新高考数学第一次模拟试卷带答案
新高考数学第一次模拟试题(及答案)
【解析】
【分析】
【详解】
设AB=2,作CO⊥面ABDE
OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C−AB−D的平面角，
CH=3√，OH=CHcos∠CHO=1，
结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，
故EM,AN所成角的余弦值 ，
18．1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1∶8
C． D．
二、填空题
13．设 是等差数列 的前 项和，且 ，则
14．若x，y满足约束条件 ，则 的最小值为______．
15．已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=_________．
16． ________________.
17．等边三角形 与正方形 有一公共边 ，二面角 的余弦值为 ， 分别是 的中点，则 所成角的余弦值等于．
18．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为▲
19．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________．
20．设等比数列 满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．二、填Leabharlann 题13．25【解析】由可得所以
解析：25
【解析】
由 可得 ，所以 ．
14．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为
解析：-1
【解析】
【分析】
【详解】
根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
高三下学期新高考第一次调研测试数学试卷-带参考答案与解析
高三下学期新高考第一次调研测试数学试卷-带参考答案与解析注意专项：1．答卷前 考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如简改动 用橡皮擦干静后 再选涂其他答案标号回答非选择题时 将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题 每小题5分 共40分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．）1．设复数1i z =+，则复数1z z +（其中z 表示z 的共轭复数）表示的点在（ ）上 A ．x 轴B ．y 轴C ．y x =-D ．y x =2．已知角α和β，则“αβ=”是“tan tan αβ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3 侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（ ）A ．12πB ．9πC ．3πD 4．已知双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）A B ．2CD ．5．一对夫妻带着3个小孩和一个老人 手拉着手围成一圈跳舞 3个小孩不相邻的站法种数是（ ） A ．6B ．12C ．18D ．366．已知递增的等比数列{}n a 10a > 公比为q 且1a 3a 4a 成等差数列，则q 的值为（ ）A B C D 7．已知平面内的三个单位向量a b c 且12a b ⋅=32a c ⋅=，则b c ⋅=（ ）A ．0B ．12C D 0 8．设方程22log 1xx ⋅=的两根为1x ()212x x x <，则（ ）A ．101x << 22x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．123x x +>二 选择题（本大题共3小题 每小题6分 共18分．在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求．全部选对的得6分 部分选对的得部分分 有选错的得0分．）9．下列说法正确的是（ ）A ．若事件A 和事件B 互斥 ()()()P AB P A P B = B ．数据4 7 5 6 10 2 12 8的第70百分位数为8C ．若随机变量ξ服从()217,N σ ()17180.4P ξ<≤=，则()180.1P ξ>=D ．已知y 关于x 的回归直线方程为0.307ˆ.yx =-，则样本点()2,3-的残差为 1.9- 10．设函数()f x ()g x 的定义域都为R 且()f x 是奇函数 ()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()f x g x 是奇函数B ．()()f x g x 是偶函数C ．若()()321g x f x x x -=++，则()()111f g +=D ．若函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减且()11f =-，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是[]1,3 11．已知体积为2的四棱锥P ABCD - 底面ABCD 是菱形 2AB = 3PA =，则下列说法正确的是（ ）A ．若PA ⊥平面ABCD ，则BAD ∠为π6B ．过点P 作PO ⊥平面ABCD 若AO BD ⊥，则BD PC ⊥C ．PA 与底面ABCD 所成角的最小值为6πD ．若点P 仅在平面ABCD 的一侧 且AB AD ⊥，则P点轨迹长度为三 填空题（本大题共3小题 每小题5分 共15分．）12．已知关于x 的不等式10ax ->的解集为M 2M ∈且1M ∉，则实数a 的取值范围是______． 13．已知抛物线22y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则弦AB 的最大值为______． 14．已知()1cos 3αβ+=-cos cos 1αβ+=，则cos cos 22αβαβ-+=______()sin sin sin αβαβ+=+______． 四 解答题（本大题共5小题 共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）在如图所示的ABC △中 sin 0B =． （1）求B ∠的大小（2）直线BC 绕点C 顺时针旋转π6与AB 的延长线交于点D 若ABC △为锐角三角形 2AB = 求CD 长度的取值范围．16．（本小题满分15分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的右顶点为A 左焦点为F 椭圆W 上的点到F 的最大距离是短半轴长倍 且椭圆W 过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭．记坐标原点为O 圆E 过O A 两点且与直线6x =相交于两个不同的点P Q （P Q 在第一象限 且P 在Q 的上方） PQ OA = 直线QA 与椭圆W 相交于另一个点B ． （1）求椭圆W 的方程 （2）求QOB △的面积． 17．（本小题满分15分）如图 在四棱锥P ABCD -中 AB CD ∥ 4AB = 2CD = 2BC = 3PC PD == 平面PCD ⊥平面ABCD PD BC ⊥． （1）证明：BC ⊥平面PCD（2）若点Q 是线段PC 的中点 M 是直线AQ 上的一点 N 是直线PD 上的一点 是否存在点M N 使得MN =请说明理由．18．（本小题满分17分）已知函数()ln f x x x =的导数为()f x '．（1）若()1f x kx ≥-恒成立 求实数k 的取值范围（2）函数()f x 的图象上是否存在三个不同的点()11,A x y ()22,B x y ()33,C x y （其中123x x x <<且1x2x 3x 成等比数列） 使直线AC 的斜率等于()2f x '?请说明理由．19．（本小题满分17分）2023年10月11日 中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号” 求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍．相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态 量子计算机的量子比特（qubit ）可同时处于0与1的叠加态 故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的．现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特 且自旋状态只有上旋与下旋两种状态 其中下旋表示“0” 上旋表示“1” 粒子间的自旋状态相互独立．现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后 粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋 再输入第二道逻辑门后 粒子的自旋状态有p 的概率发生改变 记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X ． （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2 且13p = 求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率（2）若一条信息有()*1,n n n >∈N 种可能的情况且各种情况互斥 记这些情况发生的概率分别为1p2p … n p ，则称()()()12n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()2log f x x x =-）为这条信息的信息熵．试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门 当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入 否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子 设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y （1Y = 2 3 ⋯ n ⋯）．证明：当n 无限增大时 Y 的数学期望趋近于一个常数． 参考公式：01q <<时 lim 0nn q →+∞= lim 0nn nq →+∞=．2024届新高考教学教研联盟高三第一次联考数学参考答案一 选择题（本大题共8小题 每小题5分 共40分．）1．C 【解析】11331i i 1i 22z z +=+-=-+ 所以对应的点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线y x =-上． 2．D 【解析】当2παβ==时 tan α tan β没有意义 所以由αβ=推不出tan tan αβ=当tan tan αβ=时()πk k αβ=+∈Z所以由tan tan αβ=推不出αβ=故“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件． 