第三章逐次逼近法
简述逐次逼近法的工作原理
简述逐次逼近法的工作原理
逐次逼近法是一种数值计算方法，用于求解近似解的近似值。
其主要工作原理如下：
1. 初始化：选择一个初始值作为近似解的初始近似值。
2. 迭代过程：根据某种规则进行迭代，每次迭代都会产生一个较接近真实解的近似值。
3. 收敛判断：判断近似解是否足够接近真实解。
如果接近程度满足预定的收敛准则，则输出近似解；否则返回第2步进行下一次迭代。
4. 输出结果：输出满足收敛准则的近似解作为最终结果。
逐次逼近法的核心思想是不断迭代，通过每一次迭代对近似解进行修正，逐渐接近真实解。
在迭代过程中，常用的方法有不动点迭代法、Newton-Raphson迭代法等等。
这些方法在每一步迭代中通过一定的数学计算方式来更新近似解，并不断逼近真实解。
逐次逼近法的优点是易于实现和理解，适用于一些求解复杂方程或函数的数值解问题。
然而，它的收敛速度可能很慢，对于某些问题可能无法得到满意的解。
因此，在应用中需要根据具体问题选择合适的迭代方法，以提高计算效率和准确性。
OR 逐次逼近 和 FLOYD 算法
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2谢您的观看！
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二、逐次逼近算法
本算法可用于网络中带有负权的边时，求指定点 V1到网络中任 意一点的最短路。
基本思路是基于以下事实：如果V1到Vj的路径总是沿该路从V1 先到一点Vi，然后再沿边<Vi,Vj>到达Vj，则V1到Vi的这条路也是V1
到Vi的最短路。
令P1j表示从V1到Vj的最短路长，P1i表示从V1到Vi的最短路长，则必 有以下方程：
Floyd算法
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Dijkstra算法是求源点到其它顶点的最短路径。怎样求任意两个顶点之间的最短路径？我们可以把 Dijkstra算执行n次，每次从不同的顶点开始，则算法时间复杂度为O（n3）。
Floyd弗洛伊德给出了另一个算法，时间复杂度也是O（n3），但是形式上简单些。
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算法基本思想
令网络的权矩阵为 D （dij）nn ，
lij为vi到v
的距离
j
其中d ij
lij
(vi , vj ) E o.w
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算法基本步骤
(1)输入权矩阵 D(0) D
(2)计算
D(k )
(k
(dij
)
)
nn
（k=1,2,3,...,n）
-3，
P(1) 15
P(1) 16
P(1) 17
P(1) 18
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第一轮迭代：
P(2) 11
逐次插值逼近法
'(0 ) k
2
2 ( ( k ) (0 ) '(0 ) k )
k
将其作为新的
这是一个插值法与充分下降条件 组合起来的线性搜索方法.
,
这个方法开始时,令 1, 如果 x k (即后退),一直到
xk d k
d k 不可接受，则减少
可接受为止.
f ( xk ) k g k d k
T
f ( x k ) (1 ) k g k d k
T
0
b c a [b,c]称为可接受区间
Wolfe准则
用下面的条件代替
g k 1 d k g k d k , ( ,1)
T T
曲率条件
即
'( k 1 ) g ( xk k d k ) d k
停止迭代， 步3 若检验准则 ( k ) (0) (1 ) k '(0) 成立， 输出 ; 否则，令a k 1 : k , b k 1 b k .若 b k 1 m ax ,
k
转步4； 否则，令 步4
k 1 : t k , k : k 1, 转步2；
T
f ( xk k d k ) f ( xk ) (1 ) k g k d k
T
( k ) (0) k '(0)
( k ) (0) (1 ) k '(0)
Goldstein准则算法
步1 选取初始数据.给出初始搜索区间 [ a 0 , b0 ], 给出初始点
k , x k 1 : x k k d k
k
第四章逐次逼近法
(k )
( D L)1 b
令 BG ( D L)1U , fG ( D L) 1 b
则
x ( k 1) BG x ( k ) fG （k 0,1,）
3.1.2 迭代法的收敛性
考虑如下问题： ① 如何判断迭代过程是否收敛呢？ ② 迭代格式收敛的充要条件、充分条件是什么？ ③ 决定迭代收敛速度的因素是什么？ 设某种迭代格式为
x
( k 1)
BJ x
(k )
