压杆稳定性的概念
压杆稳定计算稳定性的概念
• 屈曲导致构件失效，且这种失效具有突发
性，因此常会给工程带来灾难性的后果。
• 结构设计除了需保证足够的强度和刚度外，还
需保证结构具有足够的稳定性。
3
压杆的失稳或屈曲 • 承受轴向压力的较短粗杆件，在失效前始终保
持直线形式的平衡状态，可以用强度条件来校核 其是否安全。
σ=
FN ≤ [σ c ] A
压杆稳定计算 • 压杆稳定的概念 • 确定细长压杆临界力的欧拉公式 • 压杆的临界应力总图 • 压杆的稳定性计算 • 提高压杆稳定性的措施
1
稳定性的概念 • 结构构件在压缩荷载或其它特定荷载作用下，在
某一位置保持平衡，这一平衡位置称为平衡构形。
• 当荷载小于一定的数值时，微小外界扰动使其偏
离平衡构形，外界扰动除去后，构件仍能回复到初 始平衡构形，则称这种初始平衡构形是稳定的。
λP = π
E
π 2E λP = σP
σP
=π
206 × 109 ≈ 101 200 × 106
铝合金 ( E = 70 GPa, σ p = 175 MPa)：
λP ≈ 62.8
木材: λP ≈80
23
非细长压杆的临界应力 临界应力总图 • 当 λ < λ采用以实验为基础的经验公式（直线公 P 时，
式或抛物线公式）计算临界应力。 化曲线。
• 临界应力总图：压杆的临界应力随柔度的变 • 直线公式
σ cr = a − bλ
a, b是与材料有关的常数，由实验测定。 对Q235钢， σ cr = 304 − 1.12λ MPa 直线公式适用范围： λ 0 ≤ λ < λP
当 λ < λ0 时， 破坏属于强度问题。
材料力学之压杆稳定
材料力学之压杆稳定引言材料力学是研究物体内部受力和变形的学科，压杆稳定是其中的一个重要内容。
压杆稳定是指在受到压力作用时，压杆能够保持稳定，不发生失稳或破坏的现象。
本文将介绍压杆稳定的基本原理、稳定条件以及一些常见的失稳形式。
压杆的受力分析在进行压杆稳定分析前，我们首先需要对压杆受力进行分析。
压杆通常是一根长条形材料，两端固定或铰接。
在受到外部压力作用时，压杆会受到内部的压力，这些压力会导致杆件产生变形和应力。
在分析压杆稳定性时，我们主要关注压杆的弯曲和侧向稳定性。
压杆的基本原理压杆的稳定性是由杆件的弯曲和侧向刚度共同决定的。
当压杆弯曲和侧向刚度足够大时，压杆能够保持稳定。
所以，为了提高压杆的稳定性，我们可以采取以下几种措施：1.增加杆件的截面面积，增加抗弯能力；2.增加杆件的高度或长度，增加抗弯刚度；3.增加杆件的横向剛性，增加抗侧向位移能力；4.添加支撑或加固结构，增加整体稳定性。
压杆的稳定条件压杆稳定的基本条件是在承受外部压力时，内部应力不超过材料的极限强度。
当内部应力超过材料的极限强度时，压杆将会发生失稳或破坏。
在实际工程中，我们一般采用压杆的临界压力比来判断压杆的稳定性。
临界压力比是指杆件在失稳前的临界弯曲载荷与临界弯曲载荷之比。
当临界压力比大于1时，压杆是稳定的；当临界压力比小于1时，压杆是不稳定的。
临界压力比的计算可以采用欧拉公式或者Vlasov公式等方法。
这些方法能够给出压杆在不同边界条件下的临界压力比。
在工程实践中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来计算临界压力比。
压杆的失稳形式压杆失稳通常有两种形式：弯曲失稳和侧向失稳。
弯曲失稳压杆的弯曲失稳是指杆件在受到外部压力作用时，发生弯曲变形并导致失稳。
在弯曲失稳中，压杆的弯曲形态可以分为四种：1.局部弯曲失稳：杆件出现弯曲局部失稳，形成凸起或凹陷；2.局部弯扭失稳：杆件出现弯曲和扭曲共同失稳；3.全截面失稳：整个杆件截面均发生失稳；4.全体失稳：整个杆件完全失稳并失去稳定性。
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
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稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定的概念
稳定性
• 稳定性是指构件保持其原有 平衡状态的能力。 • 承受压力作用的杆件，当压 力超过一定限度时就会发生弯 曲失稳现象。
• 由于构件失稳后將丧失继续 承受原设计载荷的能力，其后 果往往是很严重的。因此在设 计受压构件时，必须保证其有 足够的稳定性。
Hale Waihona Puke 桁架吊索式公路桥塔式吊索式公路桥
压杆稳定的概念
稳定的平衡： 能保持原有的 直线平衡状态的平衡；
不稳定的平衡： 不能保持原有的直 线平衡状态的平衡。
压力Fcr称为压杆的临界力或称为临界载荷。 压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发