3．C 【解析】设圆锥的底面半径为r 母线为l 由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则2ππr l = 所以2l r =所以圆锥的高h ==圆锥的体积为2211ππ3π33V r h ==⨯⨯⨯=．4．A 【解析】因为双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6 πtan 6= 所以该渐近线的方程为3y x = 所以2263b ⎛= ⎝⎭解得b =（舍去） 所以c =此双曲线的右焦点坐标为()30y -==5．B 【解析】3232A A 12=．6．A 【解析】由题意知1432a a a += 即321112a a q a q += 又数列{}n a 递增 10a > 所以1q > 且3212q q += 解得q =7．D 【解析】如图 a OA = c OC = b OB =（或b OD =）由32a c ⋅=得cos COA ∠= 又[]0,πCOA ∠∈ 所以π6COA ∠=由12a b ⋅=得1cos 2BOA ∠= 又[]0,πBOA ∠∈ 所以π3BOA ∠=（或1cos 2DOA ∠= 又[]0,πDOA ∠∈ 所以π3DOA ∠=）所以b c 夹角为π6或π2所以32b c ⋅=或0．8．C 【解析】由题意得 120x x << 由22log 1xx ⋅=得21log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭令()()21log 02xf x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则()1102f =-< ()1321044f =-=> 1102f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭由()1102f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭ ()()120f f ⋅<得11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,2x ∈ 故A 错 由21222111log log 022xxx x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得21222111log log 22xxx x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()21,2x ∈得21222111log log 022x xx x ⎛⎫⎛⎫+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1201x x << 故C 对 B 错由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,2x ∈ 所以123x x +< D 错误．二 选择题（本大题共3小题 每小题6分 共18分．）9．BCD 【解析】对于A 若事件A 和事件B 互斥 ()0P AB = 未必有()()()P AB P A P B = A 错 对于B 对数据从小到大重新排序 即：2 4 5 6 7 8 10 12 共8个数字 由870% 5.6⨯= 得这组数据的第70百分位数为第6个数8 B 正确 对于C 因为变量ξ服从()217,N σ 且()17180.4P ξ<≤=，则()()()181717180.50.40.1P P P ξξξ>=>-<≤=-= 故C 正确对于D 由0.307ˆ.yx =- 得样本点()2,3-的残差为()30.30.72 1.9---⨯=- 故D 正确 故选BCD ． 10．ACD 【解析】令()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=-- 因为()f x 是奇函数 ()g x 是偶函数 所以()()f x f x -=- ()()g x g x -= 所以()()()()F x f x g x F x -=-=- 所以()()()F x f x g x =是奇函数 A 正确同样 令()()()F x f x g x =，则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=--=-=- 所以()F x 是奇函数 B 错误令1x =-代入()()321g x f x x x -=++，则()()()()32111111g f ---=-+-+= 又()()11g g -=()()11f f -=- 所以()()111g f += C 正确因为()f x 为奇函数 又()11f =- 所以()11f -=由于()f x 在(),-∞+∞上单调递减 要使()121f x -≤-≤成立，则121x -≤-≤ 所以13x ≤≤ D 正确．11．BCD 【解析】114sin sin 2333P ABCD NBCD V S h AB AD BAD h h BAD -=⋅=⋅∠⋅=∠=，则当PA ⊥平面ABCD 时 3h PA ==，则1sin 2BAD ∠= 即BAD ∠为π6或5π6A 错误如图1 若PO ⊥平面ABCD ，则PO BD ⊥ 又AO BD ⊥则BD ⊥平面PAO 有BD PA ⊥ 又BD AC ⊥ 所以BD ⊥平面PAC BD PC ⊥ B 正确 设PA 与底面ABCD 所成角为θ 又11sin 233P ABCD ABCD ABCD V S h S PA θ-===则2sin ABCDS θ=因为4sin 4ABCD S BAD =∠≤，则1sin 2θ≥则PA 与底面ABCD 所成角的最小值为π6C 正确如图2 当AB AD ⊥ 根据123P ABCD ABCD V S h -== 得32h = 即P 点到底面ABCD 的距离为32过A 点作底面ABCD 的垂线为l 过点P 作PO l ⊥交l 于点O，则PO ===点P 的轨迹是以O 为圆心为半径的圆轨迹长度为 D 正确．三 填空题（本大题共3小题 每小题5分 共15分．）12．1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2M ∈且1M ∈ 所以210,10,a a ->⎧⎨-≤⎩所以112a <≤．13．5 【解析】方法一：当直线AB 的斜率不存在时 直线AB 的方程为2x = 代入22y x =得2y =或2y =- 所以4AB =当直线AB 的斜率存在时 显然不为零 设直线AB 的方程为y kx b =+代入22y x =消y 并整理得()222220k x kb x b +-+=设()11,A x y ()22,B x y 判别式480kb ∆=->时有122212222,,kb x x k b x x k -⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为弦AB 的中点的横坐标为2 所以2224kb k --= 所以212kb k =-21AB x =-==所以2211145AB k k ⎛⎫⎛⎫=≤++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当221114k k +=-即223k =时取到等号 故弦AB 的最大值为5．方法二：设抛物线的焦点为F ，则AB AF BF ≤+又121211122AF BF x x x x +=+++=++当弦AB 的中点的横坐标为2时 有124x x += 所以5AB ≤当直线过焦点F 时取到等号 故弦AB 的最大值为5．14．12 23（任意填对一空给3分） 【解析】由()1cos 3αβ+=-得212cos 123αβ+-=-，则21cos 23αβ+=由cos cos 1αβ+=得2cos cos 122αβαβ-+=，则1cos cos 222αβαβ-+=所以3cos cos222αβαβ-+=()2sin cos cos sin 2222sin sin 32sin cos cos 222αβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--+． 四 解答题（本大题共5小题 共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）15．【解析】（1sin 0B =sin B = 两边同时平方可得：2cos 1sin 2B B += 由22sin cos 1B B +=整理得22cos cos 10B B +-= 解得1cos 2B =或cos 1B =- 又()0,πB ∈，则π3B =．sin 0B -=2sin cos 022B B=得cos 02B =或1sin 22B = 又()0,πB ∈，则π26B = π3B =．（2）由（1）得π3ABC ∠=，则2π3CBD ∠= 由题可知π6BCD ∠=，则π6D ∠=设BC a =，则BD BC a ==由余弦定理有2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠所以CD =由正弦定理有sin sin BC ABA ACB =∠所以2sin 2sin 31sin sin ACB A a ACB ACB π⎛⎫+∠ ⎪⎝⎭====∠∠ 因为ABC △为锐角三角形，则π0,2π0,2ACB A ⎧<∠<⎪⎪⎨⎪<∠<⎪⎩得ππ62ACB <∠<所以tan 3ACB ⎛⎫∠∈+∞ ⎪⎝⎭，则(1tan ACB ∈∠所以3tan CD ACB==+∠即CD的取值范围为．16．【解析】（1）依题有a c += 又222a b c =+所以2,a cb =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆W 的方程为2222143x y c c +=又点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆W 上 所以221191434c c +⨯=解得1c =所以椭圆W 的方程为22143x y +=． （2）设()6,P P y ()6,Q Q y 0P Q y y >> ()0,0O ()2,0A因为PQ OA = 所以2P Q y y -= ①圆E 过点O 与A 且与直线6x =相交于两个不同的点P Q ，则圆心E 的坐标为1,2P Q y y +⎛⎫⎪⎝⎭又EO EP = =解得24P Q y y = ②（另法一：设直线6x =与x 轴交于点G ，则有GA GO GQ GP =又4GA = 6GO = 所以24P Q y y = ② 另法二：由OA PQ =知 612P Qy y +=- 10P Q y y += ②）由①②解得6P y = 4Q y =所以()6,4Q 40162M k -==-所以直线QA 的方程为2y x =-与椭圆方程联立消去y 得271640x x -+= 解得B 点的横坐标27B x =所以267Q B QB x x =-=-=又O 到直线QA 的距离d ==所以QOB △的面积11402277S QB d =⋅=⨯=．17．【解析】（1）如图 取CD 的中点O 因为3PC PD ==，则PO CD ⊥因为平面PCD ⊥平面ABCD 平面PCD 平面ABCD CD = PO ⊂平面PCD所以PO ⊥平面ABCD 又BC ⊂平面ABCD所以PO BC ⊥ 又BC PD ⊥ PO ⊂平面PCD PD ⊂平面PCD PD PO P =所以BC ⊥平面PCD ．