杆件的稳定性分析与稳定性设计
第11章 稳定分析与稳定性设计
第11章压杆的稳定性分析与稳定性设计工程力学学习指导第11章压杆稳定性分析与稳定设计11.1 教学要求与学习目标1. 掌握有关弹性体稳定的基本概念：1)稳定的平衡构形(位置)与不稳定的平衡构形(位置)。
2) 平衡路径，分叉，分叉点。
3) 屈曲(丧失稳定)。
4)判别压杆平衡稳定性的静力学准则。
5)细长压杆分叉点的平衡稳定性。
特别要掌握弹性体失稳时其直线平衡构形将突然转变为弯曲构形这一物理本质，并用以理解、分析和处理一些理论问题和实际问题。
2. 弄清影响压杆承载能力的因素，正确理解弹性压杆临界力公式推导过程，弄清临界力公式中每一项的意义以及公式的应用条件，正确计算临界力。
3. 正确区分弹性失稳及超过比例极限的失稳问题，区别三类不同长细比杆，分别采用不同的公式进行计算。
11.2 理 论 要 点11.2.1平衡构形的稳定性和不稳定性图11-1 压杆的两种平衡构形结构构件或机器零件在压缩载荷或其他特定载荷作用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡位置，又称为平衡构形。
承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构形－直线的平衡构形与弯曲的平衡构形，分别如图11-1所示。
当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使其偏离平衡构形，外界扰动除去后，构件仍能回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是稳定的。
扰动除去后，构件不能回复到原来的平衡构形，则称初始的平衡构形是不稳定的。
此即判别弹性平衡稳定性的静力学准则。
不稳定的平衡构形在任意微小的外界扰动下，将转变为其他平衡构形。
例如，不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。
这一过程称为屈曲或失稳。
通常，屈曲将使构件失效,并导致相关的结构发生坍塌。
由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。
11.2.2临界状态与临界载荷介于稳定平衡构形与不稳定平衡构形之间的平衡构形称为临界平衡构形，或称为临界状态。
处于临界状态的平衡构形，有的是稳定的，有时是不稳定的，也有的是中性的。
【doc】扣件式钢管模板支架杆件的稳定性分析
扣件式钢管模板支架杆件的稳定性分析0;t0施_l_技求蠢誊鬻∥0≥!::扣件式钢管模板支架杆件的稳定性分析王树军(温州建设集团公司第六分公司,温州325001)摘要从对当前扣件式钢管模板支架杆件稳定分析与设计中的一些不足出发,结合现场试验中立杆在偏心受压条件下表现出的特性以及理论上对偏心受力杆件的内力分析结果.提出了在分析扣件式钢管模板支架时应将其视为完整的空间结构体系.不应简单地将各构件加以独立考虑.同时提出了一些杆件架设时的建议措施,可供施工单位参考.关键词建筑施工扣件钢管模板支架稳定性1引言扣件式钢管模板支架是我国在各类混凝土结构中最常用的模板支架体系之一.由于对该类支架体系的研究不够,加上组成支架体系各组件的质量难以保证,在工程中也发生了多起支架体系坍塌,人员伤亡事故.我们必须吸取血的教训,认真对这类支架体系进行细致地研究,解决其中的技术问题,以堵绝此类事故的再次发生.扣件式钢管模板支架的设计与架设目前尚没有专门的规范,在实际工程中也只是借鉴脚手架的计算方法进行设计.在《建筑施工扣件式钢管脚手架安全技术规范》(JGJl30—2001)…中也只是借鉴英国《脚手架实施规范》(BS5975一l982)对模板支架立杆的计算长度1作了一定的延长,来保证立杆的稳定性.而其它的计算完全按脚手架立杆轴心受压杆件进行稳定性验算,对水平杆的计算和架设均作出相应的要求和规定.