刚体的转动
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第三章 刚体的转动
M
o
r
F
M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2）力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3）力矩的计算：
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F
※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各 自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距 离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R， 所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质 量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体 的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过 程中其中任意两点的连线始终保 持原来的方向（或者说，在运动 的各个时刻始终保持彼此平行）。 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动 轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运 动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。
大学物理第四章刚体转动
进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
感谢观看
THANKS
02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法
5-刚体的定轴转动
L1 L2
刚体定轴转动的角动量 L=?
z
v
ri mi
O
刚体 定轴
L Li mirivi
m iri(ri) ( miri2)
J M=0的原因，可能
1）F＝0（不受外力） 2）外力作用于转轴上 3）外力作用线通过转轴
4）外力作用线与转轴平行
刚体定轴转动的角动量守恒
L1 L2
J11J22
位置，求它由此下摆角时的角速度。
解：如图建立坐标
x
杆受到的重力矩为：
O
M ＝ gxd g m xdm
X
dm
据质心x定 d＝ m 义 mCx MmgxC
xc
1l 2
cos
M1mgclos
2
dmg
MJJdJ d d J d M dJd
dt d dt d
0 1 2mc go lds 0 Jd
mglsin
端点 o 且与桌面垂直的固定光滑轴转动,另有 一水平运动的质量 m2为的小滑块,从侧面垂直 与杆的另一端 A 相碰撞,设碰撞时间极短,已知 小滑块在碰撞前后的速度分别为 v1 和 v2 ,方 向如图所示,求碰撞后从细杆开始转动到停止 转动过程所需时间,（已知杆绕点 o 的转动惯 量 J= ml2/ 3 )
dLR J2J0m0d2 其中 Jo 12moR2
J J1J2 1 3m LL 21 2m oR 2m o(LR )2
2.对薄平板刚体的正交轴定理
z
Jz miri2
yi
xi
ri
y
m i(x2y2) m ix 2 m iy 2
x
Δmi
Jz JxJy
z
应用
例：已知圆盘
刚体的转动
2） 任一质点运动 ,, 均相同，但 v, a 不同；
32019/12/23
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
二 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做
匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
地减速，经t=50 s后静止。
（1）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过
的转数N；
（2）求制动开始后t=25s 时飞
0
轮的角速度 ；
（3）设飞轮的半径r=1m，求在 t=25s 时边缘上一点的速
度和加速度。
Oa an r
v
at
解 （1）设初角度为0方向如图所示，
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25rad / s 78.5rad / s
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§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
的方向与0相同 ；
（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。
由 v r v v r sin r sin 900
r 78.5m / s v 的方向垂直于 和 r 构成的平面，如
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀
变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在
t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+at 得
a 0 50 rad / s2
t
50
3.14 rad / s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转 数N 分别为
子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转
过多少转？
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§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
二 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做
匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
地减速，经t=50 s后静止。
（1）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过
的转数N；
（2）求制动开始后t=25s 时飞
0
轮的角速度 ；
（3）设飞轮的半径r=1m，求在 t=25s 时边缘上一点的速
度和加速度。
Oa an r
v
at
解 （1）设初角度为0方向如图所示，
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25rad / s 78.5rad / s
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§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
的方向与0相同 ；
（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。
由 v r v v r sin r sin 900
r 78.5m / s v 的方向垂直于 和 r 构成的平面，如
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀
变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在
t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+at 得
a 0 50 rad / s2
t
50
3.14 rad / s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转 数N 分别为
子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转
过多少转？
刚体的转动
质心的平动
刚体的转动
+
绕质心的转动
2/31
一、刚体转动的角量描述
角坐标 (t ) 角位移
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
(t )
(t t ) (t )
角速度
x
参考平面
d lim t 0 t dt
方向:
角加速度
参考轴
右手螺旋方向
d dt
J m r
j
2 j j
J r dm
M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比.
刚体的转动 10/31
五、转动惯量
J m r , J r dm
2 j j 2 j
物理意义：转动惯性的量度.类似于平动的质量
转动惯性的计算方法 质量离散分布刚体的转动惯量
r O
m
刚体的转动
21/31
一根质量为m、长为l的均匀细杆，可在水平桌面上 绕通过其一端的竖直固定轴转动．已知细杆与桌面的 滑动摩擦系数为μ，求杆转动时受的摩擦力矩大小．
刚体的转动
22/31
有一质量为m半径为R的均匀圆形平板平放在水平桌面 上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其 中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将 在旋转几圈后停止？
2m
⅓l
⅓l
O
0 2
2 3
l
0
m
m
刚体的转动
24/31
力的空间累积效应
力矩的空间累积效应
力的功,动能,动能定理.