生突然弯曲，所以称为纵弯曲。这种丧失稳定的现 象 也称为屈曲。
压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的 平衡时所对应的轴向压力， 称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr表示
《工程力学》第六章 压杆的稳定性计算
x
Fcr
图示两端铰支（球铰）的细长压杆，当压力
B
F达到临界力FCr时，压杆在FCr作用下处于
微弯的平衡状态，
考察微弯状态下局部压杆的平衡
M (x) Fcr w
d 2w dx2
M (x) EI
d 2w Fcr w
w
dx2
EI
x
FCr
M
w
x
根据杆端边界条件，求解上述微分方程 可得两端铰支细长压杆的临界力
FCr
2EI (l)2
Cr
FCr A
Cr
FCr A
2EI (l)2 A
2E (l / i)2
2E 2
Cr
2E 2
——临界应力的欧拉公式
柔度（长细比）： L
i
i I A
——截面对失稳时转动
轴的惯性半径。
——表示压杆的长度、横截面形状和尺寸、杆端的约束 情况对压杆稳定性的综合影响。
200
2.中柔度杆（中长压杆）及其临界应力
工程实际中常见压杆的柔度往往小于p，其临界应力超过材料的
比例极限，属于非弹性稳定问题。这类压杆的临界应力通常采用直线 经验公式计算， 即
Cr a b ——直线型经验公式
式中，a、b为与材料有关的常数，单位为MPa。
由于当应力达到压缩极限应力时，压杆已因强度问题而失效，因此
12 h
1 2300 60
12 133
在xz平面内，压杆两端为固定端，=0.5，则
iy
Iy A
b 12
y
l
iy
l 12
b
0.5 2300 40
12 100
因为 z＞y，连杆将在xy平面内失稳（绕z轴弯曲），因 此应按 =z=133计算连杆的临界应力。
压杆·稳定性
=
2 ，因为 h＞b ，则 I y
=
hb3 12
＜ bh3 12
=
Iz ，由式（10.3）得
Pcr
=
π 2 EI (μl)2
=
π2
× (200 ×103
MPa) × ( 1 × 40 mm × (20 12
(2 ×1000 mm)2
mm)3 ) ≈13200
N
= 13.2
kN
10.2.2 临界应力
当压杆受临界压力作用而维持其不稳定直线平衡时，横截面上的压应力仍然可按轴向压
10.3.2 临界应力经验公式与临界应力总图
在工程实际中，常见压杆的柔度λ 往往小于 λp ，即 λ＜λp ，这样的压杆横截面上的应力 已超过材料的比例极限，属于弹塑性稳定问题。这类压杆的临界应力可通过解析方法求得， 但通常采用经验公式进行计算。常见的经验公式有直线公式与抛物线公式等，这里仅介绍直 线公式。把临界应力 σcr 与柔度λ 表示为下列直线关系称为直线公式。
式中，λ 称为压杆的柔度或长细比，为无量纲量，它综合反映了压杆的长度、约束形式及截 面几何性质对临界应力的影响。于是，式（10.4）中的临界应力可以改写为
·219·
材料力学
σ cr
=
π2E λ2
式（10.6）是欧拉公式（10.3）的另一种表达形式，两者并无实质性差别。
（10.6）
10.3 欧拉公式的适用范围·临界应力总图·直线公式
2
≤σ
p
或
λ≥π E σp
（10.7）
令
于是条件式（10.7），可以写成
λP = π
E σp
（10.8）
λ ≥ λp
（10.9）
压杆稳定的概念
二、压杆的失稳12-2 细长压杆临界力公式——欧拉公式一、两端钝支细长压杆的j l P令： EI K j =则： Y K Y ⋅-=即： 02=⋅+''Y K Y此微分方程的通解：Y=C ；kx C kx cos sin 2+ ——（1） 边界条件： 当X=0， 02=C ， kx C Y sin 1= ——（2） 又杆上端边界条件：X=l 代入（2）式kl sin 0=——（3） 若要使（3）式成立必有1C 或0sin =kl 方可。
如果 01=C 式就不成立，所以必定是0sin =kl πn kl =当 ππππn kl 3,2,,0=时，0sin =kl 得 ln EI P K jl π==又得 222l EI n P j l π= n=1 时， 2min2l EI P j l π=——临界力欧拉公式j l P ——临界力min I ——截面z I 、y I 选小值l ——杆长二、其他支座j l P()2min25.0l EI P j l π= u=0.5三、临界应力()()()2222min22min2r ul EAul EI Aul EI AP lj l j πππσ====——（1）式中： AI r min= ——截面的回转半径λ=rul——压杆的长细比 （1）式可成： 22λπσEjl =12-3 临界应力总图目的： 了解临界应力适应范围 关键是看懂j l σ总图一、临界应力的公式的适用范围（因为挠曲线近似微分方程只在材料服从虎克定律的前提下成立，即在材料不超过比例极限时成立，而j l P 又是通过挠曲线微分方程推倒出来的故p l j σσ≤）P l E jσλπσ≤=22 即： P p EE σπσπλ=≥2 即只有当λ大于或等于极限值p p Eσπλ=时 22λπσEjl *=方成立。