本文试图从理论与工程实践的角度对扣件式钢管模板支架杆件的稳定性作些探索,以引起对保证扣件式钢管支架体系稳定的计算,架设方法研究的重视.2现行设计计算方法讨论目前对扣件式钢管模板支架体系的设计以立杆的单杆稳定为核心,将立杆独立进行轴心受压稳定验算.按(《建筑施工扣件式钢管脚手架安全技术规范》(JGJl30-2001)中的要求,模板支架立杆的稳定性按式(1)验算:N≤f(1)式中:N一计算立杆段的轴向力设计值,当不组合风荷载时:N=1.2∑+1.4Nnl组合风荷载时:N=1.2NEGk+0.85×1.4EN.k其中:EN为模板及支架自重,新浇混凝土自重与钢筋自重标准值产生的轴向力总和.EN.为施工人员及施工设备荷载标准值,振捣混凝土时产生的荷载标准值产生的轴向力总和.‘p——轴心受压构件的稳定系数A——立杆的截面面积,对于048X3.5钢管,A=4.89cml对5lX3.0钢管,A=4.52cmlf——钢材的抗压强度设计值,Q235钢管,f=205N/mm!.模板支架立杆的计算长度L,按式(2)取值:lo=h+2a(2)式中:h——支架立杆的步距Ia——模板支架立杆伸出顶层横向水平杆中心线至模板支撑点的长度.由于一般的房屋建筑结构中,模板支架体系不直接承受风荷载作用,按《t昆凝土结构施工及验收规范(GB50204)’的要求,模板支架的立杆也无需考虑风荷载的影响,当扣件式钢管模板支架体系用于象桥梁,门楼和门洞的模板支撑时,就需要考虑风荷载的作用.关于计算长度l的取值有值得探讨之处,首先,以立杆步距作为基本的长度,将两端均作为铰接处理是一个近似的处理. 在工程实践中,水平杆的连接点上扣件的松紧程度会对计算模式的正确性产生影响,既使扣件按要求安装,扣件与立杆间的微小滑移也是不可避免的,尤其是顶层水平杆与立杆的连接点.其次是关于另加的2a,这与立杆的实际工作状况出入较大.在目前大部分扣件式钢管模板支架体系中,立杆一般是不与模板直接接触的,模板及模板以上部分的荷载是通过楞条或肋板传递给顶层水平杆,再由顶层水平杆与立杆的连接传递给立杆,如图l所示,最上步距顶层水平杆中心线至模板支撑点部分立杆实际上处于自由状态,而中问步距计算长度与顶层的立杆的伸出与否也没有关系.实际上,长度a是楞条或肋板的稳定计算中需要考虑的参数.所以,式(2)笼统地增加一个并不相关的长度来作近似处理,缺乏科学性.‘J1__一,,●.一E=,26_一_一__一地基t曩曩图1扣件式钢管模板支撑体系的基本形式欢迎访问:《中国化工建设网》49;艘设Co工nstr程uct.”誊黪0奄土_l技0攀囊j1一楞条或肋板;2一立杆;3一顶层水平横杆;4一中间层水平横杆:5一挡地杆;B一模板3偏心受压对杆件稳定的影响扣件式钢管模板支架的立杆受偏心力作用是显而易见的.在标准扣件条件下,偏心距e是确定的(对一般的直角型扣件%=53mm,对旋转型扣件e=69mm).偏心距的存在势必会造成立杆的偏心受压,这一点可从实验和理论两方面得以证实.3.1现场加荷试验试验在某高层住宅现浇楼板模板支架上进行,旨在分析立杆在偏心压力作用下立杆不同截面上应变的分布状态.荷载在立杆两侧施加,由于是现场试验,无法将单根立杆加以分离,周围立杆和水平杆对试验结果都产生了不同程度的影响.试验立杆的布置如图2所示.在立杆的两个步距中间部位,由偏心压力作用平面内的对称轴线上布设应变计,在立杆的下部设置了荷载传感器,测传递至下部的荷载总量.按板图2现场立杆加载试验示意图l一荷载传感器.2一立杆?3一顶层横杆.4一中间层横杆.5一挡地杆. 由于试验是在上层楼盖浇灌混凝土后进行的,支架体系已形成,且已经承担了相应的自重荷载和施工荷载,加上现场加载条件所限,施加的荷载量不大,杆件的反映不够显着,但还是可以看出一些定性的规律.有些规律在设计中考虑并不充分,或者对支架作为一个整体支撑系统的研究不够,目前还很难来全面揭示其内在规律性.但试验给出了一个很好的提示,即对扣件式钢管模板支撑体系的研究,不能仅仅局限于对某个杆件进行,而要从整体结构体系上认识每个杆件在其中的作用.虽然本次试验有一定的局限性,为了完整起见将试验数据列于表l.