材料力学第12章 压杆稳定
材料力学答案- 压杆稳定
15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。
15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。
解：(a) 柔度： 2301500.4λ⨯== 相当长度：20.30.6l m μ=⨯=(b) 柔度： 1501250.4λ⨯== 相当长度：10.50.5l m μ=⨯=(c) 柔度： 0.770122.50.4λ⨯== 相当长度：0.70.70.49l m μ=⨯=(d) 柔度： 0.590112.50.4λ⨯== 相当长度：0.50.90.45l m μ=⨯=(e) 柔度： 145112.50.4λ⨯== 相当长度：10.450.45l m μ=⨯=由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。
即：()22cr EIF l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为：()2948222320010 1.610640.617.6410cr EFF l N πππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯()2948222320010 1.610640.4531.3010cr EIF l Nπππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。
解：92.633827452.5p s s a λπσλ===--===15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr F 。
【最新精选】压杆稳定实验报告
浙江大学材料力学实验报告（实验项目：压杆稳定）一、实验目的：1、观察压杆的失稳现象；2、测定两端铰支压杆的临界压力；3、观察改变支座约束对压杆临界压力的影响。
二、设备及装置：1. 带有力传感和显示器的简易加载装置或万能电子试验机；2. 数字应变仪；3. 大量程百分表及支架；4. 游标卡尺及卷尺；5. 试样，压杆试样为由弹簧钢制成的细长杆，截面为矩形，两端加工成带有小圆弧的刀刃。
在试样中点的左右两端各贴仪枚应变片。
6. 支座，支座为浅V 性压杆变形时两端可绕Z 轴转动，故可作为铰支架。
三、实验原理和方法：1、理论计算：理想压杆，当压力P 小于临界压力cr P 时，压杆的直线平衡是稳定的。
这时压力P 与中点挠度δ的关系相当于右图中的直线OA 。
当压力到达临界压力cr P 时，压杆的直线平衡变为不稳定，它可能转为曲线平衡。
按照小挠度理论，P 与δ的关系相当于图中水平线AB 。
两端铰支细长杆的临界压力由欧拉公式计算 2cr 2P EIl π=，其中I 为横截面对z 轴的惯性矩。
2、实测时：实际压杆难免有初弯曲，材料不均匀和压力偏心等缺陷，由于这些缺陷，在P 远小于cr P 时，压杆已经出现弯曲。
开始，δ很不明显，且增长缓慢，如图中的OCD 段。
随着P 逐步接近cr P ，δ将急剧增大。
只有弹性很好的细长杆才可以承受大挠度，压力才可能略微超过cr P ，实测时，在压杆两侧各贴一应变片，测定P-ε曲线，对前后应变ε取增量ε∆，当ε∆大于上一个的ε∆的2倍时即认为此时的压力为临界压力。
3、加载分两个阶段，在理论值cr P 的70%~80%之前，可采取大等级加载，载荷超过cr P 的80%以后，载荷增量应取得小些。
在整个实验过程中，加载要保持均匀、平稳、缓慢。
四、实验结果1、理论计算参数记录：b=30.00mm, h=3.50mm, k=2.13, L=525mm, E=210GPa31041.07191012bh I m -==⨯，则由欧拉公式得 2cr 2P 805.2EI N lπ== 2、实测临界压力：实验数据记录如下：压力-800N 时，应变增量192，超过了-780N 时的应变增量90的2倍，可得临界压力为-800N 。
