高中数学选修2-3(人教A版)配套课件：第二章 随机变量及其分布 章末专题整合
第二章
随机变量及其分布
章末专题整合
知识体系构建
专题归纳整合
专题一 条件概率
求条件概率一般有两种方法:一是直接根据定义计 P AB 算 ,P(B|A)＝ ;二是利用基本事件个数来计算 , P A n AB P(B|A)＝ . n A 例1 (2013· 辽宁省大连市高三双基测试 ) 把一枚骰子连 续掷两次 ,已知在第一次抛出的是偶数点的情况下 ,第二 次抛出的也是偶数点的概率为( )
类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答．
(2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题 ,1 道乙类题． 设张同 3 学答对每道甲类题的概率都是 ,答对每道乙类题的概率都 5 4 是 ,且各题答对与否相互独立．用 X 表示张同学答对题的 5 个数 ,求 X 为 1 和 3 的概率．
【解】 (1)设事件 A＝“张同学所取的 3 道题至少有 1 道 － 乙类题”,则有 A ＝“张同学所取的 3 道题都是甲类题”． 3 C 1 － － 5 6 因为 P( A )＝ 3 ＝ ,所以 P(A)＝1－P( A )＝ . C10 6 6 28 1 3 1 2 1 1 03 0 2 2 4 (2)P(X＝ 1)＝ C2·5 ·5 ·＋C2 5 ·5 ·＝ 5 5 125; 36 2 3 2 2 0 4 P(X＝3)＝C2·5 ·5 ·＝ 5 125.
i ＝1 n
注意 :在求期望或方差时 ,如果随机变量满足两点分布或二 项分布 ,则可直接利用以下公式求
解:(1)若随机变量X服从两点分布,则其均值和方差分别是
E(X)＝p,D(X)＝p(1－p);
(2)若随机变量X服从二项分布,即
X～B(n,p),则有E(X)＝np, D(X)＝np(1国卷Ⅰ )一批产品需要进行质量 检验 ,检验方案是 :先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件 产品中优质品的件数记为 n.如果 n＝ 3,再从这批产品中任 取 4 件检验 ,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n＝ 4,再从这批产品中任取 1 件作检验 ,若为优质品 ,则这批产 品通过检验 ;其他情况下 ,这批产品都不能通过检验．假设 这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品 1 的概率都为 ,且各件产品是否为优质品相互独立． 2 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100 元 ,且抽取的每件产品 都需要检验 ,对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单 位 :元 ),求 X 的分布列及数学期望．
专题三
二项分布
在 n 次独立重复试验中,事件 A 发生的次数为 X,在每次 试验中事件 A 发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验
k n 中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝ Ck p (1 － p ) n
－k
,k＝0,1,2,…,n.
例3 (2013· 高考辽宁卷改编)现有 10 道题,其中 6 道甲
专题四
离散型随机变量的期望与方差
求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤 :(1)明确随机 变量 X 取哪些值 ;(2)计算随机变量 X 取每一个值时的概 率 ;(3)将结果用表格形式列出．计算概率时要注意结合排 列组合知识． 离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意 义 ,也是高考的热点内容．均值和方差的求解方法是 :在分 布列的基础上利用 E(X)＝ x1p1＋ x2p2＋„＋ xipi＋„＋ xnpn. 求出均值 ,然后利用 D(X)＝ (xi－ E(X))2pi 求出方差．
【解】 (1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为 事件 A1,第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2,第二 次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1,第二次取出的 1 件 产品是优质品为事件 B2,这批产品通过检验为事件 A,依题 意有 A＝ (A1B1)∪ (A2B2),且 A1B1 与 A2B2 互斥 ,所以 P(A)＝ 4 1 P(A1B1)＋ P(A2B2)＝ P(A1)P(B1|A1)＋ P(A2)P(B2|A2)＝ × 16 16 1 1 3 ＋ × ＝ . 16 2 64 4 (2)X 可能的取值为 400,500,800,并且 P(X＝ 400)＝ 1－ － 16 1 11 1 1 ＝ ,P(X＝ 500)＝ ,P(X＝ 800)＝ , 16 16 16 4
A.1 1 C. 3
【解析】
1 B. 2 1 D. 4
“第一次抛出偶数点”记为事件 A,“第二次 3×6 1 抛 出偶数点 ”记为事件 B, 则 P(A) ＝ ＝ ,P(AB) ＝ 6×6 2 1 3×3 1 P AB 4 1 ＝ .所以 P(B|A)＝ ＝ ＝ . 4 6×6 P A 1 2 2
个问题的概率分别为 0.8 、 0.7 、 0.6. 且各题答对与否相 互之间没有影响． (1)求这名同学得300分的概率; (2)求这名同学至少得300分的概率．
【解】
记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝
1,2,3),则P(A1)＝0.8,P(A2)＝0.7,P(A3)＝0.6.