表1现场加载试验数据表\荷载(kN)2.263.564.96项目,\荷载传感器测值(kN)0.200.301.34上部西侧应变(e)一36-48-67上部东侧应变(e)一ll—l5—2l下部西侧应变(e)一4—6一l2下部东侧应变(e)--4—6一l0从试验数据中可见:(1)顶层水平横杆上加的荷载经过几道水平杆的作用,传到下部的荷载不大.当然在荷载量比较大且全面施加时会有另外的规律,这次是局部加载,周围支撑体系共同作用,使上部的荷载不能有效下传.同时,下部楼板的刚度变化也会影响上部荷载的下传规律.(2)由于水平杆的作用,对于下部立杆偏心受压情况反映不明显,而上面一个步长内的偏心作用有所反映.虽然本次对立杆的局部简单加载试验,无法揭示扣件式钢管支撑体系的传力规律,但可以看出,水平向杆件也有很大的作用.因此,应当提高对水平杆件的重视程度,要对其布置方式和计算模式加以研究.3.2偏心受压杆件的理论分析从上述试验可见,立杆在偏心压力的P的作用下,会将偏心作用下传,但这种传递受到支撑体系的影响,无法在立杆的全长内产生作用,而只是在一定步距内引起偏心压力的分布.正因为体系的这种作用效果,使水平杆也会受到偏心力的作用,在一般的设计中是不考虑水平杆件偏心力作用问题的.当有一个初偏心距en作用于受压杆件时(如图3),在弹性工作阶段,力矩的平衡方程为l图3有初偏心的轴心压杆E-+py=-Peo(3)西]解得杆件的挠曲线方程为:y=e.(coskx+sinkX-I)(4).+sinkX-1)’4’式中:k2=p/EI,令x=l/2,可得杆中央的最大挠度为:V=eo[Sec(P/PE)..一1j(5)将sec号(P/PE)展开为幂级数,并近似取挠曲线为正弦曲线,苛得杆中央截面上最大弯距:M一=P(e.+V)=Peo(6)式中:P=EI/l为无初偏心条件下的弹性临界力.显然,考虑了初偏心后,杆件的危险截面的内力明显增大,也必然造成杆件在此处产生较大的挠度,给杆件的稳定性带来不利的影响. 不论是立杆.还是水平杆都有这样的问题.立杆在设计时通过50欢迎访问:<中国化工建设网)cenl”.org;霪鬻鬻辫:!二=墨墼二一壁鎏窒羔二兰兰Vl0I.26No.22004稳定系数近似地加以考虑.但水平杆没有这方面的考虑”,而且水平杆的受力状态也很难确定,当立杆有较大挠度,且水平杆连接的两端立杆产生相背方向的挠曲时,中间层水平杆内将产生很大的压力,此时也会引起水平杆的屈曲,从而导致立杆的失稳.3.3关于杆件的设置建议从上述分析可知,水平杆件在整个模板支撑体系中也具有与立杆同样重要的意义,由于目前要正确确定水平杆件的内力尚有不少困难,也就无法从理论上提出具体的设计计算方’.但可以从杆件的架设上采取必要的措施,避免杆件中产生应力集中.(1)顶层传力水平杆的布设应成对一侧设置,以便使立杆间距内的水平杆成为拉杆;(2)欲减少水平杆设置时,要根据立杆的偏心受力弯曲方向,保证每根立杆必须有弯曲平面方向的水平杆作支点,与弯曲平面垂直的方向上可适当减少水平杆数量.(3)立杆间距较大区域.要保证水平杆处于受拉状态,以避免水平杆的失稳.(4)立杆与水平杆的连接扣件要保证达到规范要求的扭矩,围4顶层水平杆成对设于一侧除安装时要求外,在支架工作状态发生变化时,要及时进行检查并调整扭矩.(5)在立杆稳定计算时,式(2)中的a改取扣件的有效高度更符合实际,对于对一般的直角型扣件,可取】=h+lO0.即将两端水平杆中心至扣件边缘距离作为计算长度的一部分.4结束语扣件式钢管模板支架体系是一个板,杆,块体等不同构件组成的空间结构体系.其受力过程受到施工工艺的反复影响,要全面分析这个体系中各构件的受力特性是比较困难的.但在设计与分析中仅以立杆作为设计与分析对象是远远不够的,立杆本身也不是一根简单的单向受力杆件.它受到体系中水平杆,楼板刚度,上部楞条和肋板等构件的作用影响.因此,要从整体上来认识扣件式钢管模板支架体系,全面分析各构件间的连接特征和相互作用关系,从而归纳出针对各构件的切合实际的计算模式,才能从本质上认识该类支架体系,从根本杜绝发生事故的源头.