直梁的弯曲及组合变形与压杆稳定——教案
直梁的弯曲及组合变形与压杆稳定——教案一、教学目标：1. 让学生了解直梁弯曲的基本概念，掌握梁弯曲的弹性理论。
2. 使学生理解组合变形及压杆稳定的基本原理，能够分析实际工程中的相关问题。
3. 培养学生的动手实践能力，通过实例分析提高学生解决工程问题的能力。
二、教学内容：1. 直梁弯曲的基本概念：直梁、弯曲、剪力、弯矩等。
2. 梁弯曲的弹性理论：弯曲应力、弯曲变形、弯曲强度计算等。
3. 组合变形：拉伸、压缩、弯曲、剪切等组合变形的分析方法。
4. 压杆稳定的基本原理：压杆稳定条件、压杆失稳现象、压杆稳定计算等。
5. 实例分析：分析实际工程中的直梁弯曲、组合变形与压杆稳定问题。
三、教学方法：1. 采用讲授与讨论相结合的方式，让学生掌握直梁弯曲及组合变形与压杆稳定的基本理论。
2. 通过案例分析，使学生能够将理论知识应用于实际工程问题。
3. 利用动画、图片等辅助教学手段，帮助学生形象地理解抽象的概念。
4. 安排课堂讨论，鼓励学生提问、发表观点，提高学生的参与度。
四、教学安排：1. 课时：本章共计12课时。
2. 教学方式：讲授、案例分析、课堂讨论。
3. 教学进程：第1-4课时：直梁弯曲的基本概念及弹性理论。
第5-8课时：组合变形及压杆稳定的基本原理。
第9-12课时：实例分析及练习。
五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，给予相应的表现评价。
2. 课后作业：布置相关练习题，检验学生对知识的掌握程度。
3. 课程报告：要求学生选择一个实际工程案例进行分析，报告应包括问题分析、计算过程和结论。
通过课程报告评价学生的实践能力。
4. 期末考试：设置有关直梁弯曲、组合变形与压杆稳定的题目，考察学生的综合运用能力。
六、教学资源：1. 教材：《材料力学》、《结构力学》等相关教材。
2. 辅助材料：PPT课件、动画、图片、案例资料等。
3. 实验设备：力学实验仪、弯曲实验装置、压杆实验装置等。
4. 网络资源：相关学术期刊、在线课程、论坛等。
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力材料力学是研究物体受力及变形行为的一门学科。
压杆稳定是材料力学中重要的概念之一、当一个杆件受到作用力时，如果杆件不发生任何形状上的变化，我们称之为杆件处于稳定状态。
然而，当作用力超过一定临界值时，杆件就会发生失稳，产生形状上的变化。
因此，欧拉公式就是用来计算杆件临界力的一种方式。
欧拉公式由瑞士数学家欧拉于18世纪中叶首次提出。
它的基本假设是杆件是理想化的，即杆件是均匀、无缺陷、具有均匀截面的杆件。
根据欧拉公式，杆件临界力可通过以下公式计算：Pcr = (π^2 * E * I) / L^2其中，Pcr表示临界力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆件的有效长度。
从上述公式中可以看出，临界力与材料的弹性模量有关，即材料越硬，临界力越大；同时临界力与截面的形状也有关，即截面惯性矩越大，临界力越大；临界力还与杆件长度有关，即杆件越短，临界力越大。
例子：假设有一根长为L的无缺陷的圆柱形杆件，其截面半径为r，杨氏模量为E。
根据材料力学的知识，该圆柱形杆件的截面惯性矩可计算为I=(π*r^4)/4Pcr = (π^2 * E * ((π * r^4) / 4) ) / L^2通过上述公式，可以计算出该无缺陷的圆柱形杆件的临界力。
这个临界力表示了该杆件能够承受的最大作用力。
如果作用力超过了临界力，该杆件将发生失稳，产生形状上的变化。
总结起来，材料力学中的压杆稳定概念是指杆件在受力作用下不发生形状上的变化。
欧拉公式是用来计算杆件临界力的一种常用公式，可以帮助工程师们确定杆件的最大承载能力。
材料力学压杆稳定第3节 欧拉公式及经验公式
2E 12
2
206109 1602
79.3 MPa
Fcr1 cr1A 79.3106 0.00785N 623 kN
