第9章压杆稳定(12)
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材料力学第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定 图9－6
第9章 压杆稳定
9.2.3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 1.一端固定一端自由的细长压杆的临界载荷 图9－7所示为一端固定、一端自由的长为l的细长压杆。
当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴与长为2l的两端铰支细 长压杆的挠曲轴的一半完全相同。因此，如果二杆各截面的 弯曲刚度相同，则临界载荷也相同。所以，一端固定一端自 由、长为l的细长压杆的临界载荷为
第9章 压杆稳定
9.2.2 大挠度理论与实际压杆 式（9－1）与式（9－2）是对于理想压杆根据小挠度挠
曲轴近似微分方程得到的。如果采用大挠度挠曲轴的微分方
程 ddx1xM ExI进行理论分析，则轴向压力F与压杆最
大挠度wmax之间存在着如图9－6中的曲线AB所示的确定关 系，其中A点为曲线的极值点，相应之载荷Fcr即为上述欧拉 临界载荷。
Fcr
2 EI
2l 2
（9－3）
第9章 压杆稳定
图9－7
第9章 压杆稳定
2.两端固定的细长压杆的临界载荷 图9－8所示为两端固定的长为l的细长压杆，当轴向压 力F=Fcr时，该杆的挠曲轴如图9－8(a)所示，在离两固定端 各l/4处的截面A、B存在拐点，A、B截面的弯矩均为零。因 此，长为l/2的AB段的两端仅承受轴向压力Fcr（见图9－8 (b)），受力情况与长为l/2的两端铰支压杆相同。所以，两 端固定的压杆的临界载荷为
Fcr
2EI
0.5l 2
（9－4）
第9章 压杆稳定
图9－8
第9章 压杆稳定
3.一端固定一端铰支的细长压杆的临界载荷 图9－9所示为一端固定一端铰支的长为l的细长压杆， 在微弯临界状态，其拐点与铰支端之间的正弦半波曲线长为
材料力学_压杆稳定
π 2E λp = σp
欧拉公式仅适用于细长压杆的稳定计算
对Q235 钢,E=200GPa,σp=200MPa,则 , ,
200 × 109 λp = π ≈ 100 6 200 × 10
9.2 压杆的临界应力
二,临界应力总图 大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): 细长压杆
σ cr σs
π 2 EI π 2E Fcr σ cr = = = 2 A (l / i )2 A(l )
其中
记
λ=
l
i
压杆的柔度或 压杆的柔度或长细比 欧拉临界应力
i=
I A
π 2E σ cr = 2 λ
(λ = λmax )
π 2E π 2E σ cr = 2 ≤ σ p λ ≥ λ σp
大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): λ ≥ λ p 细长压杆
σp
σ cr = σ s
σcr = a1 b1λ
2
π 2E σ cr = 2 λ
直线经验公式: 直线经验公式:
(λ ≥ λ p )
σ cr = a bλ
σ cr = π E λ2
2
中柔度压杆(中长压杆 中柔度压杆 中长压杆) 中长压杆
σ cr = a bλ (λs ≤ λ ≤ λ p )
σ cr ≤ σ s (σ b ) λs =
2
d y = M ( x) = M B + FBy (l x) Fy 2 dx
2
k2 =
F EI ~ M M= B F
y
A
y (0) = 0 y′(0) = 0 y (l ) = 0 y′(l ) = 0 ~ ~ B + M + F l = 0 0 1 1 l ~ k 0 0 1 A k F = 0 =0 ~ sin kl cos kl 1 0 A sin kl + B cos kl + M = 0 ~ k cos kl k sin kl 0 1 kA cos kl kB sin kl F = 0 kl sin = 0 or Det = k[kl sin kl 2(1 cos kl )] 2 kl kl kl kl kl = 2k sin ( kl cos 2 sin ) = 0 (kl cos 2 sin ) = 0 2 2 2 2 2
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s p
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定
一、稳定平衡与不稳定平衡 ：
1. 不稳定平衡
4
2. 稳定平衡
5
3. 稳定平衡和不稳定平衡
6
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。 P
xL
P P
xM
y
① 弯矩： M(x,y)Py
② 挠曲线近似微分方程：
yMP y EI EI
31