那么j l σ适用的范围总：p λλ≥ 如：钢 100≥p λ 铸铁 80≥p λ 木材 100≥p λ二、超过p σ后压杆的临界应力⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21c l j λλασσ ——经验公式其中： s σ——材料的屈服极限 α——系数 0.43 Sc Eσπλ57.0=例： S A 钢： cmkgs 2400=σ 26102cm kgE ⨯=20715.02400λσ-=j l三、j l σ总图总图：p l j σσ≤和p l j σσ>的图形， j l σλ-曲线图12-4 压杆稳定计算一、压杆的稳定条件： []σϕσ≤=APjj l l K P P ≤其中j l P 压杆的临界力jl K 稳定安全系数，随λ变化比例强度安全系数K 的实际作用在杆上的应力则： []j jjj j l l l l l K K A P A Pσσσ==*≤=其中σ为实际杆内力[]j l σ为稳定许用应力稳定条件：[]j l σσ≤ []jjj l ll K σσ=，[]Kσσ=[]︒*=∴σσσKK JJJ L LL ，[][]σϕσ= 其中 ϕ 为折减系数，可查表 又[]σϕσ≤=∴AP说明：（1）式中j l σ总小于︒σ，()︒<σσj l ；k K j l > 故ϕ是小于1的。
材料力学：第九章 压杆稳定问题
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠 曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要 综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力， 得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线 的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D
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长度系数（长度因数）
2008.9～2009.1
l 相当长度
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
6-2 压杆的临界力及临界应力
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
3、压杆的临界11应-3力
临界压力Pcr
2EI (l ) 2
临界应力 cr
Pcr A
2EI (l)2 A
d 2 y M (x) dx2 EI
令k 2 p EI
d2y k2y 0 dx 2
y Asin kx B coskx
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
6-2 压杆的临界力及临界应力
x 0, y 0, B 0 x l, y 0, Asin kl 0
2008.9～2009.1
欧拉公式只适用于大柔度压杆
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
3、压杆的临界应力
中小柔度杆临界应力计算 (大柔度杆) 欧拉公式
S P (中柔度杆)
cr a b s
当 a s 时，经验直线公式
b
s
a
s
b
s (小柔度杆) cr s
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
6-2 压杆的临界力及临界应力
材料
低碳钢
s 235MPa b 372MPa
优质碳钢
s 306MPa b 471MPa
铸铁 木材
a,MPa 303.8
461 332 28.7
b,MPa 1.12
2,57 1.453 0.19
p s
100 61
100 60 80 110
6-1 压杆稳定性的概念
失稳:压杆不能保持直 线下的平衡 压杆是否保持直线下 的平衡取决于轴向压 力是否达到极限 pcr。
Pcr临界力或临界载荷
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
6-2 压杆的临界力及临界应力
1. 两端铰支压杆的临界力
M x Py