（b）第二根压杆的临界载荷
2
l2
i
21 0.025
80
60 P 100
60 P 100 该杆为中柔度压杆，用直线公式求：
cr S
cr (a b)
cr
2E 2
根据欧拉公式与抛
物线经验公式，得
低合金结构钢等压
杆的 cr 总图。
S
P
2、抛物线型经验公式
在工程实际中，对于中、小柔度压杆的临界应力计 算，也有建议采用抛物线型经验公式的，此公式为
cr a1 b12
式中 a1 、b1 与是与材料
cr?令令aii?aleiaf22crcr?????22222crilelei???????令令il???临界应力形式的欧拉公式22cr???e?式中柔度是一个无量纲的量它综合反映了压杆的长度杆端的约束以及截面尺寸对临界应力的影响
一、临界应力与压杆柔度
压杆处于临界状态时，将压杆的临界载荷除以横
截面面积 A，得到横截面上的应力，称为压杆的临界
式中 为具体压杆的柔度，a﹑b为与材料的力学
性能有关的常数，单位为 MPa。表 7-2 中列出了几
种常用材料的 a、b 值。
表 7-2 几种常用材料的 a、b 的值
材料
（强度极限 b/ MPa ） （屈服点 S /MPa ）
a
b
（MPa） （MPa）
P
S
Q235 钢( b 372 , S 235 ) 304 1.12 100
材料力学-压杆稳定
1．直线型经验公式
对于柔度(λs≤λ<λp)的中柔 度杆（中长压杆），临界应力 与λ的关系采用直线公式：
cr a b 13 8
式(13-8)中的系数a,b可查书中表 13-1。 λ的最低界限：
s
a
s
b
(塑性材料)
b
a
b
b
(脆性材料)
---------(13-9)
图13-3
2．抛物线型经验公式
式中有c1,c2,k三个未知量。根据边界条件：当x=0时， yA=0；代入式(c)得c2=0。式(c)成为
y c1 sinkx (d )
当x=l时，yB=0；代入式(d)后可得 c1 sinkl 0 (e)
要满足式(e)，必然是c1或sinkl等于零，若c1=0，则压杆 上各点的位移都为零，这显然与压杆在微弯状态下保持平衡 的前提不符，故必须是sinkl=0。要满足这一条件的kl值为：
kl 0, ,2 ,L ,n （n为正整数）
由k P n 可得：
EI l
P
n2 2 EI
l2
(
f
)
使压杆可能在微弯状态下保持平衡的最大轴向压力，应
该是式(f) 中n=1时的P值，这就是所求的两端铰支压杆的临
界力Pcr，即
Pcr
2 EI
l2
(13 1)
式(13-1)习惯上称为两端铰支压杆的欧拉公式。当各个 方向的支承情况相同时（如两端为球铰），压杆总是在它的 抗弯能力最小的纵向平面内失稳，所以式(13-1)中的EI是压 杆的最小抗弯刚度，即I应取截面的最小形心主惯性矩Imin。
2
图13-4 对于柔度(λ<λc)的杆件，临界应力与λ的关系采用抛物线公式：
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力课件
杆的长度远大于横截面尺 寸，且横截面尺寸保持不 变。
杆的材料需满足胡克定律 ，即应力与应变成线性关 系。
欧拉公式在压杆稳定中的应用
01
通过欧拉公式，可以计算出压杆在临界状态下的临界力，即压杆失稳 前的最大承载力。
02
临界力的大小与压杆的材料、截面形状、尺寸等因素有关，是评估压 杆稳定性能的重要指标。
通过优化载荷分布，可以改善压杆的受力状态，从而提高稳定性。
THANKS
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详细描述
理想压杆的临界力不受压杆重量和惯性影响，因此在实际应用中 ，需要考虑这些因素对临界力的影响。
实际压杆临界力计算
总结词
实际压杆是指考虑自身重量和惯 性影响的压杆，其临界力计算需 考虑这些因素。
总结词
实际压杆的临界力受到自身重量 和惯性影响，因此需要考虑这些 因素对临界力的影响。
详细描述
在计算实际压杆的临界力时，需 要考虑压杆自重产生的挠度以及 横截面面积和长度等因素的影响 。