(1)这名同学得 300 分的概率为 : P1＝ P(A1 A 2A3)＋ P( A 1A2A3) ＝ P(A1)P( A 2)P(A3)＋ P( A 1)P(A2)P(A3) ＝ 0.8× 0.3×0.6＋ 0.2× 0.7× 0.6＝0.228. (2)这名同学至少得 300 分的概率为: P2＝ P1＋P(A1A2A3)＝P1＋ P(A1)P(A2)P(A3) ＝ 0.228＋ 0.8×0.7×0.6＝ 0.564.
【答案】
B
专题二
相互独立事件的概率
求解相互独立事件同时发生的概率时 ,要注意以下几个问 题: (1)若事件 A 与 B 相互独立 ,则事件 A 与 B,A 与 B , A 与 B 分别相互独立 ,且有 P( A B)＝ P( A )P(B),P(A B )＝ P(A)P( B ), P( A B ) ＝ P( A ) P( B ) ．
(2)若事件 A1,A2,„ ,An 相互独立 ,则有 P(A1A2A3„ An)＝P(A1)P(A2)„P(An)．
例2 某同学参加科普知识竞赛 , 需回答 3 个问题 , 竞赛 规则规定 : 答对第 1 、 2 、 3 个问题分别得 100 分、 100
分、 200分,答错得零分．假设这名同学答对第 1、2、3
随机变量及其分布
章末专题整合
知识体系构建
专题归纳整合
专题一 条件概率
求条件概率一般有两种方法:一是直接根据定义计 P AB 算 ,P(B|A)＝ ;二是利用基本事件个数来计算 , P A n AB P(B|A)＝ . n A 例1 (2013· 辽宁省大连市高三双基测试 ) 把一枚骰子连 续掷两次 ,已知在第一次抛出的是偶数点的情况下 ,第二 次抛出的也是偶数点的概率为( )
类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答．
(2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题 ,1 道乙类题． 设张同 3 学答对每道甲类题的概率都是 ,答对每道乙类题的概率都 5 4 是 ,且各题答对与否相互独立．用 X 表示张同学答对题的 5 个数 ,求 X 为 1 和 3 的概率．
【解】 (1)设事件 A＝“张同学所取的 3 道题至少有 1 道 － 乙类题”,则有 A ＝“张同学所取的 3 道题都是甲类题”． 3 C 1 － － 5 6 因为 P( A )＝ 3 ＝ ,所以 P(A)＝1－P( A )＝ . C10 6 6 28 1 3 1 2 1 1 03 0 2 2 4 (2)P(X＝ 1)＝ C2·5 ·5 ·＋C2 5 ·5 ·＝ 5 5 125; 36 2 3 2 2 0 4 P(X＝3)＝C2·5 ·5 ·＝ 5 125.
i ＝1 n
注意 :在求期望或方差时 ,如果随机变量满足两点分布或二 项分布 ,则可直接利用以下公式求
解:(1)若随机变量X服从两点分布,则其均值和方差分别是
E(X)＝p,D(X)＝p(1－p);
(2)若随机变量X服从二项分布,即
X～B(n,p),则有E(X)＝np, D(X)＝np(1国卷Ⅰ )一批产品需要进行质量 检验 ,检验方案是 :先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件 产品中优质品的件数记为 n.如果 n＝ 3,再从这批产品中任 取 4 件检验 ,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n＝ 4,再从这批产品中任取 1 件作检验 ,若为优质品 ,则这批产 品通过检验 ;其他情况下 ,这批产品都不能通过检验．假设 这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品 1 的概率都为 ,且各件产品是否为优质品相互独立． 2 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100 元 ,且抽取的每件产品 都需要检验 ,对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单 位 :元 ),求 X 的分布列及数学期望．
专题三
二项分布
在 n 次独立重复试验中,事件 A 发生的次数为 X,在每次 试验中事件 A 发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验
k n 中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝ Ck p (1 － p ) n
－k
,k＝0,1,2,…,n.