当压杆在各个弯曲平面内 的约束情况都相同时，应 尽量使其截面对任一形心 主轴的惯性矩都相等，这 样可使压杆在各个弯曲平 面内都具有相同的稳定性( 称为等稳定性设计)。
保国寺大殿的拼 柱形式
1056年建，“双筒体”结构，塔身平面 为八角形。经历了1305年的八级地震。32
[例7 ] 图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，材料为A3
b
Pcry
2E L22
I
y
=0.7，
bh3 I z 12 ,
Pcrz(0.27EL1I)z 2
③压杆的临界力 P crmP icn r,y(P cr)z
17
[例4] 求下列细长压杆的临界力。已知：L=0.5m , E=200GPa。
解：图(a)
P
P
Im in51 1 02 30 1 1 0 24.1 1 70 9m 4
令:k 2 P
x
Px
EI
M0
yk2yk2 M
yccoksx dsPiknx M
P
ydco k x scsiknx
M0 P
M0 边界条件为:
P
x 0 ,y y 0 ;x L ,y y 0
第九章 压杆稳定
外，最小根是
s in k l = 0
kl = 2π
4π 2 EI Fcr = k 2 EI = 2 l
21
图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。
22
§9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 欧拉公式的应用范围•
8
2.弹性压杆的稳定性 2.弹性压杆的稳定性 稳定平衡状态 F < F —稳定平衡状态 cr
F = F —临界平衡状态 临界平衡状态 cr
不稳定平衡状态 F > F —不稳定平衡状态 cr
关键
确定压杆的临界力 确定压杆的临界力 Fcr
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: 临界压力:
将以上边界条件代入(a)式和 将以上边界条件代入 式和 (b) 式，得
B+
A sin kl + B cos kl +
由以上四个方程得出 满足以上两式的根， 满足以上两式的根，除
Me =0 F
Me =0 F
Ak = 0
Ak cos kl − Bk sin kl = 0
cos kl − 1 = 0
kl = 0
实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度， 实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然 40N 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力. 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力.
1
① 强度 构件的承载能力 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 工程中有些构件具有足够的强度、刚度， 可靠地工作. 可靠地工作.
s in k l = 0
kl = 2π
4π 2 EI Fcr = k 2 EI = 2 l
21
图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。
22
§9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 欧拉公式的应用范围•
8
2.弹性压杆的稳定性 2.弹性压杆的稳定性 稳定平衡状态 F < F —稳定平衡状态 cr
F = F —临界平衡状态 临界平衡状态 cr
不稳定平衡状态 F > F —不稳定平衡状态 cr
关键
确定压杆的临界力 确定压杆的临界力 Fcr
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: 临界压力:
将以上边界条件代入(a)式和 将以上边界条件代入 式和 (b) 式，得
B+
A sin kl + B cos kl +
由以上四个方程得出 满足以上两式的根， 满足以上两式的根，除
Me =0 F
Me =0 F
Ak = 0
Ak cos kl − Bk sin kl = 0
cos kl − 1 = 0
kl = 0
实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度， 实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然 40N 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力. 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力.
1
① 强度 构件的承载能力 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 工程中有些构件具有足够的强度、刚度， 可靠地工作. 可靠地工作.