d 2 y Py dx2 EI
P Pcr ncr
n
Pcr P
ncr
（许可载荷法） （安全系数法）
P Pcr A Ancr
cr
ncr
[ cr ]
（应力法）
通常取：[σcr]=φ[σ]
则： P [ ]
A
（φ称为折减系数）
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
柔度 l
i
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
s
303.8 235 1.12
61
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
讨论
l
l i
Pcr cr A
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
§6-3 压杆的稳定校核
1. 压杆的稳定条件为：
p Pcr ncr
钢材 铸铁 木材
n
6-2 压杆的临界力及临界应力
Pcr
2 EI
l2
欧拉公式
2008.9～2009.1
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力
与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形
•两端为铰支座
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
例
已知两端铰支细长压杆，横截面直径 d=50mm，材料Q235,弹性模量 E=200Gpa，σs=235Mpa。试确定 其临界力。
2008.9～2009.1
6-3 压杆的稳定性计算
压杆的折减系数
值
பைடு நூலகம்
柔度
值
低碳钢 铸铁 木材 l 低碳钢 铸铁
i
木材
1.000 1.00 1.00 110 0.536
0.25
0.995 0.97 0.99 120 0.466
0.22
0.981 0.91 0.97 130 0.401
0.18
0.958 0.81 0.93 140 0.349
cr a b 直线公式
超过比例极限后的失
cr s
强度问题
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
3、压杆的临界应力
1. 低碳钢的弹性模量为 E 2105 MPa 比例极限为 P 200 MPa
p
2 2 105 106
100 200 106
2.低碳钢
sin kl 0
kl n (n 0,1,2 )
k n P
l EI
P n2 2 EI
l2
令k 2 p EI
y Asin kx B coskx
x 0, y 0
边界条件： x l, y 0
Pcr
2 EI
l2
2008.9～2009.1
欧拉公式
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
解： 截面惯性矩
临界力
Pcr
2 EI
l2
269kN
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
6-2 压杆的临界力及临界应力
两端为其他支承情况时压杆的临界力
两端铰支
2EI
Pcr (l)2
一端固定一端自由
Pcr
2EI
(2l ) 2
Pcr
2 EI (l ) 2
欧拉公式普遍形式
Pcr P
ncr
ncr 1.8 ~ 3.0 ncr 5 ~ 5.5 ncr 2.8 ~ 3.2
P Pcr A Ancr
cr
ncr
[ cr ]
P [ ]
A
称为折减系数
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
§6-3 压杆的稳定校核
一、压杆的稳定条件为：
0.16
0.927 0.69 0.87 150 0.306
0.14
0.888 0.57 0.80 160 0.272
0.12
0.842 0.44 0.71 170 0.243
0.11
0.789 0.34 0.60 180 0.218
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
3、压杆的临界应力
•压杆柔度
l μ的四种取值情况
i
i
I A
•临界柔度
P
2E P
P 比例极限
•临界应力
s
a
s
b
P
(大柔度杆)
cr
2E 2
s 屈服极限 欧拉公式 破坏形式：失
P s(中柔度杆) s (小柔度杆)
6-1 压杆稳定性的概念
不稳定平衡
微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》
6-1 压杆稳定性的概念
压杆的稳定性试验
2008.9～2009.1
第六章 压杆的稳定性——《化工设备设计基础》