例3 (2013· 高考辽宁卷改编)现有 10 道题,其中 6 道甲
专题四
离散型随机变量的期望与方差
求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤 :(1)明确随机 变量 X 取哪些值 ;(2)计算随机变量 X 取每一个值时的概 率 ;(3)将结果用表格形式列出．计算概率时要注意结合排 列组合知识． 离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意 义 ,也是高考的热点内容．均值和方差的求解方法是 :在分 布列的基础上利用 E(X)＝ x1p1＋ x2p2＋„＋ xipi＋„＋ xnpn. 求出均值 ,然后利用 D(X)＝ (xi－ E(X))2pi 求出方差．
【解】 (1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为 事件 A1,第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2,第二 次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1,第二次取出的 1 件 产品是优质品为事件 B2,这批产品通过检验为事件 A,依题 意有 A＝ (A1B1)∪ (A2B2),且 A1B1 与 A2B2 互斥 ,所以 P(A)＝ 4 1 P(A1B1)＋ P(A2B2)＝ P(A1)P(B1|A1)＋ P(A2)P(B2|A2)＝ × 16 16 1 1 3 ＋ × ＝ . 16 2 64 4 (2)X 可能的取值为 400,500,800,并且 P(X＝ 400)＝ 1－ － 16 1 11 1 1 ＝ ,P(X＝ 500)＝ ,P(X＝ 800)＝ , 16 16 16 4
A.1 1 C. 3
【解析】
1 B. 2 1 D. 4
“第一次抛出偶数点”记为事件 A,“第二次 3×6 1 抛 出偶数点 ”记为事件 B, 则 P(A) ＝ ＝ ,P(AB) ＝ 6×6 2 1 3×3 1 P AB 4 1 ＝ .所以 P(B|A)＝ ＝ ＝ . 4 6×6 P A 1 2 2
个问题的概率分别为 0.8 、 0.7 、 0.6. 且各题答对与否相 互之间没有影响． (1)求这名同学得300分的概率; (2)求这名同学至少得300分的概率．
【解】
记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝
1,2,3),则P(A1)＝0.8,P(A2)＝0.7,P(A3)＝0.6.
(1)这名同学得 300 分的概率为 : P1＝ P(A1 A 2A3)＋ P( A 1A2A3) ＝ P(A1)P( A 2)P(A3)＋ P( A 1)P(A2)P(A3) ＝ 0.8× 0.3×0.6＋ 0.2× 0.7× 0.6＝0.228. (2)这名同学至少得 300 分的概率为: P2＝ P1＋P(A1A2A3)＝P1＋ P(A1)P(A2)P(A3) ＝ 0.228＋ 0.8×0.7×0.6＝ 0.564.
【答案】
B
专题二
相互独立事件的概率
求解相互独立事件同时发生的概率时 ,要注意以下几个问 题: (1)若事件 A 与 B 相互独立 ,则事件 A 与 B,A 与 B , A 与 B 分别相互独立 ,且有 P( A B)＝ P( A )P(B),P(A B )＝ P(A)P( B ), P( A B ) ＝ P( A ) P( B ) ．
(2)若事件 A1,A2,„ ,An 相互独立 ,则有 P(A1A2A3„ An)＝P(A1)P(A2)„P(An)．
例2 某同学参加科普知识竞赛 , 需回答 3 个问题 , 竞赛 规则规定 : 答对第 1 、 2 、 3 个问题分别得 100 分、 100
分、 200分,答错得零分．假设这名同学答对第 1、2、3
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高中数学第二章随机变量及其分布全章素养整合课件新人教A版选修23
解析：(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击 5 次只击 中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为 P＝C15×23×134＋135， 所以所求的概率为 1－P＝1－C15×23×134＋135＝223423.
(2)当 ξ＝4 时，记事件为 A， P(A)＝C13×23×132×23＝247， 当 ξ＝5 时，意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件 B. 则 P(B)＝C14×23×133＋134＝19， 所以所求概率为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝247＋19＝277.