f J （k 0,1,）
由 A D L U , 得 (D - L)x Ux b 从而
x D - L Ux D - L b
1 1
则Gauss-Seidel迭代法可以写成
x
( k 1)
( D L) Ux
则
A D L U
由 A D L U , 得 Dx ( L U ) x b 从而
x D1 L U x D1b
则Jacobi迭代法可写成为：
x
( k 1)
D
1
L U x
k
D 1b
k 0, 1, 2,
令 BJ = D 1 L U , f J D 1b, 则
定理 3.2
(k ) 迭代法 x ( k 1) Bx f 对任意 x ( 0 ) 和 f
均收敛的充要条件为： ( B) 1。
定理 3.3 （充分条件） 若 || B || 1 ，则迭代法收敛， 且有 证明
|| x
(k )
x ||
*
(1) (0) || B || (k ) ( k 1) x x || x x || 1 B 1 || B ||
逐次逼近比较式DVM示例解析
举例：设被测电压Ux = 3.285V ，逐次逼近寄存器和D/A变换器都为6位，基准电压Uref = 10V 。
解：最后输出010101，显示3.281V
过程：
首先因为是6位的，所以先将10V分成64份(二进制数111111即为十进制64)，即10/64，接下来就可以开始计算了。
1)100000，即32，所以第一个比较电压是32*10/64=5V，显然Ux＜5V，所
以最高位为0（表示去码）；
2)010000（注意：之前确定的位要保留），即16，所以第二个比较电压是2.5V，
由于Ux>2.5V，所以第二位为1（表示留码）；
3)011000，即24，所以第三个比较电压是24*10/64=3.75V，同上，第三位取
0；
4)010100，即20，所以第四个比较电压是20*10/64=3.125V，同上，第四位
取1；
5)010110，即22，所以第五个比较电压是22*10/64=3.4375V，同上，第五位
取0；
6)010101，即21，所以第六个比较电压是21*10/64=3.28125，同上，第六位
取1。
综上可知，输出010101，显示3.281V。
由于D/A变换器输出的基准电压是量化的，因此经变换后显示的数值3.281V比实际电压值低0.004V，这就是A/D变换的量化误差。
减小量化误差的方法是增加比较次数，即增加逐次比较式A/D变换器的位数。
（正好复习时也有疑问，百度上却没有明确的解析，自己明白后就做了这个，希望对大家有帮助！
——1103子夜）。
第三章逐次逼近法
第三章 逐次逼近法1.11、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用
毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用摘要 本文用毕卡逐次逼近法及数学分析知识，证明“隐函数存在定理”和一阶方程初值问题解的非局部存在性定理。
一·毕卡逐次逼近法证明隐函数存在定理 定理1· 设),(y x F 满足下列条件： （I ）y ,F F x 在b y y a x x D ≤-≤-00,：上连续； （II ）0),(00=y x F （通常称为初始条件） （III ）对D y x ∈∀),(，恒有0),(y ≠y x F ； （IV ）在D 上),(),(y x y x F y x F 条件满对Lipchitz y ：即对D 上任意两点),(),(21y x y x ，，不等式212y 2x 1y 1x ),(),(),(),(y y L y x F y x F y x F y x F －－≤ (1)恒成立，L 是与),(1y x 和),(2y x 无关的正常数（常数Lipchitz ）。
则在区间0),(0＝上y x F h x x ≤-唯一确定一个隐函数)(x y ϕ=，满足)(00x y ϕ＝。
这个函数在h x x ≤-0上连续可微。
其中},min{Mba h = ……（2） ),(),(maxy x ),(y x F y x F M Dy x ∈= (3)证明：若0),(＝y x F 在h x x ≤-0上能唯一确定可导的隐函数)(x y ϕ=，则有0))(,(＝x y x F ,方程两边对x 求导，得0·'=+y F F y X 。
由0≠y F ，得 ),(),(y x 'y x F y x F y ＝－。
因此，0),(＝y x F 在h x x ≤-0上能确定唯一可导的隐函数)()(00x y x y ϕϕ＝且=，等价于初值问题),(),(0))(,(y x '00{y x F y x F y x y x F ＝－= ……（*） 在h x x ≤-0上有唯一解)()(00x y x y ϕϕ＝且=。
容易判别逐次逼近法的收敛性-icaredbd
lim xk 1 lim( Bxk g ) x Bx g.