材料力学：第九章 压杆稳定问题
绞），I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆的
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠 曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要 综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力， 得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线 的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠 曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要 综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力， 得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线 的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D
09 第9章 压杆稳定
P
An
4 稳定性校核步骤：
•计算柔度 •判断压杆类型并计算临界应力或临界压力 •稳定性校核
【例9.3】 千斤顶如图9.6所示，丝杠长度，螺纹内径，材料为
45钢，最大起重重量为F=80kN，规定的稳定安全因数[nst]=4，
试校核丝杠的稳定性。 解：(1) 计算柔度。
丝杠可以简化为下端固定，上端自由的压 杆，因此长度因数取μ=2。
稳定失效：压杆丧失稳定性而破坏，具有突发性
逐渐成为构件或结构安全工作的控制条件
称为临界压力
稳定 平衡
Pcr
不稳定 平衡
§9.2 细长压杆的临界载荷的计算及欧拉公式
9.2.1 两端铰支细长压杆的临界载荷的计算
Pcr
y
Pcr
x
M (x) Pcr w M M (x) EIw''
EIw'' Pcr w 0
解： (1) 计算截面的极惯性矩
I min
0.05 0.033 12
m4
11.25 108 m 4
(2) 两端为铰支约束，则代入欧拉公式得
Pcr
2EI l2
2
9 109
11.25 108 1
N
10kN
所以，当杆的轴向压力达到10kN时， 此杆就会丧失稳定。
9.3 欧拉公式的适用范围·经验公式
记：2
a
s
b
a s
b
2 1 ——直线公式的适用范围
——这种压杆称为中柔度杆或中长杆
2 的压杆 ——小柔度杆或短粗杆
不存在失稳问题，应考虑强度问题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
An
4 稳定性校核步骤：
•计算柔度 •判断压杆类型并计算临界应力或临界压力 •稳定性校核
【例9.3】 千斤顶如图9.6所示，丝杠长度，螺纹内径，材料为
45钢，最大起重重量为F=80kN，规定的稳定安全因数[nst]=4，
试校核丝杠的稳定性。 解：(1) 计算柔度。
丝杠可以简化为下端固定，上端自由的压 杆，因此长度因数取μ=2。
稳定失效：压杆丧失稳定性而破坏，具有突发性
逐渐成为构件或结构安全工作的控制条件
称为临界压力
稳定 平衡
Pcr
不稳定 平衡
§9.2 细长压杆的临界载荷的计算及欧拉公式
9.2.1 两端铰支细长压杆的临界载荷的计算
Pcr
y
Pcr
x
M (x) Pcr w M M (x) EIw''
EIw'' Pcr w 0
解： (1) 计算截面的极惯性矩
I min
0.05 0.033 12
m4
11.25 108 m 4
(2) 两端为铰支约束，则代入欧拉公式得
Pcr
2EI l2
2
9 109
11.25 108 1
N
10kN
所以，当杆的轴向压力达到10kN时， 此杆就会丧失稳定。
9.3 欧拉公式的适用范围·经验公式
记：2
a
s
b
a s
b
2 1 ——直线公式的适用范围
——这种压杆称为中柔度杆或中长杆
2 的压杆 ——小柔度杆或短粗杆
不存在失稳问题，应考虑强度问题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
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6
目录
压杆的平衡
增大杆上压力Fp
如果扰动除去后不能恢复 到直线平衡形态，则称原 来的直线平衡形态是不稳 定的。
此时，压杆上对应的压力Fp称
为压杆的临界载荷，或临界力。
用Fcr 表示
7
目录
压杆的平衡
压杆当压力超过一定限度时就会 发生弯曲现象。由直线状态的平衡， 过渡到曲线状态的平衡。 ——称为丧失稳定，简称为失稳。
第九章 压杆稳定
1
目录
第九章 压杆稳定
§9.1 压杆稳定性的概念 §9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 §9.3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧
拉公式，压杆的长度因数 §9.4 欧拉公式的应用范围，临界应力总图 §9.5 实际压杆的稳定因数 §9.6 压杆的稳定计算，压杆的合理截面
目录
2
目录
（2）线弹性，小变形；
（3）两端为铰支座。
16
目录
例题 9-1
已知：两端铰支细长压杆，横截面直径 d=50mm，材料为Q235钢，弹性模量 E=200GPa，σs=235MPa。试确定其临界 力。
解： 截面惯性矩
I π d 4 π 0.05 30710-9m4 64 64
临界力
2 EI π2 200109 307109
Fcr l 2
1.52
269103 N 269kN
17
目录
§9.3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式， 压杆的长度因数
一端固定 一端自由
18
目录
2 EI
Fcr (0.5l)2
两端铰支
两端固定
(其中一端 轴向可动）
19
2 EI
Fcr (2l )2
2 EI
Fcr (0.7l)2
欧拉公式
Fcr
2EI
l2