解析：(1)记事件 A1 为“从甲箱中摸出的 1 个球是红球”， A2 为“从乙箱中摸出的 1 个球是红球”， B 为“顾客抽奖 1 次能获奖”， 则 B 表示“顾客抽奖 1 次没有获奖”． 由题意 A1 与 A2 相互独立，则 A 1 与 A 2 相互独立，且 B ＝ A 1·A 2， 因为 P(A1)＝140＝25，P(A2)＝150＝12， 所以 P( B )＝P( A 1·A 2)＝1－25·1－12＝130， 故所求事件的概率 P(B)＝1－P( B )＝1－130＝170.
[例 2] 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6. 本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影 响，求前三局比赛甲队领先的概率． [解析] 单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6，乙队胜甲队的概率为 1－0.6＝0.4， 记“甲队胜三局”为事件 A，“甲队胜二局”为事件 B，则： P(A)＝0.63＝0.216； P(B)＝C23×0.62×0.4＝0.432， ∴前三局比赛甲队领先的概率为 P(A)＋P(B)＝0.648.
X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且 X1 的均值 E(X1)＝6，求 a，b 的值；
人教A版高中数学选修2-3课件：第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用2.2.1条件概率课件 -数学备课
������(������������) ������(������������)
1
2
2.P(B|A)与P(B)样本空间的区别 剖析如果随机试验的样本空间为Ω,那么讨论P(B|A)的样本空间 是A,而P(B)的样本空间为Ω(即找准样本空间是解决问题的关键).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 列出基本事件空间,利用古典概型求条件概率
【例1】 一个盒子内装有4件产品,其中3件一等品,1件二等品,从 中取两次,每次任取1件,且不放回抽取.设事件A为“第一次取到的是 一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A). 分析列出基本事件空间,利用古典概型求解. 解:将产品编号为1号,2号,3号的看作一等品,编号为4号的产品看 作二等品,以(i,j)表示第一次、第二次分别取到第i号、第j号产品, 则试验的基本事件空间为 Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3 )}. 因为事件A有9个基本事件,事件AB有6个基本事件,所以
������(������������)
������(������������) ������(������) ������(������) ������(������)
= ������(������) .
������(������������)
������(������������)
4.在公式 P(B|A)= ������(������) 中,我们要注意变式应用,如
2.2.1 条件概率
1.能通过具体实例理解条件概率的定义及计算公式. 2.会利用条件概率,解决一些简单的实际问题.
1
2
2.P(B|A)与P(B)样本空间的区别 剖析如果随机试验的样本空间为Ω,那么讨论P(B|A)的样本空间 是A,而P(B)的样本空间为Ω(即找准样本空间是解决问题的关键).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 列出基本事件空间,利用古典概型求条件概率
【例1】 一个盒子内装有4件产品,其中3件一等品,1件二等品,从 中取两次,每次任取1件,且不放回抽取.设事件A为“第一次取到的是 一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A). 分析列出基本事件空间,利用古典概型求解. 解:将产品编号为1号,2号,3号的看作一等品,编号为4号的产品看 作二等品,以(i,j)表示第一次、第二次分别取到第i号、第j号产品, 则试验的基本事件空间为 Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3 )}. 因为事件A有9个基本事件,事件AB有6个基本事件,所以
������(������������)
������(������������) ������(������) ������(������) ������(������)
= ������(������) .
������(������������)
������(������������)
4.在公式 P(B|A)= ������(������) 中,我们要注意变式应用,如
2.2.1 条件概率
1.能通过具体实例理解条件概率的定义及计算公式. 2.会利用条件概率,解决一些简单的实际问题.
高中数学选修2-3优质课件：第二章 随机变量及其分布列章末复习课
3.二项分布满足的条件 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生. (4)随机变量是n次独立重复试验中某事件发生的次数. 4.均值与方差的性质 (1)若η＝aξ＋b(a，b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，且E(η)＝ E(aξ＋b)＝ aE(ξ)＋b . (2)D(aξ＋b)＝ a2D(ξ) . (3)D(ξ)＝ E(ξ2)－[E(ξ)]2 .
5.正态总体在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ . 0.682 6 (2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.954 4. (3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.997 4 .
题型探究
类型一 条件概率的求法
例1 口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机不放回地连续抽取两次， 每次抽取1个，则： (1)第一次取出的是红球的概率是多少？
解 由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为 6，设某次发生的概
率为 p，由(1)知，p＝14. 因为随机变量 ξ～B10，14， 所以 E(ξ)＝np＝10×14＝52， D(ξ)＝np(1－p)＝10×14×34＝185.