* * k k
迭代法的收敛条件
补充定理
当k 时，Bk 0 ( B ) < 1
定理2 设线性方程组x=Bx+g有惟一解，那么逐 次逼近法对任意初始向量X０收敛的充分必要条 件是迭代矩阵B的谱半径 (B ) <1。
k 1 k 1 k
|| B ||k 1 || x * xk 1 || || x1 x0 || 1 || B ||
|| x * xk 1 || || B停机准则。 || (|| x * xk 1 || || xk 1 xk ||)
|| B || || x * xk 1 || || xk 1 xk || 1 || B ||
第八章
线性方程组 的迭代解法
思 路
将 A x b 改写为 等价形式 x B x g ， 建立迭代 xk1 B xk g 。从初值 x0 出发， 得到序列 { xk } 。
研究内容： 如何建立迭代格式？ 向量序列的收敛条件？ 收敛速度？ 误差估计？
迭代格式的构造
注：要检验一个矩阵的谱半径小于1比较困 难，所以我们希望用别的办法判断收敛性。
定理3 若逐次逼近法的迭代矩阵满 足‖B‖<1， 那么逐次逼近法收敛。 Remark:因为矩阵范数 B 1 , B , B F 都可以 直接用矩阵的元素计算，因此,用定理3.5.3， 容易判别逐次逼近法的收敛性。
迭代法的误差估计
B Jacobi 迭代阵
f
( k 1) (k ) 1 1 x D (L U )x D b BJ x ( k ) f
(4.4)
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第三章 逐次逼近法1.11、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bxb L D x U D L D xkk k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
证明：首先证Jacob 法收敛，因为A 严格对角占优，则),...,2,1(,,1n i a a nij j ij ii =>∑≠-，于是),...,2,1(,11,1n i a a nij j ij ii=<∑≠-，从而1)(1<+∞-U L D，这又有1))((1<+-U L Dρ，因此Jacob 迭代法收敛。
再证G-S 法收敛，因为1)(1<+∞-U L D，由定理1.6，)(1U L DI ++-非奇异，而0)det()det()det())(det())(det(1111≠==++=++----A DA D U L D DU L DI ，所以0)d e t (≠A ，从而严格对角占优矩阵一定可逆。
在G-S 法中，0)det(1≠=-∏=ni iiaL D ，从而0))det((1≠--L D ，求矩阵特征值时，))(det())det()))(()det(())(det(111=---=---=-----U L D L D U L D L D U L D I λλλ只能是0))(det(=--U L D λ，因为A 严格对角占优，),...,2,1(,,1n i a a nij j ij ii =>∑≠-，如果1≥λ，两边乘∑∑∑∑∑+---+---≠-+>+=>ni j ij i j ij ni j ij i j ij nij j ij ii a a a a a a 111111,1,λλλλλλ那么，这说明矩阵U L D --)(λ仍然严格对角占优，前面已证明，该行列式不能为0，这是一个矛盾。
因此，只能是1<λ，而这恰好说明Gauss-Seidel 迭代法收敛。
2、证明：如果A 的对角元非零，超松弛迭代法收敛的必要条件是20<<ω证明：令])1[()(1U D L D L ωωωω+--=-，如果超松弛迭代法收敛，应该有1)(<ωρL∏∏∏===--=-=-=+--=ni inni iinn i ii dd U D L D L 11111)1()1()())1det(())det(()det(λωωωωωω而11,1)max (1)1(,1max )(1111<-<≤=-=-<=≤≤==≤≤∏∏ωλλωλωλρωni ni ni i nni ini ni L ，所以，从而必须满足20<<ω。
3、分析方程2x -3x +4x -5x +6x -7x +8x -9x +10x =10是否有实根，确定根所在的区间，写出求根的Newton 迭代公式,并确定迭代的初始点。