力矩的功,转动动能,动能定理.
刚体的简单运动—刚体绕定轴的转动(理论力学)
主轴转动两圈后停止 0
2 02 2
0 10π2 2 4π
负号表示 的转向与主轴转动方向相反，故为减速运动。
小结
1.刚体绕定轴转动 刚体运动时，有上或其扩展部分有两点保持不动,这种运动
为刚体的绕定轴转动。通过两点的直线称为转轴,不在转轴上 的各点都在垂直于转轴的平面内做圆周运动。
2.角速度
三、定轴转动的角速度和角加速度
1、角速度
lim
Δt 0
Δ Δt
d
dt
代数量 正负与转角相同
若已知转动方程 f (t)
f (t)
刚体转动的快慢和方向 单位为 rad/s
2、角加速度
设当t 时刻为 , t +△t 时刻为 +△
角加速度
lim
t 0
t
d
dt
d2
dt2
f (t)
表征角速度变化的快慢 单位:rad/s2 (代数量)
§6-2 刚体绕定轴的转动
一、刚体绕定轴转动
刚体运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动, 这种运动为刚体的绕定轴转动。通过两点的直线称为 转轴,不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内做 圆周运动。
二、转角和转动方程
____ 转角,单位弧度(rad)
=f(t)
转动方程
方向规定: 从Z轴正向看
逆时针为正
f (t) 刚体转动的快慢和方向 单位为 rad/s (代数量)
3.角加速度
f (t)
如果与同号,则转动是加速的;如果与异号,则转动是减
速的。
如果与同号,则转动是加速的; 如果与异号,则转动是减速的。
与同号,转动加速
与异号,转动减速
O
刚体转动的物理原理
刚体转动的物理原理
刚体转动是指刚体围绕固定轴线的旋转运动。
对于一个刚体，其旋转运动的物理原理可以通过以下几个方面来解释：
1. 转动惯量：刚体的转动惯量代表了刚体围绕轴线旋转时对转动的惰性。
刚体的转动惯量与刚体的质量分布和绕轴线的位置有关。
转动惯量越大，对于同样的转动力矩，刚体转动的角加速度越小。
2. 转动力矩：刚体转动时，如果施加一个力矩以改变刚体的角动量，刚体就会产生角加速度。
转动力矩是指力在刚体上产生的旋转效果，它的大小等于力的大小乘以力臂的长度。
力臂是力相对于轴线的垂直距离。
3. 角动量守恒：在没有外力或外力作用力矩为零的情况下，刚体的角动量守恒。
刚体的角动量是指刚体沿轴线旋转时的动量，它等于刚体转动惯量乘以角速度。
角动量守恒意味着刚体在旋转过程中，如果没有外力或外力矩的作用，角动量保持不变。
4. 角动量定理：角动量定理描述了刚体转动时角动量的变化率等于作用在刚体上的外力矩。
即角动量的变化等于力矩的时间积分。
这个定理可以用来分析刚体在外力矩作用下的角加速度和角速度变化。
总之，刚体转动的物理原理主要涉及转动惯量、转动力矩、角动量守恒和角动量
定理等概念，通过这些原理可以解释和描述刚体转动的运动规律。
刚体的转动定律
刚体的转动定律刚体的转动定律是物理学中非常重要的一个概念，它描述了刚体在转动过程中的运动规律。
在本文中，我们将深入探讨刚体的转动定律，包括其定义、公式、应用以及实例等方面。
一、刚体的定义刚体是指一个物体的形状和大小在运动过程中不会发生变化的物体。
换句话说，刚体是指一个物体的各个部分始终保持不变的物体，例如一个不可压缩的球体、一个不可伸展的绳子等等。
二、刚体的转动定律刚体的转动定律是描述刚体在转动过程中的运动规律的公式。
它包括三个定律，分别是：1. 质点定理：在刚体的转动过程中，每个质点都按照牛顿第二定律的规律运动。
2. 角动量定理：在刚体的转动过程中，刚体的角动量始终保持不变。
3. 角加速度定理：在刚体的转动过程中，刚体的角加速度与作用在刚体上的力矩成正比。