解答
求离散型随机变量的均值与方差的步骤
反思与感悟
跟踪训练3 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜 利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是1 外，其余每局比赛甲队
解答
当堂训练
1.抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现 的点数是奇数的概率为
1 A.3
1 B.4
1 C.6
√D.12
解析 设抛掷一枚骰子出现的点数不超过4为事件A，抛掷一枚骰子出现 的点数是奇数为事件B， 则 P(B|A)＝nnAAB＝24＝12.故选 D.
人教A版高中数学选修2-3课件正态分布
P(70－10<X≤70＋10)＝0.6826， 所以不及格的学生的比为 1 (1－0.6826)＝0.1587，
2
即成绩不及格的学生占15.87%.
例3、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正
态分布 N (70,102 ) ，如果规定低于60分为不及格，
求：
（1）成绩不及格的人数占多少？
（2）成绩在80~90内的学生占多少？ (2)成绩在80～90内的学生的比为 1 [P(70－2×10<X≤70＋2×10)－0.6826]
3.操作应用，巩固新知
例1、(1)在某次数学考试中，考生的X~N(90,100). 考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是 0.9544
(2)设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X 0)=,
=. 0.5 P(2 X 2) 0.9544
(3)已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）， P(X<4)=0.84则P(X<0)等于( A )
人教A版数学选修2-3
2.4 正态分布（2）
频率 组距
8
6
4
2
1.正态分布密度曲线简 称正态曲线
o
, ( x)
1
-( x- )2
e 2 2 , x (, )
2
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总
体的平均数与标准差。
2.正态分布:
0
ab
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
B:在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似 服从正态分布 ，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有 12名。试问此次参赛的学生总数约有多少人？
请各位老师多多批评与 指导！谢谢！
2
即成绩不及格的学生占15.87%.
例3、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正
态分布 N (70,102 ) ，如果规定低于60分为不及格，
求：
（1）成绩不及格的人数占多少？
（2）成绩在80~90内的学生占多少？ (2)成绩在80～90内的学生的比为 1 [P(70－2×10<X≤70＋2×10)－0.6826]
3.操作应用，巩固新知
例1、(1)在某次数学考试中，考生的X~N(90,100). 考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是 0.9544
(2)设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X 0)=,
=. 0.5 P(2 X 2) 0.9544
(3)已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）， P(X<4)=0.84则P(X<0)等于( A )
人教A版数学选修2-3
2.4 正态分布（2）
频率 组距
8
6
4
2
1.正态分布密度曲线简 称正态曲线
o
, ( x)
1
-( x- )2
e 2 2 , x (, )
2
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总
体的平均数与标准差。
2.正态分布:
0
ab
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
B:在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似 服从正态分布 ，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有 12名。试问此次参赛的学生总数约有多少人？
请各位老师多多批评与 指导！谢谢！
2019秋新版高中数学人教A版选修2-3课件：第二章随机变量及其分布2.2.1
������(������������)
������(������������) ������(������) ������(������) ������(������)
= ������(������) .
������(������������)
������(������������)
4.在公式 P(B|A)= ������(������) 中,我们要注意变式应用,如
Hale Waihona Puke ∴P(B)=10 = 2,P(A)=10,P(AB)=10 = 5.
5
1
3
2
1
1 ������(������������) 2 ∴P(B|A)= ������(������) = 5 = . 3 3 10 ������(������������) 反思利用 P(B|A)= ������(������) 求条件概率的一般步骤:
12 180 C6 20 C6 10 C6 20
+
1 C5 10 C10
C6 20
+
2 C4 10 C10
C6 20
=
,
C6 10 C6 20
P(ED)=P(E)=P(A)+P(B)=
2 730 12 180
+
1 C5 10 C10
= 58,
13
C6 20
=
2 730
������(������������) ,P(E|D)= ������(������) C6 20 13
2.2
二项分布及其应用
2.2.1
条件概率
-3-
-4-
知识拓展 1.事件 B 在“事件 A 已发生”这个前提条件下的概率与 没有这个条件的概率一般是不同的. 2.此处的条件概率是指试验结果的一部分信息已知,求另一事 件在此基础上发生的概率.若事件 A 为必然事件,则 P(B|A)=P(B). 3.要求 P(B|A)相当于把 A 看作新的基本事件空间来计算,即 P(B|A)= ������(������) =
������(������������) ������(������) ������(������) ������(������)
= ������(������) .