解：0)ln()1()(,0)2(,0)1(,10)1()(102'102>-=><--=∑∑==i ix f f f ix f xi i xi i 显然令因此该方程在[1,2]有且仅有一个实根，Newton 迭代公式为(1-=+n n x x )10)1(102--∑=nx i ii/（)ln()1(102i inx i i∑=-），x 0=1.5 即可4、由求a 的Newton 迭代公式 ,...,2,1,0,0),(211=>+=+k x x a x x k kk k证明：对一切,...,,,121x x a x k k 并且有≥≥ 是递减序列。
证明：首先，如果{}∞=>10,0k k x x 则迭代序列中的x k >0 ，于是 ,...2,1,0,,1.2.21)(2111=≥=≥+=++k a x x a a x x a ax a x k k k k k k 所以。
又因为k=1开始，为递减序列所以，于是1221,1))(1(21)1(21++≥=+≤+=≥k k kkk k x x a a x a x x a x5、若f(x)在零点ξ的某个邻域中有二阶连续导数，并且f ’(ξ)≠0，试证：由Newton 迭代法产生的x k (k=0,1,2,…)有)(2)(lim '''2211ξξf f x x x x k k k k k -=-----∞→证明：由Taylor 公式，得证。
，，由于，整理得到）式变为）后，（）代替（用（）（）（迭代公式整理可以得到由）（）（,)(2)()(!2)())(()()(23440))(()(30))(()(2)(!2)())(()()(1)(!2)())(()()(111111'''2211221''11'1111'1212'2221''212'2122''22'2ξξξξξξ ----------------------------------=---+-+=-----=-+----=-+---+-+=--------+-+=k k k k x k k x k k k k k k x k k k k k k k k k k k k k k k x k k k k k k x k k k x x f f x x x x x x f x x x f x f x f x x x f x f x x x f x f Newton x x f x x x f x f x f x x f x x x f x f x f6、证明：A ∈C n*n,对任意范数有，)(lim A Akkk ρ=∞→证明：首先存在某种范数 )()()()(*A A A AA kkkkkρρερρ=+≤≤，而 所以))(/1)(()()(*A A A A A kkkkkρερερρ+=+≤≤，取)(A kρε= 得到 )(2)(*A AA kkk ρρ≤≤ ，对不等式同时取极限即得到 )(lim*A Akkk ρ=∞→再根据范数的等价性*2*1kkkAc AAc ≤≤ 对不等式同时取极限即得到对任意范数有结果 )(limA Akkk ρ=∞→7、确定常数p,q,r ，使如下迭代法收敛到52213,kkk k xra xqa px x a ++=+，该方法至少几阶？解：根据定理3.6，一个迭代格式，在根附近它的p-1阶导数为零，就至少有p 阶收敛速度速度。
附近，至少有三阶收敛，此时该迭代格式在根立即可以解出：右端求函数和导数值对数值和各阶导数，令为根，在此处求函，那么如果它收敛到由迭代格式91,95)(,0)(,0)(,)(,)(3"3'3333522-=======++=r q p x a a a a a x a xra xqa px x ϕϕϕϕϕ1.3 习题解答1、 判断正误、选择和填空：1）、对于迭代过程，x n+1=φ(x n )，若迭代函数在x *的邻域有连续的二阶导数，且1)(*'<x φ，则迭代过程为超线性收敛。
（不正确），x n+1=φ(x n )的迭代收敛条件有两条，1）映内性x n ∈[a,b]，φ(x n ) ∈[a,b] 2）压缩性1)(*'<≤L x φ。
更不能保证有超线性收敛，例如：，它只有线性收敛速度但是满足，迭代收敛，并有根023)(311)(,38197.0)1(31)(*21212112**21limlim>=--=--<=+==-++∞→+++∞→+xx x x x x x x x x x x x x k k k k k kk k k k k k k ϕϕ2） 用Newton 迭代法求任何非线性方程 均局部平方收敛。
（不正确）3） 若线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 为严格对角占优，则Jacobi 迭代法和G-S 迭代法都收敛。
（正确） 4） 解非线性方程f(x)=0的弦解法迭代具有（局部超线性敛速 1.618）。
（A ） 局部平方收敛；（B ）局部超线性收敛；（C ）线性收敛5） 任给初始向量x (0)及右端向量f ，迭代法x (k+1)=Bx (k)+f 收敛于方程组Ax=b 的精确解x *的充要条件是（1)(<B ρ）。