参考文献l中华人民共和国行业标准:《建筑施工扣件式钢管脚手架安全技术规范(JGJ130—2001),北京,2001年.2中华人民共和国国家标准:《混凝土结构施工及验收规范》(GB5O204)北京,2002年.3陈骥编着《钢结构稳定理论与设计》(第二版),科学出版社,北京,2003年9月.4杜荣军,”有关正确理解和应用(《建筑施工扣件式钢管脚手架安全技术规范》设计计算的几个问题”,建筑安全,2002年第4期. 5杜荣军,”有关正确理解和应用《建筑施工扣件式钢管脚手架安全技术规范》设计计算规定的几个问题”,建筑安全,2002年第5 期.(收稿日期:2004—03—12)(上接42页)推荐结果分3种情况(1)推荐发证.(2)进行整改,整改完毕发证l(3不发证.4授权证书发放ASME取证处接到联审小组审查结果和推荐意见后进行最终审查,若通过审查,在联审后1个月左右可给企业签发授权许可证书和相应钢印.5取(换)证体会ASME取(换)证工作是一项复杂的工作,涉及各专业,各部门,为了提高效率,密切配合,互相学习,第一次取证最好将有关人员组织在一起,成立一个取证办公室.取(换)证时间一般以5,7个月为宜,第一次取证时间可能较长.制造厂应具有相应的技术力量和人员素质,从事ASME锅炉压力容器设计,制造, 安装和检验的人员,要有充分的专业知识和英语水平,必须能看懂英文原版规范,只有这样才能理解并运用ASME规范.ASME 取证的关键是学习和应用规范,取(换)证单位应组织质保体系人员认真学习规范,必须达到能够熟练查阅,应用自如.只有这样才能达到掌握规范的目的,为取(换)证打下良好的基础. ASEM取(换)证并不是一件很困难的工作,只要根据AI的指导, 按照规范的要求积极,认真地准备,严格按照质保体系贯彻实施,一定能顺利通过联审取得ASME授权许可证书.参考文献1.ASMECodeSectionvⅢ.DiviSionl,200lEdition2.GuideforASMECodeSectionI,IV,andvⅢ,DiviSions1and2.ReviewsandtheNationalBoardRCertificateof Authorization,SecondReviSion,Apri119963.((ASME在中国》2002年第二期4.《取证审查指南》第二版(收稿日期:2002—08—07)欢迎访问:<中国化工建设网>51。
杆件强度、刚度、稳定性计算
杆件强度、刚度、稳定性计算建筑力学问题简答（五）杆件的强度、刚度和稳定性计算125．构件的承载能力，指的是什么？答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。
(1)足够的强度。
即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。
(2)足够的刚度。
即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。
(3)足够的稳定性。
即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。
126．什么是应力、正应力、切应力？答：内力在一点处的集度称为应力。
垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用ζ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用η表示。
127．应力的单位如何表示？答：应力的单位为Pa。
1 Pa=1 N／m2工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位1 MPa=106Pa1 GPa=10Pa128．应力和内力的关系是什么？答：内力在一点处的集度称为应力。
129．应变和变形有什么不同？答：单位长度上的变形称为应变。