三、刚体的转动定律公式刚体的转动定律公式包括以下公式：1. 质点定理公式：F=ma，其中F表示作用在质点上的力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
2. 角动量定理公式：L=Iω，其中L表示刚体的角动量，I表示刚体的转动惯量，ω表示刚体的角速度。
3. 角加速度定理公式：τ=Iα，其中τ表示作用在刚体上的力矩，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
四、刚体的转动定律应用刚体的转动定律在物理学中有着广泛的应用，例如在机械工程、航空航天工程、电子工程等领域都有着重要的应用。
在机械工程中，刚体的转动定律可以用来设计各种机械设备，例如机床、发动机、飞机等。
在航空航天工程中，刚体的转动定律可以用来研究飞机、卫星等物体的运动规律。
在电子工程中，刚体的转动定律可以用来设计各种电子设备，例如电机、发电机等。
五、刚体的转动定律实例下面列举几个刚体的转动定律的实例，以帮助读者更好地理解其应用。
1. 滚动小球实例：一个小球在地面上滚动，它的转动惯量为I，质量为m，半径为r。
当它受到一个水平作用力F时，它的加速度为a，角速度为ω，角加速度为α。
根据刚体的转动定律，可以得到以下公式：F=maL=Iωτ=Iα2. 旋转陀螺实例：一个陀螺在空中旋转，它的转动惯量为I，质量为m，角速度为ω，角加速度为α。
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系统初态（即人处在转台中心的那一刻系统的状态）的角动量为：
L0 ? ( J 转台0 ? J 人0 )? 0 ? J ? 转台0 0 ? J? 0 (J 转台0 ? J , J 人0 ? 0)
系统末态（即人处在转台边缘的那一刻系统的状态）的角动量为：
Lt ? (J 转台t ? J 人t )? t ? ( J ? mR2 )? t
由 L0 ? Lt 有
? ? 4? 0
转动，转动惯量为J，开始时转台以匀角速度 ? 0 转动，此时有一
质量为m的人站在转台中心。随后人沿半径向外跑去，当人到达
转台边缘时，转台的角速度为（ A ）。
（A）
J
?
J mR2
?
0
（B）
(J
?
J m)R2
?
0
（C）
J mR2
?
0
（D） ? 0
解：人和转台这一系统在转动过程中角动量守恒（请自己分析）。
（B） ? A ? ? B
A
B
（C） ? A ? ? B （D） 开始时 ? A ? ? B ，以后 ? A ? ? B
M
F
解：对滑轮A，设绳中张力为T，则有： 注意：力矩从一开始就
TR ? J? A
Mg ? T ? Ma
a ? R? A
?A
?
J
MgR ? MR2
作用在滑轮上，故从 一开始二滑轮就有角 加速度，而且二者不 相等，换句话说，从
dt
?
?
J
k?
2
d?
? ? t
0
dt
?
?0/3
?
?0
J
k?
2
d?
t ? 2J
k?0
4
5-5 一个滑轮，半径为10cm，转动惯量为1.0×10-2kg·m2，有一
变力F=0.50t + 0.30t2 (N)沿切线方向作用在滑轮的边沿上，滑轮
所受的力矩为 M=0.05t + 0.03t 2 N·m，如果滑轮最初处于静止状
5设-1某一时刚刻体刚以体每上分一钟点6p0的转位绕置z轴矢做量匀为速r?转? 3动i??（4?j ???5沿k? z，轴其正单方位向为）。
“10-2m”，若以“10-2m·s-1”为速度单位，则该时刻p点的速度为 （ B ）。
（A）??
?
? 94.2i
?
125.6
? j
?
? 157.0k
（B）??
k>0。当 ? ? ?0 /3 时，飞轮的角加速度 ? =
动到 ? ??0 /3 时，所经过的时间t= 2J /(k?0)
? k?02
.
/9J
；从开始制
解： 依题意，有 M? ?k? 2 ? J?
? ? ?k? 2 J
?? ?? 0 /3
?
? k?