������(������������)
������(������������)
4.在公式 P(B|A)= ������(������) 中,我们要注意变式应用,如
Hale Waihona Puke ∴P(B)=10 = 2,P(A)=10,P(AB)=10 = 5.
5
1
3
2
1
1 ������(������������) 2 ∴P(B|A)= ������(������) = 5 = . 3 3 10 ������(������������) 反思利用 P(B|A)= ������(������) 求条件概率的一般步骤:
12 180 C6 20 C6 10 C6 20
+
1 C5 10 C10
C6 20
+
2 C4 10 C10
C6 20
=
,
C6 10 C6 20
P(ED)=P(E)=P(A)+P(B)=
2 730 12 180
+
1 C5 10 C10
= 58,
13
C6 20
=
2 730
������(������������) ,P(E|D)= ������(������) C6 20 13
2.2
二项分布及其应用
2.2.1
条件概率
-3-
-4-
知识拓展 1.事件 B 在“事件 A 已发生”这个前提条件下的概率与 没有这个条件的概率一般是不同的. 2.此处的条件概率是指试验结果的一部分信息已知,求另一事 件在此基础上发生的概率.若事件 A 为必然事件,则 P(B|A)=P(B). 3.要求 P(B|A)相当于把 A 看作新的基本事件空间来计算,即 P(B|A)= ������(������) =
人教A版数学选修2-3全册课件：第二章 2.1 离散型随机变量及其分布列
[解] (1)随机变量 X 可能的取值为：0,1,2,3,4. {X＝0}，表示抽出 0 件次品； {X＝1}，表示抽出 1 件次品； {X＝2}，表示抽出 2 件次品； {X＝3}，表示抽出 3 件次品； {X＝4}，表示抽出的全是次品．
(2)随机变量 ξ 可能的取值为：0,1,2,3. {ξ＝0}，表示取出 0 个白球，3 个黑球； {ξ＝1}，表示取出 1 个白球，2 个黑球； {ξ＝2}，表示取出 2 个白球，1 个黑球； {ξ＝3}，表示取出 3 个白球，0 个黑球．
[类题通法] 这类问题主要考查随机变量的概念，解答过程中要 明确随机变量满足的三个特征：(1)可用数来表示；(2) 试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前 不能确定取值．
[活学活用] 判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随 机变量？ (1)天成书业公司信息台一天接到的咨询电话个数； (2)从 10 张已编好号码的卡片(从 1 号到 10 号)中任取一张， 被抽出卡片的号数； (3)某林场的树木最高达 30 m，在此林场中任取一棵树木的 高度； (4)体积为 27 cm3 的正方体的棱长．
[提出问题] 问题 1：在妇产科医院统计一天的新生婴儿的出生情 况，在性别这一方面共有几种情况？ 提示：两种．
问题 2：在含有 5 名男生的 100 名学生中，任选 3 人， 则恰有 2 名男生的概率表达式为？
提示：CC25C1300195.
[导入新知]
1．两点分布
称分布列
X
0
1
P __1_－__p__ _p__
问题 2：在一块地里种 10 棵树苗，设成活 的树苗棵树为 X，则 X 可取哪些数字？
提示：X＝0,1,2,3，…，10.
高中数学人教A版选修2-3第二章：2.1离散型随机变量及其分布列课件
它被称为一个随机实验。简称实验。
复习回顾：
按事件结果产生与否可分哪几类 ？ 怎么算概率？
必然事件：在一定条件下必然要产生的事件
P=1
不可能事件：在一定条件下不可能产生的事件
P=0
随机事件：在一定条件下可能产生也可能不发
生的事件
0≤P≤1
复习回顾： 1、古典概型: 2、几何概型:
P( A) m n
n
（2） pi p1 p2 pn 1 i 1
2、求散布列的步骤:
定值 求概率 列表
2.1.1离散型随机变量
复习回顾：
1、什么是随机事件？什么是基本事件？
在一定条件下可能产生也可能不产生的事件，叫做 随机事件。实验的每一个可能的结果称为基本事件。
2、什么是随机实验？
凡是对现象或为此而进行的实验，都称之为实验。
如果实验具有下述特点： （1）实验可以在相同条件下重复进行； （2）每次实验的所有可能结果都是明确可知的，并且 不止一个； （3）每次实验总是恰好出现这些结果中的一个，但在 一次实验之前却不能肯定这次实验会出现哪一个结果。
{X k}发生的概率为
P( X
k)
C C k nk M NM
C
n N
(k
0,1, 2,
, m) 其中
m min{M, n},且n ≤ N , M ≤ N ,n, M, N N * .