单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。
130．什么是线应变？答：单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为ll9拉伸时ε为正，压缩时ε为负。
线应变是无量纲（无单位）的量。
131．什么是横向应变？答：拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。
设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为?a?a1?a横向应变ε/为??/?aa杆件伸长时，横向减小，ε/为负值；杆件压缩时，横向增大，ε/为正值。
因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。
132．什么是泊松比？答：试验证明，当杆件应力不超过某一限度时，横向应变ε与线应变ε的绝对值之比为一常数。
此比值称为横向变形系数或泊松比，用μ表示。
第二篇杆件的强度、刚度和稳定性
第⼆篇杆件的强度、刚度和稳定性第⼆篇杆件的强度、刚度和稳定性第六章基本知识与杆件的变形形式⼀、内容提要本章是第⼆篇——杆件的强度、刚度和稳定性的基本知识。
主要内容有变形固体及其基本假设以及杆件变形的基本形式。
变形固体在外⼒作⽤下能产⽣⼀定变形的固体弹性变形外⼒解除后，变形也随之消失的变形塑性变形外⼒解除后，变形并不能全部消失的变形⼩变形变形量与构件本⾝尺⼨相⽐特别微⼩的变形变形固体的基本假设连续性假设，均匀性假设，各向同性假设杆件变形的基本形式轴向拉伸或轴向压缩，剪切，扭转，平⾯弯曲⼆、思考题提⽰或解答6-1 什么是构件？什么是杆件？描述杆件的要素有哪些？杆件可以分为⼏种类型？⼯程中常见杆件是哪种杆？答：构件——组成建筑结构的单个物体。
杆件——指某⼀个⽅向（⼀般为长度⽅向）的尺⼨远⼤于其另外两个⽅向尺⼨的构件。
描述杆件的要素有横截⾯和轴线。
杆件可以分为直杆和曲杆，也可分为等裁⾯杆和变裁⾯杆。
⼯程中常见的杆件是等直杆。
6-2 学习第⼆篇杆件的强度、刚度、稳定性的主要任务是什么？答：在结构构件设计中，为解决安全可靠与经济节约这⼀⽭盾，提供系统的⼒学计算原理和基本⽅法。
6-3 简述变形固体的概念，变形固体有哪些基本假设？答：变形固体是指在外⼒作⽤下能产⽣⼀定变形的固体。
变形固体的基本假设有连续性假设，均匀性假设和各向同性假设。
6-4 什么是杆件的强度、刚度和稳定性？答：强度是指构件抵抗破坏的能⼒。
刚度是指构件抵抗变形的能⼒。
稳定性是指构件保持原有平衡状态的能⼒。
6-5 杆件变形的基本形式有哪⼏种？结合⽣产和⽣活实际，列举⼀些产⽣各种基本变形的实例。
答：杆件变形的基本形式有轴向拉伸或轴向压缩、剪切、扭转和平⾯弯曲四种。
工程力学-细长压杆稳定性分析
E为材料的弹性模量，常用单位GPa
I
为横截面的轴惯性矩，常用单位 m 4或m m4
l
为压杆长度，常用单位m或mm
μ为压杆的长度因数，反映压杆两端支承对临界力的影响。
由欧拉公式
cr
得到
Fcr 2 EI A (l ) 2 A
令
2 i I/A 令
2E cr ( l / i) 2
10 22 3 Iz 8873.3mm 4 12
I y I z 压杆截面必绕y轴转动而失稳，因此将Iy代入公式，计算
截面对y轴的惯性半径。
iy
Iy A
1833.3 2.89mm 22 10
0.5 800 138.4 2.89
得到矩形截面柔度为
y
l
iy
y 138.4 101 采用欧拉公式计算临界应力
cr s
s
几种材料的相应数值。
例一矩形截面压杆，两端固定，已知b=10mm，h=22mm，l=800mm，
材料为Q235钢，弹性模量E=206GPa，试计算此压杆的临界力和临界
应力。
22
10
解：1）计算压杆的柔度
压杆两端固定，μ =0.5，截面对y轴和z轴的惯性矩为：
22 10 3 Iy 1833.3mm 4 12
