi ) + + anϕn ( xi ) = yi , i = 0, , n
6
若插值基函数{ϕ
i
(
x
)}n i=
0
线性无关，则上述方程组
有唯一的解{ai
}n i=
0
(3)
P(xk ) = I1,
,n ( xk
)
xk x1
− xn+1 − xn+1
+
I2,
,n+1 ( xk
)
xk − x1 xn+1 − x1
=
f
( xk
)
xk x1
− −
xn +1 xn +1
+
f
( xk
)
xk − x1 xn+1 − x1
=
f (xk )
(2 ≤ k ≤ n)
23
注 由上述性质可知， P(x) 是 f (x) 的关于节点 x1, , xn+1的 n 次插值多项式. 它实质上是对两个 n −1次的插值多项式，再经过线性插值求出的.
51单片机adc0809模数转换器逐次逼近法的实现原理
51单片机adc0809模数转换器逐次逼近法的实现原
理
51单片机ADC0809模数转换器采用逐次逼近法实现模数转换。
逐次逼近法的原理是，从高位到低位逐位比较，根据比较结果不断调整待转换的数字量，直到找到一个数字量使其对应的模拟量与输入的模拟量相等或最大程度接近。
在ADC0809模数转换器中，逐次逼近法的实现过程如下：
1. 将最高位（MSB）设置为1，其余位为0，形成起始转换数字量。
2. 将该数字量输入比较器，与输入的模拟量进行比较。
3. 根据比较结果，调整数字量的最高位：如果模拟量大于数字量，则将最高位清0；否则保持为1。
4. 保持其余位不变，将调整后的数字量再次输入比较器进行比较。
5. 重复步骤3和4，直到比较器的输出为稳定状态（即最高位不再变化），此时得到的就是输入模拟量的近似值。
通过逐次逼近法，ADC0809模数转换器能够实现高精度的模数转换，并且具有较快的转换速度。
插值与逼近
插值与逼近一插值多项式有时候我们只知道函数f(x)在区间［a,b ］上的一系列点的函数值，即知道i i y x f =)(，而不知道它在区间［a,b ］上的具体的函数表达式。
所以，无法研究该函数在其它点上的函数值的变化；也有些时候在［a,b ］区间上的函数)(x f 的表达式十分复杂，不便于利用函数的表达式研究问题。
插值法就是构造插值函数)(x p y =去近似被插值函数)(x f y =，使之满足插值条件)(i i x p y =。
通常我们构造插值多项式。
插值多项式就是利用一些已知的函数值所做的既能反映原来函数的主要性质，又有简单形式的一种较好的替代函数。
求插值多项式的基本思想：设函数)(x f 在区间［a,b ］上连续。
已知它在],[b a 上1+n 个互不相同的点nx x x ,,,10Λ处的值n y y y ,,,10Λ。
如果多项式)(x p 在点i x 上满足),,1,0()(n i y x p ii Λ==则称)(x p 是函数)(x f 的插值多项式。
在本章中讨论拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式、埃尔米特插值多项式和分段插值多项式。
1. 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值法是最基本、最常用的插值方法，也是其他插值方法的基础。
我们讲授的拉格朗日插值多项式包括线性插值多项式、抛物线插值多项式和n 次插值多项式拉格朗日插值多项式的公式为：)())(()()()())(()()()()()()()()()(1101000110n i i i i i i i n ini i i ni i i n n o n x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x y x l y x l y x l y x l x L -⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-='-⋅⋅⋅--='-==+⋅⋅⋅++=+-==∑∑ωωωω其中基函数的公式为：),...,2,1()()()())...()()...()(())...()()...()(()(11101110n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l i i n i i i i i i i n i i i ='-=----------=+-+-ωω余项公式为),()()!1()()()()(1)1(b a x n f x P x f x R n n n n ∈+=-=++ξωξ其中拉格朗日插值多项式计算步骤:⑴ 准确计算插值基函数。
第六章 逐次逼近法lz
x1 x 2 x3
( k 1)
0 0 1 2 x1 0.1 0 0 0.1 0 ( 1 0 2 x 2 0 0 0.2 1 1 0 x3
L+U
(k )
(k )
第六章 逐次逼近法
第一节
解线性方程组的迭代法
二、Jacobi迭代法
1.解线性方程组的迭代法：将联立方程组的求解归结为重
复计算一组彼此独立的线性表达式，从而简化问题。 考察一般形式的线性方程组： aij x j bi
j 1 n
(i=1~n)
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 a 0 ii ... ... ... ... an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn
7.2 8.3 ) 4.2
据此可以建立迭代公式如下：
x1 x 2 x3
( k 1)
0 0.1 0.2 x1 0.72 0.1 0 0.2 x2 0.83 0.2 0.2 0 x3 0.42
解线性方程组的迭代法
二、Jacobi迭代法
(k=0~+∞)
(k 1) (k ) ( k ) 1 1 x D (L U ) x D b BJ x f J
(k ) (k ) * * 若x x ，即： x x lim