（2）因为3PC PD == O 为CD 的中点 1OC =所以PO ==过点O 作OE BC ∥交AB 于点E ，则由BC ⊥平面PCD 可得BC CD ⊥，则以O 为原点 OE OCOP 分别为x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则()0,0,0O ()2,3,0A -10,2Q ⎛ ⎝()0,1,0D -(P所以72,2AQ ⎛=- ⎝(DP = ()2,2,0AD =-设与AQ DP 都重直的向量为(),,n x y z =，则720,2220,n AQ x y nDP y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩得3,2,x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令4y =，则(6,4,n =设直线AQ与直线DP 的距离为d则12cos ,36AD n d AD AD n n⋅-=⋅===>则不存在点M 和N 使得MN =． 18．【解析】（1）()1f x kx ≥-恒成立即ln 1x x kx ≥-恒成立 又0x > 所以1ln x k x+≥恒成立今()()1ln 0g x x x x =+> 所以()22111x g x x x x ='-=-当01x <<时 ()0g x '< 函数()g x 单调递减 当1x >时 ()0g x '> 函数()g x 单调递增所以当1x =时 ()g x 取到极小值也是最小值 且()11g =所以1k ≤故实数k 的取值范围为(],1-∞．（2）1x 2x 3x 成等比数列且123x x x << 设公比为()1q q >，则21x qx = 231x q x =()ln f x x x =求导得()1ln f x x ='+ 所以()2211ln 1ln ln f x x q x =+=++'直线AC 的斜率为()21131331123131ln 2ln ln ln ln 1q x q x y y x x x x x x x x q +---==---若存在不同的三点A B C 使直线AC 的斜率等于()2f x '则有()21112ln 2ln ln 1ln ln 1q x q x q x q +-=++-整理成221ln 01q q q --=+． 令()()221ln 11x h x x x x -=->+，则()()()()222222114011x xh x x x x x -=-=+'≥+所以()221ln 1x h x x x -=-+在1x >时单调递增 而()10h = 故方程221ln 01q q q --=+在1q >时无实数解 所以不存在不同的三点A B C 使直线AC 的斜率等于()2f x '．19．【解析】（1）设i A =“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i 个” 0i = 1 2B =“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个” 则()()2021124P A P A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()221211C 22P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭()019P B A =∣ ()129P B A =∣ ()249P B A =∣则()()()211121414929494i i i P B P A P BA ===⨯+⨯+⨯=∑∣故()()()()()()222214449194P A P BA P AB P A B P B P B ⨯====∣∣． （2）由题知0X = 1 2由（1）知()()()2211112114244P X p p p p ==+-+-=同理可得()()()()21212211111C 11C 14242P X p p p p p p ⎡⎤==-++-+-=⎣⎦则()()()101124P X P X P X ==-=-==故X 的信息熵22111111132log log 42444222H f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⨯--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （3）由题知()()11n P Y n p p -==- 其中1n = 2 3 …则()()()01111211n EY p p p p n p p -=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅又()()111111nni i i i i p p p i p --==⋅-=⋅-∑∑则()()()()1111111211ni n i i p p p n p --=⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑ ①()()()()()11211111211ni ni p i p p p n p -=-⋅⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑ ②-①②得：()()()()()1011111111ni n ni p i p p p p n p --=⋅-=-+-+⋅⋅⋅+---∑()()()()111111nnn np p n p n p p p p ---=--=---由题知 当n 无限增大时 ()1np -趋近于零 ()1nn p -趋近于零，则EY 趋近于1p． 所以当n 无限增大时 Y 的数学期望䞨近于一个常数．。
新数学高考第一次模拟试卷(含答案)
新数学高考第一次模拟试卷(含答案)一、选择题1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D ．22．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．15B ．20C ．30D ．353．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．1004．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④5．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且PA ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )A ．60︒B ．30C ．45︒D ．15︒6．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，则()C U A B ⋃等于（ ） A ．{5,6}B ．{3,5,6}C ．{1,3,5,6}D ．{1,2,3,4}7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(22)-，B ．(2)(2)-∞-⋃+∞，， C ．(22]-，D ．(2]-∞，8．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是，若0cAC aPA bPB ++=，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形.9．若双曲线22221 x ya b-=的离心率为3，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=2x±C．12y x=±D．22y x=±10．设三棱锥V ABC-的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P AC B--的平面角为γ，则（）A．,βγαγ<<B．,βαβγ<<C．,βαγα<<D．,αβγβ<<11．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（）A．32 B．0.2 C．40 D．0.2512．已知,a b是非零向量且满足(2)a b a-⊥，(2)b a b-⊥，则a与b的夹角是（）A．6πB．3πC．23πD．56π二、填空题13．已知曲线lny x x=+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x=+++相切,则a= ．14．函数()22,026,0x xf xx lnx x⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．15．已知实数x，y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y=-的最小值是__________．16．已知函数()(ln)f x x x ax=-有两个极值点,则实数a的取值范围是__________．17．计算：1726cos()sin43ππ-+=_____．18．记n S为数列{}n a的前n项和，若21n nS a=+，则6S=_____________．19．如图，圆C（圆心为C）的一条弦AB的长为2，则AB AC⋅=______．20．设函数21()ln2f x x ax bx=--，若1x=是()f x的极大值点，则a取值范围为_______________.三、解答题21．已知直线352 :{132x t lyt=+=+（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cosρθ=.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为(5,3)，直线l与曲线C 的交点为A，B，求MA MB⋅的值.22．已知数列{}n a满足1112,22nn na a a++==+.（1）设2nn nab=，求数列{}n b的通项公式；（2）求数列{}n a的前n项和n S；（3）记()()211422n nnn nn nca a+-++=，求数列{}n c的前n项和n T.23．设函数22()ln(0)f x a x x ax a=-+>（Ⅰ）求()f x单调区间（Ⅱ）求所有实数a，使21()e f x e-≤≤对[1,e]x∈恒成立注：e为自然对数的底数24．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，H是正方形11AA B B的中心，122AA=，1C H⊥平面11AA B B，且15.C H=（Ⅰ）求异面直线AC与11A B所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111A AC B--的正弦值；（Ⅲ）设N为棱11B C的中点，点M在平面11AA B B内，且MN⊥平面111A B C，求线段BM的长．25．已知(3cos,cos)a x x=，(sin,cos)b x x=，函数()f x a b=⋅.（1）求()f x的最小正周期及对称轴方程；（2）当(,]xππ∈-时，求()f x单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．