d0=50mm ，最大起重量 F = 90kN ，材料为 Q235 钢，规定稳定安全因 数 nw 4 ，试校核该螺旋杆稳定性。
解： 1 ）螺旋杆可以简化为下端固定，上端自由的杆，长度因数
μ =2。
2）计算柔度
i
I d 0 50 12.5mm A 4 4
理论力学中的杆件的稳定性分析
理论力学中的杆件的稳定性分析杆件的稳定性是理论力学中一个重要的研究方向，涉及力学的力学定律、结构力学、弹性力学以及杆件设计等多个领域。
本文将介绍杆件的稳定性分析，并探讨其在工程实践中的应用。
一、杆件的定义和基本性质杆件是指在力学中，作为传递力或者支撑结构的直线构件。
其具有以下基本性质：1. 杆件是刚性体，可以承受各种受力状态。
2. 杆件可以在一个或多个方向上受到压力、拉力和弯矩等作用。
3. 杆件的几何尺寸和材料性质对其稳定性有直接影响。
4. 杆件的稳定性与其几何形状、材料特性、受力状态等因素密切相关。
二、杆件的稳定失效模式杆件的稳定性分析主要关注其在受力状态下是否会发生不稳定失效，常见的失效模式有以下几种：1. 屈曲失效：当杆件受到压力时，由于其几何形状或材料特性等原因导致屈曲失效。
2. 屈服失效：当杆件受到拉力或弯矩时，超过了杆件的屈服极限，导致屈服失效。
3. 稳定失效：由于杆件的几何形状不合理，受力状态不均匀等原因导致杆件整体失去稳定性，无法承受正常工作载荷。
三、杆件稳定性分析的方法为了准确评估杆件的稳定性，可以采用以下几种方法：1. 静力分析：通过受力平衡条件，推导出杆件的受力状态，以及杆件所受到的压力、拉力和弯矩等。
这种方法适用于简单的几何形状和受力情况。
2. 动力分析：考虑杆件在动力载荷下的响应，通过求解杆件的振动特性，进而得出其稳定性。
这种方法适用于较为复杂的几何形状和非静态载荷。
3. 弹性稳定分析：通过引入杆件的刚度、几何形状等参数，结合稳定性方程和边界条件，求解杆件稳定性的临界载荷。
这种方法适用于更加复杂的情况，考虑了杆件的材料特性和几何形状等因素。
四、杆件稳定性分析的应用杆件的稳定性分析在工程实践中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 结构设计：在工程设计中，稳定性分析是确定结构合理性、安全性的重要手段，通过对杆件的稳定性进行分析，可以优化和改进结构设计方案。
2. 机械工程：在机械装置中，杆件的稳定性分析可以用于评估杆件的工作性能和安全性，为装置的正常运行提供依据。
工程力学11-压杆的稳定性分析与设计解析
11.1.3 三种类型压杆的临界状态 压杆的分类：
细长杆 ——当F >Fcr时容易发生弹性屈曲 当F≤Fcr时不发生屈曲
中长杆 ——当F >Fcr时发生屈曲，但不再是弹性的
粗短杆 ——不会发生屈曲，失效属于强度破坏
《工程力学》
11.2
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
长细比概念三类不同压杆判断
11.3.2 三类不同压杆的区分
ห้องสมุดไป่ตู้
因，屈曲在弹性范围内导出
故有：
scr =
Fcr A
≤[sp]
在比例极限内有效
稳定平衡构形到屈曲（不稳定平衡构形）是一个 过程。
介于这个过程之间的平衡构形——临界平衡构形
或称：“临界状态” 临界载荷
处于临界状态时，杆件所受的施压载荷
称：“临界载荷”，或临界力，Fcr
《工程力学》
11.1
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
令：当材料达到比例极限时的长细比为“lp” 当材料屈服极限时的长细比为“ls”
细长杆 中长杆 粗短杆
—— l ≥ lp —— lp >l ≥ ls —— l < ls
细长压杆的临界载荷
机械结构稳定性与强度分析与优化
机械结构稳定性与强度分析与优化作为机械工程的重要分支，机械结构的稳定性和强度分析与优化是设计过程中关键的环节。