k
(k＋1) ( k ) 对x ＝BJ x f J 两边取极限：x*＝BJ x* f J
1 x [b a x ] a
第三章、逐次逼近法
第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --=Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()(超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
计算方法(三)逐次逼近法
由于
lim x ( k 1) B lim x ( k ) f
k
k
* x 所以收敛迭代法的极限向量 满足
x* Bx* f
即为方程组（3-2）的解，从而也是（3-1）的解。
3.1.1 简单迭代法
简单迭代法也称基本迭代法。设线性方程组形如
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
an1x1 an2 x2 ann xn bn
其中矩阵 A (aij ) nn 非奇异，且
aii 0 (i 1, 2, , n) 。
对上式移项和变形后可得等价的方程组：
1 b1 a12 x2 a1n xn a11 1 xi bi ai1 x1 aii1 xi 1 aii1 xi 1 ain xn aii 1 bn an1 x1 ann1 xn1 xn ann
迭代法（3-5）或（3-6）称为Jacobi迭代法。
例1
将线性方程组
8 x1 3 x2 2 x3 20 4 x1 11x2 x3 33 2 x x 4 x 12 3 1 2
解：写成Jacobi迭代格式（3-5）：
1 x1 3x2 2 x3 20 8 1 x2 4 x1 x3 33 11 1 x3 2 x1 x2 12 4
而 ε (0) x (0) x* 是一个非零的常向量，因此
k
lim B k 1 On n （零矩阵）
定理 3.1
lim ε ( k ) 0 ( 即 k
( xi( k ) xi* , i 1, 2, , n )
逐次插值逼近法
'(0 ) k
2
2 ( ( k ) (0 ) '(0 ) k )
k
将其作为新的
这是一个插值法与充分下降条件 组合起来的线性搜索方法.
,
这个方法开始时,令 1, 如果 x k (即后退),一直到
xk d k
d k 不可接受，则减少
可接受为止.
f ( xk ) k g k d k
T
f ( x k ) (1 ) k g k d k
T
0
b c a [b,c]称为可接受区间
Wolfe准则
用下面的条件代替
g k 1 d k g k d k , ( ,1)
T T
曲率条件
即
'( k 1 ) g ( xk k d k ) d k
停止迭代， 步3 若检验准则 ( k ) (0) (1 ) k '(0) 成立， 输出 ; 否则，令a k 1 : k , b k 1 b k .若 b k 1 m ax ,
k
转步4； 否则，令 步4
k 1 : t k , k : k 1, 转步2；
T
f ( xk k d k ) f ( xk ) (1 ) k g k d k
T
( k ) (0) k '(0)
( k ) (0) (1 ) k '(0)
Goldstein准则算法
步1 选取初始数据.给出初始搜索区间 [ a 0 , b0 ], 给出初始点
k , x k 1 : x k k d k
k
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x x1 x x3 f1 x2 x1 x2 x3
f3
f2
x x2 x x1 x3 x2 x3 x1
为求 x 的极小点， x 0 得： 令
x 1 x3 x2 f1 x1 x3 f 2 x2 x1 f 3
该方法也叫后退方法.
Armijo 准则算法
步0: 给出 (0, 2 ), 0 l 步1: 取 =1. 步2: 检验
f ( x k d k ) f ( x k ) g k d k
T
1
u 1.
是否满足 步3:如果上式不满足，取 : ,其中 l , u , 转步2 否则，取
step2： 计算
( ) 1 1 ',
1 2 (1
转step3；否则,由二次插值公式计算 :
令 2 : , : .转step2.
1 1
( 1 ) 1 '
)
step3： 计算 ' '( )
设在已知的三点
f xi f i ,
x1 x2 x3
处对应的函数值
y x ,
且满足
f1 f 2 , f 2 f 3 ,
过三点 x1 , f1 , x2 , f 2 , x3 , f3 作二次函数 即作一条抛物线， 则可推导出：
x x2 x x3 x x1 x2 x1 x3
的下 降”．
Goldstein准则
0
1 2
T f ( x k k d k ) f ( x k ) k g k d k 充分下降条件
f ( x k k d k ) f ( x k ) (1 ) k g k d k
T
k 不会取得太小
f
f ( xk )
值大于中间点的函数值的性质，利用新的点再 构造二次函数，继续进行迭代．
x1
x3 x2
x1
x2
x2
x3
x1
x x2
x3
x1
(1)
x1
(2)
x3
x3
x1
x
x3
x2
x1
x2
x1
x3
x
x2
x2 x
(3)
(4)
x3
x2
x1
x1 x 3 2
x1
x2
x3
x2
x3 x3
x1
x
x2 x3 x1 x2
x
(5)
2 2 2 2 2 2
2
x3 x2 f1 x1 x3 f 2 x2 x1
f3
若 x 充分接近 x2 , 即：x2 x 则把 x 作为近似极小点．
否则计算 f x
f,
找出
f2
和
f
之间的大者，
去掉 x1 或 x3 , 使新的三点仍具有两端点的函数
( x ) ax bx c
2
满足
( x1 ) f1 , ( x2 ) f 2 , '( x1 ) f '( x1 ).