C解析：C 【解析】 【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数. 【详解】根据二项式定理展开式通项为1C r n r rr n T a b -+=()()()66622111111x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪⎝⎭则()61x +展开式的通项为16r rr T C x +=则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C 【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.3．A解析：A【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是： 36240C = 种.本题选择A 选项.4．C解析：C 【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时22x y>不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.5．C解析：C 【解析】由条件得：PA ⊥BC ，AC ⊥BC 又PA ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C ．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.6．A解析：A 【解析】 【分析】先求并集，得到{1,2,3,4}A B ⋃=，再由补集的概念，即可求出结果. 【详解】因为{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，所以{1,2,3,4}A B ⋃=， 又{1,2,3,4,5,6}U =，所以()C {5,6}U A B ⋃=. 故选A. 【点睛】本题主要考查集合的并集与补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.7．C解析：C 【解析】由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意；当20a -≠时，要使不等式恒成立，需2)2204(44(2)0a a a --<⎧⎨∆=+⨯-<⎩， 解得22a -<<，综上所述，所以a 的取值范围为(2,2]-，故选C ． 8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 解答： 由已知条件得；根据共面向量基本定理得：∴△ABC 为等边三角形。
新高考数学第一次模拟试题(含答案)
新高考数学第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．函数ln ||()xx f x e =的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．33．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．12B ．13C ．23D ．344．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30的等腰三角形5．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．176．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种C ．18种D ．20种7．已知全集{1,3,5,7}U =，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则如图所示阴影区域表示的集合为（ ）A ．{3}B ．{7}C ．{3,7}D ．{1,3,5}8．函数2||()x x f x e -=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．当1a >时， 在同一坐标系中，函数xy a-=与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．2n n +<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n=1时211+不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,2k k +<k+1. 那么当n=k+1时()()()2222(k 1)k 1k 3k 2k3k 2k 2(k 2)+++=++<+++++所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N*,不等式均成立.则上述证法（）A．过程全部正确B．n=1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n=k到n=k+1的证明过程不正确11．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其分布列为P(X),则P(X=4)的值为A．1220B．2755C．2125D．2722012．已知,a b∈R，函数32,0()11(1),032x xf xx a x ax x<⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b=--恰有三个零点，则（）A．1,0a b<-<B．1,0a b<->C．1,0a b>-<D．1,0a b>->二、填空题13．设函数()212log,0log(),0x xf x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a>-，则实数a的取值范围是__________．14．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m--共线，则m的值为．15．已知(13)nx+的展开式中含有2x项的系数是54，则n=_____________.16．在体积为9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一点，S—ABC的体积为2，则三棱锥S—A1B1C1的体积为___．17．在极坐标系中，直线cos sin(0)a aρθρθ+=>与圆2cosρθ=相切，则a=__________．18．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.19．在ABC∆中，若13AB=3BC=，120C∠=︒，则AC=_____．20．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅=______．三、解答题21．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； ()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．22．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .23．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式： 方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试 方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：第一周 第二周 第三周 第四周 甲组 20 25 10 5 乙组8162016()1用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此判断哪种培训方式效率更高？()2在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．24．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。
新高考数学第一次模拟试卷附答案
新高考数学第一次模拟试卷附答案一、选择题1．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（ ）A ．[]6,63k k ππ+，k Z ∈B ．[]63,6k k ππ-，k Z ∈C ．[]6,63k k +，k Z ∈D ．[]63,6k k -，k Z ∈2．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）ξ1 2P12p- 122pA ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小3．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ） A ．6B ．8C ．26D ．424．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10B ．20C ．40D ．806．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()22112a b -+-<D ．228a b +>7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．328．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值等于（ ） A ．1318B ．322C ．1322D ．3189．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．B ．1C ．10D ．1210．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ） A 3B ．2C 6D ．511．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B 12± C 110± D 322± 12．已知a R ∈，则“0a =”是“2()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．14．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．15．在ABC 中，60A =︒，1b =，面积为3，则sin sin sin a b cA B C________．16．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲17．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.18．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.19．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 20．在ABC ∆中，若13AB =，3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____．