称随机变量 X 的分布列为超几何分布列,且称 随机变量 X 服从超几何分布 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样
随机变量是实验结果与实数的一种对应关 系，而函数是实数与实数的一种对应关系，它们 都是一种映射， 在这两种映射之间，
实验结果的范围相当于函数的定义域，
随机变量的取值结果相当于函数的值域。
复习回顾：
按事件结果产生与否可分哪几类 ？ 怎么算概率？
必然事件：在一定条件下必然要产生的事件
P=1
不可能事件：在一定条件下不可能产生的事件
P=0
随机事件：在一定条件下可能产生也可能不发
生的事件
0≤P≤1
复习回顾： 1、古典概型: 2、几何概型:
P( A) m n
n
（2） pi p1 p2 pn 1 i 1
2、求散布列的步骤:
定值 求概率 列表
2.1.1离散型随机变量
复习回顾：
1、什么是随机事件？什么是基本事件？
在一定条件下可能产生也可能不产生的事件，叫做 随机事件。实验的每一个可能的结果称为基本事件。
2、什么是随机实验？
凡是对现象或为此而进行的实验，都称之为实验。
如果实验具有下述特点： （1）实验可以在相同条件下重复进行； （2）每次实验的所有可能结果都是明确可知的，并且 不止一个； （3）每次实验总是恰好出现这些结果中的一个，但在 一次实验之前却不能肯定这次实验会出现哪一个结果。
{X k}发生的概率为
P( X
k)
C C k nk M NM
C
n N
(k
0,1, 2,
, m) 其中
m min{M, n},且n ≤ N , M ≤ N ,n, M, N N * .
称随机变量 X 的分布列为超几何分布列,且称 随机变量 X 服从超几何分布 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样
随机变量是实验结果与实数的一种对应关 系，而函数是实数与实数的一种对应关系，它们 都是一种映射， 在这两种映射之间，
实验结果的范围相当于函数的定义域，
随机变量的取值结果相当于函数的值域。
2018学年高中数学人教A版课件选修2-3 第二章 随机变量及其分布 2.1-2.1.2 精品
1 7 P2<X<2
＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝110＋120＋130＝35.
利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题： 1X 的各个取值表示
的事件是互斥的 2不仅要注意
，而且要注意 pi≥0，i＝1，2，…，n.
[ 再练一题]
1．若离散型随机变量 X 的分布列为：
X
0
P
4a－1
探究 2 只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
【提示】 不一定．如随机变量 X 的分布列由下表给出 X2 5 P 0.3 0.7
X 不服从两点分布，因为 X 的取值不是 0 或 1.
探究 3 在 8 个大小相同的球中，有 2 个黑球，6 个白球，现从中取 3 个， 求取出的球中白球个数 X 是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的 概率问题？
【精彩点拨】 先由分布列的性质求 a，再根据 X＝1 或 X＝2，12<X<72的含 义，利用分布列求概率．
【自主解答】 (1)∵i＝41pi＝1a＋2a＋3a＋4a＝1，
∴a＝10， 则 P(X＝1 或 X＝2) ＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝110＋120＝130.
(2)由 a＝10，
可得
【解析】 设二级品有 k 个，∴一级品有 2k 个，三级品有2k个，总数为72k个． ∴分布列为
ξ1 2
3
P
4 7
2 7
1 7
P13≤ξ≤53＝P(ξ＝1)＝47.
【答案】
4 7
2．某 10 人组成兴趣小组，其中有 5 名团员，从这 10 人中任选 4 人参加某
种活动，用 X 表示 4 人中的团员人数，则 P(X＝3)＝________. 【解析】 P(X＝3)＝CC35C14015＝251.