02
推导过程中，考虑了压杆的弯曲变形和轴向压缩变形，利用能
量守恒和弹性力学的基本方程，最终得到了欧拉公式。
推导过程涉及了数学和物理的相关知识，需要一定的专业背景
03
和理论基础。
欧拉公式应用条件
欧拉公式适用于理想弹性 材料制成的细长等截面直 杆。
杆的受力方式为两端受压 ，且轴向压力逐渐增加直 到临界状态。
材料力学压杆稳定概念欧 拉公式计算临界力课件
• 压杆稳定概念 • 欧拉公式 • 临界力计算 • 压杆稳定性的影响因素 • 提高压杆稳定性的措施
01
压杆稳定概念
压杆失稳现象
01
02
03
弯曲变形
当压杆受到压力时，可能 会发生弯曲变形，导致承 载能力下降。
材料力学课件(压杆稳定性)
2 EI
2 a2
改变力F指向，BD成为压杆，临界压力
F2
2 EI
2a 2
Fcr
比较：Fcr Fcr
1 2 EI
2FAB FBD 2 a 2
例9-4.一端固定一端自由压杆，长为 l，弯曲刚度
为EI，设挠曲线方程
w
2l 3
(3lx 2
x3)
，为自由
端挠度。试用能量法去定临界压力的近似值。
思考： P 3169-4，习题9-11，13，14，18
练习： P 319习题9-10，12，15，17
（3）合理稳定性设计
[ ]st
与
L
i
成反比
合理截面：约束性质接近时，iminimax ——组合截面 提高 i ——使截面积远离形心
增强约束：缩短相当长度
思考：含有压杆的超静定问题
温度变化引起的稳定性问题
、[]st与 成反比
值：木杆——式（9 11，12）
钢杆——表 92，3
（2）稳定性条件
F A
[ ]st
[ ]
稳定性r 或 与 或 i 为非线性关系，选择截面
尺寸时需用迭代法
例9-5. Q235钢连杆，工字型截面A＝552mm2，Iz＝ 7.40×104mm4，Iy＝1. 41×104mm4，有效长度l＝ 580mm，两端柱形铰约束，xy平面失稳μz＝1，xz 平面失稳μy＝0.6，属 a 类压杆，轴向压力F＝35kN， [σ]＝206MPa。试求稳定许用应力，并校核稳定性。
思考：比较一根杆的柔度与柔度的界限值
影响大柔度、中柔度和小柔度杆临 界应力因素的异同
3. 压杆的稳定性条件与合理设计
（1）稳定许用应力
实际压杆与理想压杆的差异：初曲率、压力偏心、 材料缺陷等
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Fcr上
2 EI
(2 xl )
2
2 EI
(l 2 x)
2
Fcr中
w
l x 4
Fcr
(0.5l ) 2
l/ 4
x
2 EI
B
l/ 2
A、B两点为反弯点，其弯矩为零。 AB段相当于两端简支的情况，上下两端相当于一 端固定，一端自由的情况。
l
A
l/ 4
x
y
材料力学
第12章 压杆稳定
cr
RA
l
Fcr 2 EIw M ( x ) F w F ( l x ) 令： k cr RA y EI m FRA 2 F w k w (l x ) 其通解为： EI FRA w (0) w ( l ) 0 w A sin kx B cos kx (l x) 边界条件： Fcr w(0) (0) 0 FRA 1 w [ sin kx l cos kx (l x)] FRAl Fcr k 1 、w(0) 0 B Fcr 2 最小非零解 FRA EI 2、w(0) (0) 0 A Fcr kFcr (0.7l )2 kl 4.49
A为压杆中点的挠度，可以是任意的微小值。 采用近似挠曲线。
材料力学
第12章 压杆稳定
§12-2 细长压杆临界压力 二、一端固定，一端铰支的压杆 x 图示压杆在临界压力作用下，在xy面内处于微 F 弯平衡，试求临界荷载。 A EIw M ( x) F 解： 挠曲线近似微分方程 B端存在约束反力偶，故A端存在支反力。 w 弯矩方程 M ( x) Fcr w FRA (l x)
Fcr
A
两端固定
0.5
l
A
l
B
B
材料力学
第12章 压杆稳定
Fcr
h