三、解答题21．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为． （1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率． 下面的临界值表仅供参考：P（K 2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22n(ad bc)K (a b)(c d)(a c)(b d)-=++++，其中n=a+b+c+d ）22．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程. 23．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.24．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.25．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB AD ===.（1）证明：AE ⊥平面ECD ；（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值. 26．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足*2211()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【详解】由题设可知该函数的最小正周期826T =-=，结合函数的图象可知单调递减区间是2448[6,6]()22k k k Z ++++∈，即[36,66]()k k k Z ++∈，等价于[]63,6k k -，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sin f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T =-=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．2．D解析：D 【解析】 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++， 1(0,1)2∈，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑3．D解析：D 【解析】 【分析】2a b+≤转化为指数运算即可求解。
2024年新高考数学模拟卷(一)
２０２４年新高考数学模拟卷(一)李春林(甘肃省天水市第九中学ꎬ甘肃天水７４１０２０)中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０１－００９４－０６收稿日期:２０２３－１０－０５作者简介:李春林(１９７８.１－)ꎬ男ꎬ甘肃省天水人ꎬ从事高中数学教学及解题研究.㊀㊀(河南㊁山西㊁江西㊁安徽㊁甘肃㊁青海㊁内蒙古㊁黑龙江㊁吉林㊁宁夏㊁新疆㊁陕西)第Ⅰ卷(选择题)一㊁选择题(本题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分.在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的.)１.已知复数ｚ满足３＋ｉｚ＝１－ｉꎬ则ｚ＝(㊀㊀).Ａ.５㊀㊀Ｂ.２㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.２２.设集合Ａ＝ｘｘɤａ{}ꎬＢ＝ｘｘȡ２{}ꎬ∁ＲＢ()ɣＡ＝Ａꎬ则ａ的取值范围为(㊀㊀).Ａ.ａ>２㊀㊀Ｂ.ａ<２㊀㊀Ｃ.ａȡ２㊀㊀Ｄ.ａɤ２３.ｘ＋２ｘæèçöø÷５的展开式中ｘ的系数为(㊀㊀).Ａ.１０㊀㊀Ｂ.４０㊀㊀Ｃ.３０㊀㊀Ｄ.２０４.已知数列ａｎ{}为等比数列ꎬＳｎ为ａｎ{}的前ｎ项和ꎬ且Ｓ３＝１ꎬＳ６＝３ꎬ则ａ１０＋ａ１１＋ａ１２＝(㊀㊀).Ａ.８㊀㊀Ｂ.５㊀㊀Ｃ.６㊀㊀Ｄ.７５.已知Ｐ是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)上一点ꎬＦ１ꎬＦ２分别是椭圆的左㊁右焦点ꎬ若әＰＦ１Ｆ２的周长为６ꎬ且椭圆的离心率为１２ꎬ则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为(㊀㊀).Ａ.１２㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.３２㊀㊀Ｄ.２６.已知函数ｆｘ()＝１２ｘ２－１６ｌｎｘ在区间(２ａ－１ꎬ２ａ＋１)上单调递减ꎬ则ａ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.１２ꎬ３２æèçöø÷㊀㊀㊀㊀Ｂ.１２ꎬ３２[]Ｃ.５２ꎬ＋ɕæèçöø÷Ｄ.５２ꎬ＋ɕ[öø÷７.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是 每个大于２的偶数可以表示为两个素数的和 ꎬ如４０＝３＋３７.在不超过３０的素数中ꎬ随机选取两个不同的数ꎬ其和等于３０的概率是(㊀㊀).Ａ.２４５㊀㊀Ｂ.１１５㊀㊀Ｃ.１４５㊀㊀Ｄ.１９８.如图１ꎬ该几何体为两个底面半径为１ꎬ高为１的相同的圆锥形成的组合体ꎬ设它的体积为Ｖ１ꎬ它的内切球的体积为Ｖ２ꎬ则Ｖ１ʒＶ２＝(㊀㊀).Ａ.２ʒ３㊀㊀Ｂ.２２ʒ３㊀㊀Ｃ.２ʒ２㊀Ｄ.２ʒ１二㊁多选题(本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.在每小题给出的四个选项中ꎬ有多项符合题目要图１㊀第８题图求.全部选对的得５分ꎬ部分选对的得２分ꎬ有选错的得０分.)９.已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘ＋ａｃｏｓ２ｘ(ａɪＲ)且∀ｘɪＲꎬｆ(ｘ)ȡｆ－π１２æèçöø÷ꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).Ａ.ｆ(ｘ)在０ꎬπ２æèçöø÷上单调递增Ｂ.ｆ(ｘ)的图象关于点５π３ꎬ０æèçöø÷对称Ｃ.将ｆ(ｘ)的图象向左平移５π１２个单位长度ꎬ得到函数ｙ＝２ｃｏｓ２ｘ的图象Ｄ.若αɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬｆ(ａ)＝６５ꎬ则ｓｉｎ２ａ＝３＋４３１０１０.如图２ꎬәＡＢＣ和әＤＢＣ所在平面垂直ꎬ且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤꎬøＣＢＡ＝øＤＢＣ＝１２０ʎꎬ则(㊀㊀).图２㊀第１０题图Ａ.异面直线ＡＤ与ＢＣ所成角的大小为６０ʎＢ.异面直线ＡＢ与ＣＤ所成角的余弦值为３４Ｃ.直线ＡＤ与平面ＢＣＤ所成角的大小为４５ʎＤ.直线ＡＤ与平面ＢＣＤ所成角的大小为６０ʎ１１.在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ圆Ｃ:ｘ２＋ｙ２＝１ꎬ点Ｐ为直线ｌ:ｘ－ｙ－２＝０上的动点ꎬ则(㊀㊀).Ａ.圆Ｃ上有且仅有两个点到直线ｌ的距离为１２Ｂ.已知点Ｍ３ꎬ２()ꎬ圆Ｃ上的动点Ｎꎬ则ＰＭ＋ＰＮ的最小值为１７－１Ｃ.过点Ｐ作圆Ｃ的一条切线ꎬ切点为ＱꎬøＯＰＱ可以为６０ʎＤ.过点Ｐ作圆Ｃ的两条切线ꎬ切点为ＭꎬＮꎬ则直线ＭＮ恒过定点１２ꎬ－１２æèçöø÷１２.定义ｎ－１阶导数的导数叫做ｎ阶导数(ｎɪＮ∗ꎬｎȡ２)ꎬ即ｆｎ()ｘ()＝ｆｎ－１()ｘ()[]ᶄꎬ分别记作ｆᵡｘ()ꎬｆ‴ｘ()ꎬｆ４()ｘ()ꎬ ꎬｆｎ()ｘ().设函数ｆｘ()＝ａｘｅｘꎬ不等式ｆ２０２３()ｘ()>ｘ２＋２０２３ｘ对任意ｘɪ０ꎬ＋ɕ()恒成立ꎬ则实数ａ的取值可能为(㊀㊀).Ａ.１ｅ２㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.１ｅ㊀㊀Ｄ.ｅ第Ⅱ卷(非选择题)三㊁填空题(本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分)１３.已知ａ＝３２ꎬｂ＝５ꎬｍ＝ａ＋ｂꎬｎ＝ａ＋λｂꎬ‹ａꎬｂ›＝１３５ʎꎬ若ｍʅｎꎬ则λ的值为.１４.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异ꎬ经过大量调查ꎬ得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图(如图３):图３㊀第１４题图利用该指标制定一个检测标准ꎬ需要确定临界值ｃꎬ将该指标大于ｃ的人判定为阳性ꎬ小于或等于ｃ的人判定为阴性ꎬ此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率ꎬ记为ｐ(ｃ)ꎻ误诊率是将未患病者判定为阳性的概率ꎬ记为ｑ(ｃ).假设数据在组内均匀分布ꎬ以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.设函数ｆ(ｃ)＝ｐ(ｃ)＋ｑ(ｃ)ꎬ则函数ｆ(ｃ)在区间[９５ꎬ１０５]取得最小值时ｃ＝.１５.已知ａ>０ꎬ曲线ｆ(ｘ)＝ａｘ２－４ｅｘ－２ｅ２ｌｎｘ－１ｅ２ȡ０(ａ>０)恒成立ꎬ则实数ａ的最小值为.１６.已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的右焦点为ＦꎬＡꎬＢ分别为双曲线的左㊁右顶点ꎬ以ＡＢ为直径的圆与双曲线Ｃ的两条渐近线在第一㊁二象限分别交于ＰꎬＱ两点ꎬ若ＯＱʊＰＦ(Ｏ为坐标原点)ꎬ则该双曲线的离心率为.四㊁解答题(本题共６小题ꎬ共７０分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.)１７.已知数列ａｎ{}为等差数列ꎬＳｎ为ａｎ{}的前ｎ项和ꎬａ３＝１ꎬＳ９＝４５.(１)求ａｎ{}的通项公式ꎻ(２)记ｂｎ＝ａｎ ２ｎꎬ求数列ｂｎ{}的前ｎ项和Ｔｎ.１８.如图４ꎬ在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中ꎬ平面ＰＣＤʅ平面ＡＢＣＤꎬ侧面ＰＣＤ是等边三角形ꎬøＡＢＣ＝øＢＣＤ＝９０ʎꎬＡＢ＝２ＣＤ＝２ＢＣꎬＭ在棱ＡＢ上ꎬ且满足ＡＢ＝４ＢＭ.图４㊀第１８题图(１)求证:ＰＭʅＣＤꎻ(２)求二面角Ｐ－ＣＭ－Ａ的余弦值.１９.在әＡＢＣ中ꎬ内角ＡꎬＢꎬＣ对应的边分别是ａꎬｂꎬｃꎬ且ｂｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＢ＝３ａｃｏｓＡ.(１)求ｃｏｓＡꎻ(２)若әＡＢＣ的面积是２ꎬａ＝２ꎬ求әＡＢＣ的周长.２０.已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的左㊁右焦点为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ离心率为１２.点Ｐ是椭圆Ｃ上不同于顶点的任意一点ꎬ射线ＰＦ１ꎬＰＦ２分别与椭圆Ｃ交于点ＡꎬＢꎬәＰＦ１Ｂ的周长为８.(１)求椭圆Ｃ的标准方程ꎻ(２)若ＰＦ１ң＝λ１Ｆ１ＡңꎬＰＦ２ң＝λ２Ｆ２Ｂңꎬ求证:λ１＋λ２为定值.２１.红蜘蛛是柚子的主要害虫之一ꎬ能对柚子树造成严重伤害ꎬ每只红蜘蛛的平均产卵数ｙ(个)和平均温度ｘ(ħ)有关ꎬ现收集了以往某地的７组数据ꎬ得到下面的散点图及一些统计量的值(如图５).图５㊀第２１题图(１)根据散点图判断ꎬｙ＝ｂｘ＋ａ与ｙ＝ｃｅｄｘ(其中ｅ＝２.７１８ 为自然对数的底数)哪一个更适合作为平均产卵数ｙ(个)关于平均温度ｘ(ħ)的回归方程类型?