本文将探讨机械结构的稳定性与强度分析的方法，并介绍一些常用的优化技术，以期为读者提供有益的指导和启示。
一、机械结构的稳定性分析稳定性是指结构在外力作用下不发生失稳或塌陷的能力。
稳定性分析的目的是确定结构的临界稳定状态，并评估结构的稳定性能。
常用的稳定性分析方法包括线性稳定性分析和非线性稳定性分析。
1. 线性稳定性分析线性稳定性分析是指在小变形假设下，通过分析结构的刚度矩阵和荷载矩阵，计算结构的临界稳定状态。
在线性稳定性分析中，常用的方法有弹性稳定性分析和杆件稳定性分析。
弹性稳定性分析是通过计算结构的临界载荷来评估结构的稳定性。
在计算中，通常采用有限元法或解析法来求解结构的刚度矩阵和荷载矩阵，从而得到临界载荷。
通过与实际荷载进行比较，可以判断结构的稳定性。
杆件稳定性分析是指通过计算杆件受压时的临界稳定状态来评估结构的稳定性。
在杆件稳定性分析中，常用的方法有欧拉公式和Rankine公式等。
这些公式通过计算杆件的临界弯曲载荷来判断结构的稳定性。
2. 非线性稳定性分析非线性稳定性分析是指考虑结构的大变形和材料的非线性特性，通过求解结构的非线性方程来计算结构的临界稳定状态。
非线性稳定性分析包括弹塑性稳定性分析和屈曲分析等。
弹塑性稳定性分析是指在结构发生塑性变形的情况下，通过求解结构的塑性方程和平衡方程，计算结构的临界稳定状态。
在弹塑性稳定性分析中，常用的方法有有限元法和弹塑性平衡方程等。
屈曲分析是指通过求解结构的弯曲方程和平衡方程，计算结构的临界稳定状态。
在屈曲分析中，常用的方法有有限元法和解析法等。
这些方法可以综合考虑结构的刚度和荷载非线性，从而准确评估结构的稳定性。
二、机械结构的强度分析强度分析是指通过计算结构的应力和应变，评估结构在外力作用下的强度性能。
强度分析的目的是确定结构的疲劳寿命和可靠性，并采取相应的优化措施。
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二、提高压杆稳定性的途径
（一）合理选用材料 对于大柔度杆，临界应力σcr由欧拉公式确定，σcr与材料的弹性模量E成正比，选 E 值的大材料， 可提高大柔度杆的稳定性。但需注意，各种钢的 E 值相近，选用高强度钢，增加成本，却不能提高其稳 定行，所以，宜选用普通钢材；对于中、小柔读杆，临界应力的大小由抛物线公式确定，σcr与材料的 强度有关，材料的强度高，临界应力也高，所以，选用高强度钢，可提高其稳定性。 （二）合理选择截面形状 1、选择惯性矩 I 大的截面形状
（二）平衡稳定性的概念，临界力Pcr 如右图、在杆端施加一轴向力P（右图a），当P不大时，压杆保持 直线平衡状态，当沿杆轴线垂直方向施加一横向干扰力时，压杆只发生 微小的弯曲（右图b），干扰力消除后，杆经过多次摆动后仍能恢复到 原来的平衡状态（右图c）；当轴向力增大超过某一值Pcr时，压肛由原 来的稳定平衡状态过渡到不稳定的平衡状态，即干扰力消除后，压杆不 能恢复到原来的平衡状态（右图d）。
第七章 杆件的稳定性分析与稳定性设 计
第一节 受压杆件稳定的概念 第二节 压杆件的临界应力 第三节 压杆的稳定性设计 第四节 问题讨论与说明
第一节 受压杆件稳定的概念
一、压杆稳定的概念
（一）失稳的概念
对于细长压杆施加轴向压力，当其压应力远小于材料的极限应力时， 它便变弯曲，或因弯曲而折断。这种不能保持压杆原有直线平衡状态而突 然变弯的现象，称为压杆直线状态的平衡丧失了稳定性，简称压杆失稳。
综合以上几个方面，可得细长压杆的临界力计算公式——称为欧拉公式 ，即
2 EI Pcr 2 l
其中μ为支承系数——与支承形式有关的系数。
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第二节 压杆件的临界应力
一、临界应力
设压杆的横截面面积为A，则压杆的临界应力为
Pcr 2 EI cr A l 2 A
这种过渡状态成为临界状态，其中Pcr称为临界力。临界力是压杆右稳定的平衡状态向不稳定的平衡 状态过渡的临界点，对压杆的稳定性强弱与否起关键性作用。