§12-2 细长压杆临界压力
EI Fcr ( l )2 1、在哪一个平面内失稳？
b
y z
x
y
六、讨论
2
x
x
杆端约束在各方向上相同，在最小的刚度平面内失稳。 Fcr A 两个平面内失稳的临界压力中取小值。 A 2、在哪一个杆段失稳？
§12-2 细长压杆临界压力 五、欧拉公式统一式 l：压杆的计算长度（自由长度、相当长度） 2 EI Fcr l：压杆的实际长度 ( l )2 ：长度因数（长度系数） ，与杆端约束情况有关。
Fcr A
Fcr A
两端铰支
B
1 0.7 2
l
l
B
一端固定一端铰支
Fcr
一端固定一端自由
cr
w
B y
w
Fcr M (x )
EIw M ( x) Fcr w
w k 2 w 0
Fcr 令：k EI
2
l
二阶常系数微分方程
x
y
其通解为： w A sin kx B cos kx
0 sin kl 1 0 kl n cos kl
边界条件： w(0) w(l ) 0
cr
A
w
B
w
Fcr M (x )
x
n2 π 2 EI Fcr (n 0,1, 2,......) 2 l 理论上只有n=0的解不符合，取其最小解
当n = 1 时： F cr
x
l
l
y
y
2 EI
l2 瑞士科学家欧拉1774年提出，通常称为欧拉公式。
挠曲线方程
w A sin
半波正炫曲线
§12-3 欧拉公式适用范围、临界应力总图 一、压杆的临界应力
临界应力：压杆在临界荷载作用下，直线平衡时， 横截面上的正应力。
F cr = cr A
2 EI Fcr ( l ) 2
I i A
2
2E cr l 2
( i )
令
l
i
2E cr 2
材料力学
第12章 压杆稳定
FN ≤[ st ] A nst
§12-4 压杆的稳定计算 一、压杆稳定的条件
[ st ]
[ st ] 稳定许用应力
1、由临界应力计算 nst 2、由强度许用应力计算 [ st ] [ ]
（）
cr
稳定安全系数 nst＞1 折减系数（稳定因素）
B
B cr
3、w(l ) 0 tan kl kl
x
材料力学
第12章 压杆稳定
x Fcr
§12-2 细长压杆临界压力 三、一端自由，一端固定 其临界压力同样可根据用挠曲线方程求出。 但根据其变形形态，也可用类比法得到： 2 EI
Fcr (2l ) 2
l
y
l
四、两端固定
Fcr
l-2x
FN 270 103 53.68MPa 4 A 2 25.15 10 ≤[ st ](1 5%) 55.5MPa
3、强度校核 削弱截面需进行强度校核
FN ≤[ ] Aj FN 270 103 Aj 2 25.15 104 4 0.01 0.03
两个平面内同时失稳
h y yc
两端约束在各个方向相同 则应使得I y I z 单个槽钢 A0 25.15cm2，I z 0 934.5cm4，I y 0 83.4cm4
z0 1.75cm，t 1cm
t
h 2 I y 2[ I y 0 A0 ( z0 ) ] I z 2I z 0 2、稳定校核 i 2 I z 0 934.5 61mm 2 2 A0 25.15 h 2 F I y 0 A0 ( z0 ) I z 0 N ≤[ st ] [ ] l 1.3 7 149 2 A i 0.061 h 2 83.4 25.15(1.75 ) 934.5 Q235钢，b类截面，查表可得： 2
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第12章 压杆稳定
§12-3 欧拉公式适用范围、临界应力总图 三、临界应力总图
σcr
σu A
B
σcr =a-bλ
σcr =
C
π 2E r
σp
O
λ2
σcr = π E λ2
2
D
小柔 λu 中柔 λp 大柔 度杆 度杆 度杆
λ = ul i
cr与的关系图线 u （ cr s） cr a b （u p） 2E （≥ p） 2 AB段，小柔度杆，短而粗，因强度而破坏. BC段，中柔度杆，因失稳而破坏，但不能 应用欧拉公式. CD段，大柔度杆，细而长，因失稳而破坏.