为求 x 的极小点, 令 x 0 x 2 ) f '( x1 ) 2[ f '( x1 ) f1 f 2 x1 x 2 ]
不精确线搜索就是： 即在
xk
点确定了下降
方向 d k 后， 只计算少量的几次函数就可以得到 一个满足 f xk 1 f xk 的近似点
xk 1 .
不精确线搜索要求产生的点列具有某种收 敛性． 所以除了对下降方向 d k 有要求之外， 对步长 k 也有要求， 即要求目标函数要： “充分
f ( xk ) k g k d k
T
f ( x k ) (1 ) k g k d k
T
0
b c a [b,c]称为可接受区间
Wolfe准则
用下面的条件代替
g k 1 d k g k d k , ( ,1)
T T
曲率条件
即
'( k 1 ) g ( xk k d k ) d k
f ( xk d k )
f ( xk ) k g k d k
T
f ( x k ) (1 ) k g k d k
T
0
b c a [b,c]称为可接受区间
设 ( ) f ( x k d k ),
f ( xk k d k ) f ( xk ) k g k d k
k
mk
.
由于d k 是下降方向,当m充分大时,上述不等式总是成立的,因此
m k 总是存在的.
k 不会太小,从而保证了目标函数的充分下降.
( k ) (0) k '(0).
如果下述条件满足,则终止搜索;否则,可以缩小 k 或者在区间 [0, k ]上用二次插值公式求近似极小点
x k 1 x k
( x k x k 1 ) f k ' f k 1 '
fk '
§ 3.5 不精确线性搜索方法
前面介绍的几种线搜索方法，都是为了获得 一元函数 f x 的最优解，所以习惯上称为精确 线搜索． 在解非线性规划问题中， 线搜索一般很难得到 真正的精确值． 因此， 不精确的线搜索开始日益受到重视．
, k : k 1, 转步2.
k 1
a k 1 bk 1 2
Wolfe 准则
f ( x k k d k ) f ( x k ) (1 ) k g k d k
T
的一个缺点是可能把极小点排除在可接受区间之外.
f
f ( xk )
f ( xk d k )
T
gk dk
T
'(0) '(0),
其几何意义是在可接受点处切线斜率 '( ) k 不小于初始斜率的 倍.
Wolfe准则：
f ( xk k d k ) f ( xk ) (1 ) k g k d k
T
g ( xk k d k ) d k g k d k
停止迭代， 步3 若检验准则 ( k ) (0) (1 ) k '(0) 成立， 输出 ; 否则，令a k 1 : k , b k 1 b k .若 b k 1 m ax ,
k
转步4； 否则，令 步4
k 1 : t k , k : k 1, 转步2；
| f 2 | 2 | f 2 | 2
收敛准则满足
| f 2 f | 1 f 2 | f 2 f | 1
3 5
1 10 , 2 10 .
f f2 f f2
极小点估计为
极小点估计为
x2 x
x
x2
两点二次插值法I
给出两个不同的点 x1 , x 2 , 函数值 f 1 f ( x1 ), f 2 f ( x 2 ) 及导数值 f '( x1 ) 或者 f '( x 2 ), 构造二次插值多项式
Armijo准则
设 d k 是 f ( x ) 在 x 处的下降方向，给定 (0,1), (0, 1 ), 0 . k 2 设 m k 是使得下述不等式
f ( xk d k ) f ( xk ) g k d k
m m T
成立的最小非负整数, 令
0 [ a 0 , b0 ]. 计算 (0 ), '(0 ), 给出 (0, ), t 1, k : 0 .
2
1
步2
计算 ( k ). 若检验准则 ( k ) (0) k '(0) 成立，
转步3； 否则令a k 1 : a k , b k 1 k , 转步4.
取
[0, m ax ], (0, 1 2 ),
( ,1). 令 1 0, 2 m ax , 计算 1 f ( x k ), 1 ' g ( x k ) T d k ,
(0, 2 ).
( ) f ( x k d k ). 若
1
2 (1
则 输出 , 停止迭代;否则由二次插值公式计算 :
1 1
( 1 ) 1 ' )
g ( x k d k ) d k . 若 ' 1 ',
T
令 1 : , 1 : , 1 ' : ', : , 转step2.
§ 3.3 逐次插值逼近法
插值法是一类重要的线性搜索方法，其基本思想是在 搜索区间中不断用低次(一般不超过三次)插值多项式 来近似目标函数，并逐步用插值多项式的极小点来逼 近函数的极小点。 当函数具有比较好的解析性质时，插值方法比直接 方法(0.618法，Fibonacci法，二分法)效果更好。
三点二次插值法（抛物线法） 我们可以用 在求一元函数的极小点问题上， 若干点处的函数值来构造一个多项式，用这个 多项式的极小点作为原来函数极小点的近似值． 抛物线法就是一个用二次函数来逼近 f x 的方法， 这也是我们常说的二次插值法．
k , x k 1 : x k k d k
T
f ( xk k d k ) f ( xk ) (1 ) k g k d k
T
( k ) (0) k '(0)