(给出判断即可ꎬ不必说明理由)(２)由(１)的判断结果及表中数据ꎬ求出ｙ关于ｘ的回归方程.(计算结果精确到０.１)附:回归方程中ｙ＾＝ｂ＾ｘ＋ａ＾ꎬｂ＾＝ðｎｉ＝１ｘｉ－ｘ－()ｙｉ－ｙ－()ðｎｉ＝１ｘｉ－ｘ－()２＝ðｎｉ＝１ｘｉｙｉ－ｎｘ－ｙ－ðｎｉ＝１ｘ２ｉ－ｎｘ－２ꎬａ＾＝ｙ－－ｂ＾ｘ－参考数据(ｚ＝ｌｎｙ)ð７ｉ＝１ｘ２ｉð７ｉ＝１ｘｉｙｉð７ｉ＝１ｘｉｚｉｘ－ｙ－ｚ－５２１５１７７１３７１４２７８１.３３.６㊀㊀(３)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计ꎬ得到以下数据:平均气温在２２ħ以下的年数占６０％ꎬ对柚子产量影响不大ꎬ不需要采取防虫措施ꎻ平均气温在２２ħ至２８ħ的年数占３０％ꎬ柚子产量会下降２０％ꎻ平均气温在２８ħ以上的年数占１０％ꎬ柚子产量会下降５０％.为了更好地防治红蜘蛛虫害ꎬ农科所研发出各种防害措施供果农选择.在每年价格不变ꎬ无虫害的情况下ꎬ某果园年产值为２００万元ꎬ根据以上数据ꎬ以得到最高收益(收益＝产值－防害费用)为目标ꎬ请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案ꎬ并说明理由.方案１:选择防害措施Ａꎬ可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产ꎬ费用是１８万ꎻ方案２:选择防害措施Ｂꎬ可以防治２２ħ至２８ħ的蜘蛛虫害ꎬ但无法防治２８ħ以上的红蜘蛛虫害ꎬ费用是１０万ꎻ方案３:不采取防虫害措施.２２.已知函数ｆｘ()＝２ｌｎｘ＋ａｘ(ａɪＲ). (１)若ｆｘ()ɤ０在０ꎬ＋ɕ()上恒成立ꎬ求ａ的取值范围:(２)设ｇｘ()＝ｘ３－ｆｘ()ꎬｘ１ꎬｘ２为函数ｇｘ()的两个零点ꎬ证明:ｘ１ｘ２<１.参考答案１.Ａ㊀２.Ｃ㊀３.Ｂ㊀４.Ａ㊀５.Ｂ㊀６.Ｂ㊀７.Ｂ８.Ｄ㊀９.ＢＣＤ㊀１０.ＢＣ㊀１１.ＡＢＤ㊀１２.ＢＤ１３.－３１０/－０.３㊀１４.１００㊀１５.３㊀１６.２１７.(１)据题意ꎬ数列ａｎ{}为等差数列ꎬ则Ｓ９＝９ａ５＝４５ꎬ所以ａ５＝５.故２ｄ＝ａ５－ａ３＝４.所以ｄ＝２ꎬ则ａｎ＝ａ３＋(ｎ－３)ｄ＝２ｎ－５. (２)ｂｎ＝ａｎ ２ｎ＝(２ｎ－５) ２ｎꎬ则Ｔｎ＝(－３)ˑ２１＋(－１)ˑ２２＋ ＋(２ｎ－５)ˑ２ｎꎬ①２Ｔｎ＝(－３)ˑ２２＋(－１)ˑ２３＋ ＋(２ｎ－５)ˑ２ｎ＋１.②由①－②ꎬ得－Ｔｎ＝(－３)ˑ２１＋２ˑ２２＋ ＋２ˑ２ｎ－(２ｎ－５)ˑ２ｎ＋１＝－６＋２(２２－２ｎ ２)１－２－(２ｎ－５)ˑ２ｎ＋１＝－１４＋(７－２ｎ)ˑ２ｎ＋１.则Ｔｎ＝１４＋(２ｎ－７)ˑ２ｎ＋１.１８.(１)取ＣＤ中点Ｎꎬ连接ＭＮꎬＰＮꎬ图６㊀第１８题第(２)问答案示意图因为øＡＢＣ＝øＢＣＤ＝９０ʎꎬ所以ＡＢʊＣＤ.又因为ＡＢ＝２ＣＤꎬＡＢ＝４ＢＭꎬ所以ＣＮ＝ＢＭ.所以四边形ＢＭＮＣ是平行四边形.而øＡＢＣ＝øＢＣＤ＝９０ʎꎬ故▱ＢＭＮＣ是矩形.所以ＣＤʅＭＮ.又因为әＰＣＤ为等边三角形且Ｎ为ＣＤ中点ꎬ所以ＰＮʅＣＤ.ＰＮꎬＮＭ⊂平面ＰＮＭꎬＰＮɘＮＭ＝Ｎꎬ所以ＣＤʅ面ＰＭＮꎬＰＭ⊂面ＰＭＮ.所以ＣＤʅＰＭ.(２)因为平面ＰＣＤʅ平面ＡＢＣＤꎬ且平面ＰＣＤɘ平面ＡＢＣＤ＝ＣＤꎬＰＮʅＣＤꎬＰＮ⊂平面ＰＣＤꎬ所以ＰＮʅ平面ＡＢＣＤꎬＭＮꎬＮＤ⊂平面ＡＢＣＤ.所以ＮＭꎬＮＤꎬＮＰ两两垂直.连接ＣＭꎬＮＭꎬ以ＣＤ中点Ｎ为坐标原点ꎬＮＭꎬＮＤꎬＮＰ分别为ｘꎬｙꎬｚ轴ꎬ建立如图６所示空间直角坐标系ꎬ设ＣＤ＝２ꎬ则Ｎ０ꎬ０ꎬ０()ꎬＣ０ꎬ－１ꎬ０()ꎬＭ２ꎬ０ꎬ０()ꎬＰ０ꎬ０ꎬ３().所以ＣＰң＝０ꎬ１ꎬ３()ꎬＭＰң＝－２ꎬ０ꎬ３().平面ＡＢＣＤ的一个法向量可取为ｍ＝０ꎬ０ꎬ１()ꎬ设平面ＰＣＭ的法向量为ｎ＝ｘꎬｙꎬｚ()ꎬ所以ＣＰң ｎ＝０ꎬＭＰң ｎ＝０.{即ｙ＋３ｚ＝０ꎬ－２ｘ＋３ｚ＝０. {令ｚ＝２ꎬ则取ｎ＝３ꎬ－２３ꎬ２()ꎬ设二面角Ｐ－ＣＭ－Ａ的平面角为αꎬ则ｃｏｓα＝ｃｏｓ‹ｍꎬｎ›＝｜ｍ ｎ｜｜ｍ｜｜ｎ｜＝２１ˑ１９＝２１９１９.由图６知:二面角Ｐ－ＣＭ－Ａ为锐角ꎬ所以二面角Ｐ－ＣＭ－Ａ的余弦值为２１９１９.１９.(１)由ｂｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＢ＝３ａｃｏｓＡꎬ可得到ｓｉｎＢｃｏｓＣ＋ｓｉｎＣｃｏｓＢ＝３ｓｉｎＡｃｏｓＡ.即ｓｉｎＢ＋Ｃ()＝３ｓｉｎＡｃｏｓＡ.因为Ｂ＋Ｃ＝π－Ａꎬ所以ｓｉｎＢ＋Ｃ()＝ｓｉｎＡʂ０.故ｃｏｓＡ＝１３.(２)由ｃｏｓＡ＝１３ꎬ可得ｓｉｎＡ＝２２３.因为ＳәＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡꎬ所以２＝１２ｂｃｓｉｎＡ.则ｂｃ＝３.由余弦定理ꎬ得４＝ｂ２＋ｃ２－２３ｂｃ＝ｂ＋ｃ()２－８３ｂｃ.所以ｂ＋ｃ＝２３.故әＡＢＣ的周长是ａ＋ｂ＋ｃ＝２３＋２.２０.(１)因为ＣәＰＦ１Ｂ＝ＰＦ１＋ＰＦ２＋ＢＦ１＋ＢＦ２＝２ａ＋２ａ＝４ａꎬ所以４ａ＝８ꎬａ＝２.由离心率为１２得ｃ＝１ꎬ从而ｂ＝３.所以椭圆Ｃ的标准方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１.(２)如图７ꎬ设Ｐｘ０ꎬｙ０()ꎬＡｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ则ｘ２０４＋ｙ２０３＝１.可设直线ＰＡ的方程为ｘ＝ｍｙ－１ꎬ其中ｍ＝ｘ０＋１ｙ０ꎬ图７㊀第２０题第(２)问答案示意图联立ｘ＝ｍｙ－１ꎬｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬìîíïïï化简ꎬ得３ｍ２＋４()ｙ２－６ｍｙ－９＝０.则ｙ０ｙ１＝－９３ｍ２＋４＝－９３(ｘ０＋１)/ｙ０[]２＋４.同理可得ꎬｙ０ｙ２＝－９３(ｘ０－１)/ｙ０[]２＋４.因为ＰＦ１ң＝λ１Ｆ１ＡңꎬＰＦ２ң＝λ２Ｆ２Ｂңꎬ所以λ１＋λ２＝ＰＦ１ＡＦ１＋ＰＦ２ＢＦ２＝ｙ０－ｙ１＋ｙ０－ｙ２＝－ｙ０１ｙ１＋１ｙ２æèçöø÷＝ｙ２０３(ｘ０＋１)/ｙ０[]２＋４＋３(ｘ０－１)/ｙ０[]２＋４{}９＝３ｘ０＋１()２＋３ｘ０－１()２＋８ｙ２０９＝６ｘ２０＋８ｙ２０＋６９＝２４＋６９＝１０３.所以λ１＋λ２是定值１０３.２１.(１)由散点图可以判断ꎬｙ＝ｃｅｄｘ更适宜作为平均产卵数ｙ关于平均温度ｘ的回归方程类型.(２)将ｙ＝ｃｅｄｘ两边同时取自然对数ꎬ可得ｌｎｙ＝ｌｎｃ＋ｄｘ.由题中的数据可得ꎬð７ｉ＝１ｘｉｚｉ－７ｘ－ｚ－＝３３.６ꎬð７ｉ＝１ｘｉ－ｘ－()２＝ð７ｉ＝１ｘ２ｉ－７ｘ－２＝１１２.所以ｄ＝ð７ｉ＝１ｘｉｚｉ－７ｘ－ｚ－ð７ｉ＝１ｘ２ｉ－７ｘ－２＝３３.６１１２＝０.３.则ｌｎｃ＝ｚ－－ｄｘ－＝３.６－０.３ˑ２７＝－４.５.所以ｚ关于ｘ的线性回归方程为ｚ＝０.３ｘ－４.５.故ｙ关于ｘ的回归方程为ｙ＝ｅ０.３ｘ－４.５.(３)用Ｘ１ꎬＸ２和Ｘ３分别表示选择三种方案的收益.采用第１种方案ꎬ无论气温如何ꎬ产值不受影响ꎬ收益为２００－１８＝１８２万ꎬ即Ｘ１＝１８２.采用第２种方案ꎬ不发生２８ħ以上的红蜘蛛虫害ꎬ收益为２００－１０＝１９０万ꎬ如果发生ꎬ则收益为１００－１０＝９０万ꎬ即Ｘ２＝１９０ꎬ不发生２８ħ以上的红蜘蛛虫害ꎬ９０ꎬ发生２８ħ以上的红蜘蛛虫害.{同样ꎬ采用第３种方案ꎬ有Ｘ３＝２００ꎬ不发生虫害ꎬ１６０ꎬ只发生２２－２８ħ虫害ꎬ１００ꎬ发生２８ħ以上虫害.ìîíïïïï所以ＥＸ１()＝１８２ꎬＥＸ２()＝１９０ˑＰＸ２＝１９０()＋９０ˑＰＸ２＝９０()＝１９０ˑ０.９＋９０ˑ０.１＝１７１＋９＝１８０ꎬＥＸ３()＝２００ˑＰＸ３＝２００()＋１６０ˑＰＸ３＝１６０()＋１００ˑＰＸ３＝１００()＝２００ˑ０.６＋１６０ˑ０.３＋１００ˑ０.１＝１７８.显然ꎬＥＸ１()最大ꎬ所以选择方案１最佳.２２.(１)若ｆｘ()ɤ０在０ꎬ＋ɕ()上恒成立ꎬ即ａɤ－２ｌｎｘｘ.令ｕｘ()＝－２ｌｎｘｘꎬ所以ｕᶄｘ()＝－２－２ｌｎｘｘ２＝２ｌｎｘ－１()ｘ２.所以当０<ｘ<ｅ时ꎬｕᶄｘ()<０ꎬ当ｘ>ｅ时ꎬｕᶄｘ()>０ꎬ所以ｕｘ()在０ꎬｅ()上单调递减ꎬ在ｅꎬ＋ɕ()上单调递增.所以ｕｘ()ｍｉｎ＝ｕｅ()＝－２ｅ.所以ａɤ－２ｅ.即ａ的取值范围是－ɕꎬ－２ｅæèç].(２)令ｇｘ()＝０ꎬ即ｘ２－２ｌｎｘｘ－ａ＝０.令ｈｘ()＝ｘ２－２ｌｎｘｘ－ａꎬ则ｈᶄｘ()＝２ｘ－２１－ｌｎｘ()ｘ２＝２ｘ３＋ｌｎｘ－１()ｘ２.令ｒｘ()＝ｘ３＋ｌｎｘ－１ꎬ所以ｒᶄｘ()＝３ｘ２＋１ｘ>０.所以ｒｘ()在０ꎬ＋ɕ()上单调递增.又ｒ１()＝０ꎬ所以当０<ｘ<１时ꎬｒｘ()<０.所以ｈᶄｘ()<０.当ｘ>１时ꎬｒｘ()>０ꎬ所以ｈᶄｘ()>０.所以ｈｘ()在０ꎬ１()上单调递减ꎬ在１ꎬ＋ɕ()上单调递增.不妨设ｘ１<ｘ２ꎬ则０<ｘ１<１<ｘ２ꎬ０<１ｘ２<１.因为ｈｘ１()＝ｈｘ２()＝０ꎬ所以ｈｘ１()－ｈ１ｘ２æèçöø÷＝ｈｘ２()－ｈ１ｘ２æèçöø÷＝ｘ２２－２ｌｎｘ２ｘ２－ａæèçöø÷－１ｘ２２－２ｌｎ(１/ｘ２)１/ｘ２－ａ[]＝ｘ２＋１ｘ２æèçöø÷ｘ２－１ｘ２－２ｌｎｘ２æèçöø÷.设函数φｘ()＝ｘ－１ｘ－２ｌｎｘ(ｘ>１)ꎬ则φᶄｘ()＝１＋１ｘ２－２ｘ＝ｘ－１()２ｘ２>０在１ꎬ＋ɕ()上恒成立.所以φｘ()在１ꎬ＋ɕ()上单调递增.所以φｘ２()＝ｘ２－１ｘ２－２ｌｎｘ２>φ１()＝０.所以ｈｘ１()－ｈ１ｘ２æèçöø÷>０.即ｈｘ１()>ｈ１ｘ２æèçöø÷.又函数ｈｘ()＝ｘ２－２ｌｎｘｘ－ａ在０ꎬ１()上单调递减ꎬ所以０<ｘ１<１ｘ２<１.所以ｘ１ｘ２<１.[责任编辑:李㊀璟]。
2024年高考第一次模拟考试——数学(新高考Ⅰ卷01)(全解全析)
2024年高考数学第一次模拟考试数学（新高考I卷）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是，再根据共轭复数定义即可得结果．．．．【答案】C【分析】根据奇偶性和赋值即可判断选项【详解】由2()sin ln f x x x f -=-⋅=-()x 是奇函数，且定义域为{BD ；π时，()2πsinπln π0f =⋅=，排除C．已知n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列}n a 的前n 项和，设甲：数列*N n ∈，均有0n S >，则（．甲是乙的充分条件但不是必要条件．甲是乙的必要条件但不是充分条件．甲是乙的充要条件．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】利用定义法直接判断符合数列7．已知tan(+)αβ，tan(α-A ．2-B ．-【答案】D【分析】由题意可求出tan(α()()2ααβαβ=++-，2β式求值即可.【详解】因为tan(+)αβ，tan(所以tan(+)+tan()=a b a b --因为()()sin sin 2cos 2cos αβαβαβ++⎡⎣=+-⎡⎣()()()()tan tan 1tan tan αβαβαβαβ++-=++⋅-故选：D8．已知91ln ,,e 89a b c -===A ．a b c>>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
2025届新高三数学开学摸底考试卷01(新高考通用)01(解析版)