2 0
/ 9J
由 ? ? d? ? ?k? 2 dt J
由 L0 ? Lt
J? 0 ? (J ? mR2 )? t
(J 转台t ? J 转台0 ? J , J 人t ? mR2 )
?t
?
J
J ? mR2
?0
2
5-3如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮。A滑轮挂
一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且F=Mg 。设A、B两滑
轮的角加速度分别为? A 和? B ，不计滑轮轴的摩擦，则有（ C ）。 （A） ? A ? ? B
解： 依题意，氧分子的转动动能为
Ek转动
?
1 J? 2
2
?
2 3 Ek平动
?
2 3
1 2
m氧分子?
2 平动
?
1 3
m氧分子?
2 平动
??
2m氧分子?
2 平动
3J
转轴
氧原子
氧原子
R
7
5-8 一人手执两个哑铃，两臂平伸坐在以? 0角速度旋转的转轴
处，摩擦可不计，现突然将两臂收回，转动惯量为原来的 1/4， 则收臂后的转动动能是收臂前的 4 倍。
? ? 49 .5
5
5-6一个圆柱体，质量为M，半径为R，可绕固定的通过其中心轴
线的光滑轴转动，原来处于静止。现在有一质量为 m、速度为v
的瞬圆子间柱弹，体，圆绕沿柱固圆体定周与轴切子的线弹转方一动向起惯射转量入动J 圆的? 1柱角M体速R2边度）缘为。? 子? (弹2m2嵌?m入M? )圆R 柱。体（后已的知
对滑轮B，绳中张力T等于拉力F，则有： 一开始就没有 ? A ? ? B
FR ? MgR ? J? B
?B
?
MgR J
开始时，两滑轮的角速度
显然， ? A ? ? B
可以相等。
3
5-4 一飞轮的转动惯量为J ，在t=0 时角速度为? 0 ，此后飞轮经历
制动过程，阻力矩M的大小与角速度 ? 的平方成正比，比例系数
解：
2
将子弹和圆柱体视为一个系统。子弹嵌入圆柱体为一微小过程，
此过程的初态为子弹和圆柱体刚接触的瞬间，末态为子弹
完全进入圆柱体且二者无相对运动的瞬间。
上述微小过程中，系统的角动量守恒（请自己分析）
系统初态角动量 L0 ? L子弹0 ? L圆柱体0 ? m?R
系统末态角动量
Lt ? L子弹t ? L圆柱体t ? (mR2 ? J )?
解：人和两个哑铃为一系统，此系统在转动过程中角动量守恒
此过程的初态为：人手执两个哑铃，两臂平伸（此刻，哑
铃离人的中轴最远）此刻，系统的角速度为? 0 ，设初态系
统的转动惯量为J 0，则系统的角动量为 L0 ? J 0? 0
此过程的末态为：两臂收回（此刻，哑铃离人的中轴最近）
设 为J此=1刻/4系J 统0，的则角系速统度的为角?动量, 为依题Lt 意? 14，J 0此? 刻，系统的转动惯量
态，则在3.0 s后的角速度为 49.5
rad/s.
r?
解：
? M?
r??
? F
M ? rF ? 0.05t ? 0.03t 2
?
M? J?
?
?
M J
?
0.05t ? 0.03t2 1.0? 10?2
?
d?
dt
F
d? ? (5t ? 3t 2 )dt
?
3
?d? ? ?(5t ? 3t 2 )dt
0
0
?
? ? 25.1i
பைடு நூலகம்
?
18.8
? j
（C）??
?
? ? 25.1i
?
? 18.8 j
（D）
??
?
? 31.4k
解：
依题意，
??
?
?
2?k
（Rad/s ）
则p点的速度为：??
?
?? ?
r?
?
?
2? k ?
? (3i ?
? 4j?
? 5k )
??
? 6? j ? 8? i
1
5-2有一半径为R的水平转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴
又
L0 ? Lt
J ? 1 MR2 2
? ? 2m?
(2m ? M)R
6
5-7 氧分子对垂直于两氧原子连线的对称轴的转动惯量为 1.94×10-
46 kg·m2， 氧分子质量为5.30×10-26 kg. 若氧气中有一个氧分子具
有500 m/s的平动速率，且这个分子的转动动能是其平动动能的 2/3. 则这个分子转动角速度大小为 6.75×1012 （rad/s ）.