由公式可知：压杆越细、越长，临界力越低，压
杆越容易失稳。
在工程实际中，我们希望提高压杆的临界力，从 而提高压杆的承载能力。
15
目录
§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
欧拉公式
Fcr
2EI
l2
的适用条件：
（1）理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，
材料均匀）；
此外，欧拉公式是从符合胡克定律的挠曲 线近似微分方程导出的，所以,上述临界载荷 公式，只有在微弯状态下压杆仍处于弹性状态 时才是成立的。
22
例题 9-2
求：下列细长压杆的临界力。
FP
图(a)
I min
50 103 12
1012
4.17 109m4
10
Fcr
2 Imin E (1l ) 2
2 4.17 200 (0.7 0.5)2
直线平衡 微弯状态下的
曲线平衡 压杆保持微小弯曲 平衡的最小压力即 为临界力。
11
§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
弯矩 M = -Fcry 挠曲线近似微分方程
d 2w dx2
M ( x) EI
Fcrw EI
令 k 2 Fcr EI
w k 2w 0
通解：
w Asin kx Bcoskx
24
§9.4 欧拉公式的应用范围，临界应力总图
一、欧拉公式的应用范围 临界应力 柔度
π 2 EI
σcr
Fcr A
(l ) 2
A
π 2 EI
l 2 A
I i2A
i I A —截面的惯性半径
25
引入符号
λ μl i
—柔度（长细比）
σcr
Fcr A
π 2 EI
l 2 A
2E 2
柔 度—影响压杆承载能力的综合指标。
注意： 柔度越大，临界应力越小，压杆越容易失稳。
26
欧拉公式的适用范围
cr
2E 2
p
p—比例极限
或 2E p
如令 p
2E p
欧拉公式的适用范围可表示为
λ λP
(细长杆 大柔度杆)
27
问题的回答
λ μl i
设 材料Q235钢，d=50mm. l=0.5m p 100
d 4
i
一端自由 一端固定
一端铰支 一端固定
20
各种支承压杆临界压力的通用公式
2EI Fcr (l)2
欧拉公式普遍形式
长度系数（长度因数） l 相当长度
1.0
0.5
2.0
0.7
21
应当指出: 上边所列的杆端约束情况，是典型的理想
约束，实际上，工程实际中的杆端约束情况是 复杂的，应该根据实际情况作具体分析，看其 与哪种理想情况接近，从而定出近乎实际的长 度系数，也可按设计手册或规范的规定选取。
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目录
§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
由 kl = nπ 可得， k n
l
k2
Fcr EI
n2 2
l2
所以
Fcr
n2 2 EI
l2
（n=0，1，2，…）
当 n =1时，得临界载荷
2EI
Fcr l 2
—— 欧拉公式
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目录
§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
§9.1 压杆稳定性的概念
不稳定平衡
微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置.
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置.
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目录
工程实例
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目录
压杆的稳定性试验
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目录
压杆的平衡
※ 稳定性是指构件保持其原有平 衡状态的能力。
如果扰动除去后，能 够恢复到直线平衡形态， 则原来的直线平衡形态 是稳定的。
由于构件失稳后將丧失继续承 受原设计载荷的能力，其后果往往 是很严重的。因此在设计受压构件 时，必须保证其有足够的稳定性。
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目录
其它失稳现象
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结论:
对压杆，压力小于临界力, 压杆稳定； 压力大于临界力, 压杆失稳。
因此，确定压杆失稳与否关键 是临界载荷的确定。
确定临界载荷的平衡方法
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§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
67.14kN
FP
50
图(b)
L L
图(a)
Imin Iz 3.89108 m4
Fcr
2 Imin E (2l)2
2
0.389 200 (2 0.5)2
76.8kN
z
y
(4545 6) 等边角钢
图(b)23
目录
材料和直 径均相同
？问题的提出
❖ 能不能应 用欧拉公式计 算四根压杆的 临界载荷？
I A
64
d 2
d 4
4
1 0.7 0.5 2.0
(a) 200 p (b) 196 p (c) 180 p (d) 160 p
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目录
§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
w Asin kx Bcoskx
wy
Fcr
边界条件
（1） x = 0，w = 0 ， （2） x = l， w =0 ，
得 B =0 Asinkl =0
若 A = 0，则 w ≡ 0，压杆恒为直杆，与原题意不符。
所以， sinkl = 0， kl = nπ （ n = 0，1，2，…）