2025届新高三开学摸底考试卷（新高考通用）01数学•全解全析（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{23}A xx −<<∣，{}250,B x x x x =−<∈N ∣，则A B = （ ） A ．{03}xx <<∣ B ．{25}x x −<<∣ C ．{0,1,2} D ．{1,2}【答案】D【分析】先求集合B ，注意x N ∈，再求A B ∩.【详解】250x x −<⇒05x <<，又因为x N ∈，所以{1,2,3,4}B =，得{1,2}A B = ． 故选：D ． 2．已知复数z 满足4i2i z z −=−，则z 的虚部为（ ） A ．1i 5B ．1i 10 C ．15D ．110【答案】C【分析】根据条件，利用复数的四则运算，即可求出结果. 【详解】因为4i2i z z−=−，所以4i 12z z +=，所以()124i z =−,所以()()124i 24i 11i 24i24i 24i 20105z ++====+−−+，所以z 的虚部为15，故选：C ．3．已知π(0,),3sin 2cos 212ααα∈=+，则tan 2α=（ ）AB C ．34D ．43【答案】C【分析】利用二倍角的正余弦公式求出tan α，再利用二倍角的正切公式计算即得.【详解】由3sin2cos 21αα=+，得26sin cos 2cos ααα=，而π(0,)2α∈，即cos 0α>， 则1tan 3α=，所以22122tan 33tan 211tan 41()3ααα×===−−. 故选：C4．若命题：“a ∃，R b ∈，使得cos cos a b b a −≤−”为假命题，则a ，b 的大小关系为（ ） A ．a b < B ．a b > C ．a b ≤ D ．a b ≥【答案】B【分析】由命题的否定为真命题，转化为cos cos a a b b +>+成立，构造函数利用导数判断单调性即可得解. 【详解】由题意，命题的否定“a ∀，R b ∈，使得cos cos a b b a −>−”为真命题， 即cos cos a a b b +>+，设()cos f x x x =+，则()1sin 0f x x ′=−≥， 所以()f x 为增函数，所以由()()f a f b >可知a b >， 故选：B5．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm ，足径14.4cm ，高3.8cm ，其中底部圆柱高0.8cm ，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附：π的值取35≈）A ．2311.31cmB ．2300.88cmC ．2322.24cmD ．2332.52cm【答案】A【分析】首先求圆台母线长，再代入圆台和圆柱侧面积公式，即可求解. 【详解】设该圆台的母线长为l ，两底面圆半径分别为R ，r （其中R r >）， 则222.5R =，214.4r =， 3.80.83h =−=，所以5l ≈，故圆台部分的侧面积为()()21 π311.2276.7557.25cm S R r l =+≈×+×=， 圆柱部分的侧面积为222π0.867.20.834.56cm S r =⋅=××=， 故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为212276.7534.56 311.31cm S S +≈+=.故选：A.6．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B 点（A ，B ，P ，Q 在同一个平面内），在B 处测得山顶P 的仰角为60°，则山高PQ 为（ ）米A． B． C．1)− D．1)【答案】A【分析】在ABP 中，利用正弦定理求AP ，进而在Rt PAQ 中求山的高度.【详解】依题意，45PAQ ∠=，15BAQ ∠= ，则30PAB ∠= ，45APQ ∠= ， 又60PBC ∠= ，则30BPC ∠= ，即有15BPA ∠= ，135PBA ∠= ， 在ABP 中，90AB =， 由正弦定理得sin sin AP ABABP APB=∠∠，且sin15sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45=−=−=，则sin 90sin135sin sin15AB ABP APAPB ∠===∠， 在Rt PAQ中，sin 45PQAP ==， 所以山高PQ为米. 故选：A7．已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与E 的右支交于A ，B两点，且222BF AF =，若10AF AB ⋅=，则双曲线E 的离心率为（ ） ABCD【答案】B【分析】设2AF t =，则22BF t =，根据双曲线的定义，可得1AF 和1BF ，再在直角三角形中，利用勾股定理可得关于a ，c 的关系，可得双曲线的离心率.【详解】如图：设2AF t =，则22BF t =，根据双曲线的定义，可得12AF a t =+，122BF a t =+， 因为10AF AB ⋅=，所以190BAF ∠=°， 所以222121222211AF AF F F AF AB BF += += ⇒()()()()()222222222322a t t c a t t a t ++= ++=+ 由()()()2222322a t t a t ++=+⇒23a t =， 代入()()22222a t t c ++=可得22179a c =⇒e ca ==故选：B【点睛】方法点睛：选择填空题中，出现圆锥曲线的问题，首先要考虑圆锥曲线定义的应用，不能用定义，再考虑其他方法.8．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()22,(1)2f x f y f x y xy f +=+−+=，则下列结论正确的是（ ） A ．(4)12f = B ．方程()f x x =有解 C ．12f x+是偶函数D ．12f x−是偶函数【答案】C【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即可判断.【详解】对于A ，因为函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()22,(1)2f x f y f x y xy f +=+−+=， 取1xy ==，得(1)(1)(2)22f f f +=−+，则(2)4f =， 取2xy ==，得(2)(2)(4)82f f f +=−+，则(4)14f =，故A 错误； 对于B ，取1y =，得()(1)(1)22f x f f x x +=+−+，则(1)()2f x f x x +−=， 所以()(1)2(1),(1)(2)f x f x x f x f x −−=−−−−=2(2),,(2)(1)2x f f −−=， 以上各式相加得[]22(1)2(1)()(1)2x x f x f x x −+⋅−−==−，所以2()2f x x x −+，令2()2f x x x x =−+=，得2220x x +=−，此方程无解，故B 错误. 对于CD ，由B 知2()2f x x x −+，所以22111722224f x x x x+=+−++=+是偶函数，21112222f x x x −−−−+21124x x −+不是偶函数，故C 正确，D 错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到(1)()2f x f x x +−=，再利用等差数列数列的求和公式得到2()2f x x x −+，从而得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[)80,90内的学生成绩方差为12，成绩位于[)90,100内的同学成绩方差为10.则（ ）参考公式：样本划分为2层，各层的容量､平均数和方差分别为：m 、x 、21s ；n 、y 、22s .记样本平均数为ω，样本方差为2s ，()()2222212m n s s x s y m n m n ωω =+−++−++.A ．0.004a =B ．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14C ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50D ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【答案】BCD【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，列等式求出实数a 的值，可判断A 选项；利用中位数的定义可判断B 选项；利用总体平均数公式可判断C 选项；利用方差公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，则()23762102001a a a a a a ++++×==，解得0.005a =，A 错；对于B 选项，前两个矩形的面积之和为()2310500.250.5a a a +×==<， 前三个矩形的面积之和为()237101200.60.5a a a a ++×==>， 设计该年级学生成绩的中位数为m ，则()70,80m ∈，根据中位数的定义可得()0.25700.0350.5m +−×=，解得77.14m ≈， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14，B 对； 对于C 选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为62859587.56262a aa a a a×+×=++分，C 对； 对于D 选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为()()22311287.5851087.59530.2544 +−++−=，D 对.故选：BCD.10．已知函数π()sin 33f x x =+，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π3B ．点π,06为()f x 图象的一个对称中心C ．若()(R)f x a a =∈在ππ,189x∈− 1a ≤<D ．若()f x 的导函数为()f x ′()()y f x f x =+′ 【答案】ACD【分析】对于A ，直接由周期公式即可判断；对于B ，直接代入检验即可；对于C ，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D ，求得后结合辅助角公式即可得解. 【详解】由题意可得2π3T =，故A 正确； π5π1sin 0662f==≠，所以π,06 不是()f x 图象的一个对称中心，故B 错误；令π33t x =+，由ππ189x −≤≤得π2π63t ≤≤，根据题意可转化为直线y a =与曲线π()sin 33f x x =+，ππ,189x ∈− 有两个交点，1a ≤<，故C 正确； 设()f x ′为()f x 的导函数，则()()πππsin 33cos 33333f x f x x x x ϕ+=+++=++≤′tan 3ϕ=，当且仅当ππ32π,Z 32x k k ϕ++=+∈，即当且仅当π2π,Z 3183k x k ϕ=−++∈时等号成立，故D 正确， 故选：ACD ．11．已知1x 是函数 ()()30f x x mx n m =++<的极值点，若()()()2112f x f x x x =≠，则下列结论 正确的是（ ） A ．