材料力学
第12章 压杆稳定
第十二章 压杆稳定
材料力学
第12章 压杆稳定
• • • • •
本部分主要内容 压杆稳定的概念 细长压杆的临界力 欧拉公式的适用范围及经验公式 提高压杆稳定性的措施
材料力学
第12章 压杆稳定
§12-1 压杆稳定的概念
一、工程实例
①强度 构件的承载能力： ②刚度 ③稳定性
工程中有些构
l
i
，
为一无量纲的参数，称为压杆的长细比（柔度），
综合反映了压杆的①截面几何形状和尺寸②杆端约束③压杆 的实际长度对临界荷载的影响。 适用条件 临界应力 cr ≤ P比例极限 二、欧拉公式的适用范围 欧拉公式的推导采用了近 2E 2E P 似挠曲线微分方程，压杆失 cr = 2 ≤ P ≥ P 稳时仍处于弹性范围内。 P : 应用欧拉公式的压杆柔度的界限值.
件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
材料力学
第12章 压杆稳定
§12-1 压杆稳定的概念
一、工程实例
压杆失稳造成的灾难 1907年8月9日,在加拿大离魁北克城14.4km横跨圣劳伦斯 河的大铁桥在施工中倒塌.灾变发生在当日收工前15分钟,桥上 74人坠河遇难.原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失 稳所致. 1909年汉堡一60万m3储气罐由于支撑结构失稳而破坏。 杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构,屋面 采用预应力密肋网架结构,密肋大梁横截面(600mm×1400mm), 屋面采用现浇板,板厚120mm .2003年2月18日晚19时,当施工到 26～28轴时,支模架失稳坍塌,造成重大伤亡事故。 美国哈特福特城的体育馆网架结构，平面92m×110m,突然 于1978年破坏而落地，破坏起因可能是压杆屈曲。以及1988年 加拿大一停车场的屋盖结构塌落，1985年土耳其某体育场看台 屋盖塌落，这两次事故都和没有设置适当的支撑有关。
不同的材料，ψ值可查工程手册。 ＜1 稳定条件满足，则强度条件也满足. 二、压杆稳定计算 1、稳定安全系数法 FN ≤[ st ] cr
A nst
2、折减系数法 注意：
FN ≤[ st ] [ ] A
①当压杆横截面局部有削弱时，稳定计算采用毛面积， 但削弱截面强度校核时，采用净面积。 ②折减系数法设计截面时， ψ或λ与截面的形状和尺寸 有关，需采用试算的方法设计。
l
Fcr
C 不同杆段失稳的临界压力中取小值。 3、弹性支承 B B 会定性分析，约束越强，临界压力越大。 0.7＜＜2 4、安全因素 欧拉公式理想力学模型：均质直杆，轴向压力 工程实际的压杆往往存在①初曲率②材质不均匀③荷载偏心 等不利的因素，可在安全系中考虑。
l2
l1
材料力学
第12章 压杆稳定
h 8.14cm
0.311
材料力学
第12章 压杆稳定
例题1 厂房钢柱长7m，由两根16号槽钢组成，两端用螺栓借助连接板 与基础、梁连接，同一截面最多有四个螺栓孔，长度因素 1.3， 钢柱承受的压力位270kN,[ ]=170MPa，