2019_2020学年高中数学第二章随机变量及其分布章末归纳整合课件新人教A版选修2_3
章末归纳整合
互斥事件、相互独立事件的概率及条件概率
1．互斥事件与相互独立事件的概率一般综合在一起进行考 查，这类问题具有一个显明的特征，那就是在题目的条件中已经 出现一些概率值，解题中先要注意判断事件的性质是互斥，还是 相互独立，然后选择相应的公式解题．
(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、 是否对立)，正确区分“互斥事件”与“对立事件”．当且仅当 事件 A 和事件 B 相互独立时，才有 P(AB)＝P(A)·P(B)．
3．均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建 立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于 它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活 中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一 个热点问题．
【例2】 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件 三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(2)A，B 中至少有一个发生：A∪B. ①若 A，B 互斥：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，否则不成立． ②若 A，B 相互独立，则概率的求法： 方法一：P(A∪B)＝P(AB)＋P(A－B )＋P(－A B)； 方法二：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1－P(－A )P(－B )．
因此，此次竞赛成绩为优的学生约为 83 人． 方法点评： 此题中利用 P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)，巧妙地 将 P(X≥90)转化成含 P(μ－2σ<X<μ＋2σ)的表达式．
3．已知某地成年男子的身高 X～N(175,25)(单位：cm)． (1)试求该地男子身高位于区间(170,180)上的概率是多少？ (2)若该地区某高校共有男生 6 000 人，则身高超过 185 cm 的男生大约有多少人？ 附：若 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ －2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.
互斥事件、相互独立事件的概率及条件概率
1．互斥事件与相互独立事件的概率一般综合在一起进行考 查，这类问题具有一个显明的特征，那就是在题目的条件中已经 出现一些概率值，解题中先要注意判断事件的性质是互斥，还是 相互独立，然后选择相应的公式解题．
(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、 是否对立)，正确区分“互斥事件”与“对立事件”．当且仅当 事件 A 和事件 B 相互独立时，才有 P(AB)＝P(A)·P(B)．
3．均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建 立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于 它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活 中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一 个热点问题．
【例2】 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件 三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(2)A，B 中至少有一个发生：A∪B. ①若 A，B 互斥：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，否则不成立． ②若 A，B 相互独立，则概率的求法： 方法一：P(A∪B)＝P(AB)＋P(A－B )＋P(－A B)； 方法二：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1－P(－A )P(－B )．
因此，此次竞赛成绩为优的学生约为 83 人． 方法点评： 此题中利用 P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)，巧妙地 将 P(X≥90)转化成含 P(μ－2σ<X<μ＋2σ)的表达式．
3．已知某地成年男子的身高 X～N(175,25)(单位：cm)． (1)试求该地男子身高位于区间(170,180)上的概率是多少？ (2)若该地区某高校共有男生 6 000 人，则身高超过 185 cm 的男生大约有多少人？ 附：若 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ －2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.
【人教A版】高中数学选修2-3课件：第2章《随机变量及其分布》高效整合课件
A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)， (3,4)}，
AB＝{(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}， P(B|A)＝nnAAB＝23.
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其分布
知能整合提升
热点考点例析
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其分布
知能整合提升
热点考点例析
(2)正态分布的3σ原则：若随机变量X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4， P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机 变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如
果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从
超几何分布．
数学 选修2-3
第二章 随机变量及]解决超几何分布的有关问题时，注意识别模型，即 将试验中涉及的事物或人转化为相应的产品、次品，得到超几 何分布的参数n，M，N.
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其分布
知能整合提升
热点考点例析
[说明]识别条件概率的关键是看已知事件的发生与否会不 会影响所求事件的概率．
(2)条件概率的性质： ①0≤P(B|A)≤1； ②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0； ③ 如 果 B 和 C 是 两 个 互 斥 事 件 ， 则 P(B∪C|A) ＝ P(B|A) ＋ P(C|A)．
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其分布
AB＝{(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}， P(B|A)＝nnAAB＝23.
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其分布
知能整合提升
热点考点例析
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第二章 随机变量及其分布
知能整合提升
热点考点例析
(2)正态分布的3σ原则：若随机变量X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4， P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机 变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如
果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从
超几何分布．
数学 选修2-3
第二章 随机变量及]解决超几何分布的有关问题时，注意识别模型，即 将试验中涉及的事物或人转化为相应的产品、次品，得到超几 何分布的参数n，M，N.
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其分布
知能整合提升
热点考点例析
[说明]识别条件概率的关键是看已知事件的发生与否会不 会影响所求事件的概率．
(2)条件概率的性质： ①0≤P(B|A)≤1； ②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0； ③ 如 果 B 和 C 是 两 个 互 斥 事 件 ， 则 P(B∪C|A) ＝ P(B|A) ＋ P(C|A)．
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其分布