()f x 的对称中心为()0,n B ．()()11f x f x −> C ．1220x x += D ．120x x +>【答案】AC【分析】利用()()002f x f x n ++−=，可判断A ；令()0f x ′=，解得x ，代入()()11f x f x −−可判断B ；利用导数判断出()y f x =的单调性并求出极值点，结合图像分情况由()()()2112f x f x x x =≠解出2x ，可得1220x x +=可判断C ；利用C 选项，若1x =2x =120x x +<可判断D.【详解】对于A ，因为()()33002f x f x x mx n x mx n n ++−=++−−+=，所以()f x 的对称中心为()0,n ，故A 正确；对于B ，()23f x x m =′+，令()0f x ′=，解得x =当1x =时， ()()33111111f x f x x mx n x mx n −−=−−+−−−()21123m x x m m −=−+−+因为0m <，所以0>，可得()()11f x f x −>，当1x = ()()33111111f x f x x mx n x mx n −−=−−+−−−()21123m x x m m − =−++，因为0m <0<，可得()()11f x f x −<，故B 错误；对于C ，令()0f x ′=，解得x =，当x >或x <()0f x ′>，()y f x =是单调递增函数，当x <()0f x ′<，()y f x =是单调递减函数，所以()y f x =在x =时有极大值，在x =如下图，当1x =()()()2112f x f x x x =≠，则 ()()()()33221211*********f x f x x mx n x mx n x x x x x x m −=++−−−=−+++=，可得2211220x x x x m +++=，即22203m x m −++=，解得2x =， 所以1220x x +=；当1x =时，如下图，若()()()2112f x f x x x =≠，则 ()()()()33221211*********f x f x x mx n x mx n x x x x x x m −=++−−−=−+++=，可得2211220x x x x m +++=，即22203m x m −++=，解得2x = 所以1220x x +=；综上所述，1220x x +=，故C 正确；对于D ，由C 选项可知，若1x =，2x =所以120x x +，故D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数研究函数的单调性和极值点.第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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新高考数学第一次模拟试卷带答案一、选择题1．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+D ．0.3 4.4y x =-+2．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）A ．由两个圆锥组合成的B ．由两个圆柱组合成的C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的3．2532()x x -展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．-80 C ．40 D ．-40 4．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ）A ．3+3iB ．-1+3iC ．3+iD ．-1+i5．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,,A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．函数32()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞C ．(,0)-∞D ．(0,2)7．不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．1x <-或4x >B ．0x 或2x -C ．0x <或2x >D ．12x -或3x 8．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM = AB ．532CD9．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．样本12310,?,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为（ ）A ．()a b +B ．2()a b +C ．1()2a b + D ．1()10a b + 11．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．以上均有可能12．已知a R ∈，则“0a =”是“2()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______.14．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．15．已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值为__________．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 17．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）18．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.19．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C Cc B B+=+，C 是锐角，且27a =1cos 3A =，则ABC △的面积为______． 20．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是三、解答题21．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α<π）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为5l 的普通方程． 22．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2nn na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .23．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==，2CA CB CD BD ====. （1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．24．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3BAD π∠=，PAD ∆是等边三角形，F 为AD 的中点，PD BF ⊥.（1）求证：AD PB ⊥； （2）若E 在线段BC 上，且14EC BC =，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？若存在，求四面体D CEG -的体积. 25．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大26．如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B ；故选A ．考点：线性回归直线.2．D解析：D 【解析】 【分析】根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3．C解析：C 【解析】 【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】2532()x x -展开式的通项公式为:53251()2()r rr r T C x x-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r ，故展开式中的常数项为25230(42)T C ==-.故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.4．C解析：C 【解析】因为2(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案． 【详解】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．6．D解析：D 【解析】 【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-<⇒=+∴=<-<，所以函数的单调减区间为(0,2)，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，题目可以转化为找x≤-12或x≥3的必要不充分条件条件，依次分析选项即可得答案． 【详解】根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，则2x 2-5x-3≥0⇔x≤12-或3x ，所以可以转化为找x≤-12或x≥3的必要不充分条件； 依次选项可得：x 1<-或x 4>是12x ≤-或x≥3成立的充分不必要条件； x 0≥或x 2≤-是12x ≤-或x≥3成立的既不充分也不必要条件x 0<或x 2>是12x ≤-或x≥3成立的必要不充分条件；x≤-12或x≥3是12x ≤-或x≥3成立的充要条件； 故选C ． 【点睛】本题考查了充分必要条件，涉及一元二次不等式的解答，关键是正确解不等式2x 2-5x-3≥0．8．C解析：C 【解析】试题分析：先求得M （2,32，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM =，故选C ．考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用． 点评：简单题，应用公式计算．9．A解析：A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.10．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知1210121010,10a a a a b b b b +++=+++=，所以所求平均数为()121012101210121012020202a a ab b b a a a b b b a b +++++++++++++=+=+考点：样本平均数11．C解析：C 【解析】 【分析】ABAB 和ACAC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由12AB AC ABAC⋅=可求出A ∠，即得三角形形状。