二、细长压杆的临界力公式
临界力Pcr的大小表征压杆失稳的难易，临界力的大小与影响压缩直杆弯曲变形的因素有关： 1、杆的长度l ：l 越大，抵抗弯曲变形的能越小，Pcr 值就越小； 2、抗弯刚度EI：EI 值越大，抵抗弯曲变形的能力就越大，Pcr 值就越大 ； 3、杆端支承 杆端支承越牢固，越不容易发生弯曲变形，Pcr 值就越大。
2E cr 2 p
或
2E p p
上式表明，欧拉公式的适用范围是压杆的柔度必需大于最小柔度λp即 λ≥λp ，满足这一条件的压杆 称为大柔度杆（或细长压杆）。
三、超过比例极限时的临界应力
工程中中有许多压杆，其柔度λ往往小于λp，这类压杆称为中、小柔度杆。其常用抛物线公式，即
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第三节 压杆的稳定性设计
临界力和临界应力是压杆丧失工作能力时的极限值。为了保证压杆具有足够的稳定性，不但要求压 杆的轴向压力或工作应力小于其极限值，而且还应考虑适当额定安全储备。因此，压杆的稳定条件为
P
Pcr nw
或
cr
nw
式中nw为规定的稳定安全系数。 钢类 nw = 1.8～3.0 铸铁 nw = 4.5～5.5 木材 nw = 2.5～3.5 在工程实际中，常采用安全系数法进行压杆稳定性计算，即
将压杆截面的惯性半径
i
I A
代入上式得
2 Ei 2 2E cr 2 2 l l
i
令
l i
有
2E cr 2
上式称为压杆临界应力欧拉公式，其中λ 称为压杆的柔的临界应力不超过材料的比例极限时才成立，即材料处于弹性变形范围
2、根据支座形式选择截面形状 压杆总是在柔度大的纵向平面试问，为了充分发挥压杆的抗失稳能力，应使压杆在各个纵向平面内 具有相同或相近的柔度。因此，但压杆两端的支座是固定端或球铰链时，各纵向平面内的约束情况都相 同，应选用圆形或方形截面比较合理；当压杆两端是柱铰链时，在两个相互垂直的纵向平面内，约束也 不相同，就应要求截面对两个相互垂直轴的惯性矩也不相同，因而选用矩形或工字形截面比较合理。 （三）减小压杆的长度 （四）改善约束条件
ng
Pcr P
或
ng
cr
式中ng为工作安全系数或实际安全系数。
例 千斤顶的螺杆，其旋出最大长度 l =400mm，螺纹内径 d0 =40mm，最 大起重重量 P=70kN，螺杆的材料为A5钢，规定稳定安全系数 nw=3。 要求：校核螺杆的稳定性。
解：1、计算柔度 螺杆可简化为上端自由下端固定的压杆，故起支承系数μ=2
i
d 04 64 d 02 40 I 10mm A d 02 4 4 4
2、计算螺杆临界应力并校核稳定性
l
i
2 400 80 10
材料为A5钢，查询机械设计手册得：λc=96。因λ＜λc ，所以采用抛物线公式计算临界应力。
cr s a 2 275 0.00853 802 220.4MPa
螺杆的工作应力
P 70 103 55.7 MPa A 402 / 4
校核螺杆的稳定性 计算结果表明，稳定性足够。
ng
cr 220.4 3.96 nw 55.7
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第四节 问题讨论与说明
一、稳定性问题的特点
稳定性问题是材料力学行为的三大特点之一，它研究杆的原始平衡状态稳定的条件。 （一）压杆失稳是在压杆收轴向力时，横截面上的应力还远未达到其强度失效条件时，突然发生的 弯曲破坏。 （二）压杆的失稳是一个综合性问题，不仅与材料本身有关部门，还与压杆的长度、横截面形状及 杆端的约束有关。
对于钢材 对于铸铁
cr s a 2
cr b a 2
四、临界应力总图
压杆的临界应力是其柔度λ的函数，其函数图象称为临界应力总图。如下Q235钢的临界应力总图
其中临界应力公式分界点为
≥ c
——应用欧拉公式
c
——应用抛物线公式
工程上以λc作为分界点，这是由于在实际工程中，压杆所受的压力存在偏心等缘故。